कोपुला (संभावना सिद्धांत): Difference between revisions

Latest revision as of 15:48, 30 August 2023

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में है, जो कोपुला बहुभिन्नरूपी संचयी वितरण फलन है जिसके लिए प्रत्येक वेरिएबल का सीमांत संभाव्यता वितरण अंतराल पर समान वितरण (निरंतर) होता है [0,1]। इस प्रकार कोपुलस का उपयोग यादृच्छिक वेरिएबल के मध्य से आश्रित और स्वतंत्र वेरिएबल (अंतर-सहसंबंध) का वर्णन/मॉडल करने के लिए किया जाता है।^[1] उनका नाम, व्यावहारिक गणितज्ञ अबे स्क्लर द्वारा 1959 में प्रस्तुतकिया गया था, जो लिंक या टाई के लिए लैटिन से आया है, जो भाषा विज्ञान में व्याकरणिक कोपुला (भाषाविज्ञान) के समान किन्तु असंबंधित है। तथा टेल जोखिम को मॉडल करने और कम करने के लिए मात्रात्मक वित्त में कोपुला का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है^[2] और पोर्टफोलियो अनुकूलन पोर्टफोलियो-अनुकूलन अनुप्रयोग किया गया है ।^[3]

अदिश के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी बहुभिन्नरूपी संचयी वितरण फलन या बहुभिन्नरूपी स्थितियोंको अविभाज्य सीमांत वितरण कार्यों और कोप्युला के संदर्भ में लिखा जा सकता है जो वेरिएबल के मध्य निर्भरता संरचना का वर्णन करता है।

कोपुला उच्च-आयामी सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में लोकप्रिय हैं क्योंकि वे किसी को आसानी से सीमांत और कोपुला का अलग-अलग अनुमान लगाकर यादृच्छिक वैक्टर के वितरण का मॉडल और अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं। ऐसे अनेक पैरामीट्रिक कोपुला समूह उपलब्ध हैं, जिनमें सामान्यतः ऐसे पैरामीटर होते हैं जो निर्भरता की ताकत को नियंत्रित करते हैं। और कुछ लोकप्रिय पैरामीट्रिक कॉपुला मॉडल नीचे उल्लिखित हैं।

द्वि-आयामी कोपुला को गणित के कुछ अन्य क्षेत्रों में पर्मुटन और डबल-स्टोकेस्टिक माप के नाम से जाना जाता है।

गणितीय परिभाषा

एक यादृच्छिक सदिश पर विचार करें $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ . मान लीजिए कि इसके सीमांत निरंतर हैं, अर्थात सीमांत संचयी वितरण फलन $F_{i}(x)=\Pr[X_{i}\leq x]$ सतत फलन हैं. प्रत्येक घटक के लिए संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन को प्रयुक्त करके, यह यादृच्छिक सदिश हैं

(U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})=\left(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}),\dots ,F_{d}(X_{d})\right)

इसमें सीमांत हैं जो अंतराल [0, 1] का उपयोग करके इस पर समान वितरण (निरंतर) हैं

$(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ को संचयी वितरण फलन या बहुभिन्नरूपी स्थितियों के रूप में परिभाषित किया गया है $(U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})$ :

C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[U_{1}\leq u_{1},U_{2}\leq u_{2},\dots ,U_{d}\leq u_{d}].

कोपुला C में $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ घटकों के मध्य निर्भरता संरचना पर सभी जानकारी सम्मिलित है जबकि सीमांत संचयी वितरण फलन $F_{i}$ में $X_{i}$ के सीमांत वितरण पर सभी जानकारी सम्मिलित करता है

इन चरणों के विपरीत का उपयोग बहुभिन्नरूपी संभाव्यता वितरण के सामान्य वर्गों से छद्म-यादृच्छिक नमूने उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। अर्थात सैंपल $(U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})$ तैयार करने की प्रक्रिया दी गई है कोपुला फलन से, आवश्यक नमूने का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है

(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})=\left(F_{1}^{-1}(U_{1}),F_{2}^{-1}(U_{2}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d})\right).

व्युत्क्रम $F_{i}^{-1}$ लगभग निश्चित रूप से समस्यारहित हैं, क्योंकि $F_{i}$ निरंतर माना जाता था। इसके अतिरिक्त, कोपुला फलन के लिए उपरोक्त सूत्र को इस प्रकार इसे फिर से लिखा जा सकता है:

C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\dots ,X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})].

परिभाषा

संभाव्यता इस सिद्धांत के संदर्भ में, $C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]$ D -आयामी 'कॉपुला' है यदि C इकाई घन पर D -आयामी यादृच्छिक सदिश का संयुक्त संचयी वितरण फलन है समान $[0,1]^{d}$ सीमांत वितरण के साथ उपयोग किया जाता है ।^[4]

बहुपरिवर्तनीय कलन शब्दों में, $C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]$ यदि D-आयामी 'कॉपुला' है

$C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0$ , यदि कोई तर्क शून्य है, तब युग्मक भी शून्य होगा ,
$C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u$ , यदि तर्क u और अन्य सभी 1 हैं, तब युग्मक u के सामान्तर ही है,
C, d- नॉन- घटने वाला है, अर्थात, प्रत्येक हाइपर आयत के लिए $B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}$ B का C-आयतन गैर-नकारात्मक रूप से उपयोग होता है:
$\int _{B}\mathrm {d} C(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{d}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,$

जहां

N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}

.

उदाहरण के लिए, द्विचर स्थितियों में, $C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]$ यदि द्विचर युग्म है $C(0,u)=C(u,0)=0$ , $C(1,u)=C(u,1)=u$ और $C(u_{2},v_{2})-C(u_{2},v_{1})-C(u_{1},v_{2})+C(u_{1},v_{1})\geq 0$ सभी के लिए $0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1$ और $0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1$ उपयोग किया जाता है .

स्क्लर का प्रमेय

द्विचर गाऊसी वितरण का घनत्व और समोच्च कथानक

गम्बेल कोपुला के साथ संयुक्त दो सामान्य सीमांतों का घनत्व और समोच्च प्लॉट

अदिश का प्रमेय, जिसका नाम अबे अदिश के नाम पर रखा गया है, कोपुलस के अनुप्रयोग के लिए सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है।^[5]^[6] अदिश का प्रमेय बताता है कि प्रत्येक संचयी वितरण फलन या बहुभिन्नरूपी स्तिथि होती है

H(x_{1},\dots ,x_{d})=\Pr[X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{d}\leq x_{d}]

एक यादृच्छिक सदिश का $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ इसके सीमांतों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $F_{i}(x_{i})=\Pr[X_{i}\leq x_{i}]$ और एक युग्म $C$ . वास्तव में होता है |

H(x_{1},\dots ,x_{d})=C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right).

यदि बहुभिन्नरूपी वितरण में घनत्व $h$ है , और यदि यह घनत्व उपलब्ध है, तब यह उसे भी धारण करता है

h(x_{1},\dots ,x_{d})=c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdot \dots \cdot f_{d}(x_{d}),

जहाँ $c$ कोपुला का घनत्व है.

प्रमेय यह भी बताता है कि, $H$ दिया गया है , तथा कोपुला अद्वितीय है $\operatorname {Ran} (F_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F_{d})$ , जो सीमांत सीडीएफ के फलन की रेंज का कार्टेशियन उत्पाद है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि हाशिए पर है तब कोपुला अद्वितीय है $F_{i}$ निरंतर हैं.

इसका विपरीत भी सत्य है: $C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]$ और सीमांत $F_{i}(x)$ युग्म दिया गया है तब $C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right)$ सीमांत वितरण के साथ D -आयामी संचयी वितरण फलन को परिभाषित करता है $F_{i}(x)$ .

स्थिरता की स्थिति

कोपुलस मुख्य रूप से तब काम करते हैं जब समय श्रृंखला स्थिर प्रक्रिया होती है^[7] और निरंतर.^[8] इस प्रकार, बहुत ही महत्वपूर्ण पूर्व-प्रसंस्करण कदम ऑटो सहसंबंध होते है | जैसे कि ऑटो-सहसंबंध, प्रवृत्ति-स्थिर प्रक्रिया और समय श्रृंखला के भीतर मौसमता की जांच करना है।

जब समय श्रृंखला स्वतः-सहसंबद्ध होती है, तब वे वेरिएबल के समुच्चय के मध्य गैर-सम्मिलित निर्भरता उत्पन्न कर सकती हैं और परिणामस्वरूप गलत कोपुला निर्भरता संरचना हो सकती है।^[9]^[10]^[11]</nowiki></ref>

फ़्रेचेट-होएफ़डिंग कोपुला सीमा

द्विचर फ़्रेचेट-होएफ़डिंग कोप्युला सीमा और स्वतंत्रता कोप्युला (मध्य में) के ग्राफ़।

फ़्रेचेट-होएफ़डिंग प्रमेय (मौरिस रेने फ़्रेचेट और वासिली होफ़डिंग के पश्चात्)^[12] बताता है कि किसी भी कोपुला के लिए $C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]$ और कोई भी $(u_{1},\dots ,u_{d})\in [0,1]^{d}$ निम्नलिखित सीमाएँ कायम हैं:

W(u_{1},\dots ,u_{d})\leq C(u_{1},\dots ,u_{d})\leq M(u_{1},\dots ,u_{d}).

कार्यक्रम $W$ को निचला फ़्रेचेट-होएफ़डिंग बाउंड कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

W(u_{1},\ldots ,u_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits _{i=1}^{d}{u_{i}},\,0\right\}.

कार्यक्रम $M$ को ऊपरी फ़्रेचेट-होएफ़डिंग बाउंड कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

M(u_{1},\ldots ,u_{d})=\min\{u_{1},\dots ,u_{d}\}.

ऊपरी सीमा तीव्र है: $M$ हमेशा युग्मक होता है, यह सामान्यता से मेल खाता है।

निचली सीमा बिंदुवार तीव्र होती है, इस अर्थ में कि निश्चित u के लिए, ${\tilde {C}}$ युग्म है जब कि ऐसा है कि ${\tilde {C}}(u)=W(u)$ होता है . यद्यपि, $W$ केवल दो आयामों में कोपुला है, जिस स्थिति में यह काउंटर मोनोटोनिक यादृच्छिक वेरिएबल से मेल खाता है।

दो आयामों में, अर्थात द्विचर स्थितियोंमें, फ़्रेचेट-होफ़डिंग प्रमेय बताता है

\max\{u+v-1,\,0\}\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}

.

कोपुला के समूह

कोपुला के अनेक समूहों का वर्णन किया गया है।

गॉसियन कोपुला

ρ = 0.4 के साथ गाऊसी कोपुला का संचयी और घनत्व वितरण

गाऊसी कोपुला इकाई $[0,1]^{d}$ अतिविम पर वितरण है . इसका निर्माण बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से किया गया है $\mathbb {R} ^{d}$ संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन का उपयोग करके।

किसी दिए गए सहसंबंध आव्युह के लिए $R\in [-1,1]^{d\times d}$ , पैरामीटर आव्युह के साथ गाऊसी कोपुला $R$ के रूप में लिखा जा सकता है

C_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi _{R}\left(\Phi ^{-1}(u_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u_{d})\right),

जहाँ $\Phi ^{-1}$ मानक सामान्य या मानक सामान्य वितरण का व्युत्क्रम संचयी वितरण फलन है $\Phi _{R}$ माध्य सदिश शून्य और सहसंबंध आव्युह के सामान्तर सहप्रसरण आव्युह के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का संयुक्त संचयी वितरण फलन है $R$ . जबकि कोपुला फलन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है, $C_{R}^{\text{Gauss}}(u)$ , यह ऊपरी या निचली सीमा पर हो सकता है, और संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है।^[13]^[14] घनत्व को इस प्रकार लिखा जा सकता है^[15]

c_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\sqrt {\det {R}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}^{T}\cdot \left(R^{-1}-I\right)\cdot {\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}\right),

जहाँ $\mathbf {I}$ पहचान आव्युह है.

आर्किमिडीयन कोपुलस

आर्किमिडीयन कोपुलस, कोपुलस का सहयोगी वर्ग है। जहाँ अधिकांश आम आर्किमिडीयन कोपुला स्पष्ट सूत्र को स्वीकार करते हैं, तथा उदाहरण के लिए गॉसियन कोपुला के लिए कुछ संभव नहीं है। व्यवहार में, आर्किमिडीज़ कोपुलस लोकप्रिय हैं क्योंकि वे निर्भरता की ताकत को नियंत्रित करते हुए, केवल पैरामीटर के साथ इच्छानुसार से उच्च आयामों में मॉडलिंग निर्भरता की अनुमति देते हैं।

एक कोपुला C को आर्किमिडीयन कहा जाता है यदि यह प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है^[16]

C(u_{1},\dots ,u_{d};\theta )=\psi ^{[-1]}\left(\psi (u_{1};\theta )+\cdots +\psi (u_{d};\theta );\theta \right)

जहाँ $\psi \!:[0,1]\times \Theta \rightarrow [0,\infty )$ सतत, कड़ाई से घटता हुआ जाता है और उत्तल फलन है जैसे कि $\psi (1;\theta )=0$ , $\theta$ कुछ पैरामीटर स्पेस के भीतर पैरामीटर है $\Theta$ , और $\psi$ तथा कथित जनरेटर फलन है और $\psi ^{[-1]}$ इसका छद्म-प्रतिलोम द्वारा परिभाषित किया गया है

\psi ^{[-1]}(t;\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}\psi ^{-1}(t;\theta )&{\mbox{if }}0\leq t\leq \psi (0;\theta )\\0&{\mbox{if }}\psi (0;\theta )\leq t\leq \infty .\end{array}}\right.

इसके अतिरिक्त, C के लिए उपरोक्त सूत्र $\psi ^{-1}$ से युग्म उत्पन्न होता है केवल यदि $\psi ^{-1}$ हो तो क्या डी-मोनोटोन फलन| डी-मोनोटोन के रूप में चालू होगा है $[0,\infty )$ .^[17] अर्थात्, यदि ऐसा है $d-2$ समय अवकलनीय है और व्युत्पन्न संतुष्ट करते हैं

(-1)^{k}\psi ^{-1,(k)}(t;\theta )\geq 0

सभी के लिए $t\geq 0$ और $k=0,1,\dots ,d-2$ और $(-1)^{d-2}\psi ^{-1,(d-2)}(t;\theta )$ गैर-बढ़ने वाला और उत्तल फलन है।

सबसे महत्वपूर्ण आर्किमिडीयन कोपुलस

निम्नलिखित तालिकाएँ सबसे प्रमुख द्विचर आर्किमिडीयन कोपुलस को उनके संबंधित जनरेटर के साथ उजागर करती हैं। उनमें से सभी पूरी तरह से मोनोटोन फलन नहीं हैं, अर्थात सभी के लिए d -मोनोटोन $d\in \mathbb {N}$ या निश्चित रूप से डी-मोनोटोन $\theta \in \Theta$ केवल।

सबसे महत्वपूर्ण आर्किमिडीयन कोपुलस वाली तालिका^[16]
कोपुला का नाम	द्विचर युग्म $\;C_{\theta }(u,v)$	पैरामीटर 𝜃	जेनरेटर $\,\psi _{\theta }(t)$	जनरेटर इनवर्स $\,\psi _{\theta }^{-1}(t)$
अली–मिखाइल-हक^[18]	${\frac {uv}{1-\theta (1-u)(1-v)}}$	$\theta \in [-1,1]$	$\log \!\left[{\frac {1-\theta (1-t)}{t}}\right]$	${\frac {1-\theta }{\exp(t)-\theta }}$
क्लेटन^[19]	$\left[\max \left\{u^{-\theta }+v^{-\theta }-1;0\right\}\right]^{-1/\theta }$	$\theta \in [-1,\infty )\backslash \{0\}$	${\frac {1}{\theta }}\,(t^{-\theta }-1)$	$\left(1+\theta t\right)^{-1/\theta }$
स्पष्टवादी	$-{\frac {1}{\theta }}\log \!\left[1+{\frac {(\exp(-\theta u)-1)(\exp(-\theta v)-1)}{\exp(-\theta )-1}}\right]$	$\theta \in \mathbb {R} \backslash \{0\}$	${\textstyle -\log \!\left({\frac {\exp(-\theta t)-1}{\exp(-\theta )-1}}\right)}$	$-{\frac {1}{\theta }}\,\log(1+\exp(-t)(\exp(-\theta )-1))$
गम्बेल	${\textstyle \exp \!\left[-\left((-\log(u))^{\theta }+(-\log(v))^{\theta }\right)^{1/\theta }\right]}$	$\theta \in [1,\infty )$	$\left(-\log(t)\right)^{\theta }$	$\exp \!\left(-t^{1/\theta }\right)$
इन्डीपेंडेंस	${\textstyle uv}$		$-\log(t)$	$\exp(-t)$
जो	${\textstyle {1-\left[(1-u)^{\theta }+(1-v)^{\theta }-(1-u)^{\theta }(1-v)^{\theta }\right]^{1/\theta }}}$	$\theta \in [1,\infty )$	$-\log \!\left(1-(1-t)^{\theta }\right)$	$1-\left(1-\exp(-t)\right)^{1/\theta }$

कॉपुला मॉडल और मोंटे कार्लो एकीकरण के लिए अपेक्षा

सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में, अनेक समस्याओं को निम्नलिखित तरीके से तैयार किया जा सकता है। किसी को प्रतिक्रिया फलन $g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R}$ की अपेक्षा में रुचि होती है कुछ यादृच्छिक सदिश पर प्रयुक्त किया गया $(X_{1},\dots ,X_{d})$ . है|^[20] यदि हम इस यादृच्छिक सदिश के सीडीएफ को $H$ निरूपित करते हैं, ब्याज की मात्रा इस प्रकार लिखी जा सकती है

\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots ,x_{d})\,\mathrm {d} H(x_{1},\dots ,x_{d}).

यदि $H$ कोपुला मॉडल द्वारा दिया गया है, अर्थात,

H(x_{1},\dots ,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))

इस अपेक्षा को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है

\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\,\mathrm {d} C(u_{1},\dots ,u_{d}).

यदि कोपुला C पूर्णतः सतत है, अर्थात C का घनत्व c है, तब इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\cdot c(u_{1},\dots ,u_{d})\,du_{1}\cdots \mathrm {d} u_{d},

और यदि प्रत्येक सीमांत वितरण में घनत्व $f_{i}$ है यह उससे भी आगे है

\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots x_{d})\cdot c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdots f_{d}(x_{d})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{d}.

यदि कोपुला और सीमांत ज्ञात हैं (या यदि उनका अनुमान लगाया गया है), तब इस अपेक्षा का अनुमान निम्नलिखित मोंटे कार्लो एल्गोरिदम के माध्यम से लगाया जा सकता है:

एक नमूना बनाएं $(U_{1}^{k},\dots ,U_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)$ कोप्युला C से आकार n का
व्युत्क्रम सीमांत सीडीएफ को प्रयुक्त करके, नमूना तैयार करें $(X_{1},\dots ,X_{d})$ व्यवस्थित करके $(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})=(F_{1}^{-1}(U_{1}^{k}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)$
अनुमानित $\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]$ इसके अनुभवजन्य मूल्य से:

\operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})

अनुभवजन्य युग्म

बहुभिन्नरूपी डेटा का अध्ययन करते समय, कोई व्यक्ति अंतर्निहित कोपुला की जांच करना चाह सकता है। मान लीजिए हमारे पास अवलोकन हैं

(X_{1}^{i},X_{2}^{i},\dots ,X_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n

एक यादृच्छिक सदिश से $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})$ निरंतर सीमांत के साथ. संगत "सच्चा" युग्मक अवलोकन होगा

(U_{1}^{i},U_{2}^{i},\dots ,U_{d}^{i})=\left(F_{1}(X_{1}^{i}),F_{2}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.

यद्यपि, सीमांत वितरण फलन $F_{i}$ करता है सामान्यतः पता नहीं चलता. इसलिए, अनुभवजन्य वितरण कार्यों का उपयोग करके कोई छद्म कोपुला अवलोकन का निर्माण कर सकता है

F_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{i}\leq x)

बजाय। फिर, छद्म युग्मक अवलोकनों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

({\tilde {U}}_{1}^{i},{\tilde {U}}_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i})=\left(F_{1}^{n}(X_{1}^{i}),F_{2}^{n}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}^{n}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.

फिर संगत अनुभवजन्य युग्म को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

C^{n}(u_{1},\dots ,u_{d})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}_{1}^{i}\leq u_{1},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i}\leq u_{d}\right).

छद्म कोपुला नमूनों के घटकों को ${\tilde {U}}_{k}^{i}=R_{k}^{i}/n$ इस प्रकार भी लिखा जा सकता है , जहाँ $R_{k}^{i}$ अवलोकन का स्तर है $X_{k}^{i}$ :

R_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{j}\leq X_{k}^{i})

इसलिए, अनुभवजन्य कोपुला को रैंक रूपांतरित डेटा के अनुभवजन्य वितरण के रूप में देखा जा सकता है।

स्पीयर मैन के rho का नमूना संस्करण:^[21]

r={\frac {12}{n^{2}-1}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[C^{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)-{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {j}{n}}\right]

अनुप्रयोग

मात्रात्मक वित्त

वित्त में उपयोग किए जाने वाले द्विचर कोपुलो के उदाहरण।

विशिष्ट वित्त अनुप्रयोग: वित्तीय बाजारों में सिस्टमगत जोखिम का विश्लेषण^[22] विशेष रूप से निश्चित आय निरंतर परिपक्वता स्वैप स्प्रेड विकल्पों में स्प्रेड विकल्पों का विश्लेषण और मूल्य निर्धारण विदेशी टोकरियों की अस्थिरता मुस्कान/तिरछापन का विश्लेषण और मूल्य निर्धारण, उदाहरण के लिए। सबसे अच्छा/सबसे बुरा कम तरल एफएक्स क्रॉस की अस्थिरता मुस्कान/तिरछा का विश्लेषण और मूल्य निर्धारण, जो प्रभावी रूप से एक टोकरी है: C = S₁/S₂ or C = S₁·S₂ यूएस और अंतरराष्ट्रीय इक्विटी के लिए जोखिम को कम करने के लिए मूल्य-पर-जोखिम पूर्वानुमान और पोर्टफोलियो अनुकूलन^[2] उच्च-क्षण पोर्टफोलियो अनुकूलन/पूर्ण-पैमाने अनुकूलन के लिए इक्विटी रिटर्न का पूर्वानुमान लगाना^[22] परिष्कृत माध्य-विचरण अनुकूलन रणनीतियों में इनपुट के लिए पोर्टफोलियो के अपेक्षित रिटर्न और विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स के अनुमान में सुधार करना^[3] जोड़ी व्यापार सहित सांख्यिकीय मध्यस्थता रणनीतियाँ^[23]

मात्रात्मक वित्त में कोपुलस को जोखिम प्रबंधन, निवेश प्रबंधन और पोर्टफोलियो अनुकूलन और डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण के रूप में प्रयुक्त किया जाता है।

पूर्व के लिए, कोपुलस का उपयोग तनाव परीक्षण (वित्तीय)| तनाव-परीक्षण और मजबूती जांच करने के लिए किया जाता है जो नकारात्मक पक्ष/संकट/आतंक शासन के समयविशेष रूप से महत्वपूर्ण होते हैं जहां अत्यधिक नकारात्मक घटनाएं हो सकती हैं (उदाहरण के लिए, 2007-2008 का वैश्विक वित्तीय संकट) . सूत्र को वित्तीय बाज़ारों के लिए भी अनुकूलित किया गया था और इसका उपयोग प्रतिभूतिकरण पर घाटे की संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाने के लिए किया गया था।

गिरावट के दौर में, बड़ी संख्या में ऐसे निवेशक जिन्होंने इक्विटी या रियल एस्टेट जैसी जोखिम भरी परिसंपत्तियों में निवेश किया है, वे नकदी या बांड जैसे 'सुरक्षित' निवेशों में शरण ले सकते हैं। इसे उड़ान-से-गुणवत्ता प्रभाव के रूप में भी जाना जाता है और निवेशक कम समय में बड़ी संख्या में जोखिमपूर्ण परिसंपत्तियों में अपनी स्थिति से बाहर निकल जाते हैं। परिणामस्वरूप, गिरावट के दौर में, इक्विटी में सह-संबंध ऊपर की तुलना में गिरावट की ओर अधिक होता है और इसका अर्थव्यवस्था पर विनाशकारी प्रभाव पड़ सकता है।^[24]^[25] उदाहरण के लिए, हम इस प्रकार से अधिकांशतः वित्तीय समाचारों की सुर्खियाँ पढ़ते हैं जिनमें उस ही दिन में स्टॉक एक्सचेंज पर करोड़ों डॉलर के हानि की सूचना दी जाती है; यद्यपि, हम संभवतः ही कभी शेयर बाजार में समान परिमाण और समान कम समय सीमा में सकारात्मक लाभ की रिपोर्ट पढ़ते हैं।

