कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन: Difference between revisions

Latest revision as of 16:59, 4 September 2023

गणितीय तर्क में, कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन सिद्धांत का एक उत्तम सिद्धांत है जो प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए प्रायः सुविधाजनक होता है लेकिन मूल विचार की भाषा के बारे में कोई नया प्रमेय साबित नहीं करता है। इसी तरह, नॉन-कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन एक उत्तम सिद्धांत है जो कंजरवेटिव नहीं है और मूल से अधिक प्रमेयों को सिद्ध कर सकता है।

अधिक औपचारिक रूप से कहा गया है, सिद्धांत $T_{2}$ सिद्धांत $T_{1}$ का (प्रमाणिक) कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है यदि $T_{1}$ का प्रत्येक प्रमेय $T_{2}$ का प्रमेय है, और $T_{2}$ का कोई प्रमेय $T_{1}$ की भाषा में पहले से ही $T_{1}$ का एक प्रमेय है।

अधिक सामान्यतः, यदि $\Gamma$ $T_{1}$ और $T_{2}$ की सामान्य भाषा में सूत्रों का एक सेट है, तो $T_{2}$ $\Gamma$ - $T_{1}$ पर कंजरवेटिव है यदि $\Gamma$ से $T_{2}$ में सिद्ध होने वाला प्रत्येक सूत्र $T_{1}$ में भी सिद्ध है।

ध्यान दें कि संगत सिद्धांत का एक कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन संगत है। यदि ऐसा नहीं होता, तो विस्फोट के सिद्धांत से $T_{2}$ की भाषा में हर सूत्र $T_{2}$ की प्रमेय होगी, इसलिए $T_{1}$ की भाषा में हर सूत्र होगा $T_{1}$ का प्रमेय हो, इसलिए $T_{1}$ संगत नहीं होगा। इसलिए, कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन नई विसंगतियों को पेश करने का जोखिम नहीं उठाते हैं। इसे बड़े सिद्धांतों को लिखने और संरचित करने के लिए एक पद्धति के रूप में भी देखा जा सकता है: एक अभिगृहीत, $T_{0}$ के साथ प्रारंभ करें, जो संगत होने के लिए जाना जाता है (या माना जाता है), और क्रमिक रूप से इसका कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन $T_{1}$ , $T_{2}$ , ... बनाते हैं।

हाल ही में, ओन्टोलॉजी (कंप्यूटर साइंस) के लिए ऑन्कोलॉजी मॉड्यूलराइजेशन की धारणा को परिभाषित करने के लिए कंजरवेटिव एक्सटेंशन का उपयोग किया गया है: यदि ऑन्कोलॉजी को तार्किक सिद्धांत के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, तो सबथ्योरी एक मॉड्यूल है यदि संपूर्ण ऑन्कोलॉजी सबथ्योरी का कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।

एक्सटेंशन जो कंजरवेटिव नहीं है उसे प्रॉपर एक्सटेंशन कहा जा सकता है।

उदाहरण

ACA₀ रिवर्स गणित में अध्ययन किए गए दूसरे क्रम के अंकगणित का उपतंत्र है, जो पहले क्रम के पियानो अंकगणित का कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।
वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (एनबीजी) पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी का एक कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।
आंतरिक सेट सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।
परिभाषाओं द्वारा एक्सटेंशन कंजरवेटिव हैं।
अप्रतिबंधित विधेय या कार्य प्रतीकों द्वारा एक्सटेंशन कंजरवेटिव हैं।
IΣ₁ (केवल Σ⁰₁-सूत्रों के लिए प्रेरण के साथ पीनो अंकगणित का एक उपतंत्र) आदिम पुनरावर्ती अंकगणित (पीआरए) का Π⁰₂-कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।^[1]
जेडएफ़सी शोएनफ़ील्ड के निरपेक्षता प्रमेय द्वारा ज़ेडएफ़ का Σ¹₃-कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन हैl
निरंतर परिकल्पना के साथ जेडएफसी, जेडएफसी का Π²₁-कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन हैl

