जटिल विभेदक रूप: Difference between revisions

Latest revision as of 07:02, 8 October 2023

गणित में, सम्मिश्र विभेदक रूप मैनिफोल्ड (सामान्यतः सम्मिश्र मैनिफोल्ड) पर विभेदक रूप होता है जिसमें सम्मिश्र संख्या गुणांक रखने की अनुमति होती है।

विभेदक ज्यामिति में सम्मिश्र रूपों का व्यापक अनुप्रयोग होता है और सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स पर, वे मौलिक हैं और अधिकांश बीजगणितीय ज्यामिति, काहलर मीट्रिक काहलर ज्यामिति और हॉज सिद्धांत के आधार के रूप में कार्य करते रहते हैं।इस प्रकार गैर-सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स पर, वे लगभग सम्मिश्र संरचनाओं, स्पिनरों के सिद्धांत और सीआर संरचनाओं के अध्ययन में भी भूमिका निभाते रहते हैं।

सामान्यतः, कुछ वांछनीय अपघटन के कारण सम्मिश्र रूपों पर विचार किया जाता है जिन्हें प्रपत्र स्वीकार करते हैं। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र मैनिफ़ोल्ड पर, किसी भी सम्मिश्र k-रूप को विशिष्ट रूप से तथाकथित (P, Q)-रूप के योग में विघटित किया जा सकता है: इस प्रकार सामान्यतः, K वेजेस P होलोमोर्फिक का बाहरी व्युत्पन्न उनके सम्मिश्र संयुग्मों के Q विभेदक के साथ समन्वय करता रहता है। और (P, Q)-रूपों का समूह अध्ययन की आदिम वस्तु बन जाता है, इस तरह K-रूपों की तुलना में मैनिफोल्ड उत्तम ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, ऐसे स्थितियों में जहां हॉज सिद्धांत प्रयुक्त होता है, वहाँ पर और भी उत्तम संरचनाएं उपस्थितहोती हैं|

मान लीजिए कि M सम्मिश्र आयाम N का एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड होता है। और फिर स्थानीय समन्वय प्रणाली होती है इस प्रकार जिसमें N सम्मिश्र-मूल्य वाले फलन z¹, ..., zⁿ सम्मिलित होते हैं जैसे कि एक पैच से दूसरे पैच में समन्वय संक्रमण इन चर के होलोमोर्फिक फलन होते हैं। और सम्मिश्र रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, जो मूल रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण कार्य केवल सुचारू होने के अतिरिक्त होलोमोर्फिक भी होते हैं|

एकरूप

हम एकरूप के स्थितियों से प्रारम्भ करते हैं।और सबसे पहले सम्मिश्र निर्देशांकों को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विघटित करते हैं:और z^j = x^j + iy^j प्रत्येक j के लिए दे सकते हैं |

dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},

इस प्रकार कोई देखता है कि सम्मिश्र गुणांक वाले किसी भी विभेदक रूप को योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है|

\sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).

केवल युक्त सम्मिश्र विभेदक रूपों का स्थान होता है| $dz$ 's और Ω^0,1 केवल युक्त प्रपत्रों का स्थान $d{\bar {z}}$ 's हो। इस प्रकार कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा कोई यह दिखा सकता है कि रिक्त स्थान Ω^1.0और Ω^0,1होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के अनुसार स्थिर होता हैं। और दूसरे शब्दों में, यदि कि भि कि विकल्प चुनता है_i तो होलोमोर्फिक समन्वय प्रणाली का एक अलग विकल्प चुनता हैं, तो Ω^1,0 के अवयव टेंसरीली रूपांतरित होते हैं जैसे Ω^0,1 के अवयवों की तरह करते रहते है| इस प्रकार रिक्त स्थान Ω^0.1और Ω^1,0 सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर सम्मिश्र सदिश बंडल निर्धारित करते हैं ।

उच्च-डिग्री फॉर्म

सम्मिश्र विभेदक रूपों के वेज उत्पाद को वास्तविक रूपों की तरह ही परिभाषित किया जाता है। मान लीजिए कि p और q गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों ≤ n का युग्म होता है।

(p, q)-रूपों का स्थान Ω^p,q , Ω^1,0 से p अवयवों और Ω^0,1 से q अवयवों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया है।

\Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}

जहां Ω^1,0 के p कारक और Ω^0,1 के q कारक होते हैं। 1-रूपों के दो स्थानों की तरह हैं, इस प्रकार ये निर्देशांक के होलोमोर्फिक परिवर्तनों की अनुसार स्थिर होते हैं, और इसलिए यह सदिश बंडलों का निर्धारण करते हैं।

यदि E^k की कुल डिग्री k के सभी सम्मिश्र विभेदक रूपों का स्थान होता है, इस प्रकार फिर E^k का प्रत्येक अवयव को रिक्त स्थान Ω^p,q के बीच से अवयवों के रैखिक संयोजन के रूप में p + q = k के साथ एक अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है। और ये अधिक संक्षेप में, प्रत्यक्ष योग का अपघटन है|

E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.

क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के अनुसार स्थिर होता है, और यह सदिश बंडल के अपघटन को भी निर्धारित करता है। इसलिए

विशेष रूप से,यह प्रत्येक k और प्रत्येक p और q के लिए p + q = k के साथ, सदिश बंडलों का एक विहित प्रक्षेपण होता है|

\pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.

डॉल्बुल्ट ऑपरेटर्स

सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अनुभागों के मानचित्रण को परिभाषित करता है और इसके $d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}$ के जरिए

d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}

बाहरी व्युत्पन्न अपने आप में मैनिफोल्ड की अधिक कठोर और सम्मिश्र संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करता है।

d और पिछले उपधारा में परिभाषित अनुमानों का उपयोग करके, 'डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों' को परिभाषित करना संभव होता है:

\partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}

स्थानीय निर्देशांक में इन ऑपरेटरों का वर्णन करने के लिए, आइए

\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}

और जहां I और J बहु-सूचकांक|बहु-सूचकांक हैं। तब

\partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}

{\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.

निम्नलिखित गुणों को धारण करते हुए देखा जाता है:

d=\partial +{\bar {\partial }}

\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.

ये ऑपरेटर और उनके गुण डोल्बौल्ट कोहोमोलॉजी और हॉज सिद्धांत के कई तथ्यों का आधार बनाते रहते हैं। इस प्रकार सम्मिश्र मैनिफोल्ड के स्टार डोमेन या स्टार-आकार वाले डोमेन पर डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों के पास दोहरे होमोटॉपी ऑपरेटर होते हैं ^[1] और यह पोंकारे की लेम्मा के विभाजन के परिणामस्वरूप होता है $d$ .^[1]और यह सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर पॉइंकेयर लेम्मा की सामग्री होती है।

पोंकारे लेम्मा के लिए ${\bar {\partial }}$ और $\partial$ को आंशिक और स्थानीय में सुधार किया जा सकता है और इस प्रकार $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा, जो दर्शाता है कि यह प्रत्येक $d$ -त्रुटिहीन सम्मिश्र विभेदक रूप वास्तव में होता है और यह $\partial {\bar {\partial }}$ -बिल्कुल सही हैं। इस प्रकार कॉम्पैक्ट काहलर पर स्थानीय का वैश्विक रूप प्रकट होता है और यह $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा होल्ड हैं, जिसे डीडीबार लेम्मा के नाम से भी जाना जाता है | यह $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा. यह हॉज सिद्धांत का परिणाम होता है, और इस प्रकार ये यह बताता है कि सम्मिश्र विभेदक रूप होता हैं जो विश्व स्तर पर होता है $d$ -त्रुटिहीन (दूसरे शब्दों में होता है , जिसका डॉ कहलमज गर्भाशय में वर्ग शून्य होता है) और यह विश्व स्तर पर होता है और यह $\partial {\bar {\partial }}$ -एकदम सही होता हैं।

होलोमोर्फिक रूप

प्रत्येक p के लिए, 'होलोमोर्फिक p-रूप' बंडल Ω^p,0 का होलोमोर्फिक खंड होता है जिसे स्थानीय निर्देशांक में, होलोमोर्फिक p-रूप को रूप में लिखा जा सकता है|

\alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}

जहां $f_{I}$ होलोमोर्फिक फलन होता हैं। और इस प्रकार समान रूप से, और सम्मिश्र संयुग्म की स्वतंत्रता के कारण (p, 0)-रूप α होलोमोर्फिक होता है और यह केवल कॉची-रीमैन समीकरणों में होता है |

होलोमोर्फिक p- रूप का शीफ (गणित) को अधिकांशतः Ω^p,लिखा जाता है, चूंकि इससे कभी-कभी भ्रम की स्थिति भी उत्पन्न हो सकती है, इसलिए कई लेखक वैकल्पिक संकेतन को अपनाने की भी प्रवृत्ति रखते हैं।

यह भी देखें

डोल्बौल्ट कॉम्प्लेक्स
फ्रोलिचर वर्णक्रमीय अनुक्रम
पहले प्रकार का विभेदक

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Kycia, Radosław Antoni (2020). Section 4. "पोंकारे लेम्मा, एंटीएक्सएक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर". Results in Mathematics (in English). 75 (3): 122. doi:10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383. S2CID 199472766.

P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. pp. 23–25. ISBN 0-471-05059-8.
Wells, R. O. (1973). Differential analysis on complex manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
Voisin, Claire (2008). Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I. Cambridge University Press. ISBN 978-0521718011.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Kycia, Radosław Antoni (2020). Section 4. "पोंकारे लेम्मा, एंटीएक्सएक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर". Results in Mathematics (in English). 75 (3): 122. doi:10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383. S2CID 199472766.

