पुनरावृत्त एकीकरण के लिए कॉची सूत्र: Difference between revisions

From Vigyanwiki
(Created page with "बार-बार एकीकरण के लिए कॉची फॉर्मूला, जिसका नाम ऑगस्टिन-लुई कॉची क...")
 
 
(10 intermediate revisions by 4 users not shown)
Line 1: Line 1:
बार-बार एकीकरण के लिए कॉची फॉर्मूला, जिसका नाम [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] के नाम पर रखा गया है, किसी फ़ंक्शन के ''एन'' [[ विभेदीकरण विरोधी ]] को एक एकल इंटीग्रल में संपीड़ित करने की अनुमति देता है (cf. एंटीडेरिवेटिव#एकीकरण की तकनीक|कॉची का फॉर्मूला)।
'''पुनरावृत्त एकीकरण के लिए कॉची सूत्र''', जिसका नाम [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] के नाम पर रखा गया है, किसी फलन के ''n'' [[ विभेदीकरण विरोधी |प्रतिविभेदीकरण]] को एकल इंटीग्रल में संपीड़ित करने की अनुमति देता है (cf. एंटीडेरिवेटिव एकीकरण की तकनीक या कॉची का सूत्र)।                                                                                                                          


==अदिश मामला==
==अदिश स्थिति                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        ==
मान लीजिए f वास्तविक रेखा पर एक सतत फलन है। फिर आधार बिंदु a के साथ f का nवाँ दोहराया गया समाकलन,
मान लीजिए f वास्तविक रेखा पर सतत फलन है। फिर आधार बिंदु a के साथ f का nवाँ दोहराया गया समागणना है,                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          
<math display="block">f^{(-n)}(x) = \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_{n}) \, \mathrm{d}\sigma_{n} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \, \mathrm{d}\sigma_1,</math>
<math display="block">f^{(-n)}(x) = \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n-1}} f(\sigma_{n}) \, \mathrm{d}\sigma_{n} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \, \mathrm{d}\sigma_1,</math>
एकल एकीकरण द्वारा दिया गया है
एकल एकीकरण द्वारा दिया गया है                                                                                                                                                                                    
<math display="block">f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t.</math>
<math display="block">f^{(-n)}(x) = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t.</math>
===प्रमाण===
[[गणितीय प्रेरण]] द्वारा प्रमाण दिया जाता है। n=1 वाला आधार स्थिति सामान्य है, क्योंकि यह इसके समान है:
<math display="block">f^{(-1)}(x) = \frac1{0!}\int_a^x {(x-t)^0}f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t</math>अब, मान लीजिए कि यह n के लिए सत्य है, और आइए हम इसे n+1 के लिए सिद्ध करें। सबसे पहले [[लीबनिज इंटीग्रल रूल|लीबनिज इंटीग्रल नियम]] नियम का उपयोग करते हुए, ध्यान दें


===प्रमाण===
[[गणितीय प्रेरण]] द्वारा एक प्रमाण दिया जाता है। n=1 वाला आधार मामला तुच्छ है, क्योंकि यह इसके बराबर है:
<math display="block">f^{(-1)}(x) = \frac1{0!}\int_a^x {(x-t)^0}f(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t</math>अब, मान लीजिए कि यह n के लिए सत्य है, और आइए हम इसे n+1 के लिए सिद्ध करें। सबसे पहले[[लीबनिज इंटीग्रल रूल]] नियम का उपयोग करते हुए, ध्यान दें
<math display="block">\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left[ \frac{1}{n!} \int_a^x \left(x-t\right)^n f(t)\,\mathrm{d}t \right] = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t .</math>
<math display="block">\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left[ \frac{1}{n!} \int_a^x \left(x-t\right)^n f(t)\,\mathrm{d}t \right] = \frac{1}{(n-1)!} \int_a^x\left(x-t\right)^{n-1} f(t)\,\mathrm{d}t .</math>
फिर, प्रेरण परिकल्पना को लागू करते हुए,
फिर, प्रेरण परिकल्पना को प्रयुक्त करते हुए,
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
f^{-(n+1)}(x) &= \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n}} f(\sigma_{n+1}) \, \mathrm{d}\sigma_{n+1} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \, \mathrm{d}\sigma_1 \\
f^{-(n+1)}(x) &= \int_a^x \int_a^{\sigma_1} \cdots \int_a^{\sigma_{n}} f(\sigma_{n+1}) \, \mathrm{d}\sigma_{n+1} \cdots \, \mathrm{d}\sigma_2 \, \mathrm{d}\sigma_1 \\
Line 22: Line 21:


