टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
(4 intermediate revisions by 3 users not shown) | |||
Line 1: | Line 1: | ||
गणित में, टॉटोलॉजिकल | गणित में, '''टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म''' एक विशेष 1-रूप है जो मैनिफोल्ड <math>Q.</math> के कोटैंजेंट बंडल <math>T^{*}Q</math> पर परिभाषित होता है। भौतिकी में, इसका उपयोग एक बिंदु के वेग के बीच एक पत्राचार बनाने के लिए किया जाता है। एक यांत्रिक प्रणाली और उसकी गति में, इस प्रकार लैग्रेंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के बीच एक पुल प्रदान करता है (कई गुना <math>Q</math> पर)। | ||
इस रूप का [[बाहरी व्युत्पन्न]] एक [[सरलीकृत रूप]] देने को परिभाषित करता है जो <math>T^{*}Q</math> एक [[ सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड |सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड]] की संरचना देता है। टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म हैमिल्टनियन यांत्रिकी और लैग्रेंजियन यांत्रिकी की औपचारिकता से संबंधित होने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म को कभी-कभी लिउविले वन -फॉर्म, पोंकारे वन -फॉर्म, वन -फॉर्म या सिंपलेक्टिक पोटेंशियल भी कहा जाता है। एक समान वस्तु [[स्पर्शरेखा बंडल]] पर [[विहित वेक्टर क्षेत्र|विहित सदिश क्षेत्र]] है। | |||
टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म को परिभाषित करने के लिए, एक समन्वय चार्ट का चयन करें <math> U </math> पर <math>T^*Q </math> और एक [[विहित समन्वय]] प्रणाली <math> U. </math> पर एक इच्छानुसार बिंदु चुनें जो <math>m \in T^*Q.</math> कोटैंजेंट बंडल की परिभाषा के अनुसार, <math>m = (q,p),</math> कहाँ <math>q \in Q</math> और <math>p \in T_q^*Q.</math> तनातनी वन -फॉर्म <math>\theta_m : T_mT^*Q \to \R</math> द्वारा दिया गया है | |||
टॉटोलॉजिकल | |||
<math display="block">\theta_m = \sum^n_{i=1} p_i dq^i,</math> | <math display="block">\theta_m = \sum^n_{i=1} p_i dq^i,</math> | ||
<math>n = \mathop{\text{dim}}Q</math> और <math>(p_1, \ldots, p_n) \in U \subseteq \R^n</math> के साथ <math>p. </math> का समन्वय प्रतिनिधित्व है। | <math>n = \mathop{\text{dim}}Q</math> और <math>(p_1, \ldots, p_n) \in U \subseteq \R^n</math> के साथ <math>p. </math> का समन्वय प्रतिनिधित्व है। | ||
Line 17: | Line 14: | ||
कैनोनिकल सिंपलेक्टिक रूप, जिसे पोंकारे टू-रूप के रूप में भी जाना जाता है, द्वारा दिया गया है | कैनोनिकल सिंपलेक्टिक रूप, जिसे पोंकारे टू-रूप के रूप में भी जाना जाता है, द्वारा दिया गया है | ||
<math display=block>\omega = -d\theta = \sum_i dq^i \wedge dp_i</math> | <math display=block>\omega = -d\theta = \sum_i dq^i \wedge dp_i</math> | ||
