बेयर समष्‍टि: Difference between revisions

Latest revision as of 12:31, 4 September 2023

समुच्चय सिद्धांत में अवधारणा के लिए, बेयर-समष्‍टि (समुच्चय सिद्धांत) देखें।

गणित में, सांस्थितिक समष्टि $X$ को बेयर-समष्‍टि कहा जाता है यदि रिक्त आंतरिक भाग (सांस्थिति) वाले संवृत समुच्चयो के गणनीय संघों में भी रिक्त आंतरिक भाग होता है।^[1] बेयर श्रेणी प्रमेय के अनुसार, सुसंहत हाउस्डोर्फ समष्‍टि और पूर्ण मीट्रिक समष्‍टि बेयर-समष्‍टि के उदाहरण हैं। बेयर-समष्‍टि के गुणों के साथ संयुक्त बेयर श्रेणी प्रमेय में विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में सांस्थिति, ज्यामिति, विश्लेषण (गणित) में कई अनुप्रयोग हैं।^[2]^[3] अधिक प्रेरणा और अनुप्रयोगों के लिए, बेयर श्रेणी प्रमेय लेख देखें। वर्तमान लेख बेयर-समष्‍टि के विशेषीकरण और आधारभूत गुणों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है।

निकोलस बोरबाकी ने रेने बेयर के सम्मान में ''बेयर-समष्‍टि'' शब्द प्रस्तुत किया^[4]^[5] जिन्होंने अपने 1899 थीसिस में यूक्लिडियन समष्‍टि $\mathbb {R} ^{n}$ के संदर्भ में बेयर श्रेणी प्रमेय की जांच की।^[6]

परिभाषा

इसके बाद की परिभाषा अल्प समुच्चय (या पहली श्रेणी) समुच्चय (अर्थात्, एक समुच्चय जो कि समुच्चय का एक गणनीय संघ है, जिसका संवरक रिक्त आंतरिक भाग है) और गैर-अल्प (या दूसरी श्रेणी) समुच्चय (अर्थात्, एक समुच्चय जो समुच्चय है) की धारणाओं पर आधारित है। अल्प नहीं है)। विवरण के लिए संबंधित लेख देखें।

एक सांस्थितिक समष्‍टि $X$ बेयर-समष्‍टि कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी पूर्ण करता है:^[1]^[7]^[8]

सघन (सांस्थिति) विवृत समुच्चय का प्रत्येक गणनीय प्रतिच्छेदन मूर्त है।
रिक्त आंतरिक भाग वाले संवृत समुच्चय के प्रत्येक गणनीय संघ में रिक्त आंतरिक भाग होता है।
प्रत्येक छोटे समुच्चय में रिक्त आंतरिक भाग होता है।
प्रत्येक गैर-रिक्त विवृत समुच्चय गैर-सामान्य है।^{[note 1]}
प्रत्येक सह-सामान्य समुच्चय मूर्त है।
जब भी संवृत समुच्चयों के एक गणनीय संघ में आंतरिक बिंदु होता है, कम से कम एक संवृत समुच्चय में आंतरिक बिंदु होता है।

इन परिभाषाओं के बीच समानता के पूरक उपसमुच्चय $X$ के संबद्ध गुणों पर आधारित है (अर्थात, समुच्चय का $A\subset X$ और इसके पूरक (समुच्चय सिद्धांत) $X\setminus A$ ) जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिया गया है।

समुच्चय के गुण	पूरक के गुण
विवृत	संवृत
सह-अपर्याप्त	अपर्याप्त
सघन	रिक्त आंतरिक भाग है
सघन आंतरिक भाग है	सघन कहीं नहीं

बेयर श्रेणी प्रमेय

बेयर श्रेणी प्रमेय एक स्थलीय समष्‍टि के लिए बेयर-समष्‍टि होने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।

(बेयर श्रेणी प्रमेय1) प्रत्येक पूर्ण मीट्रिक समष्‍टि स्यूडोमेट्रिक (छद्ममितीय) समष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है।^[9]^[10] विशेष रूप से, प्रत्येक पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल (दूरीकनीय) सांस्थितिक समष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है।
(बेयर श्रेणी प्रमेय2) प्रत्येक स्थानीय रूप से सुसंहत नियमित समष्‍टि एक बेयर समष्‍टि है।^[9]^[11] विशेष रूप से, प्रत्येक स्थानीय रूप से सुसंहत हाउस्डोर्फ समष्‍टि एक बेयर समष्‍टि है।

बेयर श्रेणी प्रमेय1 दर्शाता है कि निम्नलिखित बेयर-समष्‍टि हैं:

वास्तविक संख्याओं की $\mathbb {R}$ समष्‍टि
अपरिमेय संख्याओं का समष्‍टि, जो बेयर-समष्‍टि (समुच्चय सिद्धांत) के लिए $\omega ^{\omega }$ समरूपी है |
प्रत्येक पोलिश समष्‍टि।

बेयर श्रेणी प्रमेय2 दर्शाता है कि निम्नलिखित बेयर समष्‍टि हैं:

प्रत्येक सुसंहत हाउस्डोर्फ समष्‍टि; उदाहरण के लिए, कैंटर समुच्चय (या कैंटर समष्‍टि)।
प्रत्येक कई गुना, तथापि वह परा-सुसंहत न हो (इसलिएमेट्रिज़ेबल नहीं), लंबी रेखा (सांस्थिति) के समान।

हालांकि यह ध्यान रखना चाहिए कि बहुत सारे रिक्त समष्‍टि हैं जो बेयर श्रेणी प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट किए बिना बेयर-समष्‍टि हैं, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण अनुभाग में दिखाया गया है।

