नियमित स्थानीय वलय: Difference between revisions

Latest revision as of 14:58, 18 September 2023

क्रमविनिमेय बीजगणित में, नियमित स्थानीय वलय नोथेरियन स्थानीय वलय होती है जिसमें यह गुण होता है कि इसके अधिकतम आदर्श के जनरेटर की न्यूनतम संख्या इसके क्रुल आयाम के समान होती है।^[1] प्रतीकों में, मान लीजिए कि A अधिकतम आदर्श m के साथ नोथेरियन स्थानीय वलय है, और मान लीजिए a₁, ..., a_n m के जनरेटर का न्यूनतम समुच्चय है। फिर क्रुल के मुख्य आदर्श प्रमेय n ≥ dim A द्वारा, और यदि n = dim A है जिससे A को नियमित रूप से परिभाषित किया गया है

पदवी नियमित ज्यामितीय अर्थ द्वारा उचित है। बीजगणितीय विविधता X पर बिंदु x, बीजीय विविधता का एकवचन बिंदु है यदि और केवल यदि स्थानीय वलय ${\mathcal {O}}_{X,x}$ x पर जरम्स (गणित) का नियमित है। (यह भी देखें: नियमित पद्धति।) नियमित स्थानीय वलय वॉन न्यूमैन नियमित वलय से संबंधित नहीं हैं।^{[lower-alpha 1]}

नोथेरियन स्थानीय वलयों के लिए, समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला है:

Universally catenary rings ⊃ Cohen–Macaulay rings ⊃ Gorenstein rings ⊃ complete intersection rings ⊃ regular local rings

विशेषताएँ

नियमित स्थानीय वलय की कई उपयोगी परिभाषाएँ हैं, जिनमें से का उल्लेख ऊपर किया गया है। विशेषकर, यदि $A$ अधिकतम आदर्श वाला नोथेरियन स्थानीय वलय ${\mathfrak {m}}$ है , तो निम्नलिखित समकक्ष परिभाषाएँ हैं

मान लीजिए ${\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ जहाँ $n$ जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है। तब $A$ यदि नियमित है

{\mbox{dim }}A=n\,

,

जहां आयाम क्रुल आयाम है। जनरेटर का न्यूनतम समुच्चय

a_{1},\ldots ,a_{n}

फिर मापदंडों की नियमित प्रणाली कहलाती है।

मान लीजिए $k=A/{\mathfrak {m}}$ का अवशेष क्षेत्र है तब $A$ यदि नियमित है

\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,

,

जहां दूसरा आयाम क्रुल आयाम है।

मान लीजिए ${\mbox{gl dim }}A:=\sup\{{\mbox{pd }}M{\mbox{ }}|{\mbox{ }}M{\mbox{ is an }}A{\mbox{-module}}\}$ का ग्लोबल आयाम $A$ है (अर्थात, सभी के प्रक्षेप्य आयाम का सर्वोच्च $A$ -मॉड्यूल।) फिर $A$ यदि नियमित है

{\mbox{gl dim }}A<\infty \,

,

इस स्थिति में,

{\mbox{gl dim }}A=\dim A

.

बहुलता मानदंड बताता है:^[2] यदि नोथेरियन स्थानीय वलय a का पूरा होना अमिश्रित है (इस अर्थ में कि शून्य आदर्श का कोई एम्डेबेड प्राइम विभाजक नहीं है और प्रत्येक न्यूनतम प्राइम p के लिए, $\dim {\widehat {A}}/p=\dim {\widehat {A}}$ ) और यदि A की हिल्बर्ट-सैमुअल बहुलता है, तो A नियमित है। (विपरीत सदैव सत्य होता है: नियमित स्थानीय वलय की बहुलता होती है।) यह मानदंड बीजगणितीय ज्यामिति में ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से मेल खाता है कि पद्धति-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन की स्थानीय वलय नियमित होती है यदि और केवल यदि प्रतिच्छेदन ट्रांसवर्सलिटी है ( अंक शास्त्र)।

धनात्मक विशेषता स्थिति में, कुंज के कारण निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम हैं: इस प्रकार नोथेरियन स्थानीय वलय $R$ धनात्मक विशेषता (बीजगणित) p नियमित है यदि और केवल यदि फ्रोबेनियस रूपवाद $R\to R,r\mapsto r^{p}$ फ्लैट वलय समरूपता है और $R$ वलय कम हो गई है. विशेषता शून्य में कोई समान परिणाम ज्ञात नहीं है (सिर्फ इसलिए कि फ्रोबेनियस को कैसे बदला जाए यह स्पष्ट नहीं है)।

उदाहरण

प्रत्येक क्षेत्र (गणित) नियमित स्थानीय वलय है। इनका (क्रुल) आयाम 0 है। वास्तव में, क्षेत्र पुर्णतः आयाम 0 के नियमित स्थानीय वलय हैं।
कोई भी अलग मूल्यांकन वलय आयाम 1 की नियमित स्थानीय वलय है और आयाम 1 की नियमित स्थानीय वलय पुर्णतः अलग मूल्यांकन वलय हैं। विशेष रूप से, यदि k क्षेत्र है और X अनिश्चित है, तो फॉर्मल पॉवर श्रृंखला k का वलय [[X]] नियमित स्थानीय वलय है जिसका (क्रुल) आयाम 1 है।
यदि p साधारण अभाज्य संख्या है, तो p-एडिक पूर्णांकों का वलय असतत मूल्यांकन वलय का उदाहरण है, और परिणामस्वरूप नियमित स्थानीय वलय है, जिसमें कोई क्षेत्र नहीं है।
अधिक सामान्यतः, यदि k क्षेत्र है और X₁, x₂, ..., x_d अनिश्चित हैं, तो फॉर्मल पॉवर श्रृंखला k का वलय k[[X₁, X₂, ..., X_d]] नियमित स्थानीय वलय है जिसका आयाम (क्रुल) d है।
यदि A नियमित स्थानीय वलय है, तो यह फॉर्मल पॉवर श्रृंखला वलय A है इस प्रकार [[x]] नियमित स्थानीय है.
यदि Z पूर्णांकों का वलय है और X अनिश्चित है, तो वलय Z[X]_{(2, X)} (अर्थात वलय Z[X] प्राइम आदर्श (2, X) में वलय और मॉड्यूल का स्थानीयकरण) 2-आयामी नियमित स्थानीय वलय का उदाहरण है जिसमें कोई क्षेत्र नहीं है .
इरविन कोहेन के कोहेन संरचना प्रमेय के अनुसार, पूर्णता (वलय सिद्धांत) क्रुल आयाम d की नियमित स्थानीय वलय जिसमें क्षेत्र के सम्मिलित है, पर d चर में पॉवर श्रृंखला वलय k का विस्तार क्षेत्र है ।

