सटीक अवकल समीकरण

गणित में, एक सटीक अवकल समीकरण या कुल अंतर समीकरण एक विशेष प्रकार का सामान्य अंतर समीकरण है जो भौतिकी और अभियांत्रिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

परिभाषा

R² के सरल रूप से जुड़े और खुले उपसमुच्चय D और दो फलन I और J को देखते हुए, जो D पर निरंतर हैं, फॉर्म का एक अंतर्निहित प्रथम-क्रम साधारण अंतर समीकरण है

$I(x,y)\,dx+J(x,y)\,dy=0,$

एक स्पष्ट विभेदक समीकरण कहा जाता है यदि कोई निरंतर भिन्न कार्य F उपस्थित है, जिसे संभावित कार्य कहा जाता है, जिससे

${\frac {\partial F}{\partial x}}=I$

और

${\frac {\partial F}{\partial y}}=J.$

निम्नलिखित रूप में एक स्पष्ट समीकरण भी प्रस्तुत किया जा सकता है:

$I(x,y)+J(x,y)\,y'(x)=0$

जहां अंतर समीकरण के स्पष्ट होने के लिए I और J पर समान प्रतिबंध प्रयुक्त होते हैं।

स्पष्ट अंतर समीकरण का नामकरण कार्य के स्पष्ट अंतर को संदर्भित करता है। एक कार्य के लिए $F(x_{0},x_{1},...,x_{n-1},x_{n})$, स्पष्ट या कुल व्युत्पन्न के संबंध में $x_{0}$ द्वारा दिया गया है

${\frac {dF}{dx_{0}}}={\frac {\partial F}{\partial x_{0}}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dx_{0}}}.$

उदाहरण

कार्यक्रम $F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ द्वारा दिए गए

$F(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+c$

अंतर समीकरण के लिए एक संभावित कार्य है

$x\,dx+y\,dy=0.\,$

प्रथम क्रम स्पष्ट अंतर समीकरण

पहले क्रम के स्पष्ट अंतर समीकरणों की पहचान

कार्यों को करने दें ${\textstyle M}$, ${\textstyle N}$, ${\textstyle M_{y}}$, और ${\textstyle N_{x}}$, जहां सबस्क्रिप्ट सापेक्ष चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है, क्षेत्र में निरंतर हो ${\textstyle R:\alpha <x<\beta ,\gamma <y<\delta }$. फिर अंतर समीकरण

$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$

स्पष्ट है यदि और केवल यदि

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$

जिससे एक कार्य उपस्थित है $\psi (x,y)$, एक संभावित कार्य कहा जाता है, जैसे कि

$\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

तो, सामान्यतः:

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)\iff {\begin{cases}\exists \psi (x,y)\\\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$

प्रमाण

प्रमाण के दो भाग होते हैं।

सबसे पहले, मान लीजिए कि एक कार्य $\psi (x,y)$ ऐसा है कि$\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

इसके बाद यह अनुसरण करता है

$M_{y}(x,y)=\psi _{xy}(x,y){\text{ and }}N_{x}(x,y)=\psi _{yx}(x,y)$

तब से $M_{y}$ और $N_{x}$ निरंतर हैं, तो $\psi _{xy}$ और $\psi _{yx}$ भी निरंतर हैं जो उनकी समानता की आश्वासन देता है।

प्रमाण के दूसरे भाग में $\psi (x,y)$ निर्माण सम्मिलित है और पहले क्रम के स्पष्ट अंतर समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया के रूप में भी उपयोग किया जा सकता है। लगता है कि

$M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$

और एक कार्य होने दो $\psi (x,y)$ जिसके लिए

$\psi _{x}(x,y)=M(x,y){\text{ and }}\psi _{y}(x,y)=N(x,y)$

$x$ के संबंध में पहले समीकरण को एकीकृत करके प्रारंभ करें व्यवहार में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पहले या दूसरे समीकरण को एकीकृत करते हैं, जब तक कि एकीकरण उचित चर के संबंध में किया जाता है।

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,y)=M(x,y)$$

$$\psi (x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)$$

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$

जहाँ $Q(x,y)$ कोई भी अवकलनीय फलन है जैसे कि $Q_{x}=M$ कार्यक्रम $h(y)$एकीकरण के एक स्थिरांक की भूमिका निभाता है, लेकिन केवल एक स्थिरांक के अतिरिक्त , यह $y$ का कार्य है, क्योंकि हम $M$ $x$ और $y$ दोनों का एक कार्य है और हम केवल इसके $x$ संबंध में एकीकरण कर रहे हैं

अब यह दिखाने के लिए कि एक $h(y)$ ऐसा खोजना सदैव संभव है $h(y)$ ऐसा है कि $\psi _{y}=N$.

