बानाच समष्टि: Difference between revisions

Latest revision as of 12:48, 4 September 2023

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, बानाच समष्टि (उच्चारण [ˈbanax]) एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, बानाच समष्टि मीट्रिक (गणित) मीट्रिक के साथ एक सदिश समष्टि है जो सदिश लंबाई और सदिशों के बीच की दूरी की गणना की स्वीकृति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि सदिशों का कॉची अनुक्रम सदैव एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है जो समष्टि के अंदर है।

बानाच समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ स्टीफन बानाच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को प्रस्तुत किया और 1920-1922 में हंस हैन (गणितज्ञ) और एडुआर्ड हेली के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया।^[1] मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बानाच समष्टि का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बानाच ने फ्रेचेट समष्टि शब्द नियत किया।^[2] बानाच समष्टि मूल रूप से डेविड हिल्बर्ट, मौरिस रेने फ्रेचेट, और फ्रिगियस रिज्ज़ द्वारा शताब्दी में पहले फलन समष्टि के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बानाच समष्टि एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के अंतर्गत रिक्त समष्टि प्रायः बानाच समष्टि होते हैं।

परिभाषा

एक बानाच समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि मानक समष्टि है और $(X,\|\cdot \|)$ मानक समष्टि युग्म है^{[note 1]} जिसमे $(X,\|\cdot \|)$ सदिश क्षेत्र $X$ पर $\mathbb {K}$ (जहाँ $\mathbb {K}$ सामान्यतः है $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$ ) विशिष्ट वेक्टर समष्टि सम्मिलित है।^{[note 2]} सामान्य (गणित) $\|\cdot \|:X\to \mathbb {R}$ मानदंडों की तरह, यह मानक अनुवाद अपरिवर्तनीय और दूरी फलन^{[note 3]} मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है। जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है।^{[note 4]}

d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|

सभी वैक्टर के लिए

x,y\in X.

यह है

X

एक मीट्रिक समष्टि में

(X,d).

अनुक्रम

x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }

बनाता है। $d$ -कॉची को कॉची मे $(X,d)$ या $\|\cdot \|$ -कॉची में यदि प्रत्येक वास्तविक

r>0,

वहाँ कुछ सूचकांक

N

सम्मिलित है जैसे कि

d\left(x_{n},x_{m}\right)=\left\|x_{n}-x_{m}\right\|<r

जब भी

m

और

n

से

N

अधिक हैं तो प्रामाणिक मीट्रिक

d

को पूर्ण मेट्रिक कहा जाता है यदि युग्म

(X,d)

पूर्ण मेट्रिक समष्टि है, जो परिभाषा के अनुसार प्रत्येक

d

-कॉची अनुक्रम

x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }

में

(X,d)

के लिए

x\in X

सम्मिलित है जैसे कि

\lim _{n\to \infty }\left\|x_{n}-x\right\|=0

जहाँ क्योंकि

\left\|x_{n}-x\right\|=d\left(x_{n},x\right),

इस क्रम का अभिसरण

x

समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

\lim _{n\to \infty }x_{n}=x\;{\text{ in }}(X,d).

परिभाषा के अनुसार, मानक समष्टि

(X,\|\cdot \|)

बनच समष्टि है, यदि मानक प्रेरित मीट्रिक

d

एक पूर्ण मीट्रिक है, या अलग तरीके से कहा जाता है, यदि

(X,d)

एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। नियम

\|\cdot \|

मानक समष्टि का

(X,\|\cdot \|)

को एक पूर्ण मानक कहा जाता है यदि

(X,\|\cdot \|)

बानाच समष्टि है।

L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल

किसी भी सामान्य समष्टि के लिए $(X,\|\cdot \|),$ एक L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ पर $X$ सम्मिलित है जैसे कि ${\textstyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ सभी $x\in X$ ; के लिए सामान्य रूप से, असीम रूप से कई L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल हो सकते हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं। L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल का एक सामान्यीकरण है, जो मूल रूप से हिल्बर्ट रिक्त समष्टि को अन्य सभी बानाच समष्टि से अलग करते हैं। इससे पता चलता है कि सभी मानक समष्टि (और इसलिए सभी बानाच समष्टि) को (पूर्व-) हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।

श्रृंखला के संदर्भ में विशेषता

सदिश समष्टि संरचना हमें कॉशी अनुक्रमों के व्यवहार को अभिसरण श्रृंखला (गणित) सामान्यीकरण के व्यवहार से संबंधित करने की स्वीकृति देती है। एक मानक समष्टि $X$ एक बानाच समष्टि है यदि और केवल यदि $X$ प्रत्येक निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखला $X$ में अभिसरित हो जाता है ^[3]

\sum _{n=1}^{\infty }\|v_{n}\|<\infty \quad {\text{ implies that }}\quad \sum _{n=1}^{\infty }v_{n}\ \ {\text{ converges in }}\ \ X.

सांस्थिति

प्रामाणिक मीट्रिक $d$ एक मानक समष्टि का $(X,\|\cdot \|)$ सामान्य मीट्रिक सांस्थिति $\tau _{d}$ पर $X$ को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित सांस्थिति कहा जाता है। जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है, तब तक प्रत्येक मानक समष्टि स्वचालित रूप से इस हॉसडॉर्फ समष्टि सांस्थिति को ले जाने के लिए मान लिया जाता है। इस सांस्थिति के साथ, प्रत्येक बानाच समष्टि एक बायर समष्टि है, हालांकि ऐसे मानक समष्टि सम्मिलित हैं जो बेयर हैं लेकिन बानाच नहीं हैं।^[4] नियम $\|\,\cdot \,\|:\left(X,\tau _{d}\right)\to \mathbb {R}$ सांस्थिति के संबंध में सदैव एक सतत फलन होता है जो इसे प्रेरित करता है।

त्रिज्या की विवृत और संवृत गोले $r>0$ बिंदु पर केंद्रित $x\in X$ क्रमशः समुच्चय हैं

B_{r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|<r\}\qquad {\text{ and }}\qquad C_{r}(x):=\{z\in X:\|z-x\|\leq r\}.

ऐसी कोई भी गोले

X

का एक उत्तल और परिबद्ध उपसमुच्चय है (सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि) है लेकिन एक सुसंहत समष्टि गोले/प्रतिवेश (सांस्थिति) सम्मिलित है यदि और केवल तभी

X

एक परिमित-आयामी वेक्टर समष्टि है। विशेष रूप से, कोई अनंत-आयामी मानक समष्टि स्थानीय रूप से सुसंहत समष्टि नहीं हो सकता है या हेइन-बोरेल गुण हो सकती है। यदि

x_{0}

वेक्टर है और

s\neq 0

तब एक अदिश है

तब

x_{0}+sB_{r}(x)=B_{|s|r}\left(x_{0}+sx\right)\qquad {\text{ and }}\qquad x_{0}+sC_{r}(x)=C_{|s|r}\left(x_{0}+sx\right).

s:=1

का उपयोग करते हुए दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित सांस्थिति अनुवाद अपरिवर्तनीय सांस्थिति है, जिसका अर्थ है कि किसी

x\in X

और

S\subseteq X

के लिए उप-समुच्चय

S

विवृत समुच्चय (क्रमशः, संवृत समुच्चय)

X

में है यदि और केवल यदि यह इसके अनुवाद

x+S:=\{x+s:s\in S\}

के लिए सही है। परिणामस्वरूप, मानक प्रेरित सांस्थिति मूल रूप से किसी भी प्रतिवेश व्यवस्था द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ सामान्य प्रतिवेश के आधारों में सम्मिलित हैं:

\left\{B_{r}(0):r>0\right\},\qquad \left\{C_{r}(0):r>0\right\},\qquad \left\{B_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \right\},\qquad {\text{ or }}\qquad \left\{C_{r_{n}}(0):n\in \mathbb {N} \right\}

जहाँ

\left(r_{n}\right)_{n=1}^{\infty }

धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो

0

में

\mathbb {R}

(जैसे कि

r_{n}:=1/n

या

r_{n}:=1/2^{n}

के लिए) अभिसरण करता है। तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय

U

का

X

समूह के रूप में लिखा जा सकता है

U=\bigcup _{x\in I}B_{r_{x}}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_{x}}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_{x}B_{1}(0)

कुछ उपसमुच्चय द्वारा अनुक्रमित

I\subseteq U,

जहां प्रत्येक

r_{x}

किसी पूर्णांक

r_{x}={\tfrac {1}{n_{x}}}

कुछ पूर्णांक के लिए

n_{x}>0

स्वरूप का है (संवृत गोले का उपयोग विवृत गोले के अतिरिक्त भी किया जा सकता है, हालांकि अनुक्रमणिका समुच्चय

I

और त्रिज्या

r_{x}

बदलने की आवश्यकता हो सकती है)। इसके अतिरिक्त,

I

गणनीय समुच्चय होने के लिए सदैव चयन किया जा सकता है यदि

X

वियोज्य समष्टि है, जिसका परिभाषा के अनुसार तात्पर्य है कि

X

कुछ गणनीय सघन समुच्चय सम्मिलित हैं। एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट समष्टि गुणनफल समष्टि के लिए

{\textstyle \prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }

की अनगिनत प्रतियाँ

\mathbb {R}

(इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय मानचित्र नहीं होना चाहिए) होमोमोर्फिज्म है।^[5] चूँकि प्रत्येक बानाच समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बानाच समष्टि के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि L2-समष्टि

\ell

² अनुक्रम समष्टि

\ell ^{2}(\mathbb {N} )

भी सम्मिलित है। इसका सामान्य मानक

\|\cdot \|_{2},

जहां (परिमित-आयामी रिक्त समष्टि के विपरीत)

\ell ^{2}(\mathbb {N} )

इसकी इकाई क्षेत्र

\left\{x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ):\|x\|_{2}=1\right\}

होमोमोर्फिज्म भी है।

सघन और उत्तल उपसमुच्चय

$S$ का $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ सुसंहत उपसमुच्चय है जिसका उत्तल हल $\operatorname {co} (S)$ संवृत not है और इस प्रकार भी सुसंहत not है (उदाहरण के लिए यह फुटनोट देखें।^{[note 5]}^[6] हालाँकि, सभी बानाच समष्टि की तरह, संवृत उत्तल हल ${\overline {\operatorname {co} }}S$ उप-समुच्चय सुसंहत होगा।^[7] लेकिन यदि एक मानक समष्टि पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से not प्रत्याभूति है कि ${\overline {\operatorname {co} }}S$ सुसंहत होगा जब भी $S$ होगा; उदाहरण^{[note 5]} के लिए (गैर-पूर्ण) पूर्व-हिल्बर्ट वेक्टर $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ उपसमष्टि में भी पाया जा सकता है

सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि

यह मानक-प्रेरित सांस्थिति $\left(X,\tau _{d}\right)$ को सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और अदिश गुणन के संक्रिया को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि टीवीएस $\left(X,\tau _{d}\right)$ है केवल एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि है; अर्थात जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है not के साथ जुड़े कोई भी विशेष मानक या मीट्रिक (जिनमें से दोनों विस्मृत हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस $\left(X,\tau _{d}\right)$ स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी विवृत गेंदों का समुच्चय मूल रूप से उत्तल संतुलित समुच्चय विवृत समुच्चय से मिलकर प्रतिवेश का आधार बनाता है। यह टीवीएस भी मानकीय है, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) मानक (गणित) से प्रेरित है। मानकीय टीवीएस को हॉसडॉर्फ होने और मूल के एक घिरे हुए उत्तल प्रतिवेश के रूप में चित्रित किया गया है।

पूर्ण मेट्रिजेबल (दूरीकनीय) वेक्टर सांस्थिति की तुलना

विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण) का तात्पर्य है कि यदि $\tau {\text{ and }}\tau _{2}$ सांस्थिति $X$ है जो $(X,\tau )$ और $\left(X,\tau _{2}\right)$ दोनों बनाते हैं। पूर्ण मेट्रिजेबल TVS में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट समष्टि) और यदि एक सांस्थिति दूसरे की तुलना में सांस्थिति की तुलना है तो उन्हें (अर्थात, यदि $\tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}$ ) समान होना चाहिए।^[8] तो उदाहरण के लिए, यदि $(X,p){\text{ and }}(X,q)$ सांस्थिति के साथ $\tau _{p}{\text{ and }}\tau _{q}$ बानाच समष्टि हैं यदि इन समष्टि में से एक में कुछ विवृत गोले है जो कि अन्य समष्टि का भी विवृत उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक $p:\left(X,\tau _{q}\right)\to \mathbb {R}$ या $q:\left(X,\tau _{p}\right)\to \mathbb {R}$ नियतांक है) तो उनकी सांस्थिति समान हैं और उनके समतुल्य मानक हैं।

पूर्णता

पूर्ण मानक और समकक्ष मानक

दो मानक, $p$ और $q,$ सदिश समष्टि पर मानक (गणित) समतुल्य मानक कहा जाता है यदि वे एक ही सांस्थिति प्रेरित करते हैं;^[9] ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब धनात्मक वास्तविक संख्याएं $c,C>0$ जैसे कि ${\textstyle cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x)}$ सभी के लिए $x\in X$ सम्मिलित हों यदि $p$ और $q$ वेक्टर $X$ समष्टि पर दो समान मानक हैं तब $(X,p)$ एक बानाच समष्टि है यदि और केवल यदि $(X,q)$ एक बानाच समष्टि है। इस फ़ुटनोट को बानाच समष्टि पर एक सतत मानक के उदाहरण के लिए देखें जो उस बानाच समष्टि के दिए गए NOT मानक के बराबर है।^{[note 6]}^[9] परिमित-आयामी सदिश समष्टि पर सभी मानक समतुल्य हैं और प्रत्येक परिमित-आयामी मानक समष्टि एक बानाच समष्टि है।^[10]

पूर्ण मानक बनाम पूर्ण मेट्रिक्स

वेक्टर समष्टि पर $X$ पर एक मीट्रिक $D$ , $X$ मानक से प्रेरित है यदि और केवल यदि $D$ अनुवाद अपरिवर्तनीय है^{[note 3]} और बिल्कुल सजातीय है जिसका अर्थ है कि $D(sx,sy)=|s|D(x,y)$ सभी सदिश $s$ और सभी $x,y\in X,$ के लिए जिस स्थिति में फलन $\|x\|:=D(x,0)$ पर मानक परिभाषित करता है $X$ और प्रामाणिक मीट्रिक द्वारा प्रेरित $\|\cdot \|$ के $D$ बराबर है।

मान लीजिए कि $(X,\|\cdot \|)$ मानक समष्टि है और $\tau$ मानक सांस्थिति पर प्रेरित है मान लीजिए कि $D,$ $X$ मीट्रिक (गणित) पर $X$ है जैसे कि सांस्थिति कि $D$ को $X$ पर प्रवृत्त करता है जो $\tau$ के बराबर है यदि $D$ अनुवाद अपरिवर्तनीय है^{[note 3]} तब $(X,\|\cdot \|)$ एक बानाच समष्टि है यदि और केवल यदि $(X,D)$ एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है।^[11] यदि $D$ , not अनुवाद अपरिवर्तनीय है, तो इसके लिए संभव हो सकता है कि $(X,\|\cdot \|)$ एक बानाच समष्टि होने के लिए लेकिन के लिए $(X,D)$ को not एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि हो^[12] (उदाहरण के लिए यह फुटनोट देखें^{[note 7]})। इसके विपरीत, क्ले का एक प्रमेय,^[13]^[14]^{[note 8]} जो सभी दूरीकनीय सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि पर भी प्रयुक्त होता है, इसका तात्पर्य है कि यदि ^{[note 9]} पूर्ण मीट्रिक $D$ पर $X$ सम्मिलित है जो मानक सांस्थिति $\tau$ पर $X$ को प्रेरित करता है तब $(X,\|\cdot \|)$ बानाच समष्टि है।

एक फ्रेचेट समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है जिसका सांस्थिति कुछ अनुवाद अपरिवर्तनीय पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है। प्रत्येक बानाच समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है लेकिन इसके विपरीत नहीं; वास्तव में, वहाँ भी फ्रेचेट समष्टि सम्मिलित हैं, जिस पर कोई मानक एक सतत फलन नहीं है (जैसे कि वास्तविक अनुक्रमों का समष्टि ${\textstyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\prod _{i\in \mathbb {N} }\mathbb {R} }$ गुणनफल सांस्थिति के साथ)। हालांकि, प्रत्येक फ्रेचेट समष्टि की सांस्थिति वास्तविक-मूल्यवान (आवश्यक रूप से निरंतर) प्रतिचित्रों के कुछ गणनीय समुच्चय वर्ग से प्रेरित होती है, जिन्हें अर्ध-मानक कहा जाता है, जो मानक (गणित) के सामान्यीकरण हैं। एक फ्रेचेट समष्टि के लिए एक सांस्थिति होना भी संभव है जो मानक गणनीय वर्ग द्वारा प्रेरित है (ऐसे मानक आवश्यक रूप से नियत होंगे)^{[note 10]}^[15] लेकिन एक बानाच / सामान्य समष्टि NOT होने के कारण इसकी सांस्थिति को किसी एकल मानक के द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। ऐसी समष्टि का एक उदाहरण फ्रेचेट समष्टि $C^{\infty }(K)$ है जिसकी परिभाषा लेख में परीक्षण फलनों और वितरण के रिक्त समष्टि पर पाई जा सकती है।

पूर्ण मानक बनाम पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि

मीट्रिक पूर्णता के अतिरिक्त पूर्णता की अन्य धारणा है और वह एक पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि (टीवीएस) या टीवीएस-पूर्णता की धारणा है, जो समान समष्टि के सिद्धांत का उपयोग करती है। विशेष रूप से, टीवीएस-पूर्णता की धारणा एक अद्वितीय अनुवाद-अपरिवर्तनीय एकरूपता (सांस्थिति) का उपयोग करती है, जिसे पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि प्रामाणिक एकरूपता कहा जाता है, जो निर्भर करता है जो केवल वेक्टर घटाव और सांस्थिति पर $\tau$ सदिश समष्टि के साथ संपन्न है, और इसलिए विशेष रूप से, टीवीएस पूर्णता की यह धारणा सांस्थिति को प्रेरित करने वाले किसी भी मानक $\tau$ से स्वतंत्र है (और यहां तक कि टीवीएस पर भी not प्रयुक्त होता है जो कि दूरीकनीय पर नहीं है)। प्रत्येक बानाच समष्टि एक संपूर्ण टीवीएस है। इसके अतिरिक्त, एक मानक समष्टि एक बानाच समष्टि है (अर्थात, इसका मानक-प्रेरित मीट्रिक पूर्ण है) यदि और केवल यदि यह एक सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि के रूप में पूर्ण है। यदि $(X,\tau )$ एक दूरीकनीय सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है (जैसे कि कोई मानक प्रेरित सांस्थिति, उदाहरण के लिए), फिर $(X,\tau )$ एक पूर्ण TVS है यदि और केवल यदि यह क्रमिक रूप से पूर्ण टीवीएस, जिसका अर्थ है कि यह यह जाँचने के लिए पर्याप्त है कि $(X,\tau )$ में प्रत्येक कॉची अनुक्रम $(X,\tau )$ में $X$ के किसी बिंदु पर अभिसरण करता है (अर्थात्, एकपक्षीय कॉची मान (गणित) की अधिक सामान्य धारणा पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)।

यदि $(X,\tau )$ एक सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है जिसकी कुछ (संभवत: अज्ञात) मानक सांस्थिति प्रेरित होती है (ऐसे मानकनीय समष्टि कहलाते हैं), तब $(X,\tau )$ एक पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है यदि और केवल यदि $X$ एक मानक सौंपा जा सकता है (गणित) $\|\cdot \|$ जो $X$ पर सांस्थिति $\tau$ प्रेरित करता है और एक बानाच समष्टि में $(X,\|\cdot \|)$ बनाता भी है। हॉउसडॉर्फ समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि $X$ सामान्य समष्टि है यदि और केवल यदि इसकी प्रबल द्विक समष्टि $X_{b}^{\prime }$ सामान्य है,^[16] जिस स्थिति में $X_{b}^{\prime }$ एक बानाच समष्टि है ( $X_{b}^{\prime }$ के $X$ प्रबल द्विक समष्टि को दर्शाता है जिसका सांस्थिति निरंतर द्विक समष्टि पर द्विक मानक-प्रेरित सांस्थिति $X^{\prime }$ का सामान्यीकरण है; अधिक जानकारी के लिए यह फुटनोट देखें^{[note 11]})। यदि $X$ स्थानीय रूप से उत्तल TVS, तब एक दूरीकनीय सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि $X$ सामान्य है यदि और केवल यदि $X_{b}^{\prime }$ एक फ्रेचेट-उरीसोहन समष्टि है।^[17] इससे पता चलता है कि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि की श्रेणी में, बानाच समष्टि वास्तव में वे पूर्ण समष्टि हैं जो मेट्रिज़ेबल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि दोनों हैं और मेट्रिज़ेबल प्रबल द्विक रिक्त समष्टि हैं।

समापन

प्रत्येक मानक समष्टि को कुछ बनच समष्टि के सघन सदिश उप-समष्टि पर सममितीय रूप से अंत:स्थापित किया जा सकता है, जहाँ इस बनच समष्टि को मानक समष्टि का पूरा होना कहा जाता है। यह हॉसडॉर्फ समापन सममितीय समाकृतिकता तक अद्वितीय है।

अधिक परिशुद्ध रूप से, प्रत्येक मानक समष्टि $X$ के लिए जहाँ $Y$ और एक मानचित्रण $T:X\to Y$ एक बानाच समष्टि सम्मिलित है जैसे कि $T$ एक सममितीय है और $T(X)$ में सघन $Y$ है यदि $Z$ और बानाच समष्टि है जैसे कि एक $X$ सममितीय समाकृतिकता के सघन उपसमुच्चय पर $Z$ है, तब $Z$ सममितीय रूप से समाकृतिक $Y$ है, यह बानाच समष्टि $Y$ हौसडॉर्फ पूर्ण मेट्रिक मानक समष्टि का $X$ के लिए अंतर्निहित मीट्रिक समष्टि $Y$ की मीट्रिक पूर्णता $X$ से विस्तारित वेक्टर समष्टि संक्रिया के साथ $X$ और $Y$ के समान है मान लीजिए $X$ कभी-कभी ${\widehat {X}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

सामान्य सिद्धांत

रैखिक संकारक, समरूपता

यदि $X$ और $Y$ एक ही जमीनी क्षेत्र में मानक समष्टि हैं $\mathbb {K} ,$ सभी सतत फलन (सांस्थिति) रैखिक परिवर्तन का समुच्चय $\mathbb {K}$ -रैखिक नक्शे $T:X\to Y$ द्वारा निरूपित किया जाता है $B(X,Y).$ अनंत-आयामी समष्टि में, सभी रेखीय मानचित्र निरंतर नहीं होते हैं। एक मानक समष्टि से एक रेखीय मानचित्रण $X$ किसी अन्य मानक समष्टि के लिए निरंतर है यदि और केवल यदि यह संवृत इकाई क्षेत्र पर परिबद्ध ऑपरेटर है $X.$ इस प्रकार, वेक्टर समष्टि $B(X,Y)$ ऑपरेटर मानक दिया जा सकता है

\|T\|=\sup \left\{\|Tx\|_{Y}\mid x\in X,\ \|x\|_{X}\leq 1\right\}.

बानाच समष्टि

Y

के लिए, समष्टि

B(X,Y)

इस मानक के संबंध में एक बानाच समष्टि है। स्पष्ट संदर्भों में, कभी-कभी फलन समष्टि को दो बानाच रिक्त समष्टि के बीच केवल छोटे मानचित्रों तक सीमित करना सुविधाजनक होता है; उस स्थिति में समष्टि

B(X,Y)

एक प्राकृतिक द्विभाजक के रूप में फिर से प्रकट होता है।^[18]

यदि $X$ बानाच समष्टि है, समष्टि $B(X)=B(X,X)$ एक इकाई बानाच बीजगणित बनाता है; गुणन संक्रिया रेखीय प्रतिचित्रों के संघटन द्वारा दी जाती है।

यदि $X$ और $Y$ मानक समष्टि हैं, यदि एक रेखीय आक्षेप सम्मिलित है तो वे समरूपी मानक समष्टि $T:X\to Y$ हैंज ैसे कि $T$ और इसका प्रतिवर्त $T^{-1}$ नियतांक हैं। यदि दो में से एक समष्टि $X$ या $Y$ पूर्ण है (या प्रतिवर्त समष्टि, वियोज्य समष्टि, आदि) तो अन्य समष्टि भी है। दो मानक समष्टि $X$ और $Y$ सममितीय रूप से समाकृतिकता हैं यदि इसके अतिरिक्त, $T$ सममितीय है, अर्थात $\|T(x)\|=\|x\|$ प्रत्येक के लिए $x$ में $X$ बानाच दूरी $d(X,Y)$ दो समाकृतिकता लेकिन सममितीय समष्टि के बीच $X$ और $Y$ माप देता है कि दो समष्टि $X$ और $Y$ में कितना अंतर है।

सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और अर्ध-मानक

प्रत्येक निरंतर रैखिक संकारक एक परिबद्ध रैखिक संकारक होता है और यदि केवल मानक समष्टि के साथ व्यवहार किया जाता है तो इसका व्युत्क्रम भी सत्य होता है। अर्थात्, दो मानक समष्टि के बीच एक रैखिक संकारक परिबद्ध रैखिक संकारक है यदि और केवल यदि यह एक सतत फलन है। तो विशेष रूप से, क्योंकि अदिश क्षेत्र (जो है $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$ ) एक मानक समष्टि है, मानक समष्टि पर परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक है यदि और केवल यदि यह एक सतत रैखिक कार्यात्मक है। यह निरंतरता से संबंधित परिणामों (जैसे नीचे दिए गए) को बानाच समष्टि पर प्रयुक्त करने की स्वीकृति देता है। यद्यपि सीमाबद्धता मानक समष्टि के बीच रैखिक मानचित्रों के लिए निरंतरता के समान है, मुख्य रूप से बानाच रिक्त समष्टि के साथ व्यवहार करते समय बाध्य पदों का अधिक उपयोग किया जाता है।

यदि $f:X\to \mathbb {R}$ एक उप-योगात्मक फलन है (जैसे कि एक मानक, एक उप-रैखिक फलन, या वास्तविक रैखिक कार्यात्मक), तब^[19] $f$ एक बिंदु पर निरंतरता है यदि और केवल यदि $f$ सभी पर $X$ समान रूप से निरंतर है; और यदि इसके अतिरिक्त $f(0)=0$ तब $f$ निरंतर है यदि और केवल यदि इसका पूर्ण मूल्य $|f|:X\to [0,\infty )$ निरंतर है, जो होता है यदि और केवल यदि $\{x\in X:|f(x)|<1\}$ का विवृत उपसमुच्चय $X$ है।^[19]^{[note 12]} और हन-बनाक प्रमेय, एक रैखिक कार्यात्मक को प्रयुक्त करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण $f$ नियतांक है यदि और केवल यदि यह इसके वास्तविक भाग के लिए सत्य है और इसके अतिरिक्त, $\|\operatorname {Re} f\|=\|f\|$ रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग $\operatorname {Re} f$ पूर्णतः निर्धारित करता है यही कारण है कि हैन-बनाक प्रमेय को $f,$ प्रायः केवल वास्तविक रैखिक कार्यात्मकताओं के लिए ही कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, एक रैखिक कार्यात्मक $f$ पर $X$ नियत है यदि और केवल यदि अर्ध-मानक $|f|$ निरंतर है, जो तभी होता है जब निरंतर अर्ध-मानक $p:X\to \mathbb {R}$ सम्मिलित होता हैज ैसे कि $|f|\leq p$ ; यह अंतिम कथन रैखिक कार्यात्मक $f$ और अर्ध-मानक $p$ को सम्मिलित करता है हैन-बनाक प्रमेय के कई संस्करणों में इसका सामना करना पड़ता है।

मूलभूत धारणाएं

कार्तीय गुणनफल $X\times Y$ दो मानक समष्टि प्रामाणिक रूप से एक मानक से सुसज्जित नहीं हैं। हालाँकि, कई समान मानक सामान्य रूप से उपयोग किए जाते हैं,^[20] जैसे कि

\|(x,y)\|_{1}=\|x\|+\|y\|,\qquad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(\|x\|,\|y\|)

जो (क्रमशः) बानाच समष्टि और लघु मानचित्र (ऊपर चर्चा की गई) की श्रेणी में प्रतिगुणनफल और गुणनफल (श्रेणी सिद्धांत) के अनुरूप हैं।^[18] परिमित (सह) गुणनफलों के लिए, ये मानक समाकृतिकता मानक समष्टि

X\times Y

(या प्रत्यक्ष योग

X\oplus Y

) और गुणनफल को उत्पन्न करते है जो पूर्ण है यदि और केवल यदि दो कारक पूर्ण हैं।

यदि $M$ मानक समष्टि का एक संवृत समुच्चय रैखिक उपसमष्टि $X$ है, भागफल समष्टि पर एक प्राकृतिक मानक $X/M$ है,

\|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|.

भागफल

X/M

एक बानाच समष्टि है जब

X

पूर्ण है।^[21] भागफल मानचित्र से

X

पर

X/M,

देता है इसके वर्ग

x\in X

के लिए

x+M

रैखिक है, और आच्छादक है और इसका मानक

1

है इसके अतिरिक्त जब

M=X,

जिस स्थिति में भागफल रिक्त समष्टि होता है।

संवृत रैखिक उप-समष्टि $M$ का $X$ की पूरक उपसमष्टि कहा जाता है $X$ यदि $M$ एक प्रक्षेपण परिबद्ध रैखिक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) $P:X\to M$ के फलन की सीमा है इस स्थिति में समष्टि $X$ के प्रत्यक्ष योग के लिए $M$ और $\ker P,$ प्रक्षेपण $P$ समाकृतिकता है मान लीजिए कि $X$ और $Y$ बानाच समष्टि हैं और यह $T\in B(X,Y)$ का एक प्रामाणिक गुणनखंड सम्मिलित है जैसे $T$ ^[21]

T=T_{1}\circ \pi ,\ \ \ T:X\ {\overset {\pi }{\longrightarrow }}\ X/ker(T)\ {\overset {T_{1}}{\longrightarrow }}\ Y

जहां पहला मानचित्र

\pi

भागफल मानचित्र है, और दूसरा मानचित्र

T_{1}

है प्रत्येक वर्ग

x+\ker T

छवि के भागफल में

T(x)

में

Y

प्राप्त है, यह अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि एक ही वर्ग के सभी तत्वों की एक ही छवि होती है। मानचित्रण

T_{1}

से एक रैखिक

X/\ker T

सीमा पर

T(X)

आक्षेप है जिनके व्युत्क्रम को बाध्य करने की आवश्यकता नहीं है।

उत्कृष्ट समष्टि

मूलभूत उदाहरण^[22] बानाच समष्टि में सम्मिलित हैं: एलपी रिक्त समष्टि $L^{p}$ और उनके विशेष स्थिति $\ell ^{p}$ अनुक्रम समष्टि (गणित) जिसमें प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित अदिश अनुक्रम $\mathbb {N}$ सम्मिलित हैं; उनमें से, समष्टि $\ell ^{1}$ निरपेक्ष अभिसरण अनुक्रम और समष्टि $\ell ^{2}$ वर्ग योग्‍य अनुक्रम; समष्टि $c_{0}$ शून्य और समष्टि की ओर जाने वाले अनुक्रमों की $\ell ^{\infty }$ परिबद्ध अनुक्रमों की; समष्टि $C(K)$ सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर नियत अदिश फलन $K,$ अधिकतम मानक से कम,

\|f\|_{C(K)}=\max\{|f(x)|:x\in K\},\quad f\in C(K).

बनच-मजूर प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बानाच समष्टि कुछ के एक उप-समष्टि के लिए सममितीय

C(K)

रूप से समाकृतिकता है।^[23] प्रत्येक वियोज्य बानाच समष्टि

X

के लिए संवृत उप-समष्टि

M

का

\ell ^{1}

है जैसे कि

X:=\ell ^{1}/M.

^[24] कोई भी हिल्बर्ट समष्टि बानाच समष्टि के उदाहरण के रूप में फलन करता है। हिल्बर्ट समष्टि

H

पर

\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}

प्रपत्र के एक मानक के लिए पूर्ण है

\|x\|_{H}={\sqrt {\langle x,x\rangle }},

जहाँ

\langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H\to \mathbb {K}

आंतरिक गुणनफल समष्टि है, इसके पहले तर्क में रैखिक है जो निम्नलिखित को पूरा करता है:

{\begin{aligned}\langle y,x\rangle &={\overline {\langle x,y\rangle }},\quad {\text{ for all }}x,y\in H\\\langle x,x\rangle &\geq 0,\quad {\text{ for all }}x\in H\\\langle x,x\rangle =0{\text{ if and only if }}x&=0.\end{aligned}}

उदाहरण के लिए, समष्टि

L^{2}

एक हिल्बर्ट समष्टि है।

हार्डी समष्टि, सोबोलेव समष्टि, बानाच समष्टि के उदाहरण हैं जो $L^{p}$ इससे संबंधित हैं रिक्त समष्टि और अतिरिक्त संरचना है। वे विश्लेषण की विभिन्न शाखाओं, हार्मोनिक विश्लेषण और दूसरों के बीच आंशिक अंतर समीकरणों में महत्वपूर्ण हैं।

बानाच बीजगणित

बानाच बीजगणित $A$ बानाच समष्टि है उपरोक्त $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ या $\mathbb {C} ,$ साथ में एक क्षेत्र के ऊपर बीजगणित की एक संरचना $\mathbb {K}$ , जैसे कि गुणनफल का मानचित्र $A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A$ सतत है। एक समकक्ष मानक $A$ पाया जा सकता है ताकि $\|ab\|\leq \|a\|\|b\|$ सभी के लिए $a,b\in A.$

उदाहरण

बानाच समष्टि $C(K)$ बिंदुवार गुणनफल के साथ, बैनाच बीजगणित है।
डिस्क बीजगणित $A(\mathbf {D} )$ विवृत इकाई डिस्क में होलोमॉर्फिक फलन के फलन होते हैं $D\subseteq \mathbb {C}$ और इसके संवरक (सांस्थिति) पर निरंतर: ${\overline {\mathbf {D} }}.$ अधिकतम मानक से कम ${\overline {\mathbf {D} }},$ डिस्क बीजगणित $A(\mathbf {D} )$ का एक संवृत उपबीजीय $C\left({\overline {\mathbf {D} }}\right)$ है।
वीनर बीजगणित $A(\mathbf {T} )$ इकाई वृत्त पर फलनों का $\mathbf {T}$ अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ बीजगणित है। किसी फलन को जोड़ने वाले मानचित्र के माध्यम से $\mathbf {T}$ इसके फूरियर गुणांकों के अनुक्रम के अनुसार, यह बीजगणित बानाच बीजगणित $\ell ^{1}(Z)$ के लिए समरूप है जहां गुणनफल अनुक्रमों का असतत संवलन है।
प्रत्येक बानाच समष्टि के लिए $X,$ समष्टि $B(X)$ परिबद्ध रैखिक संक्रिया $X,$ गुणनफल के रूप में प्रतिचित्रों की संरचना के साथ, बानाच बीजगणित है।
A C*-बीजगणित एक जटिल बानाच बीजगणित $A$ है गैर-रैखिक मानचित्र अंतर्वलन (गणित) के साथ $a\mapsto a^{*}$ जैसे कि $\left\|a^{*}a\right\|=\|a\|^{2}$ समष्टि $B(H)$ हिल्बर्ट समष्टि पर परिबद्ध रैखिक संक्रिया की संख्या $H$ C*-बीजगणित का एक मूलभूत उदाहरण है। गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय कहता है कि प्रत्येक C*-बीजगणित कुछ के C*-उप-बीजीय के लिए $B(H)$ सममितीय रूप से समाकृतिकता है। समष्टि $C(K)$ सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर जटिल सतत फलनों का $K$ क्रमविनिमेय C*-बीजगणित का एक उदाहरण है, जहां प्रत्येक क्रिया के साथ $f$ जुड़ा हुआ है जो इसका ${\overline {f}}$ जटिल संयुग्म है।

द्विक समष्टि

यदि $X$ एक मानक समष्टि है और $\mathbb {K}$ अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) (या तो वास्तविक संख्या या जटिल संख्या), सतत द्विक समष्टि निरंतर रैखिक मानचित्र $X$ में $\mathbb {K} ,$ या सतत रैखिक फलन का समष्टि है। इस लेख में नियतांक द्विक समष्टि के लिए संकेत $X^{\prime }=B(X,\mathbb {K} )$ समष्टि है।^[25] तब से $\mathbb {K}$ एक बानाच समष्टि है (मानक के रूप में पूर्ण मूल्य का उपयोग करके), द्विक $X^{\prime }$ प्रत्येक मानक समष्टि के लिए $X$ बानाच समष्टि है।

निरंतर रैखिक क्रियाओं की स्थिति को सिद्ध करने का मुख्य उपकरण हैन-बनाक प्रमेय है।

Hahn–Banach theorem — Let $X$ be a vector space over the field $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} .$ Let further

$Y\subseteq X$ be a linear subspace,
$p:X\to \mathbb {R}$ be a sublinear function and
$f:Y\to \mathbb {K}$ be a linear functional so that $\operatorname {Re} (f(y))\leq p(y)$ for all $y\in Y.$

Then, there exists a linear functional $F:X\to \mathbb {K}$ so that

F{\big \vert }_{Y}=f,\quad {\text{ and }}\quad {\text{ for all }}x\in X,\ \ \operatorname {Re} (F(x))\leq p(x).

विशेष रूप से, कार्यात्मक के मानक को बढ़ाए बिना, मानक समष्टि के उप-समष्टि पर प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक को निरंतर पूरे समष्टि तक बढ़ाया जा सकता है।^[26] एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति निम्नलिखित है: प्रत्येक सदिश के लिए $x$ मानक समष्टि में $X,$ वहाँ $f$ पर $X$ सतत रैखिक कार्यात्मक सम्मिलित है जैसे कि

f(x)=\|x\|_{X},\quad \|f\|_{X^{\prime }}\leq 1.

जब

x

के बराबर

\mathbf {0}

वेक्टर नहीं है कार्यात्मक

f

मानक एक होना चाहिए, और इसके लिए एक मानक कार्यात्मक

x

कहा जाता हैह ैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय कहता है कि दो असंयुक्त गैर-रिक्त उत्तल समुच्चय एक वास्तविक बानाच समष्टि में, उनमें से एक विवृत है, एक संवृत एफ़िन समष्टि द्वारा अलग किया जा सकता है। विवृत उत्तल समुच्चय अधिसमतलके एक तरफ दृढ़ता से स्थित है, दूसरा उत्तल समुच्चय दूसरी तरफ स्थित है लेकिन अधिसमतल को स्पर्श कर सकता है।^[27] उपसमुच्चय

S

एक बानाच समष्टि में

X

पूर्ण है यदि की रैखिक अवधि

S

सघन रूप से

X

स्थापित है उपसमुच्चय

S

में पूर्ण

X

ैय दि और केवल यदि एकमात्र निरंतर रैखिक कार्यात्मक जो

S

पर कार्यात्मक

\mathbf {0}

है: यह तुल्यता हन-बनाक प्रमेय से आती है।

यदि $X$ दो संवृत $M$ और $N$ रैखिक उपसमष्टियों का प्रत्यक्ष योग है फिर द्वि-द्वैत $X^{\prime }$ का $X$ के $M$ और $N$ द्वि-द्वैत के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है।^[28] यदि $M$ में एक संवृत $X$ रैखिक उपसमष्टि है लम्बवत $M$ समष्टि जोड़ सकता है,

M^{bot}=\left\{x^{\prime }\in X:x^{\prime }(m)=0,\ {\text{ for all }}m\in M\right\}.

लम्बवत

M^{\bot }

द्वि-द्वैत की एक संवृत रेखीय उपसमष्टि है।

M

का द्वि-द्वैत

X'/M^{\bot }

सममितीय रूप से समाकृतिक है

X/M

का द्वि-द्वैत सममितीय रूप से

M^{\bot }

समाकृतिक है।^[29]

वियोज्य बानाच समष्टि के द्विक को वियोज्य होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन:

Theorem^[30] — Let $X$ be a normed space. If $X'$ is separable, then $X$ is separable.

जब $X'$ वियोज्य है, समग्रता के लिए उपरोक्त मानक का उपयोग गणना योग्य $X$ कुल उपसमुच्चय की स्थिति को प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है।

दुर्बल सांस्थिति

बानाच समष्टि पर दुर्बल सांस्थिति $X$ पर सांस्थिति की तुलना है $X$ जिसके लिए सभी तत्व $x^{\prime }$ निरंतर द्विक समष्टि में $X^{\prime }$ निरंतर हैं। मानक सांस्थिति इसलिए दुर्बल सांस्थिति की तुलना में सांस्थिति की तुलना है। यह हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय से अनुसरण करता है कि दुर्बल सांस्थिति हौसडॉर्फ समष्टि है, और यह कि बानाच समष्टि का एक मानक-संवृत उत्तल समुच्चय भी दुर्बल रूप से संवृत है।^[31] दो बानाच समष्टि के बीच एक मानक-सतत रेखीय मानचित्र $X$ और $Y$ भी दुर्बल रूप से निरंतर है, अर्थात $X$ और $Y$ के लिए दुर्बल सांस्थिति से निरंतर है ^[32] यदि $X$ अनंत-आयामी है, ऐसे रैखिक मानचित्र सम्मिलित हैं जो निरंतर नहीं हैं। समष्टि $X^{*}$ से सभी रैखिक मानचित्रों का $X$ अंतर्निहित क्षेत्र के लिए $\mathbb {K}$ (यह समष्टि $X^{*}$ इसे अलग करने के लिए इसे $X^{\prime }$ बीजगणितीय द्विक समष्टि कहा जाता है सांस्थिति $X$ को भी प्रेरित करता है जो दुर्बल सांस्थिति की तुलना में अधिकतम सांस्थिति है, और कार्यात्मक विश्लेषण में बहुत कम प्रयोग किया जाता है।

द्विक समष्टि पर $X^{\prime },$ की दुर्बल सांस्थिति की तुलना में दुर्बल सांस्थिति $X^{\prime }$ कहा जाता है। यह सबसे सामान्य सांस्थिति $X^{\prime }$ है जिसके लिए सभी मूल्यांकन मानचित्र $x^{\prime }\in X^{\prime }\mapsto x^{\prime }(x),$ जहाँ $x$ से अधिक $X$ नियतांक हैं। इसका महत्व बानाच-अलाग्लू प्रमेय से आता है।

Banach–Alaoglu theorem — Let $X$ be a normed vector space. Then the closed unit ball $B=\left\{x\in X:\|x\|\leq 1\right\}$ of the dual space is compact in the weak* topology.

सुसंहत हौसडॉर्फ रिक्त समष्टि के अनंत गुणनफलों के बारे में टायकोनॉफ़ के प्रमेय का उपयोग करके बानाच-अलाग्लु प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है। जब $X$ वियोज्य है, इकाई $B^{\prime }$ द्विक दुर्बल * सांस्थिति में दूरीकनीय समष्टि सुसंहत है।^[33]

द्विक समष्टि के उदाहरण

$c_{0}$ का द्वि-द्वैत सममितीय रूप से $\ell ^{1}$ समाकृतिक है: प्रत्येक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक के लिए $f$ पर $c_{0},$ अद्वितीय तत्व $y=\left\{y_{n}\right\}\in \ell ^{1}$ है जैसे कि

f(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}y_{n},\qquad x=\{x_{n}\}\in c_{0},\ \ {\text{and}}\ \ \|f\|_{(c_{0})'}=\|y\|_{\ell _{1}}.

\ell ^{1}

का द्वि-द्वैत सममितीय रूप से

\ell ^{\infty }

समाकृतिक है लेबेस्ग्यू समष्टि

L^{p}([0,1])

सममितीय रूप से

L^{q}([0,1])

समाकृतिक है जब

1\leq p<\infty

और

{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1

प्रत्येक वेक्टर के लिए

y

एक हिल्बर्ट समष्टि में

H,

मानचित्रण

x\in H\to f_{y}(x)=\langle x,y\rangle

H

पर सतत

f_{y}

रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय के अनुसार प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर

H

का स्वरूप

f_{y}

है। विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए

y

में

H

मानचित्रण

y\in H\to f_{y}

एक गैर-रैखिक मानचित्र सममितीय द्विअंत:क्षेपण है

H

इसके द्विक पर

H'.

