चेन (बीजगणितीय टोपोलॉजी): Difference between revisions

Revision as of 20:21, 16 May 2023

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, एक k-श्रृंखला श्रृंखला एक सेल परिसर में K-कोशिकाओं का एक औपचारिक औपचारिक रैखिक संयोजन है k-सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स में कोशिकाएं। साधारण परिसरों में (क्रमशः, घनीय परिसर), k-चेन का संयोजन है k-सरलताएं (क्रमशः, k-क्यूब्स) के संयोजन होते हैं,^[1]^[2]^[3] लेकिन जरूरी नहीं कि जुड़ा हो। समरूपता में श्रृंखला का उपयोग किया जाता है; समरूपता समूह के तत्व श्रृंखला के समतुल्य वर्ग हैं। श्रृंखला का उपयोग होमोलॉजी (गणित) में किया जाता है; समरूपता समूह के तत्व श्रृंखला के समतुल्य वर्ग हैं।

परिभाषा

एक साधारण परिसर के लिए $X$ , समूह $C_{n}(X)$ का $n$ -की श्रृंखला $X$ द्वारा दिया गया है:

$C_{n}(X)=\left\{\sum \limits _{i}m_{i}\sigma _{i}|m_{i}\in \mathbb {Z} \right\}$

जहाँ $\sigma _{i}$ एकवचन समरूपता हैं | एकवचन $n$ -सरल $X$ . ध्यान दें कि कोई भी तत्व $C_{n}(X)$ कनेक्टेड सिंपल कॉम्प्लेक्स होना आवश्यक नहीं है।

श्रृंखला पर एकीकरण

गुणांक (जो सामान्यतः पूर्णांक होते हैं) के साथ श्रृंखला में सरलताओं पर इंटीग्रल के रैखिक संयोजन को ले कर एकीकरण को श्रृंखला पर परिभाषित किया जाता है।

सभी के-चेन का सेट एक समूह बनाता है और इन समूहों के अनुक्रम को चेन कॉम्प्लेक्स कहा जाता है।

श्रृंखला पर सीमा संचालक

एक बहुभुज वक्र की सीमा इसके नोड्स का एक रैखिक संयोजन है; इस श्थितियो में, A₁ का कुछ रैखिक संयोजन_A6 किसी के द्वारा ₆. सेगमेंट मानते हुए सभी बाएं से दाएं उन्मुख होते हैं ( A_k से बढ़ते क्रम में A_k+1को _k+1), सीमा A₆ − A₁.है

एक बंद बहुभुज वक्र, सुसंगत अभिविन्यास मानते हुए, शून्य सीमा है।

एक श्रृंखला की सीमा श्रृंखला में सरलताओं की सीमाओं का रैखिक संयोजन है। K-श्रृंखला की सीमा एक (K-1)-श्रृंखला है। ध्यान दें कि एक सिम्प्लेक्स की सीमा एक सिम्प्लेक्स नहीं है, लेकिन 1 या -1 के गुणांक वाली एक श्रृंखला है - इस प्रकार चेन सीमा ऑपरेटर के अंतर्गत सरलताओं का बंद होना है।

'उदाहरण 1:' पथ की सीमा (टोपोलॉजी) इसके अंतबिंदुओं का औपचारिक अंतर है: यह एक दूरबीन राशि है। वर्णन करने के लिए, यदि 1-श्रृंखला $c=t_{1}+t_{2}+t_{3}\,$ बिंदु से पथ है $v_{1}\,$ इंगित करने के लिए $v_{4}\,$ , जहाँ

 $t_{1}=[v_{1},v_{2}]\,$ ,

$t_{2}=[v_{2},v_{3}]\,$ और $t_{3}=[v_{3},v_{4}]\,$ इसके घटक 1-सिम्प्लेक्स हैं, फिर

${\begin{aligned}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}(t_{1})+\partial _{1}(t_{2})+\partial _{1}(t_{3})\\&=\partial _{1}([v_{1},v_{2}])+\partial _{1}([v_{2},v_{3}])+\partial _{1}([v_{3},v_{4}])\\&=([v_{2}]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[v_{4}]-[v_{1}].\end{aligned}}$

उदाहरण 2: त्रिभुज की सीमा इसके किनारों का एक औपचारिक योग है जिसमें चिन्हों को व्यवस्थित किया गया है ताकि सीमा को घड़ी की विपरीत दिशा में पार किया जा सके।

एक श्रृंखला को चक्र कहा जाता है जब इसकी सीमा शून्य होती है। एक श्रृंखला जो किसी अन्य श्रृंखला की सीमा होती है, सीमा कहलाती है। सीमाएं चक्र हैं,