कोपुलस बहुभिन्नरूपी संभाव्यता मॉडल के सीमांत वितरण और निर्भरता संरचना के मॉडलिंग की अनुमति देकर नकारात्मक पक्ष शासन के प्रभावों का विश्लेषण करने में सहायता करता है। उदाहरण के लिए, स्टॉक एक्सचेंज को ऐसे बाजार के रूप में मानें जिसमें बड़ी संख्या में व्यापारी सम्मिलित हैं, जिनमें से प्रत्येक लाभ को अधिकतम करने के लिए अपनी-अपनी रणनीतियों के साथ काम कर रहा है। प्रत्येक व्यापारी के व्यक्तिवादी व्यवहार को सीमांत मॉडलिंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है। यद्यपि, चूंकि सभी व्यापारी उस ही एक्सचेंज पर काम करते हैं, इसलिए प्रत्येक व्यापारी के कार्यों का अन्य व्यापारियों के साथ परस्पर प्रभाव पड़ता है। इस अंतःक्रिया प्रभाव को निर्भरता संरचना का मॉडलिंग करके वर्णित किया जा सकता है। इसलिए, कोपुलस हमें उन अंतःक्रियात्मक प्रभावों का विश्लेषण करने की अनुमति देता है जो नकारात्मक पक्ष के समयविशेष रुचि रखते हैं क्योंकि निवेशक झुंड के व्यवहार की ओर प्रवृत्त होते हैं। (एजेंट-आधारित कम्प्यूटेशनल अर्थशास्त्र भी देखें, जहां कीमत को आकस्मिक घटना के रूप में माना जाता है, जो विभिन्न बाजार सहभागियों या एजेंटों की बातचीत से उत्पन्न होती है।)

इस प्रकार के सूत्र के उपयोगकर्ताओं की मूल्यांकन संस्कृतियाँ बनाने के लिए आलोचना की गई है जो सरल संस्करणों को उस उद्देश्य के लिए अपर्याप्त मानने के अतिरिक्त सरल कोपुलो का उपयोग करना जारी रखते हैं।^[26]^[27] इस प्रकार, पहले, बड़े आयामों के लिए स्केलेबल कोपुला मॉडल केवल अण्डाकार निर्भरता संरचनाओं (अर्थात, गॉसियन और स्टूडेंट-टी कोपुलस) के मॉडलिंग की अनुमति देते थे जो सहसंबंध विषमताओं की अनुमति नहीं देते थे जहां सहसंबंध ऊपर या नीचे के शासन पर भिन्न होते हैं। यद्यपि, बेल कोपुला का विकास^[28] (जोड़ी कोपुलस के रूप में भी जाना जाता है) बड़े आयामों के पोर्टफोलियो के लिए निर्भरता संरचना के लचीले मॉडलिंग को सक्षम बनाता है।^[29] क्लेटन कैनोनिकल वाइन कोपुला अत्यधिक नकारात्मक घटनाओं की घटना की अनुमति देता है और इसे पोर्टफोलियो अनुकूलन और जोखिम प्रबंधन अनुप्रयोगों में सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है। मॉडल अत्यधिक नकारात्मक सहसंबंधों के प्रभाव को कम करने में सक्षम है और गॉसियन और स्टूडेंट-टी कोपुला जैसे स्केलेबल अण्डाकार निर्भरता कोपुला की तुलना में श्रेष्ठ सांख्यिकीय और आर्थिक प्रदर्शन उत्पन्न करता है।^[30]

जोखिम प्रबंधन अनुप्रयोगों के लिए विकसित किए गए अन्य मॉडल पैनिक कोपुलस हैं जो पोर्टफोलियो लाभ और हानि वितरण पर वित्तीय घबराहट के प्रभावों का विश्लेषण करने के लिए सीमांत वितरण के बाजार अनुमानों से जुड़े होते हैं। वित्त में मोंटे कार्लो पद्धतियों द्वारा पैनिक कोपुला का निर्माण किया जाता है, जिसमें प्रत्येक परिदृश्य की संभावना को फिर से सम्मिलित किया जाता है।^[31]

जहां तक डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण का संबंध है, तथा वित्तीय जोखिम मॉडलिंग और बीमांकिक विश्लेषण के अनुप्रयोगों में कॉपुला फलन के साथ निर्भरता मॉडलिंग का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है - उदाहरण के लिए संपार्श्विक ऋण दायित्वों (सीडीओ) के मूल्य निर्धारण में।^[32] कुछ लोगों का मानना है कि क्रेडिट व्युत्पन्न में गॉसियन कोपुला को प्रयुक्त करने की पद्धति 2008-2009 के वैश्विक वित्तीय संकट के कारणों में से है;^[33]^[34]^[35] यह देखना डेविड एक्स. ली § सीडीओ और गॉसियन कोपुला का कार्य है ।

इस धारणा के अतिरिक्त, गॉसियन कोपुला और कोपुला कार्यों की सीमाओं को संबोधित करने के लिए तथा विशेष रूप से निर्भरता गतिशीलता की कमी को संबोधित करने के लिए और वित्तीय उद्योग के भीतर संकट से पहले होने वाले प्रलेखित प्रयास हैं। गाऊसी कोपुला की कम है क्योंकि यह केवल अण्डाकार निर्भरता संरचना की अनुमति देता है, क्योंकि निर्भरता केवल विचरण-सहप्रसरण आव्युह का उपयोग करके तैयार की जाती है।^[30] यह कार्यप्रणाली इतनी सीमित है कि यह निर्भरता को विकसित होने की अनुमति नहीं देती है क्योंकि वित्तीय बाजार असममित निर्भरता प्रदर्शित करते हैं, जिससे तेजी की तुलना में मंदी के समयपरिसंपत्तियों में सहसंबंध अधिक बढ़ जाते हैं। इसलिए, गॉसियन कोपुला का उपयोग करके मॉडलिंग दृष्टिकोण चरम मूल्य सिद्धांत का खराब प्रतिनिधित्व प्रदर्शित करते हैं।^[30]^[36] कुछ कोपुला सीमाओं को सुधारने वाले मॉडल प्रस्तावित करने का प्रयास किया गया है।^[36]^[37]^[38]

सीडीओ के अतिरिक्त, कोपुलस को बहु-परिसंपत्ति व्युत्पन्न उत्पादों के विश्लेषण में लचीले उपकरण के रूप में अन्य परिसंपत्ति वर्गों पर प्रयुक्त किया गया है। क्रेडिट के बाहर इस तरह का पहला अनुप्रयोग टोकरी विकल्प निहित अस्थिरता सतह के निर्माण के लिए कोपुला का उपयोग करना था,^[39] टोकरी घटकों की अस्थिरता मुस्कान को ध्यान में रखते हुए । तब से कोपुलस ने मूल्य निर्धारण और जोखिम प्रबंधन में लोकप्रियता प्राप्त की है^[40] इक्विटी व्युत्पन्न |इक्विटी-, विदेशी मुद्रा डेरिवेटिव|विदेशी मुद्रा- और ब्याज दर डेरिवेटिव में अस्थिरता मुस्कान की उपस्थिति में बहु-परिसंपत्तियों पर विकल्प।

सिविल इंजीनियरिंग

जब हाल ही में, राजमार्ग पुलों की विश्वसनीयता (सांख्यिकी) विश्लेषण के लिए डेटाबेस फॉर्मूलेशन और सिविल इंजीनियरिंग में विभिन्न बहुभिन्नरूपी सिमुलेशन अध्ययनों के लिए कोपुला फलन को सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है।^[41] पवन और भूकंप इंजीनियरिंग की विश्वसनीयता,^[42] और मैकेनिकल एवं ऑफशोर इंजीनियरिंग।^[43] शोधकर्ता व्यक्तिगत ड्राइवरों के व्यवहार के मध्य की बातचीत को समझने के लिए परिवहन के क्षेत्र में भी इन कार्यों की कोशिश कर रहे हैं, जो कुल मिलाकर यातायात प्रवाह को आकार देता है।

विश्वसनीयता इंजीनियरिंग

प्रतिस्पर्धात्मक विफलता मोड के साथ मशीन घटकों की सम्मिश्र प्रणालियों के विश्वसनीयता (सांख्यिकी) विश्लेषण के लिए कोपुला का उपयोग किया जा रहा है।^[44]

गारंटी डेटा विश्लेषण

वारंटी डेटा विश्लेषण के लिए कोपुला का उपयोग किया जा रहा है जिसमें टेल निर्भरता का विश्लेषण किया जाता है।^[45]

अशांत दहन

कोपुलस का उपयोग अशांत आंशिक रूप से प्रीमिक्स्ड दहन के मॉडलिंग में किया जाता है, जो व्यावहारिक दहनकर्ताओं में सामान्य है।^[46]^[47]

चिकित्सा

चिकित्सा के क्षेत्र में कोपुले के अनेक अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए,

कोपुले का उपयोग चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग (एमआरआई) के क्षेत्र में किया गया है, उदाहरण के लिए, छवि विभाजन के लिए,^[48] प्रकार का मानसिक विकार पर अध्ययन में इमेजिंग आनुवंशिकी में चित्रमय मॉडल की रिक्ति को भरने के लिए,^[49] और सामान्य और अल्जाइमर रोग के रोगियों के मध्य अंतर करना।^[50]
कोपुले ईईजी संकेतों के आधार पर मस्तिष्क अनुसंधान के क्षेत्र में रहा है, उदाहरण के लिए, दिन की झपकी के समय उनींदापन का पता लगाने के लिए,^[51] तात्कालिक समतुल्य बैंडविड्थ (AWs) में परिवर्तन को ट्रैक करने के लिए,^[52] अल्जाइमर रोग के शीघ्र निदान के लिए समकालिकता प्राप्त करना,^[53] ईईजी चैनलों के मध्य दोलन गतिविधि में निर्भरता को चिह्नित करने के लिए,^[54] और उनके समय-भिन्न लिफाफों का उपयोग करके ईईजी चैनलों के जोड़े के मध्य निर्भरता को पकड़ने के तरीकों का उपयोग करने की विश्वसनीयता का आकलन करना है।^[55] न्यूरोनल निर्भरता के विश्लेषण के लिए कोपुला फलन को सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है^[56] और तंत्रिका विज्ञान में स्पाइक गिनती।^[57]
कैंसर विज्ञान के क्षेत्र में कोपुला मॉडल विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, विशिष्ट फेनोटाइप और अनेक आणविक विशेषताओं (जैसे उत्परिवर्तन और जीन अभिव्यक्ति परिवर्तन) के मध्य बातचीत की पहचान करने के लिए सेलुलर नेटवर्क के पुनर्निर्माण के लिए जीनोटाइप, फेनोटाइप और मार्गों को संयुक्त रूप से मॉडल करना। बाओ एट अल.^[58] आणविक विशेषताओं के अनेक उपसमूहों की पहचान करने के लिए NCI60 कैंसर सेल लाइन डेटा का उपयोग किया गया है जो संयुक्त रूप से नैदानिक फेनोटाइप के भविष्यवक्ताओं के रूप में फलन करते हैं। इस प्रकार प्रस्तावित कोपुला का कैंसर के इलाज से लेकर बीमारी की रोकथाम तक, जैव चिकित्सा अनुसंधान पर प्रभाव पड़ सकता है। कोपुला का उपयोग कोलोनोस्कोपी छवियों से कोलोरेक्टल घावों के हिस्टोलॉजिकल निदान की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जाता है,^[59] और कैंसर के उप प्रकारों को वर्गीकृत करना है ।^[60]
हृदय और हृदय रोग के क्षेत्र में कोपुला-आधारित विश्लेषण मॉडल विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, हृदय गति (एचआर) भिन्नता की भविष्यवाणी करने के लिए। हृदय गति (एचआर) व्यायाम की तीव्रता और भार की डिग्री की निगरानी के लिए सबसे महत्वपूर्ण स्वास्थ्य संकेतकों में से है क्योंकि यह हृदय गति से निकटता से संबंधित है। इसलिए, स्पष्ट अल्पकालिक एचआर भविष्यवाणी विधि मानव स्वास्थ्य के लिए कुशल प्रारंभिक चेतावनी दे सकती है और हानिकारक घटनाओं को कम कर सकती है। नमाजी (2022)^[61] एचआर की भविष्यवाणी करने के लिए उपन्यास हाइब्रिड एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है ।

जियोडेसी

एसएसए और कोपुला-आधारित तरीकों का संयोजन पहली बार ईओपी भविष्यवाणी के लिए उपन्यास स्टोकेस्टिक उपकरण के रूप में प्रयुक्त किया गया है।^[62]^[63]

जलविज्ञान अनुसंधान

कोपुलस का उपयोग जलवायु डेटा के सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों विश्लेषणों में किया गया है। उदाहरण के लिए, दुनिया के विभिन्न हिस्सों में तापमान और वर्षा की निर्भरता संरचनाओं की श्रेष्ठ समझ प्राप्त करने के लिए सैद्धांतिक अध्ययनों ने कोप्युला-आधारित पद्धति को अपनाया जाता है ।^[64]^[65]^[66] इस प्रकार व्यावहारिक अध्ययनों ने उदाहरण के लिए, कृषि सूखे की जांच के लिए कोपुला-आधारित पद्धति को अपनाया गया है ^[67] तथा वनस्पति विकास पर तापमान और वर्षा की चरम सीमा का संयुक्त प्रभाव दर्शाया जाता है ।^[68]

जलवायु और मौसम अनुसंधान

जलवायु और मौसम संबंधी अनुसंधान में कोपुला का बड़े पैमाने पर उपयोग किया गया है।^[69]^[70]

सौर विकिरण परिवर्तनशीलता

स्थानिक नेटवर्क में और एकल स्थानों के लिए अस्थायी रूप से सौर विकिरण परिवर्तन शीलता का अनुमान लगाने के लिए कोपुला का उपयोग किया गया है।^[71]^[72]

यादृच्छिक सदिश पीढ़ी

छोटे डेटासेट की संपूर्ण निर्भरता संरचना को संरक्षित करते हुए अनुभवजन्य कोपुला का उपयोग करके वैक्टर और स्थिर समय श्रृंखला के बड़े सिंथेटिक निशान उत्पन्न किए जा सकते हैं।^[73]^[74]^[75]^[76]

विद्युत मोटरों की रैंकिंग

इलेक्ट्रॉनिक रूप से कम्यूटेटेड मोटरों के निर्माण में गुणवत्ता रैंकिंग के लिए कोपुलस का उपयोग किया गया है।^[77]

संकेत आगे बढ़ाना

कोपुला महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे सीमांत वितरण का उपयोग किए बिना निर्भरता संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं। जिस प्रकार वित्त के क्षेत्र में कोपुला का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, किन्तु सिग्नल प्रोसेसिंग में उनका उपयोग अपेक्षाकृत नया है। राडार संकेतों को वर्गीकृत करने, रिमोट सेंसिंग अनुप्रयोगों में परिवर्तन का पता लगाने और चिकित्सा में ईईजी सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए तार रहित संचार के क्षेत्र में कोपुलस को नियोजित किया गया है। इस खंड में, कोपुला घनत्व फलन प्राप्त करने के लिए संक्षिप्त गणितीय व्युत्पत्ति होती है, उसके पश्चात् प्रासंगिक सिग्नल प्रोसेसिंग अनुप्रयोगों के साथ कोपुला घनत्व कार्यों की सूची प्रदान करने वाली तालिका प्रस्तुत की गई है।

खगोल विज्ञान

सक्रिय गैलेक्टिक नाभिक (एजीएन) के मुख्य रेडियो चमक फलन को निर्धारित करने के लिए कोपुलस का उपयोग किया गया है,^[78] जबकि नमूना पूर्णता में कठिनाइयों के कारण पारंपरिक तरीकों का उपयोग करके इसे साकार नहीं किया जा सकता है।

कॉपुला घनत्व फलन की गणितीय व्युत्पत्ति

किन्हीं दो यादृच्छिक वेरिएबल X और Y के लिए, सतत संयुक्त संभाव्यता वितरण फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है

F_{XY}(x,y)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x},Y\leq {y}\end{Bmatrix}},

जहाँ ${\textstyle F_{X}(x)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x}\end{Bmatrix}}}$ और ${\textstyle F_{Y}(y)=\Pr {\begin{Bmatrix}Y\leq {y}\end{Bmatrix}}}$ क्रमशः यादृच्छिक वेरिएबल X और Y के सीमांत संचयी वितरण फलन हैं।

फिर कोपुला वितरण फलन $C(u,v)$ अदिश के प्रमेय का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है^[79]^[80] जैसा:

$F_{XY}(x,y)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))\triangleq C(u,v)$ ,

जहाँ $u=F_{X}(x)$ और $v=F_{Y}(y)$ सीमांत वितरण फलन हैं, $F_{XY}(x,y)$ संयुक्त और $u,v\in (0,1)$ .

यह मानते हुए $F_{XY}(\cdot ,\cdot )$ A .E . है दो बार भिन्न करने योग्य , जिसे हम संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) और संयुक्त संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) और इसके आंशिक डेरिवेटिव के मध्य संबंध का उपयोग करके प्रारंभिक करते हैं।

{\begin{alignedat}{6}f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}F_{XY}(x,y) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(F_{X}(x),F_{Y}(y)) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(u,v) \over \partial u\,\partial v}\cdot {\partial F_{X}(x) \over \partial x}\cdot {\partial F_{Y}(y) \over \partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&c(u,v)f_{X}(x)f_{Y}(y)\\\vdots \\{\frac {f_{XY}(x,y)}{f_{X}(x)f_{Y}(y)}}={}&c(u,v)\end{alignedat}}

जहाँ $c(u,v)$ को पुला घनत्व फलन है, $f_{X}(x)$ और $f_{Y}(y)$ क्रमशः X और Y के सीमांत संभाव्यता घनत्व फलन हैं। यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस समीकरण में चार तत्व हैं, और यदि कोई तीन तत्व ज्ञात हैं, तब चौथे तत्व की गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग किया जा सकता है,

जब दो यादृच्छिक वेरिएबल के मध्य संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन ज्ञात होता है, कोपुला घनत्व फलन ज्ञात होता है, और दो सीमांत कार्यों में से ज्ञात होता है, तब, अन्य सीमांत फलन की गणना की जा सकती है, या
जब दो सीमांत फलन और कोपुला घनत्व फलन पर ज्ञात हो, तब दो यादृच्छिक चरों के मध्य संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन की गणना की जा सकती है, या
जब दो सीमांत फलन और दो यादृच्छिक चरों के मध्य संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन ज्ञात हो, तब कोपुला घनत्व फलन की गणना की जा सकती है।

कॉपुला घनत्व कार्यों और अनुप्रयोगों की सूची

सिग्नल प्रोसेसिंग के क्षेत्र में विभिन्न द्विचर कोपुला घनत्व फलन महत्वपूर्ण हैं। $u=F_{X}(x)$ और $v=F_{Y}(y)$ सीमांत वितरण फलन हैं और $f_{X}(x)$ और $f_{Y}(y)$ सीमांत घनत्व फलन हैं। सांख्यिकीय सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए कोपुला के विस्तार और सामान्यीकरण को घातीय, वेइबुल और रिशियन वितरण के लिए नए द्विचर कोपुला का निर्माण करते हुए दिखाया गया है।^[81] ज़ेंग एट अल.^[82] सिग्नल प्रोसेसिंग में इन कोपुला के एल्गोरिदम, सिमुलेशन, इष्टतम चयन और व्यावहारिक अनुप्रयोग प्रस्तुत किए गए।

	Copula density: c(u, v)	Use
गॉसियन	${\begin{aligned}={}&{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}\exp \left(-{\frac {(a^{2}+b^{2})\rho ^{2}-2ab\rho }{2(1-\rho ^{2})}}\right)\\&{\text{where }}\rho \in (-1,1)\\&{\text{where }}a={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}({2u-1})\\&{\text{where }}b={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}({2v-1})\\&{\text{where }}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{z}\exp(-t^{2})\,dt\end{aligned}}$	सिंथेटिक एपर्चर रडार (एसएआर) छवियों का पर्यवेक्षित वर्गीकरण,^[83] बायोमेट्रिक प्रमाणीकरण को मान्य करना,^[84] पवन ऊर्जा के बड़े पैमाने पर एकीकरण में स्टोकेस्टिक निर्भरता का मॉडलिंग, रडार संकेतों का अपर्यवेक्षित वर्गीकरण^[85]
घातांकीय	${\begin{aligned}={}&{\frac {1}{1-\rho }}\exp \left({\frac {\rho (\ln(1-u)+\ln(1-v))}{1-\rho }}\right)\cdot I_{0}\left({\frac {2{\sqrt {\rho \ln(1-u)\ln(1-v)}}}{1-\rho }}\right)\\&{\text{where }}x=F_{X}^{-1}(u)=-\ln(1-u)/\lambda \\&{\text{where }}y=F_{Y}^{-1}(v)=-\ln(1-v)/\mu \end{aligned}}$	अनंत संख्या में सर्वरों के साथ कतारबद्ध प्रणाली^[86]
रेले	bivariate exponential, Rayleigh, and Weibull copulas have been proved to be equivalent^[87]^[88]^[89]	एसएआर छवियों से परिवर्तन का पता लगाना^[90]
वेइबुल	bivariate exponential, Rayleigh, and Weibull copulas have been proved to be equivalent^[87]^[88]^[89]	लुप्त होते चैनलों पर डिजिटल संचार^[91]
लॉग-सामान्य	bivariate log-normal copula and Gaussian copula are equivalent^[89]^[88]	वायरलेस चैनल में मल्टीपाथ प्रभाव के साथ-साथ छाया लुप्त होती जा रही है^[92]^[93]
फ़ार्ली-गुम्बेल-मॉर्गनस्टर्न (FGM)	${\begin{aligned}={}&1+\theta (1-2u)(1-2v)\\&{\text{where }}\theta \in [-1,1]\end{aligned}}$	ज्ञान-आधारित प्रणालियों में अनिश्चितता की सूचना प्रसंस्करण
क्लेटन	${\begin{aligned}={}&(1+\theta )(uv)^{(-1-\theta )}(-1+u^{-\theta }+v^{-\theta })^{(-2-1/\theta )}\\&{\text{where }}\theta \in (-1,\infty ),\theta \neq 0\end{aligned}}$	विषम डेटा का उपयोग करके यादृच्छिक सिग्नल स्रोत और परिकल्पना परीक्षण का स्थान अनुमान^[94]
स्पष्टवादी	${\begin{aligned}={}&{\frac {-\theta e^{-\theta (u+v)}(e^{-\theta }-1)}{(e^{-\theta }-e^{-\theta u}-e^{-\theta v}+e^{-\theta (u+v)})^{2}}}\\&{\text{where }}\theta \in (-\infty ,+\infty ),\theta \neq 0\end{aligned}}$	भू-खतरों का मात्रात्मक जोखिम मूल्यांकन^[95]
विद्यार्थी का टी	$\begin{aligned} = & \frac{Γ (0.5 v) Γ (0.5 v + 1) {(1 + (t_{v}^{- 2} (u) + t_{v}^{- 2} (v) - 2 ρ t_{v}^{- 1} (u) t_{v}^{- 1} (v)) / (v (1 - ρ^{2})))}^{- 0.5 (v + 2)})}{\sqrt{1 - ρ^{2}} \cdot Γ {(0.5 (v + 1))}^{2} {(1 + t_{v}^{- 2} (u) / v)}^{- 0.5 (v + 1)} {(1 + t_{v}^{- 2} (v) / v)}^{- 0.5 (v + 1)}} \\ where ρ \in (- 1, 1) \\ where ϕ (z) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{z} \exp (\frac{- t^{2}}{2}) d t \\ where t_{v} (x ∣ v) = \int_{- \infty}^{x} Γ (0.5 (v \end{aligned}$	पर्यवेक्षित एसएआर छवि वर्गीकरण, सहसंबद्ध सेंसर निर्णयों का संलयन^[96]
नाकागामी-एम
रिशियन

यह भी देखें

युग्मन (संभावना)

संदर्भ

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A book covering current topics in mathematical research on copulas:

Piotr Jaworski, Fabrizio Durante, Wolfgang Karl Härdle, Tomasz Rychlik (Editors): (2010): "Copula Theory and Its Applications" Lecture Notes in Statistics, Springer. ISBN 978-3-642-12464-8

A reference for sampling applications and stochastic models related to copulas is

Jan-Frederik Mai, Matthias Scherer (2012): Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications). World Scientific. ISBN 978-1-84816-874-9

A paper covering the historic development of copula theory, by the person associated with the "invention" of copulas, Abe Sklar.