जब अदिश वास्तविक होते हैं, तो यह मानचित्र एक सममितीय समाकृतिकता है।

जब $K$ सुसंहत हॉउसडॉर्फ सांंस्थितिक समष्टि है, द्विक $M(K)$ का $C(K)$ बॉरबाकी के अर्थ में रेडॉन माप का समष्टि है।^[34] उपसमुच्चय $P(K)$ का $M(K)$ बड़ी संख्या 1 (संभाव्यता माप) के गैर-ऋणात्मक मापों से मिलकर इकाई का उत्तल w*-संवृत $M(K)$ के अधिकतम बिंदु $P(K)$ डिराक माप $K$ उपसमुच्चय है डिराक का समुच्चय $K,$ w * - सांस्थिति से कम $K$ समरूप है।

Banach–Stone Theorem — If $K$ and $L$ are compact Hausdorff spaces and if $C(K)$ and $C(L)$ are isometrically isomorphic, then the topological spaces $K$ and $L$ are homeomorphic.^[35]^[36]

परिणाम को अमीर^[37] और कैम्बरन^[38] द्वारा स्थिति में विस्तारित किया गया है जब $C(K)$ और $C(L)$ के बीच गुणक बनच-मजूर की दूरी $<2$ प्रमेय है अब सत्य नहीं है जब दूरी $=2$ ^[39] है क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित में $C(K),$ में अधिक से अधिक मानक $K$ पर डिराक मापों के परिशुद्ध रूप से कर्नेल हैं

I_{x}=\ker \delta _{x}=\{f\in C(K):f(x)=0\},\quad x\in K.

अधिक सामान्य रूप से, गेलफैंड-मजूर प्रमेय द्वारा, एकल क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित के अधिकतम मानकों को इसके बानाच बीजगणित मानकों और पात्रों के साथ पहचाना जा सकता है - न केवल समुच्चय के रूप में बल्कि सांंस्थितिक रिक्त समष्टि के रूप में: हल-कर्नेल सांस्थिति के साथ पूर्व और w*-सांस्थिति के साथ बाद वाला सम्मिलित है। इस सर्वसमिका में, अधिकतम मानक समष्टि को द्विक गोले में इकाई गोले के w*-सुसंहत उपसमुच्चय

A'

के रूप में देखा जा सकता है।

Theorem — If $K$ is a compact Hausdorff space, then the maximal ideal space $\Xi$ of the Banach algebra $C(K)$ is homeomorphic to $K.$ ^[35]

प्रत्येक इकाई क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित $C(K)$ का रूप नहीं है सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि के लिए $K$ है। हालाँकि, यह $C(K)$ कथन यदि एक समष्टि पर है क्रमविनिमेय C*-बीजगणित की छोटी श्रेणी में सम्मिलित है। गेलफैंड प्रतिनिधित्व क्रमविनिमेय C*-बीजगणित के लिए बताता है कि प्रत्येक क्रमविनिमेय इकाई C*-बीजगणित $A$ सममितीय रूप से समाकृतिक $C(K)$ समष्टि है।^[40] हॉउसडॉर्फ सुसंहत समष्टि $K$ यहाँ फिर से अधिकतम मानक समष्टि है, जिसे $A$ के उदाहरण C*-बीजगणित संदर्भ में विस्तृत श्रेणी भी कहा जाता है।

द्वैत

यदि $X$ एक मानक समष्टि है, (निरंतर) दोहरा $X''$ द्वि-द्वैत का $X'$ कहा जाता है प्रत्येक सामान्य समष्टि के लिए $X,$ एक प्राकृतिक मानचित्र है,

{\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}

यह परिभाषित करता है कि

F_{X}(x)

एक सतत रैखिक कार्यात्मक के रूप में

X^{\prime }

है, का एक तत्व वो मानचित्र

F_{X}:x\to F_{X}(x)

से एक रेखीय मानचित्र

X

को

X^{\prime \prime }

बानाच समष्टि है द्विक समष्टि की स्थिति के परिणामस्वरूप

f

प्रत्येक के लिए

x\in X,

यह मानचित्र

F_{X}

सममितीय है, इस प्रकार अंतःक्षेपक है।

उदाहरण के लिए, $X=c_{0}$ की द्विक समष्टि और द्विक $\ell ^{1}$ से पहचाना जाता है परिबद्ध अदिश अनुक्रमों $\ell ^{\infty },$ का समष्टि है। इन सर्वसमिका के अंतर्गत $F_{X}$ से $c_{0}$ को $\ell ^{\infty }$ समावेशन मानचित्र है यह वास्तव में सममितीय है, लेकिन आच्छादक नहीं है।

यदि $F_{X}$ आच्छादन है, तो मानक समष्टि $X$ प्रतिवर्ती कहा जाता है (बानाच समष्टि प्रतिवर्ती देखें)। एक मानक समष्टि के द्विक होने के परिणाम स्वरूप, द्वि-द्वैत $X''$ पूर्ण है, इसलिए, प्रत्येक प्रतिवर्ती मानक समष्टि एक बानाच समष्टि है।

$F_{X}$ सममितीय अंत:स्थापन का उपयोग करना यह एक मानक समष्टि पर विचार करने के लिए अभ्यास है और $X$ के उप-समुच्चय के रूप में है। जब $X$ एक बानाच समष्टि है, इसे $X^{\prime \prime }$ एक संवृत रेखीय उप-समष्टि के रूप में देखा जाता है यदि $X$ प्रतिवर्ती नहीं है, की इकाई गेंद $X$ की इकाई गोले का एक उपयुक्त उपसमुच्चय $X^{\prime \prime }$ है गोल्डस्टाइन प्रमेय में कहा गया है कि एक मानक समष्टि की इकाई गोले की इकाई गोले में दुर्बल*-सघन होती है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक $x''$ के लिए द्वि-द्वैत में $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ शून्य (गणित) सम्मिलित है $X$ ताकि

\sup _{i\in I}\left\|x_{i}\right\|\leq \|x''\|,\ \ x''(f)=\lim _{i}f\left(x_{i}\right),\quad f\in X'.

द्विक होने पर मूल्य को दुर्बल *-अभिसरण अनुक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है

X'

वियोज्य है। दूसरी ओर,

\ell ^{1}

के तत्व जो अंदर नहीं हैं

\ell ^{1}

दुर्बल नहीं हो सकता* - अनुक्रमों की सीमा

\ell ^{1},

तब से

\ell ^{1}

बानाच समष्टि है अनुक्रम दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण है।

बानाच के प्रमेय

यहां बनच समष्टि के बारे में मुख्य सामान्य परिणाम दिए गए हैं जो बनच की पुस्तक (बनच (1932)) के समय तक वापस जाते हैं और बेयर श्रेणी प्रमेय से संबंधित हैं। इस प्रमेय के अनुसार, एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि (जैसे कि एक बानाच समष्टि, एक फ़्रेचेट समष्टि या एक एफ-समष्टि) रिक्त आंतरिक स्थिति के साथ चयन किए कई संवृत उपसमुच्चयों के समूह के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए, एक बनच समष्टि गणनीयत: के कई संवृत उप-समष्टि का समूह नहीं हो सकता है, जब तक कि यह पहले से ही उनमें से एक के बराबर न हो; एक गणनीय हामेल आधार वाला एक बनच समष्टि परिमित-आयामी है।

Banach–Steinhaus Theorem — Let $X$ be a Banach space and $Y$ be a normed vector space. Suppose that $F$ is a collection of continuous linear operators from $X$ to $Y.$ The uniform boundedness principle states that if for all $x$ in $X$ we have $\sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,$ then $\sup _{T\in F}\|T\|_{Y}<\infty .$

बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय बानाच समष्टि तक सीमित नहीं है। इसे उदाहरण के लिए उस स्थिति में बढ़ाया जा सकता है जहां $X$ एक फ्रेचेट समष्टि है, बशर्ते निष्कर्ष को निम्नानुसार संशोधित किया जाए: एक ही परिकल्पना के अंतर्गत, $U$ का $\mathbf {0}$ में $X$ एक प्रतिवेश सम्मिलित है जैसे कि सभी $T$ में $F$ समान रूप से $U$ से सीमित है।

\sup _{T\in F}\sup _{x\in U}\;\|T(x)\|_{Y}<\infty .

The Open Mapping Theorem — Let $X$ and $Y$ be Banach spaces and $T:X\to Y$ be a surjective continuous linear operator, then $T$ is an open map.

Corollary — Every one-to-one bounded linear operator from a Banach space onto a Banach space is an isomorphism.

The First Isomorphism Theorem for Banach spaces — Suppose that $X$ and $Y$ are Banach spaces and that $T\in B(X,Y).$ Suppose further that the range of $T$ is closed in $Y.$ Then $X/\ker T$ is isomorphic to $T(X).$

यह परिणाम पूर्ववर्ती बानाच समरूपता प्रमेय और सीमित हुए रैखिक मानचित्रों के प्रामाणिक गुणनखंड का प्रत्यक्ष परिणाम है।

Corollary — If a Banach space $X$ is the internal direct sum of closed subspaces $M_{1},\ldots ,M_{n},$ then $X$ is isomorphic to $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}.$

यह बानाच के समरूपता प्रमेय का एक और परिणाम है, जो $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{n}$ पर $X$ के $m_{1},\cdots ,m_{n}$ परिणाम के लिए $m_{1}+\cdots +m_{n}$ निरंतर आक्षेप पर प्रयुक्त होता है।

The Closed Graph Theorem — Let $T:X\to Y$ be a linear mapping between Banach spaces. The graph of $T$ is closed in $X\times Y$ if and only if $T$ is continuous.

स्वतुल्यता

मानक समष्टि $X$ प्राकृतिक मानचित्र होने पर प्रतिवर्ती समष्टि कहा जाता है

{\begin{cases}F_{X}:X\to X''\\F_{X}(x)(f)=f(x)&{\text{ for all }}x\in X,{\text{ and for all }}f\in X'\end{cases}}

विशेषण है। प्रतिवर्ती मानक समष्टि बानाच समष्टि हैं।

Theorem — If $X$ is a reflexive Banach space, every closed subspace of $X$ and every quotient space of $X$ are reflexive.

यह हैन-बनाक प्रमेय का परिणाम है। इसके अतिरिक्त, विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय द्वारा, यदि बानाच समष्टि से एक परिबद्ध रैखिक संक्रिया है जो $X$ बानाच समष्टि पर $Y,$ तब $Y$ प्रतिवर्त है।

Theorem — If $X$ is a Banach space, then $X$ is reflexive if and only if $X^{\prime }$ is reflexive.

Corollary — Let $X$ be a reflexive Banach space. Then $X$ is separable if and only if $X^{\prime }$ is separable.

वास्तव में, यदि द्विक $Y^{\prime }$ एक बानाच समष्टि का $Y$ वियोज्य है, तो $Y$ वियोज्य है। यदि $X$ प्रतिवर्त और वियोज्य है, फिर $X^{\prime }$ का दोहरा वियोज्य है, इसलिए $X^{\prime }$ वियोज्य है।

Theorem — Suppose that $X_{1},\ldots ,X_{n}$ are normed spaces and that $X=X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}.$ Then $X$ is reflexive if and only if each $X_{j}$ is reflexive.

हिल्बर्ट समष्टि प्रतिवर्ती हैं। $L^{p}$ h> समष्टि प्रतिवर्ती होते हैं जब $1<p<\infty$ अधिक सामान्य रूप से, मिलमैन-पेटिस प्रमेय द्वारा समान रूप से उत्तल रिक्त समष्टि प्रतिवर्ती होते हैं। रिक्त समष्टि $c_{0},\ell ^{1},L^{1}([0,1]),C([0,1])$ परावर्तक नहीं हैं। गैर-प्रतिवर्ती समष्टि $X$ के इन उदाहरणों में $X,$ और $X''$ से बहुत बड़ा है अर्थात्, प्राकृतिक सममितीय अन्तः स्थापन के अंतर्गत $X$ में $X''$ हन-बानाच प्रमेय द्वारा दिया गया भागफल $X^{\prime \prime }/X$ अनंत-आयामी है, और अविभाज्य भी है।हालाँकि, रॉबर्ट सी जेम्स ने एक उदाहरण का निर्माण किया है^[41] गैर-प्रतिवर्ती समष्टि, जिसे सामान्य रूप से जेम्स समष्टि कहा जाता है और इसके $J$ द्वारा निरूपित किया जाता है।^[42] ऐसा भागफल $J^{\prime \prime }/J$ आयामी है। इसके अतिरिक्त, यह समष्टि $J$ सममितीय रूप से समाकृतिक है जो कि इसका द्वि-द्वैत है।

Theorem — A Banach space $X$ is reflexive if and only if its unit ball is compact in the weak topology.

जब $X$ स्वतुल्य है, यह इस प्रकार है कि सभी संवृत और परिबद्ध उत्तल समुच्चय $X$ दुर्बल रूप से संकुचित हैं। हिल्बर्ट समष्टि में $H,$ इकाई गोले की दुर्बल सघनता का उपयोग प्रायः निम्नलिखित तरीके से किया जाता है: प्रत्येक सीमित क्रम में $H$ दुर्बल रूप से अभिसारी परिणाम हैं।

इकाई गोले की दुर्बल सघनता कुछ अनंत-आयामी अनुकूलन के लिए प्रतिवर्ती समष्टि में समाधान खोजने के लिए उपकरण प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गोले $B$ पर सतत फलन $B$ मे प्रतिवर्ती समष्टि किसी बिंदु पर न्यूनतम हो जाता है

पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष स्थिति के रूप में, जब $X$ एक प्रतिवर्ती समष्टि पर $\mathbb {R}$ है प्रत्येक सतत रैखिक कार्यात्मक $f$ में $X^{\prime }$ , $\|f\|$ इकाई गोले पर $X$ अधिकतम प्राप्त करता है निम्नलिखित रॉबर्ट सी. जेम्स का प्रमेय विपरीत कथन प्रदान करता है

James' Theorem — For a Banach space the following two properties are equivalent:

$X$ is reflexive.
for all $f$ in $X^{\prime }$ there exists $x\in X$ with $\|x\|\leq 1,$ so that $f(x)=\|f\|.$

प्रमेय को दुर्बल रूप से सघन उत्तल समुच्चय का विवरण देने के लिए बढ़ाया जा सकता है।

प्रत्येक गैर-प्रतिवर्ती बानाच समष्टि पर $X,$ सतत रेखीय फलन सम्मिलित हैं जो मानक-प्राप्ति नहीं कर रहे हैं। हालांकि, बिशप बचाओ -रॉबर्ट फेल्प्स प्रमेय^[43] बताता है कि मानक-प्राप्त करने वाले कार्यात्मक $X^{\prime }$ का $X$ द्विक सघन मानक हैं।

अनुक्रमों के दुर्बल अभिसरण

क्रम $\left\{x_{n}\right\}$ बानाच समष्टि में $X$ वेक्टर के लिए दुर्बल रूप से अभिसरण $x\in X$ है यदि $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ में संयोजन हो जाता है $f(x)$ प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक के लिए $f$ द्विक में $X^{\prime }$ क्रम $\left\{x_{n}\right\}$ दुर्बल कॉची अनुक्रम है यदि $\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ अदिश सीमा में $L(f)$ अभिसरण करता है प्रत्येक के लिए $f$ में $X^{\prime }$ क्रम $\left\{f_{n}\right\}$ द्विक में $X^{\prime }$ दुर्बल रूप से कार्यात्मक के लिए अभिसरण $f\in X^{\prime }$ है यदि $f_{n}(x)$ में संयोजन हो जाता है $f(x)$ प्रत्येक के लिए $x$ में $X$ समरूप बाउंडेडनेस सिद्धांत और बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय के परिणामस्वरूप दुर्बल कॉची अनुक्रम, दुर्बल रूप से अभिसरण और दुर्बल रूप से अभिसरण अनुक्रम मानक से परिबद्ध हैं।

जब क्रम $\left\{x_{n}\right\}$ में $X$ एक दुर्बल कॉशी अनुक्रम है, सीमा $L$ उपरोक्त द्विक पर एक बाध्य रैखिक $X^{\prime }$ कार्यात्मक परिभाषित करता है तत्व $L$ की द्वि-द्वैत का $X,$ और $L$ की सीमा है $\left\{x_{n}\right\}$ दुर्बल * में - द्वि-द्वैत की सांस्थिति बानाच समष्टि $X$ दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होता है यदि प्रत्येक दुर्बल कॉची अनुक्रम में दुर्बल रूप से $X$ अभिसरण होता है यह पूर्ववर्ती चर्चा से अनुसरण करता है कि प्रतिवर्ती समष्टि दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होते हैं।

प्रमेय ^[44] — प्रत्येक माप के लिए $\mu ,$ समष्टि $L^{1}(\mu )$ दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण है।

हिल्बर्ट समष्टि में एक प्रसामान्य लांबिक अनुक्रम एक दुर्बल रूप से अभिसरण अनुक्रम का एक सरल उदाहरण है, जिसकी सीमा $\mathbf {0}$ वेक्टर के बराबर है। उदाहरण $\ell ^{p}$ के लिए $1<p<\infty ,$ या का $c_{0},$ दुर्बल अशक्त अनुक्रम का एक और उदाहरण है, जो कि एक ऐसा क्रम है जो दुर्बल रूप से $\mathbf {0}$ अभिसरण करता है बानाच समष्टि में प्रत्येक दुर्बल अशक्त अनुक्रम के लिए, दिए गए अनुक्रम से वैक्टरों के उत्तल संयोजनों का एक क्रम सम्मिलित है जो मानक-अभिसरण $\mathbf {0}$ है। ^[45]

इकाई वेक्टर आधार $\ell ^{1}$ दुर्बल कॉची नहीं है। दुर्बल कॉची क्रम में $\ell ^{1}$ दुर्बल रूप से अभिसरण हैं, चूंकि $L^{1}$ -समष्टि दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण हैं। वास्तव में, दुर्बल रूप से अभिसारी अनुक्रम $\ell ^{1}$ मानक अभिसरण हैं।^[46] इस का तात्पर्य है कि $\ell ^{1}$ शूर की गुण को पूरा करता है।

$\ell ^{1}$ आधार से जुड़े परिणाम

दुर्बल कॉची अनुक्रम और $\ell ^{1}$ आधार H. P. रोसेन्थल के निम्नलिखित गहन परिणाम में स्थापित द्विभाजन के विपरीत स्थिति हैं।^[47]

प्रमेय^[48] — मान लीजिए $\left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ बनच स्पेस में एक सीमित अनुक्रम हो। दोनों में से एक $\left\{x_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }$ में दुर्बल कॉची या यह समकक्ष के मानक इकाई सदिश $\ell ^{1}$ आधार के समतुल्य परवर्ती को स्वीकार करता है

इस परिणाम का पूरक ओडेल और रोसेन्थल (1975) के कारण है।

प्रमेय^[49] — मान लीजिए $X$ एक वियोज्य बानाख-समष्‍टि हो।निम्नलिखित समतुल्य हैं:

समष्टि $X$ में $\ell ^{1}$ संवृत उपसमष्टि समरूपी नहीं है
द्वि-द्वैत का प्रत्येक तत्व $X''$ में अनुक्रम $\left\{x_{n}\right\}$ की $X$ दुर्बल*-सीमा है।

गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, इकाई गोले का प्रत्येक तत्व $B^{\prime \prime }$ का $X^{\prime \prime }$ दुर्बल है*- $X$ की इकाई गोले में नेट की सीमा जब $X$ सम्मिलित नहीं है तब $\ell ^{1}$ का प्रत्येक तत्व $B^{\prime \prime }$ दुर्बल है* - $X$ अनुक्रम की सीमा की इकाई गोले में सम्मिलित है।^[50]

जब बानाच समष्टि $X$ वियोज्य है, द्विक की इकाई गोले $X^{\prime },$ दुर्बल *-सांस्थिति से कम, एक दूरीकनीय सुसंहत $K$ समष्टि है^[33] और प्रत्येक तत्व $x^{\prime \prime }$ द्वि-द्वैत में $X^{\prime \prime }$ परिबद्ध फलन $K$ को परिभाषित करता है :

x'\in K\mapsto x''(x'),\quad \left|x''(x')\right|\leq \left\|x''\right\|.

यह फलन सुसंहत सांस्थिति

K

के लिए निरंतर है यदि और केवल यदि

x^{\prime \prime }

वास्तव में है तब

X,

का उपसमुच्चय

X^{\prime \prime }

माना जाता है शेष पैराग्राफ

X

के लिए अतिरिक्त मान लें कि

\ell ^{1}

सम्मिलित नहीं है ओडेल और रोसेन्थल के पूर्ववर्ती परिणाम से, फलन

x^{\prime \prime }

बिन्दुवार अभिसरण

K

है क्रम का

\left\{x_{n}\right\}\subseteq X

सतत फलनों पर

K,

इसलिए यह एक बाहरी फलन

K

है। द्वि-द्वैत की इकाई गोले

K

पहले बायर वर्ग का बिंदुवार सुसंहत उपसमुच्चय है।^[51]

अनुक्रम, दुर्बल और दुर्बल * सघनता

जब $X$ वियोज्य है, द्विक की इकाई गोले दुर्बल है * - बानाच-अलाग्लु प्रमेय द्वारा सुसंहत और दुर्बल * सांस्थिति के लिए दूरीकनीय,^[33] इसलिए द्विक में प्रत्येक परिबद्ध क्रम में दुर्बल रूप से अभिसारी अनुक्रम होते हैं। यह वियोज्य प्रतिवर्ती रिक्त समष्टि पर प्रयुक्त होता है, लेकिन इस स्थिति में अधिक सत्य है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

बानाच समष्टि की दुर्बल सांस्थिति $X$ दूरीकनीय है यदि और केवल यदि $X$ परिमित-आयामी है।^[52] यदि द्वि $X'$ वियोज्य है, इकाई गोले की दुर्बल सांस्थिति $X$ दूरीकनीय है। यह विशेष रूप से अलग करने योग्य प्रतिवर्ती बैनच रिक्त समष्टि पर प्रयुक्त होता है। हालांकि इकाई गोले की दुर्बल सांस्थिति सामान्य रूप से दूरीकनीय नहीं है, लेकिन अनुक्रमों का उपयोग करके दुर्बल सघनता को चिह्नित किया जा सकता है।

एबरलीन-एसमुलियन प्रमेय^[53] — समुच्चय $A$ बानाख-समष्‍टि में अपेक्षाकृत दुर्बल रूप से संहत है यदि और केवल यदि प्रत्येक क्रम $\left\{a_{n}\right\}$ में $A$ दुर्बल रूप से अभिसरण अनुक्रम है।

बानाच समष्टि $X$ प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि प्रत्येक बंधे अनुक्रम में $X$ एक दुर्बल अभिसारी परिणाम है।^[54] दुर्बल सुसंहत उप-समुच्चय $A$ में $\ell ^{1}$ मानक-सुसंहत है। विशेष रूप से, प्रत्येक क्रम में $A$ एबरलीन-स्मुलियन द्वारा दुर्बल रूप से अभिसारी परिणाम हैं, जो $\ell ^{1}$ कि शूर गुण द्वारा मानक अभिसरण हैं।

शाउडर प्रमेय के आधार पर

बानाच क्षेत्र में एक शाउडर का आधार $X$ एक क्रम है $\left\{e_{n}\right\}_{n\geq 0}$ वैक्टर में $X$ गुण के साथ कि प्रत्येक वेक्टर के लिए $x\in X,$ है विशिष्ट रूप से परिभाषित अदिश $\left\{x_{n}\right\}_{n\geq 0}$ इस पर निर्भर करते हुए $x,$ जैसे कि

x=\sum _{n=0}^{\infty }x_{n}e_{n},\quad {\textit {i.e.,}}\quad x=\lim _{n}P_{n}(x),\ P_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}x_{k}e_{k}.

शाउडर आधार के साथ बैनच रिक्त समष्टि आवश्यक रूप से वियोज्य समष्टि हैं, क्योंकि तर्कसंगत गुणांक (कहते हैं) के साथ परिमित रैखिक संयोजनों का गणनीय समुच्चय घना है।

यह बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय से आता है जो कि रैखिक मानचित्रण $\left\{P_{n}\right\}$ है समान रूप से कुछ स्थिरांक $C$ से बंधे होते हैं मान लीजिए $\left\{e_{n}^{*}\right\}$ उन समन्वय फलनों को निरूपित करें जो $x$ में $X$ समन्वय $x_{n}$ का $x$ उपरोक्त विस्तार में प्रत्येक को निर्धारित करते हैं। उन्हें द्विलांबिक फलन कहा जाता है। जब $1$ आधार वैक्टर का मानक होता है तब $\left\{e_{n}^{*}\right\}$ मानक $\,\leq 2C$ के द्विक में $X$ समन्वय फलन करता है।

अधिकांश उत्कृष्ट वियोज्य समष्टि में स्पष्ट आधार होते हैं। हार प्रणाली $\left\{h_{n}\right\}$ का आधार $L^{p}([0,1]),1\leq p<\infty$ के लिए है त्रिकोणमितीय प्रणाली एक आधार $L^{p}(\mathbf {T} )$ जब $1<p<\infty$ है। इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर स्कॉडर प्रणाली समष्टि में एक आधार $C([0,1])$ है।^[55] सवाल है कि क्या डिस्क बीजगणित $A(\mathbf {D} )$ का एक आधार है।^[56] चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहा, जब तक कि जब तक कि बोकारेव ने 1974 में दिखाया कि $A(\mathbf {D} )$ फ्रैंकलिन प्रणाली से निर्मित एक आधार को स्वीकार करता है।^[57]

चूंकि प्रत्येक वेक्टर $x$ बानाच समष्टि में $X$ आधार के साथ की सीमा $P_{n}(x)$ साथ $P_{n}$ है, परिमित श्रेणी और समान रूप से परिबद्ध समष्टि $X$ सन्निकटन गुण को संतुष्ट करता है। सन्निकटन गुण को विफल करने वाले समष्टि के प्रति एंफ्लो द्वारा पहला उदाहरण एक ही समय में अलग करने योग्य बनच समष्टि का पहला उदाहरण था, जो कि शाउडर आधार के बिना था।^[58]

रॉबर्ट सी. जेम्स ने बैनाच समष्टि में एक आधार के साथ स्वतुल्यता की विशेषता बताई: समष्टि $X$ एक शाउडर आधार के साथ प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि आधार शाउडर आधार और द्वि-द्वैत दोनों है।^[59] इस स्थिति में, द्विलांबिक कार्यात्मकता द्विक $X$ के आधार का निर्माण करती है।

टेंसर गुणनफल

मान लीजिए $X$ और $Y$ दो $\mathbb {K}$ -वेक्टर रिक्त समष्टि हो। टेंसर गुणनफल $X\otimes Y$ का $X$ और $Y$ एक है $\mathbb {K}$ -सदिश क्षेत्र $Z$ द्वि-रैखिक प्रतिचित्रण के साथ $T:X\times Y\to Z$ जिसके पास निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण है:

यदि

T_{1}:X\times Y\to Z_{1}

क्या कोई द्वि-रैखिक प्रतिचित्रण A में है

\mathbb {K}

-सदिश क्षेत्र

Z_{1},

तो वहाँ एक अद्वितीय रेखीय मानचित्रण

f:Z\to Z_{1}

सम्मिलित है जैसे कि

T_{1}=f\circ T.

नीचे की छवि $T$ युग्म का $(x,y)$ में $X\times Y$ द्वारा $x\otimes y$ निरूपित किया जाता है और एक साधारण टेन्सर कहा जाता है। प्रत्येक तत्व $z$ में $X\otimes Y$ ऐसे सरल टेंसरों का परिमित योग है।

1955 में ए. ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तुत किए गए प्रक्षेपीय गुणन-मानक और अंतःक्षेपक गुणन-मानक के बीच, अंतर्निहित वेक्टर स्पेस के टेंसर गुणनफल पर कई मानदंड रखे जा सकते हैं।^[60]

सामान्य रूप से, पूर्ण रिक्त समष्टि का टेन्सर गुणनफल फिर से पूर्ण नहीं होता है। बानाच रिक्त समष्टि के साथ काम करते समय, यह कहने की प्रथागत है कि प्रक्षेपी टेंसर गुणनफल^[61] दो बानाच समष्टि में से $X$ और $Y$ पूर्णता $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ बीजगणितीय टेंसर गुणनफल का $X\otimes Y$ प्रक्षेपीय टेंसर मानक से कम है, और इसी तरह अंतःक्षेपक टेंसर गुणनफल के लिए^[62] $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ ग्रोथेंडिक ने विशेष रूप से प्रमाणित किया^[63]

{\begin{aligned}C(K){\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y&\simeq C(K,Y),\\L^{1}([0,1]){\widehat {\otimes }}_{\pi }Y&\simeq L^{1}([0,1],Y),\end{aligned}}

जहाँ

K

सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि

C(K,Y)

से सतत फलनों की बानाच समष्टि

K

को

Y

और

L^{1}([0,1],Y)

बोचनर-मापने योग्य और पूर्णांक फलनों का समष्टि

[0,1]

को

Y,

और जहां समरूपताएं सममितीय हैं। उपरोक्त दो समाकृतिकता टेंसर भेजने वाले मानचित्र

f\otimes y

के संबंधित विस्तार हैं और वेक्टर-मान फलन के लिए

s\in K\to f(s)y\in Y

है।

टेंसर गुणनफल और सन्निकटन गुण

मान लीजिए $X$ बानाच समष्टि है। टेंसर गुणनफल $X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ में संवृत होने के साथ सममितीय रूप से पहचाना जाता है और $B(X)$ परिमित क्रम संक्रिया के समुच्चय का समरूप है। जब $X$ सन्निकटन गुण है, यह संवरक सुसंहत संक्रिया के समष्टि के साथ $X$ समरूप है प्रत्येक बानाच समष्टि के लिए $Y,$ एक प्राकृतिक $1$ रैखिक मानचित्र मानक है

Y{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\to Y{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X

बीजगणितीय टेन्सर गुणनफल के सर्वसमिका मानचित्र को विस्तारित करके प्राप्त किया गया। ग्रोथेंडिक ने सन्निकटन गुण को इस सवाल से संबंधित किया कि क्या यह मानचित्र एक-से-एक जब

Y

का द्वि-द्वैत

X

है। परिशुद्ध रूप से, प्रत्येक बानाच समष्टि के लिए

X,

वो मानचित्र

X'{\widehat {\otimes }}_{\pi }X\ \longrightarrow X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X

एक-से-एक है यदि और केवल यदि

X

सन्निकटन गुण है।^[64]

ग्रोथेंडिक ने अनुमान लगाया था कि $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }Y$ और $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }Y$ जब भी अलग होना चाहिए तब $X$ और $Y$ अनंत-आयामी बानाच समष्टि हैं। यह 1983 में गाइल्स पिसिएर द्वारा अस्वीकृत किया गया था।^[65] पिसिएर ने एक अनंत-आयामी बानाच समष्टि $X$ का निर्माण किया। जैसे कि $X{\widehat {\otimes }}_{\pi }X$ और $X{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X$ बराबर हैं। इसके अतिरिक्त, एंफ्लो के उदाहरण के रूप में, यह समष्टि $X$ एक हाथ से बनाया गया समष्टि है जो सन्निकटन गुण रखने में विफल रहता है। दूसरी ओर, सज़ांकोव्स्की ने सिद्ध किया कि उत्कृष्ट समष्टि $B\left(\ell ^{2}\right)$ सन्निकटन गुण नहीं है।^[66]

कुछ वर्गीकरण परिणाम

बानाच समष्टि के बीच हिल्बर्ट समष्टि की विशेषताएं

बानाच समष्टि के मानक के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त $X$ एक आंतरिक गुणनफल से जुड़ा होना समांतर चतुर्भुज सर्वसमिका है:

Parallelogram identity — for all $x,y\in X:\qquad \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right).$

यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, कि Lp समष्टि $L^{p}([0,1])$ हिल्बर्ट समष्टि तभी है जब $p=2$ यदि यह सर्वसमिका पूर्ण होती है, तो संबंधित आंतरिक गुणनफल ध्रुवीकरण सर्वसमिका द्वारा दिया जाता है। वास्तविक अदिशों के स्थिति में, यह देता है:

\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}\right).

जटिल सदिश के लिए, आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित करना ताकि हो सके

\mathbb {C}

-रैखिक में

x,

गैर-रैखिक मानचित्र में

y,

ध्रुवीकरण सर्वसमिका देता है:

\langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+i\left(\|x+iy\|^{2}-\|x-iy\|^{2}\right)\right).

यह देखने के लिए कि समांतर चतुर्भुज नियम पर्याप्त है, कोई वास्तविक स्थिति में देखता है कि

\langle x,y\rangle

सममित है, और जटिल स्थिति में, कि यह हर्मिटियन समरूपता गुण को पूर्ण करता है और

\langle ix,y\rangle =i\langle x,y\rangle

समांतर चतुर्भुज नियम का तात्पर्य

\langle x,y\rangle

में योगात्मक

x

है। यह इस प्रकार है कि यह परिमेय पर रैखिक है, इस प्रकार निरंतरता से रैखिक है।

हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के लिए समाकृतिकता (सममितीय के अतिरिक्त) रिक्त समष्टि के कई लक्षण उपलब्ध हैं। समांतर चतुर्भुज नियम को दो से अधिक वेक्टरों तक बढ़ाया जा सकता है, और एक स्थिर $c\geq 1$ के साथ दो तरफा असमानता के प्रारंभ से दुर्बल हो सकता है: क्वापियन ने प्रमाणित कर दिया कि यदि

c^{-2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}\leq \operatorname {Ave} _{\pm }\left\|\sum _{k=1}^{n}\pm x_{k}\right\|^{2}\leq c^{2}\sum _{k=1}^{n}\left\|x_{k}\right\|^{2}

प्रत्येक पूर्णांक के लिए

n

और वैक्टर के सभी वर्ग

\left\{x_{1},\ldots ,x_{n}\right\}\subseteq X,

फिर बानाच समष्टि

X

हिल्बर्ट समष्टि के लिए समाकृतिकता है।^[67] यहाँ,

\operatorname {Ave} _{\pm }

से अधिक औसत दर्शाता

2^{n}

संकेतों के संभावित विकल्प

\pm 1

है उसी लेख में, क्वापियन ने प्रमाणित किया कि फूरियर रूपांतरण के लिए बैनच-मान पारसेवल के प्रमेय की वैधता बानाच समष्टि समाकृतिकता को हिल्बर्ट समष्टि की विशेषता बताती है।

लिंडेनस्ट्रॉस और ज़फ़रीरी ने प्रमाणित किया कि एक बानाच समष्टि जिसमें प्रत्येक संवृत रैखिक उप-समष्टि पूरक है (अर्थात, एक परिबद्ध रैखिक प्रक्षेपण की सीमा है) एक हिल्बर्ट समष्टि के लिए समाकृतिकता है।^[68] प्रमाण उच्च-आयामी केंद्रीय सममित उत्तल पिंडों के यूक्लिडियन वर्गों के बारे में ड्वोरेट्स्की के प्रमेय पर आधारित है। दूसरे शब्दों में, ड्वोरेट्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक पूर्णांक के लिए $n,$ किसी भी परिमित-आयामी मानक समष्टि की तुलना में पर्याप्त रूप से बड़े आयाम के साथ $n,$ से लगभग सममितीय उपसमष्टि $n$ -आयामी यूक्लिडियन समष्टि समाहित करता है।

अगला परिणाम तथाकथित सजातीय समष्टि समस्या का समाधान देता है। अनंत-आयामी बानाच समष्टि $X$ सजातीय कहा जाता है यदि यह अपने सभी अनंत-आयामी संवृत उप-समष्टि के लिए समाकृतिकता है। एक बैनच समष्टि समाकृतिकता से $\ell ^{2}$ सजातीय है, और बनच ने इसके विपरीत के लिए कहा है।^[69]

प्रमेय^[70] — एक बैनच समष्टि अपने सभी अनंत-आयामी संवृत उप-समष्टि के लिए समरूपी वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि के लिए समरूपी है।

अनंत-आयामी बैनच समष्टि आनुवंशिक रूप से अपघटनीय है, जब इसका कोई उपस्थान दो अनंत-आयामी बैनच रिक्त समष्टि के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप नहीं हो सकता है। टिमोथी गोवर्स द्विभाजन प्रमेय^[70]दावा करता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी बानाच समष्टि $X$ सम्मिलित है, या तो एक उप-समष्टि $Y$ शाउडरआधार के साथ बिना शर्त, या वंशानुगत रूप से अविभाज्य उप-समष्टि $Z,$ विशेष तरीके से, $Z$ अपने संवृत अधिसमतल के लिए समाकृतिकता नहीं है।^[71] यदि $X$ सजातीय है, इसलिए इसका बिना शर्त आधार होना चाहिए। इसके बाद कोमोरोव्स्की और निकोल टोम्ज़ाक-जेगेर्मन द्वारा प्राप्त आंशिक समाधान से अनुसरण किया जाता है।^[72] जब $X$ के लिए $\ell ^{2}$ समाकृतिकता है।

मीट्रिक वर्गीकरण

यदि $T:X\to Y$ बानाच समष्टि से एक सममितीय है $X$ बानाच समष्टि पर $Y$ (जहां दोनों $X$ और $Y$ सदिश समष्टि $\mathbb {R}$ समाप्त हो गए हैं ), तो मजूर-उलम प्रमेय कहता है कि $T$ एक एफीन परिवर्तन होना चाहिए। विशेष रूप से, यदि $T(0_{X})=0_{Y},$ यह है $T$ के शून्य को मानचित्र करता है $X$ के शून्य तक $Y,$ तब $T$ रैखिक होना चाहिए। इस परिणाम का अर्थ है कि बानाच रिक्त समष्टि में मीट्रिक, और अधिक सामान्य रूप से मानक समष्टि में, उनकी रैखिक संरचना को पूरी तरह से प्रग्रहण करता है।

सांस्थितिक वर्गीकरण

परिमित आयामी बानाच रिक्त समष्टि स्थलीय रिक्त समष्टि के रूप में होमोमॉर्फिक हैं, यदि और केवल यदि उनके पास वास्तविक वेक्टर रिक्त समष्टि के समान आयाम हैं।

एंडरसन-केडेक प्रमेय (1965-66) प्रमाणित करता है^[73] कि कोई भी दो अनंत-आयामी वियोज्य समष्टि बानाच रिक्त समष्टि सामयिक समष्टि के रूप में होमियोमॉर्फिक हैं। कैडेक के प्रमेय को टोरुनज़िक द्वारा बढ़ाया गया था, जो प्रमाणित हुआ^[74] कि कोई भी दो बानाच समष्टि होमोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान समुच्चय-सैद्धांतिक सांस्थिति प्रमुख फलन हैं, तो सघन उपसमुच्चय की न्यूनतम मूलता होती है।

सतत फलनों के समष्टि

जब दो सुसंहत हॉउसडॉर्फ रिक्त समष्टि $K_{1}$ और $K_{2}$ होमोमोर्फिज्म हैं, बानाच समष्टि $C\left(K_{1}\right)$ और $C\left(K_{2}\right)$ सममितीय हैं। इसके विपरीत जब $K_{1}$ के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं है $K_{2},$ (गुणक) बानाच-मजूर के बीच की दूरी $C\left(K_{1}\right)$ और $C\left(K_{2}\right)$ से अधिक या $2$ बराबर होना चाहिए अमीर और कैम्बरन द्वारा ऊपर दिए गए परिणाम देखें। यद्यपि अनंत सुसंहत मीट्रिक रिक्त समष्टि में अलग-अलग होमियोमॉर्फी प्रकार हो सकते हैं, मिलुटिन के कारण निम्नलिखित परिणाम होते हैं:^[75]

प्रमेय^[76] — मान लीजिए $K$ अनंत संहत मीट्रिक समष्टि हो तब $C(K)$ के लिए तुल्याकारी $C([0,1])$ है।

गणनीय समुच्चय सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि के लिए स्थिति अलग है। प्रत्येक गणनीयत: अनंत सुसंहत $K$ क्रमिक संख्याओं के कुछ संवृत अंतराल के लिए होमोमोर्फिक है

\langle 1,\alpha \rangle =\{\gamma \ :\ 1\leq \gamma \leq \alpha \}

क्रम सांस्थिति से लैस है, जहां

\alpha

एक गणनीय अनंत क्रमसूचक है।^[77] बानाच समष्टि

C(K)

तो

C (⟨1, α ⟩)

सममितीय है जब

\alpha ,\beta

दो अनगिनत अनंत क्रमसूचक हैं, और मानते हैं कि

\alpha \leq \beta ,

रिक्त समष्टि

C (⟨1, α ⟩)

और

C (⟨1, β ⟩)

समाकृतिकता हैं यदि और केवल यदि

β < α ω

^[78] समष्टि है। उदाहरण के लिए, बानाच रिक्त समष्टि

C(\langle 1,\omega \rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega }\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{2}}\rangle ),\ C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{3}}\rangle ),\cdots ,C(\langle 1,\omega ^{\omega ^{\omega }}\rangle ),\cdots

परस्पर गैर-समरूपी हैं।

उदाहरण

नीचे दी गई तालिका के लिए प्रतीकों की शब्दावली:Glossary of symbols for the table below:

$\mathbb {F}$ denotes the field of real numbers $\mathbb {R}$ or complex numbers $\mathbb {C} .$
$K$ is a compact Hausdorff space.
$p,q\in \mathbb {R}$ are real numbers with $1<p,q<\infty$ that are Hölder conjugates, meaning that they satisfy ${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1$ and thus also $q={\frac {p}{p-1}}.$
$\Sigma$ is a $\sigma$ -algebra of sets.
$\Xi$ is an algebra of sets (for spaces only requiring finite additivity, such as the ba space).
$\mu$ is a measure with variation $|\mu |.$ A positive measure is a real-valued positive set function defined on a $\sigma$ -algebra which is countably additive.

	Dual space	Reflexive	weakly sequentially complete	Norm		Notes
Classical Banach spaces
$\mathbb {F} ^{n}$	$\mathbb {F} ^{n}$	Yes	Yes	$\\|x\\|_{2}$	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{2}\right)^{1/2}$	Euclidean space
$\ell _{p}^{n}$	$\ell _{q}^{n}$	Yes	Yes	$\\|x\\|_{p}$	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
$\ell _{\infty }^{n}$	$\ell _{1}^{n}$	Yes	Yes	$\\|x\\|_{\infty }$	$=\max \nolimits _{1\leq i\leq n}\|x_{i}\|$
$\ell ^{p}$	$\ell ^{q}$	Yes	Yes	$\\|x\\|_{p}$	$=\left(\sum _{i=1}^{\infty }\|x_{i}\|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
$\ell ^{1}$	$\ell ^{\infty }$	No	Yes	$\\|x\\|_{1}$	$=\sum _{i=1}^{\infty }\left\|x_{i}\right\|$
$\ell ^{\infty }$	$\operatorname {ba}$	No	No	$\\|x\\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left\|x_{i}\right\|$
$\operatorname {c}$	$\ell ^{1}$	No	No	$\\|x\\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left\|x_{i}\right\|$
$c_{0}$	$\ell ^{1}$	No	No	$\\|x\\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left\|x_{i}\right\|$	Isomorphic but not isometric to $c.$
$\operatorname {bv}$	$\ell ^{\infty }$	No	Yes	$\\|x\\|_{bv}$	$=\left\|x_{1}\right\|+\sum _{i=1}^{\infty }\left\|x_{i+1}-x_{i}\right\|$	Isometrically isomorphic to $\ell ^{1}.$
$\operatorname {bv} _{0}$	$\ell ^{\infty }$	No	Yes	$\\|x\\|_{bv_{0}}$	$=\sum _{i=1}^{\infty }\left\|x_{i+1}-x_{i}\right\|$	Isometrically isomorphic to $\ell ^{1}.$
$\operatorname {bs}$	$\operatorname {ba}$	No	No	$\\|x\\|_{bs}$	$=\sup \nolimits _{n}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|$	Isometrically isomorphic to $\ell ^{\infty }.$
$\operatorname {cs}$	$\ell ^{1}$	No	No	$\\|x\\|_{bs}$	$=\sup \nolimits _{n}\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right\|$	Isometrically isomorphic to $c.$
$B(K,\Xi )$	$\operatorname {ba} (\Xi )$	No	No	$\\|f\\|_{B}$	$=\sup \nolimits _{k\in K}\|f(k)\|$
$C(K)$	$\operatorname {rca} (K)$	No	No	$\\|x\\|_{C(K)}$	$=\max \nolimits _{k\in K}\|f(k)\|$
$\operatorname {ba} (\Xi )$	?	No	Yes	$\\|\mu \\|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }\|\mu \|(S)$
$\operatorname {ca} (\Sigma )$	?	No	Yes	$\\|\mu \\|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }\|\mu \|(S)$	A closed subspace of $\operatorname {ba} (\Sigma ).$
$\operatorname {rca} (\Sigma )$	?	No	Yes	$\\|\mu \\|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }\|\mu \|(S)$	A closed subspace of $\operatorname {ca} (\Sigma ).$
$L^{p}(\mu )$	$L^{q}(\mu )$	Yes	Yes	$\\|f\\|_{p}$	$=\left(\int \|f\|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$
$L^{1}(\mu )$	$L^{\infty }(\mu )$	No	Yes	$\\|f\\|_{1}$	$=\int \|f\|\,d\mu$	The dual is $L^{\infty }(\mu )$ if $\mu$ is $\sigma$ -finite.
$\operatorname {BV} ([a,b])$	?	No	Yes	$\\|f\\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$	$V_{f}([a,b]).$ is the total variation of $f$
$\operatorname {NBV} ([a,b])$	?	No	Yes	$\\|f\\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])$	$\operatorname {NBV} ([a,b])$ consists of $\operatorname {BV} ([a,b])$ functions such that $\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)=0$
$\operatorname {AC} ([a,b])$	$\mathbb {F} +L^{\infty }([a,b])$	No	Yes	$\\|f\\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$	Isomorphic to the Sobolev space $W^{1,1}([a,b]).$
$C^{n}([a,b])$	$\operatorname {rca} ([a,b])$	No	No	$\\|f\\|$	$=\sum _{i=0}^{n}\sup \nolimits _{x\in [a,b]}\left\|f^{(i)}(x)\right\|$	Isomorphic to $\mathbb {R} ^{n}\oplus C([a,b]),$ essentially by Taylor's theorem.

