वेइल सह-समरूपता सिद्धांत: Difference between revisions
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[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, | [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, '''वेइल [[ सह-समरूपता |सह-समरूपता]]''' या '''वेइल सह-समरूपता सिद्धांत''' एक सह-समरूपता है जो बीजगणितीय चक्रों और सह-समरूपता समूहों के परस्पर क्रिया से संबंधित कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। यह नाम एन्ड्रे वेइल के सम्मान में है। कोई भी वेइल सह-समरूपता सिद्धांत चाउ उद्देश्यों की श्रेणी के माध्यम से विशिष्ट रूप से कारक बनता है, लेकिन चाउ उद्देश्यों की श्रेणी स्वयं वेइल सह-समरूपता सिद्धांत नहीं है, क्योंकि यह एक [[एबेलियन श्रेणी]] नहीं है। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
मनमाना विशेषता का एक आधार | मनमाना विशेषता का एक आधार फ़ील्ड ''k'' और विशेषता शून्य का एक "गुणांक फ़ील्ड" ''K'' ठीक करें। एक वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक विरोधाभासी फ़ैनक्टर है। | ||
:<math>H^*: \{\text{smooth projective varieties over } k \} \longrightarrow \{\text{graded } K\text{-algebras}\}</math> | :<math>H^*: \{\text{smooth projective varieties over } k \} \longrightarrow \{\text{graded } K\text{-algebras}\}</math> | ||
नीचे दिए गए सिद्धांतों को संतुष्ट | नीचे दिए गए सिद्धांतों को संतुष्ट करते हुए। प्रत्येक चिकनी प्रक्षेप्य बीजगणितीय विविधता ''X'' के आयाम ''n'' से अधिक ''k'' के लिए, फिर वर्गीकृत ''K''-बीजगणित | ||
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* <math>H^i(X)</math> प्रत्येक पूर्णांक i के लिए एक | * <math>H^i(X)</math> प्रत्येक पूर्णांक ''i'' के लिए एक सीमित-आयामी ''K''-सदिश स्थान है। | ||
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* एक विहित कुनेथ | * एक विहित कुनेथ समरूपतावाद है | ||
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* प्रत्येक पूर्णांक r के लिए, समूह | * प्रत्येक पूर्णांक ''r'' के लिए, X पर कोडिमेंशन ''r'' के बीजगणितीय चक्रों के समूह <math>Z^r(X)</math> पर एक चक्र मानचित्र परिभाषित है, | ||
::<math>\gamma_X : Z^r(X) \to H^{2r}(X),</math> | ::<math>\gamma_X : Z^r(X) \to H^{2r}(X),</math> | ||
:H और कुनेथ | :H और कुनेथ समाकृतिकता की कार्यक्षमता के संबंध में कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करना। यदि ''X'' एक बिंदु है, तो साइकिल मानचित्र में ''Z ⊂ K'' का समावेश आवश्यक है। | ||
* | * दुर्बल लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत: किसी भी पूर्ण हाइपरप्लेन अनुभाग के लिए ''j'': ''W'' ⊂ ''X'' (यानी ''W'' = ''X'' ∩ ''H'', ''H'' परिवेश प्रक्षेप्य स्पेस में कुछ हाइपरप्लेन), मानचित्र | ||
::<math>j^*: H^i(X) \to H^i(W)</math> | ::<math>j^*: H^i(X) \to H^i(W)</math> | ||
: | :<math>i \leqslant n-2</math> के लिए समरूपताएं हैं तथा <math>i \leqslant n-1.</math> के लिए अन्तःक्षेपण हैं। | ||
* हार्ड लेफ्शेट्ज़ | * हार्ड लेफ्शेट्ज़ स्वयंसिद्ध: मान लीजिए कि ''W'' एक हाइपरप्लेन अनुभाग है और <math>w =\gamma_X(W) \in H^2(X)</math> (चक्र वर्ग मानचित्र के नीचे इसकी छवि। लेफ्शेट्ज़ संकारक को इस प्रकार परिभाषित किया गया ह | ||
::<math>\begin{cases} L: H^i(X) \to H^{i+2}(X) \\ x \mapsto x \cdot w, \end{cases}</math> | ::<math>\begin{cases} L: H^i(X) \to H^{i+2}(X) \\ x \mapsto x \cdot w, \end{cases}</math> | ||
:जहां बिंदु बीजगणित में उत्पाद को दर्शाता है <math>H^*(X).</math> तब | :जहां बिंदु बीजगणित में उत्पाद को दर्शाता है <math>H^*(X).</math> तब | ||
::<math>L^i : H^{n-i}(X) \to H^{n+i}(X)</math> | ::<math>L^i : H^{n-i}(X) \to H^{n+i}(X)</math> | ||
:i = 1, ..., n के लिए एक समरूपता है। | :''i'' = 1, ..., ''n''. के लिए एक समरूपता है। | ||
