वेक्टर प्रक्षेपण

का प्रक्षेपण a पर b (एक₁), और अस्वीकृति a से b (एक₂).

कब 90° < θ ≤ 180°, a₁ के संबंध में विपरीत दिशा है b.

वेक्टर का वेक्टर प्रक्षेपण a एक अशून्य वेक्टर पर (या पर)। b, कभी-कभी निरूपित किया जाता है $\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$ (वेक्टर घटक या के वेक्टर संकल्प के रूप में भी जाना जाता है a की दिशा में b), का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है a के समानांतर एक सीधी रेखा पर b. के समानांतर एक सदिश है b, के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}}$$

कहाँ पे $a_{1}$ अदिश है, जिसे अदिश प्रक्षेपण कहा जाता है a पर b, तथा b̂ की दिशा में इकाई वेक्टर है b.

बदले में, स्केलर प्रोजेक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}}$$

जहां ऑपरेटर ⋅ एक डॉट उत्पाद को दर्शाता है, a‖ यूक्लिडियन मानदंड है a, और θ के बीच का कोण है a तथा b.

जो अंत में देता है:

$$\mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.$$

स्केलर प्रोजेक्शन वेक्टर प्रोजेक्शन की लंबाई के बराबर है, अगर प्रोजेक्शन की दिशा के विपरीत है तो माइनस साइन के साथ b. सदिश घटक या सदिश संकल्प a के लम्बवत b, जिसे कभी-कभी का सदिश अस्वीकृति भी कहा जाता है a से b (निरूपित $\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a}$), का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है a विमान पर (ज्यामिति) (या, सामान्य रूप से, hyperplane ) ओर्थोगोनल टू b. दोनों प्रक्षेपण a₁ और अस्वीकृति a₂ एक वेक्टर का a सदिश हैं, और उनका योग बराबर है a, जिसका तात्पर्य है कि अस्वीकृति इसके द्वारा दी गई है: $\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}.$

नोटेशन

विशिष्ट रूप से, एक वेक्टर प्रोजेक्शन को बोल्ड फ़ॉन्ट में दर्शाया जाता है (उदा. a₁), और सामान्य फ़ॉन्ट के साथ संबंधित स्केलर प्रोजेक्शन (जैसे a₁). कुछ मामलों में, विशेष रूप से लिखावट में, वेक्टर प्रक्षेपण को अक्षर के ऊपर या नीचे एक विशेषक का उपयोग करके भी निरूपित किया जाता है (उदाहरण के लिए, ${\vec {a}}_{1}$ या <यू>ए</यू>₁). का सदिश प्रक्षेपण a पर b और संबंधित अस्वीकृति को कभी-कभी द्वारा निरूपित किया जाता है a_∥b तथा a_⊥b, क्रमश।

==कोण θ== पर आधारित परिभाषाएँ

अदिश प्रक्षेपण

Main article: Scalar projection

का अदिश प्रक्षेपण a पर b के बराबर एक अदिश राशि है

$$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,$$

जहाँ के बीच का कोण है a तथा b.

सदिश प्रक्षेपण की गणना करने के लिए एक स्केलर प्रोजेक्शन को पैमाने के कारक के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।

वेक्टर प्रोजेक्शन

का सदिश प्रक्षेपण a पर b एक सदिश है जिसका परिमाण का अदिश प्रक्षेपण है a पर b उसी दिशा के साथ b. अर्थात्, इसे परिभाषित किया गया है

$$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}}$$

कहाँ पे $a_{1}$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, संबंधित स्केलर प्रोजेक्शन है, और $\mathbf {\hat {b}}$ के रूप में एक ही दिशा के साथ इकाई वेक्टर है b:

$$\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}$$

वेक्टर अस्वीकृति

परिभाषा के अनुसार, वेक्टर अस्वीकृति a पर b है:

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}$$

अत,

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}}$$

== ए और बी == के संदर्भ में परिभाषाएँ कब θ ज्ञात नहीं है, की कोज्या θ के रूप में गणना की जा सकती है a तथा b, डॉट उत्पाद की निम्नलिखित संपत्ति द्वारा a ⋅ b

$${\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta$$

अदिश प्रक्षेपण

डॉट उत्पाद की उपर्युक्त संपत्ति से, स्केलर प्रोजेक्शन की परिभाषा बन जाती है:

$$a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$$

दो आयामों में, यह बन जाता है

$$a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$$

वेक्टर प्रोजेक्शन

इसी तरह, के वेक्टर प्रक्षेपण की परिभाषा a पर b बन जाता है:

$$\mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},$$

जो या तो के बराबर है

$$\mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,$$

या

$$\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.$$

स्केलर अस्वीकृति

दो आयामों में, अदिश अस्वीकृति के प्रक्षेपण के बराबर है a पर $\mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}$, जो है $\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}$ बाईं ओर 90° घुमाया गया। अत,

$$a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.$$

ऐसे डॉट उत्पाद को पर्प डॉट उत्पाद कहा जाता है।

वेक्टर अस्वीकृति

परिभाषा से,

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}$$

अत,

$$\mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.$$

गुण

यदि 0° 90°, जैसा कि इस मामले में है, का अदिश प्रक्षेपण a पर b सदिश प्रक्षेपण के यूक्लिडियन मानदंड के साथ मेल खाता है।