डेरिवेटिव्स

अवकलज की कई अवधारणाओं को बानाच समष्टि पर परिभाषित किया जा सकता है। विवरण के लिए फ्रेचेट अवकलज और गेटॉक्स अवकलज पर लेख देखें। फ़्रेचेट अवकलज बानाच समष्टि के कुल अवकलज की अवधारणा के विस्तार के लिए स्वीकृति देता है। गेटॉक्स अवकलज स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर रिक्त समष्टि के लिए एक दिशात्मक अवकलज के विस्तार की स्वीकृति देता है। गैटॉक्स अवकलन की तुलना में फ्रेचेट अवकलन एक प्रबल स्थिति है। अर्ध-अवकलज दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक और सामान्यीकरण है जो गेटॉक्स विभेदीकरण की तुलना में एक प्रबल स्थिति का तात्पर्य है, लेकिन फ्रेचेट अवकलन की तुलना में दुर्बल स्थिति है।

सामान्यीकरण

कार्यात्मक विश्लेषण में कई महत्वपूर्ण समष्टि, उदाहरण के लिए सभी अधिकतम रूप से अलग-अलग फलनों का समष्टि $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,$ या सभी वितरण (गणित) का समष्टि $\mathbb {R} ,$ पूर्ण हैं लेकिन मानक सदिश समष्टि नहीं हैं और इसलिए बानाच समष्टि नहीं हैं। फ्रेचेट समष्टि में अभी भी एक पूर्ण मेट्रिक समष्टि है, जबकि वामो-समष्टि पूर्ण एकसमान समष्टि वेक्टर समष्टि हैं जो फ्रेचेट समष्टि की सीमा के रूप में उत्पन्न होते हैं।

यह भी देखें

समष्टि (गणित) – कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ गणितीय समुच्चय
- फ्रेचेट समष्टि - स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि जो कि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि भी है
- हार्डी समष्टि - जटिल विश्लेषण के अंदर अवधारणा
- हिल्बर्ट समष्टि - सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि का प्रकार
- L-अर्द्ध-आंतरिक उत्पाद - आंतरिक गुणनफलों का सामान्यीकरण जो सभी मानक समष्टि पर प्रयुक्त होता है
- $L^{p}$ समष्टि-परिमित-आयामी p मानक समष्टि को सामान्य बनाने वाले फलन समष्टि
- सोबोलेव समष्टि - गणित में फलन का वेक्टर समष्टि
- बनच लैटिस - लैटिस की संगत संरचना के साथ बनच समष्टि
बानाच डिस्क
बानाच बहुरूपता-बनच समष्टि पर कई गुना मॉडलिंग
- बनच बंडल - वेक्टर बंडल जिसके तन्तु बनच समष्टि बनाते हैं
विरूपण समस्या
प्रक्षेप समष्टि
स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि - उत्तल विवृत समुच्चय द्वारा परिभाषित सांंस्थिति के साथ एक वेक्टर समष्टि
उत्तलता का मापांक और विशेषता
स्मिथ समष्टि - एक सार्वभौमिक सुसंहत समुच्चय के साथ पूरी तरह से स्थानीय रूप से उत्पन्न उत्तल समष्टि
सांस्थितिक सदिश समष्टि - निकटता की धारणा के साथ सदिश समष्टि

↑ It is common to read " $X$ is a normed space" instead of the more technically correct but (usually) pedantic " $(X,\|\cdot \|)$ is a normed space," especially if the norm is well known (for example, such as with $L^{p}$ spaces) or when there is no particular need to choose any one (equivalent) norm over any other (especially in the more abstract theory of topological vector spaces), in which case this norm (if needed) is often automatically assumed to be denoted by $\|\cdot \|.$ However, in situations where emphasis is placed on the norm, it is common to see $(X,\|\cdot \|)$ written instead of $X.$ The technically correct definition of normed spaces as pairs $(X,\|\cdot \|)$ may also become important in the context of category theory where the distinction between the categories of normed spaces, normable spaces, metric spaces, TVSs, topological spaces, etc. is usually important.
↑ This means that if the norm $\|\cdot \|$ is replaced with a different norm $\|\,\cdot \,\|^{\prime }{\text{ on }}X,$ then $(X,\|\cdot \|)$ is not the same normed space as $\left(X,\|\cdot \|^{\prime }\right),$ even if the norms are equivalent. However, equivalence of norms on a given vector space does form an equivalence relation.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 A metric $D$ on a vector space $X$ is said to be translation invariant if $D(x,y)=D(x+z,y+z)$ for all vectors $x,y,z\in X.$ This happens if and only if $D(x,y)=D(x-y,0)$ for all vectors $x,y\in X.$ A metric that is induced by a norm is always translation invariant.
↑ Because $\|-z\|=\|z\|$ for all $z\in X,$ it is always true that $d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|$ for all $x,y\in X.$ So the order of $x$ and $y$ in this definition does not matter.
↑ ^5.0 ^5.1 Let $H$ be the separable Hilbert space $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ of square-summable sequences with the usual norm $\|\cdot \|_{2}$ and let $e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )$ be the standard orthonormal basis (that is $1$ at the $n^{\text{th}}$ -coordinate). The closed set $S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}:n=1,2,\ldots \right\}$ is compact (because it is sequentially compact) but its convex hull $\operatorname {co} S$ is not a closed set because $h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}$ belongs to the closure of $\operatorname {co} S$ in $H$ but $h\not \in \operatorname {co} S$ (since every sequence $\left(z_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in \operatorname {co} S$ is a finite convex combination of elements of $S$ and so $z_{n}=0$ for all but finitely many coordinates, which is not true of $h$ ). However, like in all complete Hausdorff locally convex spaces, the closed convex hull $K:={\overline {\operatorname {co} }}S$ of this compact subset is compact. The vector subspace $X:=\operatorname {span} S=\operatorname {span} \left\{e_{1},e_{2},\ldots \right\}$ is a pre-Hilbert space when endowed with the substructure that the Hilbert space $H$ induces on it but $X$ is not complete and $h\not \in C:=K\cap X$ (since $h\not \in X$ ). The closed convex hull of $S$ in $X$ (here, "closed" means with respect to $X,$ and not to $H$ as before) is equal to $K\cap X,$ which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might fail to be compact (although it will be precompact/totally bounded).
↑ Let $\left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)$ denote the Banach space of continuous functions with the supremum norm and let $\tau _{\infty }$ denote the topology on $C([0,1])$ induced by $\|\cdot \|_{\infty }.$ The vector space $C([0,1])$ can be identified (via the inclusion map) as a proper dense vector subspace $X$ of the $L^{1}$ space $\left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right),$ which satisfies $\|f\|_{1}\leq \|f\|_{\infty }$ for all $f\in X.$ Let $p$ denote the restriction of the L¹-norm to $X,$ which makes this map $p:X\to \mathbb {R}$ a norm on $X$ (in general, the restriction of any norm to any vector subspace will necessarily again be a norm). The normed space $(X,p)$ is not a Banach space since its completion is the proper superset $\left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right).$ Because $p\leq \|\cdot \|_{\infty }$ holds on $X,$ the map $p:\left(X,\tau _{\infty }\right)\to \mathbb {R}$ is continuous. Despite this, the norm $p$ is not equivalent to the norm $\|\cdot \|_{\infty }$ (because $\left(X,\|\cdot \|_{\infty }\right)$ is complete but $(X,p)$ is not).
↑ The normed space $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ is a Banach space where the absolute value is a norm on the real line $\mathbb {R}$ that induces the usual Euclidean topology on $\mathbb {R} .$ Define a metric $D:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ on $\mathbb {R}$ by $D(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|$ for all $x,y\in \mathbb {R} .$ Just like $|\cdot |$ 's induced metric, the metric $D$ also induces the usual Euclidean topology on $\mathbb {R} .$ However, $D$ is not a complete metric because the sequence $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ defined by $x_{i}:=i$ is a [[Cauchy sequence| $D$ -Cauchy sequence]] but it does not converge to any point of $\mathbb {R} .$ As a consequence of not converging, this $D$ -Cauchy sequence cannot be a Cauchy sequence in $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ (that is, it is not a Cauchy sequence with respect to the norm $|\cdot |$ ) because if it was $|\cdot |$ -Cauchy, then the fact that $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).Narici & Beckenstein 2011, pp. 47–51
↑ The statement of the theorem is: Let $d$ be any metric on a vector space $X$ such that the topology $\tau$ induced by $d$ on $X$ makes $(X,\tau )$ into a topological vector space. If $(X,d)$ is a complete metric space then $(X,\tau )$ is a complete topological vector space.
↑ This metric $D$ is not assumed to be translation-invariant. So in particular, this metric $D$ does not even have to be induced by a norm.
↑ A norm (or seminorm) $p$ on a topological vector space $(X,\tau )$ is continuous if and only if the topology $\tau _{p}$ that $p$ induces on $X$ is coarser than $\tau$ (meaning, $\tau _{p}\subseteq \tau$ ), which happens if and only if there exists some open ball $B$ in $(X,p)$ (such as maybe $\{x\in X:p(x)<1\}$ for example) that is open in $(X,\tau ).$
↑ $X^{\prime }$ denotes the continuous dual space of $X.$ When $X^{\prime }$ is endowed with the strong dual space topology, also called the topology of uniform convergence on bounded subsets of $X,$ then this is indicated by writing $X_{b}^{\prime }$ (sometimes, the subscript $\beta$ is used instead of $b$ ). When $X$ is a normed space with norm $\|\cdot \|$ then this topology is equal to the topology on $X^{\prime }$ induced by the dual norm. In this way, the strong topology is a generalization of the usual dual norm-induced topology on $X^{\prime }.$
↑ The fact that $\{x\in X:|f(x)|<1\}$ being open implies that $f:X\to \mathbb {R}$ is continuous simplifies proving continuity because this means that it suffices to show that $\{x\in X:\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<r\}$ is open for $r:=1$ and at $x_{0}:=0$ (where $f(0)=0$ ) rather than showing this for all real $r>0$ and all $x_{0}\in X.$

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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[3] It is common to read " $X$ is a normed space" instead of the more technically correct but (usually) pedantic " $(X,\|\cdot \|)$ is a normed space," especially if the norm is well known (for example, such as with $L^{p}$ spaces) or when there is no particular need to choose any one (equivalent) norm over any other (especially in the more abstract theory of topological vector spaces), in which case this norm (if needed) is often automatically assumed to be denoted by $\|\cdot \|.$ However, in situations where emphasis is placed on the norm, it is common to see $(X,\|\cdot \|)$ written instead of $X.$ The technically correct definition of normed spaces as pairs $(X,\|\cdot \|)$ may also become important in the context of category theory where the distinction between the categories of normed spaces, normable spaces, metric spaces, TVSs, topological spaces, etc. is usually important.

[4] This means that if the norm $\|\cdot \|$ is replaced with a different norm $\|\,\cdot \,\|^{\prime }{\text{ on }}X,$ then $(X,\|\cdot \|)$ is not the same normed space as $\left(X,\|\cdot \|^{\prime }\right),$ even if the norms are equivalent. However, equivalence of norms on a given vector space does form an equivalence relation.

[translation_invariant_metric-5] 3.0 ^3.1 ^3.2 A metric $D$ on a vector space $X$ is said to be translation invariant if $D(x,y)=D(x+z,y+z)$ for all vectors $x,y,z\in X.$ This happens if and only if $D(x,y)=D(x-y,0)$ for all vectors $x,y\in X.$ A metric that is induced by a norm is always translation invariant.

[6] Because $\|-z\|=\|z\|$ for all $z\in X,$ it is always true that $d(x,y):=\|y-x\|=\|x-y\|$ for all $x,y\in X.$ So the order of $x$ and $y$ in this definition does not matter.

[ExampleCompactButHullIsNotCompact-10] 5.0 ^5.1 Let $H$ be the separable Hilbert space $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ of square-summable sequences with the usual norm $\|\cdot \|_{2}$ and let $e_{n}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots )$ be the standard orthonormal basis (that is $1$ at the $n^{\text{th}}$ -coordinate). The closed set $S=\{0\}\cup \left\{{\tfrac {1}{n}}e_{n}:n=1,2,\ldots \right\}$ is compact (because it is sequentially compact) but its convex hull $\operatorname {co} S$ is not a closed set because $h:=\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2^{n}}}{\tfrac {1}{n}}e_{n}$ belongs to the closure of $\operatorname {co} S$ in $H$ but $h\not \in \operatorname {co} S$ (since every sequence $\left(z_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\in \operatorname {co} S$ is a finite convex combination of elements of $S$ and so $z_{n}=0$ for all but finitely many coordinates, which is not true of $h$ ). However, like in all complete Hausdorff locally convex spaces, the closed convex hull $K:={\overline {\operatorname {co} }}S$ of this compact subset is compact. The vector subspace $X:=\operatorname {span} S=\operatorname {span} \left\{e_{1},e_{2},\ldots \right\}$ is a pre-Hilbert space when endowed with the substructure that the Hilbert space $H$ induces on it but $X$ is not complete and $h\not \in C:=K\cap X$ (since $h\not \in X$ ). The closed convex hull of $S$ in $X$ (here, "closed" means with respect to $X,$ and not to $H$ as before) is equal to $K\cap X,$ which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might fail to be compact (although it will be precompact/totally bounded).

[15] Let $\left(C([0,1]),\|\cdot \|_{\infty }\right)$ denote the Banach space of continuous functions with the supremum norm and let $\tau _{\infty }$ denote the topology on $C([0,1])$ induced by $\|\cdot \|_{\infty }.$ The vector space $C([0,1])$ can be identified (via the inclusion map) as a proper dense vector subspace $X$ of the $L^{1}$ space $\left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right),$ which satisfies $\|f\|_{1}\leq \|f\|_{\infty }$ for all $f\in X.$ Let $p$ denote the restriction of the L¹-norm to $X,$ which makes this map $p:X\to \mathbb {R}$ a norm on $X$ (in general, the restriction of any norm to any vector subspace will necessarily again be a norm). The normed space $(X,p)$ is not a Banach space since its completion is the proper superset $\left(L^{1}([0,1]),\|\cdot \|_{1}\right).$ Because $p\leq \|\cdot \|_{\infty }$ holds on $X,$ the map $p:\left(X,\tau _{\infty }\right)\to \mathbb {R}$ is continuous. Despite this, the norm $p$ is not equivalent to the norm $\|\cdot \|_{\infty }$ (because $\left(X,\|\cdot \|_{\infty }\right)$ is complete but $(X,p)$ is not).

[19] The normed space $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ is a Banach space where the absolute value is a norm on the real line $\mathbb {R}$ that induces the usual Euclidean topology on $\mathbb {R} .$ Define a metric $D:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ on $\mathbb {R}$ by $D(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|$ for all $x,y\in \mathbb {R} .$ Just like $|\cdot |$ 's induced metric, the metric $D$ also induces the usual Euclidean topology on $\mathbb {R} .$ However, $D$ is not a complete metric because the sequence $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ defined by $x_{i}:=i$ is a [[Cauchy sequence| $D$ -Cauchy sequence]] but it does not converge to any point of $\mathbb {R} .$ As a consequence of not converging, this $D$ -Cauchy sequence cannot be a Cauchy sequence in $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ (that is, it is not a Cauchy sequence with respect to the norm $|\cdot |$ ) because if it was $|\cdot |$ -Cauchy, then the fact that $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).Narici & Beckenstein 2011, pp. 47–51

[22] The statement of the theorem is: Let $d$ be any metric on a vector space $X$ such that the topology $\tau$ induced by $d$ on $X$ makes $(X,\tau )$ into a topological vector space. If $(X,d)$ is a complete metric space then $(X,\tau )$ is a complete topological vector space.

[23] This metric $D$ is not assumed to be translation-invariant. So in particular, this metric $D$ does not even have to be induced by a norm.

[CharacterizationOfContinuityOfANorm-24] A norm (or seminorm) $p$ on a topological vector space $(X,\tau )$ is continuous if and only if the topology $\tau _{p}$ that $p$ induces on $X$ is coarser than $\tau$ (meaning, $\tau _{p}\subseteq \tau$ ), which happens if and only if there exists some open ball $B$ in $(X,p)$ (such as maybe $\{x\in X:p(x)<1\}$ for example) that is open in $(X,\tau ).$

[27] $X^{\prime }$ denotes the continuous dual space of $X.$ When $X^{\prime }$ is endowed with the strong dual space topology, also called the topology of uniform convergence on bounded subsets of $X,$ then this is indicated by writing $X_{b}^{\prime }$ (sometimes, the subscript $\beta$ is used instead of $b$ ). When $X$ is a normed space with norm $\|\cdot \|$ then this topology is equal to the topology on $X^{\prime }$ induced by the dual norm. In this way, the strong topology is a generalization of the usual dual norm-induced topology on $X^{\prime }.$

[31] The fact that $\{x\in X:|f(x)|<1\}$ being open implies that $f:X\to \mathbb {R}$ is continuous simplifies proving continuity because this means that it suffices to show that $\{x\in X:\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<r\}$ is open for $r:=1$ and at $x_{0}:=0$ (where $f(0)=0$ ) rather than showing this for all real $r>0$ and all $x_{0}\in X.$

[1] Bourbaki 1987, V.86

[FOOTNOTENariciBeckenstein201193-2] Narici & Beckenstein 2011, p. 93.

[7] see Theorem 1.3.9, p. 20 in Megginson (1998).

[FOOTNOTEWilansky201329-8] Wilansky 2013, p. 29.

[9] Bessaga & Pełczyński 1975, p. 189

[FOOTNOTEAliprantisBorder2006185-11] Aliprantis & Border 2006, p. 185.

[FOOTNOTETrèves2006145-12] Trèves 2006, p. 145.

[FOOTNOTETrèves2006166–173-13] Trèves 2006, pp. 166–173.

[Conrad_Equiv_norms-14] 9.0 ^9.1 Conrad, Keith. "मानदंडों की समानता" (PDF). kconrad.math.uconn.edu. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09. Retrieved September 7, 2020.

[16] see Corollary 1.4.18, p. 32 in Megginson (1998).

[FOOTNOTENariciBeckenstein201147–66-17] Narici & Beckenstein 2011, pp. 47–66.

[FOOTNOTENariciBeckenstein201147–51-18] Narici & Beckenstein 2011, pp. 47–51.

[FOOTNOTESchaeferWolff199935-20] Schaefer & Wolff 1999, p. 35.

[Klee_Inv_metrics-21] Klee, V. L. (1952). "समूहों में अपरिवर्तनीय मेट्रिक्स (बानाच की समस्या का समाधान)" (PDF). Proc. Amer. Math. Soc. 3 (3): 484–487. doi:10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.

[FOOTNOTETrèves200657–69-25] Trèves 2006, pp. 57–69.

[FOOTNOTETrèves2006201-26] Trèves 2006, p. 201.

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[FOOTNOTENariciBeckenstein2011192–193-30] 19.0 ^19.1 Narici & Beckenstein 2011, pp. 192–193.

[32] Banach (1932, p. 182)

[Caro17-33] 21.0 ^21.1 see pp. 17–19 in Carothers (2005).

[34] see Banach (1932), pp. 11-12.

[35] see Banach (1932), Th. 9 p. 185.

[36] see Theorem 6.1, p. 55 in Carothers (2005)

[37] Several books about functional analysis use the notation $X^{*}$ for the continuous dual, for example Carothers (2005), Lindenstrauss & Tzafriri (1977), Megginson (1998), Ryan (2002), Wojtaszczyk (1991).

[38] Theorem 1.9.6, p. 75 in Megginson (1998)

[39] see also Theorem 2.2.26, p. 179 in Megginson (1998)

[Caro19-40] see p. 19 in Carothers (2005).

[41] Theorems 1.10.16, 1.10.17 pp.94–95 in Megginson (1998)

[42] Theorem 1.12.11, p. 112 in Megginson (1998)

[43] Theorem 2.5.16, p. 216 in Megginson (1998).

[44] see II.A.8, p. 29 in Wojtaszczyk (1991)

[DualBall-45] 33.0 ^33.1 ^33.2 see Theorem 2.6.23, p. 231 in Megginson (1998).

[46] see N. Bourbaki, (2004), "Integration I", Springer Verlag, ISBN 3-540-41129-1.

[Eilenberg-47] 35.0 ^35.1 Eilenberg, Samuel (1942). "Banach Space Methods in Topology". Annals of Mathematics. 43 (3): 568–579. doi:10.2307/1968812. JSTOR 1968812.

[48] see also Banach (1932), p. 170 for metrizable $K$ and $L.$

[49] Amir, Dan (1965). "निरंतर कार्य स्थान के समरूपता पर". Israel Journal of Mathematics. 3 (4): 205–210. doi:10.1007/bf03008398. S2CID 122294213.

[50] Cambern, M. (1966). "A generalized Banach–Stone theorem". Proc. Amer. Math. Soc. 17 (2): 396–400. doi:10.1090/s0002-9939-1966-0196471-9. And Cambern, M. (1967). "On isomorphisms with small bound". Proc. Amer. Math. Soc. 18 (6): 1062–1066. doi:10.1090/s0002-9939-1967-0217580-2.

[51] Cohen, H. B. (1975). "A bound-two isomorphism between $C(X)$ Banach spaces". Proc. Amer. Math. Soc. 50: 215–217. doi:10.1090/s0002-9939-1975-0380379-5.

[52] See for example Arveson, W. (1976). An Invitation to C*-Algebra. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90176-0.

[53] R. C. James (1951). "एक नॉन-रिफ्लेक्सिव बैनच स्पेस आइसोमेट्रिक अपने दूसरे कंजुगेट स्पेस के साथ". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (3): 174–177. Bibcode:1951PNAS...37..174J. doi:10.1073/pnas.37.3.174. PMC 1063327. PMID 16588998.

[54] see Lindenstrauss & Tzafriri (1977), p. 25.

[55] shop, See E.; Phelps, R. (1961). "एक सबूत है कि हर बनच स्पेस सबरेफ्लेक्सिव है". Bull. Amer. Math. Soc. 67: 97–98. doi:10.1090/s0002-9904-1961-10514-4.

[56] see III.C.14, p. 140 in Wojtaszczyk (1991).

[57] see Corollary 2, p. 11 in Diestel (1984).

[58] see p. 85 in Diestel (1984).

[59] Rosenthal, Haskell P (1974). "A characterization of Banach spaces containing ℓ¹". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 71 (6): 2411–2413. arXiv:math.FA/9210205. Bibcode:1974PNAS...71.2411R. doi:10.1073/pnas.71.6.2411. PMC 388466. PMID 16592162. Rosenthal's proof is for real scalars. The complex version of the result is due to L. Dor, in Dor, Leonard E (1975). "On sequences spanning a complex ℓ¹ space". Proc. Amer. Math. Soc. 47: 515–516. doi:10.1090/s0002-9939-1975-0358308-x.

[60] see p. 201 in Diestel (1984).

[61] Odell, Edward W.; Rosenthal, Haskell P. (1975), "A double-dual characterization of separable Banach spaces containing ℓ¹" (PDF), Israel Journal of Mathematics, 20 (3–4): 375–384, doi:10.1007/bf02760341, S2CID 122391702, archived (PDF) from the original on 2022-10-09.

[62] Odell and Rosenthal, Sublemma p. 378 and Remark p. 379.

[63] r more on pointwise compact subsets of the Baire class, see Bourgain, Jean; Fremlin, D. H.; Talagrand, Michel (1978), "Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions", Am. J. Math., 100 (4): 845–886, doi:10.2307/2373913, JSTOR 2373913.

[64] see Proposition 2.5.14, p. 215 in Megginson (1998).

[65] see for example p. 49, II.C.3 in Wojtaszczyk (1991).

[66] see Corollary 2.8.9, p. 251 in Megginson (1998).

[67] see Lindenstrauss & Tzafriri (1977) p. 3.

[68] the question appears p. 238, §3 in Banach's book, Banach (1932).

[69] see S. V. Bočkarev, "Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system". (Russian) Mat. Sb. (N.S.) 95(137) (1974), 3–18, 159.

[70] see Enflo, P. (1973). "A counterexample to the approximation property in Banach spaces". Acta Math. 130: 309–317. doi:10.1007/bf02392270. S2CID 120530273.

[71] see R.C. James, "Bases and reflexivity of Banach spaces". Ann. of Math. (2) 52, (1950). 518–527. See also Lindenstrauss & Tzafriri (1977) p. 9.

[72] see A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., and A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.

[73] see chap. 2, p. 15 in Ryan (2002).

[74] see chap. 3, p. 45 in Ryan (2002).

[75] see Example. 2.19, p. 29, and pp. 49–50 in Ryan (2002).

[76] see Proposition 4.6, p. 74 in Ryan (2002).

[77] see Pisier, Gilles (1983), "Counterexamples to a conjecture of Grothendieck", Acta Math. 151:181–208.

[78] see Szankowski, Andrzej (1981), " $B(H)$ does not have the approximation property", Acta Math. 147: 89–108. Ryan claims that this result is due to Per Enflo, p. 74 in Ryan (2002).

[79] see Kwapień, S. (1970), "A linear topological characterization of inner-product spaces", Studia Math. 38:277–278.

[80] Lindenstrauss, Joram; Tzafriri, Lior (1971). "On the complemented subspaces problem". Israel Journal of Mathematics. 9 (2): 263–269. doi:10.1007/BF02771592.

[81] see p. 245 in Banach (1932). The homogeneity property is called "propriété (15)" there. Banach writes: "on ne connaît aucun exemple d'espace à une infinité de dimensions qui, sans être isomorphe avec $(L^{2}).$ possède la propriété (15)".

[Gowers-82] 70.0 ^70.1 Gowers, W. T. (1996), "A new dichotomy for Banach spaces", Geom. Funct. Anal. 6:1083–1093.

[83] see Gowers, W. T. (1994). "A solution to Banach's hyperplane problem". Bull. London Math. Soc. 26 (6): 523–530. doi:10.1112/blms/26.6.523.

[84] see Komorowski, Ryszard A.; Tomczak-Jaegermann, Nicole (1995). "Banach spaces without local unconditional structure". Israel Journal of Mathematics. 89 (1–3): 205–226. arXiv:math/9306211. doi:10.1007/bf02808201. S2CID 5220304. and also Komorowski, Ryszard A.; Tomczak-Jaegermann, Nicole (1998). "Erratum to: Banach spaces without local unconditional structure". Israel Journal of Mathematics. 105: 85–92. arXiv:math/9607205. doi:10.1007/bf02780323. S2CID 18565676.

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[88] Milutin. See also Rosenthal, Haskell P., "The Banach spaces C(K)" in Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. 2, 1547–1602, North-Holland, Amsterdam, 2003.

[89] One can take $α = ω βn$ , where $\beta +1$ is the Cantor–Bendixson rank of $K,$ and $n>0$ is the finite number of points in the $\beta$ -th derived set $K(\beta )$ of $K.$ See Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław (1920), "Contribution à la topologie des ensembles dénombrables", Fundamenta Mathematicae 1: 17–27.

[90] Bessaga, Czesław; Pełczyński, Aleksander (1960), "Spaces of continuous functions. IV. On isomorphical classification of spaces of continuous functions", Studia Math. 19:53–62.

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v t e Banach space topics
Types of Banach spaces	Asplund Banach list Banach lattice Grothendieck Hilbert Inner product space Polarization identity (Polynomially) Reflexive Riesz L-semi-inner product (B Strictly Uniformly) convex Uniformly smooth (Injective Projective) Tensor product (of Hilbert spaces)
Banach spaces are:	Barrelled Complete F-space Fréchet tame Locally convex Seminorms/Minkowski functionals Mackey Metrizable Normed norm Quasinormed Stereotype
Function space Topologies	Dual Dual space Dual norm Operator Ultraweak Weak polar operator Strong polar operator Ultrastrong Uniform convergence
Linear operators	Adjoint Bilinear form operator sesquilinear (Un)Bounded Closed Compact on Hilbert spaces (Dis)Continuous Densely defined Fredholm kernel operator Hilbert–Schmidt Functionals positive Pseudo-monotone Normal Nuclear Self-adjoint Strictly singular Trace class Transpose Unitary
Operator theory	Banach algebras C-algebras Operator space Spectrum C-algebra radius Spectral theory of ODEs Spectral theorem Polar decomposition Singular value decomposition
Theorems	Anderson–Kadec Banach–Alaoglu Banach–Mazur Banach–Saks Banach–Schauder (open mapping) Banach–Steinhaus (Uniform boundedness) Bessel's inequality Cauchy–Schwarz inequality Closed graph Closed range Eberlein–Šmulian Freudenthal spectral Gelfand–Mazur Gelfand–Naimark Goldstine Hahn–Banach hyperplane separation Kakutani fixed-point Krein–Milman Lomonosov's invariant subspace Mackey–Arens Mazur's lemma M. Riesz extension Parseval's identity Riesz's lemma Riesz representation Robinson-Ursescu Schauder fixed-point
Analysis	Abstract Wiener space Banach manifold bundle Bochner space Convex series Differentiation in Fréchet spaces Derivatives Fréchet Gateaux functional holomorphic quasi Integrals Bochner Dunford Gelfand–Pettis regulated Paley–Wiener weak Functional calculus Borel continuous holomorphic Measures Lebesgue Projection-valued Vector Weakly / Strongly measurable function
Types of sets	Absolutely convex Absorbing Affine Balanced/Circled Bounded Convex Convex cone (subset) Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (Hx), and (Hwx)) Linear cone (subset) Radial Radially convex/Star-shaped Symmetric Zonotope
Subsets / set operations	Affine hull (Relative) Algebraic interior (core) Bounding points Convex hull Extreme point Interior Linear span Minkowski addition Polar (Quasi) Relative interior
Examples	Absolute continuity AC $ba(\Sigma )$ c space Banach coordinate BK Besov $B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )$ Birnbaum–Orlicz Bounded variation BV Bs space Continuous C(K) with K compact Hausdorff Hardy H^p Hilbert H Morrey–Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ℓ^p $\ell ^{\infty }$ L^p $L^{\infty }$ weighted Schwartz $S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ Segal–Bargmann F Sequence space Sobolev W^k,p Sobolev inequality Triebel–Lizorkin Wiener amalgam $W(X,L^{p})$
Applications	Differential operator Finite element method Mathematical formulation of quantum mechanics Ordinary Differential Equations (ODEs) Validated numerics