Abe Sklar (1997): "Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward" in Rüschendorf, L., Schweizer, B. und Taylor, M. (eds) Distributions With Fixed Marginals & Related Topics (Lecture Notes – Monograph Series Number 28). ISBN 978-0-940600-40-9

The standard reference for multivariate models and copula theory in the context of financial and insurance models

Alexander J. McNeil, Rudiger Frey and Paul Embrechts (2005) "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools", Princeton Series in Finance. ISBN 978-0-691-12255-7

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-{{Short description|Statistical distribution for dependence between random variables}}
+{{Short description|Statistical distribution for dependence between random variables}}संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में है, जो '''कोपुला''' बहुभिन्नरूपी संचयी वितरण फलन है जिसके लिए प्रत्येक वेरिएबल का सीमांत संभाव्यता वितरण अंतराल पर [[समान वितरण (निरंतर)]] होता है [0,1]। इस प्रकार कोपुलस का उपयोग यादृच्छिक वेरिएबल के मध्य से [[आश्रित और स्वतंत्र चर|आश्रित और स्वतंत्र]] वेरिएबल (अंतर-सहसंबंध) का वर्णन/मॉडल करने के लिए किया जाता है।<ref>Thorsten Schmidt (2006)  "Coping with Copulas", https://web.archive.org/web/20100705040514/http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/fima/publikationen/TSchmidt_Copulas.pdf</ref> उनका नाम, व्यावहारिक गणितज्ञ [[अबे स्क्लर]] द्वारा 1959 में प्रस्तुतकिया गया था, जो लिंक या टाई के लिए लैटिन से आया है, जो भाषा विज्ञान में व्याकरणिक [[कोपुला (भाषाविज्ञान)]] के समान किन्तु असंबंधित है। तथा टेल जोखिम को मॉडल करने और कम करने के लिए [[मात्रात्मक वित्त]] में कोपुला का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है<ref name="Banking 2013">{{cite journal|last1=Low|first1=R.K.Y.|last2=Alcock|first2=J.|last3=Faff|first3=R.|last4=Brailsford|first4=T.|title=Canonical vine copulas in the context of modern portfolio management: Are they worth it?|journal=Journal of Banking & Finance|date=2013|volume=37|issue=8|pages=3085–3099|doi= 10.1016/j.jbankfin.2013.02.036|s2cid=154138333}}</ref> और पोर्टफोलियो अनुकूलन पोर्टफोलियो-अनुकूलन अनुप्रयोग किया गया है ।<ref name="sciencedirect.com">{{cite journal|last1=Low|first1=R.K.Y.|last2=Faff|first2=R.|last3=Aas|first3=K.|title=Enhancing mean–variance portfolio selection by modeling distributional asymmetries|journal=Journal of Economics and Business|volume=85|pages=49–72|date=2016|doi=10.1016/j.jeconbus.2016.01.003|url=http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:377912/UQ377912_OA.pdf}}</ref>
-{{About|सिद्धांत संभावना|अन्य उपयोग|कोपुला (बहुविकल्पी)}}
-संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, कोपुला बहुभिन्नरूपी संचयी वितरण फ़ंक्शन है जिसके लिए प्रत्येक चर का [[सीमांत संभाव्यता]] वितरण अंतराल पर [[समान वितरण (निरंतर)]] होता है [0,1]। कोपुलस का उपयोग यादृच्छिक चर के बीच [[आश्रित और स्वतंत्र चर]] (अंतर-सहसंबंध) का वर्णन/मॉडल करने के लिए किया जाता है।<ref>Thorsten Schmidt (2006)  "Coping with Copulas", https://web.archive.org/web/20100705040514/http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/fima/publikationen/TSchmidt_Copulas.pdf</ref> उनका नाम, व्यावहारिक गणितज्ञ [[अबे स्क्लर]] द्वारा 1959 में पेश किया गया था, जो लिंक या टाई के लिए लैटिन से आया है, जो भाषाविज्ञान में व्याकरणिक [[कोपुला (भाषाविज्ञान)]] के समान लेकिन असंबंधित है। टेल जोखिम को मॉडल करने और कम करने के लिए [[मात्रात्मक वित्त]] में कोपुला का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है<ref name="Banking 2013">{{cite journal|last1=Low|first1=R.K.Y.|last2=Alcock|first2=J.|last3=Faff|first3=R.|last4=Brailsford|first4=T.|title=Canonical vine copulas in the context of modern portfolio management: Are they worth it?|journal=Journal of Banking & Finance|date=2013|volume=37|issue=8|pages=3085–3099|doi= 10.1016/j.jbankfin.2013.02.036|s2cid=154138333}}</ref> और [[पोर्टफोलियो अनुकूलन]]|पोर्टफोलियो-अनुकूलन अनुप्रयोग।<ref name="sciencedirect.com">{{cite journal|last1=Low|first1=R.K.Y.|last2=Faff|first2=R.|last3=Aas|first3=K.|title=Enhancing mean–variance portfolio selection by modeling distributional asymmetries|journal=Journal of Economics and Business|volume=85|pages=49–72|date=2016|doi=10.1016/j.jeconbus.2016.01.003|url=http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:377912/UQ377912_OA.pdf}}</ref>
+अदिश के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी बहुभिन्नरूपी संचयी वितरण फलन या बहुभिन्नरूपी स्थितियोंको अविभाज्य [[सीमांत वितरण]] कार्यों और कोप्युला के संदर्भ में लिखा जा सकता है जो वेरिएबल के मध्य निर्भरता संरचना का वर्णन करता है।
-स्केलर के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी बहुभिन्नरूपी संचयी वितरण फ़ंक्शन#बहुभिन्नरूपी मामले को अविभाज्य [[सीमांत वितरण]] कार्यों और कोप्युला के संदर्भ में लिखा जा सकता है जो चर के बीच निर्भरता संरचना का वर्णन करता है।
-कोपुला उच्च-आयामी सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में लोकप्रिय हैं क्योंकि वे किसी को आसानी से सीमांत और कोपुला का अलग-अलग अनुमान लगाकर यादृच्छिक वैक्टर के वितरण का मॉडल और अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं। ऐसे कई पैरामीट्रिक कोपुला परिवार उपलब्ध हैं, जिनमें आमतौर पर ऐसे पैरामीटर होते हैं जो निर्भरता की ताकत को नियंत्रित करते हैं। कुछ लोकप्रिय पैरामीट्रिक कॉपुला मॉडल नीचे उल्लिखित हैं।
+कोपुला उच्च-आयामी सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में लोकप्रिय हैं क्योंकि वे किसी को आसानी से सीमांत और कोपुला का अलग-अलग अनुमान लगाकर यादृच्छिक वैक्टर के वितरण का मॉडल और अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं। ऐसे अनेक पैरामीट्रिक कोपुला समूह उपलब्ध हैं, जिनमें सामान्यतः ऐसे पैरामीटर होते हैं जो निर्भरता की ताकत को नियंत्रित करते हैं। और कुछ लोकप्रिय पैरामीट्रिक कॉपुला मॉडल नीचे उल्लिखित हैं।
 द्वि-आयामी कोपुला को गणित के कुछ अन्य क्षेत्रों में पर्मुटन और डबल-स्टोकेस्टिक माप के नाम से जाना जाता है।
 ==गणितीय परिभाषा==
-एक यादृच्छिक वेक्टर पर विचार करें <math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math>. मान लीजिए कि इसके सीमांत निरंतर हैं, यानी सीमांत संचयी वितरण फ़ंक्शन <math>F_i(x) = \Pr[X_i\leq x] </math> [[सतत कार्य]] हैं. प्रत्येक घटक के लिए [[संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन]] को लागू करके, यादृच्छिक वेक्टर
+एक यादृच्छिक सदिश पर विचार करें <math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math>. मान लीजिए कि इसके सीमांत निरंतर हैं, अर्थात सीमांत संचयी वितरण फलन <math>F_i(x) = \Pr[X_i\leq x] </math> [[सतत कार्य|सतत फलन]] हैं. प्रत्येक घटक के लिए [[संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन]] को प्रयुक्त करके, यह यादृच्छिक सदिश हैं
-:<math>(U_1,U_2,\dots,U_d)=\left(F_1(X_1),F_2(X_2),\dots,F_d(X_d)\right)</math>
+:<math>(U_1,U_2,\dots,U_d)=\left(F_1(X_1),F_2(X_2),\dots,F_d(X_d)\right)                                                                                                         </math>
-इसमें सीमांत हैं जो अंतराल पर समान वितरण (निरंतर) हैं [0, 1]।
+इसमें सीमांत हैं जो अंतराल [0, 1] का उपयोग करके इस पर समान वितरण (निरंतर) हैं
+<math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math> को संचयी वितरण फलन या बहुभिन्नरूपी स्थितियों के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(U_1,U_2,\dots,U_d)</math>:
-का युग्म <math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math> को संचयी वितरण फ़ंक्शन#बहुभिन्नरूपी मामले के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(U_1,U_2,\dots,U_d)</math>:
 :<math>C(u_1,u_2,\dots,u_d)=\Pr[U_1\leq u_1,U_2\leq u_2,\dots,U_d\leq u_d].</math>
-कोपुला सी में घटकों के बीच निर्भरता संरचना पर सभी जानकारी शामिल है <math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math> जबकि सीमांत संचयी वितरण कार्य करता है <math>F_i</math> के सीमांत वितरण पर सभी जानकारी शामिल है <math>X_i</math>.
+कोपुला ''C'' में <math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math> घटकों के मध्य निर्भरता संरचना पर सभी जानकारी सम्मिलित है जबकि सीमांत संचयी वितरण फलन <math>F_i</math> में <math>X_i</math> के सीमांत वितरण पर सभी जानकारी सम्मिलित करता है
-इन चरणों के विपरीत का उपयोग [[बहुभिन्नरूपी संभाव्यता वितरण]] के सामान्य वर्गों से [[छद्म-यादृच्छिक]] नमूने उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। यानी सैंपल तैयार करने की प्रक्रिया दी गई है <math>(U_1,U_2,\dots,U_d)</math> कोपुला फ़ंक्शन से, आवश्यक नमूने का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है
+इन चरणों के विपरीत का उपयोग [[बहुभिन्नरूपी संभाव्यता वितरण]] के सामान्य वर्गों से [[छद्म-यादृच्छिक]] नमूने उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। अर्थात सैंपल<math>(U_1,U_2,\dots,U_d)</math> तैयार करने की प्रक्रिया दी गई है कोपुला फलन से, आवश्यक नमूने का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है
 :<math>(X_1,X_2,\dots,X_d) = \left(F_1^{-1}(U_1),F_2^{-1}(U_2),\dots,F_d^{-1}(U_d)\right).</math>
-उलटा <math>F_i^{-1}</math> [[लगभग निश्चित रूप से]] समस्यारहित हैं, क्योंकि <math>F_i</math> निरंतर माना जाता था। इसके अलावा, कोपुला फ़ंक्शन के लिए उपरोक्त सूत्र को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
+व्युत्क्रम <math>F_i^{-1}</math> [[लगभग निश्चित रूप से]] समस्यारहित हैं, क्योंकि <math>F_i</math> निरंतर माना जाता था। इसके अतिरिक्त, कोपुला फलन के लिए उपरोक्त सूत्र को इस प्रकार इसे फिर से लिखा जा सकता है:
 :<math>C(u_1,u_2,\dots,u_d)=\Pr[X_1\leq F_1^{-1}(u_1),X_2\leq F_2^{-1}(u_2),\dots,X_d\leq F_d^{-1}(u_d)] .</math>
+==परिभाषा==
+संभाव्यता इस सिद्धांत के संदर्भ में, <math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1]</math> D -आयामी 'कॉपुला' है यदि C [[ इकाई घन |इकाई घन]] पर D -आयामी यादृच्छिक सदिश का संयुक्त संचयी वितरण फलन है समान <math>[0,1]^d</math> सीमांत वितरण के साथ उपयोग किया जाता है ।<ref name="nelsen">{{Citation |first=Roger B. |last=Nelsen |year=1999 |title=An Introduction to Copulas |location=New York |publisher=Springer |isbn=978-0-387-98623-4 }}</ref>
-==परिभाषा==
+बहुपरिवर्तनीय कलन शब्दों में, <math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1]</math> यदि D-आयामी 'कॉपुला' है
+:* <math>C(u_1,\dots,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots,u_d)=0 </math>, यदि कोई तर्क शून्य है, तब युग्मक भी शून्य होगा ,
-संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में, <math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1]</math> डी-आयामी 'कॉपुला' है यदि सी [[ इकाई घन |इकाई घन]] पर डी-आयामी यादृच्छिक वेक्टर का संयुक्त संचयी वितरण फ़ंक्शन है <math>[0,1]^d</math> समान वितरण (निरंतर) सीमांत वितरण के साथ।<ref name="nelsen">{{Citation |first=Roger B. |last=Nelsen |year=1999 |title=An Introduction to Copulas |location=New York |publisher=Springer |isbn=978-0-387-98623-4 }}</ref>
+:*  <math>C(1,\dots,1,u,1,\dots,1)=u </math>, यदि तर्क u और अन्य सभी 1 हैं, तब युग्मक u के सामान्तर ही है,
-बहुपरिवर्तनीय कलन शब्दों में, <math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1]</math> यदि डी-आयामी 'कॉपुला' है
+:* C, d- नॉन- घटने वाला है, अर्थात, प्रत्येक हाइपर आयत के लिए <math>B=\prod_{i=1}^{d}[x_i,y_i]\subseteq [0,1]^d </math> B का C-आयतन गैर-नकारात्मक रूप से उपयोग होता है:
-:* <math>C(u_1,\dots,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots,u_d)=0 </math>, यदि कोई तर्क शून्य है, तो युग्मक शून्य है,
+:*:<math> \int_B \mathrm{d} C(u) =\sum_{\mathbf z\in \prod_{i=1}^{d}\{x_i,y_i\}} (-1)^{N(\mathbf z)} C(\mathbf z)\ge 0,
-:*  <math>C(1,\dots,1,u,1,\dots,1)=u </math>, यदि तर्क u और अन्य सभी 1 हैं, तो युग्मक u के बराबर है,
+                                                                                                            </math>
-:* C, d-नॉन-घटने वाला है, अर्थात, प्रत्येक हाइपरआयत के लिए <math>B=\prod_{i=1}^{d}[x_i,y_i]\subseteq [0,1]^d </math> B का C-आयतन गैर-नकारात्मक है:
-:*:<math> \int_B \mathrm{d} C(u) =\sum_{\mathbf z\in \prod_{i=1}^{d}\{x_i,y_i\}} (-1)^{N(\mathbf z)} C(\mathbf z)\ge 0,</math>
 ::जहां <math>N(\mathbf z)=\#\{k : z_k=x_k\}</math>.
-उदाहरण के लिए, द्विचर मामले में, <math>C:[0,1] \times[0,1]\rightarrow [0,1]</math> यदि द्विचर युग्म है <math>C(0,u) = C(u,0) = 0 </math>, <math>C(1,u) = C(u,1) = u </math> और <math>C(u_2,v_2)-C(u_2,v_1)-C(u_1,v_2)+C(u_1,v_1) \geq 0 </math> सभी के लिए <math>0 \leq u_1 \leq u_2 \leq 1</math> और <math>0 \leq v_1 \leq v_2 \leq 1</math>.
+उदाहरण के लिए, द्विचर स्थितियों में, <math>C:[0,1] \times[0,1]\rightarrow [0,1]</math> यदि द्विचर युग्म है <math>C(0,u) = C(u,0) = 0 </math>, <math>C(1,u) = C(u,1) = u </math> और <math>C(u_2,v_2)-C(u_2,v_1)-C(u_1,v_2)+C(u_1,v_1) \geq 0 </math> सभी के लिए <math>0 \leq u_1 \leq u_2 \leq 1</math> और <math>0 \leq v_1 \leq v_2 \leq 1</math> उपयोग किया जाता है .
 ==स्क्लर का प्रमेय==
 [[File:Gaussian copula gaussian marginals.png|thumb|द्विचर गाऊसी वितरण का घनत्व और समोच्च कथानक]]
-[[File:Biv gumbel dist.png|thumb|गम्बेल कोपुला के साथ संयुक्त दो सामान्य सीमांतों का घनत्व और समोच्च प्लॉट]]स्केलर का प्रमेय, जिसका नाम अबे स्केलर के नाम पर रखा गया है, कोपुलस के अनुप्रयोग के लिए सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है।<ref name="Sklar 1959">{{citation | last=Sklar | first=A. | author-link = Abe Sklar | title=Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges | journal=Publ. Inst. Statist. Univ. Paris | year=1959 | volume=8 | pages=229–231 }}</ref><ref>{{citation |first1=Fabrizio |last1=Durante |first2=Juan |last2=Fernández-Sánchez |first3=Carlo |last3=Sempi |title=A Topological Proof of Sklar's Theorem |journal=Applied Mathematics Letters |volume=26 |issue=9 |year=2013 |pages=945–948 |doi=10.1016/j.aml.2013.04.005 |doi-access=free }}</ref> स्केलर का प्रमेय बताता है कि प्रत्येक संचयी वितरण फ़ंक्शन#बहुभिन्नरूपी मामला
+[[File:Biv gumbel dist.png|thumb|गम्बेल कोपुला के साथ संयुक्त दो सामान्य सीमांतों का घनत्व और समोच्च प्लॉट]]अदिश का प्रमेय, जिसका नाम अबे अदिश के नाम पर रखा गया है, कोपुलस के अनुप्रयोग के लिए सैद्धांतिक आधार प्रदान करता है।<ref name="Sklar 1959">{{citation | last=Sklar | first=A. | author-link = Abe Sklar | title=Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges | journal=Publ. Inst. Statist. Univ. Paris | year=1959 | volume=8 | pages=229–231 }}</ref><ref>{{citation |first1=Fabrizio |last1=Durante |first2=Juan |last2=Fernández-Sánchez |first3=Carlo |last3=Sempi |title=A Topological Proof of Sklar's Theorem |journal=Applied Mathematics Letters |volume=26 |issue=9 |year=2013 |pages=945–948 |doi=10.1016/j.aml.2013.04.005 |doi-access=free }}</ref> अदिश का प्रमेय बताता है कि प्रत्येक संचयी वितरण फलन या बहुभिन्नरूपी स्तिथि होती है
 :<math>H(x_1,\dots,x_d)=\Pr[X_1\leq x_1,\dots,X_d\leq x_d]</math>
-एक यादृच्छिक वेक्टर का <math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math> इसके सीमांतों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है <math>F_i(x_i) = \Pr[X_i\leq x_i] </math> और
+एक यादृच्छिक सदिश का <math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math> इसके सीमांतों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है <math>F_i(x_i) = \Pr[X_i\leq x_i] </math> और एक युग्म <math>C</math>. वास्तव में होता है |
-एक युग्म <math>C</math>. वास्तव में:
 :<math>H(x_1,\dots,x_d) = C\left(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d) \right). </math>
-यदि बहुभिन्नरूपी वितरण में घनत्व है <math>h</math>, और यदि यह घनत्व उपलब्ध है, तो यह उसे भी धारण करता है
+यदि बहुभिन्नरूपी वितरण में घनत्व <math>h</math> है , और यदि यह घनत्व उपलब्ध है, तब यह उसे भी धारण करता है
 :<math>h(x_1,\dots,x_d)= c(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))\cdot f_1(x_1)\cdot\dots\cdot f_d(x_d),</math>
-कहाँ <math>c</math> कोपुला का घनत्व है.
+जहाँ <math>c</math> कोपुला का घनत्व है.
-प्रमेय यह भी बताता है कि, दिया गया है <math>H</math>, कोपुला अद्वितीय है <math> \operatorname{Ran}(F_1)\times\cdots\times \operatorname{Ran}(F_d) </math>, जो सीमांत सीडीएफ के फ़ंक्शन की रेंज का कार्टेशियन उत्पाद है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि हाशिए पर है तो कोपुला अद्वितीय है <math>F_i</math> निरंतर हैं.
+प्रमेय यह भी बताता है कि, <math>H</math> दिया गया है , तथा कोपुला अद्वितीय है <math> \operatorname{Ran}(F_1)\times\cdots\times \operatorname{Ran}(F_d) </math>, जो सीमांत सीडीएफ के फलन की रेंज का कार्टेशियन उत्पाद है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि हाशिए पर है तब कोपुला अद्वितीय है <math>F_i</math> निरंतर हैं.
-इसका विपरीत भी सत्य है: युग्म दिया गया है <math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1] </math> और सीमांत <math>F_i(x)</math> तब <math>C\left(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d) \right)</math> सीमांत वितरण के साथ डी-आयामी संचयी वितरण फ़ंक्शन को परिभाषित करता है <math>F_i(x)</math>.
+इसका विपरीत भी सत्य है: <math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1] </math> और सीमांत <math>F_i(x)</math> युग्म दिया गया है तब <math>C\left(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d) \right)</math> सीमांत वितरण के साथ ''D'' -आयामी संचयी वितरण फलन को परिभाषित करता है <math>F_i(x)</math>.
 ==स्थिरता की स्थिति==
-कोपुलस मुख्य रूप से तब काम करते हैं जब समय श्रृंखला [[स्थिर प्रक्रिया]] होती है<ref>{{Cite journal|last1=Sadegh|first1=Mojtaba|last2=Ragno|first2=Elisa|last3=AghaKouchak|first3=Amir|date=2017|title=Multivariate Copula Analysis Toolbox (MvCAT): Describing dependence and underlying uncertainty using a Bayesian framework|journal=Water Resources Research|language=en|volume=53|issue=6|pages=5166–5183|doi=10.1002/2016WR020242|issn=1944-7973|bibcode=2017WRR....53.5166S|url=https://scholarworks.boisestate.edu/civileng_facpubs/92|doi-access=free}}</ref> और निरंतर.<ref>{{Cite journal|last1=AghaKouchak|first1=Amir|last2=Bárdossy|first2=András|last3=Habib|first3=Emad|date=2010|title=Copula-based uncertainty modelling: application to multisensor precipitation estimates|journal=Hydrological Processes|language=en|volume=24|issue=15|pages=2111–2124|doi=10.1002/hyp.7632|s2cid=12283329 |issn=1099-1085}}</ref> इस प्रकार, बहुत ही महत्वपूर्ण पूर्व-प्रसंस्करण कदम ऑटोसहसंबंध | ऑटो-सहसंबंध, [[प्रवृत्ति-स्थिर प्रक्रिया]] और समय श्रृंखला के भीतर [[मौसम]]ीता की जांच करना है।
+कोपुलस मुख्य रूप से तब काम करते हैं जब समय श्रृंखला [[स्थिर प्रक्रिया]] होती है<ref>{{Cite journal|last1=Sadegh|first1=Mojtaba|last2=Ragno|first2=Elisa|last3=AghaKouchak|first3=Amir|date=2017|title=Multivariate Copula Analysis Toolbox (MvCAT): Describing dependence and underlying uncertainty using a Bayesian framework|journal=Water Resources Research|language=en|volume=53|issue=6|pages=5166–5183|doi=10.1002/2016WR020242|issn=1944-7973|bibcode=2017WRR....53.5166S|url=https://scholarworks.boisestate.edu/civileng_facpubs/92|doi-access=free}}</ref> और निरंतर.<ref>{{Cite journal|last1=AghaKouchak|first1=Amir|last2=Bárdossy|first2=András|last3=Habib|first3=Emad|date=2010|title=Copula-based uncertainty modelling: application to multisensor precipitation estimates|journal=Hydrological Processes|language=en|volume=24|issue=15|pages=2111–2124|doi=10.1002/hyp.7632|s2cid=12283329 |issn=1099-1085}}</ref> इस प्रकार, बहुत ही महत्वपूर्ण पूर्व-प्रसंस्करण कदम ऑटो सहसंबंध होते है | जैसे कि ऑटो-सहसंबंध, [[प्रवृत्ति-स्थिर प्रक्रिया]] और समय श्रृंखला के भीतर [[मौसम]]ता की जांच करना है।
-जब समय श्रृंखला स्वतः-सहसंबद्ध होती है, तो वे चर के सेट के बीच गैर-मौजूदा निर्भरता उत्पन्न कर सकती हैं और परिणामस्वरूप गलत कोपुला निर्भरता संरचना हो सकती है।<रेफ नाम = टुटून्ची 1-31 >{{Cite journal|last1=Tootoonchi|first1=Faranak|last2=Haerter|first2=Jan Olaf|last3=Räty|first3=Olle|last4=Grabs|first4=Thomas|last5=Sadegh|first5=Mojtaba|last6=Teutschbein|first6=Claudia|date=2020-07-21|title=हाइड्रोक्लाइमैटिक अनुप्रयोगों के लिए कोपुलस - आम गलतफहमियों और नुकसानों पर एक व्यावहारिक नोट|url=https://hess.copernicus.org/preprints/hess-2020-306/|journal=Hydrology and Earth System Sciences Discussions|language=en|pages=1–31|doi=10.5194/hess-2020-306|s2cid=224352645 |issn=1027-5606}}</ref>