मॉडल-सिद्धांत संबंधी कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन

मॉडल-सैद्धांतिक साधनों के साथ, मजबूत धारणा प्राप्त होती है: सिद्धांत $T_{1}$ का एक्सटेंशन $T_{2}$ मॉडल-सैद्धांतिक रूप से कंजरवेटिव है यदि $T_{1}\subseteq T_{2}$ और $T_{1}$ के प्रत्येक मॉडल को $T_{2}$ के मॉडल में एक्सटेंशनित किया जा सकता है। उपरोक्त अर्थ में प्रत्येक मॉडल-सैद्धांतिक कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन भी एक (सबूत-सैद्धांतिक) कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।^[2] मॉडल-सैद्धांतिक धारणा का प्रमाण-सैद्धांतिक पर लाभ है कि यह भाषा पर इतना अधिक निर्भर नहीं करता है; दूसरी ओर, मॉडल-सैद्धांतिक कंजरवेटिव स्थापित करना सामान्यतः कठिन होता है।

यह भी देखें

परिभाषाओं द्वारा एक्सटेंशन
नए स्थिरांक और फ़ंक्शन नामों द्वारा एक्सटेंशन

संदर्भ

↑ Fernando Ferreira, A Simple Proof of Parsons' Theorem. Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol.46, No.1, 2005.
↑ Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge: Cambridge University Press. p. 58 exercise 8. ISBN 978-0-521-58713-6.

बाहरी संबंध

The importance of conservative extensions for the foundations of mathematics

[1] Fernando Ferreira, A Simple Proof of Parsons' Theorem. Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol.46, No.1, 2005.

[2] Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge: Cambridge University Press. p. 58 exercise 8. ISBN 978-0-521-58713-6.