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 {{short description|Normed vector space that is complete}}
-गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, एक बैनाच स्पेस (उच्चारण {{IPA-pl|ˈbanax|}}) एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] मानक सदिश स्थान है। इस प्रकार, एक बैनाच स्पेस एक [[मीट्रिक (गणित)]] के साथ एक सदिश स्थान है जो नॉर्म (गणित) की गणना और वैक्टर के बीच की दूरी की अनुमति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि वैक्टर का एक [[कॉची अनुक्रम]] हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है अनुक्रम जो अंतरिक्ष के भीतर है।
+गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, '''बानाच समष्टि''' (उच्चारण {{IPA-pl|ˈbanax|}}) एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान|पूर्ण मीट्रिक समष्टि]] मानक सदिश समष्टि है। इस प्रकार, बानाच समष्टि [[मीट्रिक (गणित)]] मीट्रिक के साथ एक सदिश समष्टि है जो सदिश लंबाई और सदिशों के बीच की दूरी की गणना की स्वीकृति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि सदिशों का कॉची अनुक्रम सदैव एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है जो समष्टि के अंदर है।
-बानाच रिक्त स्थान का नाम पोलिश गणितज्ञ [[स्टीफन बानाच]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को पेश किया और 1920-1922 में [[हंस हैन (गणितज्ञ)]] और [[एडुआर्ड हेली]] के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987|loc=V.86}}<!--From French edition. Please check the "Historical Note" in the English edition.--></ref> मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बनच स्पेस का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बनच ने फ्रेचेट स्पेस शब्द गढ़ा।{{sfn|Narici|Beckenstein| 2011|p=93}}
+बानाच समष्टि का नाम पोलिश गणितज्ञ [[स्टीफन बानाच]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को प्रस्तुत किया और 1920-1922 में [[हंस हैन (गणितज्ञ)]] और [[एडुआर्ड हेली]] के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987|loc=V.86}}<!--From French edition. Please check the "Historical Note" in the English edition.--></ref> मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बानाच समष्टि का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बानाच ने फ्रेचेट समष्टि शब्द नियत किया।{{sfn|Narici|Beckenstein| 2011|p=93}} बानाच समष्टि मूल रूप से [[डेविड हिल्बर्ट]], मौरिस रेने फ्रेचेट, और [[फ्रिगियस रिज्ज़]] द्वारा शताब्दी में पहले फलन समष्टि के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बानाच समष्टि एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के अंतर्गत रिक्त समष्टि प्रायः बानाच समष्टि होते हैं।
-बानाच रिक्त स्थान मूल रूप से [[डेविड हिल्बर्ट]], मौरिस रेने फ्रेचेट | फ्रेचेट, और [[फ्रिगियस रिज्ज़]] द्वारा शताब्दी में पहले कार्य स्थान के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बनच स्थान एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के तहत रिक्त स्थान अक्सर बनच स्थान होते हैं।
 == परिभाषा ==
-एक बनच स्पेस एक पूर्ण मीट्रिक स्पेस [[नॉर्म्ड स्पेस]] है <math>(X, \| \cdot \|).</math> एक आदर्श स्थान एक जोड़ी है<ref group=note>It is common to read "<math>X</math> is a normed space" instead of the more technically correct but (usually) pedantic "<math>(X, \| \cdot \|)</math> is a normed space," especially if the norm is well known (for example, such as with [[Lp space|<math>L^p</math> spaces]]) or when there is no particular need to choose any one (equivalent) norm over any other (especially in the more abstract theory of [[topological vector space]]s), in which case this norm (if needed) is often automatically assumed to be denoted by <math>\| \cdot \|.</math> However, in situations where emphasis is placed on the norm, it is common to see <math>(X, \| \cdot \|)</math> written instead of <math>X.</math> The technically correct definition of normed spaces as pairs <math>(X, \| \cdot \|)</math> may also become important in the context of [[category theory]] where the distinction between the categories of normed spaces, [[normable space]]s, [[metric space]]s, [[topological vector space|TVS]]s, [[topological space]]s, etc. is usually important.</ref>
+एक बानाच समष्टि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि [[नॉर्म्ड स्पेस|मानक समष्टि]] है और <math>(X, \| \cdot \|)</math> मानक समष्टि युग्म है<ref group="note">It is common to read "<math>X</math> is a normed space" instead of the more technically correct but (usually) pedantic "<math>(X, \| \cdot \|)</math> is a normed space," especially if the norm is well known (for example, such as with [[Lp space|<math>L^p</math> spaces]]) or when there is no particular need to choose any one (equivalent) norm over any other (especially in the more abstract theory of [[topological vector space]]s), in which case this norm (if needed) is often automatically assumed to be denoted by <math>\| \cdot \|.</math> However, in situations where emphasis is placed on the norm, it is common to see <math>(X, \| \cdot \|)</math> written instead of <math>X.</math> The technically correct definition of normed spaces as pairs <math>(X, \| \cdot \|)</math> may also become important in the context of [[category theory]] where the distinction between the categories of normed spaces, [[normable space]]s, [[metric space]]s, [[topological vector space|TVS]]s, [[topological space]]s, etc. is usually important.</ref> जिसमे <math>(X, \| \cdot \|)</math> [[सदिश स्थल|सदिश क्षेत्र]]   <math>X</math> पर <math>\mathbb{K}</math> (जहाँ <math>\mathbb{K}</math> सामान्यतः है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) विशिष्ट वेक्टर समष्टि सम्मिलित है।<ref group="note">This means that if the norm <math>\| \cdot \|</math> is replaced with a different norm <math>\|\,\cdot\,\|^{\prime} \text{ on } X,</math> then <math>(X, \| \cdot \|)</math> is {{em|not}} the same normed space as <math>\left(X, \| \cdot \|^{\prime}\right),</math> even if the norms are equivalent. However, equivalence of norms on a given vector space does form an [[equivalence relation]].</ref> सामान्य (गणित) <math>\| \cdot \| : X \to \R</math> मानदंडों की तरह, यह मानक [[अनुवाद अपरिवर्तनीय]] और दूरी फलन<ref group="note" name="translation invariant metric">A metric <math>D</math> on a vector space <math>X</math> is said to be '''translation invariant''' if <math>D(x, y) = D(x + z, y + z)</math> for all vectors <math>x, y, z \in X.</math> This happens if and only if <math>D(x, y) = D(x - y, 0)</math> for all vectors <math>x, y \in X.</math> A metric that is induced by a norm is always translation invariant.</ref> मीट्रिक (गणित) को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है। जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है।<ref group="note">Because <math>\|- z\| = \|z\|</math> for all <math>z \in X,</math> it is always true that <math>d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|</math> for all <math>x, y \in X.</math> So the order of <math>x</math> and <math>y</math> in this definition does not matter.</ref>
-<math>(X, \| \cdot \|)</math> एक [[सदिश स्थल]] से मिलकर <math>X</math> एक अदिश क्षेत्र पर <math>\mathbb{K}</math> (कहाँ <math>\mathbb{K}</math> सामान्यतः है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) एक प्रतिष्ठित के साथ<ref group=note>This means that if the norm <math>\| \cdot \|</math> is replaced with a different norm <math>\|\,\cdot\,\|^{\prime} \text{ on } X,</math> then <math>(X, \| \cdot \|)</math> is {{em|not}} the same normed space as <math>\left(X, \| \cdot \|^{\prime}\right),</math> even if the norms are equivalent. However, equivalence of norms on a given vector space does form an [[equivalence relation]].</ref> सामान्य (गणित) <math>\| \cdot \| : X \to \R.</math> सभी मानदंडों की तरह, यह मानदंड [[अनुवाद अपरिवर्तनीय]] को प्रेरित करता है<ref group=note name="translation invariant metric">A metric <math>D</math> on a vector space <math>X</math> is said to be '''translation invariant''' if <math>D(x, y) = D(x + z, y + z)</math> for all vectors <math>x, y, z \in X.</math> This happens if and only if <math>D(x, y) = D(x - y, 0)</math> for all vectors <math>x, y \in X.</math> A metric that is induced by a norm is always translation invariant.</ref> मीट्रिक (गणित), जिसे कैनोनिकल या नॉर्म प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है|(मानदंड) प्रेरित मीट्रिक, द्वारा परिभाषित<ref group=note>Because <math>\|- z\| = \|z\|</math> for all <math>z \in X,</math> it is always true that <math>d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|</math> for all <math>x, y \in X.</math> So the order of <math>x</math> and <math>y</math> in this definition does not matter.</ref>
 <math display=block>d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|</math>
-सभी वैक्टर के लिए <math>x, y \in X.</math> यह बनाता है <math>X</math> एक मीट्रिक अंतरिक्ष में <math>(X, d).</math> एक क्रम <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> कहा जाता है {{nowrap|'''{{em|[[Cauchy sequence|<math>d</math>-Cauchy]]}}'''}} या {{nowrap|'''{{em|Cauchy in}} <math>(X, d)</math>'''}} या {{nowrap|'''{{em|<math>\| \cdot \|</math>-Cauchy}}'''}} अगर हर असली के लिए <math>r > 0,</math> कुछ सूचकांक मौजूद है <math>N</math> ऐसा है कि
+सभी वैक्टर के लिए <math>x, y \in X.</math> यह है <math>X</math> एक मीट्रिक समष्टि में <math>(X, d).</math> अनुक्रम <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> बनाता है। {{nowrap|'''{{em|[[Cauchy sequence|<math>d</math>-कॉची]]}}'''}} को {{nowrap|'''{{em|कॉची मे}} <math>(X, d)</math>'''}} या {{nowrap|'''{{em|<math>\| \cdot \|</math>-कॉची}}'''}} में यदि प्रत्येक वास्तविक <math>r > 0,</math> वहाँ कुछ सूचकांक <math>N</math> सम्मिलित है जैसे कि
 <math display=block>d\left(x_n, x_m\right) = \left\|x_n - x_m\right\| < r</math>
-जब कभी भी <math>m</math> और <math>n</math> से अधिक हैं <math>N.</math> विहित मीट्रिक <math>d</math> ए कहा जाता है{{em|[[complete metric]]}} अगर जोड़ी <math>(X, d)</math> एक है {{em|[[complete metric space]]}}, जो परिभाषा के अनुसार हर के लिए है {{nowrap|<math>d</math>-[[Cauchy sequence]]}} <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> में <math>(X, d),</math> कुछ मौजूद है <math>x \in X</math> ऐसा है कि
+जब भी <math>m</math> और <math>n</math> से <math>N</math> अधिक हैं तो प्रामाणिक मीट्रिक <math>d</math> को पूर्ण मेट्रिक कहा जाता है यदि युग्म <math>(X, d)</math> पूर्ण मेट्रिक समष्टि है, जो परिभाषा के अनुसार प्रत्येक {{nowrap|<math>d</math>-[[कॉची अनुक्रम]]}} <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> में <math>(X, d)</math> के लिए <math>x \in X</math> सम्मिलित है जैसे कि
 <math display=block>\lim_{n \to \infty} \left\|x_n - x\right\| = 0</math>
-कहाँ क्योंकि <math>\left\|x_n - x\right\| = d\left(x_n, x\right),</math> इस क्रम का अभिसरण <math>x</math> समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:
+जहाँ क्योंकि <math>\left\|x_n - x\right\| = d\left(x_n, x\right),</math> इस क्रम का अभिसरण <math>x</math> समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है:
 <math display=block>\lim_{n \to \infty} x_n = x \; \text{ in } (X, d).</math>
-परिभाषा के अनुसार, आदर्श स्थान <math>(X, \| \cdot \|)</math> एक है{{em|Banach space}} यदि मानक प्रेरित मीट्रिक <math>d</math> एक [[पूर्ण मीट्रिक]] है, या अलग तरह से कहा जाए, यदि <math>(X, d)</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है।
+परिभाषा के अनुसार, मानक समष्टि <math>(X, \| \cdot \|)</math> बनच समष्टि है, यदि मानक प्रेरित मीट्रिक <math>d</math> एक [[पूर्ण मीट्रिक]] है, या अलग तरीके से कहा जाता है, यदि <math>(X, d)</math> एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है। नियम <math>\| \cdot \|</math> मानक समष्टि का <math>(X, \| \cdot \|)</math> को एक पूर्ण मानक कहा जाता है यदि <math>(X, \| \cdot \|)</math> बानाच समष्टि है।
-नियम <math>\| \cdot \|</math> एक आदर्श स्थान का <math>(X, \| \cdot \|)</math> ए कहा जाता है{{em|{{visible anchor|complete norm|Complete norm}}}} अगर <math>(X, \| \cdot \|)</math> एक बनच स्थान है।
-एल-अर्ध-आंतरिक उत्पाद
+==== L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल ====
+किसी भी सामान्य समष्टि के लिए <math>(X, \| \cdot \|),</math> एक L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> पर <math>X</math> सम्मिलित है जैसे कि <math display="inline">\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math> सभी <math>x \in X</math>; के लिए सामान्य रूप से, असीम रूप से कई L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल हो सकते हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं। L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल का एक सामान्यीकरण है, जो मूल रूप से हिल्बर्ट रिक्त समष्टि को अन्य सभी बानाच समष्टि से अलग करते हैं। इससे पता चलता है कि सभी मानक समष्टि (और इसलिए सभी बानाच समष्टि) को (पूर्व-) हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।
-किसी भी सामान्य स्थान के लिए <math>(X, \| \cdot \|),</math> एक एल-सेमी-इनर उत्पाद मौजूद है <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> पर <math>X</math> ऐसा है कि <math display=inline>\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math> सभी के लिए <math>x \in X</math>; सामान्य तौर पर, असीम रूप से कई एल-सेमी-इनर उत्पाद हो सकते हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं। एल-सेमी-इनर उत्पाद आंतरिक उत्पादों का एक सामान्यीकरण है, जो मूल रूप से हिल्बर्ट रिक्त स्थान को अन्य सभी बानाच स्थानों से अलग करते हैं। इससे पता चलता है कि सभी मानक स्थान (और इसलिए सभी बनच स्थान) को (पूर्व-) हिल्बर्ट रिक्त स्थान के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।
+===== श्रृंखला के संदर्भ में विशेषता =====
+सदिश समष्टि संरचना हमें कॉशी अनुक्रमों के व्यवहार को अभिसरण श्रृंखला (गणित) सामान्यीकरण के व्यवहार से संबंधित करने की स्वीकृति देती है। एक मानक समष्टि <math>X</math> एक बानाच समष्टि है यदि और केवल यदि <math>X</math> प्रत्येक निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखला <math>X</math> में अभिसरित हो जाता है <ref>see Theorem&nbsp;1.3.9, p.&nbsp;20 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>
+<math display="block">\sum_{n=1}^{\infty} \|v_n\| < \infty \quad \text{ implies that } \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_n\ \ \text{ converges in } \ \ X.</math>
-श्रृंखला के संदर्भ में विशेषता
-सदिश अंतरिक्ष संरचना हमें कॉशी अनुक्रमों के व्यवहार को अभिसरण श्रृंखला (गणित)#सामान्यीकरण के व्यवहार से संबंधित करने की अनुमति देती है।
+=== सांस्थिति ===
-एक आदर्श स्थान <math>X</math> एक Banach स्थान है यदि और केवल यदि प्रत्येक निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखला में <math>X</math> में विलीन हो जाता है <math>X,</math><ref>see Theorem&nbsp;1.3.9, p.&nbsp;20 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>
-<math display=block>\sum_{n=1}^{\infty} \|v_n\| < \infty \quad \text{ implies that } \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_n\ \ \text{ converges in } \ \ X.</math>
+प्रामाणिक मीट्रिक <math>d</math> एक मानक समष्टि का <math>(X, \|\cdot\|)</math> सामान्य [[मीट्रिक टोपोलॉजी|मीट्रिक सांस्थिति]] <math>\tau_d</math> पर <math>X</math> को प्रेरित करता है, जिसे प्रामाणिक या मानक प्रेरित [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] कहा जाता है। जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है, तब तक प्रत्येक मानक समष्टि स्वचालित रूप से इस [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ समष्टि]] सांस्थिति को ले जाने के लिए मान लिया जाता है। इस सांस्थिति के साथ, प्रत्येक बानाच समष्टि एक बायर समष्टि है, हालांकि ऐसे मानक समष्टि सम्मिलित हैं जो बेयर हैं लेकिन बानाच नहीं हैं।{{sfn|Wilansky|2013|p=29}} नियम <math>\|\,\cdot\,\| : \left(X, \tau_d\right) \to \R</math> सांस्थिति के संबंध में सदैव एक सतत फलन होता है जो इसे प्रेरित करता है।
-=== टोपोलॉजी ===
+त्रिज्या की विवृत और संवृत गोले <math>r > 0</math> बिंदु पर केंद्रित <math>x \in X</math> क्रमशः समुच्चय हैं
+<math display=block>B_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| < r\} \qquad \text{ and } \qquad C_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| \leq r\}.</math> ऐसी कोई भी गोले <math>X</math> का एक उत्तल और परिबद्ध उपसमुच्चय है (सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि) है लेकिन एक [[ कॉम्पैक्ट जगह |सुसंहत समष्टि]] गोले/प्रतिवेश (सांस्थिति) सम्मिलित है यदि और केवल तभी <math>X</math> एक [[परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष|परिमित-आयामी वेक्टर समष्टि]] है।
+विशेष रूप से, कोई अनंत-आयामी मानक समष्टि [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान|स्थानीय रूप से सुसंहत समष्टि]] नहीं हो सकता है या हेइन-बोरेल गुण हो सकती है। यदि <math>x_0</math> वेक्टर है और <math>s \neq 0</math> तब एक अदिश है
-विहित मीट्रिक <math>d</math> एक आदर्श स्थान का <math>(X, \|\cdot\|)</math> सामान्य [[मीट्रिक टोपोलॉजी]] को प्रेरित करता है <math>\tau_d</math> पर <math>X,</math> जिसे विहित या मानक प्रेरित [[टोपोलॉजी]] कहा जाता है।
+तब
-जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है, तब तक प्रत्येक मानक स्थान स्वचालित रूप से इस [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] टोपोलॉजी को ले जाने के लिए मान लिया जाता है।
+<math display="block">x_0 + s B_r(x) = B_{|s| r}\left(x_0 + s x\right) \qquad \text{ and } \qquad x_0 + s C_r(x) = C_{|s| r}\left(x_0 + s x\right).</math> <math>s := 1</math> का उपयोग करते हुए दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित सांस्थिति [[अनुवाद अपरिवर्तनीय टोपोलॉजी|अनुवाद अपरिवर्तनीय सांस्थिति]] है, जिसका अर्थ है कि किसी <math>x \in X</math> और <math>S \subseteq X</math> के लिए उप-समुच्चय <math>S</math> [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] (क्रमशः, [[बंद सेट|संवृत समुच्चय]])   <math>X</math> में है यदि और केवल यदि यह इसके अनुवाद <math>x + S := \{x + s : s \in S\}</math> के लिए सही है। परिणामस्वरूप, मानक प्रेरित सांस्थिति मूल रूप से किसी भी [[पड़ोस व्यवस्था|प्रतिवेश व्यवस्था]] द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ सामान्य प्रतिवेश के आधारों में सम्मिलित हैं:
-इस टोपोलॉजी के साथ, प्रत्येक बनच स्थान एक बायर स्थान है, हालांकि ऐसे मानक स्थान मौजूद हैं जो बेयर हैं लेकिन बनच नहीं हैं।{{sfn|Wilansky|2013|p=29}} नियम <math>\|\,\cdot\,\| : \left(X, \tau_d\right) \to \R</math> टोपोलॉजी के संबंध में हमेशा एक सतत कार्य होता है जो इसे प्रेरित करता है।
+<math display="block">\left\{B_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{C_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{B_{r_n}(0) : n \in \N\right\}, \qquad \text{ or } \qquad \left\{C_{r_n}(0) : n \in \N\right\}</math>
+जहाँ <math>\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो <math>0</math> में <math>\R</math> (जैसे कि <math>r_n := 1/n</math> या <math>r_n := 1/2^n</math> के लिए) अभिसरण करता है। तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>X</math> समूह के रूप में लिखा जा सकता है
+<math display="block">U = \bigcup_{x \in I} B_{r_x}(x) = \bigcup_{x \in I} x + B_{r_x}(0) = \bigcup_{x \in I} x + r_x B_1(0)</math>
+कुछ उपसमुच्चय द्वारा अनुक्रमित <math>I \subseteq U,</math> जहां प्रत्येक <math>r_x</math> किसी पूर्णांक <math>r_x = \tfrac{1}{n_x}</math> कुछ पूर्णांक के लिए <math>n_x > 0</math> स्वरूप का है (संवृत गोले का उपयोग विवृत गोले के अतिरिक्त भी किया जा सकता है, हालांकि अनुक्रमणिका समुच्चय <math>I</math> और त्रिज्या <math>r_x</math> बदलने की आवश्यकता हो सकती है)। इसके अतिरिक्त, <math>I</math> [[ गणनीय सेट |गणनीय समुच्चय]] होने के लिए सदैव चयन किया जा सकता है यदि <math>X</math> {{em|[[वियोज्य समष्टि]]}} है, जिसका परिभाषा के अनुसार तात्पर्य है कि <math>X</math> कुछ गणनीय सघन समुच्चय सम्मिलित हैं। एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट समष्टि [[उत्पाद स्थान|गुणनफल समष्टि]] के लिए <math display="inline">\prod_{i \in \N} \R</math> की अनगिनत प्रतियाँ <math>\R</math> (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय मानचित्र नहीं होना चाहिए) [[होमोमोर्फिज्म]] है।<ref>{{harvnb|Bessaga|Pełczyński|1975|p=189}}</ref> चूँकि प्रत्येक बानाच समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बानाच समष्टि के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि L2-समष्टि <math>\ell</math><sup>2</sup> अनुक्रम समष्टि <math>\ell^2(\N)</math> भी सम्मिलित है। इसका सामान्य मानक <math>\|\cdot\|_2,</math> जहां (परिमित-आयामी रिक्त समष्टि के विपरीत) <math>\ell^2(\N)</math> इसकी इकाई क्षेत्र <math>\left\{x \in \ell^2(\N) : \|x\|_2 = 1\right\}</math>होमोमोर्फिज्म भी है।
-त्रिज्या की खुली और बंद गेंदें <math>r > 0</math> एक बिंदु पर केंद्रित <math>x \in X</math> क्रमशः समुच्चय हैं
+===== सघन और उत्तल उपसमुच्चय =====
- <math display=block>B_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| < r\} \qquad \text{ and } \qquad C_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| \leq r\}.</math> ऐसी कोई भी गेंद एक [[उत्तल सेट]] और बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) है <math>X,</math> लेकिन एक [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] बॉल/नेबरहुड (टोपोलॉजी) मौजूद है अगर और केवल तभी <math>X</math> एक [[परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष]] है।
+<math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> सुसंहत उपसमुच्चय है जिसका उत्तल हल <math>\operatorname{co}(S)</math> संवृत {{em|not}} है और इस प्रकार भी सुसंहत {{em|not}} है (उदाहरण के लिए यह फुटनोट देखें।<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact">Let <math>H</math> be the separable [[Hilbert space]] [[Lp space|<math>\ell^2(\N)</math>]] of square-summable sequences with the usual norm <math>\|\cdot\|_2</math> and let <math>e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)</math> be the standard [[orthonormal basis]] (that is <math>1</math> at the <math>n^{\text{th}}</math>-coordinate). The closed set <math>S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}</math> is compact (because it is [[Sequentially compact space|sequentially compact]]) but its convex hull <math>\operatorname{co} S</math> is {{em|not}} a closed set because <math>h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n</math> belongs to the closure of <math>\operatorname{co} S</math> in <math>H</math> but <math>h \not\in\operatorname{co} S</math> (since every sequence <math>\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S</math> is a finite [[convex combination]] of elements of <math>S</math> and so <math>z_n = 0</math> for all but finitely many coordinates, which is not true of <math>h</math>). However, like in all [[Complete topological vector space|complete]] Hausdorff locally convex spaces, the {{em|closed}} convex hull <math>K := \overline{\operatorname{co}} S</math> of this compact subset is compact. The vector subspace <math>X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}</math> is a [[pre-Hilbert space]] when endowed with the substructure that the Hilbert space <math>H</math> induces on it but <math>X</math> is not complete and <math>h \not\in C := K \cap X</math> (since <math>h \not\in X</math>). The closed convex hull of <math>S</math> in <math>X</math> (here, "closed" means with respect to <math>X,</math> and not to <math>H</math> as before) is equal to <math>K \cap X,</math> which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might {{em|fail}} to be compact (although it will be [[Totally bounded space|precompact/totally bounded]]).</ref>{{sfn|Aliprantis|Border|2006|p=185}} हालाँकि, सभी बानाच समष्टि की तरह, संवृत उत्तल हल   <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> उप-समुच्चय सुसंहत होगा।{{sfn|Trèves|2006|p=145}} लेकिन यदि एक मानक समष्टि पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से {{em|not}} प्रत्याभूति है कि <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> सुसंहत होगा जब भी <math>S</math> होगा; उदाहरण<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact" /> के लिए (गैर-पूर्ण) पूर्व-हिल्बर्ट वेक्टर <math>\ell^2(\N)</math> उपसमष्टि में भी पाया जा सकता है
-विशेष रूप से, कोई अनंत-आयामी आदर्श स्थान [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान]] नहीं हो सकता है या मोंटेल स्पेस | हेइन-बोरेल संपत्ति हो सकती है।
-अगर <math>x_0</math> एक वेक्टर है और <math>s \neq 0</math> तब एक अदिश राशि है
- <math display=block>x_0 + s B_r(x) = B_{|s| r}\left(x_0 + s x\right) \qquad \text{ and } \qquad x_0 + s C_r(x) = C_{|s| r}\left(x_0 + s x\right).</math> का उपयोग करते हुए <math>s := 1</math> दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित टोपोलॉजी [[अनुवाद अपरिवर्तनीय टोपोलॉजी]] है, जिसका अर्थ है कि किसी के लिए <math>x \in X</math> और <math>S \subseteq X,</math> सबसेट <math>S</math> [[खुला सेट]] (क्रमशः, [[बंद सेट]]) में है <math>X</math> अगर और केवल अगर यह इसके अनुवाद के लिए सही है <math>x + S := \{x + s : s \in S\}.</math> नतीजतन, मानक प्रेरित टोपोलॉजी मूल रूप से किसी भी [[पड़ोस व्यवस्था]] द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ आम पड़ोस के ठिकानों में शामिल हैं:
-<math display=block>\left\{B_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{C_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{B_{r_n}(0) : n \in \N\right\}, \qquad \text{ or } \qquad \left\{C_{r_n}(0) : n \in \N\right\}</math>
-कहाँ <math>\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो अभिसरण करता है <math>0</math> में <math>\R</math> (जैसे कि <math>r_n := 1/n</math> या <math>r_n := 1/2^n</math> उदाहरण के लिए)।
-तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक खुला उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>X</math> एक संघ के रूप में लिखा जा सकता है
- <math display=block>U = \bigcup_{x \in I} B_{r_x}(x) = \bigcup_{x \in I} x + B_{r_x}(0) = \bigcup_{x \in I} x + r_x B_1(0)</math>
-कुछ सबसेट द्वारा अनुक्रमित <math>I \subseteq U,</math> जहां हर <math>r_x</math> स्वरूप का है <math>r_x = \tfrac{1}{n_x}</math> कुछ पूर्णांक के लिए <math>n_x > 0</math> (बंद गेंद का उपयोग खुली गेंद के बजाय भी किया जा सकता है, हालांकि इंडेक्सिंग सेट <math>I</math> और त्रिज्या <math>r_x</math> बदलने की आवश्यकता हो सकती है)।
-इसके अतिरिक्त, <math>I</math> [[ गणनीय सेट ]] होने के लिए हमेशा चुना जा सकता है यदि <math>X</math> एक है {{em|[[separable space]]}}, जिसका परिभाषा के अनुसार मतलब है <math>X</math> कुछ गणनीय घने सेट शामिल हैं।
-एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट स्थान [[उत्पाद स्थान]] के लिए [[होमोमोर्फिज्म]] है <math display=inline>\prod_{i \in \N} \R</math> की अनगिनत प्रतियाँ <math>\R</math> (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय नक्शा नहीं होना चाहिए)।<ref>{{harvnb|Bessaga|Pełczyński|1975|p=189}}</ref> चूँकि प्रत्येक बनच स्थान एक फ्रेचेट स्थान है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बनच स्थानों के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट स्थान L2-अंतरिक्ष भी शामिल है।<math>\ell</math><sup>2</sup> अनुक्रम स्थान <math>\ell^2(\N)</math> अपने सामान्य मानदंड के साथ <math>\|\cdot\|_2,</math> जहां (परिमित-आयामी रिक्त स्थान के विपरीत) <math>\ell^2(\N)</math> इसकी इकाई क्षेत्र|इकाई के लिए होमोमोर्फिज्म भी है {{em|sphere}} <math>\left\{x \in \ell^2(\N) : \|x\|_2 = 1\right\}.</math>
-एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है <math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> जिसका उत्तल पतवार <math>\operatorname{co}(S)</math> है {{em|not}} बंद और इस प्रकार भी {{em|not}} कॉम्पैक्ट (यह फुटनोट देखें<ref group=note name=ExampleCompactButHullIsNotCompact>Let <math>H</math> be the separable [[Hilbert space]] [[Lp space|<math>\ell^2(\N)</math>]] of square-summable sequences with the usual norm <math>\|\cdot\|_2</math> and let <math>e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)</math> be the standard [[orthonormal basis]] (that is <math>1</math> at the <math>n^{\text{th}}</math>-coordinate). The closed set <math>S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}</math> is compact (because it is [[Sequentially compact space|sequentially compact]]) but its convex hull <math>\operatorname{co} S</math> is {{em|not}} a closed set because <math>h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n</math> belongs to the closure of <math>\operatorname{co} S</math> in <math>H</math> but <math>h \not\in\operatorname{co} S</math> (since every sequence <math>\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S</math> is a finite [[convex combination]] of elements of <math>S</math> and so <math>z_n = 0</math> for all but finitely many coordinates, which is not true of <math>h</math>). However, like in all [[Complete topological vector space|complete]] Hausdorff locally convex spaces, the {{em|closed}} convex hull <math>K := \overline{\operatorname{co}} S</math> of this compact subset is compact. The vector subspace <math>X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}</math> is a [[pre-Hilbert space]] when endowed with the substructure that the Hilbert space <math>H</math> induces on it but <math>X</math> is not complete and <math>h \not\in C := K \cap X</math> (since <math>h \not\in X</math>). The closed convex hull of <math>S</math> in <math>X</math> (here, "closed" means with respect to <math>X,</math> and not to <math>H</math> as before) is equal to <math>K \cap X,</math> which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might {{em|fail}} to be compact (although it will be [[Totally bounded space|precompact/totally bounded]]).</ref> एक उदाहरण के लिए)।{{sfn|Aliprantis|Border|2006|p=185}}
-हालाँकि, सभी बनच स्थानों की तरह, बंद उत्तल हल |{{em|closed}} उन्नतोत्तर पेटा <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> इसका (और हर दूसरा) कॉम्पैक्ट सबसेट कॉम्पैक्ट होगा।{{sfn|Trèves|2006|p=145}} लेकिन अगर एक मानक स्थान पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से होता है {{em|not}} ने गारंटी दी <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> जब भी कॉम्पैक्ट होगा <math>S</math> है; एक उदाहरण<ref group=note name=ExampleCompactButHullIsNotCompact />के [[पूर्व-हिल्बर्ट अंतरिक्ष]]|प्री-हिल्बर्ट वेक्टर सबस्पेस में भी पाया जा सकता है <math>\ell^2(\N).</math>
-यह आदर्श-प्रेरित टोपोलॉजी भी बनाती है <math>\left(X, \tau_d\right)</math> एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न एक वेक्टर स्पेस है जो अतिरिक्त और स्केलर गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि TVS <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है {{em|only}} एक निश्चित प्रकार की टोपोलॉजी के साथ एक सदिश स्थान; यानी जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े {{em|any}} विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों भुलक्कड़ हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी खुली गेंदों का सेट मूल रूप से उत्तल [[संतुलित सेट]] खुले सेट से मिलकर एक [[पड़ोस का आधार]] बनाता है। यह टीवीएस भी है {{em|[[Normable space|normable]]}}, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका टोपोलॉजी कुछ (संभवतः अज्ञात) नॉर्म (गणित) से प्रेरित है। नॉर्मेबल टीवीएस कोल्मोगोरोव की नॉर्मबिलिटी कसौटी हौसडॉर्फ है और एक बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) होने के कारण मूल के उत्तल सेट पड़ोस।
-पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर टोपोलॉजी की तुलना
+==== सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि ====
+यह मानक-प्रेरित सांस्थिति <math>\left(X, \tau_d\right)</math> को [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और अदिश गुणन के संक्रिया को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है केवल एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि है; अर्थात जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े कोई भी विशेष मानक या मीट्रिक (जिनमें से दोनों विस्मृत हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी विवृत गेंदों का समुच्चय मूल रूप से उत्तल [[संतुलित सेट|संतुलित समुच्चय]] विवृत समुच्चय से मिलकर [[पड़ोस का आधार|प्रतिवेश का आधार]] बनाता है। यह टीवीएस भी मानकीय है, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) मानक (गणित) से प्रेरित है। मानकीय टीवीएस को हॉसडॉर्फ होने और मूल के एक घिरे हुए उत्तल प्रतिवेश के रूप में चित्रित किया गया है।
-[[ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)]] का तात्पर्य है कि यदि <math>\tau \text{ and } \tau_2</math> टोपोलॉजी चालू हैं <math>X</math> जो दोनों बनाते हैं <math>(X, \tau)</math> और <math>\left(X, \tau_2\right)</math> [[एफ-स्पेस]] में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट स्पेस) और यदि एक टोपोलॉजी दूसरे की तुलना में [[टोपोलॉजी की तुलना]] है तो उन्हें समान होना चाहिए (अर्थात, यदि <math>\tau \subseteq \tau_2 \text{ or } \tau_2 \subseteq \tau \text{ then } \tau = \tau_2</math>).{{sfn|Trèves|2006|pp=166–173}}
+==== पूर्ण मेट्रिजेबल (दूरीकनीय) वेक्टर सांस्थिति की तुलना ====
-तो उदाहरण के लिए, अगर <math>(X, p) \text{ and } (X, q)</math> टोपोलॉजी के साथ बनच स्थान हैं <math>\tau_p \text{ and } \tau_q</math> और यदि इन स्थानों में से एक में कुछ खुली गेंद है जो कि अन्य स्थान का भी एक खुला उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक <math>p : \left(X, \tau_q\right) \to \R</math> या <math>q : \left(X, \tau_p\right) \to \R</math> निरंतर है) तो उनकी टोपोलॉजी समान हैं और उनके [[समतुल्य मानदंड]] हैं।
+[[ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)|विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)]] का तात्पर्य है कि यदि <math>\tau \text{ and } \tau_2</math> सांस्थिति <math>X</math> है जो <math>(X, \tau)</math> और <math>\left(X, \tau_2\right)</math> दोनों बनाते हैं। पूर्ण मेट्रिजेबल TVS में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट समष्टि) और यदि एक सांस्थिति दूसरे की तुलना में [[टोपोलॉजी की तुलना|सांस्थिति की तुलना]] है तो उन्हें (अर्थात, यदि <math>\tau \subseteq \tau_2 \text{ or } \tau_2 \subseteq \tau \text{ then } \tau = \tau_2</math>) समान होना चाहिए।{{sfn|Trèves|2006|pp=166–173}} तो उदाहरण के लिए, यदि <math>(X, p) \text{ and } (X, q)</math> सांस्थिति के साथ <math>\tau_p \text{ and } \tau_q</math> बानाच समष्टि हैं यदि इन समष्टि में से एक में कुछ विवृत गोले है जो कि अन्य समष्टि का भी विवृत उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक <math>p : \left(X, \tau_q\right) \to \R</math> या <math>q : \left(X, \tau_p\right) \to \R</math> नियतांक है) तो उनकी सांस्थिति समान हैं और उनके [[समतुल्य मानदंड|समतुल्य मानक]] हैं।
 === पूर्णता ===
-पूर्ण मानदंड और समकक्ष मानदंड
+==== पूर्ण मानक और समकक्ष मानक ====
+दो मानक, <math>p</math> और <math>q,</math> सदिश समष्टि पर मानक (गणित) समतुल्य मानक कहा जाता है यदि वे एक ही सांस्थिति प्रेरित करते हैं;<ref name="Conrad Equiv norms">{{cite web|url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|title=मानदंडों की समानता|last=Conrad|first=Keith|website=kconrad.math.uconn.edu|access-date=September 7, 2020}}</ref> ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब धनात्मक वास्तविक संख्याएं <math>c, C > 0</math> जैसे कि <math display="inline">c q(x) \leq p(x) \leq C q(x)</math> सभी के लिए <math> x \in X</math> सम्मिलित हों यदि <math>p</math> और <math>q</math> वेक्टर <math>X</math> समष्टि पर दो समान मानक हैं तब <math>(X, p)</math> एक बानाच समष्टि है यदि और केवल यदि <math>(X, q)</math> एक बानाच समष्टि है। इस फ़ुटनोट को बानाच समष्टि पर एक सतत मानक के उदाहरण के लिए देखें जो उस बानाच समष्टि के दिए गए NOT मानक के बराबर है।<ref group="note">Let <math>\left(C([0, 1]), \|\cdot\|_{\infty}\right)</math> denote the [[Continuous functions on a compact Hausdorff space|Banach space of continuous functions]] with the supremum norm and let <math>\tau_{\infty}</math> denote the topology on <math>C([0, 1])</math> induced by <math>\|\cdot\|_{\infty}.</math> The vector space <math>C([0, 1])</math> can be identified (via the [[inclusion map]]) as a proper [[Dense set|dense]] vector subspace <math>X</math> of the [[Lp-space|<math>L^1</math> space]] <math>\left(L^1([0, 1]), \|\cdot\|_1\right),</math> which satisfies <math>\|f\|_1 \leq \|f\|_{\infty}</math> for all <math>f \in X.</math> Let <math>p</math> denote the restriction of the [[Lp space|L<sup>1</sup>-norm]] to <math>X,</math> which makes this map <math>p : X \to \R</math> a norm on <math>X</math> (in general, the restriction of any norm to any vector subspace will necessarily again be a norm). The normed space <math>(X, p)</math> is {{em|not}} a Banach space since its completion is the proper superset <math>\left(L^1([0, 1]), \|\cdot\|_1\right).</math> Because <math>p \leq \|\cdot\|_{\infty}</math> holds on <math>X,</math> the map <math>p : \left(X, \tau_{\infty}\right) \to \R</math> is continuous. Despite this, the norm <math>p</math> is {{em|not}} equivalent to the norm <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> (because <math>\left(X, \|\cdot\|_{\infty}\right)</math> is complete but <math>(X, p)</math> is not).</ref><ref name="Conrad Equiv norms" /> परिमित-आयामी सदिश समष्टि पर सभी मानक समतुल्य हैं और प्रत्येक परिमित-आयामी मानक समष्टि एक बानाच समष्टि है।<ref>see Corollary&nbsp;1.4.18, p.&nbsp;32 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>
-दो मानदंड, <math>p</math> और <math>q,</math> सदिश स्थान पर मानक (गणित) # समतुल्य मानदंड कहा जाता है{{em|equivalent}} अगर वे एक ही टोपोलॉजी प्रेरित करते हैं;<ref name="Conrad Equiv norms">{{cite web|url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|title=मानदंडों की समानता|last=Conrad|first=Keith|website=kconrad.math.uconn.edu|access-date=September 7, 2020}}</ref> ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब धनात्मक वास्तविक संख्याएं मौजूद हों <math>c, C > 0</math> ऐसा है कि <math display=inline>c q(x) \leq p(x) \leq C q(x)</math> सभी के लिए <math> x \in X.</math> अगर <math>p</math> और <math>q</math> सदिश स्थान पर दो समान मानदंड हैं <math>X</math> तब <math>(X, p)</math> एक Banach स्थान है अगर और केवल अगर <math>(X, q)</math> एक बनच स्थान है।
+===== पूर्ण मानक बनाम पूर्ण मेट्रिक्स =====
-इस फ़ुटनोट को बानाच स्थान पर एक सतत मानदंड के उदाहरण के लिए देखें {{em|not}} उस बनच स्पेस के दिए गए मानदंड के बराबर।<ref group=note>Let <math>\left(C([0, 1]), \|\cdot\|_{\infty}\right)</math> denote the [[Continuous functions on a compact Hausdorff space|Banach space of continuous functions]] with the supremum norm and let <math>\tau_{\infty}</math> denote the topology on <math>C([0, 1])</math> induced by <math>\|\cdot\|_{\infty}.</math> The vector space <math>C([0, 1])</math> can be identified (via the [[inclusion map]]) as a proper [[Dense set|dense]] vector subspace <math>X</math> of the [[Lp-space|<math>L^1</math> space]] <math>\left(L^1([0, 1]), \|\cdot\|_1\right),</math> which satisfies <math>\|f\|_1 \leq \|f\|_{\infty}</math> for all <math>f \in X.</math> Let <math>p</math> denote the restriction of the [[Lp space|L<sup>1</sup>-norm]] to <math>X,</math> which makes this map <math>p : X \to \R</math> a norm on <math>X</math> (in general, the restriction of any norm to any vector subspace will necessarily again be a norm). The normed space <math>(X, p)</math> is {{em|not}} a Banach space since its completion is the proper superset <math>\left(L^1([0, 1]), \|\cdot\|_1\right).</math> Because <math>p \leq \|\cdot\|_{\infty}</math> holds on <math>X,</math> the map <math>p : \left(X, \tau_{\infty}\right) \to \R</math> is continuous. Despite this, the norm <math>p</math> is {{em|not}} equivalent to the norm <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> (because <math>\left(X, \|\cdot\|_{\infty}\right)</math> is complete but <math>(X, p)</math> is not).</ref><ref name="Conrad Equiv norms"/>
+वेक्टर समष्टि पर <math>X</math> पर एक मीट्रिक <math>D</math>, <math>X</math> मानक से प्रेरित है यदि और केवल यदि <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group="note" name="translation invariant metric" /> और बिल्कुल सजातीय है जिसका अर्थ है कि <math>D(sx, sy) = |s| D(x, y)</math> सभी सदिश <math>s</math> और सभी <math>x, y \in X,</math> के लिए जिस स्थिति में फलन <math>\|x\| := D(x, 0)</math> पर मानक परिभाषित करता है <math>X</math> और प्रामाणिक मीट्रिक द्वारा प्रेरित <math>\|\cdot\|</math> के <math>D</math> बराबर है।
-परिमित-आयामी सदिश स्थान पर सभी मानदंड समतुल्य हैं और प्रत्येक परिमित-आयामी आदर्श स्थान एक बनच स्थान है।<ref>see Corollary&nbsp;1.4.18, p.&nbsp;32 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>
-पूर्ण मानदंड बनाम पूर्ण मेट्रिक्स
-एक मीट्रिक <math>D</math> एक वेक्टर स्थान पर <math>X</math> पर एक मानदंड से प्रेरित है <math>X</math> अगर और केवल अगर <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group=note name="translation invariant metric"/>और{{em|absolutely homogeneous}}, जिसका अर्थ है कि <math>D(sx, sy) = |s| D(x, y)</math> सभी स्केलर्स के लिए <math>s</math> और सभी <math>x, y \in X,</math> किस मामले में समारोह <math>\|x\| := D(x, 0)</math> पर मानदंड परिभाषित करता है <math>X</math> और विहित मीट्रिक द्वारा प्रेरित <math>\|\cdot\|</math> के बराबर है <math>D.</math>
+मान लीजिए कि <math>(X, \|\cdot\|)</math> मानक समष्टि है और <math>\tau</math> मानक सांस्थिति पर प्रेरित है मान लीजिए कि <math>D,</math> <math>X</math> मीट्रिक (गणित) पर <math>X</math> है जैसे कि सांस्थिति कि <math>D</math> को <math>X</math>पर प्रवृत्त करता है जो   <math>\tau</math> के बराबर है यदि <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group="note" name="translation invariant metric" /> तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बानाच समष्टि है यदि और केवल यदि <math>(X, D)</math> एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-66}} यदि <math>D</math>, {{em|not}} अनुवाद अपरिवर्तनीय है, तो इसके लिए संभव हो सकता है कि <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बानाच समष्टि होने के लिए लेकिन के लिए <math>(X, D)</math> को {{em|not}} एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि हो{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-51}} (उदाहरण के लिए यह फुटनोट देखें<ref group="note">The [[normed space]] <math>(\R,|\cdot |)</math> is a Banach space where the absolute value is a [[Norm (mathematics)|norm]] on the real line <math>\R</math> that induces the usual [[Euclidean topology]] on <math>\R.</math> Define a metric <math>D : \R \times \R \to \R</math> on <math>\R</math> by <math>D(x, y) =|\arctan(x) - \arctan(y)|</math> for all <math>x, y \in \R.</math> Just like {{nowrap|<math>|\cdot|</math>{{hsp}}'s}} induced metric, the metric <math>D</math> also induces the usual Euclidean topology on <math>\R.</math> However, <math>D</math> is not a complete metric because the sequence <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> defined by <math>x_i := i</math> is a [[Cauchy sequence|{{nowrap|<math>D</math>-Cauchy}} sequence]] but it does not converge to any point of <math>\R.</math> As a consequence of not converging, this {{nowrap|<math>D</math>-Cauchy}} sequence cannot be a Cauchy sequence in <math>(\R,|\cdot |)</math> (that is, it is not a Cauchy sequence with respect to the norm <math>|\cdot|</math>) because if it was {{nowrap|<math>|\cdot|</math>-Cauchy,}} then the fact that <math>(\R,|\cdot |)</math> is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).{{harvnb|Narici|Beckenstein|2011|pp=47–51}}</ref>)। इसके विपरीत, क्ले का एक प्रमेय,{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=35}}<ref name="Klee Inv metrics">{{Cite journal|last1=Klee|first1=V. L.|title=समूहों में अपरिवर्तनीय मेट्रिक्स (बानाच की समस्या का समाधान)|year=1952|journal=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=3|issue=3|pages=484–487|url=https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|doi=10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4|doi-access=free}}</ref><ref group="note">The statement of the theorem is: Let <math>d</math> be {{em|any}} metric on a vector space <math>X</math> such that the topology <math>\tau</math> induced by <math>d</math> on <math>X</math> makes <math>(X, \tau)</math> into a topological vector space. If <math>(X, d)</math> is a [[complete metric space]] then <math>(X, \tau)</math> is a [[complete topological vector space]].</ref> जो सभी [[मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|दूरीकनीय सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] पर भी प्रयुक्त होता है, इसका तात्पर्य है कि यदि <ref group="note">This metric <math>D</math> is {{em|not}} assumed to be translation-invariant. So in particular, this metric <math>D</math> does {{em|not}} even have to be induced by a norm.</ref> पूर्ण मीट्रिक <math>D</math> पर <math>X</math> सम्मिलित है जो मानक सांस्थिति <math>\tau</math> पर <math>X</math> को प्रेरित करता है तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> बानाच समष्टि है।
-लगता है कि <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक आदर्श स्थान है और वह <math>\tau</math> मानक टोपोलॉजी पर प्रेरित है <math>X.</math> लगता है कि <math>D</math> है {{em|any}} मीट्रिक (गणित) पर <math>X</math> ऐसा है कि टोपोलॉजी कि <math>D</math> प्रवृत्त करता है <math>X</math> के बराबर है <math>\tau.</math> अगर <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group=note name="translation invariant metric"/>तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक Banach स्थान है अगर और केवल अगर <math>(X, D)</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-66}}
-अगर <math>D</math> है {{em|not}} अनुवाद अपरिवर्तनीय, तो इसके लिए संभव हो सकता है <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बनच स्थान होने के लिए लेकिन के लिए <math>(X, D)</math> को {{em|not}} एक पूर्ण मीट्रिक स्थान हो{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-51}} (यह फुटनोट देखें<ref group=note>The [[normed space]] <math>(\R,|\cdot |)</math> is a Banach space where the absolute value is a [[Norm (mathematics)|norm]] on the real line <math>\R</math> that induces the usual [[Euclidean topology]] on <math>\R.</math> Define a metric <math>D : \R \times \R \to \R</math> on <math>\R</math> by <math>D(x, y) =|\arctan(x) - \arctan(y)|</math> for all <math>x, y \in \R.</math> Just like {{nowrap|<math>|\cdot|</math>{{hsp}}'s}} induced metric, the metric <math>D</math> also induces the usual Euclidean topology on <math>\R.</math> However, <math>D</math> is not a complete metric because the sequence <math>x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}</math> defined by <math>x_i := i</math> is a [[Cauchy sequence|{{nowrap|<math>D</math>-Cauchy}} sequence]] but it does not converge to any point of <math>\R.</math> As a consequence of not converging, this {{nowrap|<math>D</math>-Cauchy}} sequence cannot be a Cauchy sequence in <math>(\R,|\cdot |)</math> (that is, it is not a Cauchy sequence with respect to the norm <math>|\cdot|</math>) because if it was {{nowrap|<math>|\cdot|</math>-Cauchy,}} then the fact that <math>(\R,|\cdot |)</math> is a Banach space would imply that it converges (a contradiction).{{harvnb|Narici|Beckenstein|2011|pp=47–51}}</ref> एक उदाहरण के लिए)। इसके विपरीत, क्ले का एक प्रमेय,{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=35}}<ref name="Klee Inv metrics">{{Cite journal|last1=Klee|first1=V. L.|title=समूहों में अपरिवर्तनीय मेट्रिक्स (बानाच की समस्या का समाधान)|year=1952|journal=Proc. Amer. Math. Soc.|volume=3|issue=3|pages=484–487|url=https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|doi=10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4|doi-access=free}}</ref><ref group=note>The statement of the theorem is: Let <math>d</math> be {{em|any}} metric on a vector space <math>X</math> such that the topology <math>\tau</math> induced by <math>d</math> on <math>X</math> makes <math>(X, \tau)</math> into a topological vector space. If <math>(X, d)</math> is a [[complete metric space]] then <math>(X, \tau)</math> is a [[complete topological vector space]].</ref> जो सभी [[मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] पर भी लागू होता है, इसका तात्पर्य है कि अगर मौजूद है {{em|any}}<ref group=note>This metric <math>D</math> is {{em|not}} assumed to be translation-invariant. So in particular, this metric <math>D</math> does {{em|not}} even have to be induced by a norm.</ref> पूर्ण मीट्रिक <math>D</math> पर <math>X</math> जो आदर्श टोपोलॉजी को प्रेरित करता है <math>\tau</math> पर <math>X,</math> तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बनच स्थान है।