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Differential form on a manifold which is permitted to have complex coefficients}}
-गणित में, '''जटिल विभेदक रूप''' मैनिफोल्ड (सामान्यतः जटिल मैनिफोल्ड) पर विभेदक रूप होता है जिसमें [[जटिल संख्या]] गुणांक रखने की अनुमति होती है।
+गणित में, '''सम्मिश्र विभेदक रूप''' मैनिफोल्ड (सामान्यतः सम्मिश्र मैनिफोल्ड) पर विभेदक रूप होता है जिसमें [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]] गुणांक रखने की अनुमति होती है।
-[[विभेदक ज्यामिति]] में जटिल रूपों का व्यापक अनुप्रयोग होता है और जटिल मैनिफोल्ड्स पर, वे मौलिक हैं और अधिकांश [[बीजगणितीय ज्यामिति]], काहलर मीट्रिक काहलर ज्यामिति और [[हॉज सिद्धांत]] के आधार के रूप में कार्य करते रहते हैं।इस प्रकार गैर-जटिल मैनिफोल्ड्स पर, वे [[लगभग जटिल संरचना]]ओं, [[स्पिनर|स्पिनरों]] के सिद्धांत और सीआर [[सीआर संरचना|संरचना]]ओं के अध्ययन में भी भूमिका निभाते रहते हैं।
+[[विभेदक ज्यामिति]] में सम्मिश्र रूपों का व्यापक अनुप्रयोग होता है और सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स पर, वे मौलिक हैं और अधिकांश [[बीजगणितीय ज्यामिति]], काहलर मीट्रिक काहलर ज्यामिति और [[हॉज सिद्धांत]] के आधार के रूप में कार्य करते रहते हैं।इस प्रकार गैर-सम्मिश्र मैनिफोल्ड्स पर, वे [[लगभग जटिल संरचना|लगभग सम्मिश्र संरचना]]ओं, [[स्पिनर|स्पिनरों]] के सिद्धांत और सीआर [[सीआर संरचना|संरचना]]ओं के अध्ययन में भी भूमिका निभाते रहते हैं।
-सामान्यतः, कुछ वांछनीय अपघटन के कारण जटिल रूपों पर विचार किया जाता है जिन्हें प्रपत्र स्वीकार करते हैं। उदाहरण के लिए, जटिल मैनिफ़ोल्ड पर, किसी भी जटिल ''k''-रूप को विशिष्ट रूप से तथाकथित (''P, Q'')-रूप के योग में विघटित किया जा सकता है: इस प्रकार सामान्यतः, ''K'' वेजेस ''P'' होलोमोर्फिक का [[बाहरी व्युत्पन्न]] उनके जटिल संयुग्मों के ''Q'' विभेदक के साथ समन्वय करता रहता है। और (''P, Q'')-रूपों का समूह अध्ययन की आदिम वस्तु बन जाता है, इस तरह ''K''-रूपों की तुलना में [[कई गुना]] उत्तम ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, ऐसे स्थितियों में जहां हॉज सिद्धांत प्रयुक्त होता है, वहाँ पर और भी उत्तम संरचनाएं उपस्थितहोती हैं|
+सामान्यतः, कुछ वांछनीय अपघटन के कारण सम्मिश्र रूपों पर विचार किया जाता है जिन्हें प्रपत्र स्वीकार करते हैं। उदाहरण के लिए, सम्मिश्र मैनिफ़ोल्ड पर, किसी भी सम्मिश्र ''k''-रूप को विशिष्ट रूप से तथाकथित (''P, Q'')-रूप के योग में विघटित किया जा सकता है: इस प्रकार सामान्यतः, ''K'' वेजेस ''P'' होलोमोर्फिक का [[बाहरी व्युत्पन्न]] उनके सम्मिश्र संयुग्मों के ''Q'' विभेदक के साथ समन्वय करता रहता है। और (''P, Q'')-रूपों का समूह अध्ययन की आदिम वस्तु बन जाता है, इस तरह ''K''-रूपों की तुलना में [[कई गुना|मैनिफोल्ड]] उत्तम ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, ऐसे स्थितियों में जहां हॉज सिद्धांत प्रयुक्त होता है, वहाँ पर और भी उत्तम संरचनाएं उपस्थितहोती हैं|
-मान लीजिए कि ''M'' जटिल आयाम ''N'' का एक जटिल मैनिफोल्ड होता है। और फिर स्थानीय समन्वय प्रणाली होती है इस प्रकार जिसमें ''N'' जटिल-मूल्य वाले फलन ''z''<sup>1</sup>, ..., z<sup>''n''</sup> सम्मिलित  होते हैं जैसे कि एक पैच से दूसरे पैच में समन्वय संक्रमण इन चर के होलोमोर्फिक फलन होते हैं। और जटिल रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, जो मूल रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण कार्य केवल सुचारू होने के अतिरिक्त होलोमोर्फिक भी होते हैं|
+मान लीजिए कि ''M'' सम्मिश्र आयाम ''N'' का एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड होता है। और फिर स्थानीय समन्वय प्रणाली होती है इस प्रकार जिसमें ''N'' सम्मिश्र-मूल्य वाले फलन ''z''<sup>1</sup>, ..., z<sup>''n''</sup> सम्मिलित होते हैं जैसे कि एक पैच से दूसरे पैच में समन्वय संक्रमण इन चर के होलोमोर्फिक फलन होते हैं। और सम्मिश्र रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, जो मूल रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण कार्य केवल सुचारू होने के अतिरिक्त होलोमोर्फिक भी होते हैं|
