मध्य बिंदु: Difference between revisions

Latest revision as of 17:04, 13 September 2023

खंड का मध्यबिंदु (

x

₁,

y

₁) प्रति (

x

₂,

y

₂)

ज्यामिति में, मध्य बिंदु रेखा खंड का मध्य बिंदु (ज्यामिति) होता है। यह दोनों अंतबिंदुओं से दूरी है, और यह खंड और अंतबिंदु दोनों का केंद्रक है। यह खंड को द्विभाजित करता है।

सूत्र

n-आयाम स्पेस में सेगमेंट का मध्य बिंदु जिसके अंत बिंदु हैं $A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ तथा $B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ द्वारा दिया गया है

एन-डायमेंशनल स्पेस में खंड का मध्य बिंदु जिसके अंत बिंदु हैं। A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}) और B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}) द्वारा दिया गया है।

{\frac {A+B}{2}}.

अर्थात्, मध्यबिंदु (i = 1, 2, ..., n) का iवाँ निर्देशांक है।

{\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}.

निर्माण

दो बिंदुओं को देखते हुए, उनके द्वारा निर्धारित रेखा खंड के मध्य बिंदु को कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माण द्वारा पूरा किया जा सकता है। समतल (ज्यामिति) में सन्निहित रेखा खंड का मध्यबिंदु, पहले लेंस (ज्यामिति) का निर्माण करके समान (और अधिक बड़ी) त्रिज्या के वृत्ताकार चापों का उपयोग करके दो अंत बिंदुओं पर केन्द्रित किया जा सकता है। फिर लेंस के पुच्छों को जोड़ा जा सकता है। (दो बिंदु जहां चाप प्रतिच्छेद करते हैं)। वह बिंदु जहां क्यूप्स को जोड़ने वाली रेखा खंड को काटती है। तब खंड का मध्य बिंदु होता है। केवल कम्पास का उपयोग करके मध्यबिंदु का पता लगाना अधिक चुनौतीपूर्ण है। किन्तु मोहर-माशेरोनी प्रमेय के अनुसार यह अभी भी संभव है।^[1]

मध्य बिंदु से जुड़े ज्यामितीय गुण

वृत्त

वृत्त के किसी भी व्यास का मध्यबिंदु वृत्त का केंद्र होता है।

किसी वृत्त की किसी जीवा (ज्यामिति) के लम्बवत और उसके मध्य बिंदु से निकलने वाली कोई भी रेखा भी वृत्त के केंद्र से होकर निकलती है।

बटरफ्लाई प्रमेय में कहा गया है कि, यदि M वृत्त की जीवा PQ का मध्यबिंदु है। जिसके माध्यम से दो अन्य जीवाएँ AB और CD खींची जाती हैं, तो AD और BC जीवा PQ को क्रमशः X और Y पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि M, PQ का मध्यबिंदु XY है।

दीर्घवृत्त

किसी भी खंड का मध्य बिंदु जो दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल द्विभाजन या परिधि द्विभाजक है। दीर्घवृत्त का केंद्र है।

दीर्घवृत्त का केंद्र दीर्घवृत्त के दो फोकस (ज्यामिति) को जोड़ने वाले खंड का मध्य बिंदु भी है।

अतिपरवलय

अतिपरवलय के शीर्षों को जोड़ने वाले खंड का मध्यबिंदु अतिपरवलय का केंद्र होता है।

त्रिभुज

किसी त्रिभुज का समद्विभाजन त्रिकोण वह रेखा होती है। जो उस भुजा के लम्बवत् होती है और उसके मध्यबिंदु से होकर निकलती है। त्रिभुज की तीन भुजाओं के तीन लंब समद्विभाजक परिकेन्द्र (तीन शीर्षों से होते हुए वृत्त का केंद्र) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

त्रिभुज की भुजा की माध्यिका (ज्यामिति) दोनों भुजाओं के मध्य बिंदु और त्रिभुज के विपरीत शीर्ष (ज्यामिति) से होकर निकलती है। त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ त्रिभुज के केन्द्रक पर प्रतिच्छेद करती हैं (वह बिंदु जिस पर त्रिभुज संतुलित होगा यदि यह एकसमान-घनत्व वाली धातु की पतली शीट से बना हो)।

त्रिभुज का नौ-बिंदु केंद्र परिकेन्द्र और लंबकेन्द्र के बीच के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। ये सभी बिन्दु यूलर रेखा पर हैं।

त्रिकोण का मध्य खंड (या मध्य रेखा) रेखा खंड है। जो त्रिभुज के दो पक्षों के मध्य बिंदुओं में सम्मिलित होता है। यह तीसरी भुजा के समानांतर है और इसकी लंबाई उस तीसरी भुजा के आधे के समान है।