गुण

प्रत्येक गैर-रिक्त बेयर समष्‍टि गैर-अंश है। सघन विवृत समुच्चयों के गणनीय प्रतिच्छेदनो के संदर्भ में, बेयर-समष्‍टि होना ऐसे प्रतिच्छेदनो के सघन होने के बराबर है, जबकि एक गैर-महत्वपूर्ण समष्‍टि दुर्बल स्थिति के बराबर है कि ऐसे प्रतिच्छेदन गैर-रिक्त हैं।
बेयर समष्‍टि का प्रत्येक विवृत उपसमष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है।^[12]
प्रत्येक सघन G_δ समुच्चय बेयर-समष्‍टि में समुच्चय एक बेयर-समष्‍टि है।^[13]^[14] परिणाम को धारण करने की आवश्यकता नहीं है यदि G_δ समुच्चय सघन नहीं है। उदाहरण अनुभाग देखें।
बेयर-समष्‍टि में समुच्चय किया गया प्रत्येक अपर्याप्त एक बेयर-समष्‍टि है।^[15]
बेयर-समष्‍टि का एक उपसमुच्चय अपर्याप्त होता है यदि और केवल यदि इसमें सघन G _δ समुच्चय होता है।^[16]
बेयर-समष्‍टि की एक संवृत उप-समष्‍टि को बेयर नहीं होना चाहिए। उदाहरण अनुभाग देखें।
यदि किसी समष्‍टि में एक सघन उप-समष्टि है जो बेयर है, तो यह भी एक बेयर-समष्‍टि है।^[17]
एक समष्‍टि जो स्थानीय रूप से बेयर है, इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का एक प्रतिवेश है जो एक बेयर समष्‍टि है।^[18]
बेयर-समष्‍टि का प्रत्येक सांस्थितिक योग बेयर है।^[19]
दो बेयर-समष्‍टि का उत्पाद अनिवार्य रूप से बेयर नहीं है।^[20]^[21]
पूर्ण मीट्रिक रिक्त समष्‍टि का एकपक्षीय उत्पाद बेयर है।^[22]
प्रत्येक स्थानीय रूप से सुसंहत गंभीर समष्‍टि बेयर-समष्‍टि है।^[23]
प्रत्येक परिमित सांस्थितिक समष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है (क्योंकि परिमित समष्‍टि में केवल बहुत से विवृत समुच्चय होते हैं और दो विवृत सघन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन विवृत मूर्त समुच्चय होता है^[24]).
एक सांस्थितिक वेक्टर समष्‍टि बेयर-समष्‍टि है यदि और केवल यदि यह अल्पमात्रा मे है,^[25] जो तब होता है जब और केवल यदि प्रत्येक संवृत संतुलित अवशोषक उपसमुच्चय में गैर-रिक्त आंतरिक भाग होता है।^[26]

सतत मानचित्र (सांस्थिति) फलनों के अनुक्रम को देखते हुए $f_{n}:X\to Y$ बिंदुवार सीमा के साथ $f:X\to Y.$ यदि $X$ एक बेयर समष्‍टि है तो बिंदु जहां $f$ निरंतर नहीं है $X$ मे अल्प समुच्चय है और बिंदुओं का समुच्चय जहां $f$ निरंतर है $X$ में सघन है इसकी एक विशेष स्थिति एकरूपता परिबद्धता सिद्धांत है।

उदाहरण

रिक्त समष्टि एक बेयर समष्टि है। यह एकमात्र समष्‍टि है जो बेयर और अल्प दोनों है।
सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का समष्टि $\mathbb {R}$ बेयर समष्‍टि है।
परिमेय संख्याओं का समष्‍टि $\mathbb {Q}$ (से प्रेरित सांस्थिति के साथ $\mathbb {R}$ ) बेयर समष्‍टि नहीं है, क्योंकि यह अल्प है।
अपरिमेय संख्याओं का समष्‍टि $\mathbb {R}$ (से प्रेरित सांस्थिति के साथ ) एक बेयर-समष्‍टि है, क्योंकि यह $\mathbb {R}$ मे अल्पमात्रा है।
समष्‍टि $X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )$ (से प्रेरित सांस्थिति के साथ $\mathbb {R}$ ) अल्पमात्रा है, लेकिन बेयर नहीं है। यह देखने के कई तरीके हैं कि यह बेयर नहीं है: उदाहरण के लिए क्योंकि उप-समुच्चय $[0,1]$ कमग्रे है लेकिन सघन नहीं है; या क्योंकि गैर-रिक्त उप-समुच्चय $[2,3]\cap \mathbb {Q}$ विवृत और अल्प है।
इसी तरह, समष्‍टि $X=\{1\}\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )$ बेयर नहीं है। यह तब से अल्प $1$ है एक पृथक बिंदु है।

निम्नलिखित बेयर-समष्‍टि के उदाहरण हैं जिनके लिए बेयर श्रेणी प्रमेय प्रयुक्त नहीं होता है, क्योंकि ये समष्‍टि स्थानीय रूप से सुसंहत नहीं हैं और पूरी तरह से मेट्रिजेबल नहीं हैं:

सोरगेनफ्रे रेखा।^[27]
सोरगेनफ्रे क्षेत्र।^[28]
नीमित्ज़की क्षेत्र।^[28]
$\mathbb {R} ^{2}$ का उपक्षेत्र पर परिमेय के साथ विवृत ऊपरी आधे क्षेत्र से मिलकर $x$ -अक्ष, अर्थात्, $X=(\mathbb {R} \times (0,\infty ))\cup (\mathbb {Q} \times \{0\}),$ बेयर-समष्‍टि है,^[29] क्योंकि विवृत ऊपरी आधा तल अंदर सघन $X$ है और पूरी तरह से मेट्रिजेबल, इसलिए बेयर समष्‍टि $X$ स्थानीय रूप से सुसंहत नहीं है और पूरी तरह से मेट्रिजेबल नहीं है। समुच्चय $\mathbb {Q} \times \{0\}$ में संवृत $X$ है, लेकिन बेयर-समष्‍टि नहीं है। चूंकि एक मीट्रिक समष्‍टि में संवृत समुच्चय G_δ समुच्चय हैं। इससे यह भी पता चलता है कि सामान्य रूप से G_δ बेयर-समष्‍टि में समुच्चय को बेयर नहीं होना चाहिए।

जरिस्की सांस्थिति के साथ बीजगणितीय प्रकार बेयर-समष्‍टि हैं। उदाहरण एफ़िन समष्‍टि $\mathbb {A} ^{n}$ है, $\mathbb {C} ^{n}$ समुच्चय से मिलकर $n$ -संरचना के साथ-साथ सम्मिश्र संख्याओं के समूह जिनके संवृत समुच्चय बहुपदों के $f\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ लुप्यमान समुच्चय हैं।

यह भी देखें

बानाख-मजूर खेल
मंडलक समष्‍टि- सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि का प्रकार
ब्लमबर्ग प्रमेय - R पर कोई भी वास्तविक फलन R के सघन उपसमुच्चय पर निरंतर प्रतिबंध को स्वीकार करता है
बायर का गुण - अल्प समुच्चय द्वारा एक विवृत समुच्चय का अंतर
वेब्ड समष्टि - समष्टि जहां विवृत प्रतिचित्रण और संवृत ग्राफ सिद्धांत धारण करते हैं