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==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
चार तथाकथित | चार तथाकथित चिरसम्मत वेइल कोहोलॉजी सिद्धांत हैं: | ||
* | *विलक्षण (= बेट्टी) सह-समरूपता, उनके विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी (जीएजीए देखें) का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में '''C''' से अधिक वर्गों के बारे में, | ||
*[[विशेषता (बीजगणित)]] शून्य के आधार क्षेत्र पर [[डॉ कहलमज गर्भाशय]]: '''C''' से अधिक अंतर रूपों द्वारा परिभाषित और सामान्य तौर पर काहलर अंतर के परिसर के माध्यम से (बीजगणितीय डी राम सह-समरूपता देखें), | |||
* [[विशेषता (बीजगणित)]] शून्य के आधार क्षेत्र पर [[डॉ कहलमज गर्भाशय]]: | |||
*ℓ से भिन्न विशेषता के क्षेत्रों में किस्मों के लिए ℓ-एडिक सह-समरूपता, | |||
*[[क्रिस्टलीय सहसंरचना]]. | *[[क्रिस्टलीय सहसंरचना]]. | ||
बेट्टी | बेट्टी सह-समरूपता और डी राम सह-समरूपता के लिए स्वयंसिद्धों के प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान और चिरसम्मत हैं। उदाहरण के लिए, ℓ-एडिक सह-समरूपता के लिए, उपरोक्त अधिकांश गुण गहरे प्रमेय हैं। | ||
दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी | दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी सह-समरूपता समूहों का लुप्त होना इस तथ्य से स्पष्ट है कि जटिल आयाम ''n'' के एक (जटिल) मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 2n है, इसलिए ये उच्च सह-समरूपता समूह गायब हो जाते हैं (उदाहरण के लिए उन्हें सरल (सह) होमोलॉजी से तुलना करके)। | ||
डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम n की पूर्ण विविधता X में जटिल कोड आयाम r की एक उप-विविधता Y को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है <math>\textstyle\int_Y \colon \; H^{2n-2r}_{\text{dR}}(X) \to \mathbf{C}</math> | डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम ''n'' की पूर्ण विविधता ''X'' में जटिल कोड आयाम ''r'' की एक उप-विविधता ''Y'' को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है <math>\textstyle\int_Y \colon \; H^{2n-2r}_{\text{dR}}(X) \to \mathbf{C}</math> वह अवयव <math>H^{2r}_{\text{dR}}(X)</math> चक्र मानचित्र के अंतर्गत Y की छवि है। | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
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*{{Citation | last1=Milne | first1=James S. | title=Étale cohomology | publisher=[[Princeton University Press]] | location=Princeton, NJ | isbn=978-0-691-08238-7 | year=1980 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/etalecohomology00miln }} (idem for ''l''-adic cohomology) | *{{Citation | last1=Milne | first1=James S. | title=Étale cohomology | publisher=[[Princeton University Press]] | location=Princeton, NJ | isbn=978-0-691-08238-7 | year=1980 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/etalecohomology00miln }} (idem for ''l''-adic cohomology) | ||
*{{Citation| last1=Kleiman | first1=S. L. | title=Dix exposés sur la cohomologie des schémas | publisher=North-Holland | location= Amsterdam |mr=0292838 | year=1968 | chapter=Algebraic cycles and the Weil conjectures | pages=359–386}} | *{{Citation| last1=Kleiman | first1=S. L. | title=Dix exposés sur la cohomologie des schémas | publisher=North-Holland | location= Amsterdam |mr=0292838 | year=1968 | chapter=Algebraic cycles and the Weil conjectures | pages=359–386}} | ||
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Latest revision as of 09:34, 6 September 2023
