कोणीय संवेग संचालक

क्वांटम यांत्रिकी में, कोणीय संवेग संचालक शास्त्रीय कोणीय संवेग के अनुरूप विभिन्न संबंधित संचालकों (भौतिकी) में है। कोणीय गति संचालक परमाणु और आणविक भौतिकी के सिद्धांत और घूर्णी समरूपता से जुड़ी अन्य क्वांटम समस्याओं में केंद्रीय भूमिका निभाता है। इस प्रकार के संचालक को प्रणाली की भौतिक स्थिति के गणितीय प्रतिनिधित्व के लिए प्रस्तावित किया जाता है और यदि राज्य के लिए निश्चित मूल्य है तो कोणीय गति मान उत्पन्न करता है। शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिक दोनों प्रणालियों में, कोणीय गति (रैखिक गति और ऊर्जा के साथ) गति के तीन मूलभूत गुणों में से एक है।

विभिन्न कोणीय संवेग संचालक हैं, कुल कोणीय संवेग (सामन्यान्तः J से चिह्नित किया जाता है), कक्षीय कोणीय संवेग (सामन्यान्तः L से चिह्नित किया जाता है), और स्पिन कोणीय गति (लघु के लिए स्पिन, सामन्यान्तः S से दर्शाया जाता है)। 'कोणीय संवेग संचालक' शब्द (भ्रामक रूप से) कुल या कक्षीय कोणीय संवेग को संदर्भित कर सकता है। कुल कोणीय संवेग सदैव संरक्षित रहता है, नोएदर की प्रमेय देखें।

सिंहावलोकन

कुल कोणीय गति जे (हरा), कक्षीय एल (नीला), और स्पिन एस (लाल) के सदिश शंकु। कोणीय गति घटकों (#दृश्य व्याख्या) को मापने के मध्य क्वांटम अनिश्चितता के कारण शंकु उत्पन्न होते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में, कोणीय गति तीन भिन्न-भिन्न, किन्तु संबंधित चीजों में से एक को संदर्भित कर सकती है।

कक्षीय कोणीय संवेग

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ कोणीय संवेग है| इन वस्तुओं के क्वांटम-यांत्रिक समकक्ष समान संबंध साझा करते हैं-

$$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$$

जहां r क्वांटम स्थिति संचालक है, p क्वांटम संवेग संचालक है, × पार उत्पाद है, और L कक्षीय कोणीय संवेग संचालक है। L (p और r की भाँति) 'सदिश संचालक' है (सदिश जिसके घटक संचालक हैं), जैसे $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)$ जहां L_x, L_y, L_z तीन भिन्न-भिन्न क्वांटम-यांत्रिक संचालक हैं।

बिना विद्युत आवेश और स्पिन (भौतिकी) के एकल कण की विशेष स्तिथि में, कक्षीय कोणीय संवेग संचालक को स्थिति के आधार पर लिखा जा सकता है:

$$\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )$$

जहाँ , ∇ सदिश डिफरेंशियल संचालक है।

स्पिन कोणीय गति

Main article: Spin (physics)

एक अन्य प्रकार की कोणीय गति है, जिसे स्पिन (भौतिकी) कहा जाता है (अधिक बार स्पिन करने के लिए छोटा), स्पिन संचालक द्वारा दर्शाया गया $\mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)$. स्पिन को अधिकांशतः कण के रूप में चित्रित किया जाता है जो अक्ष के चारों ओर घूमता है, किन्तु यह रूपक है| स्पिन कण की आंतरिक संपत्ति है, जो अंतरिक्ष में किसी भी प्रकार (अभी तक प्रयोगात्मक रूप से देखने योग्य) गति से संबंधित नहीं है। सभी प्राथमिक कणों में विशिष्ट चक्रण होता है, जो सामन्यान्तः शून्य नहीं होता है। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रोनो में सदैव स्पिन 1/2 होता है जबकि फोटॉन में सदैव स्पिन 1 होता है।