↑ ^1.0 ^1.1 Munkres 2000, p. 295.
↑ "बायर श्रेणी प्रमेय का आपका पसंदीदा अनुप्रयोग". Mathematics Stack Exchange.
↑ "बेयर श्रेणी प्रमेय के क्लासिक अनुप्रयोग". MathOverflow (in English).
↑ Engelking 1989, Historical notes, p. 199.
↑ Bourbaki 1989, p. 192.
↑ Baire, R. (1899). "Sur les fonctions de variables réelles". Ann. Di Mat. 3: 1–123.
↑ Haworth & McCoy 1977, p. 11.
↑ Narici & Beckenstein 2011, pp. 390–391.
↑ ^9.0 ^9.1 Kelley 1975, Theorem 34, p. 200.
↑ Schechter 1996, Theorem 20.16, p. 537.
↑ Schechter 1996, Theorem 20.18, p. 538.
↑ Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.14.
↑ Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.23.
↑ Ma, Dan (3 June 2012). "परिमेय संख्याओं के बारे में एक प्रश्न". Dan Ma's Topology Blog (in English).Theorem 3
↑ Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.16.
↑ Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.17.
↑ Haworth & McCoy 1977, Theorem 1.15.
↑ Narici & Beckenstein 2011, Theorem 11.6.7, p. 391.
↑ Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.20.
↑ Oxtoby, J. (1961). "बेयर स्पेस के कार्टेशियन उत्पाद" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 49 (2): 157–166. doi:10.4064/fm-49-2-157-166.
↑ Fleissner, W.; Kunen, K. (1978). "बमुश्किल बैर रिक्त स्थान" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 101 (3): 229–240. doi:10.4064/fm-101-3-229-240.
↑ Bourbaki 1989, Exercise 17, p. 254.
↑ Gierz et al. 2003, Corollary I-3.40.9, p. 114.
↑ "दो खुले सघन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सघन होता है". Mathematics Stack Exchange.
↑ Narici & Beckenstein 2011, Theorem 11.8.6, p. 396.
↑ Wilansky 2013, p. 60.
↑ "सोरगेनफ्रे लाइन एक बेयर स्पेस है". Mathematics Stack Exchange.
↑ ^28.0 ^28.1 "सोरगेनफ्रे प्लेन और निएमित्ज़की प्लेन बेयर स्पेस हैं". Mathematics Stack Exchange.
↑ "बेयर मेट्रिक स्पेस का उदाहरण जो पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल नहीं है". Mathematics Stack Exchange.

संदर्भ

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Engelking, Ryszard (1989). General Topology. Heldermann Verlag, Berlin. ISBN 3-88538-006-4.
Gierz, G.; Hofmann, K. H.; Keimel, K.; Lawson, J. D.; Mislove, M. W.; Scott, D. S. (2003). Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol. 93. Cambridge University Press. ISBN 978-0521803380.
Haworth, R. C.; McCoy, R. A. (1977), Baire Spaces, Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk
Kelley, John L. (1975). General Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
Munkres, James R. (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
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Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

बेयर संबंध

[9] As explained in the meagre set article, for an open set, being nonmeagre in the whole space is equivalent to being nonmeagre in itself.

[FOOTNOTEMunkres2000295-1] 1.0 ^1.1 Munkres 2000, p. 295.

[2] "बायर श्रेणी प्रमेय का आपका पसंदीदा अनुप्रयोग". Mathematics Stack Exchange.

[3] "बेयर श्रेणी प्रमेय के क्लासिक अनुप्रयोग". MathOverflow (in English).

[FOOTNOTEEngelking1989Historical_notes,_p._199-4] Engelking 1989, Historical notes, p. 199.

[FOOTNOTEBourbaki1989192-5] Bourbaki 1989, p. 192.

[6] Baire, R. (1899). "Sur les fonctions de variables réelles". Ann. Di Mat. 3: 1–123.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy197711-7] Haworth & McCoy 1977, p. 11.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011390–391-8] Narici & Beckenstein 2011, pp. 390–391.

[FOOTNOTEKelley1975Theorem_34,_p._200-10] 9.0 ^9.1 Kelley 1975, Theorem 34, p. 200.

[FOOTNOTESchechter1996Theorem_20.16,_p._537-11] Schechter 1996, Theorem 20.16, p. 537.

[FOOTNOTESchechter1996Theorem_20.18,_p._538-12] Schechter 1996, Theorem 20.18, p. 538.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Proposition_1.14-13] Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.14.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Proposition_1.23-14] Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.23.

[15] Ma, Dan (3 June 2012). "परिमेय संख्याओं के बारे में एक प्रश्न". Dan Ma's Topology Blog (in English).Theorem 3

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Proposition_1.16-16] Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.16.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Proposition_1.17-17] Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.17.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Theorem_1.15-18] Haworth & McCoy 1977, Theorem 1.15.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011Theorem_11.6.7,_p._391-19] Narici & Beckenstein 2011, Theorem 11.6.7, p. 391.

[FOOTNOTEHaworthMcCoy1977Proposition_1.20-20] Haworth & McCoy 1977, Proposition 1.20.

[21] Oxtoby, J. (1961). "बेयर स्पेस के कार्टेशियन उत्पाद" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 49 (2): 157–166. doi:10.4064/fm-49-2-157-166.

[22] Fleissner, W.; Kunen, K. (1978). "बमुश्किल बैर रिक्त स्थान" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 101 (3): 229–240. doi:10.4064/fm-101-3-229-240.

[FOOTNOTEBourbaki1989Exercise_17,_p._254-23] Bourbaki 1989, Exercise 17, p. 254.

[FOOTNOTEGierzHofmannKeimelLawson2003Corollary_I-3.40.9,_p._114-24] Gierz et al. 2003, Corollary I-3.40.9, p. 114.

[25] "दो खुले सघन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सघन होता है". Mathematics Stack Exchange.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011Theorem_11.8.6,_p._396-26] Narici & Beckenstein 2011, Theorem 11.8.6, p. 396.

[FOOTNOTEWilansky201360-27] Wilansky 2013, p. 60.

[28] "सोरगेनफ्रे लाइन एक बेयर स्पेस है". Mathematics Stack Exchange.

[sorg-plane-29] 28.0 ^28.1 "सोरगेनफ्रे प्लेन और निएमित्ज़की प्लेन बेयर स्पेस हैं". Mathematics Stack Exchange.

[30] "बेयर मेट्रिक स्पेस का उदाहरण जो पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल नहीं है". Mathematics Stack Exchange.