+जब समय श्रृंखला स्वतः-सहसंबद्ध होती है, तब वे वेरिएबल के समुच्चय के मध्य गैर-सम्मिलित निर्भरता उत्पन्न कर सकती हैं और परिणामस्वरूप गलत कोपुला निर्भरता संरचना हो सकती है।<ref><रेफ नाम = टुटून्ची 1-31 >{{Cite journal|last1=Tootoonchi|first1=Faranak|last2=Haerter|first2=Jan Olaf|last3=Räty|first3=Olle|last4=Grabs|first4=Thomas|last5=Sadegh|first5=Mojtaba|last6=Teutschbein|first6=Claudia|date=2020-07-21|title=हाइड्रोक्लाइमैटिक अनुप्रयोगों के लिए कोपुलस - आम गलतफहमियों और नुकसानों पर एक व्यावहारिक नोट|url=https://hess.copernicus.org/preprints/hess-2020-306/|journal=Hydrology and Earth System Sciences Discussions|language=en|pages=1–31|doi=10.5194/hess-2020-306|s2cid=224352645 |issn=1027-5606}}<nowiki></ref><ref>&lt;/nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;</ref><ref>&lt;/nowiki&gt;&lt;nowiki&gt;</ref></nowiki></ref>
 ==फ़्रेचेट-होएफ़डिंग कोपुला सीमा==
-[[File:copule ord.svg|thumb|right|द्विचर फ़्रेचेट-होएफ़डिंग कोप्युला सीमा और स्वतंत्रता कोप्युला (बीच में) के ग्राफ़।]]फ़्रेचेट-होएफ़डिंग प्रमेय (मौरिस रेने फ़्रेचेट और [[वासिली होफ़डिंग]] के बाद)<ref>{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hoeffding.html |title=वासिली होफ़डिंग की जीवनी|author=J. J. O'Connor and E. F. Robertson |date= March 2011 |publisher= School of Mathematics and Statistics, [[University of St Andrews]], Scotland |access-date=14 February 2019}}</ref>) बताता है कि किसी भी कोपुला के लिए <math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1]</math> और कोई भी <math>(u_1,\dots,u_d)\in[0,1]^d</math> निम्नलिखित सीमाएँ कायम हैं:
+[[File:copule ord.svg|thumb|right|द्विचर फ़्रेचेट-होएफ़डिंग कोप्युला सीमा और स्वतंत्रता कोप्युला (मध्य में) के ग्राफ़।]]फ़्रेचेट-होएफ़डिंग प्रमेय (मौरिस रेने फ़्रेचेट और [[वासिली होफ़डिंग]] के पश्चात्)<ref>{{cite web |url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hoeffding.html |title=वासिली होफ़डिंग की जीवनी|author=J. J. O'Connor and E. F. Robertson |date= March 2011 |publisher= School of Mathematics and Statistics, [[University of St Andrews]], Scotland |access-date=14 February 2019}}</ref> बताता है कि किसी भी कोपुला के लिए <math>C:[0,1]^d\rightarrow [0,1]</math> और कोई भी <math>(u_1,\dots,u_d)\in[0,1]^d</math> निम्नलिखित सीमाएँ कायम हैं:
 : <math>W(u_1,\dots,u_d) \leq C(u_1,\dots,u_d) \leq M(u_1,\dots,u_d).</math>
 कार्यक्रम {{mvar|W}} को निचला फ़्रेचेट-होएफ़डिंग बाउंड कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
@@ Line 63: / Line 61: @@
 कार्यक्रम {{mvar|M}} को ऊपरी फ़्रेचेट-होएफ़डिंग बाउंड कहा जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 :<math> M(u_1,\ldots,u_d) = \min \{u_1,\dots,u_d\}.</math>
-ऊपरी सीमा तीव्र है: {{mvar|M}} हमेशा युग्मक होता है, यह [[comonotonicity]] से मेल खाता है।
+ऊपरी सीमा तीव्र है: {{mvar|M}} हमेशा युग्मक होता है, यह [[comonotonicity|सामान्यता]] से मेल खाता है।
-निचली सीमा बिंदुवार तीव्र है, इस अर्थ में कि निश्चित यू के लिए, युग्म है <math>\tilde{C}</math> ऐसा है कि <math>\tilde{C}(u) = W(u)</math>. हालाँकि, {{mvar|W}} केवल दो आयामों में कोपुला है, जिस स्थिति में यह काउंटरमोनोटोनिक यादृच्छिक चर से मेल खाता है।
+निचली सीमा बिंदुवार तीव्र होती है, इस अर्थ में कि निश्चित ''u'' के लिए, <math>\tilde{C}</math> युग्म है जब कि ऐसा है कि <math>\tilde{C}(u) = W(u)</math> होता है . यद्यपि, {{mvar|W}} केवल दो आयामों में कोपुला है, जिस स्थिति में यह काउंटर मोनोटोनिक यादृच्छिक वेरिएबल से मेल खाता है।
-दो आयामों में, यानी द्विचर मामले में, फ़्रेचेट-होफ़डिंग प्रमेय बताता है
+दो आयामों में, अर्थात द्विचर स्थितियोंमें, फ़्रेचेट-होफ़डिंग प्रमेय बताता है
 : <math>\max\{u+v-1, \,0\} \leq C(u,v) \leq \min\{u,v\}</math>.
-==कोपुला के परिवार==
+==कोपुला के समूह==
-कोपुला के कई परिवारों का वर्णन किया गया है।
+कोपुला के अनेक समूहों का वर्णन किया गया है।
 ===गॉसियन कोपुला===
-[[File:Copula gaussian.svg|thumb|ρ = 0.4 के साथ गाऊसी कोपुला का संचयी और घनत्व वितरण]]गाऊसी कोपुला इकाई [[ अतिविम |अतिविम]] पर वितरण है <math>[0,1]^d</math>. इसका निर्माण [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]] से किया गया है <math>\mathbb{R}^d</math> संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन का उपयोग करके।
+[[File:Copula gaussian.svg|thumb|ρ = 0.4 के साथ गाऊसी कोपुला का संचयी और घनत्व वितरण]]गाऊसी कोपुला इकाई <math>[0,1]^d</math> [[ अतिविम |अतिविम]] पर वितरण है . इसका निर्माण [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]] से किया गया है <math>\mathbb{R}^d</math> संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन का उपयोग करके।
-किसी दिए गए सहसंबंध मैट्रिक्स के लिए <math>R\in[-1, 1]^{d\times d}</math>, पैरामीटर मैट्रिक्स के साथ गाऊसी कोपुला <math>R</math> के रूप में लिखा जा सकता है
+किसी दिए गए सहसंबंध आव्युह के लिए <math>R\in[-1, 1]^{d\times d}</math>, पैरामीटर आव्युह के साथ गाऊसी कोपुला <math>R</math> के रूप में लिखा जा सकता है
 :<math> C_R^{\text{Gauss}}(u) = \Phi_R\left(\Phi^{-1}(u_1),\dots, \Phi^{-1}(u_d) \right), </math>
-कहाँ <math>\Phi^{-1}</math> मानक सामान्य#मानक सामान्य वितरण का व्युत्क्रम संचयी वितरण फलन है <math>\Phi_R</math> माध्य वेक्टर शून्य और सहसंबंध मैट्रिक्स के बराबर सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का संयुक्त संचयी वितरण फ़ंक्शन है <math>R</math>. जबकि कोपुला फ़ंक्शन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है, <math>C_R^{\text{Gauss}}(u)</math>, यह ऊपरी या निचली सीमा पर हो सकता है, और संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है।<ref name="bo16">{{cite journal|last1=Botev|first1=Z. I.|title=The normal law under linear restrictions: simulation and estimation via minimax tilting|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B|volume=79|pages=125–148|date=2016|doi=10.1111/rssb.12162|arxiv=1603.04166|bibcode=2016arXiv160304166B|s2cid=88515228}}</ref><ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/package=TruncatedNormal|title=TruncatedNormal: Truncated Multivariate Normal|first=Zdravko I.|last=Botev|date=10 November 2015|via=R-Packages}}</ref> घनत्व को इस प्रकार लिखा जा सकता है<ref>{{cite journal |first=Philipp |last=Arbenz |year=2013 |title=Bayesian Copulae Distributions, with Application to Operational Risk Management—Some Comments |journal=Methodology and Computing in Applied Probability |volume=15 |issue=1 |pages=105–108 |doi=10.1007/s11009-011-9224-0 |hdl=20.500.11850/64244 |s2cid=121861059 |hdl-access=free }}</ref>
+जहाँ <math>\Phi^{-1}</math> '''मानक सामान्य या''' मानक सामान्य वितरण का व्युत्क्रम संचयी वितरण फलन है <math>\Phi_R</math> माध्य सदिश शून्य और सहसंबंध आव्युह के सामान्तर सहप्रसरण आव्युह के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का संयुक्त संचयी वितरण फलन है <math>R</math>. जबकि कोपुला फलन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है, <math>C_R^{\text{Gauss}}(u)</math>, यह ऊपरी या निचली सीमा पर हो सकता है, और संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है।<ref name="bo16">{{cite journal|last1=Botev|first1=Z. I.|title=The normal law under linear restrictions: simulation and estimation via minimax tilting|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B|volume=79|pages=125–148|date=2016|doi=10.1111/rssb.12162|arxiv=1603.04166|bibcode=2016arXiv160304166B|s2cid=88515228}}</ref><ref>{{cite web|url=https://cran.r-project.org/package=TruncatedNormal|title=TruncatedNormal: Truncated Multivariate Normal|first=Zdravko I.|last=Botev|date=10 November 2015|via=R-Packages}}</ref> घनत्व को इस प्रकार लिखा जा सकता है<ref>{{cite journal |first=Philipp |last=Arbenz |year=2013 |title=Bayesian Copulae Distributions, with Application to Operational Risk Management—Some Comments |journal=Methodology and Computing in Applied Probability |volume=15 |issue=1 |pages=105–108 |doi=10.1007/s11009-011-9224-0 |hdl=20.500.11850/64244 |s2cid=121861059 |hdl-access=free }}</ref>
 :<math> c_R^{\text{Gauss}}(u)
 = \frac{1}{\sqrt{\det{R}}}\exp\left(-\frac{1}{2}
@@ Line 86: / Line 84: @@
 \begin{pmatrix}\Phi^{-1}(u_1)\\ \vdots \\ \Phi^{-1}(u_d)\end{pmatrix}
 \right), </math>
-कहाँ <math>\mathbf{I}</math> पहचान मैट्रिक्स है.
+जहाँ <math>\mathbf{I}</math> पहचान आव्युह है.
 ===आर्किमिडीयन कोपुलस===
-आर्किमिडीयन कोपुलस, कोपुलस का सहयोगी वर्ग है। अधिकांश आम आर्किमिडीयन कोपुला स्पष्ट सूत्र को स्वीकार करते हैं, उदाहरण के लिए गॉसियन कोपुला के लिए कुछ संभव नहीं है।
+आर्किमिडीयन कोपुलस, कोपुलस का सहयोगी वर्ग है। जहाँ अधिकांश आम आर्किमिडीयन कोपुला स्पष्ट सूत्र को स्वीकार करते हैं, तथा उदाहरण के लिए गॉसियन कोपुला के लिए कुछ संभव नहीं है। व्यवहार में, आर्किमिडीज़ कोपुलस लोकप्रिय हैं क्योंकि वे निर्भरता की ताकत को नियंत्रित करते हुए, केवल पैरामीटर के साथ इच्छानुसार से उच्च आयामों में मॉडलिंग निर्भरता की अनुमति देते हैं।
-व्यवहार में, आर्किमिडीज़ कोपुलस लोकप्रिय हैं क्योंकि वे निर्भरता की ताकत को नियंत्रित करते हुए, केवल पैरामीटर के साथ मनमाने ढंग से उच्च आयामों में मॉडलिंग निर्भरता की अनुमति देते हैं।
-एक कोपुला सी को आर्किमिडीयन कहा जाता है यदि यह प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है<ref name="Nelsen 2006">{{cite book |last=Nelsen |first=R. B. |year=2006 |title=कोपुलस का एक परिचय|edition=Second |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-1-4419-2109-3 }}</ref>
+एक कोपुला C को आर्किमिडीयन कहा जाता है यदि यह प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है<ref name="Nelsen 2006">{{cite book |last=Nelsen |first=R. B. |year=2006 |title=कोपुलस का एक परिचय|edition=Second |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-1-4419-2109-3 }}</ref>
 :<math> C(u_1,\dots,u_d;\theta) = \psi^{[-1]}\left(\psi(u_1;\theta)+\cdots+\psi(u_d;\theta);\theta\right) </math>
-कहाँ <math>\psi\!:[0,1]\times\Theta \rightarrow [0,\infty)</math> सतत, कड़ाई से घटता हुआ और उत्तल कार्य है जैसे कि <math>\psi(1;\theta)=0</math>, <math>\theta</math> कुछ पैरामीटर स्पेस के भीतर पैरामीटर है <math>\Theta</math>, और <math>\psi</math> तथाकथित जनरेटर फ़ंक्शन है और <math>\psi^{[-1]}</math> इसका छद्म-प्रतिलोम द्वारा परिभाषित किया गया है
+जहाँ <math>\psi\!:[0,1]\times\Theta \rightarrow [0,\infty)</math> सतत, कड़ाई से घटता हुआ जाता है और उत्तल फलन है जैसे कि <math>\psi(1;\theta)=0</math>, <math>\theta</math> कुछ पैरामीटर स्पेस के भीतर पैरामीटर है <math>\Theta</math>, और <math>\psi</math> तथा कथित जनरेटर फलन है और <math>\psi^{[-1]}</math> इसका छद्म-प्रतिलोम द्वारा परिभाषित किया गया है
 :<math> \psi^{[-1]}(t;\theta) = \left\{\begin{array}{ll} \psi^{-1}(t;\theta) & \mbox{if }0 \leq t \leq \psi(0;\theta) \\ 0 & \mbox{if }\psi(0;\theta) \leq t \leq\infty. \end{array}\right. </math>
-इसके अलावा, C के लिए उपरोक्त सूत्र से युग्म उत्पन्न होता है <math>\psi^{-1}</math> अगर और केवल अगर <math>\psi^{-1}</math> क्या [[डी-मोनोटोन फ़ंक्शन]]|डी-मोनोटोन चालू है <math>[0,\infty)</math>.<ref>{{cite journal |last1=McNeil |first1=A. J. |last2=Nešlehová |first2=J.|author2-link= Johanna G. Nešlehová |year=2009 |title=Multivariate Archimedean copulas, ''d''-monotone functions and <math>\mathit{l}</math>1-norm symmetric distributions |journal=[[Annals of Statistics]] |volume=37 |issue=5b |pages=3059–3097 |doi=10.1214/07-AOS556 |arxiv=0908.3750 |s2cid=9858856 }}</ref>
+इसके अतिरिक्त, C के लिए उपरोक्त सूत्र <math>\psi^{-1}</math> से युग्म उत्पन्न होता है केवल यदि <math>\psi^{-1}</math> हो तो क्या [[डी-मोनोटोन फ़ंक्शन|डी-मोनोटोन फलन]]| डी-मोनोटोन के रूप में चालू होगा है <math>[0,\infty)</math>.<ref>{{cite journal |last1=McNeil |first1=A. J. |last2=Nešlehová |first2=J.|author2-link= Johanna G. Nešlehová |year=2009 |title=Multivariate Archimedean copulas, ''d''-monotone functions and <math>\mathit{l}</math>1-norm symmetric distributions |journal=[[Annals of Statistics]] |volume=37 |issue=5b |pages=3059–3097 |doi=10.1214/07-AOS556 |arxiv=0908.3750 |s2cid=9858856 }}</ref> अर्थात्, यदि ऐसा है <math>d-2</math> समय अवकलनीय है और व्युत्पन्न संतुष्ट करते हैं
-अर्थात्, यदि ऐसा है <math>d-2</math> समय अवकलनीय है और व्युत्पन्न संतुष्ट करते हैं
 :<math> (-1)^k\psi^{-1,(k)}(t;\theta) \geq 0 </math>
-सभी के लिए <math>t\geq 0</math> और <math>k=0,1,\dots,d-2</math> और <math>(-1)^{d-2}\psi^{-1,(d-2)}(t;\theta)</math> गैर-बढ़नेवाला और [[उत्तल कार्य]] है।
+सभी के लिए <math>t\geq 0</math> और <math>k=0,1,\dots,d-2</math> और <math>(-1)^{d-2}\psi^{-1,(d-2)}(t;\theta)</math> गैर-बढ़ने वाला और [[उत्तल कार्य|उत्तल फलन]] है।
 ====सबसे महत्वपूर्ण आर्किमिडीयन कोपुलस====
-निम्नलिखित तालिकाएँ सबसे प्रमुख द्विचर आर्किमिडीयन कोपुलस को उनके संबंधित जनरेटर के साथ उजागर करती हैं। उनमें से सभी [[पूरी तरह से मोनोटोन फ़ंक्शन]] नहीं हैं, यानी सभी के लिए डी-मोनोटोन <math>d\in\mathbb{N}</math> या निश्चित रूप से डी-मोनोटोन <math>\theta \in \Theta</math> केवल।
+निम्नलिखित तालिकाएँ सबसे प्रमुख द्विचर आर्किमिडीयन कोपुलस को उनके संबंधित जनरेटर के साथ उजागर करती हैं। उनमें से सभी [[पूरी तरह से मोनोटोन फ़ंक्शन|पूरी तरह से मोनोटोन फलन]] नहीं हैं, अर्थात सभी के लिए ''d'' -मोनोटोन <math>d\in\mathbb{N}</math> या निश्चित रूप से डी-मोनोटोन <math>\theta \in \Theta</math> केवल।
 {| class="wikitable"
-|+  Table with the most important Archimedean copulas<ref name="Nelsen 2006"/>
+|+  सबसे महत्वपूर्ण आर्किमिडीयन कोपुलस वाली तालिका<ref name="Nelsen 2006"/>
 |-
-! Name of copula !! Bivariate copula <math>\;C_\theta(u,v)</math>  !! parameter <math>\,\theta</math>
+! कोपुला का नाम !! द्विचर युग्म<math>\;C_\theta(u,v)</math>  !! पैरामीटर
-!generator <math>\,\psi_{\theta}(t)</math>
+𝜃
-!generator inverse <math>\,\psi_{\theta}^{-1}(t)</math>
+!जेनरेटर <math>\,\psi_{\theta}(t)</math>
+!जनरेटर इनवर्स  <math>\,\psi_{\theta}^{-1}(t)</math>
 |-
-|  [[Mir Maswood Ali|Ali]]–Mikhail–Haq<ref name="AMH">{{citation |last1=Ali |first1=M. M. |last2=Mikhail |first2=N. N. |last3=Haq |first3=M. S. |year=1978 |title=A class of bivariate distributions including the bivariate logistic |journal=[[Journal of Multivariate Analysis|J. Multivariate Anal.]] |volume=8 |issue=3 |pages=405–412 |doi=10.1016/0047-259X(78)90063-5 |doi-access=free }}</ref>
+|  [[Mir Maswood Ali|अली]]–मिखाइल-हक<ref name="AMH">{{citation |last1=Ali |first1=M. M. |last2=Mikhail |first2=N. N. |last3=Haq |first3=M. S. |year=1978 |title=A class of bivariate distributions including the bivariate logistic |journal=[[Journal of Multivariate Analysis|J. Multivariate Anal.]] |volume=8 |issue=3 |pages=405–412 |doi=10.1016/0047-259X(78)90063-5 |doi-access=free }}</ref>
      || &nbsp; <math>\frac{uv}{1-\theta (1-u)(1-v)}</math>
      || &nbsp; <math>\theta\in[-1,1]</math>
@@ Line 121: / Line 118: @@
 |&nbsp; &nbsp; <math>\frac{1-\theta}{\exp(t)-\theta}</math>
 |-
-|  [[David Clayton|Clayton]]<ref name="Clayton1978">{{cite journal |author-link=David Clayton |first=David G. |last=Clayton |year=1978 |title=A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence |journal=Biometrika |volume=65 |issue=1 |pages=141–151 |jstor=2335289 |doi=10.1093/biomet/65.1.141}}</ref>
+|  [[David Clayton|क्लेटन]]<ref name="Clayton1978">{{cite journal |author-link=David Clayton |first=David G. |last=Clayton |year=1978 |title=A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence |journal=Biometrika |volume=65 |issue=1 |pages=141–151 |jstor=2335289 |doi=10.1093/biomet/65.1.141}}</ref>
      || &nbsp; <math>\left[ \max\left\{ u^{-\theta} + v^{-\theta} -1 ; 0 \right\} \right]^{-1/\theta}</math>
      || &nbsp; <math>\theta\in[-1,\infty)\backslash\{0\}</math>
@@ Line 127: / Line 124: @@
 |&nbsp; &nbsp; <math>\left(1+\theta t\right)^{-1/\theta}</math> &nbsp; &nbsp;
 |-
-|  Frank
+|  स्पष्टवादी
      || &nbsp; <math>-\frac{1}{\theta} \log\!\left[ 1+\frac{(\exp(-\theta u)-1)(\exp(-\theta v)-1)}{\exp(-\theta)-1} \right]</math> &nbsp;
      || &nbsp; <math>\theta\in \mathbb{R}\backslash\{0\} </math> &nbsp;
@@ Line 133: / Line 130: @@
 |&nbsp; &nbsp; <math>-\frac{1}{\theta}\,\log(1+\exp(-t)(\exp(-\theta)-1))</math> &nbsp; &nbsp;
 |-
-|  [[Emil Julius Gumbel|Gumbel]]
+|  [[Emil Julius Gumbel|गम्बेल]]
      || &nbsp; <math display="inline">\exp\!\left[ -\left( (-\log(u))^\theta + (-\log(v))^\theta \right)^{1/\theta} \right]</math>
      || &nbsp; <math>\theta\in[1,\infty)</math>
@@ Line 139: / Line 136: @@
 |&nbsp; &nbsp;<math>\exp\!\left(-t^{1/\theta}\right)</math>
 |-
-|  [[statistical independence|Independence]]
+|  [[statistical independence|इन्डीपेंडेंस]]
      ||  &nbsp; <math display="inline">uv</math>
      ||  &nbsp;
@@ Line 145: / Line 142: @@
 |&nbsp; &nbsp;<math>\exp(-t)</math>
 |-
-|  Joe
+|  जो
      || &nbsp; <math display="inline">{1-\left[ (1-u)^\theta + (1-v)^\theta - (1-u)^\theta(1-v)^\theta \right]^{1/\theta}}</math> &nbsp;
      || &nbsp; <math>\theta\in[1,\infty)</math>
@@ Line 155: / Line 152: @@
 ==कॉपुला मॉडल और मोंटे कार्लो एकीकरण के लिए अपेक्षा==
-सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में, कई समस्याओं को निम्नलिखित तरीके से तैयार किया जा सकता है। किसी को प्रतिक्रिया फ़ंक्शन की अपेक्षा में रुचि होती है <math>g:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}</math> कुछ यादृच्छिक वेक्टर पर लागू किया गया <math>(X_1,\dots,X_d)</math>.<ref>Alexander J. McNeil, Rudiger Frey and Paul Embrechts (2005) "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools", Princeton Series in Finance</ref> यदि हम इस यादृच्छिक वेक्टर के सीडीएफ को निरूपित करते हैं <math>H</math>, ब्याज की मात्रा इस प्रकार लिखी जा सकती है
+सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में, अनेक समस्याओं को निम्नलिखित तरीके से तैयार किया जा सकता है। किसी को प्रतिक्रिया फलन <math>g:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}</math> की अपेक्षा में रुचि होती है कुछ यादृच्छिक सदिश पर प्रयुक्त किया गया <math>(X_1,\dots,X_d)</math>. है|<ref>Alexander J. McNeil, Rudiger Frey and Paul Embrechts (2005) "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools", Princeton Series in Finance</ref> यदि हम इस यादृच्छिक सदिश के सीडीएफ को <math>H</math> निरूपित करते हैं, ब्याज की मात्रा इस प्रकार लिखी जा सकती है
 : <math> \operatorname{E}\left[ g(X_1,\dots,X_d) \right] = \int_{\mathbb{R}^d} g(x_1,\dots,x_d) \,  \mathrm{d}H(x_1,\dots,x_d).</math>
-अगर <math>H</math> कोपुला मॉडल द्वारा दिया गया है, अर्थात,
+यदि <math>H</math> कोपुला मॉडल द्वारा दिया गया है, अर्थात,
 :<math>H(x_1,\dots,x_d)=C(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))</math>
@@ Line 164: / Line 161: @@
 :<math>\operatorname{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d)) \, \mathrm{d}C(u_1,\dots,u_d).</math>
-यदि कोपुला C पूर्णतः सतत है, अर्थात C का घनत्व c है, तो इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
+यदि कोपुला C पूर्णतः सतत है, अर्थात C का घनत्व c है, तब इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 :<math>\operatorname{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{[0,1]^d}g(F_1^{-1}(u_1),\dots,F_d^{-1}(u_d))\cdot c(u_1,\dots,u_d) \, du_1\cdots \mathrm{d}u_d,</math>
-और यदि प्रत्येक सीमांत वितरण में घनत्व है <math>f_i</math> यह उससे भी आगे है
+और यदि प्रत्येक सीमांत वितरण में घनत्व <math>f_i</math> है यह उससे भी आगे है
 :<math>\operatorname{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]=\int_{\mathbb{R}^d}g(x_1,\dots x_d)\cdot c(F_1(x_1),\dots,F_d(x_d))\cdot f_1(x_1)\cdots f_d(x_d) \, \mathrm{d}x_1\cdots \mathrm{d}x_d.</math>
-यदि कोपुला और सीमांत ज्ञात हैं (या यदि उनका अनुमान लगाया गया है), तो इस अपेक्षा का अनुमान निम्नलिखित मोंटे कार्लो एल्गोरिदम के माध्यम से लगाया जा सकता है:
+यदि कोपुला और सीमांत ज्ञात हैं (या यदि उनका अनुमान लगाया गया है), तब इस अपेक्षा का अनुमान निम्नलिखित मोंटे कार्लो एल्गोरिदम के माध्यम से लगाया जा सकता है:
-# एक नमूना बनाएं <math>(U_1^k,\dots,U_d^k)\sim C\;\;(k=1,\dots,n)</math> कोप्युला सी से आकार n का
+# एक नमूना बनाएं <math>(U_1^k,\dots,U_d^k)\sim C\;\;(k=1,\dots,n)</math> कोप्युला C से आकार n का
-# व्युत्क्रम सीमांत सीडीएफ को लागू करके, नमूना तैयार करें <math>(X_1,\dots,X_d)</math> व्यवस्थित करके <math>(X_1^k,\dots,X_d^k)=(F_1^{-1}(U_1^k),\dots,F_d^{-1}(U_d^k))\sim H\;\;(k=1,\dots,n)</math>
+# व्युत्क्रम सीमांत सीडीएफ को प्रयुक्त करके, नमूना तैयार करें <math>(X_1,\dots,X_d)</math> व्यवस्थित करके <math>(X_1^k,\dots,X_d^k)=(F_1^{-1}(U_1^k),\dots,F_d^{-1}(U_d^k))\sim H\;\;(k=1,\dots,n)</math>