गैर-उदाहरण

वलय $A=k[x]/(x^{2})$ एक नियमित स्थानीय वलय नहीं है क्योंकि यह परिमित आयामी है किन्तु इसमें परिमित ग्लोबल आयाम नहीं है। उदाहरण के लिए, एक अनंत संकल्प है

\cdots \xrightarrow {\cdot x} {\frac {k[x]}{(x^{2})}}\xrightarrow {\cdot x} {\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0

किसी अन्य लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, $A$ का बिल्कुल एक अभाज्य आदर्श ${\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}$ है, इसलिए वलय का क्रुल आयाम $0$ है, किन्तु ${\mathfrak {m}}^{2}$ शून्य आदर्श है, इसलिए ${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ का $k$ आयाम कम से कम $1$ है। (वास्तव में यह $1$ के समान है) चूँकि $x+{\mathfrak {m}}$ एक आधार है।)

मूलभूत गुण

ऑसलैंडर-बुच्सबाम प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक नियमित स्थानीय वलय अद्वितीय कारक डोमेन है।

नियमित स्थानीय वलय के वलय का प्रत्येक स्थानीयकरण नियमित होता है।

एक नियमित स्थानीय वलय का पूरा होना (वलय सिद्धांत) नियमित है।

यदि $(A,{\mathfrak {m}})$ पूर्ण नियमित स्थानीय वलय है जिसमें क्षेत्र होता है

A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]

,

जहां $k=A/{\mathfrak {m}}$ अवशेष क्षेत्र है, और $d=\dim A$ , क्रुल आयाम है।

यह भी देखें: ऊंचाई पर सेरे की असमानता और सेरे की बहुलता अनुमान है।

मूलभूत धारणाओं की उत्पत्ति

नियमित स्थानीय वलयों को मूल रूप से 1937 में वोल्फगैंग क्रुल द्वारा परिभाषित किया गया था,^[3] किन्तु वे पहली बार कुछ साल पश्चात् ऑस्कर ज़ारिस्की के कार्य में प्रमुख होते है,^[4]^[5] जिन्होंने दिखाया कि ज्यामितीय रूप से, नियमित स्थानीय वलय बीजीय विविधता पर समतल बिंदु से मेल खाता है। मान लीजिए कि Y बीजगणितीय विविधता है जो पूर्ण क्षेत्र पर एफ़िन n-स्पेस में निहित है, और मान लीजिए कि Y बहुपद f₁,...,f_m का लुप्त होने वाला स्थान है. यदि Y जैकोबियन विविधता को संतुष्ट करता है तो Y, P पर एकवचन नहीं है: यदि M = (∂f_i/∂x_j) विविधता के परिभाषित समीकरणों के आंशिक व्युत्पन्न का आव्यूह है, जिससे p पर m का मूल्यांकन करके पाए गए आव्यूह की रैंक n - y है। ज़ारिस्की ने सिद्ध किया कि y p पर गैर-एकवचन है यदि और केवल यदि y की स्थानीय वलय P पर नियमित है. (ज़ारिस्की ने देखा कि यह गैर-परिपूर्ण क्षेत्रों में विफल हो सकता है।) इसका तात्पर्य यह है कि चिकनाई विविधता का आंतरिक गुण है, दूसरे शब्दों में यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि विविधता एफ़िन स्पेस में कहां या कैसे अंतर्निहित है। यह यह भी सुझाव देता है कि नियमित स्थानीय वलयों में अच्छे गुण होने चाहिए, किन्तु होमोलॉजिकल बीजगणित से तकनीकों की प्रारंभ से पहले इस दिशा में बहुत कम जानकारी थी। इस प्रकार 1950 के दशक में ऐसी तकनीकें प्रस्तुत की गईं, तो ऑसलैंडर और बुच्सबाम ने सिद्ध कर दिया कि प्रत्येक नियमित स्थानीय वलय अद्वितीय फ़ैक्टराइज़ेशन डोमेन है।

ज्यामितीय अंतर्ज्ञान द्वारा सुझाई गई अन्य प्रोपर्टी यह है कि नियमित स्थानीय वलय का स्थानीयकरण फिर से नियमित होना चाहिए। फिर, यह होमोलॉजिकल तकनीकों की प्रारंभ तक था। यह जीन पियरे सेरे ही थे जिन्होंने नियमित स्थानीय वलयो का समरूप लक्षण वर्णन पाया गया था: स्थानीय वलय A नियमित है यदि और केवल यदि A का ग्लोबल आयाम सीमित है, अर्थात यदि प्रत्येक A-मॉड्यूल में परिमित लंबाई का प्रक्षेप्य रिज़ॉल्यूशन है। यह दिखाना सरल है कि सीमित ग्लोबल आयाम होने की प्रोपर्टी स्थानीयकरण के अनुसार संरक्षित है, और परिणामस्वरूप प्रमुख आदर्शों पर नियमित स्थानीय वलयों का स्थानीयकरण फिर से नियमित है।

यह अगले भाग में दी गई गैर-स्थानीय क्रमविनिमेय वलय के लिए नियमितता की परिभाषा को उचित ठहराता है।

नियमित वलय

क्रमविनिमेय बीजगणित में, नियमित वलय क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय है, जैसे कि प्रत्येक अभाज्य आदर्श पर वलय का स्थानीयकरण नियमित स्थानीय वलय होता है: अर्थात, ऐसे प्रत्येक स्थानीयकरण में यह गुण होता है कि इसके अधिकतम आदर्श के जनरेटर की न्यूनतम संख्या होती है इसके क्रुल आयाम के समान होता है।