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-{{For|the concept in set theory|Baire space (set theory)}}
+समुच्चय सिद्धांत में अवधारणा के लिए, बेयर-समष्‍टि (समुच्चय सिद्धांत) देखें।{{short description|Concept in topology}}
-{{short description|Concept in topology}}
+गणित में, सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> को '''बेयर-समष्‍टि''' कहा जाता है यदि [[इंटीरियर (टोपोलॉजी)|रिक्त आंतरिक भाग (सांस्थिति)]] वाले [[बंद सेट|संवृत समुच्चयो]] के गणनीय संघों में भी रिक्त आंतरिक भाग होता है।{{sfn|Munkres|2000|p=295}} बेयर श्रेणी प्रमेय के अनुसार, [[कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस|सुसंहत हाउस्डोर्फ समष्‍टि]] और [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण मीट्रिक समष्‍टि]] बेयर-समष्‍टि के उदाहरण हैं। बेयर-समष्‍टि के गुणों के साथ संयुक्त बेयर श्रेणी प्रमेय में विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]], [[ज्यामिति]], [[विश्लेषण (गणित)]] में कई अनुप्रयोग हैं।<ref>{{cite web |title=बायर श्रेणी प्रमेय का आपका पसंदीदा अनुप्रयोग|url=https://math.stackexchange.com/questions/165696 |website=Mathematics Stack Exchange}}</ref><ref>{{cite web |title=बेयर श्रेणी प्रमेय के क्लासिक अनुप्रयोग|url=https://mathoverflow.net/questions/129666 |website=MathOverflow |language=en}}</ref> अधिक प्रेरणा और अनुप्रयोगों के लिए, बेयर श्रेणी प्रमेय लेख देखें। वर्तमान लेख बेयर-समष्‍टि के विशेषीकरण और आधारभूत गुणों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है।
-गणित में, एक सामयिक स्थान <math>X</math> खाली [[इंटीरियर (टोपोलॉजी)]] के साथ [[बंद सेट]]ों के गणनीय संघों में भी खाली इंटीरियर होने पर बायर स्पेस कहा जाता है।{{sfn|Munkres|2000|p=295}}
-बायर श्रेणी प्रमेय के अनुसार, [[कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस]] स्थान और [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] बेयर स्थान के उदाहरण हैं।
-बेयर रिक्त स्थान के गुणों के साथ संयुक्त बायर श्रेणी प्रमेय में विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में [[टोपोलॉजी]], [[ज्यामिति]], [[विश्लेषण (गणित)]] में कई अनुप्रयोग हैं।<ref>{{cite web |title=बायर श्रेणी प्रमेय का आपका पसंदीदा अनुप्रयोग|url=https://math.stackexchange.com/questions/165696 |website=Mathematics Stack Exchange}}</ref><ref>{{cite web |title=बेयर श्रेणी प्रमेय के क्लासिक अनुप्रयोग|url=https://mathoverflow.net/questions/129666 |website=MathOverflow |language=en}}</ref> अधिक प्रेरणा और अनुप्रयोगों के लिए, बेयर श्रेणी प्रमेय लेख देखें। वर्तमान लेख बायर रिक्त स्थान के चरित्र-चित्रण और बुनियादी गुणों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है।
-[[निकोलस बोरबाकी]] ने बेयर स्पेस शब्द पेश किया{{sfn|Engelking|1989|loc=Historical notes, p. 199}}{{sfn|Bourbaki|1989|p=192}} रेने बेयर के सम्मान में, जिन्होंने [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के संदर्भ में बेयर श्रेणी प्रमेय की जांच की <math>\R^n</math> अपने 1899 थीसिस में।<ref>{{cite journal|last=Baire|first=R.|title=Sur les fonctions de variables réelles|journal=Ann. Di Mat.|year=1899|volume=3|pages=1–123|url=https://books.google.com/books?id=cS4LAAAAYAAJ}}</ref>
+[[निकोलस बोरबाकी]] ने रेने बेयर के सम्मान में <nowiki>''</nowiki>बेयर-समष्‍टि<nowiki>''</nowiki> शब्द प्रस्तुत किया{{sfn|Engelking|1989|loc=Historical notes, p. 199}}{{sfn|Bourbaki|1989|p=192}} जिन्होंने अपने 1899 थीसिस में [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्‍टि]] <math>\R^n</math> के संदर्भ में बेयर श्रेणी प्रमेय की जांच की।<ref>{{cite journal|last=Baire|first=R.|title=Sur les fonctions de variables réelles|journal=Ann. Di Mat.|year=1899|volume=3|pages=1–123|url=https://books.google.com/books?id=cS4LAAAAYAAJ}}</ref>
 == परिभाषा ==
-इसके बाद की परिभाषा [[अल्प सेट]] (या पहली श्रेणी) सेट (अर्थात्, एक सेट जो कि सेट का एक गणनीय संघ है, जिसका क्लोजर खाली इंटीरियर है) और [[nonmeagre]] (या दूसरी श्रेणी) सेट (अर्थात्, एक सेट जो सेट है) की धारणाओं पर आधारित है। अल्प नहीं है)। विवरण के लिए संबंधित लेख देखें।
+इसके बाद की परिभाषा [[अल्प सेट|अल्प समुच्चय]] (या पहली श्रेणी) समुच्चय (अर्थात्, एक समुच्चय जो कि समुच्चय का एक गणनीय संघ है, जिसका संवरक रिक्त आंतरिक भाग है) और [[nonmeagre|गैर-अल्प]] (या दूसरी श्रेणी) समुच्चय (अर्थात्, एक समुच्चय जो समुच्चय है) की धारणाओं पर आधारित है। अल्प नहीं है)। विवरण के लिए संबंधित लेख देखें।
-एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> बायर स्पेस कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:{{sfn|Munkres|2000|p=295}}{{sfn|Haworth|McCoy|1977|p=11}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=390-391}}
+एक सांस्थितिक समष्‍टि <math>X</math> बेयर-समष्‍टि कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी पूर्ण करता है:{{sfn|Munkres|2000|p=295}}{{sfn|Haworth|McCoy|1977|p=11}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=390-391}}
-# घने (टोपोलॉजी) खुले सेट का प्रत्येक गणनीय चौराहा घना है।
+# सघन (सांस्थिति) विवृत समुच्चय का प्रत्येक गणनीय प्रतिच्छेदन मूर्त है।
-# खाली इंटीरियर वाले बंद सेट के हर गणनीय संघ में खाली इंटीरियर होता है।
+# रिक्त आंतरिक भाग वाले संवृत समुच्चय के प्रत्येक गणनीय संघ में रिक्त आंतरिक भाग होता है।
