वर्णक्रमीय प्रमेय: Difference between revisions

Revision as of 12:07, 27 April 2023

गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण, एक वर्णक्रमीय प्रमेय एक परिणाम है जब एक रैखिक संचालिका या आव्यूह (गणित) विकर्ण आव्यूह हो सकता है (अर्थात, किसी आधार पर एक विकर्ण आव्यूह के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है)। यह अत्यंत उपयोगी है क्योंकि एक विकर्ण आव्यूह को साम्मिलित करने वाली संगणनाओं को अधिकांशतः संबंधित विकर्ण आव्यूह को साम्मिलित करते हुए बहुत सरल संगणनाओं में घटाया जा सकता है। परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर संचालिका के लिए विकर्णकरण की अवधारणा अपेक्षाकृत सीधी है, किंतु अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर संचालिका के लिए कुछ संशोधन की आवश्यकता है। सामान्यतः , स्पेक्ट्रल प्रमेय रैखिक संचालिका के एक वर्ग की पहचान करता है जिसे गुणन संचालिका द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, जो उतना ही सरल है जितना कोई खोजने की उम्मीद कर सकता है। अधिक अमूर्त भाषा में, वर्णक्रमीय प्रमेय क्रमविनिमेय सी * - बीजगणित के बारे में एक कथन है। ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य के लिए स्पेक्ट्रल सिद्धांत भी देखें।

संचालिका के उदाहरण जिनके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय प्रयुक्त होता है वे स्व-संबद्ध संचालिका या हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर अधिक सामान्यतः सामान्य संचालिका होते हैं।

वर्णक्रमीय प्रमेय एक विहित रूप अपघटन भी प्रदान करता है, जिसे एक आव्यूह का आइजन अपघटन कहा जाता है, अंतर्निहित सदिश स्थान जिस पर संचालिका कार्य करता है।

ऑगस्टिन-लुई कॉची ने सममित आव्यूह के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय को सिद्ध किया, अर्थात, प्रत्येक वास्तविक, सममित आव्यूह विकर्णीय है। इसके अतिरिक्त , कॉची निर्धारकों के बारे में व्यवस्थित होने वाले पहले व्यक्ति थे।^[1]^[2] जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा सामान्यीकृत वर्णक्रमीय प्रमेय आज संभवतः संचालिका सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण परिणाम है।

यह लेख मुख्य रूप से सबसे सरल प्रकार के वर्णक्रमीय प्रमेय पर केंद्रित है, जो हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर स्वयं-आसन्न संचालिका के लिए है। चूँकि , जैसा कि ऊपर बताया गया है, स्पेक्ट्रल प्रमेय भी हिल्बर्ट स्थान पर सामान्य संचालिका के लिए है।

परिमित-आयामी मामला

हर्मिटियन मानचित्र और हर्मिटियन आव्यूह

हम एक हर्मिटियन आव्यूह पर विचार करके शुरू करते हैं $\mathbb {C} ^{n}$ (किंतु निम्नलिखित चर्चा सममित आव्यूह के अधिक प्रतिबंधात्मक मामले के अनुकूल होगी $\mathbb {R} ^{n}$ ). हम एक हर्मिटियन संचालिका पर विचार करते हैं $A$ एक परिमित-आयामी जटिल संख्या आंतरिक उत्पाद स्थान पर $V$ एक निश्चित बिलिनियर फॉर्म सेस्क्विलिनियर रूप आंतरिक उत्पाद के साथ संपन्न $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ . हर्मिटियन स्थिति चालू है $A$ मतलब सभी के लिए $x, y \in V$ ,

\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle .

समतुल्य शर्त यह है $A * = A$ , कहाँ $A *$ का हर्मिटियन संयुग्म है $A$ . उस मामले में $A$ की पहचान हर्मिटियन आव्यूह से की जाती है, जिसका आव्यूह $A *$ को इसके संयुग्मी संक्रमण से पहचाना जा सकता है। (अगर $A$ एक वास्तविक आव्यूह है, तो यह इसके समतुल्य है $A T = A$ , वह है, $A$ एक सममित आव्यूह है।)

इस स्थिति का तात्पर्य है कि एक हर्मिटियन मानचित्र के सभी eigenvalues वास्तविक हैं: इसे उस स्थिति में प्रयुक्त करने के लिए पर्याप्त है जब $x = y$ एक ईजेनवेक्टर है। (याद रखें कि एक रेखीय मानचित्र का एक आइजन्वेक्टर $A$ एक (गैर-शून्य) वेक्टर है $x$ ऐसा है कि $Ax = λx$ कुछ अदिश के लिए $λ$ . मूल्य $λ$ संगत eigenvalue है। इसके अतिरिक्त , eigenvalues विशेषता बहुपद की जड़ें हैं।)

प्रमेय। अगर $A$ हर्मिटियन चालू है $V$ , तो वहाँ का एक अलौकिक आधार मौजूद है $V$ के eigenvectors से मिलकर $A$ . प्रत्येक eigenvalue वास्तविक है।

हम उस मामले के लिए सबूत का एक स्केच प्रदान करते हैं जहां स्केलर्स का अंतर्निहित क्षेत्र सम्मिश्र संख्या है।

बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा, की विशेषता बहुपद पर प्रयुक्त $A$ , कम से कम एक eigenvalue है $λ 1$ और ईजेनवेक्टर $e 1$ . तब से

\lambda _{1}\langle e_{1},e_{1}\rangle =\langle A(e_{1}),e_{1}\rangle =\langle e_{1},A(e_{1})\rangle ={\bar {\lambda }}_{1}\langle e_{1},e_{1}\rangle ,

हम पाते हैं

λ 1

यह सचमुच का है। अब अंतरिक्ष पर विचार करें

K = span{e 1} ⊥

, का ऑर्थोगोनल पूरक

e 1

. हर्मिटिसिटी द्वारा,

K

की एक अपरिवर्तनीय उपसमष्टि है

A

. इसी तर्क को प्रयुक्त करना

K

पता चलता है कि

A

में एक आइजनवेक्टर है

e 2 \in K

. परिमित प्रेरण तब प्रमाण को समाप्त करता है।

वर्णक्रमीय प्रमेय परिमित-आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थानों पर सममित मानचित्रों के लिए भी है, किंतु एक ईजेनवेक्टर का अस्तित्व बीजगणित के मौलिक प्रमेय से तुरंत अनुसरण नहीं करता है। इसे सिद्ध करने के लिए विचार करें $A$ एक हर्मिटियन आव्यूह के रूप में और इस तथ्य का उपयोग करें कि एक हर्मिटियन आव्यूह के सभी eigenvalues वास्तविक हैं।

का आव्यूह प्रतिनिधित्व $A$ eigenvectors के आधार में विकर्ण है, और निर्माण के द्वारा प्रमाण पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल eigenvectors का आधार देता है; यूनिट वैक्टर होने के लिए उन्हें चुनकर ईजेनवेक्टरों का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार प्राप्त होता है। $A$ को जोड़ीदार ऑर्थोगोनल अनुमानों के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे इसका वर्णक्रमीय अपघटन कहा जाता है। होने देना

V_{\lambda }=\{v\in V:Av=\lambda v\}

एक आइगेनवैल्यू के अनुरूप आइगेनस्थान हो $λ$ . ध्यान दें कि परिभाषा विशिष्ट eigenvectors के किसी भी विकल्प पर निर्भर नहीं करती है। $V$ रिक्त स्थान का ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग है $V λ$ जहां सूचकांक eigenvalues से अधिक है।

दूसरे शब्दों में, अगर $P λ$ ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन#ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन को दर्शाता है $V λ$ , और $λ 1, ..., λ m$ के आइगेनवैल्यू हैं $A$ , तो वर्णक्रमीय अपघटन के रूप में लिखा जा सकता है

A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}.

यदि A का वर्णक्रमीय अपघटन है $A=\lambda _{1}P_{1}+\cdots +\lambda _{m}P_{m}$ , तब $A^{2}=(\lambda _{1})^{2}P_{1}+\cdots +(\lambda _{m})^{2}P_{m}$ और $\mu A=\mu \lambda _{1}P_{1}+\cdots +\mu \lambda _{m}P_{m}$ किसी भी अदिश के लिए $\mu .$ यह किसी भी बहुपद के लिए अनुसरण करता है $f$ किसी के पास

f(A)=f(\lambda _{1})P_{1}+\cdots +f(\lambda _{m})P_{m}.

वर्णक्रमीय अपघटन शूर अपघटन और एकवचन मूल्य अपघटन दोनों का एक विशेष मामला है।

सामान्य आव्यूह

वर्णक्रमीय प्रमेय मैट्रिसेस के अधिक सामान्य वर्ग तक फैला हुआ है। होने देना $A$ परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक संचालिका बनें। $A$ को सामान्य आव्यूह कहा जाता है यदि $A * A = AA *$ . कोई यह दिखा सकता है $A$ सामान्य है अगर और केवल अगर यह एकात्मक रूप से विकर्ण है। प्रमाण: शूर अपघटन द्वारा, हम किसी भी आव्यूह को लिख सकते हैं $A = UTU *$ , कहाँ $U$ एकात्मक है और $T$ ऊपरी-त्रिकोणीय है। अगर $A$ सामान्य है, तो कोई देखता है $TT * = T * T$ . इसलिए, $T$ विकर्ण होना चाहिए क्योंकि एक सामान्य ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह विकर्ण होता है (सामान्य आव्यूह #परिणाम देखें)। उलटा स्पष्ट है।

दूसरे शब्दों में, $A$ सामान्य है अगर और केवल अगर एक एकात्मक आव्यूह मौजूद है $U$ ऐसा है कि

A=UDU^{*},

कहाँ $D$ एक विकर्ण आव्यूह है। फिर, के विकर्ण की प्रविष्टियाँ $D$ के आइगेनवैल्यू हैं $A$ . के स्तंभ वैक्टर $U$ के ईजेनवेक्टर हैं $A$ और वे अलौकिक हैं। हर्मिटियन मामले के विपरीत, की प्रविष्टियाँ $D$ वास्तविक होने की आवश्यकता नहीं है।

कॉम्पैक्ट स्व-आसन्न संचालिका

हिल्बर्ट रिक्त स्थान की अधिक सामान्य सेटिंग में, जिसमें एक अनंत आयाम हो सकता है, कॉम्पैक्ट संचालिका स्व-आसन्न संचालिका ों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय का कथन वस्तुतः परिमित-आयामी मामले के समान है।