==सामान्यीकरण और अनुप्रयोग==
==सामान्यीकरण और अनुप्रयोग==
कॉची सूत्र को रीमैन-लिउविल इंटीग्रल द्वारा गैर-पूर्णांक मापदंडों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। रीमैन-लिउविल इंटीग्रल, जहां <math>n \in \Z_{\geq 0}</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math>\alpha \in \Complex,\ \Re(\alpha)>0</math>, और फैक्टोरियल को [[गामा फ़ंक्शन]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। जब दोनों सूत्र सहमत होते हैं <math>\alpha \in \Z_{\geq 0}</math>.
कॉची सूत्र को रीमैन-लिउविल इंटीग्रल द्वारा गैर-पूर्णांक मापदंडों के लिए सामान्यीकृत किया गया है जहां <math>n \in \Z_{\geq 0}</math> को <math>\alpha \in \Complex,\ \Re(\alpha)>0</math> द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है और फैक्टोरियल को [[गामा फ़ंक्शन|गामा फलन]] द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। दो सूत्र तब सहमत होते हैं जब <math>\alpha \in \Z_{\geq 0}</math>


कॉची फॉर्मूला और रीमैन-लिउविल इंटीग्रल दोनों को रीज़ क्षमता द्वारा मनमाने आयाम के लिए सामान्यीकृत किया गया है।
कॉची सूत्र और रीमैन-लिउविल इंटीग्रल दोनों को रीज़ क्षमता द्वारा अनैतिक आयाम के लिए सामान्यीकृत किया गया है।


[[भिन्नात्मक कलन]] में, इन सूत्रों का उपयोग [[भिन्न-भिन्न]]ांक के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिससे व्यक्ति को कई बार भिन्नात्मक संख्या में अंतर करने या एकीकृत करने की अनुमति मिलती है। भिन्नात्मक एकीकरण द्वारा भिन्नात्मक संख्या में कई बार अंतर किया जा सकता है, फिर परिणाम में अंतर किया जा सकता है।
[[भिन्नात्मक कलन|भिन्नात्मक गणना]] में, इन सूत्रों का उपयोग [[भिन्न-भिन्न]] के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिससे व्यक्ति को कई बार भिन्नात्मक संख्या में अंतर करने या एकीकृत करने की अनुमति मिलती है। इस प्रकार भिन्नात्मक एकीकरण द्वारा भिन्नात्मक संख्या में कई बार अंतर किया जा सकता है, फिर परिणाम में अंतर किया जा सकता है।


==संदर्भ==
==संदर्भ                                                                                                                                                                             ==
* [[Augustin-Louis Cauchy]]: ''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62404287/f150.item Trente-Cinquième Leçon]''. In: ''Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal''. Imprimerie Royale, Paris 1823. Reprint: ''Œuvres complètes'' II(4), Gauthier-Villars, Paris, pp. 5–261.
* [[Augustin-Louis Cauchy]]: ''[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62404287/f150.item Trente-Cinquième Leçon]''. In: ''Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal''. Imprimerie Royale, Paris 1823. Reprint: ''Œuvres complètes'' II(4), Gauthier-Villars, Paris, pp. 5–261.
* Gerald B. Folland, ''Advanced Calculus'', p.&nbsp;193, Prentice Hall (2002). {{ISBN|0-13-065265-2}}
* Gerald B. Folland, ''Advanced Calculus'', p.&nbsp;193, Prentice Hall (2002). {{ISBN|0-13-065265-2}}
 
==बाहरी संबंध                                                                                                                                                                                                                                                   ==
 