-# हर छोटे सेट में खाली इंटीरियर होता है।
+# प्रत्येक छोटे समुच्चय में रिक्त आंतरिक भाग होता है।
-# हर गैर-खाली [[खुला सेट]] गैर-मामूली है।<ref group=note>As explained in the [[meagre set]] article, for an open set, being nonmeagre in the whole space is equivalent to being nonmeagre in itself.</ref>
+# प्रत्येक गैर-रिक्त [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] गैर-सामान्य है।<ref group=note>As explained in the [[meagre set]] article, for an open set, being nonmeagre in the whole space is equivalent to being nonmeagre in itself.</ref>
-# हर [[comagre]] सेट घना है।
+# प्रत्येक सह-सामान्य समुच्चय मूर्त है।
-# जब भी बंद सेटों के एक गणनीय संघ में एक आंतरिक बिंदु होता है, कम से कम एक बंद सेट में एक आंतरिक बिंदु होता है।
+# जब भी संवृत समुच्चयों के एक गणनीय संघ में आंतरिक बिंदु होता है, कम से कम एक संवृत समुच्चय में आंतरिक बिंदु होता है।
-इन परिभाषाओं के बीच समानता के पूरक उपसमुच्चय के संबद्ध गुणों पर आधारित है <math>X</math> (यानी, एक सेट का <math>A\subset X</math> और इसके [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] <math>X\setminus A</math>) जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिया गया है।
+इन परिभाषाओं के बीच समानता के पूरक उपसमुच्चय <math>X</math> के संबद्ध गुणों पर आधारित है (अर्थात, समुच्चय का <math>A\subset X</math> और इसके [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] <math>X\setminus A</math>) जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिया गया है।
 {| class="wikitable"
-!Property of a set || Property of complement
+!समुच्चय के गुण || पूरक के गुण
 |-
-|open || closed
+|विवृत || संवृत
 |-
-|comeagre || meagre
+|सह-अपर्याप्त || अपर्याप्त
 |-
-|dense || has empty interior
+|सघन || रिक्त आंतरिक भाग है
 |-
-|has dense interior || nowhere dense
+|सघन आंतरिक भाग है || सघन कहीं नहीं
 |}
-== बाहरी श्रेणी प्रमेय ==
+== बेयर श्रेणी प्रमेय ==
-{{main|Baire category theorem}}
+{{main|बेयर श्रेणी प्रमेय}}
-बायर श्रेणी प्रमेय एक स्थलीय स्थान के लिए बेयर स्थान होने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।
-* (BCT1) हर पूर्ण मीट्रिक स्पेस [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस]] एक बेयर स्पेस है।{{sfn|Kelley|1975|loc=Theorem 34, p. 200}}{{sfn|Schechter|1996|loc=Theorem 20.16, p. 537}} विशेष रूप से, हर पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल स्पेस एक बायर स्पेस है।
+बेयर श्रेणी प्रमेय एक स्थलीय समष्‍टि के लिए बेयर-समष्‍टि होने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।
-* (BCT2) प्रत्येक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित]] स्थान एक बायर स्थान है।{{sfn|Kelley|1975|loc=Theorem 34, p. 200}}{{sfn|Schechter|1996|loc=Theorem 20.18, p. 538}} विशेष रूप से, प्रत्येक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ]] स्थान एक बायर स्थान है।
-BCT1 दर्शाता है कि निम्नलिखित बेयर स्थान हैं:
+* (बेयर श्रेणी प्रमेय1) प्रत्येक पूर्ण मीट्रिक समष्‍टि [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस|स्यूडोमेट्रिक (छद्ममितीय) समष्‍टि]] एक बेयर-समष्‍टि है।{{sfn|Kelley|1975|loc=Theorem 34, p. 200}}{{sfn|Schechter|1996|loc=Theorem 20.16, p. 537}} विशेष रूप से, प्रत्येक पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल (दूरीकनीय) सांस्थितिक समष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है।
-* अंतरिक्ष <math>\R</math> [[वास्तविक संख्या]]ओं का।
+* (बेयर श्रेणी प्रमेय2) प्रत्येक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नियमित|स्थानीय रूप से सुसंहत नियमित]] समष्‍टि एक बेयर समष्‍टि है।{{sfn|Kelley|1975|loc=Theorem 34, p. 200}}{{sfn|Schechter|1996|loc=Theorem 20.18, p. 538}} विशेष रूप से, प्रत्येक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ|स्थानीय रूप से सुसंहत हाउस्डोर्फ]] समष्‍टि एक बेयर समष्‍टि है।
-* [[अपरिमेय संख्या]]ओं का स्थान, जो बेयर स्पेस (सेट थ्योरी) के लिए [[होमियोमॉर्फिक]] है | बायर स्पेस <math>\omega^{\omega}</math> सेट सिद्धांत का।
-* हर [[पोलिश स्थान]]।
-BCT2 दर्शाता है कि निम्नलिखित बायर स्थान हैं:
+बेयर श्रेणी प्रमेय1 दर्शाता है कि निम्नलिखित बेयर-समष्‍टि हैं:
-* हर कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस; उदाहरण के लिए, [[कैंटर सेट]] (या [[कैंटर स्पेस]])।
+* [[वास्तविक संख्या]]ओं की <math>\R</math> समष्‍टि
-* हर [[कई गुना]], भले ही वह [[ परा-सुसंहत ]] न हो (इसलिए [[metrizable]] नहीं), [[लंबी लाइन (टोपोलॉजी)]] की तरह।
+* [[अपरिमेय संख्या]]ओं का समष्‍टि, जो बेयर-समष्‍टि (समुच्चय सिद्धांत) के लिए <math>\omega^{\omega}</math> [[होमियोमॉर्फिक|समरूपी]] है |
+* प्रत्येक [[पोलिश स्थान|पोलिश समष्‍टि]]।
-हालांकि यह ध्यान रखना चाहिए कि बहुत सारे रिक्त स्थान हैं जो बायर श्रेणी प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट किए बिना बायर रिक्त स्थान हैं, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण अनुभाग में दिखाया गया है।
+बेयर श्रेणी प्रमेय2 दर्शाता है कि निम्नलिखित बेयर समष्‍टि हैं:
+* प्रत्येक सुसंहत हाउस्डोर्फ समष्‍टि; उदाहरण के लिए, [[कैंटर सेट|कैंटर समुच्चय]] (या [[कैंटर स्पेस|कैंटर समष्‍टि]])।
+* प्रत्येक [[कई गुना]], तथापि वह [[ परा-सुसंहत |परा-सुसंहत]] न हो (इसलिएमेट्रिज़ेबल नहीं), [[लंबी लाइन (टोपोलॉजी)|लंबी रेखा (सांस्थिति)]] के समान।