-एक फ्रेचेट स्पेस स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है जिसका टोपोलॉजी कुछ ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है।
+एक फ्रेचेट समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है जिसका सांस्थिति कुछ अनुवाद अपरिवर्तनीय पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है। प्रत्येक बानाच समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है लेकिन इसके विपरीत नहीं; वास्तव में, वहाँ भी फ्रेचेट समष्टि सम्मिलित हैं, जिस पर कोई मानक एक सतत फलन नहीं है (जैसे कि [[वास्तविक अनुक्रमों का स्थान|वास्तविक अनुक्रमों का समष्टि]] <math display="inline">\R^{\N} = \prod_{i \in \N} \R</math> [[उत्पाद टोपोलॉजी|गुणनफल सांस्थिति]] के साथ)। हालांकि, प्रत्येक फ्रेचेट समष्टि की सांस्थिति वास्तविक-मूल्यवान (आवश्यक रूप से निरंतर) प्रतिचित्रों के कुछ गणनीय समुच्चय वर्ग से प्रेरित होती है, जिन्हें [[सेमिनोर्म|अर्ध-मानक]] कहा जाता है, जो मानक (गणित) के सामान्यीकरण हैं। एक फ्रेचेट समष्टि के लिए एक सांस्थिति होना भी संभव है जो मानक गणनीय वर्ग द्वारा प्रेरित है (ऐसे मानक आवश्यक रूप से नियत होंगे)<ref group="note" name="CharacterizationOfContinuityOfANorm">A norm (or [[seminorm]]) <math>p</math> on a topological vector space <math>(X, \tau)</math> is continuous if and only if the topology <math>\tau_p</math> that <math>p</math> induces on <math>X</math> is [[Comparison of topologies|coarser]] than <math>\tau</math> (meaning, <math>\tau_p \subseteq \tau</math>), which happens if and only if there exists some open ball <math>B</math> in <math>(X, p)</math> (such as maybe <math>\{x \in X : p(x) < 1\}</math> for example) that is open in <math>(X, \tau).</math></ref>{{sfn|Trèves|2006|pp=57–69}} लेकिन एक बानाच / [[सामान्य स्थान|सामान्य समष्टि]] NOT होने के कारण इसकी सांस्थिति को किसी एकल मानक के द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। ऐसी समष्टि का एक उदाहरण फ्रेचेट समष्टि <math>C^{\infty}(K)</math> है जिसकी परिभाषा लेख में परीक्षण फलनों और वितरण के रिक्त समष्टि पर पाई जा सकती है।
-हर बनच स्पेस एक फ्रेचेट स्पेस है लेकिन इसके विपरीत नहीं; वास्तव में, वहाँ भी फ्रेचेट स्थान मौजूद हैं, जिस पर कोई मानदंड एक सतत कार्य नहीं है (जैसे कि [[वास्तविक अनुक्रमों का स्थान]] <math display=inline>\R^{\N} = \prod_{i \in \N} \R</math> [[उत्पाद टोपोलॉजी]] के साथ)।
-हालांकि, हर फ्रेचेट स्पेस की टोपोलॉजी वास्तविक-मूल्यवान (आवश्यक रूप से निरंतर) नक्शों के कुछ काउंटेबल सेट परिवार से प्रेरित होती है, जिन्हें [[सेमिनोर्म]] कहा जाता है, जो नॉर्म (गणित) के सामान्यीकरण हैं।
-एक फ्रेचेट स्पेस के लिए एक टोपोलॉजी होना भी संभव है जो एक गणनीय परिवार द्वारा प्रेरित है {{em|norms}} (ऐसे मानदंड आवश्यक रूप से निरंतर होंगे)<ref group=note name=CharacterizationOfContinuityOfANorm>A norm (or [[seminorm]]) <math>p</math> on a topological vector space <math>(X, \tau)</math> is continuous if and only if the topology <math>\tau_p</math> that <math>p</math> induces on <math>X</math> is [[Comparison of topologies|coarser]] than <math>\tau</math> (meaning, <math>\tau_p \subseteq \tau</math>), which happens if and only if there exists some open ball <math>B</math> in <math>(X, p)</math> (such as maybe <math>\{x \in X : p(x) < 1\}</math> for example) that is open in <math>(X, \tau).</math></ref>{{sfn|Trèves|2006|pp=57–69}}
-लेकिन एक बनच / [[सामान्य स्थान]] नहीं होने के कारण इसकी टोपोलॉजी को किसी के द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है {{em|single}} मानदंड।
-ऐसी जगह का एक उदाहरण फ्रेचेट स्पेस है <math>C^{\infty}(K),</math> जिसकी परिभाषा लेख में परीक्षण कार्यों और वितरण के रिक्त स्थान पर पाई जा सकती है।
-पूर्ण मानदंड बनाम [[पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]]
+==== पूर्ण मानक बनाम पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि ====
+मीट्रिक पूर्णता के अतिरिक्त पूर्णता की अन्य धारणा है और वह एक पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि (टीवीएस) या टीवीएस-पूर्णता की धारणा है, जो समान समष्टि के सिद्धांत का उपयोग करती है। विशेष रूप से, टीवीएस-पूर्णता की धारणा एक अद्वितीय अनुवाद-अपरिवर्तनीय [[एकरूपता (टोपोलॉजी)|एकरूपता (सांस्थिति)]] का उपयोग करती है, जिसे पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि प्रामाणिक एकरूपता कहा जाता है, जो निर्भर करता है जो केवल वेक्टर घटाव और सांस्थिति पर <math>\tau</math> सदिश समष्टि के साथ संपन्न है, और इसलिए विशेष रूप से, टीवीएस पूर्णता की यह धारणा सांस्थिति को प्रेरित करने वाले किसी भी मानक <math>\tau</math> से स्वतंत्र है (और यहां तक कि टीवीएस पर भी {{em|not}} प्रयुक्त होता है जो कि दूरीकनीय पर नहीं है)। प्रत्येक बानाच समष्टि एक संपूर्ण टीवीएस है। इसके अतिरिक्त, एक मानक समष्टि एक बानाच समष्टि है (अर्थात, इसका मानक-प्रेरित मीट्रिक पूर्ण है) यदि और केवल यदि यह एक सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि के रूप में पूर्ण है। यदि <math>(X, \tau)</math> एक दूरीकनीय सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है (जैसे कि कोई मानक प्रेरित सांस्थिति, उदाहरण के लिए), फिर <math>(X, \tau)</math> एक पूर्ण TVS है यदि और केवल यदि यह क्रमिक रूप से पूर्ण टीवीएस, जिसका अर्थ है कि यह यह जाँचने के लिए पर्याप्त है कि <math>(X, \tau)</math> में प्रत्येक कॉची अनुक्रम <math>(X, \tau)</math> में <math>X</math> के किसी बिंदु पर अभिसरण करता है (अर्थात्, एकपक्षीय कॉची [[नेट (गणित)|मान (गणित)]] की अधिक सामान्य धारणा पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)।
-मीट्रिक पूर्णता के अलावा पूर्णता की एक और धारणा है और वह एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) या टीवीएस-पूर्णता की धारणा है, जो समान स्थान के सिद्धांत का उपयोग करती है।
+यदि <math>(X, \tau)</math> एक सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है जिसकी कुछ (संभवत: अज्ञात) मानक सांस्थिति प्रेरित होती है (ऐसे मानकनीय समष्टि कहलाते हैं), तब <math>(X, \tau)</math> एक पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है यदि और केवल यदि <math>X</math> एक मानक सौंपा जा सकता है (गणित) <math>\|\cdot\|</math> जो <math>X</math> पर सांस्थिति <math>\tau</math> प्रेरित करता है और एक बानाच समष्टि में <math>(X, \|\cdot\|)</math> बनाता भी है। हॉउसडॉर्फ समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि <math>X</math> सामान्य समष्टि है यदि और केवल यदि इसकी [[मजबूत दोहरी जगह|प्रबल द्विक समष्टि]] <math>X^{\prime}_b</math> सामान्य है,{{sfn|Trèves|2006|p=201}} जिस स्थिति में <math>X^{\prime}_b</math> एक बानाच समष्टि है (<math>X^{\prime}_b</math> के <math>X</math> प्रबल द्विक समष्टि को दर्शाता है जिसका सांस्थिति निरंतर द्विक समष्टि पर द्विक मानक-प्रेरित सांस्थिति <math>X^{\prime}</math> का सामान्यीकरण है; अधिक जानकारी के लिए यह फुटनोट देखें<ref group="note"><math>X^{\prime}</math> denotes the [[continuous dual space]] of <math>X.</math> When <math>X^{\prime}</math> is endowed with the [[Strong topology (polar topology)|strong dual space topology]], also called the [[topology of uniform convergence]] on [[Bounded set (functional analysis)|bounded subsets]] of <math>X,</math> then this is indicated by writing <math>X^{\prime}_b</math> (sometimes, the subscript <math>\beta</math> is used instead of <math>b</math>). When <math>X</math> is a normed space with norm <math>\|\cdot\|</math> then this topology is equal to the topology on <math>X^{\prime}</math> induced by the [[dual norm]]. In this way, the [[Strong topology (polar topology)|strong topology]] is a generalization of the usual dual norm-induced topology on <math>X^{\prime}.</math></ref>)। यदि <math>X</math> स्थानीय रूप से उत्तल TVS, तब एक दूरीकनीय सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि <math>X</math> सामान्य है यदि और केवल यदि <math>X^{\prime}_b</math> एक फ्रेचेट-उरीसोहन समष्टि है।<ref name="Gabriyelyan 2014">Gabriyelyan, S.S. [https://arxiv.org/pdf/1412.1497.pdf "On topological spaces and topological groups with certain local countable networks] (2014)</ref> इससे पता चलता है कि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि की श्रेणी में, बानाच समष्टि वास्तव में वे पूर्ण समष्टि हैं जो मेट्रिज़ेबल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि दोनों हैं और मेट्रिज़ेबल प्रबल द्विक रिक्त समष्टि हैं।
-विशेष रूप से, टीवीएस-पूर्णता की धारणा एक अद्वितीय अनुवाद-अपरिवर्तनीय [[एकरूपता (टोपोलॉजी)]] का उपयोग करती है, जिसे पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस#कैनोनिकल एकरूपता कहा जाता है, जो निर्भर करता है {{em|only}} वेक्टर घटाव और टोपोलॉजी पर <math>\tau</math> सदिश स्थान के साथ संपन्न है, और इसलिए विशेष रूप से, टीवीएस पूर्णता की यह धारणा टोपोलॉजी को प्रेरित करने वाले किसी भी मानक से स्वतंत्र है <math>\tau</math> (और यहां तक कि टीवीएस पर भी लागू होता है {{em|not}} यहां तक कि मेट्रिजेबल)।
-हर बनच स्पेस एक संपूर्ण टीवीएस है। इसके अलावा, एक आदर्श स्थान एक बनच स्थान है (अर्थात, इसका मानक-प्रेरित मीट्रिक पूर्ण है) अगर और केवल अगर यह एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के रूप में पूर्ण है।
-अगर <math>(X, \tau)</math> एक मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है (जैसे कि कोई मानक प्रेरित टोपोलॉजी, उदाहरण के लिए), फिर <math>(X, \tau)</math> एक पूर्ण TVS है यदि और केवल यदि यह a {{em|sequentially}} पूर्ण टीवीएस, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्येक कॉची की जाँच करने के लिए पर्याप्त है {{em|sequence}} में <math>(X, \tau)</math> में विलीन हो जाता है <math>(X, \tau)</math> किसी बिंदु पर <math>X</math> (अर्थात्, मनमानी कॉची [[नेट (गणित)]] की अधिक सामान्य धारणा पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)।
-अगर <math>(X, \tau)</math> एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है जिसकी टोपोलॉजी प्रेरित होती है {{em|some}} (संभवत: अज्ञात) मानदंड (ऐसे रिक्त स्थान कहलाते हैं {{em|[[Normable space|normable]]}}), तब <math>(X, \tau)</math> एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है अगर और केवल अगर <math>X</math> एक मानदंड सौंपा जा सकता है (गणित) <math>\|\cdot\|</math> जो प्रेरित करता है <math>X</math> टोपोलॉजी <math>\tau</math> और बनाता भी है <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक बनच अंतरिक्ष में।
-हॉउसडॉर्फ स्पेस स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस <math>X</math> सामान्य स्थान है अगर और केवल अगर इसकी [[मजबूत दोहरी जगह]] <math>X^{\prime}_b</math> सामान्य है,{{sfn|Trèves|2006|p=201}} किस स्थिति में <math>X^{\prime}_b</math> एक बनच स्थान है (<math>X^{\prime}_b</math> के मजबूत दोहरे स्थान को दर्शाता है <math>X,</math> जिसका टोपोलॉजी निरंतर दोहरे स्थान पर दोहरे मानक-प्रेरित टोपोलॉजी का सामान्यीकरण है <math>X^{\prime}</math>; यह फुटनोट देखें<ref group=note><math>X^{\prime}</math> denotes the [[continuous dual space]] of <math>X.</math> When <math>X^{\prime}</math> is endowed with the [[Strong topology (polar topology)|strong dual space topology]], also called the [[topology of uniform convergence]] on [[Bounded set (functional analysis)|bounded subsets]] of <math>X,</math> then this is indicated by writing <math>X^{\prime}_b</math> (sometimes, the subscript <math>\beta</math> is used instead of <math>b</math>). When <math>X</math> is a normed space with norm <math>\|\cdot\|</math> then this topology is equal to the topology on <math>X^{\prime}</math> induced by the [[dual norm]]. In this way, the [[Strong topology (polar topology)|strong topology]] is a generalization of the usual dual norm-induced topology on <math>X^{\prime}.</math></ref> अधिक जानकारी के लिए)।
-अगर <math>X</math> स्थानीय रूप से उत्तल TVS, तब एक मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है <math>X</math> सामान्य है अगर और केवल अगर <math>X^{\prime}_b</math> एक फ्रेचेट-उरीसोहन स्थान है।<ref name="Gabriyelyan 2014">Gabriyelyan, S.S. [https://arxiv.org/pdf/1412.1497.pdf "On topological spaces and topological groups with certain local countable networks] (2014)</ref> इससे पता चलता है कि स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस की श्रेणी में, बानाच रिक्त स्थान वास्तव में वे पूर्ण स्थान हैं जो मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस दोनों हैं और मेट्रिज़ेबल मजबूत दोहरी रिक्त स्थान हैं।
 ==== समापन ====
-प्रत्येक आदर्श स्थान [[आइसोमेट्री]] के सघन वेक्टर उप-स्थान में सन्निहित हो सकता है {{em|some}} बनच स्पेस, जहां इस बैनच स्पेस को कंप्लीशन (मीट्रिक स्पेस) कहा जाता है{{em|completion}} मानदंड स्थान का। यह हॉसडॉर्फ समापन आइसोमेट्री आइसोमोर्फिज्म तक अद्वितीय है।
+प्रत्येक मानक समष्टि को कुछ बनच समष्टि के सघन सदिश उप-समष्टि पर सममितीय रूप से अंत:स्थापित किया जा सकता है, जहाँ इस बनच समष्टि को मानक समष्टि का पूरा होना कहा जाता है। यह हॉसडॉर्फ समापन सममितीय समाकृतिकता तक अद्वितीय है।
-अधिक सटीक रूप से, प्रत्येक मानक स्थान के लिए <math>X,</math> वहाँ एक Banach स्थान मौजूद है <math>Y</math> और एक मानचित्रण <math>T : X \to Y</math> ऐसा है कि <math>T</math> एक आइसोमेट्री है और <math>T(X)</math> में घना है <math>Y.</math> अगर <math>Z</math> एक और बनच स्पेस है जैसे कि एक आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म है <math>X</math> के सघन उपसमुच्चय पर <math>Z,</math> तब <math>Z</math> isometrically isomorphic है <math>Y.</math>
+अधिक परिशुद्ध रूप से, प्रत्येक मानक समष्टि <math>X</math> के लिए जहाँ <math>Y</math> और एक मानचित्रण <math>T : X \to Y</math> एक बानाच समष्टि सम्मिलित है जैसे कि <math>T</math> एक सममितीय है और <math>T(X)</math> में सघन <math>Y</math> है यदि <math>Z</math> और बानाच समष्टि है जैसे कि एक <math>X</math> सममितीय समाकृतिकता के सघन उपसमुच्चय पर <math>Z</math> है, तब <math>Z</math> सममितीय रूप से समाकृतिक <math>Y</math> है, यह बानाच समष्टि <math>Y</math> हौसडॉर्फ पूर्ण मेट्रिक मानक समष्टि का <math>X</math> के लिए अंतर्निहित मीट्रिक समष्टि <math>Y</math> की मीट्रिक पूर्णता <math>X</math> से विस्तारित वेक्टर समष्टि संक्रिया के साथ <math>X</math> और <math>Y</math> के समान है मान लीजिए <math>X</math> कभी-कभी <math>\widehat{X}</math> द्वारा दर्शाया जाता है।
-यह बनच स्थान <math>Y</math> हौसडॉर्फ कम्प्लीट मेट्रिक स्पेस#कंप्लीशन| है{{em|completion}} मानदंड स्थान का <math>X.</math> के लिए अंतर्निहित मीट्रिक स्थान <math>Y</math> की मीट्रिक पूर्णता के समान है <math>X,</math> से विस्तारित वेक्टर अंतरिक्ष संचालन के साथ <math>X</math> को <math>Y.</math> का पूरा होना <math>X</math> कभी-कभी द्वारा दर्शाया जाता है <math>\widehat{X}.</math>
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 === रैखिक संकारक, समरूपता ===
-<!-- This section is linked from [[Operator]] -->
-{{main|Bounded operator}}
+{{main|परिबद्ध संक्रिया}}
-अगर <math>X</math> और <math>Y</math> एक ही जमीनी क्षेत्र में मानक स्थान हैं <math>\mathbb{K},</math> सभी सतत कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक परिवर्तन का सेट<math>\mathbb{K}</math>-रैखिक नक्शे <math>T : X \to Y</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>B(X, Y).</math> अनंत-आयामी स्थानों में, सभी रेखीय मानचित्र निरंतर नहीं होते हैं। एक आदर्श स्थान से एक रेखीय मानचित्रण <math>X</math> किसी अन्य नॉर्म्ड स्पेस के लिए निरंतर है अगर और केवल अगर यह बंद [[ इकाई क्षेत्र ]] पर परिबद्ध ऑपरेटर है <math>X.</math> इस प्रकार, वेक्टर अंतरिक्ष <math>B(X, Y)</math> [[ऑपरेटर मानदंड]] दिया जा सकता है
+यदि <math>X</math> और <math>Y</math> एक ही जमीनी क्षेत्र में मानक समष्टि हैं <math>\mathbb{K},</math> सभी सतत फलन (सांस्थिति) रैखिक परिवर्तन का समुच्चय<math>\mathbb{K}</math>-रैखिक नक्शे <math>T : X \to Y</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>B(X, Y).</math> अनंत-आयामी समष्टि में, सभी रेखीय मानचित्र निरंतर नहीं होते हैं। एक मानक समष्टि से एक रेखीय मानचित्रण <math>X</math> किसी अन्य मानक समष्टि के लिए निरंतर है यदि और केवल यदि यह संवृत [[ इकाई क्षेत्र |इकाई क्षेत्र]] पर परिबद्ध ऑपरेटर है <math>X.</math> इस प्रकार, वेक्टर समष्टि <math>B(X, Y)</math> [[ऑपरेटर मानदंड|ऑपरेटर मानक]] दिया जा सकता है
 <math display=block>\|T\| = \sup \left\{\|Tx\|_Y \mid x\in X,\ \|x\|_X \leq 1 \right\}.</math>
-के लिए <math>Y</math> एक बनच स्थान, अंतरिक्ष <math>B(X, Y)</math> इस मानदंड के संबंध में एक बानाच स्थान है। स्पष्ट संदर्भों में, कभी-कभी [[होम स्पेस]] को दो बनच रिक्त स्थान के बीच केवल छोटे मानचित्रों तक सीमित करना सुविधाजनक होता है; उस स्थिति में अंतरिक्ष <math>B(X,Y)</math> एक प्राकृतिक द्विभाजक के रूप में फिर से प्रकट होता है।<ref name=Ban1Cat>{{cite web|website=Annoying Precision|title=Banach रिक्त स्थान (और Lawvere मेट्रिक्स, और बंद श्रेणियां)|date=June 23, 2012|author=Qiaochu Yuan|url=https://qchu.wordpress.com/2012/06/23/banach-spaces-and-lawvere-metrics-and-closed-categories/}}</ref>
+बानाच समष्टि <math>Y</math> के लिए, समष्टि <math>B(X, Y)</math> इस मानक के संबंध में एक बानाच समष्टि है। स्पष्ट संदर्भों में, कभी-कभी [[होम स्पेस|फलन समष्टि]] को दो बानाच रिक्त समष्टि के बीच केवल छोटे मानचित्रों तक सीमित करना सुविधाजनक होता है; उस स्थिति में समष्टि <math>B(X,Y)</math> एक प्राकृतिक द्विभाजक के रूप में फिर से प्रकट होता है।<ref name=Ban1Cat>{{cite web|website=Annoying Precision|title=Banach रिक्त स्थान (और Lawvere मेट्रिक्स, और बंद श्रेणियां)|date=June 23, 2012|author=Qiaochu Yuan|url=https://qchu.wordpress.com/2012/06/23/banach-spaces-and-lawvere-metrics-and-closed-categories/}}</ref>
-अगर <math>X</math> एक बनच स्थान है, अंतरिक्ष <math>B(X) = B(X, X)</math> एक इकाई [[बनच बीजगणित]] बनाता है; गुणन संक्रिया रेखीय नक्शों के संघटन द्वारा दी जाती है।
-अगर <math>X</math> और <math>Y</math> आदर्श स्थान हैं, यदि एक रेखीय आक्षेप मौजूद है तो वे समरूपी आदर्श स्थान हैं <math>T : X \to Y</math> ऐसा है कि <math>T</math> और इसका उलटा <math>T^{-1}</math> निरंतर हैं। यदि दो में से एक स्थान <math>X</math> या <math>Y</math> पूर्ण है (या प्रतिवर्त स्थान, [[वियोज्य स्थान]], आदि) तो अन्य स्थान भी है। दो आदर्श स्थान <math>X</math> और <math>Y</math> आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं यदि इसके अलावा, <math>T</math> एक आइसोमेट्री है, यानी <math>\|T(x)\| = \|x\|</math> हरएक के लिए <math>x</math> में <math>X.</math> बनच-मजूर दूरी <math>d(X, Y)</math> दो आइसोमॉर्फिक लेकिन आइसोमेट्रिक स्पेस के बीच नहीं <math>X</math> और <math>Y</math> माप देता है कि दो स्थान कितने हैं <math>X</math> और <math>Y</math> अलग होना।
+यदि <math>X</math> बानाच समष्टि है, समष्टि <math>B(X) = B(X, X)</math> एक इकाई [[बनच बीजगणित|बानाच बीजगणित]] बनाता है; गुणन संक्रिया रेखीय प्रतिचित्रों के संघटन द्वारा दी जाती है।
-====सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और सेमिनॉर्म्स ====
+यदि <math>X</math> और <math>Y</math> मानक समष्टि हैं, यदि एक रेखीय आक्षेप सम्मिलित है तो वे समरूपी मानक समष्टि <math>T : X \to Y</math> हैंज ैसे कि <math>T</math> और इसका प्रतिवर्त <math>T^{-1}</math> नियतांक हैं। यदि दो में से एक समष्टि <math>X</math> या <math>Y</math> पूर्ण है (या प्रतिवर्त समष्टि, [[वियोज्य स्थान|वियोज्य समष्टि]], आदि) तो अन्य समष्टि भी है। दो मानक समष्टि <math>X</math> और <math>Y</math> सममितीय रूप से समाकृतिकता हैं यदि इसके अतिरिक्त, <math>T</math> सममितीय है, अर्थात <math>\|T(x)\| = \|x\|</math> प्रत्येक के लिए <math>x</math> में <math>X</math> बानाच दूरी <math>d(X, Y)</math> दो समाकृतिकता लेकिन सममितीय समष्टि के बीच <math>X</math> और <math>Y</math> माप देता है कि दो समष्टि <math>X</math> और <math>Y</math> में कितना अंतर है।
-प्रत्येक निरंतर रैखिक संकारक एक परिबद्ध रैखिक संकारक होता है और यदि केवल आदर्श स्थानों के साथ व्यवहार किया जाता है तो इसका विलोम भी सत्य होता है। अर्थात्, दो आदर्श स्थानों के बीच एक रैखिक संकारक परिबद्ध रैखिक संकारक है यदि और केवल यदि यह एक सतत कार्य है। तो विशेष रूप से, क्योंकि अदिश क्षेत्र (जो है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) एक आदर्श स्थान है, एक मानक स्थान पर एक [[रैखिक कार्यात्मक]] एक [[परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक]] है यदि और केवल अगर यह एक सतत रैखिक कार्यात्मक है। यह निरंतरता से संबंधित परिणामों (जैसे नीचे दिए गए) को बनच स्थानों पर लागू करने की अनुमति देता है। यद्यपि सीमाबद्धता मानक स्थानों के बीच रैखिक मानचित्रों के लिए निरंतरता के समान है, मुख्य रूप से बनच रिक्त स्थान के साथ व्यवहार करते समय बाध्य शब्द का अधिक उपयोग किया जाता है।
-अगर <math>f : X \to \R</math> एक उप-योगात्मक कार्य है (जैसे कि एक आदर्श, एक उप-रैखिक कार्य, या वास्तविक रैखिक कार्यात्मक), फिर{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=192-193}} <math>f</math> [[एक बिंदु पर निरंतरता]] है अगर और केवल अगर <math>f</math> सभी पर [[समान रूप से निरंतर]] है <math>X</math>; और अगर इसके अलावा <math>f(0) = 0</math> तब <math>f</math> निरंतर है अगर और केवल अगर इसका पूर्ण मूल्य <math>|f| : X \to [0, \infty)</math> निरंतर है, जो होता है अगर और केवल अगर <math>\{x \in X : |f(x)| < 1\}</math> का खुला उपसमुच्चय है <math>X.</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=192-193}}<ref group=note>The fact that <math>\{x \in X : |f(x)| < 1\}</math> being open implies that <math>f : X \to \R</math> is continuous simplifies proving continuity because this means that it suffices to show that <math>\{x \in X : \left|f(x) - f\left(x_0\right)\right| < r\}</math> is open for <math>r := 1</math> and at <math>x_0 := 0</math> (where <math>f(0) = 0</math>) rather than showing this for {{em|all}} real <math>r > 0</math> and {{em|all}} <math>x_0 \in X.</math></ref> और हन-बनाक प्रमेय, एक रैखिक कार्यात्मक को लागू करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है <math>f</math> निरंतर है यदि और केवल यदि यह इसके [[वास्तविक भाग]] के लिए सत्य है <math>\operatorname{Re} f</math> और इसके अलावा, <math>\|\operatorname{Re} f\| = \|f\|</math> और एक रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग | वास्तविक भाग <math>\operatorname{Re} f</math> पूर्णतः निर्धारित करता है <math>f,</math> यही कारण है कि हैन-बनाक प्रमेय को अक्सर केवल वास्तविक रैखिक कार्यात्मकताओं के लिए ही कहा जाता है।
+====सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और अर्ध-मानक ====
-इसके अलावा, एक रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> पर <math>X</math> निरंतर है अगर और केवल अगर सेमिनॉर्म <math>|f|</math> निरंतर है, जो तभी होता है जब निरंतर सेमिनॉर्म मौजूद होता है <math>p : X \to \R</math> ऐसा है कि <math>|f| \leq p</math>; यह अंतिम कथन रैखिक कार्यात्मक को शामिल करता है <math>f</math> और सेमिनोर्म <math>p</math> हैन-बनाक प्रमेय के कई संस्करणों में इसका सामना करना पड़ता है।
+प्रत्येक निरंतर रैखिक संकारक एक परिबद्ध रैखिक संकारक होता है और यदि केवल मानक समष्टि के साथ व्यवहार किया जाता है तो इसका व्युत्क्रम भी सत्य होता है। अर्थात्, दो मानक समष्टि के बीच एक रैखिक संकारक परिबद्ध रैखिक संकारक है यदि और केवल यदि यह एक सतत फलन है। तो विशेष रूप से, क्योंकि अदिश क्षेत्र (जो है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) एक मानक समष्टि है, मानक समष्टि पर [[परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक]] है यदि और केवल यदि यह एक सतत रैखिक कार्यात्मक है। यह निरंतरता से संबंधित परिणामों (जैसे नीचे दिए गए) को बानाच समष्टि पर प्रयुक्त करने की स्वीकृति देता है। यद्यपि सीमाबद्धता मानक समष्टि के बीच रैखिक मानचित्रों के लिए निरंतरता के समान है, मुख्य रूप से बानाच रिक्त समष्टि के साथ व्यवहार करते समय बाध्य पदों का अधिक उपयोग किया जाता है।
-=== बुनियादी धारणाएं ===
+यदि <math>f : X \to \R</math> एक उप-योगात्मक फलन है (जैसे कि एक मानक, एक उप-रैखिक फलन, या वास्तविक रैखिक कार्यात्मक), तब{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=192-193}} <math>f</math> [[एक बिंदु पर निरंतरता]] है यदि और केवल यदि <math>f</math> सभी पर <math>X</math> [[समान रूप से निरंतर]] है; और यदि इसके अतिरिक्त <math>f(0) = 0</math> तब <math>f</math> निरंतर है यदि और केवल यदि इसका पूर्ण मूल्य <math>|f| : X \to [0, \infty)</math> निरंतर है, जो होता है यदि और केवल यदि <math>\{x \in X : |f(x)| < 1\}</math> का विवृत उपसमुच्चय<math>X</math> है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=192-193}}<ref group="note">The fact that <math>\{x \in X : |f(x)| < 1\}</math> being open implies that <math>f : X \to \R</math> is continuous simplifies proving continuity because this means that it suffices to show that <math>\{x \in X : \left|f(x) - f\left(x_0\right)\right| < r\}</math> is open for <math>r := 1</math> and at <math>x_0 := 0</math> (where <math>f(0) = 0</math>) rather than showing this for {{em|all}} real <math>r > 0</math> and {{em|all}} <math>x_0 \in X.</math></ref> और हन-बनाक प्रमेय, एक रैखिक कार्यात्मक को प्रयुक्त करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण <math>f</math> नियतांक है यदि और केवल यदि यह इसके [[वास्तविक भाग]] के लिए सत्य है और इसके अतिरिक्त, <math>\|\operatorname{Re} f\| = \|f\|</math> रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग <math>\operatorname{Re} f</math> पूर्णतः निर्धारित करता है यही कारण है कि हैन-बनाक प्रमेय को <math>f,</math> प्रायः केवल वास्तविक रैखिक कार्यात्मकताओं के लिए ही कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, एक रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> पर <math>X</math> नियत है यदि और केवल यदि अर्ध-मानक <math>|f|</math> निरंतर है, जो तभी होता है जब निरंतर अर्ध-मानक <math>p : X \to \R</math> सम्मिलित होता हैज ैसे कि <math>|f| \leq p</math>; यह अंतिम कथन रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> और अर्ध-मानक <math>p</math> को सम्मिलित करता है हैन-बनाक प्रमेय के कई संस्करणों में इसका सामना करना पड़ता है।
-कार्टेशियन उत्पाद <math>X \times Y</math> दो नॉर्म्ड रिक्त स्थान कैनोनिक रूप से एक मानदंड से सुसज्जित नहीं हैं। हालाँकि, कई समान मानदंड आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं,<ref>{{harvtxt|Banach|1932|p=182}}</ref> जैसे कि
+=== मूलभूत धारणाएं ===
+कार्तीय गुणनफल <math>X \times Y</math> दो मानक समष्टि प्रामाणिक रूप से एक मानक से सुसज्जित नहीं हैं। हालाँकि, कई समान मानक सामान्य रूप से उपयोग किए जाते हैं,<ref>{{harvtxt|Banach|1932|p=182}}</ref> जैसे कि
 <math display=block>\|(x, y)\|_1 = \|x\| + \|y\|, \qquad \|(x, y)\|_\infty = \max (\|x\|, \|y\|)</math>
-जो (क्रमशः) बानाच रिक्त स्थान और लघु मानचित्र (ऊपर चर्चा की गई) की श्रेणी में प्रतिउत्पाद और [[उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)]] के अनुरूप हैं।<ref name=Ban1Cat />  परिमित (सह) उत्पादों के लिए, ये मानदंड आइसोमॉर्फिक आदर्श स्थान और उत्पाद को जन्म देते हैं <math>X \times Y</math> (या प्रत्यक्ष योग <math>X \oplus Y</math>) पूर्ण है यदि और केवल यदि दो कारक पूर्ण हैं।
+जो (क्रमशः) बानाच समष्टि और लघु मानचित्र (ऊपर चर्चा की गई) की श्रेणी में प्रतिगुणनफल और [[उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)|गुणनफल (श्रेणी सिद्धांत)]] के अनुरूप हैं।<ref name=Ban1Cat /> परिमित (सह) गुणनफलों के लिए, ये मानक समाकृतिकता मानक समष्टि <math>X \times Y</math> (या प्रत्यक्ष योग <math>X \oplus Y</math>) और गुणनफल को उत्पन्न करते है जो पूर्ण है यदि और केवल यदि दो कारक पूर्ण हैं।
-अगर <math>M</math> एक आदर्श स्थान का एक बंद सेट रैखिक उपसमष्टि है <math>X,</math> भागफल स्थान पर एक प्राकृतिक मानदंड है <math>X / M,</math>
+यदि <math>M</math> मानक समष्टि का एक संवृत समुच्चय रैखिक उपसमष्टि <math>X</math> है, भागफल समष्टि पर एक प्राकृतिक मानक <math>X / M</math> है,
 <math display=block>\|x + M\| = \inf\limits_{m \in M} \|x + m\|.</math>
-भागफल <math>X / M</math> एक बनच स्थान है जब <math>X</math> तैयार है।<ref name="Caro17">see pp.&nbsp;17–19 in {{harvtxt|Carothers|2005}}.</ref> भागफल मानचित्र से <math>X</math> पर <math>X / M,</math> भेजना <math>x \in X</math> इसकी कक्षा के लिए <math>x + M,</math> रैखिक है, आच्छादक है और इसका मानक है <math>1,</math> सिवाय कब <math>M = X,</math> जिस स्थिति में भागफल रिक्त स्थान होता है।
+भागफल <math>X / M</math> एक बानाच समष्टि है जब <math>X</math> पूर्ण है।<ref name="Caro17">see pp.&nbsp;17–19 in {{harvtxt|Carothers|2005}}.</ref> भागफल मानचित्र से <math>X</math> पर <math>X / M,</math> देता है इसके वर्ग <math>x \in X</math> के लिए <math>x + M</math> रैखिक है, और आच्छादक है और इसका मानक <math>1</math> है इसके अतिरिक्त जब <math>M = X,</math> जिस स्थिति में भागफल रिक्त समष्टि होता है।
-बंद रैखिक उप-स्थान <math>M</math> का <math>X</math> की पूरक उपसमष्टि कहा जाता है <math>X</math> अगर <math>M</math> एक प्रक्षेपण परिबद्ध रैखिक [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] के [[एक समारोह की सीमा]] है <math>P : X \to M.</math> इस मामले में अंतरिक्ष <math>X</math> के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है <math>M</math> और <math>\ker P,</math> प्रक्षेपण की गिरी <math>P.</math>
+संवृत रैखिक उप-समष्टि <math>M</math> का <math>X</math> की पूरक उपसमष्टि कहा जाता है <math>X</math> यदि <math>M</math> एक प्रक्षेपण परिबद्ध रैखिक [[प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)]] <math>P : X \to M</math> के [[एक समारोह की सीमा|फलन की सीमा]] है इस स्थिति में समष्टि <math>X</math> के प्रत्यक्ष योग के लिए <math>M</math> और <math>\ker P,</math> प्रक्षेपण <math>P</math> समाकृतिकता है मान लीजिए कि <math>X</math> और <math>Y</math> बानाच समष्टि हैं और यह <math>T \in B(X, Y)</math> का एक प्रामाणिक गुणनखंड सम्मिलित है जैसे <math>T</math> <ref name="Caro17" />
-लगता है कि <math>X</math> और <math>Y</math> बनच स्थान हैं और वह <math>T \in B(X, Y).</math> का एक विहित गुणनखंड मौजूद है <math>T</math> जैसा<ref name="Caro17" />
 <math display=block>T = T_1 \circ \pi, \ \ \ T : X \ \overset{\pi}{\longrightarrow}\ X / ker(T) \ \overset{T_1}{\longrightarrow} \ Y</math>
-जहां पहला नक्शा <math>\pi</math> भागफल मानचित्र है, और दूसरा मानचित्र है <math>T_1</math> हर वर्ग भेजता है <math>x + \ker T</math> छवि के भागफल में <math>T(x)</math> में <math>Y.,</math> यह अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि एक ही वर्ग के सभी तत्वों की एक ही छवि होती है। मानचित्रण <math>T_1</math> से एक रैखिक आक्षेप है <math>X / \ker T</math> सीमा पर <math>T(X),</math> जिनके व्युत्क्रम को बाध्य करने की आवश्यकता नहीं है।
+जहां पहला मानचित्र <math>\pi</math> भागफल मानचित्र है, और दूसरा मानचित्र <math>T_1</math> है प्रत्येक वर्ग <math>x + \ker T</math> छवि के भागफल में <math>T(x)</math> में <math>Y</math> प्राप्त है, यह अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि एक ही वर्ग के सभी तत्वों की एक ही छवि होती है। मानचित्रण <math>T_1</math> से एक रैखिक <math>X / \ker T</math> सीमा पर <math>T(X)</math> आक्षेप है जिनके व्युत्क्रम को बाध्य करने की आवश्यकता नहीं है।
-=== शास्त्रीय स्थान ===
+=== उत्कृष्ट समष्टि ===
-बुनियादी उदाहरण<ref>see {{harvtxt|Banach|1932}}, pp.&nbsp;11-12.</ref> बानाच रिक्त स्थान में शामिल हैं: एलपी रिक्त स्थान <math>L^p</math> और उनके विशेष मामले, [[अनुक्रम स्थान (गणित)]] <math>\ell^p</math> जिसमें [[प्राकृतिक संख्या]]ओं द्वारा अनुक्रमित अदिश अनुक्रम शामिल हैं <math>\N</math>; उनमें से, अंतरिक्ष <math>\ell^1</math> निरपेक्ष अभिसरण अनुक्रम और स्थान <math>\ell^2</math> वर्ग योग्‍य अनुक्रम; अंतरिक्ष <math>c_0</math> शून्य और स्थान की ओर जाने वाले अनुक्रमों की <math>\ell^{\infty}</math> बंधे हुए अनुक्रमों की; अंतरिक्ष <math>C(K)</math> कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस पर निरंतर स्केलर फ़ंक्शंस <math>K,</math> अधिकतम मानदंड से लैस,
+मूलभूत उदाहरण<ref>see {{harvtxt|Banach|1932}}, pp.&nbsp;11-12.</ref> बानाच समष्टि में सम्मिलित हैं: एलपी रिक्त समष्टि <math>L^p</math> और उनके विशेष स्थिति <math>\ell^p</math> [[अनुक्रम स्थान (गणित)|अनुक्रम समष्टि (गणित)]] जिसमें [[प्राकृतिक संख्या]]ओं द्वारा अनुक्रमित अदिश अनुक्रम <math>\N</math> सम्मिलित हैं; उनमें से, समष्टि <math>\ell^1</math> निरपेक्ष अभिसरण अनुक्रम और समष्टि <math>\ell^2</math> वर्ग योग्‍य अनुक्रम; समष्टि <math>c_0</math> शून्य और समष्टि की ओर जाने वाले अनुक्रमों की <math>\ell^{\infty}</math> परिबद्ध अनुक्रमों की; समष्टि <math>C(K)</math> सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर नियत अदिश फलन <math>K,</math> अधिकतम मानक से कम,
 <math display=block>\|f\|_{C(K)} = \max \{ |f(x)| : x \in K \}, \quad f \in C(K).</math>
-बनच-मजूर प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बनच स्थान कुछ के एक उप-स्थान के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है। <math>C(K).</math><ref>see {{harvtxt|Banach|1932}}, Th.&nbsp;9 p.&nbsp;185.</ref> प्रत्येक वियोज्य बनच स्थान के लिए <math>X,</math> एक बंद उप-स्थान है <math>M</math> का <math>\ell^1</math> ऐसा है कि <math>X := \ell^1 / M.</math><ref>see Theorem&nbsp;6.1, p.&nbsp;55 in {{harvtxt|Carothers|2005}}</ref>
+बनच-मजूर प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बानाच समष्टि कुछ के एक उप-समष्टि के लिए सममितीय <math>C(K)</math> रूप से समाकृतिकता है।<ref>see {{harvtxt|Banach|1932}}, Th.&nbsp;9 p.&nbsp;185.</ref> प्रत्येक वियोज्य बानाच समष्टि <math>X</math> के लिए संवृत उप-समष्टि <math>M</math> का <math>\ell^1</math> है जैसे कि <math>X := \ell^1 / M.</math><ref>see Theorem&nbsp;6.1, p.&nbsp;55 in {{harvtxt|Carothers|2005}}</ref> कोई भी हिल्बर्ट समष्टि बानाच समष्टि के उदाहरण के रूप में फलन करता है। हिल्बर्ट समष्टि <math>H</math> पर <math>\mathbb{K} = \Reals, \Complex</math> प्रपत्र के एक मानक के लिए पूर्ण है
-कोई भी हिल्बर्ट स्पेस बनच स्पेस के उदाहरण के रूप में कार्य करता है। एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष <math>H</math> पर <math>\mathbb{K} = \Reals, \Complex</math> प्रपत्र के एक मानक के लिए पूर्ण है
 <math display=block>\|x\|_H = \sqrt{\langle x, x \rangle},</math>
-कहाँ
+जहाँ
 <math display=block>\langle \cdot, \cdot \rangle : H \times H \to \mathbb{K}</math>
-[[आंतरिक उत्पाद स्थान]] है, इसके पहले तर्क में रैखिक है जो निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
+[[आंतरिक उत्पाद स्थान|आंतरिक गुणनफल समष्टि]] है, इसके पहले तर्क में रैखिक है जो निम्नलिखित को पूरा करता है:
 <math display=block>\begin{align}
 \langle y, x \rangle &= \overline{\langle x, y \rangle}, \quad \text{ for all } x, y \in H \\
@@ Line 143: / Line 117: @@
 \langle x,x \rangle = 0 \text{ if and only if } x &= 0.
 \end{align}</math>
-उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष <math>L^2</math> एक हिल्बर्ट स्थान है।
+उदाहरण के लिए, समष्टि <math>L^2</math> एक हिल्बर्ट समष्टि है।
-[[हार्डी स्पेस]], [[सोबोलेव स्पेस]], बनच स्पेस के उदाहरण हैं जो इससे संबंधित हैं <math>L^p</math> रिक्त स्थान और अतिरिक्त संरचना है। वे विश्लेषण की विभिन्न शाखाओं, [[हार्मोनिक विश्लेषण]] और दूसरों के बीच आंशिक अंतर समीकरणों में महत्वपूर्ण हैं।
+[[हार्डी स्पेस|हार्डी समष्टि]], [[सोबोलेव स्पेस|सोबोलेव समष्टि]], बानाच समष्टि के उदाहरण हैं जो <math>L^p</math> इससे संबंधित हैं रिक्त समष्टि और अतिरिक्त संरचना है। वे विश्लेषण की विभिन्न शाखाओं, [[हार्मोनिक विश्लेषण]] और दूसरों के बीच आंशिक अंतर समीकरणों में महत्वपूर्ण हैं।
-===बनच बीजगणित ===
+===बानाच बीजगणित ===
-एक Banach बीजगणित एक Banach स्थान है <math>A</math> ऊपर <math>\mathbb{K} = \R</math> या <math>\Complex,</math> साथ में एक क्षेत्र के ऊपर बीजगणित की एक संरचना|बीजगणित खत्म <math>\mathbb{K}</math>, जैसे कि उत्पाद का नक्शा <math>A \times A \ni (a, b) \mapsto ab \in A</math> निरंतर है। एक समकक्ष मानदंड <math>A</math> पाया जा सकता है ताकि <math>\|ab\| \leq \|a\| \|b\|</math> सभी के लिए <math>a, b \in A.</math>
+बानाच बीजगणित <math>A</math> बानाच समष्टि है उपरोक्त <math>\mathbb{K} = \R</math> या <math>\Complex,</math> साथ में एक क्षेत्र के ऊपर बीजगणित की एक संरचना <math>\mathbb{K}</math>, जैसे कि गुणनफल का मानचित्र <math>A \times A \ni (a, b) \mapsto ab \in A</math> सतत है। एक समकक्ष मानक <math>A</math> पाया जा सकता है ताकि <math>\|ab\| \leq \|a\| \|b\|</math> सभी के लिए <math>a, b \in A.</math>
 ==== उदाहरण ====
-* द बनच स्पेस <math>C(K)</math> बिंदुवार गुणनफल के साथ, एक बैनाच बीजगणित है।
+* बानाच समष्टि <math>C(K)</math> बिंदुवार गुणनफल के साथ, बैनाच बीजगणित है।
-* [[डिस्क बीजगणित]] <math>A(\mathbf{D})</math> ओपन यूनिट डिस्क में [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] के कार्य होते हैं <math>D \subseteq \Complex</math> और इसके [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]] पर निरंतर: <math>\overline{\mathbf{D}}.</math> अधिकतम मानदंड से लैस <math>\overline{\mathbf{D}},</math> डिस्क बीजगणित <math>A(\mathbf{D})</math> का एक बंद सबलजेब्रा है <math>C\left(\overline{\mathbf{D}}\right).</math>
+* [[डिस्क बीजगणित]] <math>A(\mathbf{D})</math> विवृत इकाई डिस्क में [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक फलन]] के फलन होते हैं <math>D \subseteq \Complex</math> और इसके [[क्लोजर (टोपोलॉजी)|संवरक (सांस्थिति)]] पर निरंतर: <math>\overline{\mathbf{D}}.</math> अधिकतम मानक से कम <math>\overline{\mathbf{D}},</math> डिस्क बीजगणित <math>A(\mathbf{D})</math> का एक संवृत उपबीजीय <math>C\left(\overline{\mathbf{D}}\right)</math>है।
-* वीनर बीजगणित <math>A(\mathbf{T})</math> यूनिट सर्कल पर कार्यों का बीजगणित है <math>\mathbf{T}</math> बिल्कुल अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ। किसी फ़ंक्शन को जोड़ने वाले मानचित्र के माध्यम से <math>\mathbf{T}</math> इसके फूरियर गुणांकों के अनुक्रम के अनुसार, यह बीजगणित बनच बीजगणित के लिए समरूप है <math>\ell^1(Z),</math> जहां उत्पाद अनुक्रमों का कनवल्शन# असतत कनवल्शन है।
+*वीनर बीजगणित <math>A(\mathbf{T})</math> इकाई वृत्त पर फलनों का <math>\mathbf{T}</math> अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ बीजगणित है। किसी फलन को जोड़ने वाले मानचित्र के माध्यम से <math>\mathbf{T}</math> इसके फूरियर गुणांकों के अनुक्रम के अनुसार, यह बीजगणित बानाच बीजगणित <math>\ell^1(Z)</math> के लिए समरूप है जहां गुणनफल अनुक्रमों का असतत संवलन है।
-* हर बनच स्थान के लिए <math>X,</math> अंतरिक्ष <math>B(X)</math> परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की <math>X,</math> उत्पाद के रूप में नक्शों की संरचना के साथ, एक बनच बीजगणित है।
+* प्रत्येक बानाच समष्टि के लिए <math>X,</math> समष्टि <math>B(X)</math> परिबद्ध रैखिक संक्रिया <math>X,</math> गुणनफल के रूप में प्रतिचित्रों की संरचना के साथ, बानाच बीजगणित है।
-*ए सी*-बीजगणित एक जटिल बानाच बीजगणित है <math>A</math> एक [[एंटीलाइनर नक्शा]] इनवोल्यूशन (गणित) के साथ <math>a \mapsto a^*</math> ऐसा है कि <math>\left\|a^* a\right\| = \|a\|^2.</math> अंतरिक्ष <math>B(H)</math> हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की संख्या <math>H</math> C*-बीजगणित का एक मूलभूत उदाहरण है। गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय कहता है कि प्रत्येक सी*-बीजगणित कुछ के सी*-सबलजेब्रा के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है। <math>B(H).</math> अंतरिक्ष <math>C(K)</math> कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस पर जटिल निरंतर कार्यों का <math>K</math> क्रमविनिमेय C*-बीजगणित का एक उदाहरण है, जहां हर क्रिया के साथ जुड़ाव जुड़ा हुआ है <math>f</math> इसका जटिल संयुग्म <math>\overline{f}.</math>
+*A C*-बीजगणित एक जटिल बानाच बीजगणित <math>A</math> है [[एंटीलाइनर नक्शा|गैर-रैखिक मानचित्र]] अंतर्वलन (गणित) के साथ <math>a \mapsto a^*</math> जैसे कि <math>\left\|a^* a\right\| = \|a\|^2</math> समष्टि <math>B(H)</math> हिल्बर्ट समष्टि पर परिबद्ध रैखिक संक्रिया की संख्या <math>H</math> C*-बीजगणित का एक मूलभूत उदाहरण है। गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय कहता है कि प्रत्येक C*-बीजगणित कुछ के C*-उप-बीजीय के लिए <math>B(H)</math> सममितीय रूप से समाकृतिकता है। समष्टि <math>C(K)</math> सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर जटिल सतत फलनों का <math>K</math> क्रमविनिमेय C*-बीजगणित का एक उदाहरण है, जहां प्रत्येक क्रिया के साथ <math>f</math> जुड़ा हुआ है जो इसका <math>\overline{f}</math> जटिल संयुग्म है।
-=== दोहरी जगह ===
+=== द्विक समष्टि ===
-{{main|Dual space}}
+{{main|दोहरी समष्टि}}
-अगर <math>X</math> एक आदर्श स्थान है और <math>\mathbb{K}</math> अंतर्निहित [[क्षेत्र (गणित)]] (या तो [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]), दोहरी स्थान#सतत दोहरी जगह निरंतर रैखिक मानचित्रों का स्थान है <math>X</math> में <math>\mathbb{K},</math> या निरंतर रैखिक कार्य।
+यदि <math>X</math> एक मानक समष्टि है और <math>\mathbb{K}</math> अंतर्निहित [[क्षेत्र (गणित)]] (या तो [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]), सतत द्विक समष्टि निरंतर रैखिक मानचित्र <math>X</math> में <math>\mathbb{K},</math> या सतत रैखिक फलन का समष्टि है। इस लेख में नियतांक द्विक समष्टि के लिए संकेत<math>X^{\prime} = B(X, \mathbb{K})</math> समष्टि है।<ref>Several books about functional analysis use the notation <math>X^*</math> for the continuous dual, for example {{harvtxt|Carothers|2005}}, {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}, {{harvtxt|Megginson|1998}}, {{harvtxt|Ryan|2002}}, {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}.</ref> तब से <math>\mathbb{K}</math> एक बानाच समष्टि है (मानक के रूप में पूर्ण मूल्य का उपयोग करके), द्विक <math>X^{\prime}</math> प्रत्येक मानक समष्टि के लिए <math>X</math> बानाच समष्टि है।
-निरंतर दोहरे के लिए अंकन है <math>X^{\prime} = B(X, \mathbb{K})</math> इस आलेख में।<ref>Several books about functional analysis use the notation <math>X^*</math> for the continuous dual, for example {{harvtxt|Carothers|2005}}, {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}, {{harvtxt|Megginson|1998}}, {{harvtxt|Ryan|2002}}, {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}.</ref> तब से <math>\mathbb{K}</math> एक बैनाच स्पेस है (मानक के रूप में पूर्ण मूल्य का उपयोग करके), दोहरी <math>X^{\prime}</math> प्रत्येक मानक स्थान के लिए एक बनच स्थान है <math>X.</math>
-निरंतर रैखिक क्रियाओं के अस्तित्व को सिद्ध करने का मुख्य उपकरण हैन-बनाक प्रमेय है।
+निरंतर रैखिक क्रियाओं की स्थिति को सिद्ध करने का मुख्य उपकरण हैन-बनाक प्रमेय है।
 {{math theorem|name=Hahn–Banach theorem|math_statement=Let <math>X</math> be a [[vector space]] over the field <math>\mathbb{K} = \R, \Complex.</math> Let further
@@ Line 173: / Line 147: @@
 Then, there exists a linear functional <math>F : X \to \mathbb{K}</math> so that <math display=block>F\big\vert_Y = f, \quad \text{ and } \quad \text{ for all } x \in X, \ \ \operatorname{Re}(F(x)) \leq p(x).</math>}}
-विशेष रूप से, कार्यात्मक के मानदंड को बढ़ाए बिना, एक आदर्श स्थान के उप-स्थान पर प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक को लगातार पूरे स्थान तक बढ़ाया जा सकता है।<ref>Theorem&nbsp;1.9.6, p.&nbsp;75 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref> एक महत्वपूर्ण विशेष मामला निम्नलिखित है: प्रत्येक सदिश के लिए <math>x</math> एक आदर्श स्थान में <math>X,</math> वहाँ एक सतत रैखिक कार्यात्मक मौजूद है <math>f</math> पर <math>X</math> ऐसा है कि
+विशेष रूप से, कार्यात्मक के मानक को बढ़ाए बिना, मानक समष्टि के उप-समष्टि पर प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक को निरंतर पूरे समष्टि तक बढ़ाया जा सकता है।<ref>Theorem&nbsp;1.9.6, p.&nbsp;75 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref> एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति निम्नलिखित है: प्रत्येक सदिश के लिए <math>x</math> मानक समष्टि में <math>X,</math> वहाँ <math>f</math> पर <math>X</math> सतत रैखिक कार्यात्मक सम्मिलित है जैसे कि
 <math display=block>f(x) = \|x\|_X, \quad \|f\|_{X^{\prime}} \leq 1.</math>
-कब <math>x</math> के बराबर नहीं है <math>\mathbf{0}</math> वेक्टर, कार्यात्मक <math>f</math> मानक एक होना चाहिए, और इसके लिए एक मानक कार्यात्मक कहा जाता है <math>x.</math>
+जब <math>x</math> के बराबर <math>\mathbf{0}</math> वेक्टर नहीं है कार्यात्मक <math>f</math> मानक एक होना चाहिए, और इसके लिए एक मानक कार्यात्मक <math>x</math> कहा जाता हैह ैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय कहता है कि दो असंयुक्त गैर-रिक्त उत्तल समुच्चय एक वास्तविक बानाच समष्टि में, उनमें से एक विवृत है, एक संवृत [[एफ़िन स्पेस|एफ़िन समष्टि]] द्वारा अलग किया जा सकता है। विवृत उत्तल समुच्चय अधिसमतलके एक तरफ दृढ़ता से स्थित है, दूसरा उत्तल समुच्चय दूसरी तरफ स्थित है लेकिन अधिसमतल को स्पर्श कर सकता है।<ref>see also Theorem&nbsp;2.2.26, p.&nbsp;179 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref> उपसमुच्चय <math>S</math> एक बानाच समष्टि में <math>X</math> पूर्ण है यदि की [[रैखिक अवधि]] <math>S</math> सघन रूप से <math>X</math> स्थापित है उपसमुच्चय <math>S</math> में पूर्ण <math>X</math> ैय दि और केवल यदि एकमात्र निरंतर रैखिक कार्यात्मक जो <math>S</math> पर कार्यात्मक <math>\mathbf{0}</math> है: यह तुल्यता हन-बनाक प्रमेय से आती है।
-हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय कहता है कि दो असंयुक्त गैर-रिक्त उत्तल सेट एक वास्तविक बानाच अंतरिक्ष में, उनमें से एक खुला है, एक बंद [[एफ़िन स्पेस]] [[ hyperplane ]] द्वारा अलग किया जा सकता है।
-खुला उत्तल सेट हाइपरप्लेन के एक तरफ सख्ती से स्थित है, दूसरा उत्तल सेट दूसरी तरफ स्थित है लेकिन हाइपरप्लेन को छू सकता है।<ref>see also Theorem&nbsp;2.2.26, p.&nbsp;179 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref>
-उपसमुच्चय <math>S</math> एक बनच अंतरिक्ष में <math>X</math> कुल है अगर की [[रैखिक अवधि]] <math>S</math> सघन रूप से स्थापित है <math>X.</math> उपसमुच्चय <math>S</math> में कुल है <math>X</math> अगर और केवल अगर एकमात्र निरंतर रैखिक कार्यात्मक जो गायब हो जाता है <math>S</math> है <math>\mathbf{0}</math> कार्यात्मक: यह तुल्यता हन-बनाक प्रमेय से आती है।
-अगर <math>X</math> दो बंद रैखिक उपसमष्टियों का प्रत्यक्ष योग है <math>M</math> और <math>N,</math> फिर द्वैत <math>X^{\prime}</math> का <math>X</math> के द्वैत के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है <math>M</math> और <math>N.</math><ref name="Caro19">see p.&nbsp;19 in {{harvtxt|Carothers|2005}}.</ref> अगर <math>M</math> में एक बंद रैखिक उपसमष्टि है <math>X,</math> कोई जोड़ सकता है {{em|orthogonal of}} <math>M</math> दोहरे में,
+यदि <math>X</math> दो संवृत <math>M</math> और <math>N</math> रैखिक उपसमष्टियों का प्रत्यक्ष योग है फिर द्वि-द्वैत <math>X^{\prime}</math> का <math>X</math> के <math>M</math> और<math>N</math> द्वि-द्वैत के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है।<ref name="Caro19">see p.&nbsp;19 in {{harvtxt|Carothers|2005}}.</ref> यदि <math>M</math> में एक संवृत <math>X</math> रैखिक उपसमष्टि है लम्बवत <math>M</math> समष्टि जोड़ सकता है,
 <math display=block>M^{bot} = \left\{ x^{\prime} \in X : x^{\prime}(m) = 0, \ \text{ for all } m \in M \right\}.</math>
-ऑर्थोगोनल <math>M^{\bot}</math> द्वैत की एक बंद रेखीय उपसमष्टि है। का द्वैत <math>M</math> isometrically isomorphic है <math>X' / M^{\bot}.</math> का द्वैत <math>X / M</math> isometrically isomorphic है <math>M^{\bot}.</math><ref>Theorems&nbsp;1.10.16, 1.10.17 pp.94–95 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref>
+लम्बवत<math>M^{\bot}</math> द्वि-द्वैत की एक संवृत रेखीय उपसमष्टि है। <math>M</math> का द्वि-द्वैत <math>X' / M^{\bot}</math> सममितीय रूप से समाकृतिक है   <math>X / M</math> का द्वि-द्वैत सममितीय रूप से <math>M^{\bot}</math> समाकृतिक है।<ref>Theorems&nbsp;1.10.16, 1.10.17 pp.94–95 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref>
-एक वियोज्य बनच स्थान के दोहरे को वियोज्य होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन:
+वियोज्य बानाच समष्टि के द्विक को वियोज्य होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन:
 {{math theorem|name=Theorem<ref>Theorem&nbsp;1.12.11, p.&nbsp;112 in {{harvtxt|Megginson|1998}}</ref>|math_statement= Let <math>X</math> be a normed space. If <math>X'</math> is [[Separable space|separable]], then <math>X</math> is separable.}}
-कब <math>X'</math> वियोज्य है, समग्रता के लिए उपरोक्त मानदंड का उपयोग गणना योग्य कुल उपसमुच्चय के अस्तित्व को साबित करने के लिए किया जा सकता है <math>X.</math>
+जब <math>X'</math> वियोज्य है, समग्रता के लिए उपरोक्त मानक का उपयोग गणना योग्य <math>X</math> कुल उपसमुच्चय की स्थिति को प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है।