इसलिए शृंखलाएं एक शृंखला संकुल बनाती हैं, जिनके समरूपता समूह (साइकिल मोडुलो सीमाएं) सरल समरूपता (गणित) समूह कहलाते हैं।

उदाहरण 3: मूल बिंदु पर पंक्चर किए गए विमान में गैर-तुच्छ 1-समरूपता समूह है क्योंकि यूनिट सर्कल एक चक्र है, लेकिन सीमा नहीं है।

अंतर ज्यामिति में, चेन पर बाउंड्री ऑपरेटर और बाहरी व्युत्पन्न के बीच द्वैत को सामान्य स्टोक्स प्रमेय द्वारा व्यक्त किया जाता है।

संदर्भ

↑ Hatcher, Allen (2002). बीजगणितीय टोपोलॉजी. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
↑ Lee, John M. (2011). टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड का परिचय (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452.
↑ Kaczynski, Tomasz; Mischaikow, Konstantin; Mrozek, Marian (2004). कम्प्यूटेशनल समरूपता. Applied Mathematical Sciences. Vol. 157. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/b97315. ISBN 0-387-40853-3. MR 2028588.

[1] Hatcher, Allen (2002). बीजगणितीय टोपोलॉजी. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.

[2] Lee, John M. (2011). टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड का परिचय (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452.

[3] Kaczynski, Tomasz; Mischaikow, Konstantin; Mrozek, Marian (2004). कम्प्यूटेशनल समरूपता. Applied Mathematical Sciences. Vol. 157. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/b97315. ISBN 0-387-40853-3. MR 2028588.