सामान्य [[फाइबर बंडल]] तक इस अवधारणा के विस्तार को [[सोल्डर फॉर्म|सोल्डर रूप]] के रूप में जाना जाता है। परंपरा के अनुसार, जब भी रूप की एक अद्वितीय, विहित परिभाषा होती है, तो कोई व्यक्ति कैनोनिकल रूप वाक्यांश का उपयोग करता है, और जब भी कोई इच्छानुसार विकल्प बनाना होता है, तो कोई सोल्डर रूप शब्द का उपयोग करता है। [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और | सामान्य [[फाइबर बंडल]] तक इस अवधारणा के विस्तार को [[सोल्डर फॉर्म|सोल्डर रूप]] के रूप में जाना जाता है। परंपरा के अनुसार, जब भी रूप की एक अद्वितीय, विहित परिभाषा होती है, तो कोई व्यक्ति कैनोनिकल रूप वाक्यांश का उपयोग करता है, और जब भी कोई इच्छानुसार विकल्प बनाना होता है, तो कोई सोल्डर रूप शब्द का उपयोग करता है। [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और सम्मिश्र ज्यामिति में विहित वर्ग के साथ अस्पष्ट के कारण विहित शब्द को हतोत्साहित किया जाता है, और [[टॉटोलॉजिकल बंडल]] की तरह टॉटोलॉजिकल शब्द को प्राथमिकता दी जाती है। | ||
==समन्वय-मुक्त परिभाषा== | ==समन्वय-मुक्त परिभाषा== | ||
टॉटोलॉजिकल 1-रूप को चरण | टॉटोलॉजिकल 1-रूप को चरण समष्टि पर एक रूप के रूप में अमूर्त रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए <math>Q</math> एक मैनिफोल्ड है और <math>M=T^*Q</math> कोटैंजेंट बंडल या चरण समष्टि है। होने देना | ||
<math display=block>\pi : M \to Q</math> | <math display=block>\pi : M \to Q</math> | ||
विहित फाइबर बंडल प्रक्षेपण हो, और चलो | विहित फाइबर बंडल प्रक्षेपण हो, और चलो | ||
<math display=block>\mathrm{d} \pi : TM \to TQ </math> | <math display=block>\mathrm{d} \pi : TM \to TQ </math> | ||
प्रेरित स्पर्शरेखा मानचित्र बनें। मान लीजिए कि <math>m</math> <math>M.</math> पर एक बिंदु है, चूँकि <math>M</math> कोटैंजेंट बंडल है, हम <math>m</math> को <math>q=\pi(m)</math> पर स्पर्शरेखा | प्रेरित स्पर्शरेखा मानचित्र बनें। मान लीजिए कि <math>m</math> <math>M.</math> पर एक बिंदु है, चूँकि <math>M</math> कोटैंजेंट बंडल है, हम <math>m</math> को <math>q=\pi(m)</math> पर स्पर्शरेखा समष्टि का मानचित्र समझ सकते हैं। | ||
<math display=block>m : T_qQ \to \R.</math> | <math display=block>m : T_qQ \to \R.</math> | ||
अर्थात्, हमारे पास यह है कि m, q के तंतु में है। फिर बिंदु m पर टॉटोलॉजिकल वन-फ़ॉर्म <math>\theta_m</math> को परिभाषित किया गया है | अर्थात्, हमारे पास यह है कि m, q के तंतु में है। फिर बिंदु m पर टॉटोलॉजिकल वन-फ़ॉर्म <math>\theta_m</math> को परिभाषित किया गया है | ||
Line 35: | Line 32: | ||
== सिम्पेक्टिक क्षमता== | == सिम्पेक्टिक क्षमता== | ||
सहानुभूति क्षमता को सामान्यतः थोड़ा अधिक स्वतंत्र रूप से परिभाषित किया जाता है, और केवल | सहानुभूति क्षमता को सामान्यतः थोड़ा अधिक स्वतंत्र रूप से परिभाषित किया जाता है, और केवल समष्टिीय रूप से भी परिभाषित किया जाता है: यह कोई वन -फॉर्म है जिसमे <math>\phi</math> ऐसा है कि <math>\omega=-d\phi</math>; वास्तव में सिम्प्लेक्टिक क्षमताएं विहित 1-रूप से एक बंद अंतर रूप से भिन्न होती हैं। | ||
==गुण== | ==गुण== | ||
टॉटोलॉजिकल | टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म अद्वितीय वन -फॉर्म है जो पुलबैक_(डिफरेंशियल ज्योमेट्री) को समाप्त करता है। अथार्त चलो <math>\beta</math> 1-रूप पर हो <math>Q.</math> <math>\beta</math> एक अनुभाग है (फाइबर_बंडल) <math>\beta: Q \to T^*Q.</math> एक इच्छानुसार 1-रूप के लिए <math>\sigma</math> पर <math>T^*Q,</math> का पुलबैक <math>\sigma</math> द्वारा <math>\beta</math> परिभाषा के अनुसार, <math>\beta^*\sigma := \sigma \circ \beta_*.</math> यहाँ, <math>\beta_* : TQ\to TT^*Q</math> का पुशफॉरवर्ड (अंतर) है <math>\beta.</math> पसंद <math>\beta,</math> <math>\beta^*\sigma</math> 1-रूप पर है <math>Q.</math> तनातनी वन -फॉर्म <math>\theta</math> संपत्ति के साथ एकमात्र रूप है कि <math>\beta^*\theta = \beta,</math> प्रत्येक 1-फ़ॉर्म <math>\beta</math> के लिए <math>Q.</math> पर है | ||
{| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" | {| role="presentation" class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed" | ||
Line 44: | Line 41: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
एक चार्ट के लिए <math>(\{q^i\}^n_{i=1},U)</math> on <math>Q</math> (where <math>U \subseteq \R^n),</math> let <math>\{p_i,q^i\}^n_{i=1}</math> निर्देशांक चालू हों <math>T^*Q,</math> जहां फाइबर समन्वय करता है <math>\{p_i\}^n_{i=1}</math> रैखिक आधार से जुड़े हैं <math>\{dq^i\}^n_{i=1}.</math> अनुमान से, हर किसी के लिए <math>{\mathbf q}=(q^1,\ldots,q^n) \in U,</math> | |||
<math display=block>\beta({\mathbf q}) = \sum^n_{i=1} \beta_i(\mathbf{q})\,dq^i,</math> | |||
<math display="block">\beta({\mathbf q}) = \sum^n_{i=1} \beta_i(\mathbf{q})\,dq^i,</math> | |||
<math display=block>\mathbf{q}=(q^1,\ldots,q^n)\ \stackrel{\beta}{\to}\ (\underbrace{q^1,\ldots,q^n}_{\mathbf{q}},\underbrace{\beta_1(\mathbf{q}),\ldots,\beta_n(\mathbf{q}}_{\mathbf{p}})).</math> | या | ||
<math display="block">\mathbf{q}=(q^1,\ldots,q^n)\ \stackrel{\beta}{\to}\ (\underbrace{q^1,\ldots,q^n}_{\mathbf{q}},\underbrace{\beta_1(\mathbf{q}),\ldots,\beta_n(\mathbf{q}}_{\mathbf{p}})).</math> | |||
<math display=block>\beta_*\left(\frac{\partial}{\partial q^i}\Biggl|_\mathbf{q}\right) = | यह इस प्रकार है कि | ||
<math display="block">\beta_*\left(\frac{\partial}{\partial q^i}\Biggl|_\mathbf{q}\right) = | |||
\frac{\partial}{\partial q^i} \Biggl|_{\beta(\mathbf{q})} | \frac{\partial}{\partial q^i} \Biggl|_{\beta(\mathbf{q})} | ||
+ \sum^n_{j=1}\frac{\partial \beta_j}{\partial q^i}\Biggl|_{\mathbf{q}} \cdot \frac{\partial}{\partial p_j}\Biggl|_{\beta(\mathbf{q})}</math> | + \sum^n_{j=1}\frac{\partial \beta_j}{\partial q^i}\Biggl|_{\mathbf{q}} \cdot \frac{\partial}{\partial p_j}\Biggl|_{\beta(\mathbf{q})}</math> | ||
जिसका तात्पर्य यह है | |||
<math display=block>(\beta^*\,dq^i)\left({\partial/\partial q^j}\right)_\mathbf{q}=dq^i\left[\beta_*\left({\partial/\partial q^j}\right)_\mathbf{q}\right] = | <math display="block">(\beta^*\,dq^i)\left({\partial/\partial q^j}\right)_\mathbf{q}=dq^i\left[\beta_*\left({\partial/\partial q^j}\right)_\mathbf{q}\right] = | ||
\delta_{ij}.</math> | \delta_{ij}.</math> | ||
''' | '''चरण 1.''' हमारे पास है | ||
<math display=block>\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
(\beta^*\theta)\left(\partial / \partial q^i\right)_\mathbf{q} | (\beta^*\theta)\left(\partial / \partial q^i\right)_\mathbf{q} | ||