-==== [[कमजोर टोपोलॉजी]] ====
+==== [[कमजोर टोपोलॉजी|दुर्बल सांस्थिति]] ====
-बनच स्थान पर कमजोर टोपोलॉजी <math>X</math> पर टोपोलॉजी की तुलना है <math>X</math> जिसके लिए सभी तत्व <math>x^{\prime}</math> निरंतर दोहरी जगह में <math>X^{\prime}</math> निरंतर हैं।
+बानाच समष्टि पर दुर्बल सांस्थिति <math>X</math> पर सांस्थिति की तुलना है <math>X</math> जिसके लिए सभी तत्व <math>x^{\prime}</math> निरंतर द्विक समष्टि में <math>X^{\prime}</math> निरंतर हैं। मानक सांस्थिति इसलिए दुर्बल सांस्थिति की तुलना में सांस्थिति की तुलना है। यह हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय से अनुसरण करता है कि दुर्बल सांस्थिति हौसडॉर्फ समष्टि है, और यह कि बानाच समष्टि का एक मानक-संवृत उत्तल समुच्चय भी दुर्बल रूप से संवृत है।<ref>Theorem&nbsp;2.5.16, p.&nbsp;216 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref> दो बानाच समष्टि के बीच एक मानक-सतत रेखीय मानचित्र <math>X</math> और <math>Y</math> भी दुर्बल रूप से निरंतर है, अर्थात <math>X</math> और <math>Y</math> के लिए दुर्बल सांस्थिति से निरंतर है <ref>see II.A.8, p.&nbsp;29 in {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}</ref> यदि <math>X</math> अनंत-आयामी है, ऐसे रैखिक मानचित्र सम्मिलित हैं जो निरंतर नहीं हैं। समष्टि <math>X^*</math> से सभी रैखिक मानचित्रों का <math>X</math> अंतर्निहित क्षेत्र के लिए <math>\mathbb{K}</math> (यह समष्टि <math>X^*</math> इसे अलग करने के लिए इसे <math>X^{\prime}</math> बीजगणितीय द्विक समष्टि कहा जाता है सांस्थिति <math>X</math> को भी प्रेरित करता है जो दुर्बल सांस्थिति की तुलना में [[बेहतर टोपोलॉजी|अधिकतम सांस्थिति]] है, और कार्यात्मक विश्लेषण में बहुत कम प्रयोग किया जाता है।
-मानक टोपोलॉजी इसलिए कमजोर टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना है।
-यह हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय से अनुसरण करता है कि कमजोर टोपोलॉजी हौसडॉर्फ अंतरिक्ष है, और यह कि बनच स्थान का एक मानक-बंद उत्तल सेट भी कमजोर रूप से बंद है।<ref>Theorem&nbsp;2.5.16, p.&nbsp;216 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref> दो बनच स्थानों के बीच एक मानक-निरंतर रेखीय नक्शा <math>X</math> और <math>Y</math> भी कमजोर रूप से निरंतर है, अर्थात कमजोर टोपोलॉजी से निरंतर है <math>X</math> उसके वहां के लिए <math>Y.</math><ref>see II.A.8, p.&nbsp;29 in {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}</ref>
-अगर <math>X</math> अनंत-आयामी है, ऐसे रैखिक मानचित्र मौजूद हैं जो निरंतर नहीं हैं। अंतरिक्ष <math>X^*</math> से सभी रैखिक मानचित्रों का <math>X</math> अंतर्निहित क्षेत्र के लिए <math>\mathbb{K}</math> (यह स्थान <math>X^*</math> इसे अलग करने के लिए इसे दोहरी जगह#बीजगणितीय दोहरी जगह कहा जाता है <math>X^{\prime}</math> एक टोपोलॉजी को भी प्रेरित करता है <math>X</math> जो कमजोर टोपोलॉजी की तुलना में [[बेहतर टोपोलॉजी]] है, और कार्यात्मक विश्लेषण में बहुत कम प्रयोग किया जाता है।
-दोहरे स्थान पर <math>X^{\prime},</math> की कमजोर टोपोलॉजी की तुलना में कमजोर टोपोलॉजी है <math>X^{\prime},</math> कमजोर टोपोलॉजी कहा जाता है|कमजोर* टोपोलॉजी।
+द्विक समष्टि पर <math>X^{\prime},</math> की दुर्बल सांस्थिति की तुलना में दुर्बल सांस्थिति <math>X^{\prime}</math>कहा जाता है। यह सबसे सामान्य सांस्थिति <math>X^{\prime}</math>है जिसके लिए सभी मूल्यांकन मानचित्र <math>x^{\prime} \in X^{\prime} \mapsto x^{\prime}(x),</math> जहाँ <math>x</math> से अधिक <math>X</math> नियतांक हैं। इसका महत्व बानाच-अलाग्लू प्रमेय से आता है।
-यह सबसे मोटे टोपोलॉजी है <math>X^{\prime}</math> जिसके लिए सभी मूल्यांकन मानचित्र <math>x^{\prime} \in X^{\prime} \mapsto x^{\prime}(x),</math> कहाँ <math>x</math> से अधिक है <math>X,</math> निरंतर हैं।
-इसका महत्व बनच-अलाग्लू प्रमेय से आता है।
 {{math theorem|name=[[Banach–Alaoglu theorem]]|math_statement=Let <math>X</math> be a [[normed vector space]]. Then the [[Closed set|closed]] [[Ball (mathematics)|unit ball]] <math>B = \left\{ x \in X : \|x\| \leq 1 \right\}</math> of the dual space is [[Compact space|compact]] in the weak* topology.}}
-कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के अनंत उत्पादों के बारे में टायकोनॉफ़ के प्रमेय का उपयोग करके बानाच-अलाग्लु प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है।
+सुसंहत हौसडॉर्फ रिक्त समष्टि के अनंत गुणनफलों के बारे में टायकोनॉफ़ के प्रमेय का उपयोग करके बानाच-अलाग्लु प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है। जब <math>X</math> वियोज्य है, इकाई <math>B^{\prime}</math> द्विक दुर्बल * सांस्थिति में [[मेट्रिजेबल स्पेस|दूरीकनीय समष्टि]] सुसंहत है।<ref name="DualBall">see Theorem&nbsp;2.6.23, p.&nbsp;231 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>
-कब <math>X</math> वियोज्य है, यूनिट बॉल <math>B^{\prime}</math> दोहरे का कमजोर * टोपोलॉजी में [[मेट्रिजेबल स्पेस]] कॉम्पैक्ट है।<ref name="DualBall">see Theorem&nbsp;2.6.23, p.&nbsp;231 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>
-==== दोहरे स्थान के उदाहरण ====
+==== द्विक समष्टि के उदाहरण ====
-का द्वैत <math>c_0</math> isometrically isomorphic है <math>\ell^1</math>: प्रत्येक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक के लिए <math>f</math> पर <math>c_0,</math> एक अनूठा तत्व है <math>y = \left\{ y_n \right\} \in \ell^1</math> ऐसा है कि
+<math>c_0</math> का द्वि-द्वैत सममितीय रूप से <math>\ell^1</math> समाकृतिक है: प्रत्येक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक के लिए <math>f</math> पर <math>c_0,</math> अद्वितीय तत्व <math>y = \left\{ y_n \right\} \in \ell^1</math> है जैसे कि
 <math display=block>f(x) = \sum_{n \in \N} x_n y_n, \qquad x = \{x_n\} \in c_0, \ \ \text{and} \ \ \|f\|_{(c_0)'} = \|y\|_{\ell_1}. </math>
-का द्वैत <math>\ell^1</math> isometrically isomorphic है <math>\ell^{\infty}</math>.
+<math>\ell^1</math> का द्वि-द्वैत सममितीय रूप से <math>\ell^{\infty}</math>समाकृतिक है लेबेस्ग्यू समष्टि <math>L^p([0, 1])</math> सममितीय रूप से <math>L^q([0, 1])</math> समाकृतिक है जब <math>1 \leq p < \infty</math> और <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1</math> प्रत्येक वेक्टर के लिए <math>y</math> एक हिल्बर्ट समष्टि में <math>H,</math> मानचित्रण
-एलपी स्पेस का दोहरा # एलपी स्पेस का गुण <math>L^p([0, 1])</math> isometrically isomorphic है <math>L^q([0, 1])</math> कब <math>1 \leq p < \infty</math> और <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math>
-हर वेक्टर के लिए <math>y</math> एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में <math>H,</math> मानचित्रण
 <math display=block>x \in H \to f_y(x) = \langle x, y \rangle</math>
-एक सतत रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है <math>f_y</math> पर <math>H.</math>रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर <math>H</math> स्वरूप का है <math>f_y</math> विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए <math>y</math> में <math>H.</math>
+<math>H</math> पर सतत <math>f_y</math> रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय के अनुसार प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर <math>H</math> का स्वरूप <math>f_y</math> है। विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए <math>y</math> में <math>H</math> मानचित्रण <math>y \in H \to f_y</math> एक गैर-रैखिक मानचित्र सममितीय द्विअंत:क्षेपण है <math>H</math> इसके द्विक पर <math>H'.</math> जब अदिश वास्तविक होते हैं, तो यह मानचित्र एक सममितीय समाकृतिकता है।
-मानचित्रण <math>y \in H \to f_y</math> एक एंटीलीनियर मैप आइसोमेट्रिक बायजेक्शन है <math>H</math> इसके दोहरे पर <math>H'.</math> जब स्केलर वास्तविक होते हैं, तो यह मानचित्र एक सममितीय समाकृतिकता है।
-कब <math>K</math> एक कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस है, डुअल <math>M(K)</math> का <math>C(K)</math> बॉरबाकी के अर्थ में रेडॉन उपायों का स्थान है।<ref>see N. Bourbaki, (2004), "Integration I", Springer Verlag, {{ISBN|3-540-41129-1}}.</ref> उपसमुच्चय <math>P(K)</math> का <math>M(K)</math> द्रव्यमान 1 (संभाव्यता उपाय) के गैर-नकारात्मक उपायों से मिलकर यूनिट बॉल का एक उत्तल w*-बंद उपसमुच्चय है <math>M(K).</math> के [[चरम बिंदु]] <math>P(K)</math> डिराक उपाय चालू हैं <math>K.</math> डिराक का सेट चालू है <math>K,</math> डब्ल्यू * - टोपोलॉजी से लैस, होमोमोर्फिज्म है <math>K.</math>
+जब <math>K</math> सुसंहत हॉउसडॉर्फ सांंस्थितिक समष्टि है, द्विक <math>M(K)</math> का <math>C(K)</math> बॉरबाकी के अर्थ में रेडॉन माप का समष्टि है।<ref>see N. Bourbaki, (2004), "Integration I", Springer Verlag, {{ISBN|3-540-41129-1}}.</ref> उपसमुच्चय <math>P(K)</math> का <math>M(K)</math> बड़ी संख्या 1 (संभाव्यता माप) के गैर-ऋणात्मक मापों से मिलकर इकाई का उत्तल w*-संवृत <math>M(K)</math> के [[चरम बिंदु|अधिकतम बिंदु]] <math>P(K)</math> डिराक माप <math>K</math> उपसमुच्चय है डिराक का समुच्चय <math>K,</math> w * - सांस्थिति से कम <math>K</math> समरूप है।
 {{math theorem|name=[[Banach–Stone theorem|Banach–Stone Theorem]]|math_statement=If <math>K</math> and <math>L</math> are compact Hausdorff spaces and if <math>C(K)</math> and <math>C(L)</math> are isometrically isomorphic, then the topological spaces <math>K</math> and <math>L</math> are [[homeomorphic]].<ref name= Eilenberg /><ref>see also {{harvtxt|Banach|1932}}, p.&nbsp;170 for metrizable <math>K</math> and <math>L.</math></ref>}}
-परिणाम आमिर द्वारा बढ़ाया गया है<ref>{{cite journal |first=Dan |last=Amir |title=निरंतर कार्य स्थान के समरूपता पर|journal=[[Israel Journal of Mathematics]] |volume=3 |year=1965 |issue=4 |pages=205–210 |doi=10.1007/bf03008398 |doi-access=free |s2cid=122294213 }}</ref> और कैम्बरन<ref>{{cite journal |first=M. |last=Cambern |title=A generalized Banach–Stone theorem |journal=Proc. Amer. Math. Soc. |volume=17 |year=1966 |issue=2 |pages=396–400 |doi=10.1090/s0002-9939-1966-0196471-9|doi-access=free}} And {{cite journal |first=M. |last=Cambern |title=On isomorphisms with small bound |journal=Proc. Amer. Math. Soc. |volume=18 |year=1967 |issue=6 |pages=1062–1066 |doi=10.1090/s0002-9939-1967-0217580-2|doi-access=free}}</ref> मामले में जब गुणक बनच-मजूर कॉम्पेक्टम | बनच-मजूर के बीच की दूरी <math>C(K)</math> और <math>C(L)</math> है <math>< 2.</math> दूरी होने पर प्रमेय अब सत्य नहीं है <math> = 2.</math><ref>{{cite journal |first=H. B. |last=Cohen |title=A bound-two isomorphism between <math>C(X)</math> Banach spaces |journal=Proc. Amer. Math. Soc. |volume=50 |year=1975 |pages=215–217 |doi=10.1090/s0002-9939-1975-0380379-5|doi-access=free }}</ref>
+परिणाम को अमीर<ref>{{cite journal |first=Dan |last=Amir |title=निरंतर कार्य स्थान के समरूपता पर|journal=[[Israel Journal of Mathematics]] |volume=3 |year=1965 |issue=4 |pages=205–210 |doi=10.1007/bf03008398 |doi-access=free |s2cid=122294213 }}</ref> और कैम्बरन<ref>{{cite journal |first=M. |last=Cambern |title=A generalized Banach–Stone theorem |journal=Proc. Amer. Math. Soc. |volume=17 |year=1966 |issue=2 |pages=396–400 |doi=10.1090/s0002-9939-1966-0196471-9|doi-access=free}} And {{cite journal |first=M. |last=Cambern |title=On isomorphisms with small bound |journal=Proc. Amer. Math. Soc. |volume=18 |year=1967 |issue=6 |pages=1062–1066 |doi=10.1090/s0002-9939-1967-0217580-2|doi-access=free}}</ref> द्वारा स्थिति में विस्तारित किया गया है जब <math>C(K)</math> और <math>C(L)</math> के बीच गुणक बनच-मजूर की दूरी <math>< 2</math> प्रमेय है अब सत्य नहीं है जब दूरी <math> = 2</math><ref>{{cite journal |first=H. B. |last=Cohen |title=A bound-two isomorphism between <math>C(X)</math> Banach spaces |journal=Proc. Amer. Math. Soc. |volume=50 |year=1975 |pages=215–217 |doi=10.1090/s0002-9939-1975-0380379-5|doi-access=free }}</ref> है क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित में <math>C(K),</math> में अधिक से अधिक मानक <math>K</math> पर डिराक मापों के परिशुद्ध रूप से कर्नेल हैं
-क्रमविनिमेय बनच बीजगणित में <math>C(K),</math> द बनच बीजगणित#आदर्श और चरित्र सटीक रूप से डायराक उपायों की गुठली हैं <math>K,</math>
 <math display=block>I_x = \ker \delta_x = \{f \in C(K) : f(x) = 0\}, \quad x \in K.</math>
-अधिक आम तौर पर, गेलफैंड-मजूर प्रमेय द्वारा, एक यूनिटल कम्यूटेटिव बनच बीजगणित के अधिकतम आदर्शों को इसके बनच बीजगणित # आदर्शों और पात्रों के साथ पहचाना जा सकता है - न केवल सेट के रूप में बल्कि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में: [[हल-कर्नेल टोपोलॉजी]] के साथ पूर्व और w*-टोपोलॉजी के साथ बाद वाला।
+अधिक सामान्य रूप से, गेलफैंड-मजूर प्रमेय द्वारा, एकल क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित के अधिकतम मानकों को इसके बानाच बीजगणित मानकों और पात्रों के साथ पहचाना जा सकता है - न केवल समुच्चय के रूप में बल्कि सांंस्थितिक रिक्त समष्टि के रूप में: [[हल-कर्नेल टोपोलॉजी|हल-कर्नेल सांस्थिति]] के साथ पूर्व और w*-सांस्थिति के साथ बाद वाला सम्मिलित है। इस सर्वसमिका में, अधिकतम मानक समष्टि को द्विक गोले में इकाई गोले के w*-सुसंहत उपसमुच्चय <math>A'</math> के रूप में देखा जा सकता है।
-इस पहचान में, अधिकतम आदर्श स्थान को दोहरी गेंद में इकाई गेंद के w*-कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है <math>A'.</math>
 {{math theorem|math_statement= If <math>K</math> is a compact Hausdorff space, then the maximal ideal space <math>\Xi</math> of the Banach algebra <math>C(K)</math> is [[homeomorphic]] to <math>K.</math><ref name=Eilenberg>{{cite journal |last=Eilenberg |first=Samuel |title=Banach Space Methods in Topology |journal=[[Annals of Mathematics]] |date=1942 |volume=43 |issue=3 |pages=568–579 |doi=10.2307/1968812|jstor=1968812 }}</ref>}}
-प्रत्येक इकाई क्रमविनिमेय बनच बीजगणित का रूप नहीं है <math>C(K)</math> कुछ कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस के लिए <math>K.</math> हालाँकि, यह कथन यदि एक स्थान पर है <math>C(K)</math> क्रमविनिमेय C*-अल्जेब्रा की छोटी श्रेणी में।
+प्रत्येक इकाई क्रमविनिमेय बानाच बीजगणित <math>C(K)</math> का रूप नहीं है सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि के लिए <math>K</math> है। हालाँकि, यह <math>C(K)</math> कथन यदि एक समष्टि पर है क्रमविनिमेय C*-बीजगणित की छोटी श्रेणी में सम्मिलित है। [[गेलफैंड प्रतिनिधित्व]] क्रमविनिमेय C*-बीजगणित के लिए बताता है कि प्रत्येक क्रमविनिमेय इकाई C*-बीजगणित <math>A</math> सममितीय रूप से समाकृतिक <math>C(K)</math> समष्टि है।<ref>See for example {{cite book |first=W. |last=Arveson |year=1976 |title=An Invitation to C*-Algebra |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-90176-0 }}</ref> हॉउसडॉर्फ सुसंहत समष्टि <math>K</math> यहाँ फिर से अधिकतम मानक समष्टि है, जिसे <math>A</math> के उदाहरण C*-बीजगणित संदर्भ में विस्तृत श्रेणी भी कहा जाता है।
-इज़राइल गेलफैंड | गेलफैंड का [[गेलफैंड प्रतिनिधित्व]] क्रमविनिमेय C*-बीजगणित के लिए बताता है कि प्रत्येक क्रमविनिमेय इकाई C*-बीजगणित <math>A</math> isometrically isomorphic to a <math>C(K)</math> अंतरिक्ष।<ref>See for example {{cite book |first=W. |last=Arveson |year=1976 |title=An Invitation to C*-Algebra |publisher=Springer-Verlag |isbn=0-387-90176-0 }}</ref> हॉउसडॉर्फ कॉम्पैक्ट स्पेस <math>K</math> यहाँ फिर से अधिकतम आदर्श स्थान है, जिसे C*-बीजगणित का स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है# के उदाहरण <math>A</math> सी*-बीजगणित संदर्भ में।
-==== द्विभाषी ====
+==== द्वैत ====
-{{See also|Bidual|Reflexive space|Semi-reflexive space}}
+{{See also|द्वैत, प्रतिवर्ती समष्टि और अर्ध-प्रतिवर्ती समष्टि }}
-अगर <math>X</math> एक आदर्श स्थान है, (निरंतर) दोहरा <math>X''</math> द्वैत का <math>X'</math> कहा जाता है{{visible anchor|bidual}}, या{{visible anchor|second dual}} का <math>X.</math> प्रत्येक सामान्य स्थान के लिए <math>X,</math> एक प्राकृतिक मानचित्र है,
+यदि <math>X</math> एक मानक समष्टि है, (निरंतर) दोहरा <math>X''</math> द्वि-द्वैत का <math>X'</math> कहा जाता है प्रत्येक सामान्य समष्टि के लिए <math>X,</math> एक प्राकृतिक मानचित्र है,
 <math display="block>\begin{cases}
 F_X : X \to X'' \\
 F_X(x) (f) = f(x) & \text{ for all } x \in X, \text{ and for all } f \in X'
 \end{cases}</math>
-यह परिभाषित करता है <math>F_X(x)</math> एक सतत रैखिक कार्यात्मक के रूप में <math>X^{\prime},</math> वह है, का एक तत्व <math>X^{\prime\prime}.</math> वो नक्शा <math>F_X : x \to F_X(x)</math> से एक रेखीय मानचित्र है <math>X</math> को <math>X^{\prime\prime}.</math> बनच स्थान # दोहरे स्थान के अस्तित्व के परिणामस्वरूप <math>f</math> हरएक के लिए <math>x \in X,</math> यह नक्शा <math>F_X</math> isometric है, इस प्रकार [[इंजेक्शन]]।
+यह परिभाषित करता है कि <math>F_X(x)</math> एक सतत रैखिक कार्यात्मक के रूप में <math>X^{\prime}</math> है, का एक तत्व वो मानचित्र <math>F_X : x \to F_X(x)</math> से एक रेखीय मानचित्र <math>X</math> को <math>X^{\prime\prime}</math> बानाच समष्टि है द्विक समष्टि की स्थिति के परिणामस्वरूप <math>f</math> प्रत्येक के लिए <math>x \in X,</math> यह मानचित्र <math>F_X</math> सममितीय है, इस प्रकार [[इंजेक्शन|अंतःक्षेपक]] है।
-उदाहरण के लिए, की दोहरी <math>X = c_0</math> से पहचाना जाता है <math>\ell^1,</math> और की दोहरी <math>\ell^1</math> से पहचाना जाता है <math>\ell^{\infty},</math> परिबद्ध अदिश अनुक्रमों का स्थान।
+उदाहरण के लिए, <math>X = c_0</math> की द्विक समष्टि और द्विक <math>\ell^1</math> से पहचाना जाता है परिबद्ध अदिश अनुक्रमों <math>\ell^{\infty},</math>का समष्टि है। इन सर्वसमिका के अंतर्गत <math>F_X</math> से <math>c_0</math> को <math>\ell^{\infty}</math> समावेशन मानचित्र है यह वास्तव में सममितीय है, लेकिन आच्छादक नहीं है।
-इन पहचान के तहत <math>F_X</math> से समावेशन मानचित्र है <math>c_0</math> को <math>\ell^{\infty}.</math> यह वास्तव में सममितीय है, लेकिन आच्छादक नहीं है।
-अगर <math>F_X</math> आच्छादन है, तो आदर्श स्थान <math>X</math> रिफ्लेक्सिव कहा जाता है (बनच स्पेस # रिफ्लेक्सिविटी देखें)।
+यदि <math>F_X</math> आच्छादन है, तो मानक समष्टि <math>X</math> प्रतिवर्ती कहा जाता है (बानाच समष्टि प्रतिवर्ती देखें)। एक मानक समष्टि के द्विक होने के परिणाम स्वरूप, द्वि-द्वैत <math>X''</math> पूर्ण है, इसलिए, प्रत्येक प्रतिवर्ती मानक समष्टि एक बानाच समष्टि है।
-एक आदर्श स्थान के दोहरे होने के नाते, बिडुअल <math>X''</math> पूर्ण है, इसलिए, प्रत्येक रिफ्लेक्सिव नॉर्म्ड स्पेस एक बनच स्पेस है।
-आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग का उपयोग करना <math>F_X,</math> यह एक आदर्श स्थान पर विचार करने के लिए प्रथागत है <math>X</math> इसकी बोली के सबसेट के रूप में।
+<math>F_X</math> सममितीय अंत:स्थापन का उपयोग करना यह एक मानक समष्टि पर विचार करने के लिए अभ्यास है और   <math>X</math> के उप-समुच्चय के रूप में है। जब <math>X</math> एक बानाच समष्टि है, इसे <math>X^{\prime\prime}</math> एक संवृत रेखीय उप-समष्टि के रूप में देखा जाता है यदि <math>X</math> प्रतिवर्ती नहीं है, की इकाई गेंद <math>X</math> की इकाई गोले का एक उपयुक्त उपसमुच्चय <math>X^{\prime\prime}</math> है [[गोल्डस्टाइन प्रमेय]] में कहा गया है कि एक मानक समष्टि की इकाई गोले की इकाई गोले में दुर्बल*-सघन होती है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक <math>x''</math> के लिए द्वि-द्वैत में <math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math> '''शून्य (गणित)''' सम्मिलित है <math>X</math> ताकि
-कब <math>X</math> एक बनच स्थान है, इसे एक बंद रेखीय उप-स्थान के रूप में देखा जाता है <math>X^{\prime\prime}.</math> अगर <math>X</math> रिफ्लेक्सिव नहीं है, की यूनिट बॉल <math>X</math> की इकाई गेंद का एक उचित उपसमुच्चय है <math>X^{\prime\prime}.</math> [[गोल्डस्टाइन प्रमेय]] में कहा गया है कि एक मानक स्थान की इकाई गेंद बोली की इकाई गेंद में कमजोर*-सघन होती है।
-दूसरे शब्दों में, प्रत्येक के लिए <math>x''</math> बिडुअल में, एक नेट मौजूद है (गणित) <math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math> में <math>X</math> ताकि
 <math display="block>\sup_{i \in I} \left\|x_i\right\| \leq \|x''\|, \ \ x''(f) = \lim_i f\left(x_i\right), \quad f \in X'.</math>
-दोहरी होने पर नेट को कमजोर *-अभिसरण अनुक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है <math>X'</math> वियोज्य है।
+द्विक होने पर मूल्य को दुर्बल *-अभिसरण अनुक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है <math>X'</math> वियोज्य है। दूसरी ओर, <math>\ell^1</math> के तत्व जो अंदर नहीं हैं <math>\ell^1</math> दुर्बल नहीं हो सकता* - अनुक्रमों की सीमा <math>\ell^1,</math> तब से <math>\ell^1</math> बानाच समष्टि है अनुक्रम दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण है।
-दूसरी ओर, की बोली के तत्व <math>\ell^1</math> जो अंदर नहीं हैं <math>\ell^1</math> कमजोर नहीं हो सकता* - की सीमा {{em|sequences}} में <math>\ell^1,</math> तब से <math>\ell^1</math> बानाच स्पेस है # अनुक्रमों का कमजोर अभिसरण।
-=== बनच के प्रमेय ===
+=== बानाच के प्रमेय ===
-बनच की किताब के समय तक वापस जाने वाले बनच रिक्त स्थान के बारे में मुख्य सामान्य परिणाम यहां दिए गए हैं ({{harvtxt|Banach|1932}}) और बायर श्रेणी प्रमेय से संबंधित हैं।
+यहां बनच समष्टि के बारे में मुख्य सामान्य परिणाम दिए गए हैं जो बनच की पुस्तक (बनच (1932)) के समय तक वापस जाते हैं और बेयर श्रेणी प्रमेय से संबंधित हैं। इस प्रमेय के अनुसार, एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि (जैसे कि एक बानाच समष्टि, एक फ़्रेचेट समष्टि या एक एफ-समष्टि) रिक्त आंतरिक स्थिति के साथ चयन किए कई संवृत उपसमुच्चयों के समूह के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए, एक बनच समष्टि गणनीयत: के कई संवृत उप-समष्टि का समूह नहीं हो सकता है, जब तक कि यह पहले से ही उनमें से एक के बराबर न हो; एक गणनीय हामेल आधार वाला एक बनच समष्टि परिमित-आयामी है।
-इस प्रमेय के अनुसार, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान (जैसे कि एक बैनच स्पेस, एक फ्रेचेट स्पेस या एक एफ-स्पेस) खाली [[इंटीरियर (टोपोलॉजी)]] के साथ गिने-चुने कई बंद उपसमुच्चयों के संघ के बराबर नहीं हो सकता है।
-इसलिए, एक Banach स्थान गिनती के कई बंद उप-स्थानों का संघ नहीं हो सकता है, जब तक कि यह पहले से ही उनमें से एक के बराबर न हो; एक गणनीय हामेल आधार वाला एक बनच स्थान परिमित-आयामी है।
 {{math theorem|name=[[Uniform boundedness principle|Banach–Steinhaus Theorem]]|math_statement=Let <math>X</math> be a Banach space and <math>Y</math> be a [[normed vector space]]. Suppose that <math>F</math> is a collection of continuous linear operators from <math>X</math> to <math>Y.</math> The uniform boundedness principle states that if for all <math>x</math> in <math>X</math> we have <math>\sup_{T \in F} \|T(x)\|_Y < \infty,</math> then <math>\sup_{T \in F} \|T\|_Y < \infty.</math>}}
-बनच-स्टाइनहॉस प्रमेय बनच स्थानों तक सीमित नहीं है।
+बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय बानाच समष्टि तक सीमित नहीं है। इसे उदाहरण के लिए उस स्थिति में बढ़ाया जा सकता है जहां <math>X</math> एक फ्रेचेट समष्टि है, बशर्ते निष्कर्ष को निम्नानुसार संशोधित किया जाए: एक ही परिकल्पना के अंतर्गत, <math>U</math> का <math>\mathbf{0}</math> में <math>X</math> एक प्रतिवेश सम्मिलित है जैसे कि सभी <math>T</math> में <math>F</math> समान रूप से <math>U</math> से सीमित है।
-इसे उदाहरण के लिए उस मामले में बढ़ाया जा सकता है जहां <math>X</math> एक फ्रेचेट स्पेस है, बशर्ते निष्कर्ष को निम्नानुसार संशोधित किया जाए: एक ही परिकल्पना के तहत, एक पड़ोस मौजूद है <math>U</math> का <math>\mathbf{0}</math> में <math>X</math> ऐसा है कि सभी <math>T</math> में <math>F</math> समान रूप से बंधे हुए हैं <math>U,</math>
 <math display=block>\sup_{T \in F} \sup_{x \in U} \; \|T(x)\|_Y < \infty.</math>
@@ Line 274: / Line 226: @@
 {{math theorem|name=The First Isomorphism Theorem for Banach spaces | math_statement= Suppose that <math>X</math> and <math>Y</math> are Banach spaces and that <math>T \in B(X, Y).</math> Suppose further that the range of <math>T</math> is closed in <math>Y.</math> Then <math>X / \ker T</math> is isomorphic to <math>T(X).</math>}}
-यह परिणाम पूर्ववर्ती बनच समरूपता प्रमेय और बंधे हुए रैखिक मानचित्रों के विहित गुणनखंड का प्रत्यक्ष परिणाम है।
+यह परिणाम पूर्ववर्ती बानाच समरूपता प्रमेय और सीमित हुए रैखिक मानचित्रों के प्रामाणिक गुणनखंड का प्रत्यक्ष परिणाम है।
 {{math theorem|name=Corollary|math_statement=If a Banach space <math>X</math> is the internal direct sum of closed subspaces <math>M_1, \ldots, M_n,</math> then <math>X</math> is isomorphic to <math>M_1 \oplus \cdots \oplus M_n.</math>}}
-यह बानाच के समरूपता प्रमेय का एक और परिणाम है, जो निरंतर आक्षेप पर लागू होता है <math>M_1 \oplus \cdots \oplus M_n</math> पर <math>X</math> भेजना <math>m_1, \cdots, m_n</math> राशि के लिए <math>m_1 + \cdots + m_n.</math>
+यह बानाच के समरूपता प्रमेय का एक और परिणाम है, जो <math>M_1 \oplus \cdots \oplus M_n</math> पर <math>X</math> के <math>m_1, \cdots, m_n</math> परिणाम के लिए <math>m_1 + \cdots + m_n</math> निरंतर आक्षेप पर प्रयुक्त होता है।
 {{math theorem|name=[[Closed graph theorem|The Closed Graph Theorem]]|math_statement= Let <math>T : X \to Y</math> be a linear mapping between Banach spaces. The graph of <math>T</math> is closed in <math>X \times Y</math> if and only if <math>T</math> is continuous.}}
-=== रिफ्लेक्सिविटी ===
+=== स्वतुल्यता ===
-{{main|Reflexive space}}
+{{main|स्वतुल्यता समष्टि}}
-आदर्श स्थान <math>X</math> प्राकृतिक मानचित्र होने पर रिफ्लेक्सिव स्पेस कहा जाता है
+मानक समष्टि <math>X</math> प्राकृतिक मानचित्र होने पर प्रतिवर्ती समष्टि कहा जाता है
 <math display=block>\begin{cases} F_X : X \to X'' \\ F_X(x) (f) = f(x) & \text{ for all } x \in X, \text{ and for all } f \in X'\end{cases}</math>
-विशेषण है। रिफ्लेक्सिव नॉर्म्ड स्पेस बनच स्पेस हैं।
+विशेषण है। प्रतिवर्ती मानक समष्टि बानाच समष्टि हैं।
 {{math theorem| math_statement = If <math>X</math> is a reflexive Banach space, every closed subspace of <math>X</math> and every quotient space of <math>X</math> are reflexive.}}
-यह हैन-बनाक प्रमेय का परिणाम है।
+यह हैन-बनाक प्रमेय का परिणाम है। इसके अतिरिक्त, विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय द्वारा, यदि बानाच समष्टि से एक परिबद्ध रैखिक संक्रिया है जो <math>X</math> बानाच समष्टि पर <math>Y,</math> तब <math>Y</math> प्रतिवर्त है।
-इसके अलावा, ओपन मैपिंग प्रमेय द्वारा, यदि बनच स्पेस से एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है <math>X</math> बनच अंतरिक्ष पर <math>Y,</math> तब <math>Y</math> प्रतिवर्त है।
 {{math theorem| math_statement = If <math>X</math> is a Banach space, then <math>X</math> is reflexive if and only if <math>X^{\prime}</math> is reflexive.}}
@@ Line 298: / Line 249: @@
 {{math theorem|name=Corollary | math_statement = Let <math>X</math> be a reflexive Banach space. Then <math>X</math> is [[Separable space|separable]] if and only if <math>X^{\prime}</math> is separable.}}
-दरअसल, अगर दोहरी <math>Y^{\prime}</math> एक बनच स्थान का <math>Y</math> वियोज्य है, तो <math>Y</math> वियोज्य है।
+वास्तव में, यदि द्विक <math>Y^{\prime}</math> एक बानाच समष्टि का <math>Y</math> वियोज्य है, तो <math>Y</math> वियोज्य है। यदि <math>X</math> प्रतिवर्त और वियोज्य है, फिर <math>X^{\prime}</math> का दोहरा वियोज्य है, इसलिए <math>X^{\prime}</math> वियोज्य है।
-अगर <math>X</math> प्रतिवर्त और वियोज्य है, फिर का दोहरा <math>X^{\prime}</math> वियोज्य है, इसलिए <math>X^{\prime}</math> वियोज्य है।
 {{math theorem| math_statement = Suppose that <math>X_1, \ldots, X_n</math> are normed spaces and that <math>X = X_1 \oplus \cdots \oplus X_n.</math> Then <math>X</math> is reflexive if and only if each <math>X_j</math> is reflexive.}}
-हिल्बर्ट स्पेस रिफ्लेक्सिव हैं। <math>L^p</math> h> स्पेस रिफ्लेक्सिव होते हैं जब <math>1 < p < \infty.</math> अधिक आम तौर पर, मिलमैन-पेटिस प्रमेय द्वारा समान रूप से उत्तल रिक्त स्थान प्रतिवर्ती होते हैं।
+हिल्बर्ट समष्टि प्रतिवर्ती हैं। <math>L^p</math> h> समष्टि प्रतिवर्ती होते हैं जब <math>1 < p < \infty</math> अधिक सामान्य रूप से, मिलमैन-पेटिस प्रमेय द्वारा समान रूप से उत्तल रिक्त समष्टि प्रतिवर्ती होते हैं। रिक्त समष्टि <math>c_0, \ell^1, L^1([0, 1]), C([0, 1])</math> परावर्तक नहीं हैं। गैर-प्रतिवर्ती समष्टि <math>X</math> के इन उदाहरणों में <math>X,</math> और <math>X''</math> से बहुत बड़ा है अर्थात्, प्राकृतिक सममितीय अन्तः स्थापन के अंतर्गत <math>X</math> में <math>X''</math> हन-बानाच प्रमेय द्वारा दिया गया भागफल <math>X^{\prime\prime} / X</math> अनंत-आयामी है, और अविभाज्य भी है।हालाँकि, रॉबर्ट सी जेम्स ने एक उदाहरण का निर्माण किया है<ref>{{cite journal|author = R. C. James|title=एक नॉन-रिफ्लेक्सिव बैनच स्पेस आइसोमेट्रिक अपने दूसरे कंजुगेट स्पेस के साथ|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=37|pages=174–177|year=1951|issue=3 | doi=10.1073/pnas.37.3.174 | pmc=1063327|pmid=16588998|bibcode=1951PNAS...37..174J |doi-access=free}}</ref> गैर-प्रतिवर्ती समष्टि, जिसे सामान्य रूप से जेम्स समष्टि कहा जाता है और इसके<math>J</math> द्वारा निरूपित किया जाता है।<ref>see {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}, p.&nbsp;25.</ref> ऐसा भागफल <math>J^{\prime\prime} / J</math> आयामी है। इसके अतिरिक्त, यह समष्टि <math>J</math> सममितीय रूप से समाकृतिक है जो कि इसका द्वि-द्वैत है।
-रिक्त स्थान <math>c_0, \ell^1, L^1([0, 1]), C([0, 1])</math> परावर्तक नहीं हैं।
-गैर-रिफ्लेक्सिव रिक्त स्थान के इन उदाहरणों में <math>X,</math> बोली <math>X''</math> से बहुत बड़ा है <math>X.</math> अर्थात्, प्राकृतिक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग के तहत <math>X</math> में <math>X''</math> हन-बनच प्रमेय द्वारा दिया गया भागफल <math>X^{\prime\prime} / X</math> अनंत-आयामी है, और अविभाज्य भी है।
-हालाँकि, रॉबर्ट सी। जेम्स ने एक उदाहरण का निर्माण किया है<ref>{{cite journal|author = R. C. James|title=एक नॉन-रिफ्लेक्सिव बैनच स्पेस आइसोमेट्रिक अपने दूसरे कंजुगेट स्पेस के साथ|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=37|pages=174–177|year=1951|issue=3 | doi=10.1073/pnas.37.3.174 | pmc=1063327|pmid=16588998|bibcode=1951PNAS...37..174J |doi-access=free}}</ref> एक गैर-रिफ्लेक्सिव स्पेस, जिसे आमतौर पर जेम्स स्पेस कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है <math>J,</math><ref>see {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}}, p.&nbsp;25.</ref> ऐसा भागफल <math>J^{\prime\prime} / J</math> एक आयामी है।
-इसके अलावा, यह स्थान <math>J</math> isometrically isomorphic to its Bidual है।
 {{math theorem| math_statement = A Banach space <math>X</math> is reflexive if and only if its unit ball is [[Compact space|compact]] in the [[weak topology]].}}
-कब <math>X</math> स्वतुल्य है, यह इस प्रकार है कि सभी बंद और परिबद्ध उत्तल सेट <math>X</math> कमजोर रूप से संकुचित हैं।
+जब <math>X</math> स्वतुल्य है, यह इस प्रकार है कि सभी संवृत और परिबद्ध उत्तल समुच्चय <math>X</math> दुर्बल रूप से संकुचित हैं। हिल्बर्ट समष्टि में <math>H,</math> इकाई गोले की दुर्बल सघनता का उपयोग प्रायः निम्नलिखित तरीके से किया जाता है: प्रत्येक सीमित क्रम में <math>H</math> दुर्बल रूप से अभिसारी परिणाम हैं।
-एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में <math>H,</math> यूनिट बॉल की कमजोर सघनता का उपयोग अक्सर निम्नलिखित तरीके से किया जाता है: प्रत्येक बंधे हुए क्रम में <math>H</math> कमजोर रूप से अभिसारी परिणाम हैं।
-यूनिट बॉल की कमजोर कॉम्पैक्टनेस कुछ [[अनंत-आयामी अनुकूलन]] के लिए रिफ्लेक्सिव रिक्त स्थान में समाधान खोजने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है।
+इकाई गोले की दुर्बल सघनता कुछ [[अनंत-आयामी अनुकूलन]] के लिए प्रतिवर्ती समष्टि में समाधान खोजने के लिए उपकरण प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गोले <math>B</math> पर सतत फलन <math>B</math> मे प्रतिवर्ती समष्टि किसी बिंदु पर न्यूनतम हो जाता है
-उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गेंद पर निरंतर कार्य करता है <math>B</math> एक रिफ्लेक्सिव स्पेस किसी बिंदु पर न्यूनतम हो जाता है <math>B.</math>
-पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष मामले के रूप में, कब <math>X</math> एक रिफ्लेक्सिव स्पेस ओवर है <math>\R,</math> हर निरंतर रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> में <math>X^{\prime}</math> अधिकतम प्राप्त करता है <math>\|f\|</math> की यूनिट बॉल पर <math>X.</math> निम्नलिखित जेम्स प्रमेय|रॉबर्ट सी. जेम्स का प्रमेय एक विलोम कथन प्रदान करता है।
+पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष स्थिति के रूप में, जब <math>X</math> एक प्रतिवर्ती समष्टि पर <math>\R</math> है प्रत्येक सतत रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> में <math>X^{\prime}</math> , <math>\|f\|</math> इकाई गोले पर <math>X</math> अधिकतम प्राप्त करता है निम्नलिखित रॉबर्ट सी. जेम्स का प्रमेय विपरीत कथन प्रदान करता है
 {{math theorem| name = James' Theorem | math_statement = For a Banach space the following two properties are equivalent:
@@ Line 322: / Line 267: @@
 * for all <math>f</math> in <math>X^{\prime}</math> there exists <math>x \in X</math> with <math>\|x\| \leq 1,</math> so that <math>f(x) = \|f\|.</math>}}
-प्रमेय को कमजोर रूप से सघन उत्तल सेटों का लक्षण वर्णन देने के लिए बढ़ाया जा सकता है।
+प्रमेय को दुर्बल रूप से सघन उत्तल समुच्चय का विवरण देने के लिए बढ़ाया जा सकता है।
+प्रत्येक गैर-प्रतिवर्ती बानाच समष्टि पर <math>X,</math> सतत रेखीय फलन सम्मिलित हैं जो मानक-प्राप्ति नहीं कर रहे हैं। हालांकि, [[ बिशप बचाओ |बिशप बचाओ]] -[[रॉबर्ट फेल्प्स]] प्रमेय<ref>{{cite journal|last1=bishop|first1=See E.|last2=Phelps|first2=R.|year=1961|title=एक सबूत है कि हर बनच स्पेस सबरेफ्लेक्सिव है|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=67|pages=97–98|doi=10.1090/s0002-9904-1961-10514-4|doi-access=free }}</ref> बताता है कि मानक-प्राप्त करने वाले कार्यात्मक <math>X^{\prime}</math> का <math>X</math> द्विक सघन मानक हैं।
-हर नॉन-रिफ्लेक्सिव बनच स्पेस पर <math>X,</math> निरंतर रेखीय कार्य मौजूद हैं जो मानक-प्राप्ति नहीं कर रहे हैं।
-हालांकि, [[ बिशप बचाओ ]]-[[रॉबर्ट फेल्प्स]] प्रमेय<ref>{{cite journal|last1=bishop|first1=See E.|last2=Phelps|first2=R.|year=1961|title=एक सबूत है कि हर बनच स्पेस सबरेफ्लेक्सिव है|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=67|pages=97–98|doi=10.1090/s0002-9904-1961-10514-4|doi-access=free }}</ref> बताता है कि आदर्श-प्राप्त करने वाले कार्यात्मक दोहरे में मानक सघन हैं <math>X^{\prime}</math> का <math>X.</math>
+=== अनुक्रमों के दुर्बल अभिसरण ===
-=== अनुक्रमों के कमजोर अभिसरण ===
+क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> बानाच समष्टि में <math>X</math> वेक्टर के लिए दुर्बल रूप से अभिसरण <math>x \in X</math> है यदि <math>\left\{ f\left(x_n\right) \right\}</math> में संयोजन हो जाता है <math>f(x)</math> प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक के लिए <math>f</math> द्विक में <math>X^{\prime}</math> क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> दुर्बल कॉची अनुक्रम है यदि <math>\left\{ f\left(x_n\right) \right\}</math> अदिश सीमा में <math>L(f)</math> अभिसरण करता है प्रत्येक के लिए <math>f</math> में <math>X^{\prime}</math> क्रम <math>\left\{ f_n \right\}</math> द्विक में <math>X^{\prime}</math> दुर्बल रूप से कार्यात्मक के लिए अभिसरण <math>f \in X^{\prime}</math>है यदि <math>f_n(x)</math> में संयोजन हो जाता है <math>f(x)</math> प्रत्येक के लिए <math>x</math> में <math>X</math> समरूप बाउंडेडनेस सिद्धांत और बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय के परिणामस्वरूप दुर्बल कॉची अनुक्रम, दुर्बल रूप से अभिसरण और दुर्बल रूप से अभिसरण अनुक्रम मानक से परिबद्ध हैं।
-एक क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> एक बनच अंतरिक्ष में <math>X</math> वेक्टर के लिए कमजोर रूप से अभिसरण है <math>x \in X</math> अगर <math>\left\{ f\left(x_n\right) \right\}</math> में विलीन हो जाता है <math>f(x)</math> प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक के लिए <math>f</math> दोहरे में <math>X^{\prime}.</math> क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> एक कमजोर कॉची अनुक्रम है अगर <math>\left\{ f\left(x_n\right) \right\}</math> एक स्केलर सीमा में अभिसरण करता है <math>L(f),,</math> हरएक के लिए <math>f</math> में <math>X^{\prime}.</math> एक क्रम <math>\left\{ f_n \right\}</math> दोहरे में <math>X^{\prime}</math> दुर्बल रूप से* एक कार्यात्मक के लिए अभिसरण है <math>f \in X^{\prime}</math> अगर <math>f_n(x)</math> में विलीन हो जाता है <math>f(x)</math> हरएक के लिए <math>x</math> में <math>X.</math> यूनिफ़ॉर्म बाउंडेडनेस सिद्धांत | बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय के परिणामस्वरूप कमजोर कॉची अनुक्रम, कमजोर रूप से अभिसरण और कमजोर रूप से अभिसरण अनुक्रम मानदंड से बंधे हुए हैं।
+जब क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> में <math>X</math> एक दुर्बल कॉशी अनुक्रम है, सीमा <math>L</math> उपरोक्त द्विक पर एक बाध्य रैखिक <math>X^{\prime}</math> कार्यात्मक परिभाषित करता है तत्व <math>L</math> की द्वि-द्वैत का <math>X,</math> और <math>L</math> की सीमा है <math>\left\{ x_n \right\}</math> दुर्बल * में - द्वि-द्वैत की सांस्थिति बानाच समष्टि <math>X</math> दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होता है यदि प्रत्येक दुर्बल कॉची अनुक्रम में दुर्बल रूप से <math>X</math> अभिसरण होता है यह पूर्ववर्ती चर्चा से अनुसरण करता है कि प्रतिवर्ती समष्टि दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होते हैं।
-जब क्रम <math>\left\{ x_n \right\}</math> में <math>X</math> एक कमजोर कॉशी अनुक्रम है, सीमा <math>L</math> उपरोक्त दोहरी पर एक बाध्य रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है <math>X^{\prime},</math> वह है, एक तत्व <math>L</math> की बोली का <math>X,</math> और <math>L</math> की सीमा है <math>\left\{ x_n \right\}</math> कमजोर * में - बिडुअल की टोपोलॉजी।
+{{math theorem| name = प्रमेय <ref>see III.C.14, p.&nbsp;140 in {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}.</ref> | math_statement = प्रत्येक माप के लिए <math>\mu,</math> समष्टि <math>L^1(\mu)</math> दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण है।}}
-द बनच स्पेस <math>X</math> कमजोर रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होता है यदि प्रत्येक कमजोर कॉची अनुक्रम में कमजोर रूप से अभिसरण होता है <math>X.</math> यह पूर्ववर्ती चर्चा से अनुसरण करता है कि रिफ्लेक्सिव स्पेस कमजोर रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होते हैं।
-{{math theorem| name = Theorem <ref>see III.C.14, p.&nbsp;140 in {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}.</ref> | math_statement = For every measure <math>\mu,</math> the space <math>L^1(\mu)</math> is weakly sequentially complete.}}
+हिल्बर्ट समष्टि में एक प्रसामान्य लांबिक अनुक्रम एक दुर्बल रूप से अभिसरण अनुक्रम का एक सरल उदाहरण है, जिसकी सीमा <math>\mathbf{0}</math> वेक्टर के बराबर है। उदाहरण <math>\ell^p</math> के लिए <math>1 < p < \infty,</math> या का <math>c_0,</math> दुर्बल अशक्त अनुक्रम का एक और उदाहरण है, जो कि एक ऐसा क्रम है जो दुर्बल रूप से <math>\mathbf{0}</math> अभिसरण करता है बानाच समष्टि में प्रत्येक दुर्बल अशक्त अनुक्रम के लिए, दिए गए अनुक्रम से वैक्टरों के उत्तल संयोजनों का एक क्रम सम्मिलित है जो मानक-अभिसरण <math>\mathbf{0}</math> है। <ref>see Corollary&nbsp;2, p.&nbsp;11 in {{harvtxt|Diestel|1984}}.</ref>
-हिल्बर्ट स्पेस में एक ऑर्थोनॉर्मल अनुक्रम एक कमजोर रूप से अभिसरण अनुक्रम का एक सरल उदाहरण है, जिसकी सीमा के बराबर है <math>\mathbf{0}</math> वेक्टर।
+इकाई वेक्टर आधार <math>\ell^1</math> दुर्बल कॉची नहीं है। दुर्बल कॉची क्रम में <math>\ell^1</math> दुर्बल रूप से अभिसरण हैं, चूंकि <math>L^1</math>-समष्टि दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण हैं। वास्तव में, दुर्बल रूप से अभिसारी अनुक्रम <math>\ell^1</math> मानक अभिसरण हैं।<ref>see p.&nbsp;85 in {{harvtxt|Diestel|1984}}.</ref> इस का तात्पर्य है कि <math>\ell^1</math> शूर की गुण को पूरा करता है।
-शाउडर आधार # के उदाहरण <math>\ell^p</math> के लिए <math>1 < p < \infty,</math> या का <math>c_0,</math> एक कमजोर अशक्त अनुक्रम का एक और उदाहरण है, जो कि एक ऐसा क्रम है जो कमजोर रूप से अभिसरण करता है <math>\mathbf{0}.</math> बानाच स्थान में प्रत्येक कमजोर अशक्त अनुक्रम के लिए, दिए गए अनुक्रम से वैक्टरों के उत्तल संयोजनों का एक क्रम मौजूद है जो मानक-अभिसरण है <math>\mathbf{0}.</math><ref>see Corollary&nbsp;2, p.&nbsp;11 in {{harvtxt|Diestel|1984}}.</ref>
-इकाई वेक्टर आधार <math>\ell^1</math> कमजोर कॉची नहीं है।
-कमजोर कॉची क्रम में <math>\ell^1</math> कमजोर रूप से अभिसरण हैं, चूंकि <math>L^1</math>-स्पेस कमजोर रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण हैं।
-वास्तव में, कमजोर रूप से अभिसारी अनुक्रम <math>\ell^1</math> मानक अभिसरण हैं।<ref>see p.&nbsp;85 in {{harvtxt|Diestel|1984}}.</ref> इस का मतलब है कि <math>\ell^1</math> शूर की संपत्ति को संतुष्ट करता है।
-==== परिणाम शामिल हैं <math>\ell^1</math> आधार ==
+====<math>\ell^1</math> आधार से जुड़े परिणाम ====
-कमजोर कॉची अनुक्रम और <math>\ell^1</math> आधार H. P. रोसेन्थल के निम्नलिखित गहरे परिणाम में स्थापित द्विभाजन के विपरीत मामले हैं।<ref>{{cite journal|last1=Rosenthal|first1=Haskell P|year=1974|title=A characterization of Banach spaces containing ℓ<sup>1</sup>|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=71|issue=6| pages=2411–2413 | doi=10.1073/pnas.71.6.2411|pmid=16592162|pmc=388466|arxiv=math.FA/9210205|bibcode=1974PNAS...71.2411R|doi-access=free}} Rosenthal's proof is for real scalars. The complex version of the result is due to L. Dor, in {{cite journal| last1=Dor|first1=Leonard E|year=1975|title=On sequences spanning a complex ℓ<sup>1</sup> space|journal=Proc. Amer. Math. Soc. | volume=47|pages=515–516|doi=10.1090/s0002-9939-1975-0358308-x|doi-access=free}}</ref>
+दुर्बल कॉची अनुक्रम और <math>\ell^1</math> आधार H. P. रोसेन्थल के निम्नलिखित गहन परिणाम में स्थापित द्विभाजन के विपरीत स्थिति हैं।<ref>{{cite journal|last1=Rosenthal|first1=Haskell P|year=1974|title=A characterization of Banach spaces containing ℓ<sup>1</sup>|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=71|issue=6| pages=2411–2413 | doi=10.1073/pnas.71.6.2411|pmid=16592162|pmc=388466|arxiv=math.FA/9210205|bibcode=1974PNAS...71.2411R|doi-access=free}} Rosenthal's proof is for real scalars. The complex version of the result is due to L. Dor, in {{cite journal| last1=Dor|first1=Leonard E|year=1975|title=On sequences spanning a complex ℓ<sup>1</sup> space|journal=Proc. Amer. Math. Soc. | volume=47|pages=515–516|doi=10.1090/s0002-9939-1975-0358308-x|doi-access=free}}</ref>
-{{math theorem| name = Theorem<ref>see p.&nbsp;201 in {{harvtxt|Diestel|1984}}.</ref> | math_statement = Let <math>\left\{x_n\right\}_{n \in \N}</math> be a bounded sequence in a Banach space. Either <math>\left\{ x_n \right\}_{n \in \N}</math> has a weakly Cauchy subsequence, or it admits a subsequence [[Schauder basis#Definitions|equivalent]] to the standard unit vector basis of <math>\ell^1.</math>}}
+{{math theorem| name = प्रमेय<ref>see p.&nbsp;201 in {{harvtxt|Diestel|1984}}.</ref> | math_statement = मान लीजिए<math>\left\{x_n\right\}_{n \in \N}</math> बनच स्पेस में एक सीमित अनुक्रम हो। दोनों में से एक<math>\left\{ x_n \right\}_{n \in \N}</math> में दुर्बल कॉची या यह [[Schauder basis#Definitions|समकक्ष]] के मानक इकाई सदिश<math>\ell^1</math>आधार के समतुल्य परवर्ती को स्वीकार करता है}}
 इस परिणाम का पूरक ओडेल और रोसेन्थल (1975) के कारण है।
-{{math theorem| name = Theorem<ref>{{citation|last1=Odell|first1=Edward W.|last2=Rosenthal|first2=Haskell P.|title=A double-dual characterization of separable Banach spaces containing ℓ<sup>1</sup>|journal=[[Israel Journal of Mathematics]]|volume=20|year=1975|issue=3–4 |pages=375–384|doi=10.1007/bf02760341|doi-access=free|s2cid=122391702|url=http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/133414/CommentatMathUnivCarolRetro_50-2009-1_5.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/133414/CommentatMathUnivCarolRetro_50-2009-1_5.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live}}.</ref> | math_statement = Let <math>X</math> be a separable Banach space. The following are equivalent:
+{{math theorem| name = प्रमेय<ref>{{citation|last1=Odell|first1=Edward W.|last2=Rosenthal|first2=Haskell P.|title=A double-dual characterization of separable Banach spaces containing ℓ<sup>1</sup>|journal=[[Israel Journal of Mathematics]]|volume=20|year=1975|issue=3–4 |pages=375–384|doi=10.1007/bf02760341|doi-access=free|s2cid=122391702|url=http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/133414/CommentatMathUnivCarolRetro_50-2009-1_5.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/133414/CommentatMathUnivCarolRetro_50-2009-1_5.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live}}.</ref> | math_statement = मान लीजिए <math>X</math> एक वियोज्य बानाख-समष्‍टि हो।निम्नलिखित समतुल्य हैं:
-*The space <math>X</math> does not contain a closed subspace isomorphic to <math>\ell^1.</math>
+*समष्टि <math>X</math> में <math>\ell^1</math> संवृत उपसमष्टि समरूपी नहीं है
-*Every element of the bidual <math>X''</math> is the weak*-limit of a sequence <math>\left\{x_n\right\}</math> in <math>X.</math>}}
+*द्वि-द्वैत का प्रत्येक तत्व <math>X''</math> में अनुक्रम <math>\left\{x_n\right\}</math> की <math>X</math> दुर्बल*-सीमा है।}}
+गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, इकाई गोले का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> का <math>X^{\prime\prime}</math> दुर्बल है*-<math>X</math> की इकाई गोले में नेट की सीमा जब <math>X</math> सम्मिलित नहीं है तब <math>\ell^1</math> का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> दुर्बल है* -<math>X</math> अनुक्रम की सीमा की इकाई गोले में सम्मिलित है।<ref>Odell and Rosenthal, Sublemma p.&nbsp;378 and Remark p.&nbsp;379.</ref>
-गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, यूनिट बॉल का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> का <math>X^{\prime\prime}</math> कमजोर है*- की यूनिट बॉल में नेट की सीमा <math>X.</math> कब <math>X</math> शामिल नहीं है <math>\ell^1,</math> का हर तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> कमजोर है* - एक की सीमा {{em|sequence}} की यूनिट बॉल में <math>X.</math><ref>Odell and Rosenthal, Sublemma p.&nbsp;378 and Remark p.&nbsp;379.</ref>
+जब बानाच समष्टि <math>X</math> वियोज्य है, द्विक की इकाई गोले <math>X^{\prime},</math> दुर्बल *-सांस्थिति से कम, एक दूरीकनीय सुसंहत <math>K</math> समष्टि है<ref name="DualBall" /> और प्रत्येक तत्व <math>x^{\prime\prime}</math> द्वि-द्वैत में <math>X^{\prime\prime}</math> परिबद्ध फलन <math>K</math> को परिभाषित करता है :
-जब बनच अंतरिक्ष <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई गेंद <math>X^{\prime},</math> कमजोर *-टोपोलॉजी से लैस, एक मेट्रिजेबल कॉम्पैक्ट स्पेस है <math>K,</math><ref name="DualBall" />और हर तत्व <math>x^{\prime\prime}</math> बोली में <math>X^{\prime\prime}</math> एक बंधे हुए कार्य को परिभाषित करता है <math>K</math>:
+<math display="block">x' \in K \mapsto x''(x'), \quad \left |x''(x')\right| \leq \left \|x''\right \|.</math>
-<math display=block>x' \in K \mapsto x''(x'), \quad \left |x''(x')\right| \leq \left \|x''\right \|.</math>
+यह फलन सुसंहत सांस्थिति <math>K</math> के लिए निरंतर है यदि और केवल यदि <math>x^{\prime\prime}</math> वास्तव में है तब <math>X,</math> का उपसमुच्चय <math>X^{\prime\prime}</math> माना जाता है शेष पैराग्राफ<math>X</math> के लिए अतिरिक्त मान लें कि <math>\ell^1</math> सम्मिलित नहीं है ओडेल और रोसेन्थल के पूर्ववर्ती परिणाम से, फलन <math>x^{\prime\prime}</math> बिन्दुवार अभिसरण <math>K</math> है क्रम का <math>\left\{x_n\right\} \subseteq X</math> सतत फलनों पर <math>K,</math> इसलिए यह एक [[बाहरी समारोह|बाहरी फलन]] <math>K</math> है। द्वि-द्वैत की इकाई गोले <math>K</math> पहले बायर वर्ग का बिंदुवार सुसंहत उपसमुच्चय है।<ref>for more on pointwise compact subsets of the Baire class, see {{citation|last1=Bourgain|first1=Jean|author1-link=Jean Bourgain|last2=Fremlin|first2=D. H.|last3=Talagrand |first3=Michel|title=Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions|journal=Am. J. Math.|volume=100|year=1978|issue=4|pages=845–886|jstor=2373913|doi=10.2307/2373913}}.</ref>