कुल कोणीय संवेग

अंत में, कुल कोणीय गति होती है $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)$, जो कण या प्रणाली के स्पिन और कक्षीय कोणीय गति दोनों को जोड़ती है:

$$\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .$$

कोणीय गति के संरक्षण में कहा गया है कि J बंद प्रणाली के लिए, या J पूरे ब्रह्मांड के लिए संरक्षित है। चूँकि, L और S सामन्यान्तः संरक्षित नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन कोणीय गति को L और S के मध्य आगे और पीछे स्थानांतरित करने की अनुमति देता है, कुल J शेष स्थिर रहता है।

रूपान्तरण संबंध

घटकों के मध्य रूपांतरण संबंध

कक्षीय कोणीय गति संचालक, सदिश है, जिसका अर्थ है कि इसे इसके सदिश घटकों $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)$ के संदर्भ में लिखा जा सकता है| घटकों के एक दूसरे के साथ निम्नलिखित रूपान्तरण संबंध हैं-

$$\left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},$$

जहाँ [ , ] कम्यूटेटर (रिंग थ्योरी) को दर्शाता है

$$[X,Y]\equiv XY-YX.$$

इसे सामान्यत: इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},$$

जहाँ l, m, n घटक सूचकांक हैं (x के लिए 1, y के लिए 2, z के लिए 3), और ε_lmn लेवी-सिविता प्रतीक को दर्शाता है।

सदिश समीकरण के रूप में सघन व्यंजक भी संभव है:

$$\mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L}$$

रूपान्तरण संबंधों को विहित रूपान्तरण संबंधों के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में सिद्ध किया जा सकता है $[x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}$ जहाँ δ_lm क्रोनकर डेल्टा है।

शास्त्रीय भौतिकी में समान संबंध है:

$$\left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}$$

जहां L_n क्लासिकल कोणीय गति संचालक का घटक है, और $\{,\}$ पॉइसन ब्रैकेट है।

अन्य कोणीय गति संचालकों (स्पिन और कुल कोणीय गति) के लिए समान परिवर्तन संबंध प्रस्तावित होते हैं:

$$\left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.$$

इन्हें 'L' के अनुरूप माना जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, उन्हें चर्चा के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

इन रूपान्तरण संबंधों का अर्थ है कि 'L' में लाइ बीजगणित की गणितीय संरचना है, और ε_lmn इसकी संरचना स्थिरांक हैं। इस स्तिथि में, भौतकीय संकेतन में SU(2) या SO(3) लाई बीजगणित है , जैसे बीजगणित तीन आयामों में घूर्णन से जुड़ा हुआ है| J और S के संभंध में भी यही सच है। कोणीय गति की घूर्णन के जनरेटर के रूप में चर्चा की जाती है। ये रूपांतरण संबंध माप और अनिश्चितता के लिए प्रासंगिक हैं, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

अणुओं में, रोविब्रॉनिक (कक्षीय) कोणीय संवेग N, इलेक्ट्रॉन प्रचक्रण कोणीय संवेग S, और नाभिकीय प्रचक्रण कोणीय संवेग I का योग कुल कोणीय संवेग F होता है। इलेक्ट्रॉनिक एकल अवस्थाओं के लिए रोविब्रॉनिक कोणीय संवेग को N के स्थान पर J से दर्शाया जाता है। जैसा कि वैन व्लेक द्वारा समझाया गया है, आणविक रोविब्रॉनिक कोणीय संवेग के घटकों को अणु-स्थिर कुल्हाड़ियों के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो ऊपर दिए गए उन लोगों से भिन्न-भिन्न रूपांतरण संबंध हैं जो अंतरिक्ष-स्थिर कुल्हाड़ियों के घटकों के लिए हैं।