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-[[गणितीय तर्क]] में, कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)|सिद्धांत]] का एक उत्तम सिद्धांत है जो प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए प्रायः सुविधाजनक होता है लेकिन मूल विचार की भाषा के बारे में कोई नया प्रमेय साबित नहीं करता है। इसी तरह, नॉन-कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन एक उत्तम सिद्धांत है जो कंजरवेटिव नहीं है और मूल से अधिक प्रमेयों को सिद्ध कर सकता है।
+[[गणितीय तर्क]] में, '''कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन''' [[सिद्धांत (गणितीय तर्क)|सिद्धांत]] का एक उत्तम सिद्धांत है जो प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए प्रायः सुविधाजनक होता है लेकिन मूल विचार की भाषा के बारे में कोई नया प्रमेय साबित नहीं करता है। इसी तरह, नॉन-कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन एक उत्तम सिद्धांत है जो कंजरवेटिव नहीं है और मूल से अधिक प्रमेयों को सिद्ध कर सकता है।
-अधिक औपचारिक रूप से कहा गया है, सिद्धांत <math>T_2</math> सिद्धांत <math>T_1</math> का (प्रमाणिक) कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन है यदि <math>T_1</math> का प्रत्येक प्रमेय <math>T_2</math> का प्रमेय है, और <math>T_2</math> का कोई प्रमेय <math>T_1</math>की भाषा में पहले से ही <math>T_1</math>का एक प्रमेय है।
+अधिक औपचारिक रूप से कहा गया है, सिद्धांत <math>T_2</math> सिद्धांत <math>T_1</math> का (प्रमाणिक) कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है यदि <math>T_1</math> का प्रत्येक प्रमेय <math>T_2</math> का प्रमेय है, और <math>T_2</math> का कोई प्रमेय <math>T_1</math>की भाषा में पहले से ही <math>T_1</math>का एक प्रमेय है।
 अधिक सामान्यतः, यदि <math>\Gamma</math> <math>T_1</math> और <math>T_2</math> की सामान्य भाषा में सूत्रों का एक सेट है, तो <math>T_2</math> <math>\Gamma</math> - <math>T_1</math>पर कंजरवेटिव है यदि <math>\Gamma</math> से <math>T_2</math> में सिद्ध होने वाला प्रत्येक सूत्र <math>T_1</math> में भी सिद्ध है।
-ध्यान दें कि संगत सिद्धांत का एक कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन संगत है। यदि ऐसा नहीं होता, तो विस्फोट के सिद्धांत से <math>T_2</math> की भाषा में हर सूत्र <math>T_2</math> की प्रमेय होगी, इसलिए <math>T_1</math> की भाषा में हर सूत्र होगा <math>T_1</math> का प्रमेय हो, इसलिए <math>T_1</math>संगत नहीं होगा। इसलिए, कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन नई विसंगतियों को पेश करने का जोखिम नहीं उठाते हैं। इसे बड़े सिद्धांतों को लिखने और संरचित करने के लिए एक पद्धति के रूप में भी देखा जा सकता है: एक अभिगृहीत, <math>T_0</math> के साथ प्रारंभ करें, जो संगत होने के लिए जाना जाता है (या माना जाता है), और क्रमिक रूप से इसका कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन <math>T_1</math>, <math>T_2</math>, ... बनाते हैं।
+ध्यान दें कि संगत सिद्धांत का एक कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन संगत है। यदि ऐसा नहीं होता, तो विस्फोट के सिद्धांत से <math>T_2</math> की भाषा में हर सूत्र <math>T_2</math> की प्रमेय होगी, इसलिए <math>T_1</math> की भाषा में हर सूत्र होगा <math>T_1</math> का प्रमेय हो, इसलिए <math>T_1</math>संगत नहीं होगा। इसलिए, कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन नई विसंगतियों को पेश करने का जोखिम नहीं उठाते हैं। इसे बड़े सिद्धांतों को लिखने और संरचित करने के लिए एक पद्धति के रूप में भी देखा जा सकता है: एक अभिगृहीत, <math>T_0</math> के साथ प्रारंभ करें, जो संगत होने के लिए जाना जाता है (या माना जाता है), और क्रमिक रूप से इसका कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन <math>T_1</math>, <math>T_2</math>, ... बनाते हैं।
-हाल ही में, ओन्टोलॉजी (कंप्यूटर साइंस) के लिए [[ऑन्कोलॉजी मॉड्यूलराइजेशन]] की धारणा को परिभाषित करने के लिए कंजरवेटिव एक्सटेंशन का उपयोग किया गया है: यदि ऑन्कोलॉजी को तार्किक सिद्धांत के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, तो सबथ्योरी एक मॉड्यूल है यदि संपूर्ण ऑन्कोलॉजी सबथ्योरी का कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन है।
+हाल ही में, ओन्टोलॉजी (कंप्यूटर साइंस) के लिए [[ऑन्कोलॉजी मॉड्यूलराइजेशन]] की धारणा को परिभाषित करने के लिए कंजरवेटिव एक्सटेंशन का उपयोग किया गया है: यदि ऑन्कोलॉजी को तार्किक सिद्धांत के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है, तो सबथ्योरी एक मॉड्यूल है यदि संपूर्ण ऑन्कोलॉजी सबथ्योरी का कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।
 एक्सटेंशन जो कंजरवेटिव नहीं है उसे '''प्रॉपर एक्सटेंशन''' कहा जा सकता है।
 == उदाहरण ==
-* ACA<sub>0</sub> रिवर्स गणित में अध्ययन किए गए दूसरे क्रम के अंकगणित का उपतंत्र है, जो पहले क्रम के [[पियानो अंकगणित]] का कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन है।