&= \theta\left( \beta_*\left(\partial/\partial q^i\right)_\mathbf{q}\right) = \left(\sum^{n}_{j=1}p_jdq^j\right)\left(\beta_*\left(\partial/\partial q^i\right)_\mathbf{q}\right) \\ | &= \theta\left( \beta_*\left(\partial/\partial q^i\right)_\mathbf{q}\right) = \left(\sum^{n}_{j=1}p_jdq^j\right)\left(\beta_*\left(\partial/\partial q^i\right)_\mathbf{q}\right) \\ | ||
Line 63: | Line 61: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
'''Step 1'.''' | '''Step 1'.''' चरण 1. पूर्णता के लिए, अब हम एक समन्वय-मुक्त प्रमाण देते हैं <math>\beta^*\theta = \beta,</math> for any 1-form <math>\beta.</math> | ||
प्रत्येक के लिए, सहज रूप से बोलते हुए, इसका निरीक्षण करें <math>q \in Q</math> और <math>p \in T^*_qQ,</math> रेखीय मानचित्र <math>d\pi_{(q,p)}</math> की परिभाषा में <math> \theta </math> स्पर्शरेखा स्थान को प्रक्षेपित करता है <math>T_{(q,p)}T^*Q</math> इसके उपस्थान पर <math>T_qQ.</math> परिणामस्वरूप, प्रत्येक के लिए <math>q \in Q</math> और <math>v \in T_qQ,</math> | |||
<math display=block>d\pi_{\beta(q)}(\beta_{*q} v) = v,</math> | <math display="block">d\pi_{\beta(q)}(\beta_{*q} v) = v,</math> | ||
जहाँ <math>\beta_{*q}</math> का उदाहरण है <math>\beta_*</math> बिंदु पर <math>q \in Q,</math> वह है, | |||
<math display=block>\beta_{*q} : T_qQ \to T_{\beta(q)}T^*Q.</math> | <math display="block">\beta_{*q} : T_qQ \to T_{\beta(q)}T^*Q.</math> | ||
समन्वय-मुक्त परिभाषा को लागू करना <math>\theta</math> to <math>\theta_{\beta(q)},</math> प्राप्त | |||
<math display=block>(\beta^*\theta)_qv=\theta_{\beta(q)}(\beta_{*q}v) = \beta(q)(d\pi_{\beta(q)}(\beta_{*q} v)) = \beta(q) v.</math> | <math display="block">(\beta^*\theta)_qv=\theta_{\beta(q)}(\beta_{*q}v) = \beta(q)(d\pi_{\beta(q)}(\beta_{*q} v)) = \beta(q) v.</math> | ||
'''Step 2.''' | '''Step 2.''' ये दिखाने के लिए काफी है <math>\alpha=0</math> if <math>\beta^*\alpha = 0,</math> हर एक रूप के लिए <math>\beta.</math> मान लीजिये | ||
<math display=block>\alpha = \sum^n_{i=1} \alpha_{q^i}(\mathbf{p},\mathbf{q})\,dq^i + \sum^n_{i=1} \alpha_{p_i}(\mathbf{p},\mathbf{q})\,dp_i,</math> | <math display="block">\alpha = \sum^n_{i=1} \alpha_{q^i}(\mathbf{p},\mathbf{q})\,dq^i + \sum^n_{i=1} \alpha_{p_i}(\mathbf{p},\mathbf{q})\,dp_i,</math> | ||
जहाँ <math>\alpha_{p^i},\alpha_{q^i} \in C^\infty(\R^n \times U,\R).</math> | |||
स्थानापन्न <math>v = \left(\partial / \partial q_i\right)_{\mathbf q}</math> पहचान में <math>\alpha(\beta_*v) = 0</math> प्राप्त | |||
<math display="block">\alpha(\partial / \partial q^i)_{\beta(\mathbf q)} + \sum^n_{j=1}(\partial \beta_j / \partial q^i)_{\mathbf{q}}\cdot \alpha(\partial / \partial p_j)_{\beta(\mathbf{q})} = 0,</math> | <math display="block">\alpha(\partial / \partial q^i)_{\beta(\mathbf q)} + \sum^n_{j=1}(\partial \beta_j / \partial q^i)_{\mathbf{q}}\cdot \alpha(\partial / \partial p_j)_{\beta(\mathbf{q})} = 0,</math> | ||