रेगुलर वलय शब्द की उत्पत्ति इस तथ्य में निहित है कि एफ़िन विविधता नॉनसिंगुलर विविधता है (अर्थात प्रत्येक बिंदु बीजगणितीय विविधता का नियमित बिंदु है) यदि और केवल तभी जब इसके नियमित कार्यों की वलय नियमित होता है।

नियमित वलयो के लिए, क्रुल आयाम ग्लोबल समरूप आयाम से सहमत है।

जीन-पियरे सेरे ने नियमित वलय को परिमित ग्लोबल समरूप आयाम की क्रमविनिमेय नॉथेरियन वलय के रूप में परिभाषित किया था। उनकी परिभाषा उपरोक्त परिभाषा से अधिक सशक्त है, जो अनंत क्रुल आयाम के नियमित वलय की अनुमति देती है।

नियमित वलयों के उदाहरणों में क्षेत्र (आयाम शून्य के) और डेडेकाइंड डोमेन सम्मिलित हैं। यदि a नियमित है तो a[x] भी है, जिसका आयाम a से बड़ा है।

विशेषकर यदि $k$ क्षेत्र है, पूर्णांकों का वलय है, या प्रमुख आदर्श डोमेन है, फिर बहुपद वलय है $k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ नियमित है. किसी क्षेत्र के स्थिति में यह हिल्बर्ट का सहजीवन प्रमेय है।

नियमित वलय का कोई भी स्थानीयकरण भी नियमित होता है।

एक नियमित वलय कम वलय है ^{[lower-alpha 2]} किन्तु अभिन्न डोमेन होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, दो नियमित अभिन्न डोमेन का उत्पाद नियमित है, किन्तु अभिन्न डोमेन नहीं है।^[6]

यह भी देखें

ज्यामितीय रूप से नियमित वलय

उद्धरण

↑ Atiyah & Macdonald 1969, p. 123, Theorem 11.22.
↑ Herrmann, M., S. Ikeda, and U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. An Algebraic Study with an Appendix by B. Moonen. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Theorem 6.8.
↑ Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. Z.: 745–766, doi:10.1007/BF01160110
↑ Zariski, Oscar (1940), "Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0", Amer. J. Math., 62: 187–221, doi:10.2307/2371447
↑ Zariski, Oscar (1947), "The concept of a simple point of an abstract algebraic variety", Trans. Amer. Math. Soc., 62: 1–52, doi:10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1
↑ Is a regular ring a domain

संदर्भ

Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, MR 0242802
Kunz, Characterizations of regular local rings of characteristic p. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
Tsit-Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag, 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8. Chap.5.G.
Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9. Chap.IV.D.
Regular rings at The Stacks Project

[2] A local von Neumann regular ring is a division ring, so the two conditions are not very compatible.

[7] since a ring is reduced if and only if its localizations at prime ideals are.

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald1969123Theorem_11.22-1] Atiyah & Macdonald 1969, p. 123, Theorem 11.22.

[3] Herrmann, M., S. Ikeda, and U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. An Algebraic Study with an Appendix by B. Moonen. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Theorem 6.8.

[4] Krull, Wolfgang (1937), "Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III", Math. Z.: 745–766, doi:10.1007/BF01160110

[5] Zariski, Oscar (1940), "Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0", Amer. J. Math., 62: 187–221, doi:10.2307/2371447

[6] Zariski, Oscar (1947), "The concept of a simple point of an abstract algebraic variety", Trans. Amer. Math. Soc., 62: 1–52, doi:10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1

[8] Is a regular ring a domain

[1]

[lower-alpha 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[lower-alpha 2]

[6]