 # अनुमानित <math>\operatorname{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]</math> इसके अनुभवजन्य मूल्य से:
 :::<math>\operatorname{E}\left[g(X_1,\dots,X_d)\right]\approx \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g(X_1^k,\dots,X_d^k)</math>
@@ Line 180: / Line 177: @@
 बहुभिन्नरूपी डेटा का अध्ययन करते समय, कोई व्यक्ति अंतर्निहित कोपुला की जांच करना चाह सकता है। मान लीजिए हमारे पास अवलोकन हैं
 :<math>(X_1^i,X_2^i,\dots,X_d^i), \, i=1,\dots,n</math>
-एक यादृच्छिक वेक्टर से <math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math> निरंतर सीमांत के साथ. संगत "सच्चा" युग्मक अवलोकन होगा
+एक यादृच्छिक सदिश से <math>(X_1,X_2,\dots,X_d)</math> निरंतर सीमांत के साथ. संगत "सच्चा" युग्मक अवलोकन होगा
 :<math>(U_1^i,U_2^i,\dots,U_d^i)=\left(F_1(X_1^i),F_2(X_2^i),\dots,F_d(X_d^i)\right), \, i=1,\dots,n.</math>
-हालाँकि, सीमांत वितरण कार्य करता है <math>F_i</math> आमतौर पर पता नहीं चलता. इसलिए, अनुभवजन्य वितरण कार्यों का उपयोग करके कोई छद्म कोपुला अवलोकन का निर्माण कर सकता है
+यद्यपि, सीमांत वितरण फलन <math>F_i</math> करता है सामान्यतः पता नहीं चलता. इसलिए, अनुभवजन्य वितरण कार्यों का उपयोग करके कोई छद्म कोपुला अवलोकन का निर्माण कर सकता है
 :<math>F_k^n(x)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}(X_k^i\leq x)</math>
 बजाय। फिर, छद्म युग्मक अवलोकनों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
@@ Line 188: / Line 185: @@
 फिर संगत अनुभवजन्य युग्म को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 :<math>C^n(u_1,\dots,u_d) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{1}\left(\tilde{U}_1^i\leq u_1,\dots,\tilde{U}_d^i\leq u_d\right).</math>
-छद्म कोपुला नमूनों के घटकों को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है <math>\tilde{U}_k^i=R_k^i/n</math>, कहाँ <math>R_k^i</math> अवलोकन का स्तर है <math>X_k^i</math>:
+छद्म कोपुला नमूनों के घटकों को <math>\tilde{U}_k^i=R_k^i/n</math> इस प्रकार भी लिखा जा सकता है , जहाँ <math>R_k^i</math> अवलोकन का स्तर है <math>X_k^i</math>:
 :<math>R_k^i=\sum_{j=1}^n \mathbf{1}(X_k^j\leq X_k^i)</math>
 इसलिए, अनुभवजन्य कोपुला को रैंक रूपांतरित डेटा के अनुभवजन्य वितरण के रूप में देखा जा सकता है।
-स्पीयरमैन के rho का नमूना संस्करण:<ref>{{cite book |last1=Nelsen |first1=Roger B. |title=कोपुलस का परिचय|date=2006 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-28678-5 |page=220 |edition=2nd}}</ref>
+स्पीयर मैन के rho का नमूना संस्करण:<ref>{{cite book |last1=Nelsen |first1=Roger B. |title=कोपुलस का परिचय|date=2006 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0-387-28678-5 |page=220 |edition=2nd}}</ref>
 :<math>r=\frac{12}{n^2-1}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \left[C^n \left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)-\frac{i}{n}\cdot\frac{j}{n}\right]</math>
@@ Line 203: / Line 200: @@
 |- style="font-size: 86%
 |-
-|Typical finance applications:
+|विशिष्ट वित्त अनुप्रयोग:
-* Analyzing [[systemic risk]] in financial markets<ref name="Low 1–18">{{Cite journal|last=Low|first=Rand |date=2017-05-11|title=Vine copulas: modelling systemic risk and enhancing higher-moment portfolio optimisation |journal=Accounting & Finance|volume=58 |pages=423–463 |doi=10.1111/acfi.12274|doi-access=free}}</ref>
+* वित्तीय बाजारों में सिस्टमगत जोखिम का विश्लेषण<ref name="Low 1–18">{{Cite journal|last=Low|first=Rand |date=2017-05-11|title=Vine copulas: modelling systemic risk and enhancing higher-moment portfolio optimisation |journal=Accounting & Finance|volume=58 |pages=423–463 |doi=10.1111/acfi.12274|doi-access=free}}</ref>
-* Analyzing and pricing [[spread option]]s, in particular in fixed income [[constant maturity swap]] spread options
+* विशेष रूप से निश्चित आय निरंतर परिपक्वता स्वैप स्प्रेड विकल्पों में स्प्रेड विकल्पों का विश्लेषण और मूल्य निर्धारण
-* Analyzing and pricing volatility smile/skew of [[exotic derivative|exotic]] baskets, e.g. best/worst of
+* विदेशी टोकरियों की अस्थिरता मुस्कान/तिरछापन का विश्लेषण और मूल्य निर्धारण, उदाहरण के लिए। सबसे अच्छा/सबसे बुरा
-* Analyzing and pricing volatility smile/skew of less liquid FX{{clarify|reason=what is FX|date=September 2011}} cross, which is effectively a basket: ''C'' = ''S''<sub>1</sub>/''S''<sub>2</sub> or ''C'' = ''S''<sub>1</sub>·''S''<sub>2</sub>
+* कम तरल एफएक्स क्रॉस की अस्थिरता मुस्कान/तिरछा का विश्लेषण और मूल्य निर्धारण, जो प्रभावी रूप से एक टोकरी है: ''C'' = ''S''<sub>1</sub>/''S''<sub>2</sub> or ''C'' = ''S''<sub>1</sub>·''S''<sub>2</sub>
-* [[Value-at-Risk]] forecasting and portfolio optimization to minimize [[tail risk]] for US and international equities<ref name="Banking 2013"/>
+* यूएस और अंतरराष्ट्रीय इक्विटी के लिए जोखिम को कम करने के लिए मूल्य-पर-जोखिम पूर्वानुमान और पोर्टफोलियो अनुकूलन<ref name="Banking 2013"/>
-* Forecasting equities returns for [[Portfolio optimization#Improving portfolio optimization|higher-moment portfolio optimization/full-scale optimization]]<ref name="Low 1–18"/>
+* उच्च-क्षण पोर्टफोलियो अनुकूलन/पूर्ण-पैमाने अनुकूलन के लिए इक्विटी रिटर्न का पूर्वानुमान लगाना<ref name="Low 1–18"/>
-* Improving the estimates of a portfolio's expected return and variance-covariance matrix for input into [[Two-moment decision model|sophisticated mean-variance optimization strategies]]<ref name="sciencedirect.com"/>
+* परिष्कृत माध्य-विचरण अनुकूलन रणनीतियों में इनपुट के लिए पोर्टफोलियो के अपेक्षित रिटर्न और विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स के अनुमान में सुधार करना<ref name="sciencedirect.com"/>
-* [[Statistical arbitrage]] strategies including [[pairs trading]]<ref>{{Cite journal|last1=Rad|first1=Hossein|last2=Low|first2=Rand Kwong Yew|last3=Faff|first3=Robert|date=2016-04-27|title=The profitability of pairs trading strategies: distance, cointegration and copula methods |journal=Quantitative Finance |volume=16|issue=10|pages=1541–1558|doi=10.1080/14697688.2016.1164337|s2cid=219717488}}</ref>
+* जोड़ी व्यापार सहित सांख्यिकीय मध्यस्थता रणनीतियाँ<ref>{{Cite journal|last1=Rad|first1=Hossein|last2=Low|first2=Rand Kwong Yew|last3=Faff|first3=Robert|date=2016-04-27|title=The profitability of pairs trading strategies: distance, cointegration and copula methods |journal=Quantitative Finance |volume=16|issue=10|pages=1541–1558|doi=10.1080/14697688.2016.1164337|s2cid=219717488}}</ref>
 |}
-मात्रात्मक वित्त में कोपुलस को [[जोखिम प्रबंधन]], [[निवेश प्रबंधन]] और पोर्टफोलियो अनुकूलन और [[डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण]] पर लागू किया जाता है।
+मात्रात्मक वित्त में कोपुलस को [[जोखिम प्रबंधन]], [[निवेश प्रबंधन]] और पोर्टफोलियो अनुकूलन और [[डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण]] के रूप में प्रयुक्त किया जाता है।
-पूर्व के लिए, कोपुलस का उपयोग [[तनाव परीक्षण (वित्तीय)]]|तनाव-परीक्षण और मजबूती जांच करने के लिए किया जाता है जो नकारात्मक पक्ष/संकट/आतंक शासन के दौरान विशेष रूप से महत्वपूर्ण होते हैं जहां अत्यधिक नकारात्मक घटनाएं हो सकती हैं (उदाहरण के लिए, 2007-2008 का वैश्विक वित्तीय संकट) . सूत्र को वित्तीय बाज़ारों के लिए भी अनुकूलित किया गया था और इसका उपयोग [[प्रतिभूतिकरण]] पर घाटे की संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाने के लिए किया गया था।
+पूर्व के लिए, कोपुलस का उपयोग [[तनाव परीक्षण (वित्तीय)]]| तनाव-परीक्षण और मजबूती जांच करने के लिए किया जाता है जो नकारात्मक पक्ष/संकट/आतंक शासन के समयविशेष रूप से महत्वपूर्ण होते हैं जहां अत्यधिक नकारात्मक घटनाएं हो सकती हैं (उदाहरण के लिए, 2007-2008 का वैश्विक वित्तीय संकट) . सूत्र को वित्तीय बाज़ारों के लिए भी अनुकूलित किया गया था और इसका उपयोग [[प्रतिभूतिकरण]] पर घाटे की संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाने के लिए किया गया था।
 गिरावट के दौर में, बड़ी संख्या में ऐसे निवेशक जिन्होंने इक्विटी या रियल एस्टेट जैसी जोखिम भरी परिसंपत्तियों में निवेश किया है, वे नकदी या बांड जैसे 'सुरक्षित' निवेशों में शरण ले सकते हैं। इसे [[उड़ान-से-गुणवत्ता]] प्रभाव के रूप में भी जाना जाता है और निवेशक कम समय में बड़ी संख्या में जोखिमपूर्ण परिसंपत्तियों में अपनी स्थिति से बाहर निकल जाते हैं। परिणामस्वरूप, गिरावट के दौर में, इक्विटी में सह-संबंध ऊपर की तुलना में गिरावट की ओर अधिक होता है और इसका अर्थव्यवस्था पर विनाशकारी प्रभाव पड़ सकता है।<ref>{{Citation
@@ Line 234: / Line 231: @@
   | pages=443–494
   | doi=10.1016/s0304-405x(02)00068-5
-}}</ref> उदाहरण के लिए, हम अक्सर वित्तीय समाचारों की सुर्खियाँ पढ़ते हैं जिनमें ही दिन में स्टॉक एक्सचेंज पर करोड़ों डॉलर के नुकसान की सूचना दी जाती है; हालाँकि, हम शायद ही कभी शेयर बाजार में समान परिमाण और समान कम समय सीमा में सकारात्मक लाभ की रिपोर्ट पढ़ते हैं।
+}}</ref> उदाहरण के लिए, हम इस प्रकार से अधिकांशतः वित्तीय समाचारों की सुर्खियाँ पढ़ते हैं जिनमें उस ही दिन में स्टॉक एक्सचेंज पर करोड़ों डॉलर के हानि की सूचना दी जाती है; यद्यपि, हम संभवतः ही कभी शेयर बाजार में समान परिमाण और समान कम समय सीमा में सकारात्मक लाभ की रिपोर्ट पढ़ते हैं।
-कोपुलस बहुभिन्नरूपी संभाव्यता मॉडल के सीमांत वितरण और निर्भरता संरचना के मॉडलिंग की अनुमति देकर नकारात्मक पक्ष शासन के प्रभावों का विश्लेषण करने में सहायता करता है। उदाहरण के लिए, स्टॉक एक्सचेंज को ऐसे बाजार के रूप में मानें जिसमें बड़ी संख्या में व्यापारी शामिल हैं, जिनमें से प्रत्येक लाभ को अधिकतम करने के लिए अपनी-अपनी रणनीतियों के साथ काम कर रहा है। प्रत्येक व्यापारी के व्यक्तिवादी व्यवहार को सीमांत मॉडलिंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है। हालाँकि, चूंकि सभी व्यापारी ही एक्सचेंज पर काम करते हैं, इसलिए प्रत्येक व्यापारी के कार्यों का अन्य व्यापारियों के साथ परस्पर प्रभाव पड़ता है। इस अंतःक्रिया प्रभाव को निर्भरता संरचना का मॉडलिंग करके वर्णित किया जा सकता है। इसलिए, कोपुलस हमें उन अंतःक्रियात्मक प्रभावों का विश्लेषण करने की अनुमति देता है जो नकारात्मक पक्ष के दौरान विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि निवेशक झुंड के व्यवहार की ओर प्रवृत्त होते हैं। ([[एजेंट-आधारित कम्प्यूटेशनल अर्थशास्त्र]] भी देखें, जहां कीमत को [[आकस्मिक घटना]] के रूप में माना जाता है, जो विभिन्न बाजार सहभागियों या एजेंटों की बातचीत से उत्पन्न होती है।)
+कोपुलस बहुभिन्नरूपी संभाव्यता मॉडल के सीमांत वितरण और निर्भरता संरचना के मॉडलिंग की अनुमति देकर नकारात्मक पक्ष शासन के प्रभावों का विश्लेषण करने में सहायता करता है। उदाहरण के लिए, स्टॉक एक्सचेंज को ऐसे बाजार के रूप में मानें जिसमें बड़ी संख्या में व्यापारी सम्मिलित हैं, जिनमें से प्रत्येक लाभ को अधिकतम करने के लिए अपनी-अपनी रणनीतियों के साथ काम कर रहा है। प्रत्येक व्यापारी के व्यक्तिवादी व्यवहार को सीमांत मॉडलिंग द्वारा वर्णित किया जा सकता है। यद्यपि, चूंकि सभी व्यापारी उस ही एक्सचेंज पर काम करते हैं, इसलिए प्रत्येक व्यापारी के कार्यों का अन्य व्यापारियों के साथ परस्पर प्रभाव पड़ता है। इस अंतःक्रिया प्रभाव को निर्भरता संरचना का मॉडलिंग करके वर्णित किया जा सकता है। इसलिए, कोपुलस हमें उन अंतःक्रियात्मक प्रभावों का विश्लेषण करने की अनुमति देता है जो नकारात्मक पक्ष के समयविशेष रुचि रखते हैं क्योंकि निवेशक झुंड के व्यवहार की ओर प्रवृत्त होते हैं। ([[एजेंट-आधारित कम्प्यूटेशनल अर्थशास्त्र]] भी देखें, जहां कीमत को [[आकस्मिक घटना]] के रूप में माना जाता है, जो विभिन्न बाजार सहभागियों या एजेंटों की बातचीत से उत्पन्न होती है।)
-सूत्र के उपयोगकर्ताओं की मूल्यांकन संस्कृतियाँ बनाने के लिए आलोचना की गई है जो सरल संस्करणों को उस उद्देश्य के लिए अपर्याप्त मानने के बावजूद सरल कोपुलो का उपयोग करना जारी रखते हैं।<ref>Felix Salmon. "Recipe for Disaster: The Formula That Killed Wall Street" Wired Magazine, Feb 2, 2009, https://www.wired.com/2009/02/wp-quant/</ref><ref>Donald Mackenzie and Taylor Spears. 'The formula that killed Wall Street': The Gaussian copula and modelling practices in investment banking. Social Studies of Science Vol. 44, No. 3 (June 2014), pp. 393-417. https://www.jstor.org/stable/43284238</ref> इस प्रकार, पहले, बड़े आयामों के लिए स्केलेबल कोपुला मॉडल केवल अण्डाकार निर्भरता संरचनाओं (यानी, गॉसियन और स्टूडेंट-टी कोपुलस) के मॉडलिंग की अनुमति देते थे जो सहसंबंध विषमताओं की अनुमति नहीं देते थे जहां सहसंबंध ऊपर या नीचे के शासन पर भिन्न होते हैं। हालाँकि, बेल कोपुला का विकास<ref>{{cite book|last1=Cooke|first1=R.M.|last2=Joe|first2=H.|last3=Aas|first3=K.|title=निर्भरता मॉडलिंग वाइन कोपुला हैंडबुक|date= January 2011|publisher=World Scientific|isbn= 978-981-4299-87-9|pages=37–72|url=http://rogermcooke.net/rogermcooke_files/Vines%20Arise%20Handbook%20VCM.pdf|editor1-last=Kurowicka|editor1-first=D.|editor2-last=Joe|editor2-first=H.}}</ref> (जोड़ी कोपुलस के रूप में भी जाना जाता है) बड़े आयामों के पोर्टफोलियो के लिए निर्भरता संरचना के लचीले मॉडलिंग को सक्षम बनाता है।<ref>{{Citation
+इस प्रकार के सूत्र के उपयोगकर्ताओं की मूल्यांकन संस्कृतियाँ बनाने के लिए आलोचना की गई है जो सरल संस्करणों को उस उद्देश्य के लिए अपर्याप्त मानने के अतिरिक्त सरल कोपुलो का उपयोग करना जारी रखते हैं।<ref>Felix Salmon. "Recipe for Disaster: The Formula That Killed Wall Street" Wired Magazine, Feb 2, 2009, https://www.wired.com/2009/02/wp-quant/</ref><ref>Donald Mackenzie and Taylor Spears. 'The formula that killed Wall Street': The Gaussian copula and modelling practices in investment banking. Social Studies of Science Vol. 44, No. 3 (June 2014), pp. 393-417. https://www.jstor.org/stable/43284238</ref> इस प्रकार, पहले, बड़े आयामों के लिए स्केलेबल कोपुला मॉडल केवल अण्डाकार निर्भरता संरचनाओं (अर्थात, गॉसियन और स्टूडेंट-टी कोपुलस) के मॉडलिंग की अनुमति देते थे जो सहसंबंध विषमताओं की अनुमति नहीं देते थे जहां सहसंबंध ऊपर या नीचे के शासन पर भिन्न होते हैं। यद्यपि, बेल कोपुला का विकास<ref>{{cite book|last1=Cooke|first1=R.M.|last2=Joe|first2=H.|last3=Aas|first3=K.|title=निर्भरता मॉडलिंग वाइन कोपुला हैंडबुक|date= January 2011|publisher=World Scientific|isbn= 978-981-4299-87-9|pages=37–72|url=http://rogermcooke.net/rogermcooke_files/Vines%20Arise%20Handbook%20VCM.pdf|editor1-last=Kurowicka|editor1-first=D.|editor2-last=Joe|editor2-first=H.}}</ref> (जोड़ी कोपुलस के रूप में भी जाना जाता है) बड़े आयामों के पोर्टफोलियो के लिए निर्भरता संरचना के लचीले मॉडलिंग को सक्षम बनाता है।<ref>{{Citation
 | last1 = Aas |first1= K |last2= Czado |first2= C|author2-link= Claudia Czado |last3= Bakken|first3= H | year = 2009
 | title = Pair-copula constructions of multiple dependence
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   | pages=182–198
 | doi=10.1016/j.insmatheco.2007.02.001
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+|citeseerx= 10.1.1.61.3984 |s2cid= 18320750 }}</ref> क्लेटन कैनोनिकल वाइन कोपुला अत्यधिक नकारात्मक घटनाओं की घटना की अनुमति देता है और इसे पोर्टफोलियो अनुकूलन और जोखिम प्रबंधन अनुप्रयोगों में सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है। मॉडल अत्यधिक नकारात्मक सहसंबंधों के प्रभाव को कम करने में सक्षम है और गॉसियन और स्टूडेंट-टी कोपुला जैसे स्केलेबल अण्डाकार निर्भरता कोपुला की तुलना में श्रेष्ठ सांख्यिकीय और आर्थिक प्रदर्शन उत्पन्न करता है।<ref name="ReferenceA">{{Citation
-क्लेटन कैनोनिकल वाइन कोपुला अत्यधिक नकारात्मक घटनाओं की घटना की अनुमति देता है और इसे पोर्टफोलियो अनुकूलन और जोखिम प्रबंधन अनुप्रयोगों में सफलतापूर्वक लागू किया गया है। मॉडल अत्यधिक नकारात्मक सहसंबंधों के प्रभाव को कम करने में सक्षम है और गॉसियन और स्टूडेंट-टी कोपुला जैसे स्केलेबल अण्डाकार निर्भरता कोपुला की तुलना में बेहतर सांख्यिकीय और आर्थिक प्रदर्शन पैदा करता है।<ref name="ReferenceA">{{Citation
 | last1 = Low |first1= R |last2= Alcock |first2= J|last3= Brailsford|first3= T |last4= Faff|first4= R
   | year = 2013
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-जोखिम प्रबंधन अनुप्रयोगों के लिए विकसित किए गए अन्य मॉडल पैनिक कोपुलस हैं जो पोर्टफोलियो लाभ और हानि वितरण पर [[वित्तीय घबराहट]] के प्रभावों का विश्लेषण करने के लिए सीमांत वितरण के बाजार अनुमानों से जुड़े होते हैं। वित्त में मोंटे कार्लो पद्धतियों द्वारा पैनिक कोपुला का निर्माण किया जाता है, जिसमें प्रत्येक परिदृश्य की संभावना को फिर से शामिल किया जाता है।<ref>{{Citation
+जोखिम प्रबंधन अनुप्रयोगों के लिए विकसित किए गए अन्य मॉडल पैनिक कोपुलस हैं जो पोर्टफोलियो लाभ और हानि वितरण पर [[वित्तीय घबराहट]] के प्रभावों का विश्लेषण करने के लिए सीमांत वितरण के बाजार अनुमानों से जुड़े होते हैं। वित्त में मोंटे कार्लो पद्धतियों द्वारा पैनिक कोपुला का निर्माण किया जाता है, जिसमें प्रत्येक परिदृश्य की संभावना को फिर से सम्मिलित किया जाता है।<ref>{{Citation
 | last = Meucci
 | first = Attilio
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 }}</ref>
-जहां तक डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण का संबंध है, [[वित्तीय जोखिम मॉडलिंग]] और [[बीमांकिक विश्लेषण]] के अनुप्रयोगों में कॉपुला फ़ंक्शन के साथ निर्भरता मॉडलिंग का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है - उदाहरण के लिए संपार्श्विक ऋण दायित्वों (सीडीओ) के मूल्य निर्धारण में।<ref>{{Citation|last1=Meneguzzo|first1=David|title=Copula sensitivity in collateralized debt obligations and basket default swaps|date=Nov 2003|journal=[[Journal of Futures Markets]]|volume=24|issue=1|pages=37–70|doi=10.1002/fut.10110|last2=Vecchiato|first2=Walter}}<!--|access-date=2008-10-29 --></ref> कुछ लोगों का मानना है कि [[ क्रेडिट व्युत्पन्न |क्रेडिट व्युत्पन्न]] में गॉसियन कोपुला को लागू करने की पद्धति 2008-2009 के वैश्विक वित्तीय संकट के कारणों में से है;<ref>[https://www.wired.com/techbiz/it/magazine/17-03/wp_quant?currentPage=all Recipe for Disaster: The Formula That Killed Wall Street] ''Wired'', 2/23/2009</ref><ref>{{Citation
+जहां तक डेरिवेटिव मूल्य निर्धारण का संबंध है, तथा [[वित्तीय जोखिम मॉडलिंग]] और [[बीमांकिक विश्लेषण]] के अनुप्रयोगों में कॉपुला फलन के साथ निर्भरता मॉडलिंग का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है - उदाहरण के लिए संपार्श्विक ऋण दायित्वों (सीडीओ) के मूल्य निर्धारण में।<ref>{{Citation|last1=Meneguzzo|first1=David|title=Copula sensitivity in collateralized debt obligations and basket default swaps|date=Nov 2003|journal=[[Journal of Futures Markets]]|volume=24|issue=1|pages=37–70|doi=10.1002/fut.10110|last2=Vecchiato|first2=Walter}}<!--|access-date=2008-10-29 --></ref> कुछ लोगों का मानना है कि [[ क्रेडिट व्युत्पन्न |क्रेडिट व्युत्पन्न]] में गॉसियन कोपुला को प्रयुक्त करने की पद्धति 2008-2009 के वैश्विक वित्तीय संकट के कारणों में से है;<ref>[https://www.wired.com/techbiz/it/magazine/17-03/wp_quant?currentPage=all Recipe for Disaster: The Formula That Killed Wall Street] ''Wired'', 2/23/2009</ref><ref>{{Citation
 | last = MacKenzie
 | first = Donald
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 | access-date = 2009-07-27
-}}</ref><ref name="ft">{{Citation |title=The formula that felled Wall St |url=http://www.ft.com/cms/s/2/912d85e8-2d75-11de-9eba-00144feabdc0.html |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/r7ov5 |archive-date=2022-12-11 |url-access=subscription |url-status=live |first=Sam |last=Jones |newspaper=[[Financial Times]] |date=April 24, 2009 }}</ref> देखना {{slink|David X. Li #CDOs and Gaussian copula}}.
+}}</ref><ref name="ft">{{Citation |title=The formula that felled Wall St |url=http://www.ft.com/cms/s/2/912d85e8-2d75-11de-9eba-00144feabdc0.html |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/r7ov5 |archive-date=2022-12-11 |url-access=subscription |url-status=live |first=Sam |last=Jones |newspaper=[[Financial Times]] |date=April 24, 2009 }}</ref> यह देखना डेविड एक्स. ली § सीडीओ और गॉसियन कोपुला का कार्य है ।
-इस धारणा के बावजूद, गॉसियन कोपुला और कोपुला कार्यों की सीमाओं को संबोधित करने के लिए, विशेष रूप से निर्भरता गतिशीलता की कमी को संबोधित करने के लिए, वित्तीय उद्योग के भीतर संकट से पहले होने वाले प्रलेखित प्रयास हैं। गाऊसी कोपुला की कमी है क्योंकि यह केवल अण्डाकार निर्भरता संरचना की अनुमति देता है, क्योंकि निर्भरता केवल विचरण-सहप्रसरण मैट्रिक्स का उपयोग करके तैयार की जाती है।<ref name="ReferenceA"/> यह कार्यप्रणाली इतनी सीमित है कि यह निर्भरता को विकसित होने की अनुमति नहीं देती है क्योंकि वित्तीय बाजार असममित निर्भरता प्रदर्शित करते हैं, जिससे तेजी की तुलना में मंदी के दौरान परिसंपत्तियों में सहसंबंध काफी बढ़ जाते हैं। इसलिए, गॉसियन कोपुला का उपयोग करके मॉडलिंग दृष्टिकोण [[चरम मूल्य सिद्धांत]] का खराब प्रतिनिधित्व प्रदर्शित करते हैं।<ref name="ReferenceA"/><ref name="Lipton">{{cite book| first1=Alexander|last1= Lipton |first2= Andrew |last2=Rennie |title=Credit Correlation: Life After Copulas|publisher= World Scientific|isbn= 978-981-270-949-3|year= 2008 }}</ref> कुछ कोपुला सीमाओं को सुधारने वाले मॉडल प्रस्तावित करने का प्रयास किया गया है।<ref name="Lipton"/><ref>{{Cite journal