या समकक्ष, <math>n</math> फलनों के किसी भी विकल्प के लिएs <math>p_i = \beta_i(\mathbf{q}),</math> | |||
<math display="block">\alpha_{q^i}(\mathbf{p},\mathbf{q}) + \sum^n_{j=1} \partial p_j / \partial q^i \cdot \alpha_{p_j}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = 0.</math> | <math display="block">\alpha_{q^i}(\mathbf{p},\mathbf{q}) + \sum^n_{j=1} \partial p_j / \partial q^i \cdot \alpha_{p_j}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = 0.</math> | ||
Let <math>\beta = \sum^n_{j=1} c_jdq^j,</math> where <math>c_j=\text{const}.</math> In this case, <math>\beta_j = c_j.</math> For every <math>\mathbf{q} \in U</math> and <math>c_j \in \R,</math> | Let <math>\beta = \sum^n_{j=1} c_jdq^j,</math> where <math>c_j=\text{const}.</math> In this case, <math>\beta_j = c_j.</math> For every <math>\mathbf{q} \in U</math> and <math>c_j \in \R,</math> | ||
Line 94: | Line 93: | ||
==कार्रवाई== | ==कार्रवाई== | ||
यदि | यदि <math>H</math> कोटैंजेंट बंडल पर एक हैमिल्टनियन यांत्रिकी है और <math>X_H</math> इसका [[हैमिल्टनियन वेक्टर फ़ील्ड|हैमिल्टनियन सदिश फ़ील्ड]] है, तो संबंधित [[क्रिया (भौतिकी)]] <math>S</math> द्वारा दिया गया है | ||
<math display=block>S = \theta(X_H).</math> | <math display=block>S = \theta(X_H).</math> | ||
अधिक व्यावहारिक शब्दों में, हैमिल्टनियन प्रवाह [[गति के हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण]] का पालन करने वाले एक यांत्रिक प्रणाली के मौलिक | अधिक व्यावहारिक शब्दों में, हैमिल्टनियन प्रवाह [[गति के हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण]] का पालन करने वाले एक यांत्रिक प्रणाली के मौलिक प्रक्षेपवक्र का प्रतिनिधित्व करता है। हैमिल्टनियन प्रवाह हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र का अभिन्न अंग है, और इसलिए कोई [[क्रिया-कोण चर]] के लिए पारंपरिक नोटेशन का उपयोग करते हुए लिखता है: | ||
<math display=block>S(E) = \sum_i \oint p_i\,dq^i</math> | <math display=block>S(E) = \sum_i \oint p_i\,dq^i</math> | ||
ऊर्जा <math>E</math> स्थिरांक को धारण करके परिभाषित कई गुना पर अभिन्न अंग को समझा जाता है: <math>H=E=\text{const}.</math>। | ऊर्जा <math>E</math> स्थिरांक को धारण करके परिभाषित कई गुना पर अभिन्न अंग को समझा जाता है: <math>H=E=\text{const}.</math>। | ||
==रीमैनियन और स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर== | ==रीमैनियन और स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर== | ||
यदि अनेक गुना <math>Q</math> एक रीमानियन या छद्म-रिमानियन मेट्रिक (गणित) <math>g,</math> है | यदि अनेक गुना <math>Q</math> एक रीमानियन या छद्म-रिमानियन मेट्रिक (गणित) <math>g,</math> है तब [[सामान्यीकृत निर्देशांक]] के संदर्भ में संबंधित परिभाषाएँ बनाई जा सकती हैं। विशेष रूप से, यदि हम मीट्रिक को मानचित्र के रूप में लेते हैं | ||
<math display="block">g : TQ \to T^*Q,</math> | <math display="block">g : TQ \to T^*Q,</math> | ||
फिर परिभाषित करें | फिर परिभाषित करें | ||