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-[[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में, नियमित [[स्थानीय रिंग]] [[नोथेरियन]] स्थानीय रिंग होती है जिसमें यह गुण होता है कि इसके [[अधिकतम आदर्श]] के जनरेटर की न्यूनतम संख्या इसके [[क्रुल आयाम]] के बराबर होती है।{{sfn|Atiyah|Macdonald|1969|p=123|loc=Theorem 11.22}} प्रतीकों में, मान लीजिए कि A अधिकतम आदर्श m के साथ नोथेरियन स्थानीय वलय है, और मान लीजिए a<sub>1</sub>, ..., ए<sub>''n''</sub> एम के जनरेटर का न्यूनतम सेट है। फिर क्रुल के मुख्य आदर्श प्रमेय n ≥ dim A द्वारा, और A को नियमित रूप से परिभाषित किया जाता है यदि n = dim A।
+[[क्रमविनिमेय बीजगणित]] में, '''नियमित [[स्थानीय रिंग|स्थानीय वलय]]''' [[नोथेरियन]] स्थानीय वलय होती है जिसमें यह गुण होता है कि इसके [[अधिकतम आदर्श]] के जनरेटर की न्यूनतम संख्या इसके [[क्रुल आयाम]] के समान होती है।{{sfn|Atiyah|Macdonald|1969|p=123|loc=Theorem 11.22}} प्रतीकों में, मान लीजिए कि A अधिकतम आदर्श m के साथ नोथेरियन स्थानीय वलय है, और मान लीजिए a<sub>1</sub>, ..., a<sub>''n''</sub> m के जनरेटर का न्यूनतम समुच्चय है। फिर क्रुल के मुख्य आदर्श प्रमेय n ≥ dim A द्वारा, और यदि n = dim A है जिससे A को नियमित रूप से परिभाषित किया गया है
-पदवी नियमित ज्यामितीय अर्थ द्वारा उचित है। बीजगणितीय किस्म X पर बिंदु x, बीजीय किस्म का एकवचन बिंदु है यदि और केवल यदि स्थानीय वलय <math>\mathcal{O}_{X, x}</math> x पर [[रोगाणु (गणित)]] का नियमित है। (यह भी देखें: [[नियमित योजना]]।) नियमित स्थानीय रिंग वॉन न्यूमैन नियमित रिंग से संबंधित नहीं हैं।{{efn|A local von Neumann regular ring is a division ring, so the two conditions are not very compatible.}}
+पदवी नियमित ज्यामितीय अर्थ द्वारा उचित है। बीजगणितीय विविधता X पर बिंदु x, बीजीय विविधता का एकवचन बिंदु है यदि और केवल यदि स्थानीय वलय <math>\mathcal{O}_{X, x}</math> x पर [[रोगाणु (गणित)|जरम्स (गणित)]] का नियमित है। (यह भी देखें: [[नियमित योजना|नियमित पद्धति]]।) नियमित स्थानीय वलय वॉन न्यूमैन नियमित वलय से संबंधित नहीं हैं।{{efn|A local von Neumann regular ring is a division ring, so the two conditions are not very compatible.}}
-नोथेरियन स्थानीय रिंगों के लिए, समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला है:
+नोथेरियन स्थानीय वलयों के लिए, समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला है:
 {{Commutative local ring classes}}
-==विशेषताएँ==
+==विशेषताएँ                                                                                                                                                                                   ==
-नियमित स्थानीय वलय की कई उपयोगी परिभाषाएँ हैं, जिनमें से का उल्लेख ऊपर किया गया है। विशेषकर, यदि <math>A</math> अधिकतम आदर्श वाला नोथेरियन स्थानीय वलय है <math>\mathfrak{m}</math>, तो निम्नलिखित समकक्ष परिभाषाएँ हैं
+नियमित स्थानीय वलय की कई उपयोगी परिभाषाएँ हैं, जिनमें से का उल्लेख ऊपर किया गया है। विशेषकर, यदि <math>A</math> अधिकतम आदर्श वाला नोथेरियन स्थानीय वलय <math>\mathfrak{m}</math> है , तो निम्नलिखित समकक्ष परिभाषाएँ हैं
-* होने देना <math>\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)</math> कहाँ <math>n</math> जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है। तब <math>A</math> यदि नियमित है
+* मान लीजिए <math>\mathfrak{m} = (a_1, \ldots, a_n)</math> जहाँ <math>n</math> जितना संभव हो उतना छोटा चुना जाता है। तब <math>A</math> यदि नियमित है
 ::<math>\mbox{dim } A = n\,</math>,
-:जहां आयाम क्रुल आयाम है। जनरेटर का न्यूनतम सेट <math>a_1, \ldots, a_n</math> फिर मापदंडों की नियमित प्रणाली कहलाती है।
+:जहां आयाम क्रुल आयाम है। जनरेटर का न्यूनतम समुच्चय <math>a_1, \ldots, a_n</math> फिर मापदंडों की नियमित प्रणाली कहलाती है।
-* होने देना <math>k = A / \mathfrak{m}</math> का अवशेष क्षेत्र हो <math>A</math>. तब <math>A</math> यदि नियमित है
+* मान लीजिए <math>k = A / \mathfrak{m}</math> का अवशेष क्षेत्र है तब <math>A</math> यदि नियमित है
 ::<math>\dim_k \mathfrak{m} / \mathfrak{m}^2 = \dim A\,</math>,
 :जहां दूसरा आयाम क्रुल आयाम है।
-* होने देना <math>\mbox{gl dim } A := \sup \{ \mbox{pd } M \mbox{ }|\mbox{ } M \mbox{ is an }A\mbox{-module} \}</math> का [[वैश्विक आयाम]] हो <math>A</math> (अर्थात, सभी के [[प्रक्षेप्य आयाम]]ों का सर्वोच्च <math>A</math>-मॉड्यूल।) फिर <math>A</math> यदि नियमित है
+* मान लीजिए <math>\mbox{gl dim } A := \sup \{ \mbox{pd } M \mbox{ }|\mbox{ } M \mbox{ is an }A\mbox{-module} \}</math> का [[वैश्विक आयाम|ग्लोबल आयाम]] <math>A</math> है (अर्थात, सभी के [[प्रक्षेप्य आयाम]] का सर्वोच्च <math>A</math>-मॉड्यूल।) फिर <math>A</math> यदि नियमित है
 ::<math>\mbox{gl dim } A < \infty\,</math>,
-:किस स्थिति में, <math>\mbox{gl dim } A = \dim A</math>.
+:इस स्थिति में, <math>\mbox{gl dim } A = \dim A</math>.