 === एकरूप ===
-हम एकरूप के स्थितियों से प्रारम्भ करते हैं।और सबसे पहले जटिल निर्देशांकों को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विघटित करते हैं:और {{nowrap|1=''z''<sup>''j''</sup> = ''x''<sup>''j''</sup> + ''iy''<sup>''j''</sup>}} प्रत्येक ''j'' के लिए दे सकते हैं |
+हम एकरूप के स्थितियों से प्रारम्भ करते हैं।और सबसे पहले सम्मिश्र निर्देशांकों को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विघटित करते हैं:और {{nowrap|1=''z''<sup>''j''</sup> = ''x''<sup>''j''</sup> + ''iy''<sup>''j''</sup>}} प्रत्येक ''j'' के लिए दे सकते हैं |
 :<math>dz^j=dx^j+idy^j,\quad d\bar{z}^j=dx^j-idy^j,</math>
-इस प्रकार कोई देखता है कि जटिल गुणांक वाले किसी भी विभेदक रूप को योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है|
+इस प्रकार कोई देखता है कि सम्मिश्र गुणांक वाले किसी भी विभेदक रूप को योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है|
 :<math>\sum_{j=1}^n\left(f_jdz^j+g_jd\bar{z}^j\right).</math>
-केवल युक्त जटिल विभेदक रूपों का स्थान होता है| <math>dz</math>'s और Ω<sup>0,1</sup> केवल युक्त प्रपत्रों का स्थान <math>d\bar{z}</math>'s हो। इस प्रकार कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा कोई यह दिखा सकता है कि रिक्त स्थान Ω<sup>1.0</sup>और Ω<sup>0,1</sup>होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के अनुसार  स्थिर होता हैं। और दूसरे शब्दों में, यदि कि भि कि विकल्प चुनता है<sub>i</sub> तो होलोमोर्फिक समन्वय प्रणाली का एक अलग विकल्प चुनता हैं, तो Ω<sup>1,0</sup> के तत्व टेंसरीली रूपांतरित होते हैं जैसे Ω<sup>0,1</sup> के तत्वों की तरह करते रहते है| इस प्रकार रिक्त स्थान Ω<sup>0.1</sup>और Ω<sup>1,0</sup> जटिल मैनिफोल्ड पर जटिल [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] निर्धारित करते हैं ।
+केवल युक्त सम्मिश्र विभेदक रूपों का स्थान होता है| <math>dz</math>'s और Ω<sup>0,1</sup> केवल युक्त प्रपत्रों का स्थान <math>d\bar{z}</math>'s हो। इस प्रकार कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा कोई यह दिखा सकता है कि रिक्त स्थान Ω<sup>1.0</sup>और Ω<sup>0,1</sup>होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के अनुसार स्थिर होता हैं। और दूसरे शब्दों में, यदि कि भि कि विकल्प चुनता है<sub>i</sub> तो होलोमोर्फिक समन्वय प्रणाली का एक अलग विकल्प चुनता हैं, तो Ω<sup>1,0</sup> के अवयव टेंसरीली रूपांतरित होते हैं जैसे Ω<sup>0,1</sup> के अवयवों की तरह करते रहते है| इस प्रकार रिक्त स्थान Ω<sup>0.1</sup>और Ω<sup>1,0</sup> सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर सम्मिश्र [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] निर्धारित करते हैं ।
 === उच्च-डिग्री फॉर्म ===
-जटिल विभेदक रूपों के वेज उत्पाद को वास्तविक रूपों की तरह ही परिभाषित किया जाता है। मान लीजिए कि ''p'' और ''q'' गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों ≤ n का युग्म होता है।
+सम्मिश्र विभेदक रूपों के वेज उत्पाद को वास्तविक रूपों की तरह ही परिभाषित किया जाता है। मान लीजिए कि ''p'' और ''q'' गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों ≤ n का युग्म होता है।
-(''p, q'')-रूपों का स्थान ''Ω<sup>p,q</sup> , Ω<sup>1,0</sup>'' से ''p'' तत्वों और ''Ω<sup>0,1</sup>'' से ''q'' तत्वों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया है।
+(''p, q'')-रूपों का स्थान ''Ω<sup>p,q</sup> , Ω<sup>1,0</sup>'' से ''p'' अवयवों और ''Ω<sup>0,1</sup>'' से ''q'' अवयवों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया है।
 :<math>\Omega^{p,q}=\underbrace{\Omega^{1,0}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{1,0}}_{p \text{ times}}\wedge\underbrace{\Omega^{0,1}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{0,1}}_{q \text{ times}}</math>