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)$$

दोनों पक्षों को $y$ के सापेक्ष अवकलित कीजिए।

$${\frac {\partial \psi }{\partial y}}(x,y)={\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)+h'(y)$$

परिणाम को $N$के सामान्य समूह करें और $h'(y)$के लिए हल करें।

$$h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$$

इस समीकरण से $h'(y)$ निर्धारित करने के लिए, दाहिनी ओर केवल $y$ पर निर्भर होना चाहिए। यह दिखा कर सिद्ध किया जा सकता है कि $x$के संबंध में इसकी व्युत्पत्ति सदैव शून्य होती है, इसलिए $x$ के संबंध में दाहिने हाथ की ओर अंतर करें।

.

$${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\iff {\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)$$

तब से $Q_{x}=M$,

$${\frac {\partial N}{\partial x}}(x,y)-{\frac {\partial M}{\partial y}}(x,y)$$

अब, यह हमारे प्रारंभिक अनुमान के आधार पर शून्य है $M_{y}(x,y)=N_{x}(x,y)$

इसलिए,

$$h'(y)=N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)$$

$$h(y)=\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}$$

$$\psi (x,y)=Q(x,y)+\int {\left(N(x,y)-{\frac {\partial Q}{\partial y}}(x,y)\right)dy}+C$$

और यह प्रमाण को पूरा करता है।

पहले क्रम स्पष्ट अंतर समीकरणों के समाधान

फॉर्म के स्पष्ट अंतर समीकरणों का पहला क्रम

$$M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$$

संभावित कार्य $\psi (x,y)$ के संदर्भ में लिखा जा सकता है।

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0$$

जहाँ

$${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

यह $\psi (x,y)$ के स्पष्ट अंतर को लेने के सामान्य है।

$${\frac {\partial \psi }{\partial x}}+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\iff {\frac {d}{dx}}\psi (x,y(x))=0$$

एक स्पष्ट अंतर समीकरण के समाधान तब द्वारा दिए जाते हैं

$$\psi (x,y(x))=c$$

और समस्या $\psi (x,y)$ खोजने के लिए कम हो जाती है।

यह दो व्यंजकों $M(x,y)dx$ और $N(x,y)dy$ को एकीकृत करके किया जा सकता है और फिर परिणामी व्यंजकों में प्रत्येक पद को केवल एक बार लिखकर और उन्हें क्रम में जोड़ कर $\psi (x,y)$ पाने के लिए किया जा सकता है।

इसके पीछे निम्नलिखित तर्क है। तब से

$${\begin{cases}\psi _{x}(x,y)=M(x,y)\\\psi _{y}(x,y)=N(x,y)\end{cases}}$$

यह इस प्रकार है, दोनों पक्षों को एकीकृत करके, कि

$${\begin{cases}\psi (x,y)=\int {M(x,y)dx}+h(y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=\int {N(x,y)dy}+g(x)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$$

इसलिए,

$$Q(x,y)+h(y)=P(x,y)+g(x)$$

जहाँ $Q(x,y)$ और $P(x,y)$ अलग-अलग कार्य हैं जैसे कि $Q_{x}=M$ और $P_{y}=N$.

इसे सही होने के लिए और दोनों पक्षों के लिए स्पष्ट समान अभिव्यक्ति का परिणाम देने के लिए, अर्थात् $\psi (x,y)$, फिर $h(y)$ को $P(x,y)$ के लिए अभिव्यक्ति में साम्मिलित होना चाहिए क्योंकि यह $g(x)$ के अंदर समाहित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह पूरी तरह से $y$ का कार्य है और $x$ का नहीं है और इसलिए इसे $x$ के साथ कुछ भी करने की अनुमति नहीं है। सादृश्य से, $g(x)$ अभिव्यक्ति $Q(x,y)$के अंदर समाहित होना चाहिए।

इसलिए,

$$Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+d(x,y)$$

कुछ भावों के लिए $f(x,y)$ और $d(x,y)$.