-बहुलता मानदंड बताता है:<ref>Herrmann, M., S. Ikeda, and U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. An Algebraic Study with an Appendix by B. Moonen. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Theorem 6.8.</ref> यदि नोथेरियन स्थानीय रिंग ए का पूरा होना अमिश्रित है (इस अर्थ में कि शून्य आदर्श का कोई एम्बेडेड प्राइम विभाजक नहीं है और प्रत्येक न्यूनतम प्राइम पी के लिए, <math>\dim \widehat{A}/p = \dim \widehat{A}</math>) और यदि A की हिल्बर्ट-सैमुअल बहुलता है, तो A नियमित है। (विपरीत हमेशा सत्य होता है: नियमित स्थानीय रिंग की बहुलता होती है।) यह मानदंड बीजगणितीय ज्यामिति में ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से मेल खाता है कि योजना-सैद्धांतिक चौराहे की स्थानीय अंगूठी नियमित होती है यदि और केवल यदि चौराहा ट्रांसवर्सलिटी है ( अंक शास्त्र)।
+बहुलता मानदंड बताता है:<ref>Herrmann, M., S. Ikeda, and U. Orbanz: Equimultiplicity and Blowing Up. An Algebraic Study with an Appendix by B. Moonen. Springer Verlag, Berlin Heidelberg New-York, 1988. Theorem 6.8.</ref> यदि नोथेरियन स्थानीय वलय a का पूरा होना अमिश्रित है (इस अर्थ में कि शून्य आदर्श का कोई एम्डेबेड प्राइम विभाजक नहीं है और प्रत्येक न्यूनतम प्राइम p के लिए, <math>\dim \widehat{A}/p = \dim \widehat{A}</math>) और यदि A की हिल्बर्ट-सैमुअल बहुलता है, तो A नियमित है। (विपरीत सदैव सत्य होता है: नियमित स्थानीय वलय की बहुलता होती है।) यह मानदंड बीजगणितीय ज्यामिति में ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से मेल खाता है कि पद्धति-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन की स्थानीय वलय नियमित होती है यदि और केवल यदि प्रतिच्छेदन ट्रांसवर्सलिटी है ( अंक शास्त्र)।
-सकारात्मक विशेषता मामले में, कुंज के कारण निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम हैं: नोथेरियन स्थानीय रिंग <math>R</math> सकारात्मक [[विशेषता (बीजगणित)]] पी नियमित है यदि और केवल यदि [[फ्रोबेनियस रूपवाद]] <math>R \to R, r \mapsto r^p</math> [[फ्लैट रिंग समरूपता]] है और <math>R</math> रिंग कम हो गई है. विशेषता शून्य में कोई समान परिणाम ज्ञात नहीं है (सिर्फ इसलिए कि फ्रोबेनियस को कैसे बदला जाए यह स्पष्ट नहीं है)।
+धनात्मक विशेषता स्थिति में, कुंज के कारण निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम हैं: इस प्रकार नोथेरियन स्थानीय वलय <math>R</math> धनात्मक [[विशेषता (बीजगणित)]] p नियमित है यदि और केवल यदि [[फ्रोबेनियस रूपवाद]] <math>R \to R, r \mapsto r^p</math> [[फ्लैट रिंग समरूपता|फ्लैट वलय समरूपता]] है और <math>R</math> वलय कम हो गई है. विशेषता शून्य में कोई समान परिणाम ज्ञात नहीं है (सिर्फ इसलिए कि फ्रोबेनियस को कैसे बदला जाए यह स्पष्ट नहीं है)।
 ==उदाहरण==
-# प्रत्येक क्षेत्र (गणित) नियमित स्थानीय वलय है। इनका (क्रुल) आयाम 0 है। वास्तव में, फ़ील्ड बिल्कुल आयाम 0 के नियमित स्थानीय वलय हैं।
+# प्रत्येक क्षेत्र (गणित) नियमित स्थानीय वलय है। इनका (क्रुल) आयाम 0 है। वास्तव में, क्षेत्र पुर्णतः आयाम 0 के नियमित स्थानीय वलय हैं।
-# कोई भी अलग मूल्यांकन रिंग आयाम 1 की नियमित स्थानीय रिंग है और आयाम 1 की नियमित स्थानीय रिंग बिल्कुल अलग मूल्यांकन रिंग हैं। विशेष रूप से, यदि k क्षेत्र है और X अनिश्चित है, तो [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] k का वलय{{brackets|''X''}} नियमित स्थानीय रिंग है जिसका (क्रुल) आयाम 1 है।
+# कोई भी अलग मूल्यांकन वलय आयाम 1 की नियमित स्थानीय वलय है और आयाम 1 की नियमित स्थानीय वलय पुर्णतः अलग मूल्यांकन वलय हैं। विशेष रूप से, यदि k क्षेत्र है और X अनिश्चित है, तो [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|फॉर्मल पॉवर श्रृंखला]] k का वलय {{brackets|''X''}} नियमित स्थानीय वलय है जिसका (क्रुल) आयाम 1 है।
-# यदि p साधारण अभाज्य संख्या है, तो p-एडिक पूर्णांकों का वलय असतत मूल्यांकन वलय का उदाहरण है, और परिणामस्वरूप नियमित स्थानीय वलय है, जिसमें कोई फ़ील्ड नहीं है।
+# यदि p साधारण अभाज्य संख्या है, तो p-एडिक पूर्णांकों का वलय असतत मूल्यांकन वलय का उदाहरण है, और परिणामस्वरूप नियमित स्थानीय वलय है, जिसमें कोई क्षेत्र नहीं है।
-# अधिक सामान्यतः, यदि k फ़ील्ड है और X है<sub>1</sub>, एक्स<sub>2</sub>, ..., एक्स<sub>''d''</sub> अनिश्चित हैं, तो औपचारिक शक्ति श्रृंखला k का वलय{{brackets|''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>''d''</sub>}} नियमित स्थानीय वलय है जिसका आयाम (क्रुल) d है।
+# अधिक सामान्यतः, यदि k क्षेत्र है और X<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>''d''</sub> अनिश्चित हैं, तो फॉर्मल पॉवर श्रृंखला k का वलय ''k''[[''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X<sub>d</sub>'']]  नियमित स्थानीय वलय है जिसका आयाम (क्रुल) d है।
-# यदि A नियमित स्थानीय वलय है, तो यह औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय A है{{brackets|''x''}} नियमित स्थानीय है.
+# यदि A नियमित स्थानीय वलय है, तो यह फॉर्मल पॉवर श्रृंखला वलय A है इस प्रकार {{brackets|''x''}} नियमित स्थानीय है.
-# यदि Z पूर्णांकों का वलय है और ''X'' अनिश्चित है, तो वलय Z[''X'']<sub>(2, ''X'')</sub> (अर्थात रिंग Z[''X''] प्राइम आदर्श (2, ''X'') में [[एक रिंग और एक मॉड्यूल का स्थानीयकरण|रिंग और मॉड्यूल का स्थानीयकरण]]) 2-आयामी नियमित स्थानीय रिंग का उदाहरण है जिसमें कोई फ़ील्ड नहीं है .