रूपान्तरण संबंध जिसमें सदिश परिमाण सम्मिलित है

किसी भी सदिश के भाँति, परिमाण के वर्ग को कक्षीय कोणीय गति संचालक के लिए परिभाषित किया जा सकता है,

$$L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.$$

$L^{2}$ अन्य क्वांटम संचालक (गणित) है। यह L के घटकों के साथ संचार करता है

$$\left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.$$

ये संचालक कम्यूट करते हैं यह सिद्ध करने की विधि है कि पिछले अनुभाग में [Lℓ, Lm] रूपान्तरण संबंध से प्रारंभ करें|

Proof of [L², L_x] = 0, starting from the [L_ℓ, L_m] commutation relations

$${\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\left[L_{y},L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+\left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_{z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&=0\end{aligned}}$$

गणितीय रूप से, SO(3) लाई बीजगणित, L द्वारा फैलाए गए कासिमिर अपरिवर्तनीय $L^{2}$ है

ऊपर, भौतिक में अनुरूप संबंध है:

$$\left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0$$

जहाँ, $L_{i}$ शास्त्रीय कोणीय गति संचालक का घटक है और $\{,\}$ पोइसन ब्रैकेट है।

क्वांटम स्तिथि में, समान परिवर्तन संबंध अन्य कोणीय गति संचालकों (स्पिन और कुल कोणीय गति) पर प्रस्तावित होते हैं,

$${\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}$$

अनिश्चितता सिद्धांत

Main articles: Uncertainty principle and Uncertainty principle derivations

सामन्यान्तः, क्वांटम यांत्रिकी में, जब दो अवलोकन संचालक कम्यूट नहीं होते हैं, तो उन्हें पूरकता (भौतिकी) कहा जाता है। दो पूरक वेधशालाओं को साथ नहीं मापा जा सकता है, इसके अतिरिक्त वे अनिश्चितता सिद्धांत को पूरा करते हैं। एक अवलोकन योग्य जितना अधिक त्रुटिहीन रूप से जाना जाता है, उतना ही कम त्रुटिहीन रूप से दूसरे को जाना जा सकता है। जिस प्रकार स्थिति और संवेग के संबंध में अनिश्चितता सिद्धांत है, उसी प्रकार कोणीय संवेग के लिए अनिश्चितता सिद्धांत हैं।

रॉबर्टसन-श्रोडिंगर संबंध निम्नलिखित अनिश्चितता सिद्धांत देता है:

$$\sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.$$

जहाँ $\sigma _{X}$, X के मापा मूल्यों में मानक विचलन है और X के एक्सपेक्टेशन वैल्यू (क्वांटम मैकेनिक्स) को $\langle X\rangle$ दर्शाता है। यह असमानता तब भी सही होती है जब x, y, z को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, या यदि L को J या S से परिवर्तित कर दिया जाता है।

इसलिए, कोणीय संवेग के दो लंबकोणीय घटक (उदाहरण के लिए L_x और L_y) पूरक हैं और विशेष स्तिथियों को छोड़कर, एक साथ ज्ञात या मापा नहीं जा सकता है जैसे कि $L_{x}=L_{y}=L_{z}=0$

चूँकि, L² और L का कोई घटक को एक साथ मापना या निर्दिष्ट करना संभव है, उदाहरण के लिए, L² और L_z | यह अधिकांशतः उपयोगी होता है, और मानों को अज़ीमुथल क्वांटम संख्या (एल) और चुंबकीय क्वांटम संख्या (एम) द्वारा चित्रित किया जाता है। इस स्तिथि में प्रणाली की क्वांटम स्थिति संचालकों L² और L_z की एक साथ आइगेन स्थिति है, किन्तु L_x या L_y की नहीं है| आइगेन मान, ​​​​l और m से संबंधित हैं, जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है।

परिमाणीकरण

See also: Azimuthal quantum number and Magnetic quantum number

क्वांटम यांत्रिकी में, कोणीय गति को परिमाणित किया जाता है - अर्थात, यह लगातार भिन्न नहीं हो सकता है, किन्तु केवल कुछ अनुमत मानों के मध्य क्वांटम छलांग में होता है। किसी भी प्रणाली के लिए, माप परिणामों पर निम्नलिखित प्रतिबंध प्रस्तावित होते हैं, जहाँ $\hbar$ कम प्लैंक स्थिरांक है|