किसी दिए गए त्रिभुज के औसत दर्जे के त्रिभुज में दिए गए त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं पर शीर्ष होते हैं। इसलिए इसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की तीन मध्य रेखाएँ होती हैं। यह दिए गए त्रिकोण के साथ समान केन्द्रक और माध्यिका साझा करता है। औसत दर्जे का त्रिभुज का परिमाप मूल त्रिभुज के अर्धपरिधि (आधी परिधि) के समान होता है, और इसका क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का चौथाई होता है। औसत दर्जे का त्रिकोण का ऑर्थोसेंटर (ऊंचाई का प्रतिच्छेदन) मूल त्रिकोण के परिधि (सर्कल का केंद्र) के साथ मेल खाता है।

प्रत्येक त्रिभुज में दीर्घवृत्त होता है, जिसे स्टाइनर इनलिप्स कहा जाता है। जो त्रिभुज के सभी पक्षों के मध्य बिंदुओं पर आंतरिक रूप से स्पर्शरेखा होता है। यह दीर्घवृत्त त्रिभुज के केन्द्रक पर केंद्रित है, और इसमें त्रिभुज में अंकित किसी भी दीर्घवृत्त का सबसे बड़ा क्षेत्र है।

समकोण त्रिभुज में, परिकेन्द्र कर्ण का मध्य बिंदु होता है।

समद्विबाहु त्रिभुज में, माध्यिका, ऊंचाई (त्रिकोण), और आधार (ज्यामिति) पक्ष से लम्ब द्विभाजक और एपेक्स (ज्यामिति) का कोण द्विभाजक यूलर रेखा और समरूपता के अक्ष के साथ मेल खाता है, और ये संयोग रेखाएँ निकलती हैं। आधार पक्ष का मध्य बिंदु है ।

चतुर्भुज

उत्तल बहुभुज चतुर्भुज के दो चतुर्भुज द्विमध्य रेखा खंड हैं। जो विपरीत पक्षों के मध्यबिंदुओं को जोड़ते हैं। इसलिए प्रत्येक दो पक्षों को द्विभाजित करता है। दो द्विमाध्यिकाएँ और विकर्णों के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड बिंदु पर समवर्ती रेखाएँ हैं। (सभी दूसरे को काटती हैं) जिसे शीर्ष सेंट्रोइड कहा जाता है। जो इन तीनों खंडों का मध्यबिंदु है ।^[2]^: p.125

उत्तल चतुर्भुज के चार गुण विपरीत दिशा के मध्य बिंदु के माध्यम से तरफ के लंबवत होते हैं। इसलिए बाद वाले पक्ष को द्विभाजित करते हैं। यदि चतुर्भुज चक्रीय चतुर्भुज ( वृत्त में ) है, तो ये सभी कोण सामान्य बिंदु पर मिलते हैं। जिसे प्रतिकेंद्र कहा जाता है।

ब्रह्मगुप्त के प्रमेय में कहा गया है कि यदि चक्रीय चतुर्भुज ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज है (अर्थात्, लंबवत विकर्ण हैं), तो विकर्णों के प्रतिच्छेदन के बिंदु से तरफ लंबवत सदैव विपरीत दिशा के मध्य बिंदु के माध्यम से जाता है।

वरिग्नन के प्रमेय में कहा गया है कि इच्छानुसार चतुर्भुज के पक्षों के मध्य बिंदु समांतर चतुर्भुज के शीर्ष बनाते हैं, और यदि चतुर्भुज स्व-प्रतिच्छेद नहीं करता है तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा है।

न्यूटन रेखा वह रेखा है। जो उत्तल चतुर्भुज में दो विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ती है, जो समांतर चतुर्भुज नहीं है। उत्तल चतुर्भुज के विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। जो न्यूटन रेखा पर स्थित है।

सामान्य बहुभुज

नियमित बहुभुज में एक चक्र होता है। जो बहुभुज के प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु पर स्पर्शरेखा होता है।

भुजाओं की सम संख्या वाले नियमित बहुभुज में, विपरीत शीर्षों के बीच के विकर्ण का मध्य बिंदु बहुभुज का केंद्र होता है।

चक्रीय बहुभुज का मध्यबिंदु-खींचने वाला बहुभुज $P$ (एक बहुभुज जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) एक ही वृत्त में अन्य चक्रीय बहुभुज है। बहुभुज जिसके शीर्ष वृत्त के शीर्षों के बीच वृत्ताकार चाप के मध्य बिंदु $P$ हैं।^[3] इच्छानुसार प्रारंभिक बहुभुज पर मध्यबिंदु-खिंचाव संचालन को पुनरावर्तित करने से बहुभुजों का क्रम होता है। जिनके आकार नियमित बहुभुज के रूप में अभिसरण करते हैं।^[3]^[4]