-यह कार्य कॉम्पैक्ट टोपोलॉजी के लिए निरंतर है <math>K</math> अगर और केवल अगर <math>x^{\prime\prime}</math> वास्तव में है <math>X,</math> का उपसमुच्चय माना जाता है <math>X^{\prime\prime}.</math> बाकी पैराग्राफ के लिए अतिरिक्त मान लें कि <math>X</math> शामिल नहीं है <math>\ell^1.</math> ओडेल और रोसेन्थल के पूर्ववर्ती परिणाम से, समारोह <math>x^{\prime\prime}</math> बिन्दुवार अभिसरण चालू है <math>K</math> एक क्रम का <math>\left\{x_n\right\} \subseteq X</math> निरंतर कार्यों पर <math>K,</math> इसलिए यह एक [[बाहरी समारोह]] है <math>K.</math> बिडुअल की यूनिट बॉल पहले बायर वर्ग का बिंदुवार कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है <math>K.</math><ref>for more on pointwise compact subsets of the Baire class, see {{citation|last1=Bourgain|first1=Jean|author1-link=Jean Bourgain|last2=Fremlin|first2=D. H.|last3=Talagrand |first3=Michel|title=Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions|journal=Am. J. Math.|volume=100|year=1978|issue=4|pages=845–886|jstor=2373913|doi=10.2307/2373913}}.</ref>
-==== अनुक्रम, कमजोर और कमजोर * कॉम्पैक्टनेस ====
-कब <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई गेंद कमजोर है * - बनच-अलाग्लु प्रमेय द्वारा कॉम्पैक्ट और कमजोर * टोपोलॉजी के लिए मेट्रिजेबल,<ref name="DualBall" />इसलिए दोहरे में प्रत्येक बंधे हुए क्रम में कमजोर रूप से अभिसारी अनुक्रम होते हैं।
+==== अनुक्रम, दुर्बल और दुर्बल * सघनता ====
-यह वियोज्य रिफ्लेक्सिव रिक्त स्थान पर लागू होता है, लेकिन इस मामले में अधिक सत्य है, जैसा कि नीचे बताया गया है।
-बनच स्पेस की कमजोर टोपोलॉजी <math>X</math> मेट्रिजेबल है अगर और केवल अगर <math>X</math> परिमित-आयामी है।<ref>see Proposition&nbsp;2.5.14, p.&nbsp;215 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref> यदि द्वि <math>X'</math> वियोज्य है, यूनिट बॉल की कमजोर टोपोलॉजी <math>X</math> मेट्रिजेबल है।
+जब <math>X</math> वियोज्य है, द्विक की इकाई गोले दुर्बल है * - बानाच-अलाग्लु प्रमेय द्वारा सुसंहत और दुर्बल * सांस्थिति के लिए दूरीकनीय,<ref name="DualBall" /> इसलिए द्विक में प्रत्येक परिबद्ध क्रम में दुर्बल रूप से अभिसारी अनुक्रम होते हैं। यह वियोज्य प्रतिवर्ती रिक्त समष्टि पर प्रयुक्त होता है, लेकिन इस स्थिति में अधिक सत्य है, जैसा कि नीचे बताया गया है।
-यह विशेष रूप से अलग करने योग्य रिफ्लेक्सिव बैनच रिक्त स्थान पर लागू होता है।
-हालांकि यूनिट बॉल की कमजोर टोपोलॉजी सामान्य रूप से मेट्रिजेबल नहीं है, लेकिन अनुक्रमों का उपयोग करके कमजोर कॉम्पैक्टनेस को चिह्नित किया जा सकता है।
-{{math theorem| name = [[Eberlein–Šmulian theorem]]<ref>see for example p.&nbsp;49, II.C.3 in {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}.</ref> | math_statement = A set <math>A</math> in a Banach space is relatively weakly compact if and only if every sequence <math>\left\{ a_n \right\}</math> in <math>A</math> has a weakly convergent subsequence.}}
+बानाच समष्टि की दुर्बल सांस्थिति <math>X</math> दूरीकनीय है यदि और केवल यदि <math>X</math> परिमित-आयामी है।<ref>see Proposition&nbsp;2.5.14, p.&nbsp;215 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref> यदि द्वि <math>X'</math> वियोज्य है, इकाई गोले की दुर्बल सांस्थिति <math>X</math> दूरीकनीय है। यह विशेष रूप से अलग करने योग्य प्रतिवर्ती बैनच रिक्त समष्टि पर प्रयुक्त होता है। हालांकि इकाई गोले की दुर्बल सांस्थिति सामान्य रूप से दूरीकनीय नहीं है, लेकिन अनुक्रमों का उपयोग करके दुर्बल सघनता को चिह्नित किया जा सकता है।
-एक बनच स्थान <math>X</math> रिफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर प्रत्येक बंधे अनुक्रम में <math>X</math> एक कमजोर अभिसारी परिणाम है।<ref>see Corollary&nbsp;2.8.9, p.&nbsp;251 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>
+{{math theorem| name = [[एबरलीन-एसमुलियन प्रमेय]]<ref>see for example p.&nbsp;49, II.C.3 in {{harvtxt|Wojtaszczyk|1991}}.</ref> | math_statement = समुच्चय <math>A</math> बानाख-समष्‍टि में अपेक्षाकृत दुर्बल रूप से संहत है यदि और केवल यदि प्रत्येक क्रम<math>\left\{ a_n \right\}</math> में <math>A</math> दुर्बल रूप से अभिसरण अनुक्रम है।}}
-एक कमजोर कॉम्पैक्ट सबसेट <math>A</math> में <math>\ell^1</math> नॉर्म-कॉम्पैक्ट है। दरअसल, हर क्रम में <math>A</math> Eberlein-Smulian द्वारा कमजोर रूप से अभिसारी परिणाम हैं, जो कि Schur संपत्ति द्वारा मानक अभिसरण हैं <math>\ell^1.</math>
+बानाच समष्टि <math>X</math> प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि प्रत्येक बंधे अनुक्रम में <math>X</math> एक दुर्बल अभिसारी परिणाम है।<ref>see Corollary&nbsp;2.8.9, p.&nbsp;251 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref> दुर्बल सुसंहत उप-समुच्चय <math>A</math> में <math>\ell^1</math> मानक-सुसंहत है। विशेष रूप से, प्रत्येक क्रम में <math>A</math> एबरलीन-स्मुलियन द्वारा दुर्बल रूप से अभिसारी परिणाम हैं, जो <math>\ell^1</math> कि शूर गुण द्वारा मानक अभिसरण हैं।
-== कंपकंपी के आधार ==
-{{main|Schauder basis}}
-बनच क्षेत्र में एक कंपकंपी का आधार <math>X</math> एक क्रम है <math>\left\{ e_n \right\}_{n \geq 0}</math> वैक्टर में <math>X</math> संपत्ति के साथ कि हर वेक्टर के लिए <math>x \in X,</math> वहां है {{em|uniquely}} परिभाषित स्केलर <math>\left\{ x_n \right\}_{n \geq 0}</math> इस पर निर्भर करते हुए <math>x,</math> ऐसा है कि
+== शाउडर प्रमेय के आधार पर ==
+{{main|शाउडर आधार}}
+बानाच क्षेत्र में एक शाउडर का आधार <math>X</math> एक क्रम है <math>\left\{ e_n \right\}_{n \geq 0}</math> वैक्टर में <math>X</math> गुण के साथ कि प्रत्येक वेक्टर के लिए <math>x \in X,</math> है विशिष्ट रूप से परिभाषित अदिश <math>\left\{ x_n \right\}_{n \geq 0}</math> इस पर निर्भर करते हुए <math>x,</math> जैसे कि
 <math display=block>x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n e_n, \quad \textit{i.e.,} \quad x = \lim_n P_n(x), \ P_n(x) := \sum_{k=0}^n x_k e_k.</math>
-स्कॉडर आधार के साथ बैनच रिक्त स्थान आवश्यक रूप से वियोज्य स्थान हैं, क्योंकि तर्कसंगत गुणांक (कहते हैं) के साथ परिमित रैखिक संयोजनों का गणनीय सेट घना है।
+शाउडर आधार के साथ बैनच रिक्त समष्टि आवश्यक रूप से वियोज्य समष्टि हैं, क्योंकि तर्कसंगत गुणांक (कहते हैं) के साथ परिमित रैखिक संयोजनों का गणनीय समुच्चय घना है।
-यह बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय से आता है जो कि रैखिक मानचित्रण है <math>\left\{P_n\right\}</math> समान रूप से कुछ स्थिरांक से बंधे होते हैं <math>C.</math> होने देना <math>\left\{ e_n^* \right\}</math> उन समन्वय कार्यों को निरूपित करें जो प्रत्येक को असाइन करते हैं <math>x</math> में <math>X</math> समन्वय <math>x_n</math> का <math>x</math> उपरोक्त विस्तार में।
+यह बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय से आता है जो कि रैखिक मानचित्रण <math>\left\{P_n\right\}</math> है समान रूप से कुछ स्थिरांक <math>C</math> से बंधे होते हैं मान लीजिए <math>\left\{ e_n^* \right\}</math> उन समन्वय फलनों को निरूपित करें जो <math>x</math> में <math>X</math> समन्वय <math>x_n</math> का <math>x</math> उपरोक्त विस्तार में प्रत्येक को निर्धारित करते हैं। उन्हें द्विलांबिक फलन कहा जाता है। जब <math>1</math> आधार वैक्टर का मानक होता है तब <math>\left\{e_n^*\right\}</math> मानक <math>\,\leq 2 C</math> के द्विक में <math>X</math> समन्वय फलन करता है।
-उन्हें बायोरथोगोनल फंक्शंस कहा जाता है। जब आधार वैक्टर का मानदंड होता है <math>1,</math> समन्वय कार्य करता है <math>\left\{e_n^*\right\}</math> आदर्श है <math>\,\leq 2 C</math> के दोहरे में <math>X.</math>
-अधिकांश शास्त्रीय वियोज्य स्थानों में स्पष्ट आधार होते हैं।
-[[ उसकी तरंगिका ]] <math>\left\{ h_n \right\}</math> का आधार है <math>L^p([0, 1]), 1 \leq p < \infty.</math> द स्कॉडर बेसिस#उदाहरण एक आधार है <math>L^p(\mathbf{T})</math> कब <math>1 < p < \infty.</math> इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार तरंगिका # हार प्रणाली अंतरिक्ष में एक आधार है <math>C([0, 1]).</math><ref>see {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}} p.&nbsp;3.</ref> डिस्क बीजगणित का सवाल है <math>A(\mathbf{D})</math> एक आधार है<ref>the question appears p.&nbsp;238, §3 in Banach's book, {{harvtxt|Banach|1932}}.</ref> 1974 में Bočkarev द्वारा दिखाए जाने तक चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहा <math>A(\mathbf{D})</math> यूनिट अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार वेवलेट #हार प्रणाली से निर्मित आधार को स्वीकार करता है।<ref>see S. V. Bočkarev, "Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system". (Russian) Mat. Sb. (N.S.) 95(137) (1974), 3–18, 159.</ref>
-चूंकि प्रत्येक वेक्टर <math>x</math> एक बनच अंतरिक्ष में <math>X</math> आधार के साथ की सीमा है <math>P_n(x),</math> साथ <math>P_n</math> परिमित रैंक और समान रूप से घिरा, स्थान <math>X</math> [[सन्निकटन संपत्ति]] को संतुष्ट करता है।
-सन्निकटन संपत्ति को विफल करने वाले स्थान के [[प्रति एंफ्लो]] द्वारा पहला उदाहरण एक ही समय में एक अलग-अलग बानाच स्थान का पहला उदाहरण था, जो कि स्कॉडर आधार के बिना था।<ref>see {{cite journal|last1=Enflo|first1=P.|year=1973|title=A counterexample to the approximation property in Banach spaces|journal=Acta Math.|volume=130|pages=309–317| doi=10.1007/bf02392270| s2cid=120530273 | doi-access=free}}</ref>
-रॉबर्ट सी. जेम्स ने बैनाच स्थानों में एक आधार के साथ रिफ्लेक्सिविटी की विशेषता बताई: अंतरिक्ष <math>X</math> एक Schauder आधार के साथ रिफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर आधार Schauder आधार#Schauder आधार और द्वैत दोनों है।<ref>see R.C. James, "Bases and reflexivity of Banach spaces". Ann. of Math. (2) 52, (1950). 518–527. See also {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}} p.&nbsp;9.</ref> इस मामले में, बायोऑर्थोगोनल कार्यात्मकता दोहरे के आधार का निर्माण करती है <math>X.</math>
+अधिकांश उत्कृष्ट वियोज्य समष्टि में स्पष्ट आधार होते हैं। [[ उसकी तरंगिका |हार प्रणाली]] <math>\left\{ h_n \right\}</math> का आधार <math>L^p([0, 1]), 1 \leq p < \infty</math> के लिए है त्रिकोणमितीय प्रणाली एक आधार <math>L^p(\mathbf{T})</math> जब <math>1 < p < \infty</math> है। इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर स्कॉडर प्रणाली समष्टि में एक आधार <math>C([0, 1])</math> है।<ref>see {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}} p.&nbsp;3.</ref> सवाल है कि क्या डिस्क बीजगणित <math>A(\mathbf{D})</math> का एक आधार है।<ref>the question appears p.&nbsp;238, §3 in Banach's book, {{harvtxt|Banach|1932}}.</ref> चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहा, जब तक कि जब तक कि बोकारेव ने 1974 में दिखाया कि <math>A(\mathbf{D})</math> फ्रैंकलिन प्रणाली से निर्मित एक आधार को स्वीकार करता है।<ref>see S. V. Bočkarev, "Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system". (Russian) Mat. Sb. (N.S.) 95(137) (1974), 3–18, 159.</ref>
-== टेंसर उत्पाद ==
+चूंकि प्रत्येक वेक्टर <math>x</math> बानाच समष्टि में <math>X</math> आधार के साथ की सीमा <math>P_n(x)</math> साथ <math>P_n</math> है, परिमित श्रेणी और समान रूप से परिबद्ध समष्टि <math>X</math> [[सन्निकटन संपत्ति|सन्निकटन गुण]] को संतुष्ट करता है। सन्निकटन गुण को विफल करने वाले समष्टि के [[प्रति एंफ्लो]] द्वारा पहला उदाहरण एक ही समय में अलग करने योग्य बनच समष्टि का पहला उदाहरण था, जो कि शाउडर आधार के बिना था।<ref>see {{cite journal|last1=Enflo|first1=P.|year=1973|title=A counterexample to the approximation property in Banach spaces|journal=Acta Math.|volume=130|pages=309–317| doi=10.1007/bf02392270| s2cid=120530273 | doi-access=free}}</ref>
-{{main|Tensor product|Topological tensor product}}
-[[File:Tensor-diagramB.jpg|thumb]]होने देना <math>X</math> और <math>Y</math> दो हो <math>\mathbb{K}</math>-वेक्टर रिक्त स्थान। [[टेंसर उत्पाद]] <math>X \otimes Y</math> का <math>X</math> और <math>Y</math> एक है <math>\mathbb{K}</math>-सदिश स्थल <math>Z</math> बिलिनियर मैपिंग के साथ <math>T : X \times Y \to Z</math> जिसके पास निम्नलिखित [[सार्वभौमिक संपत्ति]] है:
-:अगर <math>T_1 : X \times Y \to Z_1</math> क्या कोई बिलिनियर मैपिंग ए में है <math>\mathbb{K}</math>-सदिश स्थल <math>Z_1,</math> तो वहाँ एक अद्वितीय रेखीय मानचित्रण मौजूद है <math>f : Z \to Z_1</math> ऐसा है कि <math>T_1 = f \circ T.</math>
+रॉबर्ट सी. जेम्स ने बैनाच समष्टि में एक आधार के साथ स्वतुल्यता की विशेषता बताई: समष्टि <math>X</math> एक शाउडर आधार के साथ प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि आधार शाउडर आधार और द्वि-द्वैत दोनों है।<ref>see R.C. James, "Bases and reflexivity of Banach spaces". Ann. of Math. (2) 52, (1950). 518–527. See also {{harvtxt|Lindenstrauss|Tzafriri|1977}} p.&nbsp;9.</ref> इस स्थिति में, द्विलांबिक कार्यात्मकता द्विक <math>X</math> के आधार का निर्माण करती है।
-नीचे की छवि <math>T</math> एक जोड़े का <math>(x, y)</math> में <math>X \times Y</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>x \otimes y,</math> और एक साधारण टेन्सर कहा जाता है।
-हर तत्व <math>z</math> में <math>X \otimes Y</math> ऐसे सरल टेंसरों का परिमित योग है।
-ऐसे विभिन्न मानदंड हैं जिन्हें अंतर्निहित वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद पर रखा जा सकता है, दूसरों के बीच टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद#क्रॉस मानदंड और बैनच स्पेस के टेंसर उत्पाद और टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद#अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा पेश किए गए बैनाच स्पेस के क्रॉस मानदंड और टेंसर उत्पाद |ए. 1955 में ग्रोथेंडिक।<ref>see A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., and A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.</ref>
-सामान्य तौर पर, पूर्ण रिक्त स्थान का टेन्सर उत्पाद फिर से पूर्ण नहीं होता है। बनच रिक्त स्थान के साथ काम करते समय, यह कहने की प्रथा है कि प्रक्षेपी टेंसर उत्पाद<ref>see chap.&nbsp;2, p.&nbsp;15 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref> दो बनच स्थानों में से <math>X</math> और <math>Y</math> है {{em|[[Complete topological vector space|completion]]}} <math>X \widehat{\otimes}_\pi Y</math> बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का <math>X \otimes Y</math> प्रोजेक्टिव टेंसर मानदंड से लैस है, और इसी तरह इंजेक्शन टेंसर उत्पाद के लिए<ref>see chap.&nbsp;3, p.&nbsp;45 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref> <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y.</math> ग्रोथेंडिक ने विशेष रूप से साबित किया<ref>see Example.&nbsp;2.19, p.&nbsp;29, and pp.&nbsp;49–50 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref>
-<math display=block>\begin{align}
+== टेंसर गुणनफल ==
+{{main|टेन्सर गुणनफल और सांंस्थितिक टेंसर गुणनफल}}
+[[File:Tensor-diagramB.jpg|thumb]]मान लीजिए <math>X</math> और <math>Y</math> दो <math>\mathbb{K}</math>-वेक्टर रिक्त समष्टि हो। [[टेंसर उत्पाद|टेंसर गुणनफल]] <math>X \otimes Y</math> का <math>X</math> और <math>Y</math> एक है <math>\mathbb{K}</math>-सदिश क्षेत्र <math>Z</math> द्वि-रैखिक प्रतिचित्रण के साथ <math>T : X \times Y \to Z</math> जिसके पास निम्नलिखित [[सार्वभौमिक संपत्ति|सार्वभौमिक गुण]] है:
+:यदि <math>T_1 : X \times Y \to Z_1</math> क्या कोई द्वि-रैखिक प्रतिचित्रण A में है <math>\mathbb{K}</math>-सदिश क्षेत्र <math>Z_1,</math> तो वहाँ एक अद्वितीय रेखीय मानचित्रण <math>f : Z \to Z_1</math> सम्मिलित है जैसे कि <math>T_1 = f \circ T.</math>
+नीचे की छवि <math>T</math> युग्म का <math>(x, y)</math> में <math>X \times Y</math> द्वारा <math>x \otimes y</math> निरूपित किया जाता है और एक साधारण टेन्सर कहा जाता है। प्रत्येक तत्व <math>z</math> में <math>X \otimes Y</math> ऐसे सरल टेंसरों का परिमित योग है।
+में ए. ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तुत किए गए प्रक्षेपीय गुणन-मानक और अंतःक्षेपक गुणन-मानक के बीच, अंतर्निहित वेक्टर स्पेस के टेंसर गुणनफल पर कई मानदंड रखे जा सकते हैं।<ref>see A. Grothendieck, "Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Math. Soc. 1955 (1955), no. 16, 140 pp., and A. Grothendieck, "Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques". Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1–79.</ref>
+सामान्य रूप से, पूर्ण रिक्त समष्टि का टेन्सर गुणनफल फिर से पूर्ण नहीं होता है। बानाच रिक्त समष्टि के साथ काम करते समय, यह कहने की प्रथागत है कि प्रक्षेपी टेंसर गुणनफल<ref>see chap.&nbsp;2, p.&nbsp;15 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref> दो बानाच समष्टि में से <math>X</math> और <math>Y</math> पूर्णता <math>X \widehat{\otimes}_\pi Y</math> बीजगणितीय टेंसर गुणनफल का <math>X \otimes Y</math> प्रक्षेपीय टेंसर मानक से कम है, और इसी तरह अंतःक्षेपक टेंसर गुणनफल के लिए<ref>see chap.&nbsp;3, p.&nbsp;45 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref> <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y</math> ग्रोथेंडिक ने विशेष रूप से प्रमाणित किया<ref>see Example.&nbsp;2.19, p.&nbsp;29, and pp.&nbsp;49–50 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref>
+<math display="block">\begin{align}
 C(K) \widehat{\otimes}_\varepsilon Y &\simeq C(K, Y), \\
 L^1([0, 1]) \widehat{\otimes}_\pi Y &\simeq L^1([0, 1], Y),
 \end{align}</math>
-कहाँ <math>K</math> एक कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस है, <math>C(K, Y)</math> से निरंतर कार्यों की Banach अंतरिक्ष <math>K</math> को <math>Y</math> और <math>L^1([0, 1], Y)</math> Bochner-मापने योग्य और पूर्णांक कार्यों का स्थान <math>[0, 1]</math> को <math>Y,</math> और जहां समरूपताएं सममितीय हैं।
+जहाँ <math>K</math> सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि <math>C(K, Y)</math> से सतत फलनों की बानाच समष्टि <math>K</math> को <math>Y</math> और <math>L^1([0, 1], Y)</math> बोचनर-मापने योग्य और पूर्णांक फलनों का समष्टि <math>[0, 1]</math> को <math>Y,</math> और जहां समरूपताएं सममितीय हैं। उपरोक्त दो समाकृतिकता टेंसर भेजने वाले मानचित्र <math>f \otimes y</math> के संबंधित विस्तार हैं और वेक्टर-मान फलन के लिए <math>s \in K \to f(s) y \in Y</math> है।
-उपरोक्त दो समाकृतिकता टेंसर भेजने वाले मानचित्र के संबंधित विस्तार हैं <math>f \otimes y</math> वेक्टर-वैल्यू फ़ंक्शन के लिए <math>s \in K \to f(s) y \in Y.</math>
-=== टेंसर उत्पाद और सन्निकटन गुण ===
+=== टेंसर गुणनफल और सन्निकटन गुण ===
-होने देना <math>X</math> बनच स्थान बनो। टेंसर उत्पाद <math>X' \widehat \otimes_\varepsilon X</math> में बंद होने के साथ आइसोमेट्रिक रूप से पहचाना जाता है <math>B(X)</math> परिमित रैंक ऑपरेटरों के सेट का।
+मान लीजिए <math>X</math> बानाच समष्टि है। टेंसर गुणनफल <math>X' \widehat \otimes_\varepsilon X</math> में संवृत होने के साथ सममितीय रूप से पहचाना जाता है और <math>B(X)</math> परिमित क्रम संक्रिया के समुच्चय का समरूप है। जब <math>X</math> सन्निकटन गुण है, यह संवरक [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर|सुसंहत]] संक्रिया के समष्टि के साथ <math>X</math> समरूप है प्रत्येक बानाच समष्टि के लिए <math>Y,</math> एक प्राकृतिक <math>1</math> रैखिक मानचित्र मानक है
-कब <math>X</math> सन्निकटन संपत्ति है, यह क्लोजर [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]]ों के स्थान के साथ मेल खाता है <math>X.</math>
-प्रत्येक बनच स्थान के लिए <math>Y,</math> एक प्राकृतिक मानदंड है <math>1</math> रैखिक नक्शा
 <math display=block>Y \widehat\otimes_\pi X \to Y \widehat\otimes_\varepsilon X</math>
-बीजगणितीय टेन्सर उत्पाद के पहचान मानचित्र को विस्तारित करके प्राप्त किया गया। ग्रोथेंडिक ने सन्निकटन संपत्ति को इस सवाल से संबंधित किया कि क्या यह नक्शा एक-से-एक कब है <math>Y</math> का द्वैत है <math>X.</math>
+बीजगणितीय टेन्सर गुणनफल के सर्वसमिका मानचित्र को विस्तारित करके प्राप्त किया गया। ग्रोथेंडिक ने सन्निकटन गुण को इस सवाल से संबंधित किया कि क्या यह मानचित्र एक-से-एक जब <math>Y</math> का द्वि-द्वैत <math>X</math> है। परिशुद्ध रूप से, प्रत्येक बानाच समष्टि के लिए <math>X,</math> वो मानचित्र
-सटीक रूप से, प्रत्येक बनच स्थान के लिए <math>X,</math> वो नक्शा
 <math display=block>X' \widehat \otimes_\pi X \ \longrightarrow X' \widehat \otimes_\varepsilon X</math>
-एक-से-एक है अगर और केवल अगर <math>X</math> सन्निकटन गुण है।<ref>see Proposition&nbsp;4.6, p.&nbsp;74 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref>
+एक-से-एक है यदि और केवल यदि <math>X</math> सन्निकटन गुण है।<ref>see Proposition&nbsp;4.6, p.&nbsp;74 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref>
-ग्रोथेंडिक ने अनुमान लगाया था <math>X \widehat{\otimes}_\pi Y</math> और <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y</math> जब भी अलग होना चाहिए <math>X</math> और <math>Y</math> अनंत-आयामी बनच स्थान हैं।
-यह 1983 में [[गाइल्स पिसिएर]] द्वारा अस्वीकृत किया गया था।<ref>see Pisier, Gilles (1983), "Counterexamples to a conjecture of Grothendieck", Acta Math. '''151''':181–208.</ref> पिसिएर ने एक अनंत-आयामी बनच अंतरिक्ष का निर्माण किया <math>X</math> ऐसा है कि <math>X \widehat{\otimes}_\pi X</math> और <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon X</math> बराबर हैं। इसके अलावा, Per Enflo|Enflo के उदाहरण के रूप में, यह स्थान <math>X</math> एक हाथ से बनाया गया स्थान है जो सन्निकटन गुण रखने में विफल रहता है। दूसरी ओर, सज़ांकोव्स्की ने सिद्ध किया कि शास्त्रीय स्थान <math>B\left(\ell^2\right)</math> सन्निकटन गुण नहीं है।<ref>see Szankowski, Andrzej (1981), "<math>B(H)</math> does not have the approximation property", Acta Math. '''147''': 89–108. Ryan claims that this result is due to [[Per Enflo]], p.&nbsp;74 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref>
+ग्रोथेंडिक ने अनुमान लगाया था कि <math>X \widehat{\otimes}_\pi Y</math> और <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y</math> जब भी अलग होना चाहिए तब <math>X</math> और <math>Y</math> अनंत-आयामी बानाच समष्टि हैं। यह 1983 में [[गाइल्स पिसिएर]] द्वारा अस्वीकृत किया गया था।<ref>see Pisier, Gilles (1983), "Counterexamples to a conjecture of Grothendieck", Acta Math. '''151''':181–208.</ref> पिसिएर ने एक अनंत-आयामी बानाच समष्टि <math>X</math> का निर्माण किया। जैसे कि <math>X \widehat{\otimes}_\pi X</math> और <math>X \widehat{\otimes}_\varepsilon X</math> बराबर हैं। इसके अतिरिक्त, एंफ्लो के उदाहरण के रूप में, यह समष्टि <math>X</math> एक हाथ से बनाया गया समष्टि है जो सन्निकटन गुण रखने में विफल रहता है। दूसरी ओर, सज़ांकोव्स्की ने सिद्ध किया कि उत्कृष्ट समष्टि <math>B\left(\ell^2\right)</math> सन्निकटन गुण नहीं है।<ref>see Szankowski, Andrzej (1981), "<math>B(H)</math> does not have the approximation property", Acta Math. '''147''': 89–108. Ryan claims that this result is due to [[Per Enflo]], p.&nbsp;74 in {{harvtxt|Ryan|2002}}.</ref>
 == कुछ वर्गीकरण परिणाम ==
-=== बानाच स्थानों के बीच हिल्बर्ट अंतरिक्ष की विशेषताएं ===
+=== बानाच समष्टि के बीच हिल्बर्ट समष्टि की विशेषताएं ===
-बनच स्थान के मानक के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त <math>X</math> एक आंतरिक उत्पाद से जुड़ा होना [[समांतर चतुर्भुज पहचान]] है:
+बानाच समष्टि के मानक के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त <math>X</math> एक आंतरिक गुणनफल से जुड़ा होना [[समांतर चतुर्भुज पहचान|समांतर चतुर्भुज सर्वसमिका]] है:
 {{math theorem| name = Parallelogram identity | math_statement = for all <math>x, y \in X : \qquad \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2 \left(\|x\|^2 + \|y\|^2\right).</math>}}
-यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, कि Lp स्थान <math>L^p([0, 1])</math> हिल्बर्ट स्पेस तभी है जब <math>p = 2.</math> यदि यह पहचान संतुष्ट होती है, तो संबंधित आंतरिक उत्पाद [[ध्रुवीकरण पहचान]] द्वारा दिया जाता है। वास्तविक अदिशों के मामले में, यह देता है:
+यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, कि Lp समष्टि <math>L^p([0, 1])</math> हिल्बर्ट समष्टि तभी है जब <math>p = 2</math> यदि यह सर्वसमिका पूर्ण होती है, तो संबंधित आंतरिक गुणनफल [[ध्रुवीकरण पहचान|ध्रुवीकरण सर्वसमिका]] द्वारा दिया जाता है। वास्तविक अदिशों के स्थिति में, यह देता है:
 <math display=block>\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 \right).</math>
-जटिल स्केलर्स के लिए, इनर प्रोडक्ट स्पेस को परिभाषित करना ताकि हो सके <math>\Complex</math>-रैखिक में <math>x,</math> एंटीलाइनर मानचित्र में <math>y,</math> ध्रुवीकरण पहचान देता है:
+जटिल सदिश के लिए, आंतरिक गुणनफल समष्टि को परिभाषित करना ताकि हो सके <math>\Complex</math>-रैखिक में <math>x,</math> गैर-रैखिक मानचित्र में <math>y,</math> ध्रुवीकरण सर्वसमिका देता है:
 <math display=block>\langle x,y\rangle = \tfrac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i \left(\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2\right)\right).</math>
-यह देखने के लिए कि समांतर चतुर्भुज कानून पर्याप्त है, कोई वास्तविक मामले में देखता है कि <math>\langle x, y \rangle</math> सममित है, और जटिल मामले में, कि यह [[हर्मिटियन समरूपता]] गुण को संतुष्ट करता है और <math>\langle i x, y \rangle = i \langle x, y \rangle.</math> समांतर चतुर्भुज कानून का तात्पर्य है <math>\langle x, y \rangle</math> में योगात्मक है <math>x.</math> यह इस प्रकार है कि यह परिमेय पर रैखिक है, इस प्रकार निरंतरता से रैखिक है।
+यह देखने के लिए कि समांतर चतुर्भुज नियम पर्याप्त है, कोई वास्तविक स्थिति में देखता है कि <math>\langle x, y \rangle</math> सममित है, और जटिल स्थिति में, कि यह [[हर्मिटियन समरूपता]] गुण को पूर्ण करता है और <math>\langle i x, y \rangle = i \langle x, y \rangle</math> समांतर चतुर्भुज नियम का तात्पर्य <math>\langle x, y \rangle</math> में योगात्मक <math>x</math> है। यह इस प्रकार है कि यह परिमेय पर रैखिक है, इस प्रकार निरंतरता से रैखिक है।
-हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए आइसोमोर्फिक (आइसोमेट्रिक के बजाय) रिक्त स्थान के कई लक्षण उपलब्ध हैं।
+हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के लिए समाकृतिकता (सममितीय के अतिरिक्त) रिक्त समष्टि के कई लक्षण उपलब्ध हैं। समांतर चतुर्भुज नियम को दो से अधिक वेक्टरों तक बढ़ाया जा सकता है, और एक स्थिर <math>c \geq 1</math> के साथ दो तरफा असमानता के प्रारंभ से दुर्बल हो सकता है: क्वापियन ने प्रमाणित कर दिया कि यदि
-समांतर चतुर्भुज कानून को दो से अधिक सदिशों तक बढ़ाया जा सकता है, और एक स्थिर के साथ दो तरफा असमानता की शुरूआत से कमजोर हो सकता है <math>c \geq 1</math>: Kwapień ने साबित कर दिया कि अगर
 <math display=block>c^{-2} \sum_{k=1}^n \left\|x_k\right\|^2 \leq \operatorname{Ave}_{\pm} \left\|\sum_{k=1}^n \pm x_k\right\|^2 \leq c^2 \sum_{k=1}^n \left\|x_k\right\|^2</math>
-प्रत्येक पूर्णांक के लिए <math>n</math> और वैक्टर के सभी परिवार<math>\left\{ x_1, \ldots, x_n \right\} \subseteq X,</math> फिर बनच स्थान <math>X</math> हिल्बर्ट स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक है।<ref>see Kwapień, S. (1970), "A linear topological characterization of inner-product spaces", Studia Math. '''38''':277–278.</ref> यहाँ, <math>\operatorname{Ave}_{\pm}</math> से अधिक औसत दर्शाता है <math>2^n</math> संकेतों के संभावित विकल्प <math>\pm 1.</math>
+प्रत्येक पूर्णांक के लिए <math>n</math> और वैक्टर के सभी वर्ग<math>\left\{ x_1, \ldots, x_n \right\} \subseteq X,</math> फिर बानाच समष्टि <math>X</math> हिल्बर्ट समष्टि के लिए समाकृतिकता है।<ref>see Kwapień, S. (1970), "A linear topological characterization of inner-product spaces", Studia Math. '''38''':277–278.</ref> यहाँ, <math>\operatorname{Ave}_{\pm}</math> से अधिक औसत दर्शाता <math>2^n</math> संकेतों के संभावित विकल्प <math>\pm 1</math> है उसी लेख में, क्वापियन ने प्रमाणित किया कि फूरियर रूपांतरण के लिए बैनच-मान पारसेवल के प्रमेय की वैधता बानाच समष्टि समाकृतिकता को हिल्बर्ट समष्टि की विशेषता बताती है।
-उसी लेख में, Kwapień ने साबित किया कि फूरियर रूपांतरण के लिए बैनच-वैल्यू पारसेवल के प्रमेय की वैधता बनच स्पेस आइसोमॉर्फिक को हिल्बर्ट स्पेस की विशेषता बताती है।
-लिंडेनस्ट्रॉस और ज़फ़रीरी ने साबित किया कि एक बनच स्थान जिसमें प्रत्येक बंद रैखिक उप-स्थान पूरक है (अर्थात, एक परिबद्ध रैखिक प्रक्षेपण की सीमा है) एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए आइसोमोर्फिक है।<ref>{{cite journal
+लिंडेनस्ट्रॉस और ज़फ़रीरी ने प्रमाणित किया कि एक बानाच समष्टि जिसमें प्रत्येक संवृत रैखिक उप-समष्टि पूरक है (अर्थात, एक परिबद्ध रैखिक प्रक्षेपण की सीमा है) एक हिल्बर्ट समष्टि के लिए समाकृतिकता है।<ref>{{cite journal
 |last1=Lindenstrauss|first1=Joram
 |last2=Tzafriri|first2=Lior
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 |issue=2
 |pages=263–269
-|doi=10.1007/BF02771592 | doi-access=free}}</ref> प्रमाण उच्च-आयामी केंद्रीय सममित उत्तल पिंडों के यूक्लिडियन वर्गों के बारे में ड्वोरेट्स्की के प्रमेय पर आधारित है। दूसरे शब्दों में, Dvoretzky के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक पूर्णांक के लिए <math>n,</math> किसी भी परिमित-आयामी आदर्श स्थान की तुलना में पर्याप्त रूप से बड़े आयाम के साथ <math>n,</math> से लगभग सममितीय उपस्थान समाहित करता है <math>n</math>-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष।
+|doi=10.1007/BF02771592 | doi-access=free}}</ref> प्रमाण उच्च-आयामी केंद्रीय सममित उत्तल पिंडों के यूक्लिडियन वर्गों के बारे में ड्वोरेट्स्की के प्रमेय पर आधारित है। दूसरे शब्दों में, ड्वोरेट्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक पूर्णांक के लिए <math>n,</math> किसी भी परिमित-आयामी मानक समष्टि की तुलना में पर्याप्त रूप से बड़े आयाम के साथ <math>n,</math> से लगभग सममितीय उपसमष्टि <math>n</math>-आयामी यूक्लिडियन समष्टि समाहित करता है।
-अगला परिणाम तथाकथित का समाधान देता है {{em|homogeneous space problem}}. एक अनंत-आयामी बनच स्थान <math>X</math> सजातीय कहा जाता है अगर यह अपने सभी अनंत-आयामी बंद उप-स्थानों के लिए आइसोमोर्फिक है। एक बैनच स्पेस आइसोमॉर्फिक टू <math>\ell^2</math> सजातीय है, और बनच ने बातचीत के लिए कहा।<ref>see p.&nbsp;245 in {{harvtxt|Banach|1932}}. The homogeneity property is called "propriété&nbsp;(15)" there. Banach writes: "on ne connaît aucun exemple d'espace à une infinité de dimensions qui, sans être isomorphe avec <math>(L^2).</math> possède la propriété&nbsp;(15)".</ref>
+अगला परिणाम तथाकथित सजातीय समष्टि समस्या का समाधान देता है। अनंत-आयामी बानाच समष्टि <math>X</math> सजातीय कहा जाता है यदि यह अपने सभी अनंत-आयामी संवृत उप-समष्टि के लिए समाकृतिकता है। एक बैनच समष्टि समाकृतिकता से <math>\ell^2</math> सजातीय है, और बनच ने इसके विपरीत के लिए कहा है।<ref>see p.&nbsp;245 in {{harvtxt|Banach|1932}}. The homogeneity property is called "propriété&nbsp;(15)" there. Banach writes: "on ne connaît aucun exemple d'espace à une infinité de dimensions qui, sans être isomorphe avec <math>(L^2).</math> possède la propriété&nbsp;(15)".</ref>
-{{math theorem| name = Theorem<ref name="Gowers">Gowers, W. T. (1996), "A new dichotomy for Banach spaces", Geom. Funct. Anal. '''6''':1083–1093.</ref> | math_statement = A Banach space isomorphic to all its infinite-dimensional closed subspaces is isomorphic to a separable Hilbert space.}}
+{{math theorem| name = प्रमेय<ref name="Gowers">Gowers, W. T. (1996), "A new dichotomy for Banach spaces", Geom. Funct. Anal. '''6''':1083–1093.</ref> | math_statement = एक बैनच समष्टि अपने सभी अनंत-आयामी संवृत उप-समष्टि के लिए समरूपी  वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि के लिए समरूपी है।}}
-एक अनंत-आयामी बैनच स्थान आनुवंशिक रूप से अपघटनीय है, जब इसका कोई उपस्थान दो अनंत-आयामी बैनच रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप नहीं हो सकता है।
+अनंत-आयामी बैनच समष्टि आनुवंशिक रूप से अपघटनीय है, जब इसका कोई उपस्थान दो अनंत-आयामी बैनच रिक्त समष्टि के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप नहीं हो सकता है। [[टिमोथी गोवर्स]] द्विभाजन प्रमेय<ref name="Gowers" />दावा करता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी बानाच समष्टि <math>X</math> सम्मिलित है, या तो एक उप-समष्टि <math>Y</math> शाउडरआधार के साथ बिना शर्त, या वंशानुगत रूप से अविभाज्य उप-समष्टि <math>Z,</math> विशेष तरीके से, <math>Z</math> अपने संवृत अधिसमतल के लिए समाकृतिकता नहीं है।<ref>see {{cite journal|last1=Gowers|first1=W. T.|year=1994|title=A solution to Banach's hyperplane problem|journal=Bull. London Math. Soc.|volume=26|issue=6|pages=523–530|doi=10.1112/blms/26.6.523}}</ref> यदि <math>X</math> सजातीय है, इसलिए इसका बिना शर्त आधार होना चाहिए। इसके बाद कोमोरोव्स्की और निकोल टोम्ज़ाक-जेगेर्मन द्वारा प्राप्त आंशिक समाधान से अनुसरण किया जाता है।<ref>see {{cite journal|last1=Komorowski|first1=Ryszard A.|last2=Tomczak-Jaegermann|first2=Nicole|year=1995|title=Banach spaces without local unconditional structure|journal=[[Israel Journal of Mathematics]]|volume=89|issue=1–3|pages=205–226|arxiv=math/9306211|doi=10.1007/bf02808201|doi-access=free|s2cid=5220304}} and also {{cite journal|last1=Komorowski|first1=Ryszard A.|last2=Tomczak-Jaegermann|first2=Nicole|year=1998|title=Erratum to: Banach spaces without local unconditional structure|journal=[[Israel Journal of Mathematics]]|volume=105|pages=85–92|arxiv=math/9607205|doi=10.1007/bf02780323|doi-access=free|s2cid=18565676}}</ref> जब <math>X</math> के लिए <math>\ell^2</math> समाकृतिकता है।
-[[टिमोथी गोवर्स]] द्विभाजन प्रमेय<ref name="Gowers" />दावा करता है कि हर अनंत-आयामी Banach अंतरिक्ष <math>X</math> शामिल है, या तो एक उप-स्थान <math>Y</math> Schauder आधार के साथ # बिना शर्त, या वंशानुगत रूप से अविभाज्य उप-स्थान <math>Z,</math> खास तरीके से, <math>Z</math> अपने बंद हाइपरप्लेन के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है।<ref>see {{cite journal|last1=Gowers|first1=W. T.|year=1994|title=A solution to Banach's hyperplane problem|journal=Bull. London Math. Soc.|volume=26|issue=6|pages=523–530|doi=10.1112/blms/26.6.523}}</ref> अगर <math>X</math> सजातीय है, इसलिए इसका बिना शर्त आधार होना चाहिए। इसके बाद कोमोरोव्स्की और निकोल टोम्ज़ाक-जेगेर्मन द्वारा प्राप्त आंशिक समाधान से अनुसरण किया जाता है |<ref>see {{cite journal|last1=Komorowski|first1=Ryszard A.|last2=Tomczak-Jaegermann|first2=Nicole|year=1995|title=Banach spaces without local unconditional structure|journal=[[Israel Journal of Mathematics]]|volume=89|issue=1–3|pages=205–226|arxiv=math/9306211|doi=10.1007/bf02808201|doi-access=free|s2cid=5220304}} and also {{cite journal|last1=Komorowski|first1=Ryszard A.|last2=Tomczak-Jaegermann|first2=Nicole|year=1998|title=Erratum to: Banach spaces without local unconditional structure|journal=[[Israel Journal of Mathematics]]|volume=105|pages=85–92|arxiv=math/9607205|doi=10.1007/bf02780323|doi-access=free|s2cid=18565676}}</ref> वह <math>X</math> के लिए आइसोमॉर्फिक है <math>\ell^2.</math>
 === मीट्रिक वर्गीकरण ===
-अगर <math>T : X \to Y</math> बनच स्थान से एक आइसोमेट्री है <math>X</math> बनच अंतरिक्ष पर <math>Y</math> (जहां दोनों <math>X</math> और <math>Y</math> सदिश स्थान समाप्त हो गए हैं <math>\R</math>), तो मजूर-उलम प्रमेय कहता है कि <math>T</math> एक affine परिवर्तन होना चाहिए।
+यदि <math>T : X \to Y</math> बानाच समष्टि से एक सममितीय है <math>X</math> बानाच समष्टि पर <math>Y</math> (जहां दोनों <math>X</math> और <math>Y</math> सदिश समष्टि <math>\R</math> समाप्त हो गए हैं ), तो मजूर-उलम प्रमेय कहता है कि <math>T</math> एक एफीन परिवर्तन होना चाहिए। विशेष रूप से, यदि <math>T(0_X) = 0_Y,</math> यह है <math>T</math> के शून्य को मानचित्र करता है <math>X</math> के शून्य तक <math>Y,</math> तब <math>T</math> रैखिक होना चाहिए। इस परिणाम का अर्थ है कि बानाच रिक्त समष्टि में मीट्रिक, और अधिक सामान्य रूप से मानक समष्टि में, उनकी रैखिक संरचना को पूरी तरह से प्रग्रहण करता है।
-विशेष रूप से, अगर <math>T(0_X) = 0_Y,</math> यह है <math>T</math> के शून्य को मैप करता है <math>X</math> के शून्य तक <math>Y,</math> तब <math>T</math> रैखिक होना चाहिए। इस परिणाम का अर्थ है कि बनच रिक्त स्थान में मीट्रिक, और अधिक सामान्य रूप से आदर्श स्थान में, उनकी रैखिक संरचना को पूरी तरह से कैप्चर करता है।
 === सांस्थितिक वर्गीकरण ===
-परिमित आयामी Banach रिक्त स्थान स्थलीय रिक्त स्थान के रूप में होमोमॉर्फिक हैं, यदि और केवल यदि उनके पास वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान के समान आयाम हैं।
+परिमित आयामी बानाच रिक्त समष्टि स्थलीय रिक्त समष्टि के रूप में होमोमॉर्फिक हैं, यदि और केवल यदि उनके पास वास्तविक वेक्टर रिक्त समष्टि के समान आयाम हैं।
-एंडरसन-केडेक प्रमेय (1965-66) साबित करता है<ref>{{cite book|author=C. Bessaga, A. Pełczyński|title=अनंत-आयामी टोपोलॉजी में चयनित विषय|url=https://books.google.com/books?id=7n9sAAAAMAAJ|year=1975|publisher=Panstwowe wyd. naukowe|pages=177–230}}</ref> कि कोई भी दो अनंत-आयामी वियोज्य स्थान Banach रिक्त स्थान सामयिक स्थान के रूप में होमियोमॉर्फिक हैं। कैडेक के प्रमेय को टोरुनज़िक द्वारा बढ़ाया गया था, जो साबित हुआ<ref>{{cite book|author=H. Torunczyk|title=हिल्बर्ट स्पेस टोपोलॉजी की विशेषता|year=1981|publisher=Fundamenta MAthematicae|pages=247–262}}</ref> कि कोई भी दो बनच स्थान होमोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान सेट-सैद्धांतिक टोपोलॉजी#कार्डिनल फ़ंक्शंस हैं, तो घने उपसमुच्चय की न्यूनतम कार्डिनैलिटी।
+एंडरसन-केडेक प्रमेय (1965-66) प्रमाणित करता है<ref>{{cite book|author=C. Bessaga, A. Pełczyński|title=अनंत-आयामी टोपोलॉजी में चयनित विषय|url=https://books.google.com/books?id=7n9sAAAAMAAJ|year=1975|publisher=Panstwowe wyd. naukowe|pages=177–230}}</ref> कि कोई भी दो अनंत-आयामी वियोज्य समष्टि बानाच रिक्त समष्टि सामयिक समष्टि के रूप में होमियोमॉर्फिक हैं। कैडेक के प्रमेय को टोरुनज़िक द्वारा बढ़ाया गया था, जो प्रमाणित हुआ<ref>{{cite book|author=H. Torunczyk|title=हिल्बर्ट स्पेस टोपोलॉजी की विशेषता|year=1981|publisher=Fundamenta MAthematicae|pages=247–262}}</ref> कि कोई भी दो बानाच समष्टि होमोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान समुच्चय-सैद्धांतिक सांस्थिति प्रमुख फलन हैं, तो सघन उपसमुच्चय की न्यूनतम मूलता होती है।
-=== निरंतर कार्यों के स्थान ===
+=== सतत फलनों के समष्टि ===
-जब दो कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ रिक्त स्थान <math>K_1</math> और <math>K_2</math> होमोमोर्फिज्म हैं, बनच स्थान <math>C\left(K_1\right)</math> और <math>C\left(K_2\right)</math> सममितीय हैं। इसके विपरीत कब <math>K_1</math> के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं है <math>K_2,</math> (गुणक) बनच-मजूर के बीच की दूरी <math>C\left(K_1\right)</math> और <math>C\left(K_2\right)</math> से अधिक या बराबर होना चाहिए <math>2,</math> बानाच स्थान के ऊपर देखें # दोहरे स्थान के उदाहरण।
+जब दो सुसंहत हॉउसडॉर्फ रिक्त समष्टि <math>K_1</math> और <math>K_2</math> होमोमोर्फिज्म हैं, बानाच समष्टि <math>C\left(K_1\right)</math> और <math>C\left(K_2\right)</math> सममितीय हैं। इसके विपरीत जब <math>K_1</math> के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं है <math>K_2,</math> (गुणक) बानाच-मजूर के बीच की दूरी <math>C\left(K_1\right)</math> और <math>C\left(K_2\right)</math> से अधिक या <math>2</math> बराबर होना चाहिए अमीर और कैम्बरन द्वारा ऊपर दिए गए परिणाम देखें। यद्यपि अनंत सुसंहत मीट्रिक रिक्त समष्टि में अलग-अलग होमियोमॉर्फी प्रकार हो सकते हैं, मिलुटिन के कारण निम्नलिखित परिणाम होते हैं:<ref>Milyutin, Alekseĭ A. (1966), "Isomorphism of the spaces of continuous functions over compact sets of the cardinality of the continuum". (Russian) Teor. Funkciĭ Funkcional. Anal. i Priložen. Vyp. '''2''':150–156.</ref>
-यद्यपि बेशुमार कॉम्पैक्ट मीट्रिक रिक्त स्थान में अलग-अलग होमियोमॉर्फी प्रकार हो सकते हैं, मिलुटिन के कारण निम्नलिखित परिणाम होते हैं:<ref>Milyutin, Alekseĭ A. (1966), "Isomorphism of the spaces of continuous functions over compact sets of the cardinality of the continuum". (Russian) Teor. Funkciĭ Funkcional. Anal. i Priložen. Vyp. '''2''':150–156.</ref>
-{{math theorem| name = Theorem<ref>Milutin. See also Rosenthal, Haskell P., "The Banach spaces C(K)" in Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. 2, 1547–1602, North-Holland, Amsterdam, 2003.</ref> | math_statement =Let <math>K</math> be an uncountable compact metric space. Then <math>C(K)</math> is isomorphic to  <math>C([0, 1]).</math>}}
+{{math theorem| name = प्रमेय<ref>Milutin. See also Rosenthal, Haskell P., "The Banach spaces C(K)" in Handbook of the geometry of Banach spaces, Vol. 2, 1547–1602, North-Holland, Amsterdam, 2003.</ref> | math_statement =मान लीजिए <math>K</math> अनंत संहत मीट्रिक समष्टि हो तब  <math>C(K)</math> के लिए तुल्याकारी   <math>C([0, 1])</math> है।}}
-काउंटेबल सेट कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस के लिए स्थिति अलग है।
+गणनीय समुच्चय सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि के लिए स्थिति अलग है। प्रत्येक गणनीयत: अनंत सुसंहत <math>K</math> क्रमिक संख्याओं के कुछ संवृत अंतराल के लिए होमोमोर्फिक है
-हर गिनती अनंत कॉम्पैक्ट <math>K</math> क्रमिक संख्याओं के कुछ बंद अंतराल के लिए होमोमोर्फिक है
 <math display=block>\langle 1, \alpha \rangle = \{ \gamma \ :\ 1 \leq \gamma \leq \alpha\}</math>
-[[ आदेश टोपोलॉजी ]] से लैस है, जहां <math>\alpha</math> एक गणनीय अनंत क्रमसूचक है।<ref>One can take {{math|1=''α'' = ''ω''{{i sup|''βn''}}}}, where <math>\beta + 1</math> is the [[Derived set (mathematics)#Cantor–Bendixson rank|Cantor–Bendixson rank]] of <math>K,</math> and <math>n > 0</math> is the finite number of points in the <math>\beta</math>-th [[Derived set (mathematics)|derived set]] <math>K(\beta)</math> of <math>K.</math> See [[Stefan Mazurkiewicz|Mazurkiewicz, Stefan]]; [[Wacław Sierpiński|Sierpiński, Wacław]] (1920), "Contribution à la topologie des ensembles dénombrables", Fundamenta Mathematicae 1: 17–27.</ref> द बनच स्पेस <math>C(K)</math> तो isometric है {{math|''C''(⟨1, ''α''⟩)}}. कब <math>\alpha, \beta</math> दो अनगिनत अनंत अध्यादेश हैं, और मान रहे हैं <math>\alpha \leq \beta,</math> रिक्त स्थान {{math|''C''(⟨1, ''α''⟩)}} और {{math|''C''(⟨1, ''β''⟩)}} आइसोमॉर्फिक हैं अगर और केवल अगर {{math|''β'' < ''α<sup>ω</sup>''}}.<ref>Bessaga, Czesław; Pełczyński, Aleksander (1960), "Spaces of continuous functions. IV. On isomorphical classification of spaces of continuous functions", Studia Math. '''19''':53–62.</ref>
+[[ आदेश टोपोलॉजी | क्रम सांस्थिति]] से लैस है, जहां <math>\alpha</math> एक गणनीय अनंत क्रमसूचक है।<ref>One can take {{math|1=''α'' = ''ω''{{i sup|''βn''}}}}, where <math>\beta + 1</math> is the [[Derived set (mathematics)#Cantor–Bendixson rank|Cantor–Bendixson rank]] of <math>K,</math> and <math>n > 0</math> is the finite number of points in the <math>\beta</math>-th [[Derived set (mathematics)|derived set]] <math>K(\beta)</math> of <math>K.</math> See [[Stefan Mazurkiewicz|Mazurkiewicz, Stefan]]; [[Wacław Sierpiński|Sierpiński, Wacław]] (1920), "Contribution à la topologie des ensembles dénombrables", Fundamenta Mathematicae 1: 17–27.</ref> बानाच समष्टि <math>C(K)</math> तो {{math|''C''(⟨1, ''α''⟩)}} सममितीय है जब <math>\alpha, \beta</math> दो अनगिनत अनंत क्रमसूचक हैं, और मानते हैं कि <math>\alpha \leq \beta,</math> रिक्त समष्टि {{math|''C''(⟨1, ''α''⟩)}} और {{math|''C''(⟨1, ''β''⟩)}} समाकृतिकता हैं यदि और केवल यदि {{math|''β'' < ''α<sup>ω</sup>''}}<ref>Bessaga, Czesław; Pełczyński, Aleksander (1960), "Spaces of continuous functions. IV. On isomorphical classification of spaces of continuous functions", Studia Math. '''19''':53–62.</ref> समष्टि है। उदाहरण के लिए, बानाच रिक्त समष्टि
-उदाहरण के लिए, बनच रिक्त स्थान
 <math display=block>C(\langle 1, \omega\rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega} \rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega^2}\rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega^3} \rangle), \cdots, C(\langle 1, \omega^{\omega^\omega} \rangle), \cdots</math>
 परस्पर गैर-समरूपी हैं।
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 == उदाहरण ==
-{{main|List of Banach spaces}}
+{{main|बनच समष्टि की सूची}}
+नीचे दी गई तालिका के लिए प्रतीकों की शब्दावली:{{ListOfBanachSpaces}}
-{{ListOfBanachSpaces}}
-{{clear}}
 == डेरिवेटिव्स ==
-एक डेरिवेटिव की कई अवधारणाओं को बानाच स्पेस पर परिभाषित किया जा सकता है। विवरण के लिए फ्रेचेट डेरिवेटिव और [[ व्युत्पन्न केक ]] पर लेख देखें।
-फ़्रेचेट डेरिवेटिव बानाच रिक्त स्थान के [[कुल व्युत्पन्न]] की अवधारणा के विस्तार के लिए अनुमति देता है। गेटॉक्स व्युत्पन्न [[स्थानीय रूप से उत्तल]] टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के लिए एक [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] के विस्तार की अनुमति देता है।
-गैटॉक्स डिफरेंशियलिटी की तुलना में फ्रेचेट डिफरेंशियलिटी एक मजबूत स्थिति है।
-[[अर्ध-व्युत्पन्न]] दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक और सामान्यीकरण है जो गेटॉक्स विभेदीकरण की तुलना में एक मजबूत स्थिति का तात्पर्य है, लेकिन फ्रेचेट भिन्नता की तुलना में कमजोर स्थिति है।
+अवकलज की कई अवधारणाओं को बानाच समष्टि पर परिभाषित किया जा सकता है। विवरण के लिए फ्रेचेट अवकलज और [[ व्युत्पन्न केक |गेटॉक्स अवकलज]] पर लेख देखें। फ़्रेचेट अवकलज बानाच समष्टि के [[कुल व्युत्पन्न|कुल अवकलज]] की अवधारणा के विस्तार के लिए स्वीकृति देता है। गेटॉक्स अवकलज [[स्थानीय रूप से उत्तल]] सांंस्थितिक वेक्टर रिक्त समष्टि के लिए एक [[दिशात्मक व्युत्पन्न|दिशात्मक अवकलज]] के विस्तार की स्वीकृति देता है। गैटॉक्स अवकलन की तुलना में फ्रेचेट अवकलन एक प्रबल स्थिति है। [[अर्ध-व्युत्पन्न|अर्ध-अवकलज]] दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक और सामान्यीकरण है जो गेटॉक्स विभेदीकरण की तुलना में एक प्रबल स्थिति का तात्पर्य है, लेकिन फ्रेचेट अवकलन की तुलना में दुर्बल स्थिति है।
 == सामान्यीकरण ==
-कार्यात्मक विश्लेषण में कई महत्वपूर्ण स्थान, उदाहरण के लिए सभी असीम रूप से अलग-अलग कार्यों का स्थान <math>\R \to \R,</math> या सभी [[वितरण (गणित)]] का स्थान <math>\R,</math> पूर्ण हैं लेकिन मानक सदिश स्थान नहीं हैं और इसलिए बनच स्थान नहीं हैं।
+कार्यात्मक विश्लेषण में कई महत्वपूर्ण समष्टि, उदाहरण के लिए सभी अधिकतम रूप से अलग-अलग फलनों का समष्टि <math>\R \to \R,</math> या सभी [[वितरण (गणित)]] का समष्टि <math>\R,</math> पूर्ण हैं लेकिन मानक सदिश समष्टि नहीं हैं और इसलिए बानाच समष्टि नहीं हैं। फ्रेचेट समष्टि में अभी भी एक पूर्ण मेट्रिक समष्टि है, जबकि [[ वामो-अंतरिक्ष |वामो-समष्टि]] पूर्ण एकसमान समष्टि वेक्टर समष्टि हैं जो फ्रेचेट समष्टि की सीमा के रूप में उत्पन्न होते हैं।
-फ्रेचेट स्पेस में अभी भी एक पूर्ण मेट्रिक स्पेस है, जबकि [[ वामो-अंतरिक्ष ]] पूर्ण यूनिफॉर्म स्पेस वेक्टर स्पेस हैं जो फ्रेचेट स्पेस की सीमा के रूप में उत्पन्न होते हैं।
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Space (mathematics)}}
+* [[समष्टि (गणित) –]] कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ गणितीय समुच्चय
-** {{annotated link|Fréchet space}}
+** [[फ्रेचेट समष्टि -]] स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि जो कि एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि भी है
-** {{annotated link|Hardy space}}
+** [[हार्डी समष्टि]] - जटिल विश्लेषण के अंदर अवधारणा
-** {{annotated link|Hilbert space}}
+** [[हिल्बर्ट सम|हिल्बर्ट]] [[हार्डी समष्टि|समष्टि]] - सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि का प्रकार
-** {{annotated link|L-semi-inner product}}
+** {{annotated link|L-अर्द्ध-आंतरिक उत्पाद - }}आंतरिक गुणनफलों का सामान्यीकरण जो सभी मानक समष्टि पर प्रयुक्त होता है
-** {{annotated link|Lp space|<math>L^p</math> space}}
+** {{annotated link|Lp समष्टि|<math>L^p</math> समष्टि}}-परिमित-आयामी p मानक समष्टि को सामान्य बनाने वाले फलन समष्टि
-** {{annotated link|Sobolev space}}
+** [[हार्डी समष्टि|सोबोलेव समष्टि]] - गणित में फलन का वेक्टर समष्टि
-** {{annotated link|Banach lattice}}
+** बनच लैटिस - लैटिस की संगत संरचना के साथ बनच समष्टि
-* {{annotated link|Banach disk}}
+* बानाच डिस्क
-* {{annotated link|Banach manifold}}
+* {{annotated link|बानाच बहुरूपता-}}बनच समष्टि पर कई गुना मॉडलिंग
-** {{annotated link|Banach bundle}}
+** बनच बंडल - वेक्टर बंडल जिसके तन्तु बनच समष्टि बनाते हैं
-* {{annotated link|Distortion problem}}
+* विरूपण समस्या
-* {{annotated link|Interpolation space}}
+* प्रक्षेप समष्टि
-* {{annotated link|Locally convex topological vector space}}
+* स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि - उत्तल विवृत समुच्चय द्वारा परिभाषित सांंस्थिति के साथ एक वेक्टर समष्टि
-* {{annotated link|Modulus and characteristic of convexity}}
+* उत्तलता का मापांक और विशेषता
-* {{annotated link|Smith space}}
+* स्मिथ समष्टि - एक सार्वभौमिक सुसंहत समुच्चय के साथ पूरी तरह से स्थानीय रूप से उत्पन्न उत्तल समष्टि
-* {{annotated link|Topological vector space}}
+* सांस्थितिक सदिश समष्टि - निकटता की धारणा के साथ सदिश समष्टि
 ==टिप्पणियाँ==
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 {{Functional Analysis}}
 {{Authority control}}
-[[Category: बनच स्पेस | बनच स्पेस ]] [[Category: ]] [[Category: नॉर्म्ड स्पेस| नॉर्म्ड स्पेस]] [[Category: पोलैंड में विज्ञान और प्रौद्योगिकी]]
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बानाच समष्टि: Difference between revisions