Line 113: | Line 112: | ||
\sum_{ijk} \frac{\partial g_{ij}}{\partial q^k} \; | \sum_{ijk} \frac{\partial g_{ij}}{\partial q^k} \; | ||
\dot q^i\, dq^j \wedge dq^k</math> | \dot q^i\, dq^j \wedge dq^k</math> | ||
मीट्रिक किसी को <math>T^*Q.</math> में एक इकाई-त्रिज्या क्षेत्र को परिभाषित करने की अनुमति देता है। इस क्षेत्र तक सीमित विहित | मीट्रिक किसी को <math>T^*Q.</math> में एक इकाई-त्रिज्या क्षेत्र को परिभाषित करने की अनुमति देता है। इस क्षेत्र तक सीमित विहित वन -फॉर्म एक संपर्क संरचना बनाता है; इस मीट्रिक के लिए जियोडेसिक प्रवाह उत्पन्न करने के लिए संपर्क संरचना का उपयोग किया जा सकता है। | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
Line 121: | Line 120: | ||
* [[Ralph Abraham (mathematician)|Ralph Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden]], ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London {{isbn|0-8053-0102-X}} ''See section 3.2''. | * [[Ralph Abraham (mathematician)|Ralph Abraham]] and [[Jerrold E. Marsden]], ''Foundations of Mechanics'', (1978) Benjamin-Cummings, London {{isbn|0-8053-0102-X}} ''See section 3.2''. | ||
[[Category: सिंपलेक्टिक ज्यामिति]] [[Category: हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] [[Category: लैग्रेंजियन यांत्रिकी]] | [[Category: सिंपलेक्टिक ज्यामिति]] [[Category: हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] [[Category: लैग्रेंजियन यांत्रिकी]] | ||
Latest revision as of 13:06, 8 September 2023
गणित में, टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म एक विशेष 1-रूप है जो मैनिफोल्ड के कोटैंजेंट बंडल पर परिभाषित होता है। भौतिकी में, इसका उपयोग एक बिंदु के वेग के बीच एक पत्राचार बनाने के लिए किया जाता है। एक यांत्रिक प्रणाली और उसकी गति में, इस प्रकार लैग्रेंजियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के बीच एक पुल प्रदान करता है (कई गुना पर)।
इस रूप का बाहरी व्युत्पन्न एक सरलीकृत रूप देने को परिभाषित करता है जो एक सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड की संरचना देता है। टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म हैमिल्टनियन यांत्रिकी और लैग्रेंजियन यांत्रिकी की औपचारिकता से संबंधित होने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म को कभी-कभी लिउविले वन -फॉर्म, पोंकारे वन -फॉर्म, वन -फॉर्म या सिंपलेक्टिक पोटेंशियल भी कहा जाता है। एक समान वस्तु स्पर्शरेखा बंडल पर विहित सदिश क्षेत्र है।
टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म को परिभाषित करने के लिए, एक समन्वय चार्ट का चयन करें पर और एक विहित समन्वय प्रणाली पर एक इच्छानुसार बिंदु चुनें जो कोटैंजेंट बंडल की परिभाषा के अनुसार, कहाँ और तनातनी वन -फॉर्म द्वारा दिया गया है
पर कोई भी निर्देशांक जो इस परिभाषा को कुल अंतर (स्पष्ट रूप) तक संरक्षित करता है, उसे विहित निर्देशांक कहा जा सकता है; विभिन्न विहित समन्वय प्रणालियों के बीच परिवर्तनों को विहित परिवर्तनों के रूप में जाना जाता है।
कैनोनिकल सिंपलेक्टिक रूप, जिसे पोंकारे टू-रूप के रूप में भी जाना जाता है, द्वारा दिया गया है