सामान्यीकरण

किसी खंड के मध्यबिंदु के लिए सूत्र स्पष्ट रूप से खंडों की लंबाई का उपयोग करते हैं। चूँकि, सामान्यीकरण में ज्यामिति को परिभाषित करने के लिए, जहाँ खंड की लंबाई परिभाषित नहीं है।^[5] मध्यबिंदु को अभी भी परिभाषित किया जा सकता है। क्योंकि यह परिशोधित अपरिवर्तनीय (गणित) है। सिंथेटिक ज्यामिति मध्यबिंदु की परिभाषा को परिभाषित करती है। $M$ खंड का $AB$ अनंत पर बिंदु का प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म है। $P$ , रेखा का $AB$ . मुद्दा यह है। $M$ ऐसा है कि $H[A, B; P, M]$ .^[6] जब निर्देशांकों को एफ़िन ज्यामिति में पेश किया जा सकता है, तो मध्यबिंदु की दो परिभाषाएँ मेल खाएँगी।^[7]

मध्य बिंदु स्वाभाविक रूप से प्रक्षेपीय ज्यामिति में परिभाषित नहीं है। क्योंकि अनंत पर बिंदु की भूमिका निभाने के लिए कोई विशिष्ट बिंदु नहीं है। (प्रक्षेप्य सीमा में किसी भी बिंदु को प्रक्षेपीय सीमा में (समान या कुछ अन्य) प्रक्षेपीय सीमा में किसी अन्य बिंदु पर मैप किया जा सकता है) . चूँकि, अनंत पर बिंदु तय करने से प्रक्षेपण रेखा पर एफ़िन संरचना को परिभाषित किया जाता है और उपरोक्त परिभाषा प्रयुक्त की जा सकती है।

खंड के मध्य बिंदु की परिभाषा को रीमैनियन कई गुना पर जियोडेसिक आर्क (ज्यामिति) तक बढ़ाया जा सकता है। ध्यान दें कि, एफ़िन स्थिति के विपरीत, दो बिंदुओं के बीच का मध्य बिंदु विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ "वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड". 29 September 2010.
↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.
↑ ^3.0 ^3.1 Ding, Jiu; Hitt, L. Richard; Zhang, Xin-Min (1 July 2003), "Markov chains and dynamic geometry of polygons" (PDF), Linear Algebra and its Applications, 367: 255–270, doi:10.1016/S0024-3795(02)00634-1, retrieved 19 October 2011.
↑ Gomez-Martin, Francisco; Taslakian, Perouz; Toussaint, Godfried T. (2008), "Convergence of the shadow sequence of inscribed polygons", 18th Fall Workshop on Computational Geometry
↑ Fishback, W.T. (1969), Projective and Euclidean Geometry (2nd ed.), John Wiley & Sons, p. 214, ISBN 0-471-26053-3
↑ Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, p. 156, ISBN 0-486-63415-9
↑ Young, John Wesley (1930), Projective Geometry, Carus Mathematical Monographs #4, Mathematical Association of America, pp. 84–85

बाहरी संबंध

Animation – showing the characteristics of the midpoint of a line segment

[1] "वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड". 29 September 2010.

[Altshiller-Court-2] Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publ., 2007.

[dhz-3] 3.0 ^3.1 Ding, Jiu; Hitt, L. Richard; Zhang, Xin-Min (1 July 2003), "Markov chains and dynamic geometry of polygons" (PDF), Linear Algebra and its Applications, 367: 255–270, doi:10.1016/S0024-3795(02)00634-1, retrieved 19 October 2011.

[4] Gomez-Martin, Francisco; Taslakian, Perouz; Toussaint, Godfried T. (2008), "Convergence of the shadow sequence of inscribed polygons", 18th Fall Workshop on Computational Geometry

[5] Fishback, W.T. (1969), Projective and Euclidean Geometry (2nd ed.), John Wiley & Sons, p. 214, ISBN 0-471-26053-3

[6] Meserve, Bruce E. (1983) [1955], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, p. 156, ISBN 0-486-63415-9

[7] Young, John Wesley (1930), Projective Geometry, Carus Mathematical Monographs #4, Mathematical Association of America, pp. 84–85