+# यदि Z पूर्णांकों का वलय है और ''X'' अनिश्चित है, तो वलय Z[''X'']<sub>(2, ''X'')</sub> (अर्थात वलय Z[''X''] प्राइम आदर्श (2, ''X'') में [[एक रिंग और एक मॉड्यूल का स्थानीयकरण|वलय और मॉड्यूल का स्थानीयकरण]]) 2-आयामी नियमित स्थानीय वलय का उदाहरण है जिसमें कोई क्षेत्र नहीं है .
-# [[इरविन कोहेन]] के [[कोहेन संरचना प्रमेय]] के अनुसार, [[पूर्णता (रिंग सिद्धांत)]] क्रुल आयाम ''डी'' की नियमित स्थानीय रिंग जिसमें फ़ील्ड ''के'' शामिल है, पर ''डी'' चर में शक्ति श्रृंखला रिंग है ''k'' का [[विस्तार क्षेत्र]]।
+# [[इरविन कोहेन]] के [[कोहेन संरचना प्रमेय]] के अनुसार, [[पूर्णता (रिंग सिद्धांत)|पूर्णता (वलय सिद्धांत)]] क्रुल आयाम ''d'' की नियमित स्थानीय वलय जिसमें क्षेत्र ''के'' सम्मिलित है, पर ''d'' चर में पॉवर श्रृंखला वलय ''k'' का [[विस्तार क्षेत्र]] है ।
 == गैर-उदाहरण ==
-अंगूठी <math>A=k[x]/(x^2)</math> यह नियमित स्थानीय वलय नहीं है क्योंकि यह सीमित आयामी है लेकिन इसका कोई सीमित वैश्विक आयाम नहीं है। उदाहरण के लिए, अनंत संकल्प है
+वलय <math>A=k[x]/(x^2)</math> एक नियमित स्थानीय वलय नहीं है क्योंकि यह परिमित आयामी है किन्तु इसमें परिमित ग्लोबल आयाम नहीं है। उदाहरण के लिए, एक अनंत संकल्प है
 :<math>
 \cdots \xrightarrow{\cdot x} \frac{k[x]}{(x^2)} \xrightarrow{\cdot x} \frac{k[x]}{(x^2)} \to k \to 0
 </math>
-किसी अन्य लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, <math>A</math> बिल्कुल प्रमुख आदर्श है <math>\mathfrak{m}=\frac{(x)}{(x^2)}</math>, इसलिए रिंग में क्रुल आयाम है <math>0</math>, लेकिन <math>\mathfrak{m}^2</math> शून्य आदर्श है, इसलिए <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math> है <math>k</math> कम से कम आयाम <math>1</math>. (वास्तव में यह बराबर है <math>1</math> तब से <math>x + \mathfrak{m}</math> आधार है.)
+किसी अन्य लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, <math>A</math> का बिल्कुल एक अभाज्य आदर्श <math>\mathfrak{m}=\frac{(x)}{(x^2)}</math> है, इसलिए वलय का क्रुल आयाम <math>0</math> है, किन्तु <math>\mathfrak{m}^2</math> शून्य आदर्श है, इसलिए <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math> का <math>k</math> आयाम कम से कम <math>1</math> है। (वास्तव में यह <math>1</math> के समान है) चूँकि <math>x + \mathfrak{m}</math> एक आधार है।)
-==बुनियादी गुण==
+==मूलभूत गुण==
-ऑसलैंडर-बुच्सबाम प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक नियमित स्थानीय रिंग अद्वितीय कारक डोमेन है।
+ऑसलैंडर-बुच्सबाम प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक नियमित स्थानीय वलय अद्वितीय कारक डोमेन है।
 नियमित स्थानीय वलय के वलय का प्रत्येक स्थानीयकरण नियमित होता है।
-एक नियमित स्थानीय रिंग का पूरा होना (रिंग सिद्धांत) नियमित है।
+एक नियमित स्थानीय वलय का पूरा होना (वलय सिद्धांत) नियमित है।
-अगर <math>(A, \mathfrak{m})</math> पूर्ण नियमित स्थानीय रिंग है जिसमें फ़ील्ड होता है
+यदि <math>(A, \mathfrak{m})</math> पूर्ण नियमित स्थानीय वलय है जिसमें क्षेत्र होता है
 :<math>A \cong k[[x_1, \ldots, x_d]]</math>,
-कहाँ <math>k = A / \mathfrak{m}</math> [[अवशेष क्षेत्र]] है, और <math>d = \dim A</math>, क्रुल आयाम।
+जहां <math>k = A / \mathfrak{m}</math> [[अवशेष क्षेत्र]] है, और <math>d = \dim A</math>, क्रुल आयाम है।
-यह भी देखें: ऊंचाई पर सेरे की असमानता और सेरे की बहुलता अनुमान।
+यह भी देखें: ऊंचाई पर सेरे की असमानता और सेरे की बहुलता अनुमान है।
-==बुनियादी धारणाओं की उत्पत्ति==
+==मूलभूत धारणाओं की उत्पत्ति==
-{{see also|smooth scheme}}
+{{see also|समतल स्कीम}}
-नियमित स्थानीय रिंगों को मूल रूप से 1937 में [[वोल्फगैंग क्रुल]] द्वारा परिभाषित किया गया था,<ref>{{Citation | last1=Krull | first1=Wolfgang | author1-link= Wolfgang Krull | title=Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III | journal=Math. Z. | year=1937 | pages=745–766 | doi = 10.1007/BF01160110}}</ref> लेकिन वे पहली बार कुछ साल बाद [[ऑस्कर ज़ारिस्की]] के काम में प्रमुख बने,<ref>{{Citation | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | title=Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0 | journal=Amer. J. Math. | year=1940 | volume=62 | pages=187–221 | doi=10.2307/2371447}}</ref><ref>{{Citation | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | title=The concept of a simple point of an abstract algebraic variety | journal=Trans. Amer. Math. Soc. | year=1947 | volume=62 | pages=1–52 | doi=10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1| doi-access=free }}</ref> जिन्होंने दिखाया कि ज्यामितीय रूप से, नियमित स्थानीय वलय बीजीय विविधता पर चिकने बिंदु से मेल खाता है। मान लीजिए कि Y बीजगणितीय विविधता है जो पूर्ण क्षेत्र पर एफ़िन एन-स्पेस में निहित है, और मान लीजिए कि Y बहुपद f का लुप्त होने वाला स्थान है<sub>1</sub>,...,एफ<sub>m</sub>. यदि Y [[जैकोबियन किस्म]] को संतुष्ट करता