प्रमेय। कल्पना करना $A$ हिल्बर्ट स्थान (वास्तविक या जटिल) पर एक कॉम्पैक्ट सेल्फ-एडजॉइंट संचालिका है $V$ . फिर इसका एक अलौकिक आधार है $V$ के eigenvectors से मिलकर $A$ . प्रत्येक eigenvalue वास्तविक है।

हर्मिटियन मेट्रिसेस के लिए, मुख्य बिंदु कम से कम एक नॉनजीरो ईजेनवेक्टर के अस्तित्व को साबित करना है। ईजेनवेल्यूज के अस्तित्व को दिखाने के लिए निर्धारकों पर भरोसा नहीं किया जा सकता है, किंतु आइगेनवैल्यूज के वैरिएबल कैरेक्टराइजेशन के अनुरूप अधिकतमकरण तर्क का उपयोग किया जा सकता है।

यदि संहतता धारणा को हटा दिया जाता है, तो यह सच नहीं है कि प्रत्येक स्व-संलग्न संचालिका के ईजेनवेक्टर होते हैं।

परिबद्ध स्व-आसन्न संकारक

ईजेनवेक्टरों की संभावित अनुपस्थिति

हम जिस अगले सामान्यीकरण पर विचार करते हैं, वह हिल्बर्ट स्थान पर परिबद्ध संचालिका सेल्फ-एडजॉइंट संचालिका ्स का है। ऐसे संचालिका ों के पास कोई eigenvalues नहीं हो सकता है: उदाहरण के लिए चलो $A$ गुणन का संचालक हो $t$ पर $L^{2}([0,1])$ , वह है,^[3]

[A\varphi ](t)=t\varphi (t).\;

इस संचालिका के पास कोई आइजनवेक्टर नहीं है $L^{2}([0,1])$ , चूँकि इसमें बड़ी जगह में ईजेनवेक्टर हैं। अर्थात् वितरण (गणित) $\varphi (t)=\delta (t-t_{0})$ , कहाँ $\delta$ डिराक डेल्टा समारोह है, एक उपयुक्त अर्थ में लगाए जाने पर एक ईजेनवेक्टर है। डिराक डेल्टा फ़ंक्शन चूँकि शास्त्रीय अर्थों में एक फ़ंक्शन नहीं है और हिल्बर्ट स्थान में नहीं है $L 2 [0, 1]$ या कोई अन्य बनच स्थान। इस प्रकार, डेल्टा-फ़ंक्शन सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर हैं $A$ किंतु सामान्य अर्थों में ईजेनवेक्टर नहीं।

स्पेक्ट्रल उप-स्थान और प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय

(सच्चे) ईजेनवेक्टरों की अनुपस्थिति में, लगभग ईजेनवेक्टरों से युक्त उप-स्थानों की तलाश की जा सकती है। उपरोक्त उदाहरण में, उदाहरण के लिए, कहाँ $[A\varphi ](t)=t\varphi (t),\;$ हम छोटे अंतराल पर समर्थित कार्यों के उप-स्थान पर विचार कर सकते हैं $[a,a+\varepsilon ]$ अंदर $[0,1]$ . के अंतर्गत यह स्थान अपरिवर्तनीय है $A$ और किसी के लिए $\varphi$ इस उपक्षेत्र में, $A\varphi$ के बहुत निकट है $a\varphi$ . वर्णक्रमीय प्रमेय के इस दृष्टिकोण में, यदि $A$ एक बंधा हुआ स्वयं-आसन्न संकारक है, तो कोई ऐसे वर्णक्रमीय उप-स्थानों के बड़े परिवारों की तलाश करता है।^[4] प्रत्येक उप-स्थान, बदले में, संबंधित प्रक्षेपण संचालिका द्वारा एन्कोड किया गया है, और सभी उप-स्थानों का संग्रह तब प्रक्षेपण-मूल्यवान माप द्वारा दर्शाया गया है।

वर्णक्रमीय प्रमेय का एक सूत्रीकरण संचालिका को व्यक्त करता है $A$ संचालिका के ईजेनवेक्टर#अनंत आयामों पर समन्वय समारोह के अभिन्न अंग के रूप में $\sigma (A)$ प्रक्षेपण-मूल्यवान माप के संबंध में।^[5]

A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,dE_{\lambda }.

जब प्रश्न में स्व-आसन्न संचालिका कॉम्पैक्ट संचालिका होता है, तो स्पेक्ट्रल प्रमेय का यह संस्करण उपरोक्त परिमित-आयामी स्पेक्ट्रल प्रमेय के समान कुछ कम हो जाता है, सिवाय इसके कि संचालिका को अनुमानों के परिमित या अनगिनत अनंत रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात माप में केवल परमाणु होते हैं।

गुणन संचालिका संस्करण

वर्णक्रमीय प्रमेय का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण कहता है कि प्रत्येक परिबद्ध स्व-संयोजक संकारक गुणन संकारक के समतुल्य है। इस परिणाम का महत्व यह है कि गुणन संचालक कई तरह से समझने में आसान हैं।

Theorem.^[6] — Let $A$ be a bounded self-adjoint operator on a Hilbert space $H$ . Then there is a measure space $(X, Σ, μ)$ and a real-valued essentially bounded measurable function $f$ on $X$ and a unitary operator $U : H \to L 2 (X, μ)$ such that

U^{*}TU=A,

where

T

is the multiplication operator:

[T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x),

and

\|T\|=\|f\|_{\infty }

.

स्पेक्ट्रल प्रमेय संचालिका सिद्धांत नामक कार्यात्मक विश्लेषण के विशाल शोध क्षेत्र की शुरुआत है; स्पेक्ट्रल माप # स्पेक्ट्रल माप भी देखें।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर बंधे सामान्य संचालिका ों के लिए एक समान वर्णक्रमीय प्रमेय भी है। निष्कर्ष में केवल इतना ही अंतर है कि अब $f$ जटिल-मूल्यवान हो सकता है।

प्रत्यक्ष अभिन्न

डायरेक्ट इंटीग्रल के संदर्भ में वर्णक्रमीय प्रमेय का एक सूत्रीकरण भी है। यह गुणन-संचालक सूत्रीकरण के समान है, किंतु अधिक विहित है।

होने देना $A$ एक बाउंडेड सेल्फ-एडजॉइंट संचालिका बनें और दें $\sigma (A)$ का स्पेक्ट्रम हो $A$ . वर्णक्रमीय प्रमेय का प्रत्यक्ष-अभिन्न सूत्रीकरण दो मात्राओं को जोड़ता है $A$ . सबसे पहले, एक उपाय $\mu$ पर $\sigma (A)$ , और दूसरा, हिल्बर्ट स्पेसेस का एक परिवार $\{H_{\lambda }\},\,\,\lambda \in \sigma (A).$ फिर हम डायरेक्ट इंटीग्रल हिल्बर्ट स्थान बनाते हैं

\int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda ).

इस स्थान के तत्व कार्य (या खंड) हैं

s(\lambda ),\,\,\lambda \in \sigma (A),

ऐसा है कि

s(\lambda )\in H_{\lambda }

सभी के लिए

\lambda

. वर्णक्रमीय प्रमेय का प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:^[7]

Theorem — If $A$ is a bounded self-adjoint operator, then $A$ is unitarily equivalent to the "multiplication by $\lambda$ " operator on

\int _{\mathbf {R} }^{\oplus }H_{\lambda }\,d\mu (\lambda )

for some measure

\mu

and some family

\{H_{\lambda }\}

of Hilbert spaces. The measure

\mu

is uniquely determined by

A

up to measure-theoretic equivalence; that is, any two measure associated to the same

A

have the same sets of measure zero. The dimensions of the Hilbert spaces

H_{\lambda }

are uniquely determined by

A

up to a set of

\mu

-measure zero.

रिक्त स्थान $H_{\lambda }$ के लिए eigenspaces जैसी किसी चीज़ के बारे में सोचा जा सकता है $A$ . हालाँकि, ध्यान दें कि जब तक कि एक-तत्व सेट न हो ${\lambda }$ सकारात्मक उपाय है, अंतरिक्ष $H_{\lambda }$ वास्तव में प्रत्यक्ष समाकलन की उपसमष्टि नहीं है। इस प्रकार $H_{\lambda }$ को सामान्यीकृत ईजेनस्थान के रूप में सोचा जाना चाहिए-अर्थात, के तत्व $H_{\lambda }$ ईजेनवेक्टर हैं जो वास्तव में हिल्बर्ट स्थान से संबंधित नहीं हैं।

यद्यपि वर्णक्रमीय प्रमेय के गुणन-संचालक और प्रत्यक्ष अभिन्न सूत्रीकरण दोनों एक स्व-संयोजक संकारक को गुणन संकारक के समान रूप से व्यक्त करते हैं, प्रत्यक्ष अभिन्न दृष्टिकोण अधिक विहित है। सबसे पहले, वह सेट जिस पर डायरेक्ट इंटीग्रल होता है (संचालिका का स्पेक्ट्रम) विहित है। दूसरा, जिस फ़ंक्शन से हम गुणा कर रहे हैं वह प्रत्यक्ष-अभिन्न दृष्टिकोण में कैननिकल है: बस फ़ंक्शन $\lambda \mapsto \lambda$ .

चक्रीय वैक्टर और सरल स्पेक्ट्रम

एक सदिश $\varphi$ के लिए चक्रीय सदिश कहलाता है $A$ यदि वैक्टर $\varphi ,A\varphi ,A^{2}\varphi ,\ldots$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष के घने उप-क्षेत्र में फैला हुआ है। कल्पना करना $A$ एक परिबद्ध स्व-आसन्न संकारक है जिसके लिए एक चक्रीय वेक्टर मौजूद है। उस मामले में, वर्णक्रमीय प्रमेय के प्रत्यक्ष-अभिन्न और गुणन-संचालक योगों के बीच कोई अंतर नहीं है। दरअसल, उस मामले में एक उपाय है $\mu$ स्पेक्ट्रम पर $\sigma (A)$ का $A$ ऐसा है कि $A$ एकात्मक रूप से गुणन के बराबर है $\lambda$ संचालिका चालू $L^{2}(\sigma (A),\mu )$ .^[8] यह परिणाम दर्शाता है $A$ एक साथ गुणन संचालिका के रूप में और प्रत्यक्ष अभिन्न के रूप में, चूंकि $L^{2}(\sigma (A),\mu )$ केवल एक सीधा अभिन्न अंग है जिसमें प्रत्येक हिल्बर्ट स्थान $H_{\lambda }$ बस है $\mathbb {C}$ .