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 n-आयाम स्पेस में सेगमेंट का मध्य बिंदु जिसके अंत बिंदु हैं <math>A = (a_1, a_2, \dots , a_n)</math> तथा <math> B = (b_1, b_2, \dots , b_n)</math> द्वारा दिया गया है
-एन-डायमेंशनल स्पेस में खंड का मध्य बिंदु जिसके अंत बिंदु हैं | A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}) और B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}) द्वारा दिया गया है |
+एन-डायमेंशनल स्पेस में खंड का मध्य बिंदु जिसके अंत बिंदु हैं। A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}) और B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}) द्वारा दिया गया है।
 :<math>\frac{A+B}{2}.</math>
-अर्थात्, मध्यबिंदु (i = 1, 2, ..., n) का iवाँ निर्देशांक है |
+अर्थात्, मध्यबिंदु (i = 1, 2, ..., n) का iवाँ निर्देशांक है।
 :<math>\frac{a_i+b_i} 2.</math>
 == निर्माण ==
-दो बिंदुओं को देखते हुए, उनके द्वारा निर्धारित रेखा खंड के मध्य बिंदु को कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माण द्वारा पूरा किया जा सकता है। समतल (ज्यामिति) में सन्निहित रेखा खंड का मध्यबिंदु, पहले [[लेंस (ज्यामिति)]] का निर्माण करके समान (और अधिक बड़ी) त्रिज्या के वृत्ताकार चापों का उपयोग करके दो अंत बिंदुओं पर केन्द्रित किया जा सकता है | फिर लेंस के पुच्छों को जोड़ा जा सकता है। (दो बिंदु जहां चाप प्रतिच्छेद करते हैं)। वह बिंदु जहां क्यूप्स को जोड़ने वाली रेखा खंड को काटती है | तब खंड का मध्य बिंदु होता है। केवल कम्पास का उपयोग करके मध्यबिंदु का पता लगाना अधिक चुनौतीपूर्ण है | किन्तु [[मोहर-माशेरोनी प्रमेय]] के अनुसार यह अभी भी संभव है।<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Midpoint.html|title=वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड|date=29 September 2010}}</ref>
+दो बिंदुओं को देखते हुए, उनके द्वारा निर्धारित रेखा खंड के मध्य बिंदु को कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माण द्वारा पूरा किया जा सकता है। समतल (ज्यामिति) में सन्निहित रेखा खंड का मध्यबिंदु, पहले [[लेंस (ज्यामिति)]] का निर्माण करके समान (और अधिक बड़ी) त्रिज्या के वृत्ताकार चापों का उपयोग करके दो अंत बिंदुओं पर केन्द्रित किया जा सकता है। फिर लेंस के पुच्छों को जोड़ा जा सकता है। (दो बिंदु जहां चाप प्रतिच्छेद करते हैं)। वह बिंदु जहां क्यूप्स को जोड़ने वाली रेखा खंड को काटती है। तब खंड का मध्य बिंदु होता है। केवल कम्पास का उपयोग करके मध्यबिंदु का पता लगाना अधिक चुनौतीपूर्ण है। किन्तु [[मोहर-माशेरोनी प्रमेय]] के अनुसार यह अभी भी संभव है।<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Midpoint.html|title=वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड|date=29 September 2010}}</ref>
 == मध्य बिंदु से जुड़े ज्यामितीय गुण ==
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 किसी वृत्त की किसी जीवा (ज्यामिति) के लम्बवत और उसके मध्य बिंदु से निकलने वाली कोई भी रेखा भी वृत्त के केंद्र से होकर निकलती है।
-[[तितली प्रमेय|बटरफ्लाई प्रमेय]] में कहा गया है कि, यदि M वृत्त की जीवा PQ का मध्यबिंदु है | जिसके माध्यम से दो अन्य जीवाएँ AB और CD खींची जाती हैं, तो AD और BC जीवा PQ को क्रमशः X और Y पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि M, PQ का मध्यबिंदु XY है।
+[[तितली प्रमेय|बटरफ्लाई प्रमेय]] में कहा गया है कि, यदि M वृत्त की जीवा PQ का मध्यबिंदु है। जिसके माध्यम से दो अन्य जीवाएँ AB और CD खींची जाती हैं, तो AD और BC जीवा PQ को क्रमशः X और Y पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि M, PQ का मध्यबिंदु XY है।
 === दीर्घवृत्त ===