+इस धारणा के अतिरिक्त, गॉसियन कोपुला और कोपुला कार्यों की सीमाओं को संबोधित करने के लिए तथा विशेष रूप से निर्भरता गतिशीलता की कमी को संबोधित करने के लिए और वित्तीय उद्योग के भीतर संकट से पहले होने वाले प्रलेखित प्रयास हैं। गाऊसी कोपुला की कम है क्योंकि यह केवल अण्डाकार निर्भरता संरचना की अनुमति देता है, क्योंकि निर्भरता केवल विचरण-सहप्रसरण आव्युह का उपयोग करके तैयार की जाती है।<ref name="ReferenceA" /> यह कार्यप्रणाली इतनी सीमित है कि यह निर्भरता को विकसित होने की अनुमति नहीं देती है क्योंकि वित्तीय बाजार असममित निर्भरता प्रदर्शित करते हैं, जिससे तेजी की तुलना में मंदी के समयपरिसंपत्तियों में सहसंबंध अधिक बढ़ जाते हैं। इसलिए, गॉसियन कोपुला का उपयोग करके मॉडलिंग दृष्टिकोण [[चरम मूल्य सिद्धांत]] का खराब प्रतिनिधित्व प्रदर्शित करते हैं।<ref name="ReferenceA" /><ref name="Lipton">{{cite book| first1=Alexander|last1= Lipton |first2= Andrew |last2=Rennie |title=Credit Correlation: Life After Copulas|publisher= World Scientific|isbn= 978-981-270-949-3|year= 2008 }}</ref> कुछ कोपुला सीमाओं को सुधारने वाले मॉडल प्रस्तावित करने का प्रयास किया गया है।<ref name="Lipton" /><ref>{{Cite journal
 | last1 = Donnelly|first1= C|last2= Embrechts|first2= P
 | year = 2010
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 | publisher = Wiley and Sons
 }}</ref>
-सीडीओ के अतिरिक्त, कोपुलस को बहु-परिसंपत्ति व्युत्पन्न उत्पादों के विश्लेषण में लचीले उपकरण के रूप में अन्य परिसंपत्ति वर्गों पर लागू किया गया है। क्रेडिट के बाहर इस तरह का पहला अनुप्रयोग [[टोकरी विकल्प]] निहित अस्थिरता सतह के निर्माण के लिए कोपुला का उपयोग करना था,<ref>{{Cite journal
+सीडीओ के अतिरिक्त, कोपुलस को बहु-परिसंपत्ति व्युत्पन्न उत्पादों के विश्लेषण में लचीले उपकरण के रूप में अन्य परिसंपत्ति वर्गों पर प्रयुक्त किया गया है। क्रेडिट के बाहर इस तरह का पहला अनुप्रयोग [[टोकरी विकल्प]] निहित अस्थिरता सतह के निर्माण के लिए कोपुला का उपयोग करना था,<ref>{{Cite journal
 | last = Qu, Dong
 | year = 2001
 | title = Basket Implied Volatility Surface
 | journal= Derivatives Week|issue=4 June
-}}</ref> टोकरी घटकों की [[अस्थिरता मुस्कान]] को ध्यान में रखते हुए। तब से कोपुलस ने मूल्य निर्धारण और जोखिम प्रबंधन में लोकप्रियता हासिल की है<ref>{{Cite journal
+}}</ref> टोकरी घटकों की [[अस्थिरता मुस्कान]] को ध्यान में रखते हुए । तब से कोपुलस ने मूल्य निर्धारण और जोखिम प्रबंधन में लोकप्रियता प्राप्त की है<ref>{{Cite journal
 | last = Qu, Dong
 | year = 2005
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 ===सिविल इंजीनियरिंग===
-हाल ही में, राजमार्ग पुलों की [[विश्वसनीयता (सांख्यिकी)]] विश्लेषण के लिए डेटाबेस फॉर्मूलेशन और सिविल इंजीनियरिंग में विभिन्न बहुभिन्नरूपी [[सिमुलेशन]] अध्ययनों के लिए कोपुला फ़ंक्शंस को सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref>{{Citation
+जब हाल ही में, राजमार्ग पुलों की [[विश्वसनीयता (सांख्यिकी)]] विश्लेषण के लिए डेटाबेस फॉर्मूलेशन और सिविल इंजीनियरिंग में विभिन्न बहुभिन्नरूपी [[सिमुलेशन]] अध्ययनों के लिए कोपुला फलन को सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है।<ref>{{Citation
 | last1 = Thompson| first1 = David
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 | doi=10.3141/2262-20
 | s2cid = 17179491
-}}</ref> पवन और भूकंप इंजीनियरिंग की विश्वसनीयता,<ref>{{Cite journal|last1=Yang|first1=S.C.|last2=Liu|first2=T.J.|last3=Hong|first3=H.P.|date=2017|title=स्थानिक-अस्थायी रूप से बदलती हवा या भूकंप भार के तहत टॉवर और टॉवर-लाइन सिस्टम की विश्वसनीयता|journal=Journal of Structural Engineering|volume=143|issue=10|pages=04017137|doi=10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0001835}}</ref> और मैकेनिकल एवं ऑफशोर इंजीनियरिंग।<ref>{{Cite journal|last1=Zhang|first1=Yi|last2=Beer|first2=Michael|last3=Quek|first3=Ser Tong|date=2015-07-01|title=अपतटीय संरचनाओं का दीर्घकालिक प्रदर्शन मूल्यांकन और डिजाइन|journal=Computers & Structures|volume=154|pages=101–115|doi=10.1016/j.compstruc.2015.02.029}}</ref> शोधकर्ता व्यक्तिगत ड्राइवरों के व्यवहार के बीच की बातचीत को समझने के लिए परिवहन के क्षेत्र में भी इन कार्यों की कोशिश कर रहे हैं, जो कुल मिलाकर यातायात प्रवाह को आकार देता है।
+}}</ref> पवन और भूकंप इंजीनियरिंग की विश्वसनीयता,<ref>{{Cite journal|last1=Yang|first1=S.C.|last2=Liu|first2=T.J.|last3=Hong|first3=H.P.|date=2017|title=स्थानिक-अस्थायी रूप से बदलती हवा या भूकंप भार के तहत टॉवर और टॉवर-लाइन सिस्टम की विश्वसनीयता|journal=Journal of Structural Engineering|volume=143|issue=10|pages=04017137|doi=10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0001835}}</ref> और मैकेनिकल एवं ऑफशोर इंजीनियरिंग।<ref>{{Cite journal|last1=Zhang|first1=Yi|last2=Beer|first2=Michael|last3=Quek|first3=Ser Tong|date=2015-07-01|title=अपतटीय संरचनाओं का दीर्घकालिक प्रदर्शन मूल्यांकन और डिजाइन|journal=Computers & Structures|volume=154|pages=101–115|doi=10.1016/j.compstruc.2015.02.029}}</ref> शोधकर्ता व्यक्तिगत ड्राइवरों के व्यवहार के मध्य की बातचीत को समझने के लिए परिवहन के क्षेत्र में भी इन कार्यों की कोशिश कर रहे हैं, जो कुल मिलाकर यातायात प्रवाह को आकार देता है।
 ===विश्वसनीयता इंजीनियरिंग===
-प्रतिस्पर्धात्मक विफलता मोड के साथ मशीन घटकों की जटिल प्रणालियों के विश्वसनीयता (सांख्यिकी) विश्लेषण के लिए कोपुला का उपयोग किया जा रहा है।
+प्रतिस्पर्धात्मक विफलता मोड के साथ मशीन घटकों की सम्मिश्र प्रणालियों के विश्वसनीयता (सांख्यिकी) विश्लेषण के लिए कोपुला का उपयोग किया जा रहा है।<ref>{{citation | last = Pham | first = Hong | title = Handbook of Reliability Engineering | pages = 150–151 | publisher = Springer | year = 2003}}</ref>
-<ref>{{citation | last = Pham | first = Hong | title = Handbook of Reliability Engineering | pages = 150–151 | publisher = Springer | year = 2003}}</ref>
 ===[[ गारंटी | गारंटी]] डेटा विश्लेषण===
 वारंटी डेटा विश्लेषण के लिए कोपुला का उपयोग किया जा रहा है जिसमें टेल निर्भरता का विश्लेषण किया जाता है।<ref>{{Citation | year = 2014 |last1=Wu |first1 = S. |title= Construction of asymmetric copulas and its application in two-dimensional reliability modelling | journal = European Journal of Operational Research |doi=10.1016/j.ejor.2014.03.016 |volume=238 |issue=2 |pages=476–485
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 ===अशांत दहन===
-कोपुलस का उपयोग अशांत आंशिक रूप से प्रीमिक्स्ड दहन के मॉडलिंग में किया जाता है, जो व्यावहारिक दहनकर्ताओं में आम है।<ref>{{Citation
+कोपुलस का उपयोग अशांत आंशिक रूप से प्रीमिक्स्ड दहन के मॉडलिंग में किया जाता है, जो व्यावहारिक दहनकर्ताओं में सामान्य है।<ref>{{Citation
 | year = 2014
 | last1= Ruan
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 ===चिकित्सा===
-चिकित्सा के क्षेत्र में कोपुले के कई अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए,
+चिकित्सा के क्षेत्र में कोपुले के अनेक अनुप्रयोग हैं, उदाहरण के लिए,
-# कोपुले का उपयोग चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग (एमआरआई) के क्षेत्र में किया गया है, उदाहरण के लिए, [[छवि विभाजन]] के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Lapuyade-Lahorgue|first1=Jerome|last2=Xue|first2=Jing-Hao|last3=Ruan|first3=Su|date=July 2017|title=कोपुला-आधारित बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय वितरण के साथ छिपे हुए मार्कोव फ़ील्ड का उपयोग करके बहु-स्रोत छवियों को विभाजित करना|journal=IEEE Transactions on Image Processing|volume=26|issue=7|pages=3187–3195|doi=10.1109/tip.2017.2685345|pmid=28333631|bibcode=2017ITIP...26.3187L|s2cid=11762408|issn=1057-7149|url=https://discovery.ucl.ac.uk/id/eprint/1557403/}}</ref> [[एक प्रकार का मानसिक विकार|प्रकार का मानसिक विकार]] पर अध्ययन में इमेजिंग [[ आनुवंशिकी |आनुवंशिकी]] में [[ चित्रमय मॉडल |चित्रमय मॉडल]] की रिक्ति को भरने के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Zhang|first1=Aiying|last2=Fang|first2=Jian|last3=Calhoun|first3=Vince D.|last4=Wang|first4=Yu-ping|date=April 2018|title=इमेजिंग आनुवंशिकी में मिश्रित डेटा के लिए उच्च आयामी अव्यक्त गाऊसी कोपुला मॉडल|journal=2018 IEEE 15th International Symposium on Biomedical Imaging (ISBI 2018)|pages=105–109|publisher=IEEE|doi=10.1109/isbi.2018.8363533|isbn=978-1-5386-3636-7|s2cid=44114562}}</ref> और सामान्य और अल्जाइमर रोग के रोगियों के बीच अंतर करना।<ref>{{Cite journal|last1=Bahrami|first1=Mohsen|last2=Hossein-Zadeh|first2=Gholam-Ali|date=May 2015|title=Assortativity changes in Alzheimer's disease: A resting-state FMRI study|journal=2015 23rd Iranian Conference on Electrical Engineering|pages=141–144|publisher=IEEE|doi=10.1109/iraniancee.2015.7146198|isbn=978-1-4799-1972-7|s2cid=20649428}}</ref>
+# कोपुले का उपयोग चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग (एमआरआई) के क्षेत्र में किया गया है, उदाहरण के लिए, [[छवि विभाजन]] के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Lapuyade-Lahorgue|first1=Jerome|last2=Xue|first2=Jing-Hao|last3=Ruan|first3=Su|date=July 2017|title=कोपुला-आधारित बहुभिन्नरूपी सांख्यिकीय वितरण के साथ छिपे हुए मार्कोव फ़ील्ड का उपयोग करके बहु-स्रोत छवियों को विभाजित करना|journal=IEEE Transactions on Image Processing|volume=26|issue=7|pages=3187–3195|doi=10.1109/tip.2017.2685345|pmid=28333631|bibcode=2017ITIP...26.3187L|s2cid=11762408|issn=1057-7149|url=https://discovery.ucl.ac.uk/id/eprint/1557403/}}</ref> [[एक प्रकार का मानसिक विकार|प्रकार का मानसिक विकार]] पर अध्ययन में इमेजिंग [[ आनुवंशिकी |आनुवंशिकी]] में [[ चित्रमय मॉडल |चित्रमय मॉडल]] की रिक्ति को भरने के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Zhang|first1=Aiying|last2=Fang|first2=Jian|last3=Calhoun|first3=Vince D.|last4=Wang|first4=Yu-ping|date=April 2018|title=इमेजिंग आनुवंशिकी में मिश्रित डेटा के लिए उच्च आयामी अव्यक्त गाऊसी कोपुला मॉडल|journal=2018 IEEE 15th International Symposium on Biomedical Imaging (ISBI 2018)|pages=105–109|publisher=IEEE|doi=10.1109/isbi.2018.8363533|isbn=978-1-5386-3636-7|s2cid=44114562}}</ref> और सामान्य और अल्जाइमर रोग के रोगियों के मध्य अंतर करना।<ref>{{Cite journal|last1=Bahrami|first1=Mohsen|last2=Hossein-Zadeh|first2=Gholam-Ali|date=May 2015|title=Assortativity changes in Alzheimer's disease: A resting-state FMRI study|journal=2015 23rd Iranian Conference on Electrical Engineering|pages=141–144|publisher=IEEE|doi=10.1109/iraniancee.2015.7146198|isbn=978-1-4799-1972-7|s2cid=20649428}}</ref>
-# कोपुले [[ईईजी]] संकेतों के आधार पर [[मस्तिष्क अनुसंधान]] के क्षेत्र में रहा है, उदाहरण के लिए, दिन की झपकी के दौरान उनींदापन का पता लगाने के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Qian|first1=Dong|last2=Wang|first2=Bei|last3=Qing|first3=Xiangyun|last4=Zhang|first4=Tao|last5=Zhang|first5=Yu|last6=Wang|first6=Xingyu|last7=Nakamura|first7=Masatoshi|date=April 2017|title=दिन के समय छोटी झपकी के दौरान ईईजी संकेतों के आधार पर बायेसियन-कोपुला डिस्क्रिमिनेंट क्लासिफायर द्वारा उनींदापन का पता लगाना|journal=IEEE Transactions on Biomedical Engineering|volume=64|issue=4|pages=743–754|doi=10.1109/tbme.2016.2574812|pmid=27254855|s2cid=24244444|issn=0018-9294}}</ref> तात्कालिक समतुल्य बैंडविड्थ (AWs) में परिवर्तन को ट्रैक करने के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Yoshida|first1=Hisashi|last2=Kuramoto|first2=Haruka|last3=Sunada|first3=Yusuke|last4=Kikkawa|first4=Sho|date=August 2007|title=तात्कालिक समतुल्य बैंडविड्थ द्वारा तंद्रा के विरुद्ध जागृति रखरखाव स्थिति में ईईजी विश्लेषण|journal=2007 29th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society|volume=2007|pages=19–22|publisher=IEEE|doi=10.1109/iembs.2007.4352212|pmid=18001878|isbn=978-1-4244-0787-3|s2cid=29527332}}</ref> अल्जाइमर रोग के शीघ्र निदान के लिए समकालिकता प्राप्त करना,<ref>{{Cite journal|last1=Iyengar|first1=Satish G.|last2=Dauwels|first2=Justin|last3=Varshney|first3=Pramod K.|last4=Cichocki|first4=Andrzej|date=2010|title=कोपुलस का उपयोग करके ईईजी समकालिकता की मात्रा निर्धारित करना|journal=2010 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing|pages=505–508|publisher=IEEE|doi=10.1109/icassp.2010.5495664|isbn=978-1-4244-4295-9|s2cid=16476449}}</ref> ईईजी चैनलों के बीच दोलन गतिविधि में निर्भरता को चिह्नित करने के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Gao|first1=Xu|last2=Shen|first2=Weining|last3=Ting|first3=Chee-Ming|last4=Cramer|first4=Steven C.|last5=Srinivasan|first5=Ramesh|last6=Ombao|first6=Hernando|date=April 2019|title=कोपुला गॉसियन ग्राफ़िकल मॉडल का उपयोग करके मस्तिष्क कनेक्टिविटी का अनुमान लगाना|journal=2019 IEEE 16th International Symposium on Biomedical Imaging (ISBI 2019)|pages=108–112|publisher=IEEE|doi=10.1109/isbi.2019.8759538|isbn=978-1-5386-3641-1|s2cid=195881851}}</ref> और उनके समय-भिन्न लिफाफों का उपयोग करके ईईजी चैनलों के जोड़े के बीच निर्भरता को पकड़ने के तरीकों का उपयोग करने की विश्वसनीयता का आकलन करना।<ref>{{Cite journal|last1=Fadlallah|first1=B. H.|last2=Brockmeier|first2=A. J.|last3=Seth|first3=S.|last4=Lin Li|last5=Keil|first5=A.|last6=Principe|first6=J. C.|date=August 2012|title=समय श्रृंखला में निर्भरता संरचना का विश्लेषण करने के लिए एक एसोसिएशन फ्रेमवर्क|journal=2012 Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society|volume=2012|pages=6176–6179|publisher=IEEE|doi=10.1109/embc.2012.6347404|pmid=23367339|isbn=978-1-4577-1787-1|s2cid=9061806}}</ref> न्यूरोनल निर्भरता के विश्लेषण के लिए कोपुला फ़ंक्शन को सफलतापूर्वक लागू किया गया है<ref>{{Citation|last1=Eban|first1=E|title=Dynamic Copula Networks for Modeling Real-valued Time Series|url=http://jmlr.org/proceedings/papers/v31/eban13a.pdf|journal=Journal of Machine Learning Research|volume=31|year=2013|editor1-last=Carvalho|editor1-first=C|last2=Rothschild|first2=R|last3=Mizrahi|first3=A|last4=Nelken|first4=I|last5=Elidan|first5=G|editor2-last=Ravikumar|editor2-first=P}}</ref> और तंत्रिका विज्ञान में स्पाइक गिनती।<ref>{{Citation|last1=Onken|first1=A|title=Analyzing Short-Term Noise Dependencies of Spike-Counts in Macaque Prefrontal Cortex Using Copulas and the Flashlight Transformation|journal=PLOS Computational Biology|volume=5|issue=11|pages=e1000577|year=2009|editor1-last=Aertsen|editor1-first=Ad|bibcode=2009PLSCB...5E0577O|doi=10.1371/journal.pcbi.1000577|pmc=2776173|pmid=19956759|last2=Grünewälder|first2=S|last3=Munk|first3=MH|last4=Obermayer|first4=K}}</ref>
+# कोपुले [[ईईजी]] संकेतों के आधार पर [[मस्तिष्क अनुसंधान]] के क्षेत्र में रहा है, उदाहरण के लिए, दिन की झपकी के समय उनींदापन का पता लगाने के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Qian|first1=Dong|last2=Wang|first2=Bei|last3=Qing|first3=Xiangyun|last4=Zhang|first4=Tao|last5=Zhang|first5=Yu|last6=Wang|first6=Xingyu|last7=Nakamura|first7=Masatoshi|date=April 2017|title=दिन के समय छोटी झपकी के दौरान ईईजी संकेतों के आधार पर बायेसियन-कोपुला डिस्क्रिमिनेंट क्लासिफायर द्वारा उनींदापन का पता लगाना|journal=IEEE Transactions on Biomedical Engineering|volume=64|issue=4|pages=743–754|doi=10.1109/tbme.2016.2574812|pmid=27254855|s2cid=24244444|issn=0018-9294}}</ref> तात्कालिक समतुल्य बैंडविड्थ (AWs) में परिवर्तन को ट्रैक करने के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Yoshida|first1=Hisashi|last2=Kuramoto|first2=Haruka|last3=Sunada|first3=Yusuke|last4=Kikkawa|first4=Sho|date=August 2007|title=तात्कालिक समतुल्य बैंडविड्थ द्वारा तंद्रा के विरुद्ध जागृति रखरखाव स्थिति में ईईजी विश्लेषण|journal=2007 29th Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society|volume=2007|pages=19–22|publisher=IEEE|doi=10.1109/iembs.2007.4352212|pmid=18001878|isbn=978-1-4244-0787-3|s2cid=29527332}}</ref> अल्जाइमर रोग के शीघ्र निदान के लिए समकालिकता प्राप्त करना,<ref>{{Cite journal|last1=Iyengar|first1=Satish G.|last2=Dauwels|first2=Justin|last3=Varshney|first3=Pramod K.|last4=Cichocki|first4=Andrzej|date=2010|title=कोपुलस का उपयोग करके ईईजी समकालिकता की मात्रा निर्धारित करना|journal=2010 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing|pages=505–508|publisher=IEEE|doi=10.1109/icassp.2010.5495664|isbn=978-1-4244-4295-9|s2cid=16476449}}</ref> ईईजी चैनलों के मध्य दोलन गतिविधि में निर्भरता को चिह्नित करने के लिए,<ref>{{Cite journal|last1=Gao|first1=Xu|last2=Shen|first2=Weining|last3=Ting|first3=Chee-Ming|last4=Cramer|first4=Steven C.|last5=Srinivasan|first5=Ramesh|last6=Ombao|first6=Hernando|date=April 2019|title=कोपुला गॉसियन ग्राफ़िकल मॉडल का उपयोग करके मस्तिष्क कनेक्टिविटी का अनुमान लगाना|journal=2019 IEEE 16th International Symposium on Biomedical Imaging (ISBI 2019)|pages=108–112|publisher=IEEE|doi=10.1109/isbi.2019.8759538|isbn=978-1-5386-3641-1|s2cid=195881851}}</ref> और उनके समय-भिन्न लिफाफों का उपयोग करके ईईजी चैनलों के जोड़े के मध्य निर्भरता को पकड़ने के तरीकों का उपयोग करने की विश्वसनीयता का आकलन करना है।<ref>{{Cite journal|last1=Fadlallah|first1=B. H.|last2=Brockmeier|first2=A. J.|last3=Seth|first3=S.|last4=Lin Li|last5=Keil|first5=A.|last6=Principe|first6=J. C.|date=August 2012|title=समय श्रृंखला में निर्भरता संरचना का विश्लेषण करने के लिए एक एसोसिएशन फ्रेमवर्क|journal=2012 Annual International Conference of the IEEE Engineering in Medicine and Biology Society|volume=2012|pages=6176–6179|publisher=IEEE|doi=10.1109/embc.2012.6347404|pmid=23367339|isbn=978-1-4577-1787-1|s2cid=9061806}}</ref> न्यूरोनल निर्भरता के विश्लेषण के लिए कोपुला फलन को सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया गया है<ref>{{Citation|last1=Eban|first1=E|title=Dynamic Copula Networks for Modeling Real-valued Time Series|url=http://jmlr.org/proceedings/papers/v31/eban13a.pdf|journal=Journal of Machine Learning Research|volume=31|year=2013|editor1-last=Carvalho|editor1-first=C|last2=Rothschild|first2=R|last3=Mizrahi|first3=A|last4=Nelken|first4=I|last5=Elidan|first5=G|editor2-last=Ravikumar|editor2-first=P}}</ref> और तंत्रिका विज्ञान में स्पाइक गिनती।<ref>{{Citation|last1=Onken|first1=A|title=Analyzing Short-Term Noise Dependencies of Spike-Counts in Macaque Prefrontal Cortex Using Copulas and the Flashlight Transformation|journal=PLOS Computational Biology|volume=5|issue=11|pages=e1000577|year=2009|editor1-last=Aertsen|editor1-first=Ad|bibcode=2009PLSCB...5E0577O|doi=10.1371/journal.pcbi.1000577|pmc=2776173|pmid=19956759|last2=Grünewälder|first2=S|last3=Munk|first3=MH|last4=Obermayer|first4=K}}</ref>
-#[[ कैंसर विज्ञान | कैंसर विज्ञान]] के क्षेत्र में कोपुला मॉडल विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, विशिष्ट [[फेनोटाइप]] और कई आणविक विशेषताओं (जैसे [[उत्परिवर्तन]] और जीन अभिव्यक्ति परिवर्तन) के बीच बातचीत की पहचान करने के लिए सेलुलर नेटवर्क के पुनर्निर्माण के लिए [[जीनोटाइप]], फेनोटाइप और मार्गों को संयुक्त रूप से मॉडल करना। बाओ एट अल.<ref>{{Cite journal|last1=Bao|first1=Le|last2=Zhu|first2=Zhou|last3=Ye|first3=Jingjing|date=March 2009|title=कोपुला विधि के माध्यम से कई जीनोटाइप और फेनोटाइप के साथ ऑन्कोलॉजी जीन पथ नेटवर्क की मॉडलिंग करना|journal=2009 IEEE Symposium on Computational Intelligence in Bioinformatics and Computational Biology|pages=237–246|publisher=IEEE|doi=10.1109/cibcb.2009.4925734|isbn=978-1-4244-2756-7|s2cid=16779505}}</ref> आणविक विशेषताओं के कई उपसमूहों की पहचान करने के लिए NCI60 [[कैंसर]] सेल लाइन डेटा का उपयोग किया गया जो संयुक्त रूप से नैदानिक फेनोटाइप के भविष्यवक्ताओं के रूप में कार्य करते हैं। प्रस्तावित कोपुला का कैंसर के इलाज से लेकर बीमारी की रोकथाम तक, [[ जैव चिकित्सा |जैव चिकित्सा]] अनुसंधान पर प्रभाव पड़ सकता है। कोपुला का उपयोग [[ colonoscopy |colonoscopy]] छवियों से कोलोरेक्टल घावों के हिस्टोलॉजिकल निदान की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया गया है,<ref>{{Cite journal|last1=Kwitt|first1=Roland|last2=Uhl|first2=Andreas|last3=Hafner|first3=Michael|last4=Gangl|first4=Alfred|last5=Wrba|first5=Friedrich|last6=Vecsei|first6=Andreas|date=June 2010|title=एक संभाव्य ढांचे में कोलोरेक्टल घावों के ऊतक विज्ञान की भविष्यवाणी करना|journal=2010 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition - Workshops|pages=103–110|publisher=IEEE|doi=10.1109/cvprw.2010.5543146|isbn=978-1-4244-7029-7|s2cid=14841548}}</ref> और कैंसर के उपप्रकारों को वर्गीकृत करना।<ref>{{Cite journal|last1=Kon|first1=M. A.|last2=Nikolaev|first2=N.|date=December 2011|title=द्विघात विभेदक विश्लेषण और कैंसर उपप्रकारों के वर्गीकरण के लिए अनुभवजन्य सामान्यीकरण|journal=2011 10th International Conference on Machine Learning and Applications and Workshops|pages=374–379|publisher=IEEE|doi=10.1109/icmla.2011.160|arxiv=1203.6345 |isbn=978-1-4577-2134-2|hdl=2144/38445|s2cid=346934|hdl-access=free}}</ref>