प्रत्येक परिबद्ध स्व-संलग्न संकारक एक चक्रीय सदिश को स्वीकार नहीं करता; वास्तव में, प्रत्यक्ष अभिन्न अपघटन में अद्वितीयता से, यह तभी हो सकता है जब सभी $H_{\lambda }$ का आयाम एक है। जब ऐसा होता है, तो हम कहते हैं $A$ स्व-आसन्न_संचालक#स्पेक्ट्रल_बहुलता_सिद्धांत के अर्थ में सरल स्पेक्ट्रम है। यही है, एक चक्रीय सदिश को स्वीकार करने वाले एक बाध्य स्व-आसन्न संचालिका को अलग-अलग eigenvalues के साथ स्व-संलग्न आव्यूह के अनंत-आयामी सामान्यीकरण के रूप में माना जाना चाहिए (यानी, प्रत्येक eigenvalue में बहुलता है)।

चूँकि हर नहीं $A$ एक चक्रीय सदिश को स्वीकार करता है, यह देखना आसान है कि हम हिल्बर्ट अंतरिक्ष को अपरिवर्तनीय उप-स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित कर सकते हैं $A$ एक चक्रीय वेक्टर है। यह अवलोकन वर्णक्रमीय प्रमेय के गुणन-संचालक और प्रत्यक्ष-अभिन्न रूपों के प्रमाणों की कुंजी है।

कार्यात्मक कलन

स्पेक्ट्रल प्रमेय (किसी भी रूप में) का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग कार्यात्मक पथरी को परिभाषित करने का विचार है। यानी एक फंक्शन दिया $f$ के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया गया है $A$ , हम एक संचालिका को परिभाषित करना चाहते हैं $f(A)$ . अगर $f$ बस एक सकारात्मक शक्ति है, $f(x)=x^{n}$ , तब $f(A)$ बस है $n\mathrm {th}$ किसकी सत्ता $A$ , $A^{n}$ . दिलचस्प मामले कहां हैं $f$ एक गैर-बहुपद कार्य है जैसे कि वर्गमूल या एक घातांक। स्पेक्ट्रल प्रमेय के किसी भी संस्करण में ऐसी कार्यात्मक गणना प्रदान की जाती है।^[9] प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण में, उदाहरण के लिए, $f(A)$ गुणा के रूप में कार्य करता है $f$ डायरेक्ट इंटीग्रल में संचालिका :

[f(A)s](\lambda )=f(\lambda )s(\lambda )

.

यानी हर जगह $H_{\lambda }$ प्रत्यक्ष अभिन्न में एक (सामान्यीकृत) आइगेनस्थान है $f(A)$ आइगेनवैल्यू के साथ $f(\lambda )$ .

सामान्य स्व-आसन्न संकारक

गणितीय विश्लेषण में पाए जाने वाले कई महत्वपूर्ण रेखीय संकारक, जैसे अवकल संकारक, अबाधित होते हैं। स्व-संलग्न संचालकों के लिए एक वर्णक्रमीय प्रमेय भी है जो इन मामलों में प्रयुक्त होता है। एक उदाहरण देने के लिए, प्रत्येक स्थिर-गुणांक अंतर संकारक एक गुणन संकारक के समतुल्य है। वास्तव में, एकात्मक संकारक जो इस तुल्यता को प्रयुक्त करता है, फूरियर रूपांतरण है; गुणा संचालिका एक प्रकार का गुणक (फूरियर विश्लेषण) है।

सामान्यतः , स्व-संलग्न संचालिका ों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय कई समकक्ष रूप ले सकता है।^[10] विशेष रूप से, पिछले अनुभाग में दिए गए सभी फॉर्मूले सीमित स्व-आसन्न संचालिका ों के लिए दिए गए हैं - प्रोजेक्शन-वैल्यू माप संस्करण, गुणन-संचालक संस्करण, और प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण - छोटे के साथ अनबाउंड स्व-आसन्न संचालिका ों के लिए जारी है डोमेन मुद्दों से निपटने के लिए तकनीकी संशोधन।

संस्करण, गुणन-संचालक संस्करण, और प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण - छोटे के साथ अनबाउंड स्व-आसन्न संचालिका ों के लिए जारी है डोमेन मुद्दों से निपटने के लिए तकनीकी संशोधन।

यह भी देखें

Hahn-Hellinger theorem
कॉम्पैक्ट संचालिका ों का वर्णक्रमीय सिद्धांत
सामान्य सी * - बीजगणित का वर्णक्रमीय सिद्धांत
बोरेल कार्यात्मक पथरी
वर्णक्रमीय सिद्धांत
आव्यूह अपघटन
कानूनी फॉर्म
जॉर्डन सामान्य रूप, जिसमें वर्णक्रमीय अपघटन एक विशेष मामला है।
विलक्षण मूल्य अपघटन, मनमाना मैट्रिसेस के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय का सामान्यीकरण।
आव्यूह का आइगेनडीकम्पोज़िशन
वीनर-खिनचिन प्रमेय

↑ Hawkins, Thomas (1975). "कौची और मैट्रिसेस का वर्णक्रमीय सिद्धांत". Historia Mathematica. 2: 1–29. doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4.
↑ A Short History of Operator Theory by Evans M. Harrell II
↑ Hall 2013 Section 6.1
↑ Hall 2013 Theorem 7.2.1
↑ Hall 2013 Theorem 7.12
↑ Hall 2013 Theorem 7.20
↑ Hall 2013 Theorem 7.19
↑ Hall 2013 Lemma 8.11
↑ E.g., Hall 2013 Definition 7.13
↑ See Section 10.1 of Hall 2013

संदर्भ

Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
Hall, B.C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
Paul Halmos, "What Does the Spectral Theorem Say?", American Mathematical Monthly, volume 70, number 3 (1963), pages 241–247 Other link
M. Reed and B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vols I–IV, Academic Press 1972.
G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
Valter Moretti (2018). Spectral Theory and Quantum Mechanics; Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation 2nd Edition. Springer. ISBN 978-3-319-70705-1.

[1] Hawkins, Thomas (1975). "कौची और मैट्रिसेस का वर्णक्रमीय सिद्धांत". Historia Mathematica. 2: 1–29. doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4.