-किसी भी खंड का मध्य बिंदु जो दीर्घवृत्त का [[क्षेत्र]]फल द्विभाजन या परिधि द्विभाजक है | दीर्घवृत्त का केंद्र है।
+किसी भी खंड का मध्य बिंदु जो दीर्घवृत्त का [[क्षेत्र]]फल द्विभाजन या परिधि द्विभाजक है। दीर्घवृत्त का केंद्र है।
 दीर्घवृत्त का केंद्र दीर्घवृत्त के दो [[फोकस (ज्यामिति)]] को जोड़ने वाले खंड का मध्य बिंदु भी है।
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 === त्रिभुज ===
-किसी त्रिभुज का समद्विभाजन [[त्रिकोण]] वह रेखा होती है | जो उस भुजा के लम्बवत् होती है और उसके मध्यबिंदु से होकर निकलती है। त्रिभुज की तीन भुजाओं के तीन लंब समद्विभाजक परिकेन्द्र (तीन शीर्षों से होते हुए वृत्त का केंद्र) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
+किसी त्रिभुज का समद्विभाजन [[त्रिकोण]] वह रेखा होती है। जो उस भुजा के लम्बवत् होती है और उसके मध्यबिंदु से होकर निकलती है। त्रिभुज की तीन भुजाओं के तीन लंब समद्विभाजक परिकेन्द्र (तीन शीर्षों से होते हुए वृत्त का केंद्र) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
 त्रिभुज की भुजा की [[माध्यिका (ज्यामिति)]] दोनों भुजाओं के मध्य बिंदु और त्रिभुज के विपरीत [[शीर्ष (ज्यामिति)]] से होकर निकलती है। त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ त्रिभुज के केन्द्रक पर प्रतिच्छेद करती हैं (वह बिंदु जिस पर त्रिभुज संतुलित होगा यदि यह एकसमान-घनत्व वाली धातु की पतली शीट से बना हो)।
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 त्रिभुज का [[नौ-बिंदु केंद्र]] परिकेन्द्र और लंबकेन्द्र के बीच के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। ये सभी बिन्दु यूलर रेखा पर हैं।
-त्रिकोण का मध्य खंड (या मध्य रेखा) रेखा खंड है | जो त्रिभुज के दो पक्षों के मध्य बिंदुओं में सम्मिलित होता है। यह तीसरी भुजा के समानांतर है और इसकी लंबाई उस तीसरी भुजा के आधे के समान है।
+त्रिकोण का मध्य खंड (या मध्य रेखा) रेखा खंड है। जो त्रिभुज के दो पक्षों के मध्य बिंदुओं में सम्मिलित होता है। यह तीसरी भुजा के समानांतर है और इसकी लंबाई उस तीसरी भुजा के आधे के समान है।
-किसी दिए गए त्रिभुज के औसत दर्जे के त्रिभुज में दिए गए त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं पर शीर्ष होते हैं | इसलिए इसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की तीन मध्य रेखाएँ होती हैं। यह दिए गए त्रिकोण के साथ समान केन्द्रक और माध्यिका साझा करता है। औसत दर्जे का त्रिभुज का परिमाप मूल त्रिभुज के अर्धपरिधि (आधी परिधि) के समान होता है, और इसका क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का चौथाई होता है। औसत दर्जे का त्रिकोण का [[orthocenter|ऑर्थोसेंटर]] ([[ऊंचाई]] का प्रतिच्छेदन) मूल त्रिकोण के परिधि (सर्कल का केंद्र) के साथ मेल खाता है।
+किसी दिए गए त्रिभुज के औसत दर्जे के त्रिभुज में दिए गए त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं पर शीर्ष होते हैं। इसलिए इसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज की तीन मध्य रेखाएँ होती हैं। यह दिए गए त्रिकोण के साथ समान केन्द्रक और माध्यिका साझा करता है। औसत दर्जे का त्रिभुज का परिमाप मूल त्रिभुज के अर्धपरिधि (आधी परिधि) के समान होता है, और इसका क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का चौथाई होता है। औसत दर्जे का त्रिकोण का [[orthocenter|ऑर्थोसेंटर]] ([[ऊंचाई]] का प्रतिच्छेदन) मूल त्रिकोण के परिधि (सर्कल का केंद्र) के साथ मेल खाता है।
-प्रत्येक त्रिभुज में दीर्घवृत्त होता है, जिसे [[स्टाइनर इनलिप्स]] कहा जाता है | जो त्रिभुज के सभी पक्षों के मध्य बिंदुओं पर आंतरिक रूप से स्पर्शरेखा होता है। यह दीर्घवृत्त त्रिभुज के केन्द्रक पर केंद्रित है, और इसमें त्रिभुज में अंकित किसी भी दीर्घवृत्त का सबसे बड़ा क्षेत्र है।