अदिश प्रक्षेपण

Main article: Scalar projection

अदिश प्रक्षेपण a पर b एक अदिश राशि है जिसका ऋणात्मक चिह्न होता है यदि समकोण|90 डिग्री < θ ≤ सीधा कोण|180 डिग्री। यह यूक्लिडियन मानदंड के साथ मेल खाता है ‖c‖ सदिश प्रक्षेपण का यदि कोण 90° से छोटा है। अधिक सटीक:

• a₁ = ‖a₁‖ यदि 0° ≤ θ ≤ 90°,
• a₁ = −‖a₁‖ यदि 90° < θ ≤ 180°.

वेक्टर प्रोजेक्शन

का वेक्टर प्रक्षेपण a पर b एक वेक्टर है a₁ जो या तो शून्य या समानांतर है b. अधिक सटीक:

• a₁ = 0 यदि θ = 90°,
• a₁ तथा b एक ही दिशा है अगर 0° ≤ θ < 90°,
• a₁ तथा b विपरीत दिशाएं हैं यदि 90° < θ ≤ 180°.

वेक्टर अस्वीकृति

वेक्टर अस्वीकृति a पर b एक वेक्टर है a₂ जो या तो शून्य या ओर्थोगोनल है b. अधिक सटीक:

• a₂ = 0 यदि θ = 0° या θ = 180°,
• a₂ यह ओर्थोगोनल है b यदि 0 < θ < 180°,

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन को प्रोजेक्शन मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है। यूनिट वेक्टर पर एक वेक्टर प्रोजेक्ट करने के लिए a = (a_x, a_y, a_z), इसे इस प्रक्षेपण मैट्रिक्स से गुणा करने की आवश्यकता होगी:

$$P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}$$

उपयोग

वेक्टर प्रोजेक्शन ग्राम-श्मिट प्रक्रिया में एक महत्वपूर्ण ऑपरेशन है | सदिश स्थल बेसिस (रैखिक बीजगणित) की ग्राम-श्मिट orthonormality इसका उपयोग पृथक्करण अक्ष प्रमेय में यह पता लगाने के लिए भी किया जाता है कि क्या दो उत्तल आकृतियाँ प्रतिच्छेद करती हैं।

सामान्यीकरण

चूंकि वेक्टर लंबाई और वैक्टर के बीच कोण की धारणाओं को किसी भी एन-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, यह एक वेक्टर के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण, दूसरे पर वेक्टर के प्रक्षेपण, और दूसरे से वेक्टर की अस्वीकृति की धारणाओं के लिए भी सच है। .

कुछ मामलों में, आंतरिक उत्पाद डॉट उत्पाद के साथ मेल खाता है। जब भी वे मेल नहीं खाते हैं, तो प्रक्षेपण और अस्वीकृति की औपचारिक परिभाषाओं में डॉट उत्पाद के बजाय आंतरिक उत्पाद का उपयोग किया जाता है। त्रि-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए, एक वेक्टर के दूसरे पर प्रक्षेपण और दूसरे से वेक्टर की अस्वीकृति की धारणाओं को एक विमान (ज्यामिति) पर एक वेक्टर के प्रक्षेपण की धारणाओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और एक वेक्टर की अस्वीकृति विमान। किसी समतल पर सदिश का प्रक्षेपण उस तल पर उसका लंबकोणीय प्रक्षेपण है। एक समतल से एक सदिश की अस्वीकृति एक सीधी रेखा पर इसका लंबकोणीय प्रक्षेपण है जो उस तल के लंबकोणीय है। दोनों वैक्टर हैं। पहला विमान के समानांतर है, दूसरा ऑर्थोगोनल है।

किसी दिए गए सदिश और तल के लिए, प्रक्षेपण और अस्वीकृति का योग मूल सदिश के बराबर होता है। इसी तरह, तीन से अधिक आयामों वाले आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के लिए, वेक्टर पर प्रक्षेपण की धारणा और वेक्टर से अस्वीकृति को हाइपरप्लेन पर प्रक्षेपण की धारणा और हाइपरप्लेन से अस्वीकृति के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। ज्यामितीय बीजगणित में, उन्हें आगे ज्यामितीय बीजगणित की धारणाओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है # प्रोजेक्शन और किसी भी इन्वर्टिबल के-ब्लेड पर/से एक सामान्य मल्टीवेक्टर की अस्वीकृति।

यह भी देखें

• अदिश प्रक्षेपण
• वेक्टर संकेतन

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

• ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन
• समतल ज्यामिति)
• स्वरों का विशिष्ट चिह्न
• आधार (रैखिक बीजगणित)
• पृथक अक्ष प्रमेय

बाहरी संबंध

• Projection of a vector onto a plane