है तो Y, P पर एकवचन नहीं है: यदि M = (∂f<sub>i</sub>/∂x<sub>j</sub>) विविधता के परिभाषित समीकरणों के आंशिक व्युत्पन्न का मैट्रिक्स है, तो पी पर एम का मूल्यांकन करके पाए गए मैट्रिक्स की रैंक एन - मंद वाई है। ज़ारिस्की ने साबित किया कि वाई पी पर गैर-एकवचन है यदि और केवल अगर वाई की स्थानीय अंगूठी P पर नियमित है. (ज़ारिस्की ने देखा कि यह गैर-परिपूर्ण क्षेत्रों में विफल हो सकता है।) इसका तात्पर्य यह है कि चिकनाई विविधता का आंतरिक गुण है, दूसरे शब्दों में यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि विविधता एफ़िन स्पेस में कहां या कैसे अंतर्निहित है। यह यह भी सुझाव देता है कि नियमित स्थानीय रिंगों में अच्छे गुण होने चाहिए, लेकिन होमोलॉजिकल बीजगणित से तकनीकों की शुरूआत से पहले इस दिशा में बहुत कम जानकारी थी। बार 1950 के दशक में ऐसी तकनीकें पेश की गईं, तो ऑसलैंडर और बुच्सबाम ने साबित कर दिया कि प्रत्येक नियमित स्थानीय रिंग अद्वितीय फ़ैक्टराइज़ेशन डोमेन है।
-ज्यामितीय अंतर्ज्ञान द्वारा सुझाई गई अन्य संपत्ति यह है कि नियमित स्थानीय रिंग का स्थानीयकरण फिर से नियमित होना चाहिए। फिर, यह होमोलॉजिकल तकनीकों की शुरूआत तक अनसुलझा रहा। यह [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] ही थे जिन्होंने नियमित स्थानीय छल्लों का समरूप लक्षण वर्णन पाया: स्थानीय वलय A नियमित है यदि और केवल यदि A का वैश्विक आयाम सीमित है, अर्थात यदि प्रत्येक A-मॉड्यूल में परिमित लंबाई का प्रक्षेप्य रिज़ॉल्यूशन है। यह दिखाना आसान है कि सीमित वैश्विक आयाम होने की संपत्ति स्थानीयकरण के तहत संरक्षित है, और परिणामस्वरूप प्रमुख आदर्शों पर नियमित स्थानीय रिंगों का स्थानीयकरण फिर से नियमित है।
+नियमित स्थानीय वलयों को मूल रूप से 1937 में [[वोल्फगैंग क्रुल]] द्वारा परिभाषित किया गया था,<ref>{{Citation | last1=Krull | first1=Wolfgang | author1-link= Wolfgang Krull | title=Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche III | journal=Math. Z. | year=1937 | pages=745–766 | doi = 10.1007/BF01160110}}</ref> किन्तु वे पहली बार कुछ साल पश्चात् [[ऑस्कर ज़ारिस्की]] के कार्य में प्रमुख होते है,<ref>{{Citation | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | title=Algebraic varieties over ground fields of characteristic 0 | journal=Amer. J. Math. | year=1940 | volume=62 | pages=187–221 | doi=10.2307/2371447}}</ref><ref>{{Citation | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | title=The concept of a simple point of an abstract algebraic variety | journal=Trans. Amer. Math. Soc. | year=1947 | volume=62 | pages=1–52 | doi=10.1090/s0002-9947-1947-0021694-1| doi-access=free }}</ref> जिन्होंने दिखाया कि ज्यामितीय रूप से, नियमित स्थानीय वलय बीजीय विविधता पर समतल बिंदु से मेल खाता है। मान लीजिए कि Y बीजगणितीय विविधता है जो पूर्ण क्षेत्र पर एफ़िन n-स्पेस में निहित है, और मान लीजिए कि Y बहुपद f<sub>1</sub>,...,f<sub>m</sub> का लुप्त होने वाला स्थान है. यदि Y [[जैकोबियन किस्म|जैकोबियन विविधता]] को संतुष्ट करता है तो Y, P पर एकवचन नहीं है: यदि M = (∂f<sub>i</sub>/∂x<sub>j</sub>) विविधता के परिभाषित समीकरणों के आंशिक व्युत्पन्न का आव्यूह है, जिससे p पर m का मूल्यांकन करके पाए गए आव्यूह की रैंक n - y है। ज़ारिस्की ने सिद्ध किया कि y p पर गैर-एकवचन है यदि और केवल यदि y की स्थानीय वलय P पर नियमित है. (ज़ारिस्की ने देखा कि यह गैर-परिपूर्ण क्षेत्रों में विफल हो सकता है।) इसका तात्पर्य यह है कि चिकनाई विविधता का आंतरिक गुण है, दूसरे शब्दों में यह इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि विविधता एफ़िन स्पेस में कहां या कैसे अंतर्निहित है। यह यह भी सुझाव देता है कि नियमित स्थानीय वलयों में अच्छे गुण होने चाहिए, किन्तु होमोलॉजिकल बीजगणित से तकनीकों की प्रारंभ से पहले इस दिशा में बहुत कम जानकारी थी। इस प्रकार 1950 के दशक में ऐसी तकनीकें प्रस्तुत की गईं, तो ऑसलैंडर और बुच्सबाम ने सिद्ध कर दिया कि प्रत्येक नियमित स्थानीय वलय अद्वितीय फ़ैक्टराइज़ेशन डोमेन है।
+ज्यामितीय अंतर्ज्ञान द्वारा सुझाई गई अन्य प्रोपर्टी यह है कि नियमित स्थानीय वलय का स्थानीयकरण फिर से नियमित होना चाहिए। फिर, यह होमोलॉजिकल तकनीकों की प्रारंभ तक था। यह [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] ही थे जिन्होंने नियमित स्थानीय वलयो का समरूप लक्षण वर्णन पाया गया था: स्थानीय वलय A नियमित है यदि और केवल यदि A का ग्लोबल आयाम सीमित है, अर्थात यदि प्रत्येक A-मॉड्यूल में परिमित लंबाई का प्रक्षेप्य रिज़ॉल्यूशन है। यह दिखाना सरल है कि सीमित ग्लोबल आयाम होने की प्रोपर्टी स्थानीयकरण के अनुसार संरक्षित है, और परिणामस्वरूप प्रमुख आदर्शों पर नियमित स्थानीय वलयों का स्थानीयकरण फिर से नियमित है।
 यह अगले भाग में दी गई गैर-स्थानीय क्रमविनिमेय वलय के लिए नियमितता की परिभाषा को उचित ठहराता है।
-==नियमित अंगूठी==
+==नियमित वलय==
-{{for|the unrelated regular rings introduced by John von Neumann|von Neumann regular ring}}
+{{for|जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा प्रस्तुत असंबंधित नियमित वलय|वॉन न्यूमैन नियमित वलय}}