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-का एक [[औपचारिक रैखिक संयोजन]] है {{var|k}}-[[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स]] में कोशिकाएं। साधारण परिसरों में (क्रमशः, घनीय परिसर), {{var|k}}-चेन का संयोजन है {{var|k}}-सरलताएं (क्रमशः, {{var|k}}-क्यूब्स),<ref>{{cite book | last=Hatcher | first=Allen | authorlink=Allen Hatcher | title=बीजगणितीय टोपोलॉजी| publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2002 | isbn=0-521-79540-0 | url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}</ref><ref>{{Cite book|title=टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड का परिचय|last=Lee|first=John M.|date=2011|publisher=Springer|isbn=978-1441979391|edition=2nd|location=New York|oclc=697506452}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Kaczynski | first1 = Tomasz | last2 = Mischaikow | first2 = Konstantin | last3 = Mrozek | first3 = Marian | doi = 10.1007/b97315 | isbn = 0-387-40853-3 | mr = 2028588 | publisher = Springer-Verlag | location = New York | series = Applied Mathematical Sciences | title = कम्प्यूटेशनल समरूपता| volume = 157 | year = 2004}}</ref> लेकिन जरूरी नहीं कि जुड़ा हो। जंजीरों का उपयोग होमोलॉजी (गणित) में किया जाता है; समरूपता समूह के तत्व जंजीरों के समतुल्य वर्ग हैं।
 == परिभाषा ==
-एक साधारण परिसर के लिए <math>X</math>, समूह <math>C_n(X)</math> का <math>n</math>-की जंजीर <math>X</math> द्वारा दिया गया है:
+एक साधारण परिसर के लिए <math>X</math>, समूह <math>C_n(X)</math> का <math>n</math>-की श्रृंखला <math>X</math> द्वारा दिया गया है:
 <math>C_n(X) = \left\{ \sum\limits_i m_i \sigma_i | m_i \in \mathbb{Z} \right\}</math>
-कहाँ <math>\sigma_i</math> एकवचन समरूपता हैं | एकवचन <math>n</math>-सरल <math>X</math>. ध्यान दें कि कोई भी तत्व <math>C_n(X)</math> कनेक्टेड सिंपल कॉम्प्लेक्स होना जरूरी नहीं है।
-== जंजीरों पर एकीकरण ==
+जहाँ <math>\sigma_i</math> एकवचन समरूपता हैं | एकवचन <math>n</math>-सरल <math>X</math>. ध्यान दें कि कोई भी तत्व <math>C_n(X)</math> कनेक्टेड सिंपल कॉम्प्लेक्स होना आवश्यक नहीं है।
-गुणांक (जो आमतौर पर पूर्णांक होते हैं) के साथ श्रृंखला में सरलताओं पर इंटीग्रल के रैखिक संयोजन को ले कर एकीकरण को जंजीरों पर परिभाषित किया जाता है।
+== श्रृंखला पर एकीकरण ==
+गुणांक (जो सामान्यतः पूर्णांक होते हैं) के साथ श्रृंखला में सरलताओं पर इंटीग्रल के रैखिक संयोजन को ले कर एकीकरण को श्रृंखला पर परिभाषित किया जाता है।
 सभी के-चेन का सेट एक समूह बनाता है और इन समूहों के अनुक्रम को [[चेन कॉम्प्लेक्स]] कहा जाता है।
-== जंजीरों पर सीमा संचालक ==
+== श्रृंखला पर सीमा संचालक ==
-[[File:Chainline.svg|thumb|एक [[बहुभुज वक्र]] की सीमा इसके नोड्स का एक रैखिक संयोजन है; इस मामले में, ए का कुछ रैखिक संयोजन<sub>1</sub> किसी के जरिए<sub>6</sub>. सेगमेंट मानते हुए सभी बाएं से दाएं उन्मुख होते हैं (ए से बढ़ते क्रम में<sub>''k''</sub> ए को<sub>''k''+1</sub>), सीमा ए है<sub>6</sub> - ए<sub>1</sub>.]]
+[[File:Chainline.svg|thumb|एक [[बहुभुज वक्र]] की सीमा इसके नोड्स का एक रैखिक संयोजन है; इस श्थितियो में, A<sub>1</sub> का कुछ रैखिक संयोजन<sub>A6</sub> किसी के द्वारा <sub>6</sub>. सेगमेंट मानते हुए सभी बाएं से दाएं उन्मुख होते हैं ( A<sub>''k''</sub> से बढ़ते क्रम में A<sub>''k''+1</sub>को <sub>''k''+1</sub>), सीमा A<sub>6</sub> − A<sub>1</sub>.है]]
-[[File:Closed polygonal line.svg|thumb|एक बंद बहुभुज वक्र, सुसंगत अभिविन्यास मानते हुए, शून्य सीमा है।]]एक श्रृंखला की सीमा श्रृंखला में सरलताओं की सीमाओं का रैखिक संयोजन है। के-श्रृंखला की सीमा एक (के-1)-श्रृंखला है। ध्यान दें कि एक सिम्प्लेक्स की सीमा एक सिम्प्लेक्स नहीं है, लेकिन 1 या -1 के गुणांक वाली एक श्रृंखला है - इस प्रकार चेन सीमा ऑपरेटर के तहत सरलताओं का बंद होना है।
+[[File:Closed polygonal line.svg|thumb|एक बंद बहुभुज वक्र, सुसंगत अभिविन्यास मानते हुए, शून्य सीमा है।]]एक श्रृंखला की सीमा श्रृंखला में सरलताओं की सीमाओं का रैखिक संयोजन है। K-श्रृंखला की सीमा एक (K-1)-श्रृंखला है। ध्यान दें कि एक सिम्प्लेक्स की सीमा एक सिम्प्लेक्स नहीं है, लेकिन 1 या -1 के गुणांक वाली एक श्रृंखला है - इस प्रकार चेन सीमा ऑपरेटर के अंतर्गत सरलताओं का बंद होना है।
-'उदाहरण 1:' पथ की सीमा (टोपोलॉजी) इसके अंतबिंदुओं का औपचारिक अंतर है: यह एक [[दूरबीन राशि]] है। वर्णन करने के लिए, यदि 1-श्रृंखला <math>c = t_1 + t_2 + t_3\,</math> बिंदु से पथ है <math>v_1\,</math> इंगित करने के लिए <math>v_4\,</math>, कहाँ
+'उदाहरण 1:' पथ की सीमा (टोपोलॉजी) इसके अंतबिंदुओं का औपचारिक अंतर है: यह एक [[दूरबीन राशि]] है। वर्णन करने के लिए, यदि 1-श्रृंखला <math>c = t_1 + t_2 + t_3\,</math> बिंदु से पथ है <math>v_1\,</math> इंगित करने के लिए <math>v_4\,</math>, जहाँ
   <math>t_1=[v_1, v_2]\,</math>,
 <math>t_2=[v_2, v_3]\,</math> और
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 \end{align}
 </math>
 उदाहरण 2: त्रिभुज की सीमा इसके किनारों का एक औपचारिक योग है जिसमें चिन्हों को व्यवस्थित किया गया है ताकि सीमा को घड़ी की विपरीत दिशा में पार किया जा सके।
 एक श्रृंखला को चक्र कहा जाता है जब इसकी सीमा शून्य होती है। एक श्रृंखला जो किसी अन्य श्रृंखला की सीमा होती है, सीमा कहलाती है। सीमाएं चक्र हैं,
 इसलिए शृंखलाएं एक शृंखला संकुल बनाती हैं, जिनके समरूपता समूह (साइकिल मोडुलो सीमाएं) सरल समरूपता (गणित) समूह कहलाते हैं।

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