+* ACA<sub>0</sub> रिवर्स गणित में अध्ययन किए गए दूसरे क्रम के अंकगणित का उपतंत्र है, जो पहले क्रम के [[पियानो अंकगणित]] का कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।
-* वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (एनबीजी) पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी का एक कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन है।
+* वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (एनबीजी) पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी का एक कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।
-* आंतरिक सेट सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन है।
+* आंतरिक सेट सिद्धांत पसंद के स्वयंसिद्ध (जेडएफसी) के साथ जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।
 * [[परिभाषाओं द्वारा विस्तार|परिभाषाओं द्वारा एक्सटेंशन]] कंजरवेटिव हैं।
 * अप्रतिबंधित विधेय या कार्य प्रतीकों द्वारा एक्सटेंशन कंजरवेटिव हैं।
-* IΣ<sub>1</sub> (केवल Σ<sup>0</sup><sub>1</sub>-सूत्रों के लिए प्रेरण के साथ पीनो अंकगणित का एक उपतंत्र) आदिम पुनरावर्ती अंकगणित (पीआरए) का Π<sup>0</sup><sub>2</sub>-कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन है।<ref>[https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ndjfl/1107220675A Fernando Ferreira, A Simple Proof of Parsons' Theorem. Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol.46, No.1, 2005.]</ref>
+* IΣ<sub>1</sub> (केवल Σ<sup>0</sup><sub>1</sub>-सूत्रों के लिए प्रेरण के साथ पीनो अंकगणित का एक उपतंत्र) आदिम पुनरावर्ती अंकगणित (पीआरए) का Π<sup>0</sup><sub>2</sub>-कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।<ref>[https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ndjfl/1107220675A Fernando Ferreira, A Simple Proof of Parsons' Theorem. Notre Dame Journal of Formal Logic, Vol.46, No.1, 2005.]</ref>
-* जेडएफ़सी शोएनफ़ील्ड के निरपेक्षता प्रमेय द्वारा ज़ेडएफ़ का Σ<sup>1</sup><sub>3</sub>-कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन हैl
+* जेडएफ़सी शोएनफ़ील्ड के निरपेक्षता प्रमेय द्वारा ज़ेडएफ़ का Σ<sup>1</sup><sub>3</sub>-कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन हैl
-* निरंतर परिकल्पना के साथ जेडएफसी, जेडएफसी का Π<sup>2</sup><sub>1</sub>-कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन हैl
+* निरंतर परिकल्पना के साथ जेडएफसी, जेडएफसी का Π<sup>2</sup><sub>1</sub>-कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन हैl
-== मॉडल-सिद्धांत संबंधी कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन ==
+== मॉडल-सिद्धांत संबंधी कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन ==
-मॉडल-सैद्धांतिक साधनों के साथ, मजबूत धारणा प्राप्त होती है: सिद्धांत <math>T_1</math> का एक्सटेंशन <math>T_2</math> मॉडल-सैद्धांतिक रूप से कंजरवेटिव है यदि <math>T_1 \subseteq T_2</math>और <math>T_1</math> के प्रत्येक मॉडल को <math>T_2</math> के मॉडल में एक्सटेंशनित किया जा सकता है। उपरोक्त अर्थ में प्रत्येक मॉडल-सैद्धांतिक कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन भी एक (सबूत-सैद्धांतिक) कन्सेर्वटिवे एक्सटेंशन है।<ref>{{Cite book | last1=Hodges | first1=Wilfrid | author1-link=Wilfrid Hodges | title=A shorter model theory | publisher= [[Cambridge University Press]]| location=Cambridge | isbn=978-0-521-58713-6 | year=1997 | postscript=<!--None--> | page=58 exercise 8}}</ref> मॉडल-सैद्धांतिक धारणा का प्रमाण-सैद्धांतिक पर लाभ है कि यह भाषा पर इतना अधिक निर्भर नहीं करता है; दूसरी ओर, मॉडल-सैद्धांतिक कंजरवेटिव स्थापित करना सामान्यतः कठिन होता है।
+मॉडल-सैद्धांतिक साधनों के साथ, मजबूत धारणा प्राप्त होती है: सिद्धांत <math>T_1</math> का एक्सटेंशन <math>T_2</math> मॉडल-सैद्धांतिक रूप से कंजरवेटिव है यदि <math>T_1 \subseteq T_2</math>और <math>T_1</math> के प्रत्येक मॉडल को <math>T_2</math> के मॉडल में एक्सटेंशनित किया जा सकता है। उपरोक्त अर्थ में प्रत्येक मॉडल-सैद्धांतिक कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन भी एक (सबूत-सैद्धांतिक) कन्सेर्वटिव एक्सटेंशन है।<ref>{{Cite book | last1=Hodges | first1=Wilfrid | author1-link=Wilfrid Hodges | title=A shorter model theory | publisher= [[Cambridge University Press]]| location=Cambridge | isbn=978-0-521-58713-6 | year=1997 | postscript=<!--None--> | page=58 exercise 8}}</ref> मॉडल-सैद्धांतिक धारणा का प्रमाण-सैद्धांतिक पर लाभ है कि यह भाषा पर इतना अधिक निर्भर नहीं करता है; दूसरी ओर, मॉडल-सैद्धांतिक कंजरवेटिव स्थापित करना सामान्यतः कठिन होता है।
 == यह भी देखें ==
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