-क्रमविनिमेय बीजगणित में, नियमित वलय क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय है, जैसे कि प्रत्येक अभाज्य आदर्श पर वलय का स्थानीयकरण नियमित स्थानीय वलय होता है: अर्थात, ऐसे प्रत्येक स्थानीयकरण में यह गुण होता है कि इसके अधिकतम आदर्श के जनरेटर की न्यूनतम संख्या होती है इसके क्रुल आयाम के बराबर।
-''रेगुलर रिंग'' शब्द की उत्पत्ति इस तथ्य में निहित है कि [[एफ़िन किस्म]] नॉनसिंगुलर किस्म है (अर्थात प्रत्येक बिंदु [[बीजगणितीय किस्म का नियमित बिंदु]] है) यदि और केवल तभी जब इसके नियमित कार्यों की रिंग नियमित हो।
+क्रमविनिमेय बीजगणित में, नियमित वलय क्रमविनिमेय नोथेरियन वलय है, जैसे कि प्रत्येक अभाज्य आदर्श पर वलय का स्थानीयकरण नियमित स्थानीय वलय होता है: अर्थात, ऐसे प्रत्येक स्थानीयकरण में यह गुण होता है कि इसके अधिकतम आदर्श के जनरेटर की न्यूनतम संख्या होती है इसके क्रुल आयाम के समान होता है।
-नियमित छल्लों के लिए, क्रुल आयाम वैश्विक समरूप आयाम से सहमत है।
+''रेगुलर वलय'' शब्द की उत्पत्ति इस तथ्य में निहित है कि [[एफ़िन किस्म|एफ़िन विविधता]] नॉनसिंगुलर विविधता है (अर्थात प्रत्येक बिंदु [[बीजगणितीय किस्म का नियमित बिंदु|बीजगणितीय विविधता का नियमित बिंदु]] है) यदि और केवल तभी जब इसके नियमित कार्यों की वलय नियमित होता है।
-जीन-पियरे सेरे ने नियमित वलय को ''परिमित'' वैश्विक समरूप आयाम की क्रमविनिमेय नॉथेरियन वलय के रूप में परिभाषित किया। उनकी परिभाषा उपरोक्त परिभाषा से अधिक मजबूत है, जो अनंत क्रुल आयाम के नियमित वलय की अनुमति देती है।
+नियमित वलयो के लिए, क्रुल आयाम ग्लोबल समरूप आयाम से सहमत है।
-नियमित रिंगों के उदाहरणों में फ़ील्ड (आयाम शून्य के) और [[डेडेकाइंड डोमेन]] शामिल हैं। यदि ''ए'' नियमित है तो ''ए''[''एक्स''] भी है, जिसका आयाम ''ए'' से बड़ा है।
+जीन-पियरे सेरे ने नियमित वलय को ''परिमित'' ग्लोबल समरूप आयाम की क्रमविनिमेय नॉथेरियन वलय के रूप में परिभाषित किया था। उनकी परिभाषा उपरोक्त परिभाषा से अधिक सशक्त है, जो अनंत क्रुल आयाम के नियमित वलय की अनुमति देती है।
-विशेषकर यदि {{mvar|k}} क्षेत्र है, पूर्णांकों का वलय है, या [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है, फिर [[बहुपद वलय]] है <math>k[X_1, \ldots,X_n]</math> नियमित है. किसी क्षेत्र के मामले में, यह हिल्बर्ट का सहजीवन प्रमेय है।
+नियमित वलयों के उदाहरणों में क्षेत्र (आयाम शून्य के) और [[डेडेकाइंड डोमेन]] सम्मिलित हैं। यदि a नियमित है तो ''a''[''x''] भी है, जिसका आयाम a से बड़ा है।
+विशेषकर यदि {{mvar|k}} क्षेत्र है, पूर्णांकों का वलय है, या [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है, फिर [[बहुपद वलय]] है <math>k[X_1, \ldots,X_n]</math> नियमित है. किसी क्षेत्र के स्थिति में यह हिल्बर्ट का सहजीवन प्रमेय है।
 नियमित वलय का कोई भी स्थानीयकरण भी नियमित होता है।
-एक नियमित वलय कम वलय है{{efn|since a ring is reduced if and only if its localizations at prime ideals are.}} लेकिन अभिन्न डोमेन होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, दो नियमित अभिन्न डोमेन का उत्पाद नियमित है, लेकिन अभिन्न डोमेन नहीं है।<ref>[https://math.stackexchange.com/q/18657 Is a regular ring a domain]</ref>
+एक नियमित वलय कम वलय है {{efn|since a ring is reduced if and only if its localizations at prime ideals are.}} किन्तु अभिन्न डोमेन होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, दो नियमित अभिन्न डोमेन का उत्पाद नियमित है, किन्तु अभिन्न डोमेन नहीं है।<ref>[https://math.stackexchange.com/q/18657 Is a regular ring a domain]</ref>
 == यह भी देखें ==
-*ज्यामितीय रूप से नियमित अंगूठी
+*ज्यामितीय रूप से नियमित वलय
 ==टिप्पणियाँ==
 {{Notelist}}
+==उद्धरण                                                                                                                                     ==
-==उद्धरण==
 {{Reflist}}
+==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   ==
-==संदर्भ==
 *{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael F. | author1-link=Michael Atiyah | last2=Macdonald | first2=Ian G.|author2-link=Ian G. Macdonald | title=Introduction to Commutative Algebra | publisher=[[Addison-Wesley]] | mr=0242802 | year=1969}}
 * Kunz, Characterizations of regular local rings of characteristic p. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
@@ Line 96: / Line 92: @@
 * [http://stacks.math.columbia.edu/tag/065U Regular rings at The Stacks Project]
-{{DEFAULTSORT:Regular Local Ring}}[[Category: बीजगणितीय ज्यामिति]] [[Category: वलय सिद्धांत]]
+{{DEFAULTSORT:Regular Local Ring}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Regular Local Ring]]
-[[Category:Created On 10/07/2023]]
+[[Category:Created On 10/07/2023|Regular Local Ring]]
+[[Category:Machine Translated Page|Regular Local Ring]]
+[[Category:Pages with script errors|Regular Local Ring]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Regular Local Ring]]
+[[Category:बीजगणितीय ज्यामिति|Regular Local Ring]]
+[[Category:वलय सिद्धांत|Regular Local Ring]]

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