+#[[ कैंसर विज्ञान | कैंसर विज्ञान]] के क्षेत्र में कोपुला मॉडल विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, विशिष्ट [[फेनोटाइप]] और अनेक आणविक विशेषताओं (जैसे [[उत्परिवर्तन]] और जीन अभिव्यक्ति परिवर्तन) के मध्य बातचीत की पहचान करने के लिए सेलुलर नेटवर्क के पुनर्निर्माण के लिए [[जीनोटाइप]], फेनोटाइप और मार्गों को संयुक्त रूप से मॉडल करना। बाओ एट अल.<ref>{{Cite journal|last1=Bao|first1=Le|last2=Zhu|first2=Zhou|last3=Ye|first3=Jingjing|date=March 2009|title=कोपुला विधि के माध्यम से कई जीनोटाइप और फेनोटाइप के साथ ऑन्कोलॉजी जीन पथ नेटवर्क की मॉडलिंग करना|journal=2009 IEEE Symposium on Computational Intelligence in Bioinformatics and Computational Biology|pages=237–246|publisher=IEEE|doi=10.1109/cibcb.2009.4925734|isbn=978-1-4244-2756-7|s2cid=16779505}}</ref> आणविक विशेषताओं के अनेक उपसमूहों की पहचान करने के लिए ''NCI60'' [[कैंसर]] सेल लाइन डेटा का उपयोग किया गया है जो संयुक्त रूप से नैदानिक फेनोटाइप के भविष्यवक्ताओं के रूप में फलन करते हैं। इस प्रकार प्रस्तावित कोपुला का कैंसर के इलाज से लेकर बीमारी की रोकथाम तक, [[ जैव चिकित्सा |जैव चिकित्सा]] अनुसंधान पर प्रभाव पड़ सकता है। कोपुला का उपयोग [[ colonoscopy |कोलोनोस्कोपी]] छवियों से कोलोरेक्टल घावों के हिस्टोलॉजिकल निदान की भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जाता है,<ref>{{Cite journal|last1=Kwitt|first1=Roland|last2=Uhl|first2=Andreas|last3=Hafner|first3=Michael|last4=Gangl|first4=Alfred|last5=Wrba|first5=Friedrich|last6=Vecsei|first6=Andreas|date=June 2010|title=एक संभाव्य ढांचे में कोलोरेक्टल घावों के ऊतक विज्ञान की भविष्यवाणी करना|journal=2010 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition - Workshops|pages=103–110|publisher=IEEE|doi=10.1109/cvprw.2010.5543146|isbn=978-1-4244-7029-7|s2cid=14841548}}</ref> और कैंसर के उप प्रकारों को वर्गीकृत करना है ।<ref>{{Cite journal|last1=Kon|first1=M. A.|last2=Nikolaev|first2=N.|date=December 2011|title=द्विघात विभेदक विश्लेषण और कैंसर उपप्रकारों के वर्गीकरण के लिए अनुभवजन्य सामान्यीकरण|journal=2011 10th International Conference on Machine Learning and Applications and Workshops|pages=374–379|publisher=IEEE|doi=10.1109/icmla.2011.160|arxiv=1203.6345 |isbn=978-1-4577-2134-2|hdl=2144/38445|s2cid=346934|hdl-access=free}}</ref>
-#[[हृदय और हृदय रोग]] के क्षेत्र में कोपुला-आधारित विश्लेषण मॉडल विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, हृदय गति (एचआर) भिन्नता की भविष्यवाणी करने के लिए। हृदय गति (एचआर) व्यायाम की तीव्रता और भार की डिग्री की निगरानी के लिए सबसे महत्वपूर्ण स्वास्थ्य संकेतकों में से है क्योंकि यह हृदय गति से निकटता से संबंधित है। इसलिए, सटीक अल्पकालिक एचआर भविष्यवाणी तकनीक मानव स्वास्थ्य के लिए कुशल प्रारंभिक चेतावनी दे सकती है और हानिकारक घटनाओं को कम कर सकती है। नमाजी (2022)<ref>{{Cite journal|last1=Namazi|first1=Asieh|date=December 2022|title=एकल स्पेक्ट्रम विश्लेषण और कोपुला-आधारित विश्लेषण दृष्टिकोण के संयोजन का उपयोग करके हृदय गति की भविष्यवाणी में सुधार पर|journal=PeerJ|volume=10 |pages=e14601|doi=10.7717/peerj.14601|pmid=36570014 |pmc=9774013 |issn=2167-8359}}</ref> एचआर की भविष्यवाणी करने के लिए उपन्यास हाइब्रिड एल्गोरिदम का उपयोग किया।
+#[[हृदय और हृदय रोग]] के क्षेत्र में कोपुला-आधारित विश्लेषण मॉडल विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, हृदय गति (एचआर) भिन्नता की भविष्यवाणी करने के लिए। हृदय गति (एचआर) व्यायाम की तीव्रता और भार की डिग्री की निगरानी के लिए सबसे महत्वपूर्ण स्वास्थ्य संकेतकों में से है क्योंकि यह हृदय गति से निकटता से संबंधित है। इसलिए, स्पष्ट अल्पकालिक एचआर भविष्यवाणी विधि मानव स्वास्थ्य के लिए कुशल प्रारंभिक चेतावनी दे सकती है और हानिकारक घटनाओं को कम कर सकती है। नमाजी (2022)<ref>{{Cite journal|last1=Namazi|first1=Asieh|date=December 2022|title=एकल स्पेक्ट्रम विश्लेषण और कोपुला-आधारित विश्लेषण दृष्टिकोण के संयोजन का उपयोग करके हृदय गति की भविष्यवाणी में सुधार पर|journal=PeerJ|volume=10 |pages=e14601|doi=10.7717/peerj.14601|pmid=36570014 |pmc=9774013 |issn=2167-8359}}</ref> एचआर की भविष्यवाणी करने के लिए उपन्यास हाइब्रिड एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है ।
 ===जियोडेसी===
-एसएसए और कोपुला-आधारित तरीकों का संयोजन पहली बार ईओपी भविष्यवाणी के लिए उपन्यास स्टोकेस्टिक उपकरण के रूप में लागू किया गया है।<ref>{{Cite journal | last1 = Modiri | first1 = S. | last2 = Belda | first2 = S. | last3 = Heinkelmann | first3 = R. | last4 = Hoseini | first4 = M. | last5 = Ferrándiz | first5 = J.M. | last6 = Schuh | first6 = H. |doi = 10.1186/s40623-018-0888-3 | title = एसएसए और कोपुला-आधारित विश्लेषण के संयोजन का उपयोग करके ध्रुवीय गति की भविष्यवाणी| journal = Earth, Planets and Space | volume = 70 | issue = 70 | pages = 115 | year = 2018 | pmid =  30996648| pmc =6434970 | bibcode =2018EP&S...70..115M}}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Modiri | first1 = S. | last2 = Belda | first2 = S. | last3 = Hoseini | first3 = M.| last4 = Heinkelmann | first4 = R. | last5 = Ferrándiz | first5 = J.M. | last6 = Schuh | first6 = H. |doi = 10.1007/s00190-020-01354-y | title = एलओडी की अल्ट्रा-शॉर्ट-टर्म भविष्यवाणी को बेहतर बनाने के लिए एक नई हाइब्रिड विधि| journal = Journal of Geodesy | volume = 94 | issue = 23 | year = 2020 | page = 23 | pmid = 32109976 | pmc = 7004433 | bibcode = 2020JGeod..94...23M | doi-access = free }}</ref>
+एसएसए और कोपुला-आधारित तरीकों का संयोजन पहली बार ईओपी भविष्यवाणी के लिए उपन्यास स्टोकेस्टिक उपकरण के रूप में प्रयुक्त किया गया है।<ref>{{Cite journal | last1 = Modiri | first1 = S. | last2 = Belda | first2 = S. | last3 = Heinkelmann | first3 = R. | last4 = Hoseini | first4 = M. | last5 = Ferrándiz | first5 = J.M. | last6 = Schuh | first6 = H. |doi = 10.1186/s40623-018-0888-3 | title = एसएसए और कोपुला-आधारित विश्लेषण के संयोजन का उपयोग करके ध्रुवीय गति की भविष्यवाणी| journal = Earth, Planets and Space | volume = 70 | issue = 70 | pages = 115 | year = 2018 | pmid =  30996648| pmc =6434970 | bibcode =2018EP&S...70..115M}}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Modiri | first1 = S. | last2 = Belda | first2 = S. | last3 = Hoseini | first3 = M.| last4 = Heinkelmann | first4 = R. | last5 = Ferrándiz | first5 = J.M. | last6 = Schuh | first6 = H. |doi = 10.1007/s00190-020-01354-y | title = एलओडी की अल्ट्रा-शॉर्ट-टर्म भविष्यवाणी को बेहतर बनाने के लिए एक नई हाइब्रिड विधि| journal = Journal of Geodesy | volume = 94 | issue = 23 | year = 2020 | page = 23 | pmid = 32109976 | pmc = 7004433 | bibcode = 2020JGeod..94...23M | doi-access = free }}</ref>
 ===जलविज्ञान अनुसंधान===
-कोपुलस का उपयोग जलजलवायु डेटा के सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों विश्लेषणों में किया गया है। उदाहरण के लिए, दुनिया के विभिन्न हिस्सों में तापमान और वर्षा की निर्भरता संरचनाओं की बेहतर समझ हासिल करने के लिए सैद्धांतिक अध्ययनों ने कोप्युला-आधारित पद्धति को अपनाया।<रेफ नाम = टूटूनची 1-31 /><ref>{{Cite journal|last1=Lazoglou|first1=Georgia|last2=Anagnostopoulou|first2=Christina|date=February 2019|title=कोपुला विधि का उपयोग करके भूमध्य सागर में तापमान और वर्षा का संयुक्त वितरण|journal=Theoretical and Applied Climatology|language=en|volume=135|issue=3–4|pages=1399–1411|doi=10.1007/s00704-018-2447-z|bibcode=2019ThApC.135.1399L|s2cid=125268690|issn=0177-798X}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Cong|first1=Rong-Gang|last2=Brady|first2=Mark|date=2012|title=The Interdependence between Rainfall and Temperature: Copula Analyses|journal=The Scientific World Journal|language=en|volume=2012|page=405675|doi=10.1100/2012/405675|issn=1537-744X|pmc=3504421|pmid=23213286}}</ref> व्यावहारिक अध्ययनों ने उदाहरण के लिए, कृषि सूखे की जांच के लिए कोपुला-आधारित पद्धति को अपनाया<ref>{{Cite journal|last1=Wang|first1=Long|last2=Yu|first2=Hang|last3=Yang|first3=Maoling|last4=Yang|first4=Rui|last5=Gao|first5=Rui|last6=Wang|first6=Ying|date=April 2019|title=A drought index: The standardized precipitation evapotranspiration runoff index|journal=Journal of Hydrology|language=en|volume=571|pages=651–668|doi=10.1016/j.jhydrol.2019.02.023|bibcode=2019JHyd..571..651W|s2cid=134409125 }}</ref> या वनस्पति विकास पर तापमान और वर्षा की चरम सीमा का संयुक्त प्रभाव।<ref>{{Cite journal|last1=Alidoost|first1=Fakhereh|last2=Su|first2=Zhongbo|last3=Stein|first3=Alfred|date=December 2019|title=Evaluating the effects of climate extremes on crop yield, production and price using multivariate distributions: A new copula application|journal=Weather and Climate Extremes|language=en|volume=26|pages=100227|doi=10.1016/j.wace.2019.100227|bibcode=2019WCE....2600227A |doi-access=free}}</ref>
+कोपुलस का उपयोग जलवायु डेटा के सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों विश्लेषणों में किया गया है। उदाहरण के लिए, दुनिया के विभिन्न हिस्सों में तापमान और वर्षा की निर्भरता संरचनाओं की श्रेष्ठ समझ प्राप्त करने के लिए सैद्धांतिक अध्ययनों ने कोप्युला-आधारित पद्धति को अपनाया जाता है ।<ref><रेफ नाम = टूटूनची 1-31 /></ref><ref>{{Cite journal|last1=Lazoglou|first1=Georgia|last2=Anagnostopoulou|first2=Christina|date=February 2019|title=कोपुला विधि का उपयोग करके भूमध्य सागर में तापमान और वर्षा का संयुक्त वितरण|journal=Theoretical and Applied Climatology|language=en|volume=135|issue=3–4|pages=1399–1411|doi=10.1007/s00704-018-2447-z|bibcode=2019ThApC.135.1399L|s2cid=125268690|issn=0177-798X}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Cong|first1=Rong-Gang|last2=Brady|first2=Mark|date=2012|title=The Interdependence between Rainfall and Temperature: Copula Analyses|journal=The Scientific World Journal|language=en|volume=2012|page=405675|doi=10.1100/2012/405675|issn=1537-744X|pmc=3504421|pmid=23213286}}</ref> इस प्रकार व्यावहारिक अध्ययनों ने उदाहरण के लिए, कृषि सूखे की जांच के लिए कोपुला-आधारित पद्धति को अपनाया गया है <ref>{{Cite journal|last1=Wang|first1=Long|last2=Yu|first2=Hang|last3=Yang|first3=Maoling|last4=Yang|first4=Rui|last5=Gao|first5=Rui|last6=Wang|first6=Ying|date=April 2019|title=A drought index: The standardized precipitation evapotranspiration runoff index|journal=Journal of Hydrology|language=en|volume=571|pages=651–668|doi=10.1016/j.jhydrol.2019.02.023|bibcode=2019JHyd..571..651W|s2cid=134409125 }}</ref> तथा वनस्पति विकास पर तापमान और वर्षा की चरम सीमा का संयुक्त प्रभाव दर्शाया जाता है ।<ref>{{Cite journal|last1=Alidoost|first1=Fakhereh|last2=Su|first2=Zhongbo|last3=Stein|first3=Alfred|date=December 2019|title=Evaluating the effects of climate extremes on crop yield, production and price using multivariate distributions: A new copula application|journal=Weather and Climate Extremes|language=en|volume=26|pages=100227|doi=10.1016/j.wace.2019.100227|bibcode=2019WCE....2600227A |doi-access=free}}</ref>
+===जलवायु और मौसम अनुसंधान===
+जलवायु और मौसम संबंधी अनुसंधान में कोपुला का बड़े पैमाने पर उपयोग किया गया है।<ref>{{Cite journal | last1 = Schölzel | first1 = C. | last2 = Friederichs | first2 = P. | doi = 10.5194/npg-15-761-2008 | title = Multivariate non-normally distributed random variables in climate research – introduction to the copula approach | journal = Nonlinear Processes in Geophysics | volume = 15 | issue = 5 | pages = 761–772 | year = 2008 | bibcode = 2008NPGeo..15..761S | doi-access = free }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Laux | first1 = P. | first2 = S. |last2 = Vogl | first3 = W. | last3 = Qiu | first4 = H.R. | last4 = Knoche | first5 = H. | last5 = Kunstmann | doi = 10.5194/hess-15-2401-2011 | title = जटिल भूभाग पर आरसीएम सिमुलेशन में वर्षा का कोपुला-आधारित सांख्यिकीय शोधन| journal = Hydrol. Earth Syst. Sci. | volume = 15 | issue = 7 | pages = 2401–2419 | year = 2011 | bibcode = 2011HESS...15.2401L | doi-access = free }}</ref>
-===जलवायु और मौसम अनुसंधान===
-जलवायु और मौसम संबंधी अनुसंधान में कोपुला का बड़े पैमाने पर उपयोग किया गया है।<ref>{{Cite journal | last1 = Schölzel | first1 = C. | last2 = Friederichs | first2 = P. | doi = 10.5194/npg-15-761-2008 | title = Multivariate non-normally distributed random variables in climate research – introduction to the copula approach | journal = Nonlinear Processes in Geophysics | volume = 15 | issue = 5 | pages = 761–772 | year = 2008 | bibcode = 2008NPGeo..15..761S | doi-access = free }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Laux | first1 = P. | first2 = S. |last2 = Vogl | first3 = W. | last3 = Qiu | first4 = H.R. | last4 = Knoche | first5 = H. | last5 = Kunstmann | doi = 10.5194/hess-15-2401-2011 | title = जटिल भूभाग पर आरसीएम सिमुलेशन में वर्षा का कोपुला-आधारित सांख्यिकीय शोधन| journal = Hydrol. Earth Syst. Sci. | volume = 15 | issue = 7 | pages = 2401–2419 | year = 2011 | bibcode = 2011HESS...15.2401L | doi-access = free }}</ref>
+[[सौर विकिरण]] परिवर्तनशीलता
-===[[सौर विकिरण]] परिवर्तनशीलता===
+स्थानिक नेटवर्क में और एकल स्थानों के लिए अस्थायी रूप से सौर विकिरण परिवर्तन शीलता का अनुमान लगाने के लिए कोपुला का उपयोग किया गया है।<ref name= JM;Copula >{{cite journal|last1=Munkhammar|first1=J.|last2=Widén|first2=J.|title=स्थानिक नेटवर्क में सहसंबद्ध तात्कालिक सौर विकिरण का अनुकरण करने के लिए एक कोपुला विधि|journal=Solar Energy |volume=143|pages=10–21|year=2017|doi=10.1016/j.solener.2016.12.022|bibcode=2017SoEn..143...10M}}</ref><ref name=JM3;कोपुला >{{cite journal|last1=Munkhammar|first1=J.|last2=Widén|first2=J.|title=यथार्थवादी स्पष्ट-आकाश सूचकांक समय-श्रृंखला उत्पन्न करने के लिए एक ऑटोसहसंबंध-आधारित कोप्युला मॉडल|journal=Solar Energy |volume=158|pages=9–19|year=2017|doi=10.1016/j.solener.2017.09.028|bibcode=2017SoEn..158....9M}}</ref>
-स्थानिक नेटवर्क में और एकल स्थानों के लिए अस्थायी रूप से सौर विकिरण परिवर्तनशीलता का अनुमान लगाने के लिए कोपुला का उपयोग किया गया है।<ref name= JM;Copula >{{cite journal|last1=Munkhammar|first1=J.|last2=Widén|first2=J.|title=स्थानिक नेटवर्क में सहसंबद्ध तात्कालिक सौर विकिरण का अनुकरण करने के लिए एक कोपुला विधि|journal=Solar Energy |volume=143|pages=10–21|year=2017|doi=10.1016/j.solener.2016.12.022|bibcode=2017SoEn..143...10M}}</ref><ref name=JM3;कोपुला >{{cite journal|last1=Munkhammar|first1=J.|last2=Widén|first2=J.|title=यथार्थवादी स्पष्ट-आकाश सूचकांक समय-श्रृंखला उत्पन्न करने के लिए एक ऑटोसहसंबंध-आधारित कोप्युला मॉडल|journal=Solar Energy |volume=158|pages=9–19|year=2017|doi=10.1016/j.solener.2017.09.028|bibcode=2017SoEn..158....9M}}</ref>
-===यादृच्छिक वेक्टर पीढ़ी===
+===यादृच्छिक सदिश पीढ़ी===
-छोटे डेटासेट की संपूर्ण निर्भरता संरचना को संरक्षित करते हुए अनुभवजन्य कोपुला का उपयोग करके वैक्टर और स्थिर समय श्रृंखला के बड़े सिंथेटिक निशान उत्पन्न किए जा सकते हैं।{{cite conference|last=Strelen|first=Johann Christoph|title=कोपुलस के साथ आश्रित सिमुलेशन इनपुट के लिए उपकरण|conference=2nd International ICST Conference on Simulation Tools and Techniques|year=2009|doi=10.4108/icst.simutools2009.5596|doi-access=free}}</ref> ऐसे अनुभवजन्य निशान विभिन्न सिमुलेशन-आधारित प्रदर्शन अध्ययनों में उपयोगी होते हैं। रेफरी नाम = ResQue >{{cite book|last1=Bandara|first1=H. M. N. D.|last2=Jayasumana |first2=A. P. |title=सहसंबंधित स्थिर और गतिशील विशेषताओं के साथ पी2पी संसाधनों की विशेषताओं और मॉडलिंग पर|journal=IEEE Globecom|date=Dec 2011|pages=1–6|doi=10.1109/GLOCOM.2011.6134288|isbn=978-1-4244-9268-8|citeseerx=10.1.1.309.3975|s2cid=7135860}}</ref>
+छोटे डेटासेट की संपूर्ण निर्भरता संरचना को संरक्षित करते हुए अनुभवजन्य कोपुला का उपयोग करके वैक्टर और स्थिर समय श्रृंखला के बड़े सिंथेटिक निशान उत्पन्न किए जा सकते हैं।<ref>{{cite conference|last=Strelen|first=Johann Christoph|title=कोपुलस के साथ आश्रित सिमुलेशन इनपुट के लिए उपकरण|conference=2nd International ICST Conference on Simulation Tools and Techniques|year=2009|doi=10.4108/icst.simutools2009.5596|doi-access=free}}<nowiki></ref><ref>&lt;/nowiki&gt; ऐसे अनुभवजन्य निशान विभिन्न सिमुलेशन-आधारित प्रदर्शन अध्ययनों में उपयोगी होते हैं। रेफरी नाम = ResQue >{{cite book|last1=Bandara|first1=H. M. N. D.|last2=Jayasumana |first2=A. P. |title=सहसंबंधित स्थिर और गतिशील विशेषताओं के साथ पी2पी संसाधनों की विशेषताओं और मॉडलिंग पर|journal=IEEE Globecom|date=Dec 2011|pages=1–6|doi=10.1109/GLOCOM.2011.6134288|isbn=978-1-4244-9268-8|citeseerx=10.1.1.309.3975|s2cid=7135860}}<nowiki></ref><ref>&lt;/nowiki&gt;<nowiki></ref><ref>&lt;/nowiki&gt;<nowiki></ref>
 ===विद्युत मोटरों की रैंकिंग===
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 ===[[ संकेत आगे बढ़ाना ]]===
-कोपुला महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे सीमांत वितरण का उपयोग किए बिना निर्भरता संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं। [[वित्त]] के क्षेत्र में कोपुला का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, लेकिन सिग्नल प्रोसेसिंग में उनका उपयोग अपेक्षाकृत नया है। [[राडार]] संकेतों को वर्गीकृत करने, [[रिमोट सेंसिंग]] अनुप्रयोगों में परिवर्तन का पता लगाने और चिकित्सा में ईईजी सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए [[ तार रहित |तार रहित]] [[संचार]] के क्षेत्र में कोपुलस को नियोजित किया गया है। इस खंड में, कोपुला घनत्व फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए संक्षिप्त गणितीय व्युत्पत्ति, उसके बाद प्रासंगिक सिग्नल प्रोसेसिंग अनुप्रयोगों के साथ कोपुला घनत्व कार्यों की सूची प्रदान करने वाली तालिका प्रस्तुत की गई है।
+कोपुला महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे सीमांत वितरण का उपयोग किए बिना निर्भरता संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं। जिस प्रकार [[वित्त]] के क्षेत्र में कोपुला का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, किन्तु सिग्नल प्रोसेसिंग में उनका उपयोग अपेक्षाकृत नया है। [[राडार]] संकेतों को वर्गीकृत करने, [[रिमोट सेंसिंग]] अनुप्रयोगों में परिवर्तन का पता लगाने और चिकित्सा में ईईजी सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए [[ तार रहित |तार रहित]] [[संचार]] के क्षेत्र में कोपुलस को नियोजित किया गया है। इस खंड में, कोपुला घनत्व फलन प्राप्त करने के लिए संक्षिप्त गणितीय व्युत्पत्ति होती है, उसके पश्चात् प्रासंगिक सिग्नल प्रोसेसिंग अनुप्रयोगों के साथ कोपुला घनत्व कार्यों की सूची प्रदान करने वाली तालिका प्रस्तुत की गई है।
 ===खगोल विज्ञान===
-सक्रिय गैलेक्टिक नाभिक (एजीएन) के मुख्य रेडियो चमक फ़ंक्शन को निर्धारित करने के लिए कोपुलस का उपयोग किया गया है,<ref>{{cite journal |last1=Zunli |first1=Yuan |last2=Jiancheng |first2=Wang | last3=Diana |first3=Worrall | last4=Bin-Bin |first4=Zhang | last5=Jirong |first5=Mao |title=कोपुला के माध्यम से रेडियो एजीएन के कोर रेडियो ल्यूमिनोसिटी फ़ंक्शन का निर्धारण|journal=The Astrophysical Journal Supplement Series |date=2018 |volume=239 |issue=2 |page=33 |doi=10.3847/1538-4365/aaed3b |arxiv=1810.12713 |bibcode=2018ApJS..239...33Y |s2cid=59330508 |url=https://iopscience.iop.org/article/10.3847/1538-4365/aaed3b}}</ref> जबकि नमूना पूर्णता में कठिनाइयों के कारण पारंपरिक तरीकों का उपयोग करके इसे साकार नहीं किया जा सकता है।
+सक्रिय गैलेक्टिक नाभिक (एजीएन) के मुख्य रेडियो चमक फलन को निर्धारित करने के लिए कोपुलस का उपयोग किया गया है,<ref>{{cite journal |last1=Zunli |first1=Yuan |last2=Jiancheng |first2=Wang | last3=Diana |first3=Worrall | last4=Bin-Bin |first4=Zhang | last5=Jirong |first5=Mao |title=कोपुला के माध्यम से रेडियो एजीएन के कोर रेडियो ल्यूमिनोसिटी फ़ंक्शन का निर्धारण|journal=The Astrophysical Journal Supplement Series |date=2018 |volume=239 |issue=2 |page=33 |doi=10.3847/1538-4365/aaed3b |arxiv=1810.12713 |bibcode=2018ApJS..239...33Y |s2cid=59330508 |url=https://iopscience.iop.org/article/10.3847/1538-4365/aaed3b}}</ref> जबकि नमूना पूर्णता में कठिनाइयों के कारण पारंपरिक तरीकों का उपयोग करके इसे साकार नहीं किया जा सकता है।