If you measure...	...the result can be...	Notes
$L^{2}$	$\hbar ^{2}\ell (\ell +1)$,    where $\ell =0,1,2,\ldots$	$\ell$ is sometimes called azimuthal quantum number or orbital quantum number.
$L_{z}$	$\hbar m_{\ell }$,    where $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell$	$m_{\ell }$ is sometimes called magnetic quantum number. This same quantization rule holds for any component of $\mathbf {L}$; e.g., $L_{x}\,or\,L_{y}$. This rule is sometimes called spatial quantization.
$S^{2}$	$\hbar ^{2}s(s+1)$,    where $s=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$	s is called spin quantum number or just spin. For example, a spin-1⁄2 particle is a particle where s = 1⁄2.
$S_{z}$	$\hbar m_{s}$,    where $m_{s}=-s,(-s+1),\ldots ,(s-1),s$	$m_{s}$ is sometimes called spin projection quantum number. This same quantization rule holds for any component of $\mathbf {S}$; e.g., $S_{x}\,or\,S_{y}$.
$J^{2}$	$\hbar ^{2}j(j+1)$,    where $j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$	j is sometimes called total angular momentum quantum number.
$J_{z}$	$\hbar m_{j}$,    where $m_{j}=-j,(-j+1),\ldots ,(j-1),j$	$m_{j}$ is sometimes called total angular momentum projection quantum number. This same quantization rule holds for any component of $\mathbf {J}$; e.g., $J_{x}\,or\,J_{y}$.

एक वृत्ताकार डोरी पर खड़ी इस तरंग में, वृत्त ठीक 8 तरंगदैर्घ्यों में टूट जाता है। इस तरह की एक स्थायी तरंग में वृत्त के चारों ओर 0, 1, 2, या तरंग दैर्ध्य की कोई भी पूर्णांक संख्या हो सकती है, किन्तु इसमें 8.3 जैसी तरंग दैर्ध्य की एक गैर-पूर्णांक संख्या नहीं हो सकती है। क्वांटम यांत्रिकी में, कोणीय संवेग को इसी कारण से परिमाणित किया जाता है।

सीढ़ी संचालकों का उपयोग करके व्युत्पत्ति

Main article: Ladder operator § Angular momentum

उपरोक्त परिमाणीकरण नियमों को प्राप्त करने का सामान्य तरीका सीढ़ी संचालकों की विधि है। कुल कोणीय संवेग के लिए लैडर संचालक $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)$ के रूप में परिभाषित किया गया है,

$${\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}$$

कल्पना कीजिये, $J^{2}$ और $J_{z}$ का युगपत आइगेनस्टेट $|\psi \rangle$ (अर्थात, $J^{2}$ के लिए निश्चित मान और $J_{z}$ के लिए निश्चित मूल्य) है| $\mathbf {J}$ के घटकों के लिए रूपान्तरण संबंधों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है कि प्रत्येक स्तिथि $J_{+}|\psi \rangle$ और $J_{-}|\psi \rangle$ या तो शून्य है या $J^{2}$ और $J_{z}$ आइगेनस्तिथि है , $J^{2}$ के लिए $|\psi \rangle$ के समान मान के साथ किन्तु $J_{z}$ के लिए मूल्यों के साथ $\hbar$ द्वारा बढ़ाया या घटाया जाता है। सीढ़ी संचालक का उपयोग करने पर परिणाम शून्य होगा अन्यथा $J_{z}$ के लिए मूल्य के साथ स्तिथि में परिणाम देगा जो स्वीकार्य सीमा के अंतर्गत नहीं है। इस प्रकार सीढ़ी संचालक का उपयोग करके, संभावित मान और क्वांटम संख्याएँ $J^{2}$ और $J_{z}$ प्राप्त की जा सकती है।

Derivation of the possible values and quantum numbers for $J_{z}$ and $J^{2}$.