बीजगणितीय ज्यामिति में, वेइल सह-समरूपता या वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक सह-समरूपता है जो बीजगणितीय चक्रों और सह-समरूपता समूहों के परस्पर क्रिया से संबंधित कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। यह नाम एन्ड्रे वेइल के सम्मान में है। कोई भी वेइल सह-समरूपता सिद्धांत चाउ उद्देश्यों की श्रेणी के माध्यम से विशिष्ट रूप से कारक बनता है, लेकिन चाउ उद्देश्यों की श्रेणी स्वयं वेइल सह-समरूपता सिद्धांत नहीं है, क्योंकि यह एक एबेलियन श्रेणी नहीं है।
परिभाषा
मनमाना विशेषता का एक आधार फ़ील्ड k और विशेषता शून्य का एक "गुणांक फ़ील्ड" K ठीक करें। एक वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक विरोधाभासी फ़ैनक्टर है।
नीचे दिए गए सिद्धांतों को संतुष्ट करते हुए। प्रत्येक चिकनी प्रक्षेप्य बीजगणितीय विविधता X के आयाम n से अधिक k के लिए, फिर वर्गीकृत K-बीजगणित
निम्नलिखित को संतुष्ट करना आवश्यक है:
- प्रत्येक पूर्णांक i के लिए एक सीमित-आयामी K-सदिश स्थान है।
- प्रत्येक i < 0 या i > 2n के लिए।
- K (तथाकथित अभिविन्यास मानचित्र) के समरूपी है।
- पोंकारे द्वंद्व: एक आदर्श युग्मन है
- एक विहित कुनेथ समरूपतावाद है
- प्रत्येक पूर्णांक r के लिए, X पर कोडिमेंशन r के बीजगणितीय चक्रों के समूह पर एक चक्र मानचित्र परिभाषित है,
- H और कुनेथ समाकृतिकता की कार्यक्षमता के संबंध में कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करना। यदि X एक बिंदु है, तो साइकिल मानचित्र में Z ⊂ K का समावेश आवश्यक है।
- दुर्बल लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत: किसी भी पूर्ण हाइपरप्लेन अनुभाग के लिए j: W ⊂ X (यानी W = X ∩ H, H परिवेश प्रक्षेप्य स्पेस में कुछ हाइपरप्लेन), मानचित्र
- के लिए समरूपताएं हैं तथा के लिए अन्तःक्षेपण हैं।
- हार्ड लेफ्शेट्ज़ स्वयंसिद्ध: मान लीजिए कि W एक हाइपरप्लेन अनुभाग है और (चक्र वर्ग मानचित्र के नीचे इसकी छवि। लेफ्शेट्ज़ संकारक को इस प्रकार परिभाषित किया गया ह
- जहां बिंदु बीजगणित में उत्पाद को दर्शाता है तब
- i = 1, ..., n. के लिए एक समरूपता है।
उदाहरण
चार तथाकथित चिरसम्मत वेइल कोहोलॉजी सिद्धांत हैं:
- विलक्षण (= बेट्टी) सह-समरूपता, उनके विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी (जीएजीए देखें) का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में C से अधिक वर्गों के बारे में,
- विशेषता (बीजगणित) शून्य के आधार क्षेत्र पर डॉ कहलमज गर्भाशय: C से अधिक अंतर रूपों द्वारा परिभाषित और सामान्य तौर पर काहलर अंतर के परिसर के माध्यम से (बीजगणितीय डी राम सह-समरूपता देखें),
- ℓ से भिन्न विशेषता के क्षेत्रों में किस्मों के लिए ℓ-एडिक सह-समरूपता,
- क्रिस्टलीय सहसंरचना.
बेट्टी सह-समरूपता और डी राम सह-समरूपता के लिए स्वयंसिद्धों के प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान और चिरसम्मत हैं। उदाहरण के लिए, ℓ-एडिक सह-समरूपता के लिए, उपरोक्त अधिकांश गुण गहरे प्रमेय हैं।
दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी सह-समरूपता समूहों का लुप्त होना इस तथ्य से स्पष्ट है कि जटिल आयाम n के एक (जटिल) मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 2n है, इसलिए ये उच्च सह-समरूपता समूह गायब हो जाते हैं (उदाहरण के लिए उन्हें सरल (सह) होमोलॉजी से तुलना करके)।
डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम n की पूर्ण विविधता X में जटिल कोड आयाम r की एक उप-विविधता Y को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है वह अवयव चक्र मानचित्र के अंतर्गत Y की छवि है।
संदर्भ
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: Wiley, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 (contains proofs of all of the axioms for Betti and de-Rham cohomology)
- Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 (idem for l-adic cohomology)
- Kleiman, S. L. (1968), "Algebraic cycles and the Weil conjectures", Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: North-Holland, pp. 359–386, MR 0292838