-जहां ''Ω<sup>1,0</sup>'' के ''p'' कारक और ''Ω<sup>0,1</sup>'' के ''q'' कारक होते हैं। 1-रूपों के दो स्थानों की तरह हैं, इस प्रकार ये निर्देशांक के होलोमोर्फिक परिवर्तनों की अनुसार  स्थिर होते हैं, और इसलिए यह सदिश बंडलों का निर्धारण करते हैं।
+जहां ''Ω<sup>1,0</sup>'' के ''p'' कारक और ''Ω<sup>0,1</sup>'' के ''q'' कारक होते हैं। 1-रूपों के दो स्थानों की तरह हैं, इस प्रकार ये निर्देशांक के होलोमोर्फिक परिवर्तनों की अनुसार स्थिर होते हैं, और इसलिए यह सदिश बंडलों का निर्धारण करते हैं।
-यदि ''E<sup>k</sup>'' की कुल डिग्री ''k'' के सभी जटिल विभेदक रूपों का स्थान होता है, इस प्रकार फिर ''E<sup>k</sup>'' का प्रत्येक तत्व को रिक्त स्थान ''Ω<sup>p,q</sup>'' के बीच से तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में ''<u>p + q = k</u>'' के साथ एक अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है। और ये अधिक संक्षेप में, प्रत्यक्ष योग का अपघटन है|
+यदि ''E<sup>k</sup>'' की कुल डिग्री ''k'' के सभी सम्मिश्र विभेदक रूपों का स्थान होता है, इस प्रकार फिर ''E<sup>k</sup>'' का प्रत्येक अवयव को रिक्त स्थान ''Ω<sup>p,q</sup>'' के बीच से अवयवों के रैखिक संयोजन के रूप में ''<u>p + q = k</u>'' के साथ एक अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है। और ये अधिक संक्षेप में, प्रत्यक्ष योग का अपघटन है|
 :<math>E^k=\Omega^{k,0}\oplus\Omega^{k-1,1}\oplus\dotsb\oplus\Omega^{1,k-1}\oplus\Omega^{0,k}=\bigoplus_{p+q=k}\Omega^{p,q}.</math>
-क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के अनुसार  स्थिर होता है, और यह सदिश बंडल के अपघटन को भी निर्धारित करता है। इसलिए
+क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के अनुसार स्थिर होता है, और यह सदिश बंडल के अपघटन को भी निर्धारित करता है। इसलिए
 विशेष रूप से,यह प्रत्येक ''k'' और प्रत्येक ''p'' और ''q'' के लिए ''p + q = k'' के साथ, सदिश बंडलों का एक विहित प्रक्षेपण होता है|
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 सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अनुभागों के मानचित्रण को परिभाषित करता है और इसके <math> d: \Omega^{r} \to \Omega^{r+1}</math> के जरिए
 :<math> d(\Omega^{p,q}) \subseteq \bigoplus_{r + s = p + q + 1} \Omega^{r,s}</math>
-बाहरी व्युत्पन्न अपने आप में मैनिफोल्ड की अधिक कठोर और जटिल संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करता है।
+बाहरी व्युत्पन्न अपने आप में मैनिफोल्ड की अधिक कठोर और सम्मिश्र संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करता है।
 ''d'' और पिछले उपधारा में परिभाषित अनुमानों का उपयोग करके, 'डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों' को परिभाषित करना संभव होता है:
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 :<math>d=\partial+\bar{\partial}</math>
 :<math>\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0.</math>
-ये ऑपरेटर और उनके गुण [[डोल्बौल्ट कोहोमोलॉजी]] और हॉज सिद्धांत के कई पहलुओं का आधार बनाते रहते हैं। इस प्रकार जटिल मैनिफोल्ड के [[स्टार डोमेन]]| स्टार-आकार वाले डोमेन पर डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों के पास दोहरे होमोटॉपी ऑपरेटर होते हैं <ref name=":0">{{Cite journal|last=Kycia|first=Radosław Antoni|date=2020|others=Section 4|title=पोंकारे लेम्मा, एंटीएक्सएक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर|journal=Results in Mathematics|language=en|volume=75|issue=3|pages=122|doi=10.1007/s00025-020-01247-8|s2cid=199472766|issn=1422-6383|doi-access=free}}</ref> और यह [[पोंकारे की लेम्मा]] के विभाजन के परिणामस्वरूप होता है <math>d</math>.<ref name=":0" />और यह जटिल मैनिफोल्ड पर पॉइंकेयर लेम्मा की सामग्री होती है।