उपरोक्त समीकरण में प्लग इन करने पर, हम पाते हैं कि

$$g(x)+f(x,y)+h(y)=h(y)+d(x,y)+g(x)\Rightarrow f(x,y)=d(x,y)$$

इसलिए $f(x,y)$ और $d(x,y)$ एक ही कार्य बन जाते हैं। इसलिए,

$$Q(x,y)=g(x)+f(x,y){\text{ and }}P(x,y)=h(y)+f(x,y)$$

चूंकि हम पहले ही दिखा चुके हैं

$${\begin{cases}\psi (x,y)=Q(x,y)+h(y)\\\psi (x,y)=P(x,y)+g(x)\end{cases}}$$

यह इस प्रकार है कि

$$\psi (x,y)=g(x)+f(x,y)+h(y)$$

इसलिए, $\psi (x,y)$ और$\int {M(x,y)dx}$ करके हम $\int {N(x,y)dy}$ बना सकते हैं और फिर दो परिणामी व्यंजकों (जो कि $f(x,y)$) होगा) में पाए जाने वाले सामान्य शब्दों को लेकर और फिर उनमें से किसी एक -$g(x)$ और $h(y)$ में विशिष्ट रूप से पाए जाने वाले शब्दों को जोड़ते हुए।

दूसरा क्रम स्पष्ट अंतर समीकरण

यथार्थ अवकल समीकरणों की संकल्पना को द्वितीय कोटि के समीकरणों तक बढ़ाया जा सकता है। पहले क्रम के स्पष्ट समीकरण से प्रारंभ करने पर विचार करें:

$I\left(x,y\right)+J\left(x,y\right){dy \over dx}=0$

चूंकि दोनों कार्य करता है $I\left(x,y\right)$, $J\left(x,y\right)$ दो चर के कार्य हैं, बहुभिन्नरूपी कार्य उत्पन्न को स्पष्ट रूप से अलग करते हैं

${dI \over dx}+\left({dJ \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

कुल व्युत्पन्न का विस्तार करने से वह मिलता है

${dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

ओर वो

${dJ \over dx}={\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}$

${\textstyle {dy \over dx}}$ शब्दों का संयोजन देता है

${\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial I \over \partial y}+{\partial J \over \partial x}+{\partial J \over \partial y}{dy \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

यदि समीकरण स्पष्ट है, तो ${\textstyle {\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}}$. इसके अतिरिक्त,$J\left(x,y\right)$ का कुल व्युत्पन्न इसके निहित सामान्य व्युत्पन्न ${\textstyle {dJ \over dx}}$ के सामान्य है यह पुनर्लेखित समीकरण की ओर जाता है

${\partial I \over \partial x}+{dy \over dx}\left({\partial J \over \partial x}+{dJ \over dx}\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

अब, कुछ दूसरे क्रम का अंतर समीकरण होने दें

$f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

यदि ${\partial J \over \partial x}={\partial I \over \partial y}$ स्पष्ट अंतर समीकरणों के लिए, फिर

$\int \left({\partial I \over \partial y}\right)dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)dy$

और

$\int \left({\partial I \over \partial y}\right)dy=\int \left({\partial J \over \partial x}\right)dy=I\left(x,y\right)-h\left(x\right)$

जहां $h\left(x\right)$ केवल $x$ का कुछ इच्छानुसार कार्य है जिसे $y$ के संबंध में $I\left(x,y\right)$ का आंशिक व्युत्पन्न लेने पर शून्य से विभेदित किया गया था। . चूंकि $h\left(x\right)$ पर चिन्ह सकारात्मक हो सकता है, यह अभिन्न के परिणाम के बारे में सोचने के लिए अधिक सहज है $I\left(x,y\right)$जिसमें कुछ मूल विलुप्त है अतिरिक्त कार्य $h\left(x\right)$ जिसे आंशिक रूप से शून्य से अलग किया गया था।

अगला, यदि

${dI \over dx}={\partial I \over \partial x}+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

फिर शब्द ${\partial I \over \partial x}$ केवल का एक कार्य होना चाहिए $x$ और $y$, के संबंध में आंशिक भेदभाव के बाद से $x$ रोक लेंगे $y$ स्थिर और के किसी भी व्युत्पन्न का उत्पादन नहीं $y$

तब पद ${\partial I \over \partial x}$ केवल $x$ और $y$ का फलन होना चाहिए, क्योंकि $x$ के संबंध में आंशिक विभेदन $y$ स्थिरांक रखेगा और $y$ का कोई व्युत्पन्न नहीं देगा। दूसरे क्रम के समीकरण में

.$f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

केवल पद $f\left(x,y\right)$ शुद्ध रूप से $x$ और $y$ का पद है। चलो ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$. अगर ${\partial I \over \partial x}=f\left(x,y\right)$, तो