+प्रत्येक त्रिभुज में दीर्घवृत्त होता है, जिसे [[स्टाइनर इनलिप्स]] कहा जाता है। जो त्रिभुज के सभी पक्षों के मध्य बिंदुओं पर आंतरिक रूप से स्पर्शरेखा होता है। यह दीर्घवृत्त त्रिभुज के केन्द्रक पर केंद्रित है, और इसमें त्रिभुज में अंकित किसी भी दीर्घवृत्त का सबसे बड़ा क्षेत्र है।
 समकोण त्रिभुज में, परिकेन्द्र [[कर्ण]] का मध्य बिंदु होता है।
-समद्विबाहु त्रिभुज में, माध्यिका, [[ऊंचाई (त्रिकोण)]], और [[आधार (ज्यामिति)]] पक्ष से लम्ब द्विभाजक और एपेक्स (ज्यामिति) का [[कोण द्विभाजक]] यूलर रेखा और समरूपता के अक्ष के साथ मेल खाता है, और ये संयोग रेखाएँ निकलती हैं | आधार पक्ष का मध्य बिंदु है ।
+समद्विबाहु त्रिभुज में, माध्यिका, [[ऊंचाई (त्रिकोण)]], और [[आधार (ज्यामिति)]] पक्ष से लम्ब द्विभाजक और एपेक्स (ज्यामिति) का [[कोण द्विभाजक]] यूलर रेखा और समरूपता के अक्ष के साथ मेल खाता है, और ये संयोग रेखाएँ निकलती हैं। आधार पक्ष का मध्य बिंदु है ।
 === चतुर्भुज ===
-[[उत्तल बहुभुज]] चतुर्भुज के दो चतुर्भुज द्विमध्य रेखा खंड हैं | जो विपरीत पक्षों के मध्यबिंदुओं को जोड़ते हैं | इसलिए प्रत्येक दो पक्षों को द्विभाजित करता है। दो द्विमाध्यिकाएँ और विकर्णों के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड बिंदु पर [[समवर्ती रेखाएँ]] हैं | (सभी दूसरे को काटती हैं) जिसे शीर्ष सेंट्रोइड कहा जाता है | जो इन तीनों खंडों का मध्यबिंदु है ।<ref name=Altshiller-Court>Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover Publ., 2007.</ref>{{rp|p.125}}
+[[उत्तल बहुभुज]] चतुर्भुज के दो चतुर्भुज द्विमध्य रेखा खंड हैं। जो विपरीत पक्षों के मध्यबिंदुओं को जोड़ते हैं। इसलिए प्रत्येक दो पक्षों को द्विभाजित करता है। दो द्विमाध्यिकाएँ और विकर्णों के मध्यबिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड बिंदु पर [[समवर्ती रेखाएँ]] हैं। (सभी दूसरे को काटती हैं) जिसे शीर्ष सेंट्रोइड कहा जाता है। जो इन तीनों खंडों का मध्यबिंदु है ।<ref name=Altshiller-Court>Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover Publ., 2007.</ref>{{rp|p.125}}
-उत्तल चतुर्भुज के चार गुण विपरीत दिशा के मध्य बिंदु के माध्यम से तरफ के लंबवत होते हैं | इसलिए बाद वाले पक्ष को द्विभाजित करते हैं। यदि चतुर्भुज [[चक्रीय चतुर्भुज]] ( वृत्त में ) है, तो ये सभी कोण सामान्य बिंदु पर मिलते हैं | जिसे प्रतिकेंद्र कहा जाता है।
+उत्तल चतुर्भुज के चार गुण विपरीत दिशा के मध्य बिंदु के माध्यम से तरफ के लंबवत होते हैं। इसलिए बाद वाले पक्ष को द्विभाजित करते हैं। यदि चतुर्भुज [[चक्रीय चतुर्भुज]] ( वृत्त में ) है, तो ये सभी कोण सामान्य बिंदु पर मिलते हैं। जिसे प्रतिकेंद्र कहा जाता है।
 ब्रह्मगुप्त के प्रमेय में कहा गया है कि यदि चक्रीय चतुर्भुज ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज है (अर्थात्, लंबवत विकर्ण हैं), तो [[विकर्णों]] के प्रतिच्छेदन के बिंदु से तरफ लंबवत सदैव विपरीत दिशा के मध्य बिंदु के माध्यम से जाता है।
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 वरिग्नन के प्रमेय में कहा गया है कि इच्छानुसार चतुर्भुज के पक्षों के मध्य बिंदु समांतर चतुर्भुज के शीर्ष बनाते हैं, और यदि चतुर्भुज स्व-प्रतिच्छेद नहीं करता है तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा है।
-[[न्यूटन रेखा]] वह रेखा है | जो उत्तल चतुर्भुज में दो विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ती है | जो समांतर चतुर्भुज नहीं है। उत्तल चतुर्भुज के विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं | जो न्यूटन रेखा पर स्थित है।