+हालांकि यह ध्यान रखना चाहिए कि बहुत सारे रिक्त समष्‍टि हैं जो बेयर श्रेणी प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट किए बिना बेयर-समष्‍टि हैं, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण अनुभाग में दिखाया गया है।
 == गुण ==
-* प्रत्येक गैर-खाली बायर स्थान गैर-अंश है। घने खुले सेटों के गणनीय चौराहों के संदर्भ में, बेयर स्पेस होना ऐसे चौराहों के घने होने के बराबर है, जबकि एक गैर-महत्वपूर्ण स्थान कमजोर स्थिति के बराबर है कि ऐसे चौराहे गैर-खाली हैं।
+* प्रत्येक गैर-रिक्त बेयर समष्‍टि गैर-अंश है। सघन विवृत समुच्चयों के गणनीय प्रतिच्छेदनो के संदर्भ में, बेयर-समष्‍टि होना ऐसे प्रतिच्छेदनो के सघन होने के बराबर है, जबकि एक गैर-महत्वपूर्ण समष्‍टि दुर्बल स्थिति के बराबर है कि ऐसे प्रतिच्छेदन गैर-रिक्त हैं।
-* एक बायर स्थान का प्रत्येक खुला उपस्थान एक बेयर स्थान है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Proposition 1.14}}
+* बेयर समष्‍टि का प्रत्येक विवृत उपसमष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Proposition 1.14}}
-* प्रत्येक सघन जी-डेल्टा सेट | जी<sub>δ</sub> बेयर स्पेस में सेट एक बेयर स्पेस है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Proposition 1.23}}<ref>{{cite web |last1=Ma |first1=Dan |title=परिमेय संख्याओं के बारे में एक प्रश्न|url=https://dantopology.wordpress.com/2012/06/02/a-question-about-the-rational-numbers/ |website=Dan Ma's Topology Blog |language=en |date=3 June 2012}}Theorem 3</ref> परिणाम को धारण करने की आवश्यकता नहीं है यदि G<sub>δ</sub> सेट घना नहीं है। उदाहरण अनुभाग देखें।
+* प्रत्येक सघन ''G''<sub>δ</sub> समुच्चय बेयर-समष्‍टि में समुच्चय एक बेयर-समष्‍टि है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Proposition 1.23}}<ref>{{cite web |last1=Ma |first1=Dan |title=परिमेय संख्याओं के बारे में एक प्रश्न|url=https://dantopology.wordpress.com/2012/06/02/a-question-about-the-rational-numbers/ |website=Dan Ma's Topology Blog |language=en |date=3 June 2012}}Theorem 3</ref> परिणाम को धारण करने की आवश्यकता नहीं है यदि G<sub>δ</sub> समुच्चय सघन नहीं है। उदाहरण अनुभाग देखें।
-* बेयर स्पेस में सेट किया गया हर कॉमग्रे एक बेयर स्पेस है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Proposition 1.16}}
+* बेयर-समष्‍टि में समुच्चय किया गया प्रत्येक अपर्याप्त एक बेयर-समष्‍टि है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Proposition 1.16}}
-* बेयर स्पेस का एक उपसमुच्चय कमग्रे होता है यदि और केवल यदि इसमें सघन G होता है<sub>δ</sub> तय करना।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Proposition 1.17}}
+* बेयर-समष्‍टि का एक उपसमुच्चय अपर्याप्त होता है यदि और केवल यदि इसमें सघन G <sub>δ</sub> समुच्चय होता है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Proposition 1.17}}
-* बेयर स्पेस की एक बंद उप-स्पेस को बेयर नहीं होना चाहिए। उदाहरण अनुभाग देखें।
+* बेयर-समष्‍टि की एक संवृत उप-समष्‍टि को बेयर नहीं होना चाहिए। उदाहरण अनुभाग देखें।
-* यदि किसी स्थान में एक सघन उपस्थान है जो बायर है, तो यह भी एक बेयर स्थान है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Theorem 1.15}}
+* यदि किसी समष्‍टि में एक सघन उप-समष्टि है जो बेयर है, तो यह भी एक बेयर-समष्‍टि है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Theorem 1.15}}
-* एक स्थान जो स्थानीय रूप से बायर है, इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है जो एक बायर स्थान है, एक बायर स्थान है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|loc=Theorem 11.6.7, p. 391}}
+* एक समष्‍टि जो स्थानीय रूप से बेयर है, इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का एक प्रतिवेश है जो एक बेयर समष्‍टि है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|loc=Theorem 11.6.7, p. 391}}
-* बायर रिक्त स्थान का प्रत्येक सांस्थितिक योग बायर है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Proposition 1.20}}
+* बेयर-समष्‍टि का प्रत्येक सांस्थितिक योग बेयर है।{{sfn|Haworth|McCoy|1977|loc=Proposition 1.20}}
-* दो बायर रिक्त स्थान का उत्पाद अनिवार्य रूप से बेयर नहीं है।<ref>{{cite journal |last1=Oxtoby |first1=J. |title=बेयर स्पेस के कार्टेशियन उत्पाद|journal=Fundamenta Mathematicae |date=1961 |volume=49 |issue=2 |pages=157–166 |doi=10.4064/fm-49-2-157-166 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm49/fm49113.pdf}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Fleissner |first1=W. |last2=Kunen |first2=K. |title=बमुश्किल बैर रिक्त स्थान|journal=Fundamenta Mathematicae |date=1978 |volume=101 |issue=3 |pages=229–240 |doi=10.4064/fm-101-3-229-240 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm101/fm101121.pdf}}</ref>
+* दो बेयर-समष्‍टि का उत्पाद अनिवार्य रूप से बेयर नहीं है।<ref>{{cite journal |last1=Oxtoby |first1=J. |title=बेयर स्पेस के कार्टेशियन उत्पाद|journal=Fundamenta Mathematicae |date=1961 |volume=49 |issue=2 |pages=157–166 |doi=10.4064/fm-49-2-157-166 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm49/fm49113.pdf}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Fleissner |first1=W. |last2=Kunen |first2=K. |title=बमुश्किल बैर रिक्त स्थान|journal=Fundamenta Mathematicae |date=1978 |volume=101 |issue=3 |pages=229–240 |doi=10.4064/fm-101-3-229-240 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm101/fm101121.pdf}}</ref>
-* पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान का एक मनमाना उत्पाद बायर है।{{sfn|Bourbaki|1989|loc=Exercise 17, p. 254}}
+* पूर्ण मीट्रिक रिक्त समष्‍टि का एकपक्षीय उत्पाद बेयर है।{{sfn|Bourbaki|1989|loc=Exercise 17, p. 254}}
-* प्रत्येक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट]] [[ शांत स्थान ]] एक बायर स्पेस है।{{sfn|Gierz|Hofmann|Keimel|Lawson|2003|loc=Corollary I-3.40.9, p. 114}}
+* प्रत्येक [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|स्थानीय रूप से सुसंहत]] [[ शांत स्थान |गंभीर समष्‍टि]] बेयर-समष्‍टि है।{{sfn|Gierz|Hofmann|Keimel|Lawson|2003|loc=Corollary I-3.40.9, p. 114}}
-* प्रत्येक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस एक बायर स्पेस है (क्योंकि एक परिमित स्थान में केवल बहुत से खुले सेट होते हैं और दो खुले घने सेटों का प्रतिच्छेदन एक खुला घना सेट होता है<ref>{{cite web |title=दो खुले सघन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सघन होता है|url=https://math.stackexchange.com/questions/1143211 |website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>).
+* प्रत्येक परिमित सांस्थितिक समष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है (क्योंकि परिमित समष्‍टि में केवल बहुत से विवृत समुच्चय होते हैं और दो विवृत सघन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन विवृत मूर्त समुच्चय होता है<ref>{{cite web |title=दो खुले सघन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन सघन होता है|url=https://math.stackexchange.com/questions/1143211 |website=Mathematics Stack Exchange}}</ref>).
-* एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] एक बायर स्पेस है अगर और केवल अगर यह नॉनमेग्रे है,{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|loc=Theorem 11.8.6, p. 396}} जो तब होता है जब और केवल अगर प्रत्येक बंद संतुलित अवशोषक उपसमुच्चय में गैर-खाली इंटीरियर होता है।{{sfn|Wilansky|2013|p=60}}
+* एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक वेक्टर समष्‍टि]] बेयर-समष्‍टि है यदि और केवल यदि यह अल्पमात्रा मे है,{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|loc=Theorem 11.8.6, p. 396}} जो तब होता है जब और केवल यदि प्रत्येक संवृत संतुलित अवशोषक उपसमुच्चय में गैर-रिक्त आंतरिक भाग होता है।{{sfn|Wilansky|2013|p=60}}
-सतत मानचित्र (टोपोलॉजी) कार्यों के अनुक्रम को देखते हुए <math>f_n : X \to Y</math> बिंदुवार सीमा के साथ <math>f : X \to Y.</math> अगर <math>X</math> एक बायर स्थान है तो बिंदु कहाँ हैं <math>f</math> निरंतर नहीं है {{em|a [[meagre set]]}} में <math>X</math> और बिंदुओं का सेट जहां <math>f</math> निरंतर है में घना है <math>X.</math> इसका एक विशेष मामला एकरूपता का सिद्धांत है।
+सतत मानचित्र (सांस्थिति) फलनों के अनुक्रम को देखते हुए <math>f_n : X \to Y</math> बिंदुवार सीमा के साथ <math>f : X \to Y.</math> यदि <math>X</math> एक बेयर समष्‍टि है तो बिंदु जहां <math>f</math> निरंतर नहीं है <math>X</math> मे अल्प समुच्चय है और बिंदुओं का समुच्चय जहां <math>f</math> निरंतर है <math>X</math> में सघन है इसकी एक विशेष स्थिति एकरूपता परिबद्धता सिद्धांत है।
 == उदाहरण ==
-* खाली जगह एक बायर जगह है। यह एकमात्र स्थान है जो बायर और अल्प दोनों है।
+* रिक्त समष्टि एक बेयर समष्टि है। यह एकमात्र समष्‍टि है जो बेयर और अल्प दोनों है।
-* अंतरिक्ष <math>\R</math> सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का एक बायर स्थान है।
+* सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का समष्टि <math>\R</math> बेयर समष्‍टि है।
-* अंतरिक्ष <math>\Q</math> [[तर्कसंगत संख्या]]ओं की (से प्रेरित टोपोलॉजी के साथ <math>\R</math>) बायर स्थान नहीं है, क्योंकि यह अल्प है।
+* परिमेय संख्याओं का समष्‍टि <math>\Q</math> (से प्रेरित सांस्थिति के साथ <math>\R</math>) बेयर समष्‍टि नहीं है, क्योंकि यह अल्प है।
-* अपरिमेय संख्याओं का स्थान (से प्रेरित टोपोलॉजी के साथ <math>\R</math>) एक बायर स्पेस है, क्योंकि यह अंदर आता है <math>\R.</math>
+* अपरिमेय संख्याओं का समष्‍टि <math>\R</math> (से प्रेरित सांस्थिति के साथ ) एक बेयर-समष्‍टि है, क्योंकि यह <math>\R</math> मे अल्पमात्रा है।
-* अंतरिक्ष <math>X=[0,1]\cup([2,3]\cap\Q)</math> (से प्रेरित टोपोलॉजी के साथ <math>\R</math>) नॉनमेग्रे है, लेकिन बायर नहीं है। यह देखने के कई तरीके हैं कि यह बायर नहीं है: उदाहरण के लिए क्योंकि सबसेट <math>[0,1]</math> कमग्रे है लेकिन सघन नहीं है; या क्योंकि गैर-खाली सबसेट <math>[2,3]\cap\Q</math> खुला और अल्प है।
+* समष्‍टि <math>X=[0,1]\cup([2,3]\cap\Q)</math> (से प्रेरित सांस्थिति के साथ <math>\R</math>) अल्पमात्रा है, लेकिन बेयर नहीं है। यह देखने के कई तरीके हैं कि यह बेयर नहीं है: उदाहरण के लिए क्योंकि उप-समुच्चय <math>[0,1]</math> कमग्रे है लेकिन सघन नहीं है; या क्योंकि गैर-रिक्त उप-समुच्चय <math>[2,3]\cap\Q</math> विवृत और अल्प है।
-* इसी तरह, अंतरिक्ष <math>X=\{1\}\cup([2,3]\cap\Q)</math> बायर नहीं है। यह तब से अल्प है <math>1</math> एक पृथक बिंदु है।
+* इसी तरह, समष्‍टि <math>X=\{1\}\cup([2,3]\cap\Q)</math> बेयर नहीं है। यह तब से अल्प <math>1</math> है एक पृथक बिंदु है।