[2] A Short History of Operator Theory by Evans M. Harrell II

[3] Hall 2013 Section 6.1

[4] Hall 2013 Theorem 7.2.1

[5] Hall 2013 Theorem 7.12

[6] Hall 2013 Theorem 7.20

[7] Hall 2013 Theorem 7.19

[8] Hall 2013 Lemma 8.11

[9] E.g., Hall 2013 Definition 7.13

[10] See Section 10.1 of Hall 2013

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Result about when a matrix can be diagonalized}}
-गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित और [[कार्यात्मक विश्लेषण]], एक वर्णक्रमीय प्रमेय एक परिणाम है जब एक [[रैखिक ऑपरेटर]] या [[मैट्रिक्स (गणित)]] [[[[विकर्ण मैट्रिक्स]]]] हो सकता है (अर्थात, किसी आधार पर एक विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है)। यह अत्यंत उपयोगी है क्योंकि एक विकर्ण मैट्रिक्स को शामिल करने वाली संगणनाओं को अक्सर संबंधित विकर्ण मैट्रिक्स को शामिल करते हुए बहुत सरल संगणनाओं में घटाया जा सकता है। परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के लिए विकर्णकरण की अवधारणा अपेक्षाकृत सीधी है, लेकिन अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के लिए कुछ संशोधन की आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, स्पेक्ट्रल प्रमेय रैखिक ऑपरेटरों के एक वर्ग की पहचान करता है जिसे गुणन ऑपरेटरों द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, जो उतना ही सरल है जितना कोई खोजने की उम्मीद कर सकता है। अधिक अमूर्त भाषा में, वर्णक्रमीय प्रमेय क्रमविनिमेय [[C*-algebra]]s के बारे में एक कथन है। ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य के लिए स्पेक्ट्रल सिद्धांत भी देखें।
+गणित में, विशेष रूप से रैखिक बीजगणित और [[कार्यात्मक विश्लेषण]], एक वर्णक्रमीय प्रमेय एक परिणाम है जब एक [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संचालिका]]  या [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह  (गणित)]] [[विकर्ण मैट्रिक्स|विकर्ण आव्यूह]]  हो सकता है (अर्थात, किसी आधार पर एक विकर्ण आव्यूह  के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है)। यह अत्यंत उपयोगी है क्योंकि एक विकर्ण आव्यूह  को साम्मिलित करने वाली संगणनाओं को अधिकांशतः संबंधित विकर्ण आव्यूह  को साम्मिलित करते हुए बहुत सरल संगणनाओं में घटाया जा सकता है। परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर संचालिका के लिए विकर्णकरण की अवधारणा अपेक्षाकृत सीधी है, किंतु अनंत-आयामी रिक्त स्थान पर संचालिका के लिए कुछ संशोधन की आवश्यकता है। सामान्यतः , स्पेक्ट्रल प्रमेय रैखिक संचालिका के एक वर्ग की पहचान करता है जिसे गुणन संचालिका द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, जो उतना ही सरल है जितना कोई खोजने की उम्मीद कर सकता है। अधिक अमूर्त भाषा में, वर्णक्रमीय प्रमेय क्रमविनिमेय सी * - बीजगणित के बारे में एक कथन है। ऐतिहासिक परिप्रेक्ष्य के लिए स्पेक्ट्रल सिद्धांत भी देखें।
-ऑपरेटरों के उदाहरण जिनके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय लागू होता है वे स्व-संबद्ध ऑपरेटर या हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर अधिक सामान्यतः [[सामान्य ऑपरेटर]] होते हैं।
+संचालिका के उदाहरण जिनके लिए स्पेक्ट्रल प्रमेय प्रयुक्त होता है वे स्व-संबद्ध संचालिका  या हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर अधिक सामान्यतः [[सामान्य ऑपरेटर|सामान्य संचालिका]]  होते हैं।
-वर्णक्रमीय प्रमेय एक विहित रूप अपघटन भी प्रदान करता है, जिसे एक मैट्रिक्स का ईगेंडेकंपोजीशन कहा जाता है, अंतर्निहित सदिश स्थान जिस पर ऑपरेटर कार्य करता है।
+वर्णक्रमीय प्रमेय एक विहित रूप अपघटन भी प्रदान करता है, जिसे एक आव्यूह  का आइजन अपघटन कहा जाता है, अंतर्निहित सदिश स्थान जिस पर संचालिका  कार्य करता है।
-[[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने [[सममित मैट्रिक्स]] के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय को सिद्ध किया, अर्थात, प्रत्येक वास्तविक, सममित मैट्रिक्स विकर्णीय है। इसके अलावा, कॉची निर्धारकों के बारे में व्यवस्थित होने वाले पहले व्यक्ति थे।<ref>{{cite journal| doi=10.1016/0315-0860(75)90032-4 | volume=2 | title=कौची और मैट्रिसेस का वर्णक्रमीय सिद्धांत| year=1975 | journal=Historia Mathematica | pages=1–29 | last1 = Hawkins | first1 = Thomas| doi-access=free }}</ref><ref>[http://www.mathphysics.com/opthy/OpHistory.html A Short History of Operator Theory by Evans M. Harrell II]</ref> [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा सामान्यीकृत वर्णक्रमीय प्रमेय आज शायद ऑपरेटर सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण परिणाम है।
+[[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]]  के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय को सिद्ध किया, अर्थात, प्रत्येक वास्तविक, सममित आव्यूह  विकर्णीय है। इसके अतिरिक्त , कॉची निर्धारकों के बारे में व्यवस्थित होने वाले पहले व्यक्ति थे।<ref>{{cite journal| doi=10.1016/0315-0860(75)90032-4 | volume=2 | title=कौची और मैट्रिसेस का वर्णक्रमीय सिद्धांत| year=1975 | journal=Historia Mathematica | pages=1–29 | last1 = Hawkins | first1 = Thomas| doi-access=free }}</ref><ref>[http://www.mathphysics.com/opthy/OpHistory.html A Short History of Operator Theory by Evans M. Harrell II]</ref> [[जॉन वॉन न्यूमैन]] द्वारा सामान्यीकृत वर्णक्रमीय प्रमेय आज संभवतः संचालिका  सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण परिणाम है।
-यह लेख मुख्य रूप से सबसे सरल प्रकार के वर्णक्रमीय प्रमेय पर केंद्रित है, जो हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर स्वयं-आसन्न ऑपरेटर के लिए है। हालांकि, जैसा कि ऊपर बताया गया है, स्पेक्ट्रल प्रमेय भी हिल्बर्ट स्पेस पर सामान्य ऑपरेटरों के लिए है।
+यह लेख मुख्य रूप से सबसे सरल प्रकार के वर्णक्रमीय प्रमेय पर केंद्रित है, जो हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर स्वयं-आसन्न संचालिका  के लिए है। चूँकि , जैसा कि ऊपर बताया गया है, स्पेक्ट्रल प्रमेय भी हिल्बर्ट स्थान पर सामान्य संचालिका के लिए है।
 == परिमित-आयामी मामला ==<!-- This section is linked from [[Singular value decomposition]] -->
-=== हर्मिटियन मानचित्र और [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] ===
+=== हर्मिटियन मानचित्र और [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] ===
-हम एक हर्मिटियन मैट्रिक्स पर विचार करके शुरू करते हैं <math>\mathbb{C}^n</math> (लेकिन निम्नलिखित चर्चा सममित मैट्रिक्स के अधिक प्रतिबंधात्मक मामले के अनुकूल होगी  <math>\mathbb{R}^n</math>). हम एक [[हर्मिटियन ऑपरेटर]] पर विचार करते हैं {{math|''A''}} एक परिमित-आयामी [[जटिल संख्या]] [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] पर {{math|''V''}} एक निश्चित बिलिनियर फॉर्म [[ सेस्क्विलिनियर रूप ]] आंतरिक उत्पाद के साथ संपन्न <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>. हर्मिटियन स्थिति चालू है <math>A</math> मतलब सभी के लिए {{math|''x'', ''y'' ∈ ''V''}},
+हम एक हर्मिटियन आव्यूह  पर विचार करके शुरू करते हैं <math>\mathbb{C}^n</math> (किंतु निम्नलिखित चर्चा सममित आव्यूह  के अधिक प्रतिबंधात्मक मामले के अनुकूल होगी  <math>\mathbb{R}^n</math>). हम एक [[हर्मिटियन ऑपरेटर|हर्मिटियन संचालिका]]  पर विचार करते हैं {{math|''A''}} एक परिमित-आयामी [[जटिल संख्या]] [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] पर {{math|''V''}} एक निश्चित बिलिनियर फॉर्म [[ सेस्क्विलिनियर रूप ]] आंतरिक उत्पाद के साथ संपन्न <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math>. हर्मिटियन स्थिति चालू है <math>A</math> मतलब सभी के लिए {{math|''x'', ''y'' ∈ ''V''}},
 :<math> \langle A x, y \rangle =  \langle x, A y \rangle.</math>
-समतुल्य शर्त यह है {{math|1=''A''<sup>*</sup> = ''A''}}, कहाँ {{math|''A''<sup>*</sup>}} का [[हर्मिटियन संयुग्म]] है {{math|''A''}}. उस मामले में {{math|''A''}} की पहचान हर्मिटियन मैट्रिक्स से की जाती है, जिसका मैट्रिक्स {{math|''A''<sup>*</sup>}} को इसके संयुग्मी संक्रमण से पहचाना जा सकता है। (अगर {{math|''A''}} एक वास्तविक आव्यूह है, तो यह इसके समतुल्य है {{math|1=''A''<sup>T</sup> = ''A''}}, वह है, {{math|''A''}} एक सममित मैट्रिक्स है।)
+समतुल्य शर्त यह है {{math|1=''A''<sup>*</sup> = ''A''}}, कहाँ {{math|''A''<sup>*</sup>}} का [[हर्मिटियन संयुग्म]] है {{math|''A''}}. उस मामले में {{math|''A''}} की पहचान हर्मिटियन आव्यूह  से की जाती है, जिसका आव्यूह  {{math|''A''<sup>*</sup>}} को इसके संयुग्मी संक्रमण से पहचाना जा सकता है। (अगर {{math|''A''}} एक वास्तविक आव्यूह है, तो यह इसके समतुल्य है {{math|1=''A''<sup>T</sup> = ''A''}}, वह है, {{math|''A''}} एक सममित आव्यूह  है।)
-इस स्थिति का तात्पर्य है कि एक हर्मिटियन मानचित्र के सभी eigenvalues वास्तविक हैं: इसे उस स्थिति में लागू करने के लिए पर्याप्त है जब {{math|1=''x'' = ''y''}} एक ईजेनवेक्टर है। (याद रखें कि एक रेखीय मानचित्र का एक [[आइजन्वेक्टर]] {{math|''A''}} एक (गैर-शून्य) वेक्टर है {{math|''x''}} ऐसा है कि {{math|1=''Ax'' = ''λx''}} कुछ अदिश के लिए {{math|''λ''}}. मूल्य {{math|''λ''}} संगत [[eigenvalue]] है। इसके अलावा, [[eigenvalues]] [[विशेषता बहुपद]] की जड़ें हैं।)
+इस स्थिति का तात्पर्य है कि एक हर्मिटियन मानचित्र के सभी eigenvalues वास्तविक हैं: इसे उस स्थिति में प्रयुक्त करने के लिए पर्याप्त है जब {{math|1=''x'' = ''y''}} एक ईजेनवेक्टर है। (याद रखें कि एक रेखीय मानचित्र का एक [[आइजन्वेक्टर]] {{math|''A''}} एक (गैर-शून्य) वेक्टर है {{math|''x''}} ऐसा है कि {{math|1=''Ax'' = ''λx''}} कुछ अदिश के लिए {{math|''λ''}}. मूल्य {{math|''λ''}} संगत [[eigenvalue]] है। इसके अतिरिक्त , [[eigenvalues]] [[विशेषता बहुपद]] की जड़ें हैं।)
 प्रमेय। अगर {{math|''A''}} हर्मिटियन चालू है {{math|''V''}}, तो वहाँ का एक अलौकिक आधार मौजूद है {{math|''V''}} के eigenvectors से मिलकर {{math|''A''}}. प्रत्येक eigenvalue वास्तविक है।
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 हम उस मामले के लिए सबूत का एक स्केच प्रदान करते हैं जहां स्केलर्स का अंतर्निहित क्षेत्र सम्मिश्र संख्या है।
-बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा, की विशेषता बहुपद पर लागू {{math|''A''}}, कम से कम एक eigenvalue है {{math|''λ''<sub>1</sub>}} और ईजेनवेक्टर {{math|''e''<sub>1</sub>}}. तब से
+बीजगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा, की विशेषता बहुपद पर प्रयुक्त {{math|''A''}}, कम से कम एक eigenvalue है {{math|''λ''<sub>1</sub>}} और ईजेनवेक्टर {{math|''e''<sub>1</sub>}}. तब से
-: <math>\lambda_1 \langle e_1, e_1 \rangle = \langle A (e_1), e_1 \rangle = \langle e_1, A(e_1) \rangle = \bar\lambda_1 \langle e_1, e_1 \rangle,</math> हम पाते हैं {{math|''λ''<sub>1</sub>}} यह सचमुच का है। अब अंतरिक्ष पर विचार करें {{math|1=''K'' = span{''e''<sub>1</sub>}<sup>⊥</sup>}}, का [[ऑर्थोगोनल पूरक]] {{math|''e''<sub>1</sub>}}. हर्मिटिसिटी द्वारा, {{math|''K''}} की एक अपरिवर्तनीय उपसमष्टि है {{math|''A''}}. इसी तर्क को लागू करना {{math|''K''}} पता चलता है कि {{math|''A''}} में एक आइजनवेक्टर है {{math|''e''<sub>2</sub> ∈ ''K''}}. परिमित प्रेरण तब प्रमाण को समाप्त करता है।
+: <math>\lambda_1 \langle e_1, e_1 \rangle = \langle A (e_1), e_1 \rangle = \langle e_1, A(e_1) \rangle = \bar\lambda_1 \langle e_1, e_1 \rangle,</math> हम पाते हैं {{math|''λ''<sub>1</sub>}} यह सचमुच का है। अब अंतरिक्ष पर विचार करें {{math|1=''K'' = span{''e''<sub>1</sub>}<sup>⊥</sup>}}, का [[ऑर्थोगोनल पूरक]] {{math|''e''<sub>1</sub>}}. हर्मिटिसिटी द्वारा, {{math|''K''}} की एक अपरिवर्तनीय उपसमष्टि है {{math|''A''}}. इसी तर्क को प्रयुक्त करना {{math|''K''}} पता चलता है कि {{math|''A''}} में एक आइजनवेक्टर है {{math|''e''<sub>2</sub> ∈ ''K''}}. परिमित प्रेरण तब प्रमाण को समाप्त करता है।
-वर्णक्रमीय प्रमेय परिमित-आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थानों पर सममित मानचित्रों के लिए भी है, लेकिन एक ईजेनवेक्टर का अस्तित्व बीजगणित के मौलिक प्रमेय से तुरंत अनुसरण नहीं करता है। इसे सिद्ध करने के लिए विचार करें {{math|''A''}} एक हर्मिटियन मैट्रिक्स के रूप में और इस तथ्य का उपयोग करें कि एक हर्मिटियन मैट्रिक्स के सभी eigenvalues वास्तविक हैं।
+वर्णक्रमीय प्रमेय परिमित-आयामी वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थानों पर सममित मानचित्रों के लिए भी है, किंतु एक ईजेनवेक्टर का अस्तित्व बीजगणित के मौलिक प्रमेय से तुरंत अनुसरण नहीं करता है। इसे सिद्ध करने के लिए विचार करें {{math|''A''}} एक हर्मिटियन आव्यूह  के रूप में और इस तथ्य का उपयोग करें कि एक हर्मिटियन आव्यूह  के सभी eigenvalues वास्तविक हैं।
-का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व {{math|''A''}} eigenvectors के आधार में विकर्ण है, और निर्माण के द्वारा प्रमाण पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल eigenvectors का आधार देता है; यूनिट वैक्टर होने के लिए उन्हें चुनकर ईजेनवेक्टरों का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार प्राप्त होता है। {{math|''A''}} को जोड़ीदार ऑर्थोगोनल अनुमानों के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे इसका वर्णक्रमीय अपघटन कहा जाता है। होने देना
+का आव्यूह  प्रतिनिधित्व {{math|''A''}} eigenvectors के आधार में विकर्ण है, और निर्माण के द्वारा प्रमाण पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल eigenvectors का आधार देता है; यूनिट वैक्टर होने के लिए उन्हें चुनकर ईजेनवेक्टरों का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार प्राप्त होता है। {{math|''A''}} को जोड़ीदार ऑर्थोगोनल अनुमानों के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे इसका वर्णक्रमीय अपघटन कहा जाता है। होने देना
 : <math>V_\lambda = \{v \in V: A v = \lambda v\}</math>
-एक आइगेनवैल्यू के अनुरूप आइगेनस्पेस हो {{math|''λ''}}. ध्यान दें कि परिभाषा विशिष्ट eigenvectors के किसी भी विकल्प पर निर्भर नहीं करती है। {{math|''V''}} रिक्त स्थान का ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग है {{math|''V''<sub>''λ''</sub>}} जहां सूचकांक eigenvalues से अधिक है।
+एक आइगेनवैल्यू के अनुरूप आइगेनस्थान हो {{math|''λ''}}. ध्यान दें कि परिभाषा विशिष्ट eigenvectors के किसी भी विकल्प पर निर्भर नहीं करती है। {{math|''V''}} रिक्त स्थान का ऑर्थोगोनल प्रत्यक्ष योग है {{math|''V''<sub>''λ''</sub>}} जहां सूचकांक eigenvalues से अधिक है।
 दूसरे शब्दों में, अगर {{math|''P''<sub>''λ''</sub>}} ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन#ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन को दर्शाता है {{math|''V''<sub>''λ''</sub>}}, और {{math|''λ''<sub>1</sub>, ..., ''λ''<sub>''m''</sub>}} के आइगेनवैल्यू हैं {{math|''A''}}, तो वर्णक्रमीय अपघटन के रूप में लिखा जा सकता है
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 वर्णक्रमीय अपघटन [[शूर अपघटन]] और एकवचन मूल्य अपघटन दोनों का एक विशेष मामला है।
-=== सामान्य मैट्रिक्स ===
+=== सामान्य आव्यूह ===
 {{main|Normal matrix}}
-वर्णक्रमीय प्रमेय मैट्रिसेस के अधिक सामान्य वर्ग तक फैला हुआ है। होने देना {{math|''A''}} परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक ऑपरेटर बनें। {{math|''A''}} को [[सामान्य मैट्रिक्स]] कहा जाता है यदि {{math|1=''A''<sup>*</sup>''A'' = ''AA''<sup>*</sup>}}. कोई यह दिखा सकता है {{math|''A''}} सामान्य है अगर और केवल अगर यह एकात्मक रूप से विकर्ण है। प्रमाण: शूर अपघटन द्वारा, हम किसी भी मैट्रिक्स को लिख सकते हैं {{math|1=''A'' = ''UTU''<sup>*</sup>}}, कहाँ {{math|''U''}} एकात्मक है और {{math|''T''}} ऊपरी-त्रिकोणीय है।
+वर्णक्रमीय प्रमेय मैट्रिसेस के अधिक सामान्य वर्ग तक फैला हुआ है। होने देना {{math|''A''}} परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान पर एक संचालिका  बनें। {{math|''A''}} को [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य आव्यूह]]  कहा जाता है यदि {{math|1=''A''<sup>*</sup>''A'' = ''AA''<sup>*</sup>}}. कोई यह दिखा सकता है {{math|''A''}} सामान्य है अगर और केवल अगर यह एकात्मक रूप से विकर्ण है। प्रमाण: शूर अपघटन द्वारा, हम किसी भी आव्यूह  को लिख सकते हैं {{math|1=''A'' = ''UTU''<sup>*</sup>}}, कहाँ {{math|''U''}} एकात्मक है और {{math|''T''}} ऊपरी-त्रिकोणीय है।
-अगर {{math|''A''}} सामान्य है, तो कोई देखता है {{math|1=''TT''<sup>*</sup> = ''T''<sup>*</sup>''T''}}. इसलिए, {{math|''T''}} विकर्ण होना चाहिए क्योंकि एक सामान्य ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स विकर्ण होता है (सामान्य मैट्रिक्स#परिणाम देखें)। उलटा स्पष्ट है।
+अगर {{math|''A''}} सामान्य है, तो कोई देखता है {{math|1=''TT''<sup>*</sup> = ''T''<sup>*</sup>''T''}}. इसलिए, {{math|''T''}} विकर्ण होना चाहिए क्योंकि एक सामान्य ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह  विकर्ण होता है (सामान्य आव्यूह #परिणाम देखें)। उलटा स्पष्ट है।
-दूसरे शब्दों में, {{math|''A''}} सामान्य है अगर और केवल अगर एक [[एकात्मक मैट्रिक्स]] मौजूद है {{math|''U''}} ऐसा है कि
+दूसरे शब्दों में, {{math|''A''}} सामान्य है अगर और केवल अगर एक [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]]  मौजूद है {{math|''U''}} ऐसा है कि
 : <math>A = U D U^*,</math>
-कहाँ {{math|''D''}} एक विकर्ण मैट्रिक्स है। फिर, के विकर्ण की प्रविष्टियाँ {{math|''D''}} के आइगेनवैल्यू हैं {{math|''A''}}. के स्तंभ वैक्टर {{math|''U''}} के ईजेनवेक्टर हैं {{math|''A''}} और वे अलौकिक हैं। हर्मिटियन मामले के विपरीत, की प्रविष्टियाँ {{math|''D''}} वास्तविक होने की आवश्यकता नहीं है।
+कहाँ {{math|''D''}} एक विकर्ण आव्यूह  है। फिर, के विकर्ण की प्रविष्टियाँ {{math|''D''}} के आइगेनवैल्यू हैं {{math|''A''}}. के स्तंभ वैक्टर {{math|''U''}} के ईजेनवेक्टर हैं {{math|''A''}} और वे अलौकिक हैं। हर्मिटियन मामले के विपरीत, की प्रविष्टियाँ {{math|''D''}} वास्तविक होने की आवश्यकता नहीं है।
-== कॉम्पैक्ट स्व-आसन्न ऑपरेटर ==
+== कॉम्पैक्ट स्व-आसन्न संचालिका ==
 {{main|Compact operator on Hilbert space}}
-हिल्बर्ट रिक्त स्थान की अधिक सामान्य सेटिंग में, जिसमें एक अनंत आयाम हो सकता है, [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]] स्व-आसन्न ऑपरेटरों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय का कथन वस्तुतः परिमित-आयामी मामले के समान है।
+हिल्बर्ट रिक्त स्थान की अधिक सामान्य सेटिंग में, जिसमें एक अनंत आयाम हो सकता है, [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटर|कॉम्पैक्ट संचालिका]]  स्व-आसन्न संचालिका ों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय का कथन वस्तुतः परिमित-आयामी मामले के समान है।
-प्रमेय। कल्पना करना {{math|''A''}} हिल्बर्ट स्पेस (वास्तविक या जटिल) पर एक कॉम्पैक्ट सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर है {{math|''V''}}. फिर इसका एक अलौकिक आधार है {{math|''V''}} के eigenvectors से मिलकर {{math|''A''}}. प्रत्येक eigenvalue वास्तविक है।
+प्रमेय। कल्पना करना {{math|''A''}} हिल्बर्ट स्थान (वास्तविक या जटिल) पर एक कॉम्पैक्ट सेल्फ-एडजॉइंट संचालिका  है {{math|''V''}}. फिर इसका एक अलौकिक आधार है {{math|''V''}} के eigenvectors से मिलकर {{math|''A''}}. प्रत्येक eigenvalue वास्तविक है।
-हर्मिटियन मेट्रिसेस के लिए, मुख्य बिंदु कम से कम एक नॉनजीरो ईजेनवेक्टर के अस्तित्व को साबित करना है। ईजेनवेल्यूज के अस्तित्व को दिखाने के लिए निर्धारकों पर भरोसा नहीं किया जा सकता है, लेकिन आइगेनवैल्यूज के वैरिएबल कैरेक्टराइजेशन के अनुरूप अधिकतमकरण तर्क का उपयोग किया जा सकता है।
+हर्मिटियन मेट्रिसेस के लिए, मुख्य बिंदु कम से कम एक नॉनजीरो ईजेनवेक्टर के अस्तित्व को साबित करना है। ईजेनवेल्यूज के अस्तित्व को दिखाने के लिए निर्धारकों पर भरोसा नहीं किया जा सकता है, किंतु आइगेनवैल्यूज के वैरिएबल कैरेक्टराइजेशन के अनुरूप अधिकतमकरण तर्क का उपयोग किया जा सकता है।
 यदि संहतता धारणा को हटा दिया जाता है, तो यह सच नहीं है कि प्रत्येक स्व-संलग्न संचालिका के ईजेनवेक्टर होते हैं।
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 === ईजेनवेक्टरों की संभावित अनुपस्थिति ===