$f\left(x,y\right)={dI \over dx}-{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}$

चूँकि $x$ के संबंध में $I\left(x,y\right)$ का कुल व्युत्पन्न निहित सामान्य व्युत्पन्न ${dI \over dx}$ के सामान्य है, तो

$f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}={dI \over dx}={d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{dh\left(x\right) \over dx}$

इसलिए,

${dh\left(x\right) \over dx}=f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)$

और

$h\left(x\right)=\int \left(f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)\right)dx$

इस प्रकार, दूसरा क्रम अंतर समीकरण

$f\left(x,y\right)+g\left(x,y,{dy \over dx}\right){dy \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)=0$

केवल तभी स्पष्ट है $g\left(x,y,{dy \over dx}\right)={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}={dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ और केवल यदि नीचे दी गई अभिव्यक्ति

$\int \left(f\left(x,y\right)+{\partial I \over \partial y}{dy \over dx}-{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)\right)dx=\int \left(f\left(x,y\right)-{\partial \left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right) \over \partial x}\right)dx$

केवल $x$ का फलन है। एक बार $h\left(x\right)$ की गणना इसके इच्छानुसार स्थिरांक के साथ की जाती है, इसे $I\left(x,y\right)-h\left(x\right)$ में जोड़ा जाता है जिससे $I\left(x,y\right)$ यदि समीकरण स्पष्ट है, तो हम पहले क्रम के स्पष्ट रूप को कम कर सकते हैं जो पहले क्रम के स्पष्ट समीकरणों के लिए सामान्य विधि द्वारा हल करने योग्य है।

$I\left(x,y\right)+J\left(x,y\right){dy \over dx}=0$

अब, चूंकि , अंतिम अंतर्निहित समाधान में $C_{1}x$ एक होगा के एकीकरण $h\left(x\right)$ से शब्द जो $x$ के संबंध में दो बार और साथ ही एक $C_{2}$, दूसरे क्रम के समीकरण से अपेक्षित दो इच्छानुसार स्थिरांक है ।

उदाहरण

अंतर समीकरण को देखते हुए

$\left(1-x^{2}\right)y''-4xy'-2y=0$

कोई भी $y''$ पद की जांच करके आसानी से स्पष्टता की जांच कर सकता है। इस स्थिति में, $x$ के संबंध में $1-x^{2}$ के आंशिक और कुल व्युत्पन्न दोनों $-2x$ हैं, इसलिए उनका योग $-4x$ है, जो वास्तव में शब्द है $y'$आपके सामने स्पष्टता के लिए नियमो में से एक के साथ, कोई भी इसकी गणना कर सकता है

$\int \left(-2x\right)dy=I\left(x,y\right)-h\left(x\right)=-2xy$

दे $f\left(x,y\right)=-2y$, तब

$\int \left(-2y-2xy'-{d \over dx}\left(-2xy\right)\right)dx=\int \left(-2y-2xy'+2xy'+2y\right)dx=\int \left(0\right)dx=h\left(x\right)$

इसलिए, $h\left(x\right)$ वास्तव में केवल का $x$ कार्य है और दूसरा क्रम अंतर समीकरण स्पष्ट है। इसलिए, $h\left(x\right)=C_{1}$ और $I\left(x,y\right)=-2xy+C_{1}$. प्रथम-क्रम स्पष्ट समीकरण उत्पन्न में कमी

$-2xy+C_{1}+\left(1-x^{2}\right)y'=0$

घालमेल $I\left(x,y\right)$ इसके संबंध में $x$ उत्पन्न

$-x^{2}y+C_{1}x+i\left(y\right)=0$

जहाँ $i\left(y\right)$ का कुछ इच्छानुसार कार्य है $y$. $y$ का कुछ इच्छानुसार कार्य है। $y$ के संबंध में अवकलन करने पर अवकलज और $y'$ पद से संबंधित एक समीकरण प्राप्त होता है।

$-x^{2}+i'\left(y\right)=1-x^{2}$

इसलिए, $i\left(y\right)=y+C_{2}$ और पूर्ण निहित समाधान बन जाता है

$C_{1}x+C_{2}+y-x^{2}y=0$

$y$ उत्पन्न के लिए स्पष्ट रूप से हल करना

$y={\frac {C_{1}x+C_{2}}{1-x^{2}}}$

उच्च क्रम स्पष्ट अंतर समीकरण

स्पष्ट अंतर समीकरणों की अवधारणाओं को किसी भी क्रम में बढ़ाया जा सकता है। स्पष्ट दूसरे क्रम के समीकरण से प्रारंभ करना