 ==कॉपुला घनत्व फलन की गणितीय व्युत्पत्ति==
-किन्हीं दो यादृच्छिक चर X और Y के लिए, सतत संयुक्त संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता है
+किन्हीं दो यादृच्छिक वेरिएबल X और Y के लिए, सतत संयुक्त संभाव्यता वितरण फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 : <math>F_{XY}(x,y) = \Pr \begin{Bmatrix} X \leq{x},Y\leq{y} \end{Bmatrix}, </math>
-कहाँ <math display="inline">F_X(x) = \Pr \begin{Bmatrix} X \leq{x} \end{Bmatrix} </math> और
+जहाँ <math display="inline">F_X(x) = \Pr \begin{Bmatrix} X \leq{x} \end{Bmatrix} </math> और <math display="inline"> F_Y(y) = \Pr \begin{Bmatrix} Y \leq{y} \end{Bmatrix} </math> क्रमशः यादृच्छिक वेरिएबल X और Y के सीमांत संचयी वितरण फलन हैं।
-<math display="inline"> F_Y(y) = \Pr \begin{Bmatrix} Y \leq{y} \end{Bmatrix} </math> क्रमशः यादृच्छिक चर X और Y के सीमांत संचयी वितरण कार्य हैं।
-फिर कोपुला वितरण फ़ंक्शन <math>C(u, v)</math> स्केलर के प्रमेय का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है<ref>{{Cite book|last1=Appell|first1=Paul|title=Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales étude des fonctions analytiques sur une surface de Riemann / par Paul Appell, Édouard Goursat.|last2=Goursat|first2=Edouard|date=1895|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|doi=10.5962/bhl.title.18731|url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/58385}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Durante|first1=Fabrizio|last2=Fernández-Sánchez|first2=Juan|last3=Sempi|first3=Carlo|date=2013|title=स्केलर के प्रमेय का एक टोपोलॉजिकल प्रमाण|journal=Applied Mathematics Letters|volume=26|issue=9|pages=945–948|doi=10.1016/j.aml.2013.04.005|issn=0893-9659|doi-access=free}}</ref> जैसा:
+फिर कोपुला वितरण फलन <math>C(u, v)</math> अदिश के प्रमेय का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है<ref>{{Cite book|last1=Appell|first1=Paul|title=Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales étude des fonctions analytiques sur une surface de Riemann / par Paul Appell, Édouard Goursat.|last2=Goursat|first2=Edouard|date=1895|publisher=Gauthier-Villars|location=Paris|doi=10.5962/bhl.title.18731|url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/58385}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Durante|first1=Fabrizio|last2=Fernández-Sánchez|first2=Juan|last3=Sempi|first3=Carlo|date=2013|title=स्केलर के प्रमेय का एक टोपोलॉजिकल प्रमाण|journal=Applied Mathematics Letters|volume=26|issue=9|pages=945–948|doi=10.1016/j.aml.2013.04.005|issn=0893-9659|doi-access=free}}</ref> जैसा:
 <math>F_{XY}(x,y) = C( F_X (x) , F_Y (y) ) \triangleq C( u, v )
 </math>,
-कहाँ <math>u = F_X(x) </math> और <math>v = F_Y(y) </math> सीमांत वितरण कार्य हैं, <math> F_{XY}(x,y) </math> संयुक्त और <math> u, v \in (0,1) </math>.
+जहाँ <math>u = F_X(x) </math> और <math>v = F_Y(y) </math> सीमांत वितरण फलन हैं, <math> F_{XY}(x,y) </math> संयुक्त और <math> u, v \in (0,1) </math>.
-यह मानते हुए <math>F_{XY}(\cdot,\cdot) </math> ए.ई. है दो बार भिन्न करने योग्य, हम संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) और संयुक्त संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) और इसके आंशिक डेरिवेटिव के बीच संबंध का उपयोग करके शुरू करते हैं।
+यह मानते हुए <math>F_{XY}(\cdot,\cdot) </math> A .E . है दो बार भिन्न करने योग्य , जिसे हम संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) और संयुक्त संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) और इसके आंशिक डेरिवेटिव के मध्य संबंध का उपयोग करके प्रारंभिक करते हैं।
 :<math>\begin{alignat}{6}
@@ Line 424: / Line 419: @@
 </math>
-कहाँ <math>c(u,v)</math> कोपुला घनत्व फ़ंक्शन है, <math>f_X(x) </math> और <math>f_Y(y) </math> क्रमशः X और Y के सीमांत संभाव्यता घनत्व फलन हैं। यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस समीकरण में चार तत्व हैं, और यदि कोई तीन तत्व ज्ञात हैं, तो चौथे तत्व की गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग किया जा सकता है,
+जहाँ <math>c(u,v)</math> को पुला घनत्व फलन है, <math>f_X(x) </math> और <math>f_Y(y) </math> क्रमशः X और Y के सीमांत संभाव्यता घनत्व फलन हैं। यह समझना महत्वपूर्ण है कि इस समीकरण में चार तत्व हैं, और यदि कोई तीन तत्व ज्ञात हैं, तब चौथे तत्व की गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग किया जा सकता है,
-* जब दो यादृच्छिक चर के बीच संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन ज्ञात होता है, कोपुला घनत्व फ़ंक्शन ज्ञात होता है, और दो सीमांत कार्यों में से ज्ञात होता है, तो, अन्य सीमांत फ़ंक्शन की गणना की जा सकती है, या
+* जब दो यादृच्छिक वेरिएबल के मध्य संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन ज्ञात होता है, कोपुला घनत्व फलन ज्ञात होता है, और दो सीमांत कार्यों में से ज्ञात होता है, तब, अन्य सीमांत फलन की गणना की जा सकती है, या
-* जब दो सीमांत फलन और कोपुला घनत्व फलन ज्ञात हो, तो दो यादृच्छिक चरों के बीच संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन की गणना की जा सकती है, या
+* जब दो सीमांत फलन और कोपुला घनत्व फलन पर ज्ञात हो, तब दो यादृच्छिक चरों के मध्य संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन की गणना की जा सकती है, या
-* जब दो सीमांत फलन और दो यादृच्छिक चरों के बीच संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन ज्ञात हो, तो कोपुला घनत्व फलन की गणना की जा सकती है।
+* जब दो सीमांत फलन और दो यादृच्छिक चरों के मध्य संयुक्त संभाव्यता घनत्व फलन ज्ञात हो, तब कोपुला घनत्व फलन की गणना की जा सकती है।
 ===कॉपुला घनत्व कार्यों और अनुप्रयोगों की सूची===
-सिग्नल प्रोसेसिंग के क्षेत्र में विभिन्न द्विचर कोपुला घनत्व कार्य महत्वपूर्ण हैं। <math>u=F_X(x)
+सिग्नल प्रोसेसिंग के क्षेत्र में विभिन्न द्विचर कोपुला घनत्व फलन महत्वपूर्ण हैं। <math>u=F_X(x)
 </math> और <math>v=F_Y(y)
-</math> सीमांत वितरण कार्य हैं और <math>f_X(x)
+</math> सीमांत वितरण फलन हैं और <math>f_X(x)
 </math> और <math>f_Y(y)
@@ Line 445: / Line 440: @@
 !Use
 |-
-|Gaussian
+|गॉसियन
 |<math>\begin{align}
 = {} & \frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left (-\frac{(a^2+b^2)\rho^2-2 ab\rho}{ 2(1-\rho^2) } \right ) \\
@@ Line 454: / Line 449: @@
 \end{align}
 </math>
-|supervised classification of synthetic aperture radar (SAR) images,<ref>{{Cite journal|last1=Storvik|first1=B.|last2=Storvik|first2=G.|last3=Fjortoft|first3=R.|date=2009|title=On the Combination of Multisensor Data Using Meta-Gaussian Distributions|journal=IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing|volume=47|issue=7|pages=2372–2379|doi=10.1109/tgrs.2009.2012699|bibcode=2009ITGRS..47.2372S|s2cid=371395|issn=0196-2892}}</ref>
+|सिंथेटिक एपर्चर रडार (एसएआर) छवियों का पर्यवेक्षित वर्गीकरण,<ref>{{Cite journal|last1=Storvik|first1=B.|last2=Storvik|first2=G.|last3=Fjortoft|first3=R.|date=2009|title=On the Combination of Multisensor Data Using Meta-Gaussian Distributions|journal=IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing|volume=47|issue=7|pages=2372–2379|doi=10.1109/tgrs.2009.2012699|bibcode=2009ITGRS..47.2372S|s2cid=371395|issn=0196-2892}}</ref>
-validating biometric authentication,<ref>{{Cite journal|last1=Dass|first1=S.C.|last2=Yongfang Zhu|last3=Jain|first3=A.K.|date=2006|title=Validating a Biometric Authentication System: Sample Size Requirements|journal=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence|volume=28|issue=12|pages=1902–1319|doi=10.1109/tpami.2006.255|pmid=17108366|s2cid=1272268|issn=0162-8828}}</ref> modeling stochastic dependence in large-scale integration of wind power,<ref>{{Cite journal|last1=Papaefthymiou|first1=G.|last2=Kurowicka|first2=D.|date=2009|title=Using Copulas for Modeling Stochastic Dependence in Power System Uncertainty Analysis|journal=IEEE Transactions on Power Systems|volume=24|issue=1|pages=40–49|doi=10.1109/tpwrs.2008.2004728|bibcode=2009ITPSy..24...40P|issn=0885-8950|url=http://resolver.tudelft.nl/uuid:95f1600f-1d5f-4bc3-82ee-89dd490a12ba}}</ref> unsupervised classification of radar signals<ref>{{Cite journal|last1=Brunel|first1=N.J.-B.|last2=Lapuyade-Lahorgue|first2=J.|last3=Pieczynski|first3=W.|date=2010|title=Modeling and Unsupervised Classification of Multivariate Hidden Markov Chains With Copulas|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=55|issue=2|pages=338–349|doi=10.1109/tac.2009.2034929|s2cid=941655|issn=0018-9286}}</ref>
+बायोमेट्रिक प्रमाणीकरण को मान्य करना,<ref>{{Cite journal|last1=Dass|first1=S.C.|last2=Yongfang Zhu|last3=Jain|first3=A.K.|date=2006|title=Validating a Biometric Authentication System: Sample Size Requirements|journal=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence|volume=28|issue=12|pages=1902–1319|doi=10.1109/tpami.2006.255|pmid=17108366|s2cid=1272268|issn=0162-8828}}</ref> पवन ऊर्जा के बड़े पैमाने पर एकीकरण में स्टोकेस्टिक निर्भरता का मॉडलिंग, रडार संकेतों का अपर्यवेक्षित वर्गीकरण<ref>{{Cite journal|last1=Brunel|first1=N.J.-B.|last2=Lapuyade-Lahorgue|first2=J.|last3=Pieczynski|first3=W.|date=2010|title=Modeling and Unsupervised Classification of Multivariate Hidden Markov Chains With Copulas|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=55|issue=2|pages=338–349|doi=10.1109/tac.2009.2034929|s2cid=941655|issn=0018-9286}}</ref>
 |-
-|Exponential
+|घातांकीय
 |<math>\begin{align}
 = {} & \frac{1}{1-\rho} \exp\left ( \frac{\rho(\ln(1-u)+\ln(1-v))}{1-\rho} \right )
@@ Line 465: / Line 460: @@
 & \text{where } y=F_Y^{-1}(v)=-\ln(1-v)/\mu
 \end{align}</math>
-|queuing system with infinitely many servers<ref>{{Cite book|last1=Lai|first1=Chin Diew|last2=Balakrishnan|first2=N.|date=2009|title=Continuous Bivariate Distributions|doi=10.1007/b101765|isbn=978-0-387-09613-1}}</ref>
+|अनंत संख्या में सर्वरों के साथ कतारबद्ध प्रणाली<ref>{{Cite book|last1=Lai|first1=Chin Diew|last2=Balakrishnan|first2=N.|date=2009|title=Continuous Bivariate Distributions|doi=10.1007/b101765|isbn=978-0-387-09613-1}}</ref>
 |-
-|Rayleigh
+|रेले
 |bivariate exponential, Rayleigh, and Weibull copulas have been proved to be equivalent<ref name=":3">{{Cite journal|last1=Durrani|first1=T.S.|last2=Zeng|first2=X.|date=2007|title=Copulas for bivariate probability distributions|journal=Electronics Letters|volume=43|issue=4|pages=248|doi=10.1049/el:20073737|bibcode=2007ElL....43..248D|issn=0013-5194}}</ref><ref name=":1">{{Cite journal|last=Liu|first=X.|date=2010|title=Copulas of bivariate Rayleigh and log-normal distributions|journal=Electronics Letters|volume=46|issue=25|pages=1669|doi=10.1049/el.2010.2777|bibcode=2010ElL....46.1669L|issn=0013-5194}}</ref><ref name=":2">{{Cite journal|last1=Zeng|first1=Xuexing|last2=Ren|first2=Jinchang|last3=Wang|first3=Zheng|last4=Marshall|first4=Stephen|last5=Durrani|first5=Tariq|date=2014|title=Copulas for statistical signal processing (Part I): Extensions and generalization|journal=Signal Processing|volume=94|pages=691–702|doi=10.1016/j.sigpro.2013.07.009|issn=0165-1684|url=https://strathprints.strath.ac.uk/48368/1/Copulas_Part1_v2_6.pdf}}</ref>
-|change detection from SAR images<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Hachicha|first1=S.|last2=Chaabene|first2=F.|editor4-first=Aiping|editor4-last=Feng|editor3-first=Joong-Sun|editor3-last=Won|editor2-first=Hong Rhyong|editor2-last=Yoo|editor1-first=Robert J|editor1-last=Frouin|date=2010|title=SAR change detection using Rayleigh copula|journal=Remote Sensing of the Coastal Ocean, Land, and Atmosphere Environment|volume=7858|pages=78581F|publisher=SPIE|doi=10.1117/12.870023|bibcode=2010SPIE.7858E..1FH|s2cid=129437866}}</ref>
+|एसएआर छवियों से परिवर्तन का पता लगाना<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Hachicha|first1=S.|last2=Chaabene|first2=F.|editor4-first=Aiping|editor4-last=Feng|editor3-first=Joong-Sun|editor3-last=Won|editor2-first=Hong Rhyong|editor2-last=Yoo|editor1-first=Robert J|editor1-last=Frouin|date=2010|title=SAR change detection using Rayleigh copula|journal=Remote Sensing of the Coastal Ocean, Land, and Atmosphere Environment|volume=7858|pages=78581F|publisher=SPIE|doi=10.1117/12.870023|bibcode=2010SPIE.7858E..1FH|s2cid=129437866}}</ref>
 |-
-|Weibull
+|वेइबुल
 |bivariate exponential, Rayleigh, and Weibull copulas have been proved to be equivalent<ref name=":3" /><ref name=":1" /><ref name=":2" />
-|digital communication over fading channels<ref>{{Citation|title=Coded Communication over Fading Channels|date=2005|work=Digital Communication over Fading Channels|pages=758–795|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|doi=10.1002/0471715220.ch13|isbn=978-0-471-71522-1}}</ref>
+|लुप्त होते चैनलों पर डिजिटल संचार<ref>{{Citation|title=Coded Communication over Fading Channels|date=2005|work=Digital Communication over Fading Channels|pages=758–795|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|doi=10.1002/0471715220.ch13|isbn=978-0-471-71522-1}}</ref>
 |-
-|Log-normal
+|लॉग-सामान्य
 |bivariate log-normal copula and Gaussian copula are equivalent<ref name=":2" /><ref name=":1" />
-|shadow fading along with multipath effect in wireless channel<ref>{{Cite journal|last1=Das|first1=Saikat|last2=Bhattacharya|first2=Amitabha|date=2020|title=Application of the Mixture of Lognormal Distribution to Represent the First-Order Statistics of Wireless Channels|journal=IEEE Systems Journal|volume=14|issue=3|pages=4394–4401|doi=10.1109/JSYST.2020.2968409|bibcode=2020ISysJ..14.4394D|s2cid=213729677|issn=1932-8184}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Alouini|first1=M.-S.|last2=Simon|first2=M.K.|date=2002|title=Dual diversity over correlated log-normal fading channels|journal=IEEE Transactions on Communications|language=en|volume=50|issue=12|pages=1946–1959|doi=10.1109/TCOMM.2002.806552|issn=0090-6778}}</ref>
+|वायरलेस चैनल में मल्टीपाथ प्रभाव के साथ-साथ छाया लुप्त होती जा रही है<ref>{{Cite journal|last1=Das|first1=Saikat|last2=Bhattacharya|first2=Amitabha|date=2020|title=Application of the Mixture of Lognormal Distribution to Represent the First-Order Statistics of Wireless Channels|journal=IEEE Systems Journal|volume=14|issue=3|pages=4394–4401|doi=10.1109/JSYST.2020.2968409|bibcode=2020ISysJ..14.4394D|s2cid=213729677|issn=1932-8184}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Alouini|first1=M.-S.|last2=Simon|first2=M.K.|date=2002|title=Dual diversity over correlated log-normal fading channels|journal=IEEE Transactions on Communications|language=en|volume=50|issue=12|pages=1946–1959|doi=10.1109/TCOMM.2002.806552|issn=0090-6778}}</ref>
 |-
-|Farlie–Gumbel–Morgenstern (FGM)
+|फ़ार्ली-गुम्बेल-मॉर्गनस्टर्न (FGM)
 |<math>\begin{align}
 = {} & 1+\theta(1-2u)(1-2v) \\
@@ Line 486: / Line 481: @@
 </math>
-|information processing of uncertainty in knowledge-based systems<ref>{{Citation|last1=Kolesárová|first1=Anna|title=Generalized Farlie-Gumbel-Morgenstern Copulas|date=2018|work=Information Processing and Management of Uncertainty in Knowledge-Based Systems. Theory and Foundations|volume=853|pages=244–252|editor-last=Medina|editor-first=Jesús|publisher=Springer International Publishing|language=en|doi=10.1007/978-3-319-91473-2_21|isbn=978-3-319-91472-5|last2=Mesiar|first2=Radko|last3=Saminger-Platz|first3=Susanne|editor2-last=Ojeda-Aciego|editor2-first=Manuel|editor3-last=Verdegay|editor3-first=José Luis|editor4-last=Pelta|editor4-first=David A.}}</ref>
+|ज्ञान-आधारित प्रणालियों में अनिश्चितता की सूचना प्रसंस्करण
 |-
-|Clayton
+|क्लेटन
 |<math>\begin{align}
 = {} & (1+\theta)(uv)^{(-1-\theta)}(-1 +u^{-\theta} + v^{-\theta})^{(-2-1/\theta)} \\
@@ Line 494: / Line 489: @@
 \end{align}
 </math>
-|location estimation of random signal source and hypothesis testing using heterogeneous data<ref>{{Cite journal|last1=Sundaresan|first1=Ashok|last2=Varshney|first2=Pramod K.|date=2011|title=Location Estimation of a Random Signal Source Based on Correlated Sensor Observations|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=59|issue=2|pages=787–799|doi=10.1109/tsp.2010.2084084|bibcode=2011ITSP...59..787S|s2cid=5725233|issn=1053-587X}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Iyengar|first1=Satish G.|last2=Varshney|first2=Pramod K.|last3=Damarla|first3=Thyagaraju|date=2011|title=A Parametric Copula-Based Framework for Hypothesis Testing Using Heterogeneous Data|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=59|issue=5|pages=2308–2319|doi=10.1109/tsp.2011.2105483|bibcode=2011ITSP...59.2308I|s2cid=5549193|issn=1053-587X}}</ref>
+|विषम डेटा का उपयोग करके यादृच्छिक सिग्नल स्रोत और परिकल्पना परीक्षण का स्थान अनुमान<ref>{{Cite journal|last1=Iyengar|first1=Satish G.|last2=Varshney|first2=Pramod K.|last3=Damarla|first3=Thyagaraju|date=2011|title=A Parametric Copula-Based Framework for Hypothesis Testing Using Heterogeneous Data|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=59|issue=5|pages=2308–2319|doi=10.1109/tsp.2011.2105483|bibcode=2011ITSP...59.2308I|s2cid=5549193|issn=1053-587X}}</ref>
 |-
-|Frank
+|स्पष्टवादी
 |<math>\begin{align}
 = {} & \frac
@@ Line 504: / Line 499: @@
 \end{align}
 </math>
-|quantitative risk assessment of geo-hazards<ref>{{Cite journal |last1=Liu |first1=Xin |last2=Wang |first2=Yu |date=2023 |title=Analytical solutions for annual probability of slope failure induced by rainfall at a specific slope using bivariate distribution of rainfall intensity and duration |url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0013795222004549 |journal=Engineering Geology |language=en |volume=313 |pages=106969 |doi=10.1016/j.enggeo.2022.106969 |bibcode=2023EngGe.31306969L |s2cid=254807263 |issn=1872-6917}}</ref>
+|भू-खतरों का मात्रात्मक जोखिम मूल्यांकन<ref>{{Cite journal |last1=Liu |first1=Xin |last2=Wang |first2=Yu |date=2023 |title=Analytical solutions for annual probability of slope failure induced by rainfall at a specific slope using bivariate distribution of rainfall intensity and duration |url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0013795222004549 |journal=Engineering Geology |language=en |volume=313 |pages=106969 |doi=10.1016/j.enggeo.2022.106969 |bibcode=2023EngGe.31306969L |s2cid=254807263 |issn=1872-6917}}</ref>
 |-
-|Student's t
+|विद्यार्थी का टी
 |<math>\begin{align}
 = {} & \frac{\Gamma(0.5v)\Gamma(0.5v+1)( 1+(t_v^{-2}(u)+t_v^{-2}(v) -2 \rho t_v^{-1}(u) t_v^{-1}(v))/(v(1-\rho^2)))^{-0.5(v+2)}  )}
@@ Line 516: / Line 511: @@
 & \text{where } \Gamma \text{ is the Gamma function}
 \end{align}</math>
-|supervised SAR image classification,<ref name=":0" />
+|पर्यवेक्षित एसएआर छवि वर्गीकरण,
-fusion of correlated sensor decisions<ref>{{Cite journal|last1=Sundaresan|first1=Ashok|last2=Varshney|first2=Pramod K.|last3=Rao|first3=Nageswara S. V.|date=2011|title=Copula-Based Fusion of Correlated Decisions|journal=IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems|volume=47|issue=1|pages=454–471|doi=10.1109/taes.2011.5705686|bibcode=2011ITAES..47..454S|s2cid=22562771|issn=0018-9251}}</ref>
+सहसंबद्ध सेंसर निर्णयों का संलयन<ref>{{Cite journal|last1=Sundaresan|first1=Ashok|last2=Varshney|first2=Pramod K.|last3=Rao|first3=Nageswara S. V.|date=2011|title=Copula-Based Fusion of Correlated Decisions|journal=IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems|volume=47|issue=1|pages=454–471|doi=10.1109/taes.2011.5705686|bibcode=2011ITAES..47..454S|s2cid=22562771|issn=0018-9251}}</ref>
 |-
-|Nakagami-m
+|नाकागामी-एम
 |
 |
 |-
-|Rician
+|रिशियन
 |
 |
@@ Line 557: / Line 552: @@
 * [http://www.worldscientific.com/doi/suppl/10.1142/p842/suppl_file/p842_chap01.pdf Chapter 1 of Jan-Frederik Mai, Matthias Scherer (2012) "Simulating Copulas: Stochastic Models, Sampling Algorithms, and Applications"]
-{{Statistics|analysis}}
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