-हम जिस अगले सामान्यीकरण पर विचार करते हैं, वह हिल्बर्ट स्पेस पर [[परिबद्ध संचालिका]] सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर्स का है। ऐसे ऑपरेटरों के पास कोई eigenvalues नहीं हो सकता है: उदाहरण के लिए चलो {{math|''A''}} गुणन का संचालक हो {{math|''t''}} पर <math>L^2([0,1])</math>, वह है,<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Section 6.1</ref>
+हम जिस अगले सामान्यीकरण पर विचार करते हैं, वह हिल्बर्ट स्थान पर [[परिबद्ध संचालिका]] सेल्फ-एडजॉइंट संचालिका ्स का है। ऐसे संचालिका ों के पास कोई eigenvalues नहीं हो सकता है: उदाहरण के लिए चलो {{math|''A''}} गुणन का संचालक हो {{math|''t''}} पर <math>L^2([0,1])</math>, वह है,<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Section 6.1</ref>
 :<math> [A \varphi](t) = t \varphi(t). \;</math>
-इस ऑपरेटर के पास कोई आइजनवेक्टर नहीं है <math>L^2([0,1])</math>, हालांकि इसमें बड़ी जगह में ईजेनवेक्टर हैं। अर्थात् [[वितरण (गणित)]] <math>\varphi(t)=\delta(t-t_0)</math>, कहाँ <math>\delta</math> [[डिराक डेल्टा समारोह]] है, एक उपयुक्त अर्थ में लगाए जाने पर एक ईजेनवेक्टर है। डिराक डेल्टा फ़ंक्शन हालांकि शास्त्रीय अर्थों में एक फ़ंक्शन नहीं है और हिल्बर्ट स्पेस में नहीं है {{math|''L''<sup>2</sup>[0, 1]}} या कोई अन्य [[बनच स्थान]]। इस प्रकार, डेल्टा-फ़ंक्शन सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर हैं <math>A</math> लेकिन सामान्य अर्थों में ईजेनवेक्टर नहीं।
+इस संचालिका  के पास कोई आइजनवेक्टर नहीं है <math>L^2([0,1])</math>, चूँकि  इसमें बड़ी जगह में ईजेनवेक्टर हैं। अर्थात् [[वितरण (गणित)]] <math>\varphi(t)=\delta(t-t_0)</math>, कहाँ <math>\delta</math> [[डिराक डेल्टा समारोह]] है, एक उपयुक्त अर्थ में लगाए जाने पर एक ईजेनवेक्टर है। डिराक डेल्टा फ़ंक्शन चूँकि  शास्त्रीय अर्थों में एक फ़ंक्शन नहीं है और हिल्बर्ट स्थान में नहीं है {{math|''L''<sup>2</sup>[0, 1]}} या कोई अन्य [[बनच स्थान]]। इस प्रकार, डेल्टा-फ़ंक्शन सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर हैं <math>A</math> किंतु सामान्य अर्थों में ईजेनवेक्टर नहीं।
 === स्पेक्ट्रल उप-स्थान और प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय ===
-(सच्चे) ईजेनवेक्टरों की अनुपस्थिति में, लगभग ईजेनवेक्टरों से युक्त उप-स्थानों की तलाश की जा सकती है। उपरोक्त उदाहरण में, उदाहरण के लिए, कहाँ <math> [A \varphi](t) = t \varphi(t), \;</math> हम छोटे अंतराल पर समर्थित कार्यों के उप-स्थान पर विचार कर सकते हैं <math>[a,a+\varepsilon]</math> अंदर <math>[0,1]</math>. के अंतर्गत यह स्थान अपरिवर्तनीय है <math>A</math> और किसी के लिए <math>\varphi</math> इस उपक्षेत्र में, <math>A\varphi</math> के बहुत निकट है <math>a\varphi</math>. वर्णक्रमीय प्रमेय के इस दृष्टिकोण में, यदि <math>A</math> एक बंधा हुआ स्वयं-आसन्न संकारक है, तो कोई ऐसे वर्णक्रमीय उप-स्थानों के बड़े परिवारों की तलाश करता है।<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Theorem 7.2.1</ref> प्रत्येक उप-स्थान, बदले में, संबंधित प्रक्षेपण ऑपरेटर द्वारा एन्कोड किया गया है, और सभी उप-स्थानों का संग्रह तब प्रक्षेपण-मूल्यवान माप द्वारा दर्शाया गया है।
+(सच्चे) ईजेनवेक्टरों की अनुपस्थिति में, लगभग ईजेनवेक्टरों से युक्त उप-स्थानों की तलाश की जा सकती है। उपरोक्त उदाहरण में, उदाहरण के लिए, कहाँ <math> [A \varphi](t) = t \varphi(t), \;</math> हम छोटे अंतराल पर समर्थित कार्यों के उप-स्थान पर विचार कर सकते हैं <math>[a,a+\varepsilon]</math> अंदर <math>[0,1]</math>. के अंतर्गत यह स्थान अपरिवर्तनीय है <math>A</math> और किसी के लिए <math>\varphi</math> इस उपक्षेत्र में, <math>A\varphi</math> के बहुत निकट है <math>a\varphi</math>. वर्णक्रमीय प्रमेय के इस दृष्टिकोण में, यदि <math>A</math> एक बंधा हुआ स्वयं-आसन्न संकारक है, तो कोई ऐसे वर्णक्रमीय उप-स्थानों के बड़े परिवारों की तलाश करता है।<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Theorem 7.2.1</ref> प्रत्येक उप-स्थान, बदले में, संबंधित प्रक्षेपण संचालिका  द्वारा एन्कोड किया गया है, और सभी उप-स्थानों का संग्रह तब प्रक्षेपण-मूल्यवान माप द्वारा दर्शाया गया है।
-वर्णक्रमीय प्रमेय का एक सूत्रीकरण ऑपरेटर को व्यक्त करता है {{math|''A''}} ऑपरेटर के ईजेनवेक्टर#अनंत आयामों पर समन्वय समारोह के अभिन्न अंग के रूप में <math>\sigma(A)</math> प्रक्षेपण-मूल्यवान माप के संबंध में।<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Theorem 7.12</ref>
+वर्णक्रमीय प्रमेय का एक सूत्रीकरण संचालिका  को व्यक्त करता है {{math|''A''}} संचालिका  के ईजेनवेक्टर#अनंत आयामों पर समन्वय समारोह के अभिन्न अंग के रूप में <math>\sigma(A)</math> प्रक्षेपण-मूल्यवान माप के संबंध में।<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Theorem 7.12</ref>
 : <math> A = \int_{\sigma(A)} \lambda \, d E_{\lambda} .</math>
-जब प्रश्न में स्व-आसन्न ऑपरेटर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर होता है, तो स्पेक्ट्रल प्रमेय का यह संस्करण उपरोक्त परिमित-आयामी स्पेक्ट्रल प्रमेय के समान कुछ कम हो जाता है, सिवाय इसके कि ऑपरेटर को अनुमानों के परिमित या अनगिनत अनंत रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात माप में केवल परमाणु होते हैं।
+जब प्रश्न में स्व-आसन्न संचालिका  कॉम्पैक्ट संचालिका  होता है, तो स्पेक्ट्रल प्रमेय का यह संस्करण उपरोक्त परिमित-आयामी स्पेक्ट्रल प्रमेय के समान कुछ कम हो जाता है, सिवाय इसके कि संचालिका  को अनुमानों के परिमित या अनगिनत अनंत रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात माप में केवल परमाणु होते हैं।
-=== गुणन ऑपरेटर संस्करण ===
+=== गुणन संचालिका  संस्करण ===
 वर्णक्रमीय प्रमेय का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण कहता है कि प्रत्येक परिबद्ध स्व-संयोजक संकारक गुणन संकारक के समतुल्य है। इस परिणाम का महत्व यह है कि गुणन संचालक कई तरह से समझने में आसान हैं।
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 and <math>\|T\| = \|f\|_\infty</math>.}}
-स्पेक्ट्रल प्रमेय [[ऑपरेटर सिद्धांत]] नामक कार्यात्मक विश्लेषण के विशाल शोध क्षेत्र की शुरुआत है; स्पेक्ट्रल माप # स्पेक्ट्रल माप भी देखें।
+स्पेक्ट्रल प्रमेय [[ऑपरेटर सिद्धांत|संचालिका  सिद्धांत]] नामक कार्यात्मक विश्लेषण के विशाल शोध क्षेत्र की शुरुआत है; स्पेक्ट्रल माप # स्पेक्ट्रल माप भी देखें।
-हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर बंधे सामान्य ऑपरेटरों के लिए एक समान वर्णक्रमीय प्रमेय भी है। निष्कर्ष में केवल इतना ही अंतर है कि अब {{math|''f''}} जटिल-मूल्यवान हो सकता है।
+हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर बंधे सामान्य संचालिका ों के लिए एक समान वर्णक्रमीय प्रमेय भी है। निष्कर्ष में केवल इतना ही अंतर है कि अब {{math|''f''}} जटिल-मूल्यवान हो सकता है।
 === [[प्रत्यक्ष अभिन्न]] ===
-डायरेक्ट इंटीग्रल के संदर्भ में वर्णक्रमीय प्रमेय का एक सूत्रीकरण भी है। यह गुणन-संचालक सूत्रीकरण के समान है, लेकिन अधिक विहित है।
+डायरेक्ट इंटीग्रल के संदर्भ में वर्णक्रमीय प्रमेय का एक सूत्रीकरण भी है। यह गुणन-संचालक सूत्रीकरण के समान है, किंतु अधिक विहित है।
-होने देना <math>A</math> एक बाउंडेड सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर बनें और दें <math>\sigma (A)</math> का स्पेक्ट्रम हो <math>A</math>. वर्णक्रमीय प्रमेय का प्रत्यक्ष-अभिन्न सूत्रीकरण दो मात्राओं को जोड़ता है <math>A</math>. सबसे पहले, एक उपाय <math>\mu</math> पर <math>\sigma (A)</math>, और दूसरा, हिल्बर्ट स्पेसेस का एक परिवार <math>\{H_{\lambda}\},\,\,\lambda\in\sigma (A).</math> फिर हम डायरेक्ट इंटीग्रल हिल्बर्ट स्पेस बनाते हैं
+होने देना <math>A</math> एक बाउंडेड सेल्फ-एडजॉइंट संचालिका  बनें और दें <math>\sigma (A)</math> का स्पेक्ट्रम हो <math>A</math>. वर्णक्रमीय प्रमेय का प्रत्यक्ष-अभिन्न सूत्रीकरण दो मात्राओं को जोड़ता है <math>A</math>. सबसे पहले, एक उपाय <math>\mu</math> पर <math>\sigma (A)</math>, और दूसरा, हिल्बर्ट स्पेसेस का एक परिवार <math>\{H_{\lambda}\},\,\,\lambda\in\sigma (A).</math> फिर हम डायरेक्ट इंटीग्रल हिल्बर्ट स्थान बनाते हैं
 <math display="block"> \int_\mathbf{R}^\oplus H_{\lambda}\, d \mu(\lambda). </math>
 इस स्थान के तत्व कार्य (या खंड) हैं <math>s(\lambda),\,\,\lambda\in\sigma(A),</math> ऐसा है कि <math>s(\lambda)\in H_{\lambda}</math> सभी के लिए <math>\lambda</math>.
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 for some measure <math>\mu</math> and some family <math>\{H_{\lambda}\}</math> of Hilbert spaces. The measure <math>\mu</math> is uniquely determined by <math>A</math> up to measure-theoretic equivalence; that is, any two measure associated to the same <math>A</math> have the same sets of measure zero. The dimensions of the Hilbert spaces <math>H_{\lambda}</math> are uniquely determined by <math>A</math> up to a set of <math>\mu</math>-measure zero.}}
-रिक्त स्थान <math>H_{\lambda}</math> के लिए eigenspaces जैसी किसी चीज़ के बारे में सोचा जा सकता है <math>A</math>. हालाँकि, ध्यान दें कि जब तक कि एक-तत्व सेट न हो <math>{\lambda}</math> सकारात्मक उपाय है, अंतरिक्ष <math>H_{\lambda}</math> वास्तव में प्रत्यक्ष समाकलन की उपसमष्टि नहीं है। इस प्रकार <math>H_{\lambda}</math>को सामान्यीकृत ईजेनस्पेस के रूप में सोचा जाना चाहिए-अर्थात, के तत्व <math>H_{\lambda}</math> ईजेनवेक्टर हैं जो वास्तव में हिल्बर्ट स्पेस से संबंधित नहीं हैं।
+रिक्त स्थान <math>H_{\lambda}</math> के लिए eigenspaces जैसी किसी चीज़ के बारे में सोचा जा सकता है <math>A</math>. हालाँकि, ध्यान दें कि जब तक कि एक-तत्व सेट न हो <math>{\lambda}</math> सकारात्मक उपाय है, अंतरिक्ष <math>H_{\lambda}</math> वास्तव में प्रत्यक्ष समाकलन की उपसमष्टि नहीं है। इस प्रकार <math>H_{\lambda}</math>को सामान्यीकृत ईजेनस्थान के रूप में सोचा जाना चाहिए-अर्थात, के तत्व <math>H_{\lambda}</math> ईजेनवेक्टर हैं जो वास्तव में हिल्बर्ट स्थान से संबंधित नहीं हैं।