+ये ऑपरेटर और उनके गुण [[डोल्बौल्ट कोहोमोलॉजी]] और हॉज सिद्धांत के कई तथ्यों का आधार बनाते रहते हैं। इस प्रकार सम्मिश्र मैनिफोल्ड के [[स्टार डोमेन]] या स्टार-आकार वाले डोमेन पर डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों के पास दोहरे होमोटॉपी ऑपरेटर होते हैं <ref name=":0">{{Cite journal|last=Kycia|first=Radosław Antoni|date=2020|others=Section 4|title=पोंकारे लेम्मा, एंटीएक्सएक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर|journal=Results in Mathematics|language=en|volume=75|issue=3|pages=122|doi=10.1007/s00025-020-01247-8|s2cid=199472766|issn=1422-6383|doi-access=free}}</ref> और यह [[पोंकारे की लेम्मा]] के विभाजन के परिणामस्वरूप होता है <math>d</math>.<ref name=":0" />और यह सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर पॉइंकेयर लेम्मा की सामग्री होती है।
-पोंकारे लेम्मा के लिए <math>\bar \partial</math> और <math>\partial</math> को आंशिक और स्थानीय में सुधार किया जा सकता है और इस प्रकार <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा, जो दर्शाता है कि यह प्रत्येक <math>d</math>-त्रुटिहीन जटिल विभेदक रूप वास्तव में होता है और यह <math>\partial \bar \partial</math>-बिल्कुल सही हैं। इस प्रकार कॉम्पैक्ट काहलर पर स्थानीय का वैश्विक रूप प्रकट होता है और यह <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा होल्ड हैं, जिसे डीडीबार लेम्मा के नाम से भी जाना जाता है| यह <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा. यह हॉज सिद्धांत का परिणाम होता है, और इस प्रकार ये यह बताता है कि जटिल विभेदक रूप होता हैं जो विश्व स्तर पर होता है <math>d</math>-त्रुटिहीन (दूसरे शब्दों में होता है , जिसका [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] में वर्ग शून्य होता है) और यह विश्व स्तर पर होता है और यह <math>\partial \bar \partial</math>-एकदम सही होता हैं।
+पोंकारे लेम्मा के लिए <math>\bar \partial</math> और <math>\partial</math> को आंशिक और स्थानीय में सुधार किया जा सकता है और इस प्रकार <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा, जो दर्शाता है कि यह प्रत्येक <math>d</math>-त्रुटिहीन सम्मिश्र विभेदक रूप वास्तव में होता है और यह <math>\partial \bar \partial</math>-बिल्कुल सही हैं। इस प्रकार कॉम्पैक्ट काहलर पर स्थानीय का वैश्विक रूप प्रकट होता है और यह <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा होल्ड हैं, जिसे डीडीबार लेम्मा के नाम से भी जाना जाता है | यह <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा. यह हॉज सिद्धांत का परिणाम होता है, और इस प्रकार ये यह बताता है कि सम्मिश्र विभेदक रूप होता हैं जो विश्व स्तर पर होता है <math>d</math>-त्रुटिहीन (दूसरे शब्दों में होता है , जिसका [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] में वर्ग शून्य होता है) और यह विश्व स्तर पर होता है और यह <math>\partial \bar \partial</math>-एकदम सही होता हैं।
 ===होलोमोर्फिक रूप===
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 :<math>\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,dz^I</math>
-जहां <math> f_I </math> होलोमोर्फिक फलन होता हैं। और इस प्रकार समान रूप से, और जटिल संयुग्म की स्वतंत्रता के कारण (p, 0)-रूप α होलोमोर्फिक होता है और यह केवल कॉची-रीमैन समीकरणों में होता है |
+जहां <math> f_I </math> होलोमोर्फिक फलन होता हैं। और इस प्रकार समान रूप से, और सम्मिश्र संयुग्म की स्वतंत्रता के कारण (p, 0)-रूप α होलोमोर्फिक होता है और यह केवल कॉची-रीमैन समीकरणों में होता है |
-होलोमोर्फिक ''p''- रूप का शीफ (गणित) को अधिकांशतः  Ω<sup>p</sup>,लिखा जाता है, चूंकि इससे कभी-कभी भ्रम की स्थिति भी उत्पन्न हो सकती है, इसलिए कई लेखक वैकल्पिक संकेतन को अपनाने की भी प्रवृत्ति रखते हैं।
+होलोमोर्फिक ''p''- रूप का शीफ (गणित) को अधिकांशतः Ω<sup>p</sup>,लिखा जाता है, चूंकि इससे कभी-कभी भ्रम की स्थिति भी उत्पन्न हो सकती है, इसलिए कई लेखक वैकल्पिक संकेतन को अपनाने की भी प्रवृत्ति रखते हैं।
 == यह भी देखें ==
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