${d^{2}y \over dx^{2}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{dy \over dx}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+f\left(x,y\right)=0$

यह पहले दिखाया गया था कि समीकरण इस तरह परिभाषित किया गया है

$f\left(x,y\right)={dh\left(x\right) \over dx}+{d \over dx}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)-{\partial J \over \partial x}{dy \over dx}$

स्पष्ट द्वितीय-क्रम समीकरण $n$ बार के अंतर्निहित विभेदन से स्पष्टता के लिए नई नियमो के साथ एक$\left(n+2\right)$वां क्रम अवकल समीकरण प्राप्त होगा जिसे उत्पादित समीकरण के रूप से आसानी से निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीसरे क्रम के स्पष्ट समीकरण को प्राप्त करने के लिए उपरोक्त दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को एक बार अवकलित करने से निम्न रूप ${d^{3}y \over dx^{3}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{dJ \over dx}+{d^{2}y \over dx^{2}}\left({dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+{df\left(x,y\right) \over dx}=0$

मिलता है जहां ${df\left(x,y\right) \over dx}={d^{2}h\left(x\right) \over dx^{2}}+{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)-{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}-{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$

और जहां $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ केवल $x,y$ और ${dy \over dx}$ का एक कार्य है। ${dy \over dx}$ से न आने वाले सभी ${d^{2}y \over dx^{2}}$ और $F\left(x,y,{dy \over dx}\right)$ शब्दों को मिलाने पर ${d^{3}y \over dx^{3}}\left(J\left(x,y\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)+{dy \over dx}\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)+F\left(x,y,{dy \over dx}\right)=0$

प्राप्त होता है, इस प्रकार, तीसरे क्रम के अवकल समीकरण की स्पष्टता के लिए तीन नियम हैं: ${d^{2}y \over dx^{2}}$ पद $2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}$ होना चाहिए, ${dy \over dx}$ पद अवश्य ${d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ होना चाहिए और$F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)$ केवल $x$ का फलन होना चाहिए।

उदाहरण

अरैखिक तृतीय-क्रम अवकल समीकरण पर विचार करें

$yy'''+3y'y''+12x^{2}=0$

यदि $J\left(x,y\right)=y$, तब $y''\left(2{dJ \over dx}+{\partial J \over \partial x}\right)$ है $2y'y''$ और $y'\left({d^{2}J \over dx^{2}}+{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)\right)=y'y''$जो एक साथ योग करते हैं $3y'y''$. सौभाग्य से, यह हमारे समीकरण में प्रकट होता है। स्पष्टता की अंतिम नियम के लिए,

$F\left(x,y,{dy \over dx}\right)-{d^{2} \over dx^{2}}\left(I\left(x,y\right)-h\left(x\right)\right)+{d^{2}y \over dx^{2}}{\partial J \over \partial x}+{dy \over dx}{d \over dx}\left({\partial J \over \partial x}\right)=12x^{2}-0+0+0=12x^{2}$

जो वास्तव में केवल $x$ एक कार्य है . अत: अवकल समीकरण यथार्थ है। दो बार एकीकृत करने से $h\left(x\right)=x^{4}+C_{1}x+C_{2}=I\left(x,y\right)$ मिलता है। प्रथम क्रम के स्पष्ट अंतर समीकरण उत्पन्न के रूप में समीकरण को फिर से लिखना

$x^{4}+C_{1}x+C_{2}+yy'=0$

$x$ के संबंध में $I\left(x,y\right)$ करने पर ${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+i\left(y\right)=0$ मिलता है. $y$ के संबंध में अवकलन करना और पहले क्रम के समीकरण में $y'$ के सामने वाले शब्द के समान करना, पहले क्रम के समीकरण में देता है$i'\left(y\right)=y$ और वह $i\left(y\right)={y^{2} \over 2}+C_{3}$ पूर्ण निहित समाधान बन जाता है

${x^{5} \over 5}+C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}+{y^{2} \over 2}=0$

स्पष्ट समाधान, तब है

$y=\pm {\sqrt {C_{1}x^{2}+C_{2}x+C_{3}-{\frac {2x^{5}}{5}}}}$

यह भी देखें

• स्पष्ट अंतर
• अचूक अंतर समीकरण

अग्रिम पठन

• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (1986). Elementary Differential Equations (4th ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-07894-8