Latest revision as of 12:48, 4 September 2023

परिभाषा

L-अर्ध-आंतरिक गुणनफल

श्रृंखला के संदर्भ में विशेषता

सांस्थिति

सघन और उत्तल उपसमुच्चय

सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि

पूर्ण मेट्रिजेबल (दूरीकनीय) वेक्टर सांस्थिति की तुलना

पूर्णता

पूर्ण मानक और समकक्ष मानक

पूर्ण मानक बनाम पूर्ण मेट्रिक्स

पूर्ण मानक बनाम पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि

समापन

सामान्य सिद्धांत

रैखिक संकारक, समरूपता

सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और अर्ध-मानक

मूलभूत धारणाएं

उत्कृष्ट समष्टि

बानाच बीजगणित

उदाहरण

द्विक समष्टि

दुर्बल सांस्थिति

द्विक समष्टि के उदाहरण

द्वैत

बानाच के प्रमेय

स्वतुल्यता

अनुक्रमों के दुर्बल अभिसरण

ℓ1{\displaystyle \ell ^{1}} आधार से जुड़े परिणाम

अनुक्रम, दुर्बल और दुर्बल * सघनता

शाउडर प्रमेय के आधार पर

टेंसर गुणनफल

टेंसर गुणनफल और सन्निकटन गुण

कुछ वर्गीकरण परिणाम

बानाच समष्टि के बीच हिल्बर्ट समष्टि की विशेषताएं

मीट्रिक वर्गीकरण

सांस्थितिक वर्गीकरण

सतत फलनों के समष्टि

उदाहरण

डेरिवेटिव्स

सामान्यीकरण

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

ग्रन्थसूची

बाहरी संबंध

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