+[[न्यूटन रेखा]] वह रेखा है। जो उत्तल चतुर्भुज में दो विकर्णों के मध्यबिंदुओं को जोड़ती है, जो समांतर चतुर्भुज नहीं है। उत्तल चतुर्भुज के विपरीत भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। जो न्यूटन रेखा पर स्थित है।
 === सामान्य बहुभुज ===
-[[नियमित बहुभुज]] में एक चक्र होता है | जो बहुभुज के प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु पर [[स्पर्शरेखा]] होता है।
+[[नियमित बहुभुज]] में एक चक्र होता है। जो बहुभुज के प्रत्येक पक्ष के मध्य बिंदु पर [[स्पर्शरेखा]] होता है।
 भुजाओं की सम संख्या वाले नियमित बहुभुज में, विपरीत शीर्षों के बीच के [[विकर्ण]] का मध्य बिंदु बहुभुज का केंद्र होता है।
-[[चक्रीय बहुभुज]] का [[मध्यबिंदु-खींचने वाला बहुभुज]] {{mvar|P}} (एक [[बहुभुज]] जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) एक ही वृत्त में अन्य चक्रीय बहुभुज है | बहुभुज जिसके शीर्ष वृत्त के शीर्षों के बीच वृत्ताकार चाप के मध्य बिंदु {{mvar|P}} हैं |<ref name="dhz">{{Citation |last=Ding |first=Jiu |last2=Hitt |first2=L. Richard |last3=Zhang |first3=Xin-Min |date=1 July 2003 |title=Markov chains and dynamic geometry of polygons |journal=Linear Algebra and its Applications |volume=367 |pages=255–270 |doi=10.1016/S0024-3795(02)00634-1 |url=http://www.rhitt.com/research/markov.pdf |access-date=19 October 2011}}.</ref> इच्छानुसार प्रारंभिक बहुभुज पर मध्यबिंदु-खिंचाव संचालन को पुनरावर्तित करने से बहुभुजों का क्रम होता है | जिनके आकार नियमित बहुभुज के रूप में अभिसरण करते हैं।<ref name="dhz"/><ref>{{Citation |first=Francisco |last=Gomez-Martin |first2=Perouz |last2=Taslakian |first3=Godfried T. |last3=Toussaint|author3-link=Godfried Toussaint |year=2008 |contribution=Convergence of the shadow sequence of inscribed polygons|title=18th Fall Workshop on Computational Geometry |url=http://oa.upm.es/4442/}}</ref>
+[[चक्रीय बहुभुज]] का [[मध्यबिंदु-खींचने वाला बहुभुज]] {{mvar|P}} (एक [[बहुभुज]] जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) एक ही वृत्त में अन्य चक्रीय बहुभुज है। बहुभुज जिसके शीर्ष वृत्त के शीर्षों के बीच वृत्ताकार चाप के मध्य बिंदु {{mvar|P}} हैं।<ref name="dhz">{{Citation |last=Ding |first=Jiu |last2=Hitt |first2=L. Richard |last3=Zhang |first3=Xin-Min |date=1 July 2003 |title=Markov chains and dynamic geometry of polygons |journal=Linear Algebra and its Applications |volume=367 |pages=255–270 |doi=10.1016/S0024-3795(02)00634-1 |url=http://www.rhitt.com/research/markov.pdf |access-date=19 October 2011}}.</ref> इच्छानुसार प्रारंभिक बहुभुज पर मध्यबिंदु-खिंचाव संचालन को पुनरावर्तित करने से बहुभुजों का क्रम होता है। जिनके आकार नियमित बहुभुज के रूप में अभिसरण करते हैं।<ref name="dhz"/><ref>{{Citation |first=Francisco |last=Gomez-Martin |first2=Perouz |last2=Taslakian |first3=Godfried T. |last3=Toussaint|author3-link=Godfried Toussaint |year=2008 |contribution=Convergence of the shadow sequence of inscribed polygons|title=18th Fall Workshop on Computational Geometry |url=http://oa.upm.es/4442/}}</ref>
 == सामान्यीकरण ==