-यद्यपि वर्णक्रमीय प्रमेय के गुणन-संचालक और प्रत्यक्ष अभिन्न सूत्रीकरण दोनों एक स्व-संयोजक संकारक को गुणन संकारक के समान रूप से व्यक्त करते हैं, प्रत्यक्ष अभिन्न दृष्टिकोण अधिक विहित है। सबसे पहले, वह सेट जिस पर डायरेक्ट इंटीग्रल होता है (ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम) विहित है। दूसरा, जिस फ़ंक्शन से हम गुणा कर रहे हैं वह प्रत्यक्ष-अभिन्न दृष्टिकोण में कैननिकल है: बस फ़ंक्शन <math>\lambda\mapsto\lambda</math>.
+यद्यपि वर्णक्रमीय प्रमेय के गुणन-संचालक और प्रत्यक्ष अभिन्न सूत्रीकरण दोनों एक स्व-संयोजक संकारक को गुणन संकारक के समान रूप से व्यक्त करते हैं, प्रत्यक्ष अभिन्न दृष्टिकोण अधिक विहित है। सबसे पहले, वह सेट जिस पर डायरेक्ट इंटीग्रल होता है (संचालिका  का स्पेक्ट्रम) विहित है। दूसरा, जिस फ़ंक्शन से हम गुणा कर रहे हैं वह प्रत्यक्ष-अभिन्न दृष्टिकोण में कैननिकल है: बस फ़ंक्शन <math>\lambda\mapsto\lambda</math>.
 === चक्रीय वैक्टर और सरल स्पेक्ट्रम ===
-एक सदिश <math>\varphi</math> के लिए चक्रीय सदिश कहलाता है <math>A</math> यदि वैक्टर <math>\varphi,A\varphi,A^2\varphi,\ldots</math> हिल्बर्ट अंतरिक्ष के घने उप-क्षेत्र में फैला हुआ है। कल्पना करना <math>A</math> एक परिबद्ध स्व-आसन्न संकारक है जिसके लिए एक चक्रीय वेक्टर मौजूद है। उस मामले में, वर्णक्रमीय प्रमेय के प्रत्यक्ष-अभिन्न और गुणन-संचालक योगों के बीच कोई अंतर नहीं है। दरअसल, उस मामले में एक उपाय है <math>\mu</math> स्पेक्ट्रम पर <math>\sigma(A)</math> का <math>A</math> ऐसा है कि <math>A</math> एकात्मक रूप से गुणन के बराबर है <math>\lambda</math>ऑपरेटर चालू <math>L^2(\sigma(A),\mu)</math>.<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Lemma 8.11</ref> यह परिणाम दर्शाता है <math>A</math> एक साथ गुणन ऑपरेटर के रूप में और प्रत्यक्ष अभिन्न के रूप में, चूंकि <math>L^2(\sigma(A),\mu)</math> केवल एक सीधा अभिन्न अंग है जिसमें प्रत्येक हिल्बर्ट स्थान <math>H_{\lambda}</math> बस है <math>\mathbb{C}</math>.
+एक सदिश <math>\varphi</math> के लिए चक्रीय सदिश कहलाता है <math>A</math> यदि वैक्टर <math>\varphi,A\varphi,A^2\varphi,\ldots</math> हिल्बर्ट अंतरिक्ष के घने उप-क्षेत्र में फैला हुआ है। कल्पना करना <math>A</math> एक परिबद्ध स्व-आसन्न संकारक है जिसके लिए एक चक्रीय वेक्टर मौजूद है। उस मामले में, वर्णक्रमीय प्रमेय के प्रत्यक्ष-अभिन्न और गुणन-संचालक योगों के बीच कोई अंतर नहीं है। दरअसल, उस मामले में एक उपाय है <math>\mu</math> स्पेक्ट्रम पर <math>\sigma(A)</math> का <math>A</math> ऐसा है कि <math>A</math> एकात्मक रूप से गुणन के बराबर है <math>\lambda</math>संचालिका  चालू <math>L^2(\sigma(A),\mu)</math>.<ref>{{harvnb|Hall|2013}} Lemma 8.11</ref> यह परिणाम दर्शाता है <math>A</math> एक साथ गुणन संचालिका  के रूप में और प्रत्यक्ष अभिन्न के रूप में, चूंकि <math>L^2(\sigma(A),\mu)</math> केवल एक सीधा अभिन्न अंग है जिसमें प्रत्येक हिल्बर्ट स्थान <math>H_{\lambda}</math> बस है <math>\mathbb{C}</math>.
-प्रत्येक परिबद्ध स्व-संलग्न संकारक एक चक्रीय सदिश को स्वीकार नहीं करता; वास्तव में, प्रत्यक्ष अभिन्न अपघटन में अद्वितीयता से, यह तभी हो सकता है जब सभी <math>H_{\lambda}</math>का आयाम एक है। जब ऐसा होता है, तो हम कहते हैं <math>A</math> स्व-आसन्न_संचालक#स्पेक्ट्रल_बहुलता_सिद्धांत के अर्थ में सरल स्पेक्ट्रम है। यही है, एक चक्रीय सदिश को स्वीकार करने वाले एक बाध्य स्व-आसन्न ऑपरेटर को अलग-अलग eigenvalues के साथ स्व-संलग्न मैट्रिक्स के अनंत-आयामी सामान्यीकरण के रूप में माना जाना चाहिए (यानी, प्रत्येक eigenvalue में बहुलता है)।
+प्रत्येक परिबद्ध स्व-संलग्न संकारक एक चक्रीय सदिश को स्वीकार नहीं करता; वास्तव में, प्रत्यक्ष अभिन्न अपघटन में अद्वितीयता से, यह तभी हो सकता है जब सभी <math>H_{\lambda}</math>का आयाम एक है। जब ऐसा होता है, तो हम कहते हैं <math>A</math> स्व-आसन्न_संचालक#स्पेक्ट्रल_बहुलता_सिद्धांत के अर्थ में सरल स्पेक्ट्रम है। यही है, एक चक्रीय सदिश को स्वीकार करने वाले एक बाध्य स्व-आसन्न संचालिका  को अलग-अलग eigenvalues के साथ स्व-संलग्न आव्यूह  के अनंत-आयामी सामान्यीकरण के रूप में माना जाना चाहिए (यानी, प्रत्येक eigenvalue में बहुलता है)।
-हालांकि हर नहीं <math>A</math> एक चक्रीय सदिश को स्वीकार करता है, यह देखना आसान है कि हम हिल्बर्ट अंतरिक्ष को अपरिवर्तनीय उप-स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित कर सकते हैं <math>A</math> एक चक्रीय वेक्टर है। यह अवलोकन वर्णक्रमीय प्रमेय के गुणन-संचालक और प्रत्यक्ष-अभिन्न रूपों के प्रमाणों की कुंजी है।
+चूँकि  हर नहीं <math>A</math> एक चक्रीय सदिश को स्वीकार करता है, यह देखना आसान है कि हम हिल्बर्ट अंतरिक्ष को अपरिवर्तनीय उप-स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित कर सकते हैं <math>A</math> एक चक्रीय वेक्टर है। यह अवलोकन वर्णक्रमीय प्रमेय के गुणन-संचालक और प्रत्यक्ष-अभिन्न रूपों के प्रमाणों की कुंजी है।
 ===कार्यात्मक कलन===
-स्पेक्ट्रल प्रमेय (किसी भी रूप में) का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग कार्यात्मक पथरी को परिभाषित करने का विचार है। यानी एक फंक्शन दिया <math>f</math> के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया गया है <math>A</math>, हम एक ऑपरेटर को परिभाषित करना चाहते हैं <math>f(A)</math>. अगर <math>f</math> बस एक सकारात्मक शक्ति है, <math>f(x)=x^n</math>, तब <math>f(A)</math> बस है <math>n\mathrm{th}</math> किसकी सत्ता <math>A</math>, <math>A^n</math>. दिलचस्प मामले कहां हैं <math>f</math> एक गैर-बहुपद कार्य है जैसे कि वर्गमूल या एक घातांक। स्पेक्ट्रल प्रमेय के किसी भी संस्करण में ऐसी कार्यात्मक गणना प्रदान की जाती है।<ref>E.g., {{harvnb|Hall|2013}} Definition 7.13</ref> प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण में, उदाहरण के लिए, <math>f(A)</math> गुणा के रूप में कार्य करता है <math>f</math>डायरेक्ट इंटीग्रल में ऑपरेटर:
+स्पेक्ट्रल प्रमेय (किसी भी रूप में) का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग कार्यात्मक पथरी को परिभाषित करने का विचार है। यानी एक फंक्शन दिया <math>f</math> के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया गया है <math>A</math>, हम एक संचालिका  को परिभाषित करना चाहते हैं <math>f(A)</math>. अगर <math>f</math> बस एक सकारात्मक शक्ति है, <math>f(x)=x^n</math>, तब <math>f(A)</math> बस है <math>n\mathrm{th}</math> किसकी सत्ता <math>A</math>, <math>A^n</math>. दिलचस्प मामले कहां हैं <math>f</math> एक गैर-बहुपद कार्य है जैसे कि वर्गमूल या एक घातांक। स्पेक्ट्रल प्रमेय के किसी भी संस्करण में ऐसी कार्यात्मक गणना प्रदान की जाती है।<ref>E.g., {{harvnb|Hall|2013}} Definition 7.13</ref> प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण में, उदाहरण के लिए, <math>f(A)</math> गुणा के रूप में कार्य करता है <math>f</math>डायरेक्ट इंटीग्रल में संचालिका :
 :<math>[f(A)s](\lambda)=f(\lambda)s(\lambda)</math>.
-यानी हर जगह <math>H_{\lambda}</math> प्रत्यक्ष अभिन्न में एक (सामान्यीकृत) आइगेनस्पेस है <math>f(A)</math> आइगेनवैल्यू के साथ <math>f(\lambda)</math>.
+यानी हर जगह <math>H_{\lambda}</math> प्रत्यक्ष अभिन्न में एक (सामान्यीकृत) आइगेनस्थान है <math>f(A)</math> आइगेनवैल्यू के साथ <math>f(\lambda)</math>.
 == सामान्य स्व-आसन्न संकारक ==
-[[गणितीय विश्लेषण]] में पाए जाने वाले कई महत्वपूर्ण रेखीय संकारक, जैसे अवकल संकारक, अबाधित होते हैं। स्व-संलग्न संचालकों के लिए एक वर्णक्रमीय प्रमेय भी है जो इन मामलों में लागू होता है। एक उदाहरण देने के लिए, प्रत्येक स्थिर-गुणांक अंतर संकारक एक गुणन संकारक के समतुल्य है। वास्तव में, एकात्मक संकारक जो इस तुल्यता को लागू करता है, [[फूरियर रूपांतरण]] है; गुणा ऑपरेटर एक प्रकार का [[गुणक (फूरियर विश्लेषण)]] है।
+[[गणितीय विश्लेषण]] में पाए जाने वाले कई महत्वपूर्ण रेखीय संकारक, जैसे अवकल संकारक, अबाधित होते हैं। स्व-संलग्न संचालकों के लिए एक वर्णक्रमीय प्रमेय भी है जो इन मामलों में प्रयुक्त होता है। एक उदाहरण देने के लिए, प्रत्येक स्थिर-गुणांक अंतर संकारक एक गुणन संकारक के समतुल्य है। वास्तव में, एकात्मक संकारक जो इस तुल्यता को प्रयुक्त करता है, [[फूरियर रूपांतरण]] है; गुणा संचालिका  एक प्रकार का [[गुणक (फूरियर विश्लेषण)]] है।
-सामान्य तौर पर, स्व-संलग्न ऑपरेटरों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय कई समकक्ष रूप ले सकता है।<ref>See Section 10.1 of {{harvnb|Hall|2013}}</ref> विशेष रूप से, पिछले अनुभाग में दिए गए सभी फॉर्मूले सीमित स्व-आसन्न ऑपरेटरों के लिए दिए गए हैं - प्रोजेक्शन-वैल्यू माप संस्करण, गुणन-संचालक संस्करण, और प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण - छोटे के साथ अनबाउंड स्व-आसन्न ऑपरेटरों के लिए जारी है डोमेन मुद्दों से निपटने के लिए तकनीकी संशोधन।
+सामान्यतः , स्व-संलग्न संचालिका ों के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय कई समकक्ष रूप ले सकता है।<ref>See Section 10.1 of {{harvnb|Hall|2013}}</ref> विशेष रूप से, पिछले अनुभाग में दिए गए सभी फॉर्मूले सीमित स्व-आसन्न संचालिका ों के लिए दिए गए हैं - प्रोजेक्शन-वैल्यू माप संस्करण, गुणन-संचालक संस्करण, और प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण - छोटे के साथ अनबाउंड स्व-आसन्न संचालिका ों के लिए जारी है डोमेन मुद्दों से निपटने के लिए तकनीकी संशोधन।
+'''संस्करण, गुणन-संचालक संस्करण, और प्रत्यक्ष-अभिन्न संस्करण - छोटे के साथ अनबाउंड स्व-आसन्न संचालिका ों के लिए जारी है डोमेन मुद्दों से निपटने के लिए तकनीकी संशोधन।'''
 == यह भी देखें ==
 * {{annotated link|Hahn-Hellinger theorem}}
-* [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का वर्णक्रमीय सिद्धांत]]
+* [[कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का वर्णक्रमीय सिद्धांत|कॉम्पैक्ट संचालिका ों का वर्णक्रमीय सिद्धांत]]
 * सामान्य सी * - बीजगणित का वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * बोरेल कार्यात्मक पथरी
 * वर्णक्रमीय सिद्धांत
-* [[मैट्रिक्स अपघटन]]
+* [[मैट्रिक्स अपघटन|आव्यूह  अपघटन]]
 * कानूनी फॉर्म
 * [[जॉर्डन सामान्य रूप]], जिसमें वर्णक्रमीय अपघटन एक विशेष मामला है।
 * विलक्षण मूल्य अपघटन, मनमाना मैट्रिसेस के लिए वर्णक्रमीय प्रमेय का सामान्यीकरण।
-* मैट्रिक्स का आइगेनडीकम्पोज़िशन
+* आव्यूह  का आइगेनडीकम्पोज़िशन
 * वीनर-खिनचिन प्रमेय