समन्वय-मुक्त परिभाषा
टॉटोलॉजिकल 1-रूप को चरण समष्टि पर एक रूप के रूप में अमूर्त रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए एक मैनिफोल्ड है और कोटैंजेंट बंडल या चरण समष्टि है। होने देना
प्रेरित स्पर्शरेखा मानचित्र बनें। मान लीजिए कि पर एक बिंदु है, चूँकि कोटैंजेंट बंडल है, हम को पर स्पर्शरेखा समष्टि का मानचित्र समझ सकते हैं।
सिम्पेक्टिक क्षमता
सहानुभूति क्षमता को सामान्यतः थोड़ा अधिक स्वतंत्र रूप से परिभाषित किया जाता है, और केवल समष्टिीय रूप से भी परिभाषित किया जाता है: यह कोई वन -फॉर्म है जिसमे ऐसा है कि ; वास्तव में सिम्प्लेक्टिक क्षमताएं विहित 1-रूप से एक बंद अंतर रूप से भिन्न होती हैं।
गुण
टॉटोलॉजिकल वन -फॉर्म अद्वितीय वन -फॉर्म है जो पुलबैक_(डिफरेंशियल ज्योमेट्री) को समाप्त करता है। अथार्त चलो 1-रूप पर हो एक अनुभाग है (फाइबर_बंडल) एक इच्छानुसार 1-रूप के लिए पर का पुलबैक द्वारा परिभाषा के अनुसार, यहाँ, का पुशफॉरवर्ड (अंतर) है पसंद 1-रूप पर है तनातनी वन -फॉर्म संपत्ति के साथ एकमात्र रूप है कि प्रत्येक 1-फ़ॉर्म के लिए पर है
Proof. |
एक चार्ट के लिए on (where let निर्देशांक चालू हों जहां फाइबर समन्वय करता है रैखिक आधार से जुड़े हैं अनुमान से, हर किसी के लिए
या
यह इस प्रकार है कि
जिसका तात्पर्य यह है
चरण 1. हमारे पास है Step 1'. चरण 1. पूर्णता के लिए, अब हम एक समन्वय-मुक्त प्रमाण देते हैं for any 1-form प्रत्येक के लिए, सहज रूप से बोलते हुए, इसका निरीक्षण करें और रेखीय मानचित्र की परिभाषा में स्पर्शरेखा स्थान को प्रक्षेपित करता है इसके उपस्थान पर परिणामस्वरूप, प्रत्येक के लिए और
जहाँ का उदाहरण है बिंदु पर वह है,
समन्वय-मुक्त परिभाषा को लागू करना to प्राप्त
Step 2. ये दिखाने के लिए काफी है if हर एक रूप के लिए मान लीजिये
जहाँ
स्थानापन्न पहचान में प्राप्त
या समकक्ष, फलनों के किसी भी विकल्प के लिएs
Let where In this case, For every and
This shows that on and the identity
must hold for an arbitrary choice of functions If (with indicating superscript) then and the identity becomes
for every and Since we see that as long as for all On the other hand, the function is continuous, and hence on
|
तो, पुल-बैक और बाहरी व्युत्पन्न के बीच कम्यूटेशन द्वारा,
कार्रवाई
यदि कोटैंजेंट बंडल पर एक हैमिल्टनियन यांत्रिकी है और इसका हैमिल्टनियन सदिश फ़ील्ड है, तो संबंधित क्रिया (भौतिकी) द्वारा दिया गया है
ऊर्जा स्थिरांक को धारण करके परिभाषित कई गुना पर अभिन्न अंग को समझा जाता है: ।
रीमैनियन और स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर
यदि अनेक गुना एक रीमानियन या छद्म-रिमानियन मेट्रिक (गणित) है तब सामान्यीकृत निर्देशांक के संदर्भ में संबंधित परिभाषाएँ बनाई जा सकती हैं। विशेष रूप से, यदि हम मीट्रिक को मानचित्र के रूप में लेते हैं
सामान्यीकृत निर्देशांक में पर किसी के पास
मीट्रिक किसी को में एक इकाई-त्रिज्या क्षेत्र को परिभाषित करने की अनुमति देता है। इस क्षेत्र तक सीमित विहित वन -फॉर्म एक संपर्क संरचना बनाता है; इस मीट्रिक के लिए जियोडेसिक प्रवाह उत्पन्न करने के लिए संपर्क संरचना का उपयोग किया जा सकता है।
संदर्भ
- Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 3.2.