-किसी खंड के मध्यबिंदु के लिए सूत्र स्पष्ट रूप से खंडों की लंबाई का उपयोग करते हैं। चूँकि, सामान्यीकरण में ज्यामिति को परिभाषित करने के लिए, जहाँ खंड की लंबाई परिभाषित नहीं है |<ref>{{citation|last=Fishback|first=W.T.|title=Projective and Euclidean Geometry|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons|year=1969|page=214|isbn=0-471-26053-3}}</ref> मध्यबिंदु को अभी भी परिभाषित किया जा सकता है | क्योंकि यह परिशोधित [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है। [[सिंथेटिक ज्यामिति]] मध्यबिंदु की परिभाषा को परिभाषित करती है | {{mvar|M}} खंड का {{mvar|AB}} [[अनंत पर बिंदु]] का [[प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म]] है | {{mvar|P}}, रेखा का {{mvar|AB}}. मुद्दा यह है | {{mvar|M}} ऐसा है कि {{math|H[''A'',''B''; ''P'',''M'']}}.<ref>{{citation|last=Meserve|first=Bruce E.|title=Fundamental Concepts of Geometry|year=1983|orig-year=1955|publisher=Dover|page=156|isbn=0-486-63415-9}}</ref> जब निर्देशांकों को एफ़िन ज्यामिति में पेश किया जा सकता है, तो मध्यबिंदु की दो परिभाषाएँ मेल खाएँगी।<ref>{{citation|last=Young|first=John Wesley|title=Projective Geometry|year=1930|publisher=Mathematical Association of America|series=Carus Mathematical Monographs #4|pages= 84-85}}</ref>
+किसी खंड के मध्यबिंदु के लिए सूत्र स्पष्ट रूप से खंडों की लंबाई का उपयोग करते हैं। चूँकि, सामान्यीकरण में ज्यामिति को परिभाषित करने के लिए, जहाँ खंड की लंबाई परिभाषित नहीं है।<ref>{{citation|last=Fishback|first=W.T.|title=Projective and Euclidean Geometry|edition=2nd|publisher=John Wiley & Sons|year=1969|page=214|isbn=0-471-26053-3}}</ref> मध्यबिंदु को अभी भी परिभाषित किया जा सकता है। क्योंकि यह परिशोधित [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है। [[सिंथेटिक ज्यामिति]] मध्यबिंदु की परिभाषा को परिभाषित करती है। {{mvar|M}} खंड का {{mvar|AB}} [[अनंत पर बिंदु]] का [[प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म]] है। {{mvar|P}}, रेखा का {{mvar|AB}}. मुद्दा यह है। {{mvar|M}} ऐसा है कि {{math|H[''A'',''B''; ''P'',''M'']}}.<ref>{{citation|last=Meserve|first=Bruce E.|title=Fundamental Concepts of Geometry|year=1983|orig-year=1955|publisher=Dover|page=156|isbn=0-486-63415-9}}</ref> जब निर्देशांकों को एफ़िन ज्यामिति में पेश किया जा सकता है, तो मध्यबिंदु की दो परिभाषाएँ मेल खाएँगी।<ref>{{citation|last=Young|first=John Wesley|title=Projective Geometry|year=1930|publisher=Mathematical Association of America|series=Carus Mathematical Monographs #4|pages= 84-85}}</ref>
-मध्य बिंदु स्वाभाविक रूप से प्रक्षेपीय ज्यामिति में परिभाषित नहीं है | क्योंकि अनंत पर बिंदु की भूमिका निभाने के लिए कोई विशिष्ट बिंदु नहीं है | ([[प्रक्षेप्य सीमा]] में किसी भी बिंदु को प्रक्षेपीय सीमा में (समान या कुछ अन्य) प्रक्षेपीय सीमा में किसी अन्य बिंदु पर मैप किया जा सकता है) . चूँकि, अनंत पर बिंदु तय करने से [[प्रक्षेपण रेखा]] पर एफ़िन संरचना को परिभाषित किया जाता है और उपरोक्त परिभाषा प्रयुक्त की जा सकती है।
+मध्य बिंदु स्वाभाविक रूप से प्रक्षेपीय ज्यामिति में परिभाषित नहीं है। क्योंकि अनंत पर बिंदु की भूमिका निभाने के लिए कोई विशिष्ट बिंदु नहीं है। ([[प्रक्षेप्य सीमा]] में किसी भी बिंदु को प्रक्षेपीय सीमा में (समान या कुछ अन्य) प्रक्षेपीय सीमा में किसी अन्य बिंदु पर मैप किया जा सकता है) . चूँकि, अनंत पर बिंदु तय करने से [[प्रक्षेपण रेखा]] पर एफ़िन संरचना को परिभाषित किया जाता है और उपरोक्त परिभाषा प्रयुक्त की जा सकती है।
 खंड के मध्य बिंदु की परिभाषा को [[रीमैनियन कई गुना]] पर [[geodesic|जियोडेसिक]] आर्क (ज्यामिति) तक बढ़ाया जा सकता है। ध्यान दें कि, एफ़िन स्थिति के विपरीत, दो बिंदुओं के बीच का मध्य बिंदु विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।
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 ==बाहरी संबंध==
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