v t e Spectral theory and ^*-algebras
Basic concepts	Involution/-algebra Banach algebra B-algebra C-algebra Noncommutative topology Projection-valued measure Spectrum Spectrum of a C-algebra Spectral radius Operator space
Main results	Gelfand–Mazur theorem Gelfand–Naimark theorem Gelfand representation Polar decomposition Singular value decomposition Spectral theorem Spectral theory of normal C*-algebras
Special Elements/Operators	Isospectral Normal operator Hermitian/Self-adjoint operator Unitary operator Unit
Spectrum	Krein–Rutman theorem Normal eigenvalue Spectrum of a C*-algebra Spectral radius Spectral asymmetry Spectral gap
Decomposition	Decomposition of a spectrum Continuous Point Residual Approximate point Compression Direct integral Discrete Spectral abscissa
Spectral Theorem	Borel functional calculus Min-max theorem Positive operator-valued measure Projection-valued measure Riesz projector Rigged Hilbert space Spectral theorem Spectral theory of compact operators Spectral theory of normal C*-algebras
Special algebras	Amenable Banach algebra With an Approximate identity Banach function algebra Disk algebra Nuclear C*-algebra Uniform algebra Von Neumann algebra Tomita–Takesaki theory
Finite-Dimensional	Alon–Boppana bound Bauer–Fike theorem Numerical range Schur–Horn theorem
Generalizations	Dirac spectrum Essential spectrum Pseudospectrum Structure space (Shilov boundary)
Miscellaneous	Abstract index group Banach algebra cohomology Cohen–Hewitt factorization theorem Extensions of symmetric operators Fredholm theory Limiting absorption principle Schröder–Bernstein theorems for operator algebras Sherman–Takeda theorem Unbounded operator
Examples	Wiener algebra
Applications	Almost Mathieu operator Corona theorem Hearing the shape of a drum (Dirichlet eigenvalue) Heat kernel Kuznetsov trace formula Lax pair Proto-value function Ramanujan graph Rayleigh–Faber–Krahn inequality Spectral geometry Spectral method Spectral theory of ordinary differential equations Sturm–Liouville theory Superstrong approximation Transfer operator Transform theory Weyl law Wiener–Khinchin theorem

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Revision as of 12:07, 27 April 2023

Contents

परिमित-आयामी मामला

हर्मिटियन मानचित्र और हर्मिटियन आव्यूह

सामान्य आव्यूह

कॉम्पैक्ट स्व-आसन्न संचालिका

परिबद्ध स्व-आसन्न संकारक

ईजेनवेक्टरों की संभावित अनुपस्थिति

स्पेक्ट्रल उप-स्थान और प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय

गुणन संचालिका संस्करण

प्रत्यक्ष अभिन्न

चक्रीय वैक्टर और सरल स्पेक्ट्रम

कार्यात्मक कलन

सामान्य स्व-आसन्न संकारक

यह भी देखें

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हर्मिटियन मानचित्र और हर्मिटियन आव्यूह

सामान्य आव्यूह

कॉम्पैक्ट स्व-आसन्न संचालिका

परिबद्ध स्व-आसन्न संकारक

ईजेनवेक्टरों की संभावित अनुपस्थिति

स्पेक्ट्रल उप-स्थान और प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय

गुणन संचालिका संस्करण

प्रत्यक्ष अभिन्न

चक्रीय वैक्टर और सरल स्पेक्ट्रम

कार्यात्मक कलन

सामान्य स्व-आसन्न संकारक

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