-निम्नलिखित बायर रिक्त स्थान के उदाहरण हैं जिनके लिए बायर श्रेणी प्रमेय लागू नहीं होता है, क्योंकि ये स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं हैं और पूरी तरह से मेट्रिजेबल नहीं हैं:
+निम्नलिखित बेयर-समष्‍टि के उदाहरण हैं जिनके लिए बेयर श्रेणी प्रमेय प्रयुक्त नहीं होता है, क्योंकि ये समष्‍टि स्थानीय रूप से सुसंहत नहीं हैं और पूरी तरह से मेट्रिजेबल नहीं हैं:
-* [[सोरगेनफ्रे लाइन]]।<ref>{{cite web |title=सोरगेनफ्रे लाइन एक बेयर स्पेस है|url=https://math.stackexchange.com/questions/476821 |website=Mathematics Stack Exchange }}</ref>
+* [[सोरगेनफ्रे लाइन|सोरगेनफ्रे रेखा]]।<ref>{{cite web |title=सोरगेनफ्रे लाइन एक बेयर स्पेस है|url=https://math.stackexchange.com/questions/476821 |website=Mathematics Stack Exchange }}</ref>
-* [[सोरगेनफ्रे विमान]]।<ref name="sorg-plane">{{cite web |title=सोरगेनफ्रे प्लेन और निएमित्ज़की प्लेन बेयर स्पेस हैं|url=https://math.stackexchange.com/questions/3848442 |website=Mathematics Stack Exchange }}</ref>
+* [[सोरगेनफ्रे विमान|सोरगेनफ्रे क्षेत्र]]।<ref name="sorg-plane">{{cite web |title=सोरगेनफ्रे प्लेन और निएमित्ज़की प्लेन बेयर स्पेस हैं|url=https://math.stackexchange.com/questions/3848442 |website=Mathematics Stack Exchange }}</ref>
-* नीमित्ज़की विमान।<ref name="sorg-plane"/>* का उपक्षेत्र <math>\R^2</math> पर परिमेय के साथ खुले ऊपरी आधे विमान से मिलकर {{mvar|x}}-अक्ष, अर्थात्, <math>X=(\R\times(0,\infty))\cup(\Q\times\{0\}),</math> बेयर स्पेस है,<ref>{{cite web |title=बेयर मेट्रिक स्पेस का उदाहरण जो पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल नहीं है|url=https://math.stackexchange.com/questions/3003649 |website=Mathematics Stack Exchange }}</ref> क्योंकि खुला ऊपरी आधा तल अंदर घना है <math>X</math> और पूरी तरह से मेट्रिजेबल, इसलिए बेयर। अंतरिक्ष <math>X</math> स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है और पूरी तरह से मेट्रिजेबल नहीं है। सेट <math>\Q\times\{0\}</math> में बंद है <math>X</math>, लेकिन बेयर स्पेस नहीं है। चूंकि एक मीट्रिक स्थान में बंद सेट जी-डेल्टा सेट हैं। जी<sub>δ</sub> सेट, इससे यह भी पता चलता है कि सामान्य तौर पर जी<sub>δ</sub> बेयर स्पेस में सेट को बेयर नहीं होना चाहिए।
+* नीमित्ज़की क्षेत्र।<ref name="sorg-plane"/>
+*<math>\R^2</math> का उपक्षेत्र पर परिमेय के साथ विवृत ऊपरी आधे क्षेत्र से मिलकर {{mvar|x}}-अक्ष, अर्थात्, <math>X=(\R\times(0,\infty))\cup(\Q\times\{0\}),</math> बेयर-समष्‍टि है,<ref>{{cite web |title=बेयर मेट्रिक स्पेस का उदाहरण जो पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल नहीं है|url=https://math.stackexchange.com/questions/3003649 |website=Mathematics Stack Exchange }}</ref> क्योंकि विवृत ऊपरी आधा तल अंदर सघन <math>X</math> है और पूरी तरह से मेट्रिजेबल, इसलिए बेयर समष्‍टि <math>X</math> स्थानीय रूप से सुसंहत नहीं है और पूरी तरह से मेट्रिजेबल नहीं है। समुच्चय <math>\Q\times\{0\}</math> में संवृत <math>X</math> है, लेकिन बेयर-समष्‍टि नहीं है। चूंकि एक मीट्रिक समष्‍टि में संवृत समुच्चय G<sub>δ</sub> समुच्चय हैं। इससे यह भी पता चलता है कि सामान्य रूप से G<sub>δ</sub> बेयर-समष्‍टि में समुच्चय को बेयर नहीं होना चाहिए।
-[[जरिस्की टोपोलॉजी]] के साथ बीजीय किस्में बायर स्पेस हैं। एक उदाहरण एफ़िन स्पेस है <math>\mathbb{A}^n</math> सेट से मिलकर <math>\mathbb{C}^n</math> का {{mvar|n}}-संरचना के साथ-साथ जटिल संख्याओं के समूह जिनके बंद सेट बहुपदों के गायब होने वाले सेट हैं <math>f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n].</math>
+[[जरिस्की टोपोलॉजी|जरिस्की सांस्थिति]] के साथ बीजगणितीय प्रकार बेयर-समष्‍टि हैं। उदाहरण एफ़िन समष्‍टि <math>\mathbb{A}^n</math> है, <math>\mathbb{C}^n</math> समुच्चय से मिलकर {{mvar|n}}-संरचना के साथ-साथ सम्मिश्र संख्याओं के समूह जिनके संवृत समुच्चय बहुपदों के <math>f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]</math> लुप्यमान समुच्चय हैं।
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Banach–Mazur game}}
+* बानाख-मजूर खेल
-* {{annotated link|Barrelled space}}
+* मंडलक समष्‍टि- सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि का प्रकार
-* {{annotated link|Blumberg theorem}}
+* ब्लमबर्ग प्रमेय - R पर कोई भी वास्तविक फलन R के सघन उपसमुच्चय पर निरंतर प्रतिबंध को स्वीकार करता है
-* {{annotated link|Property of Baire}}
+* बायर का गुण - अल्प समुच्चय द्वारा एक विवृत समुच्चय का अंतर
-* {{annotated link|Webbed space}}
+* वेब्ड समष्टि - समष्टि जहां विवृत प्रतिचित्रण और संवृत ग्राफ सिद्धांत धारण करते हैं
 == टिप्पणियाँ ==
@@ Line 115: / Line 114: @@
-== बाहरी संबंध ==
+== बेयर संबंध ==
 * [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Baire_space Encyclopaedia of Mathematics article on Baire space]
 * [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Baire_theorem Encyclopaedia of Mathematics article on Baire theorem]
-[[Category: सामान्य टोपोलॉजी]] [[Category: कार्यात्मक विश्लेषण]] [[Category: टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के गुण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
 [[Category:Created On 28/02/2023]]
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