==बाहरी संबंध==
*{{cite web|author=Alan Beardon| url=http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1369| title=Fractional calculus II| publisher=University of Cambridge| year=2000}}
*{{cite web|author=Alan Beardon| url=http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1369| title=Fractional calculus II| publisher=University of Cambridge| year=2000}}


*{{cite web|author=Maurice Mischler| url=https://sites.google.com/site/mathmontmus/accueil/pages-math%C3%A9matiques-dures/int%C3%A9grales-ni%C3%A8mes-et-polyn%C3%B4mes-sympas| title= About some repeated integrals and associated polynomials| year=2023}}
*{{cite web|author=Maurice Mischler| url=https://sites.google.com/site/mathmontmus/accueil/pages-math%C3%A9matiques-dures/int%C3%A9grales-ni%C3%A8mes-et-polyn%C3%B4mes-sympas| title= About some repeated integrals and associated polynomials| year=2023}}
[[Category: ऑगस्टिन-लुई कॉची]] [[Category: समाकलन गणित]] [[Category: विश्लेषण में प्रमेय]]


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 23/07/2023]]
[[Category:Created On 23/07/2023]]
[[Category:Machine Translated Page]]
[[Category:Templates Vigyan Ready]]
[[Category:ऑगस्टिन-लुई कॉची]]
[[Category:विश्लेषण में प्रमेय]]
[[Category:समाकलन गणित]]

Latest revision as of 17:12, 29 August 2023

पुनरावृत्त एकीकरण के लिए कॉची सूत्र, जिसका नाम ऑगस्टिन-लुई कॉची के नाम पर रखा गया है, किसी फलन के n प्रतिविभेदीकरण को एकल इंटीग्रल में संपीड़ित करने की अनुमति देता है (cf. एंटीडेरिवेटिव एकीकरण की तकनीक या कॉची का सूत्र)।

अदिश स्थिति

मान लीजिए f वास्तविक रेखा पर सतत फलन है। फिर आधार बिंदु a के साथ f का nवाँ दोहराया गया समागणना है,

एकल एकीकरण द्वारा दिया गया है

प्रमाण

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण दिया जाता है। n=1 वाला आधार स्थिति सामान्य है, क्योंकि यह इसके समान है:

अब, मान लीजिए कि यह n के लिए सत्य है, और आइए हम इसे n+1 के लिए सिद्ध करें। सबसे पहले लीबनिज इंटीग्रल नियम नियम का उपयोग करते हुए, ध्यान दें

फिर, प्रेरण परिकल्पना को प्रयुक्त करते हुए,
इससे प्रमाण पूर्ण हो जाता है।

सामान्यीकरण और अनुप्रयोग

कॉची सूत्र को रीमैन-लिउविल इंटीग्रल द्वारा गैर-पूर्णांक मापदंडों के लिए सामान्यीकृत किया गया है जहां को द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है और फैक्टोरियल को गामा फलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। दो सूत्र तब सहमत होते हैं जब

कॉची सूत्र और रीमैन-लिउविल इंटीग्रल दोनों को रीज़ क्षमता द्वारा अनैतिक आयाम के लिए सामान्यीकृत किया गया है।

भिन्नात्मक गणना में, इन सूत्रों का उपयोग भिन्न-भिन्न के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिससे व्यक्ति को कई बार भिन्नात्मक संख्या में अंतर करने या एकीकृत करने की अनुमति मिलती है। इस प्रकार भिन्नात्मक एकीकरण द्वारा भिन्नात्मक संख्या में कई बार अंतर किया जा सकता है, फिर परिणाम में अंतर किया जा सकता है।

संदर्भ

  • Augustin-Louis Cauchy: Trente-Cinquième Leçon. In: Résumé des leçons données à l’Ecole royale polytechnique sur le calcul infinitésimal. Imprimerie Royale, Paris 1823. Reprint: Œuvres complètes II(4), Gauthier-Villars, Paris, pp. 5–261.
  • Gerald B. Folland, Advanced Calculus, p. 193, Prentice Hall (2002). ISBN 0-13-065265-2

बाहरी संबंध