Let $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ be a state function for the system with eigenvalue ${J^{2}}'$ for $J^{2}$ and eigenvalue $J_{z}'$ for $J_{z}$.

From $J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$ is obtained,

$$J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.$$

Applying both sides of the above equation to $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$,

$$(J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').$$

Since $J_{x}$ and $J_{y}$ are real observables, ${J^{2}}'-J_{z}'^{2}$ is not negative and ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$. Thus $J_{z}'$ has an upper and lower bound.

Two of the commutation relations for the components of $\mathbf {J}$ are,

$$[J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.$$

They can be combined to obtain two equations, which are written together using $\pm$ signs in the following,

$$J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),$$

where one of the equations uses the $+$ signs and the other uses the $-$ signs. Applying both sides of the above to $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$,

$${\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}$$

The above shows that $(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ are two eigenfunctions of $J_{z}$ with respective eigenvalues ${J_{z}}'\pm \hbar$ , unless one of the functions is zero, in which case it is not an eigenfunction. For the functions that are not zero,

$$\psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').$$

Further eigenfunctions of $J_{z}$ and corresponding eigenvalues can be found by repeatedly applying $J_{x}\pm iJ_{y}$ as long as the magnitude of the resulting eigenvalue is $\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}$. Since the eigenvalues of $J_{z}$ are bounded, let $J_{z}^{0}$ be the lowest eigenvalue and $J_{z}^{1}$ be the highest. Then

$$(J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0$$

and

$$(J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,$$

since there are no states where the eigenvalue of $J_{z}$ is $<J_{z}^{0}$ or $>J_{z}^{1}$. By applying $(J_{x}+iJ_{y})$ to the first equation, $(J_{x}-iJ_{y})$ to the second, and using $J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}$, it can be shown that

$${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$$

and

$${J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.$$

Subtracting the first equation from the second and rearranging,

$$(J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.$$

Since $J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}$, the second factor is negative. Then the first factor must be zero and thus $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$.

The difference $J_{z}^{1}-J_{z}^{0}$ comes from successive application of $J_{x}-iJ_{y}$ or $J_{x}+iJ_{y}$ which lower or raise the eigenvalue of $J_{z}$ by $\hbar$ so that,

$$J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots$$

Let

$$J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,$$

where

$$j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.$$

Then using $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$ and the above,

$$J_{z}^{0}=-j\hbar$$

and

$$J_{z}^{1}=j\hbar ,$$

and the allowable eigenvalues of $J_{z}$ are

$$J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .$$

Expressing $J_{z}'$ in terms of a quantum number $m_{j}\;$, and substituting $J_{z}^{0}=-j\hbar$ into ${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$ from above,

${\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}$

$\mathbf {S}$ और $\mathbf {L}$ में $\mathbf {J}$ के समान रूपांतरण संबंध हैं, उनके लिए समान सीढ़ी विश्लेषण प्रस्तावित किया जा सकता है, इसके अतिरिक्त $\mathbf {L}$ क्वांटम संख्याओं पर प्रतिबंध है कि वे पूर्णांक होने चाहिए।

Traditional derivation of the restriction to integer quantum numbers for $L_{z}$ and $L^{2}$.

In the Schroedinger representation, the z component of the orbital angular momentum operator can be expressed in spherical coordinates as,

$$L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.$$

For $L_{z}$ and eigenfunction $\psi$ with eigenvalue $L_{z}'$,

$$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .$$

Solving for $\psi$,

$$\psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },$$

where $A$ is independent of $\phi$. Since $\psi$ is required to be single valued, and adding $2\pi$ to $\phi$ results in a coordinate for the same point in space,

$${\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}$$

Solving for the eigenvalue $L_{z}'$,

$$L_{z}'=m_{l}\hbar \;,$$

where $m_{l}$ is an integer. From the above and the relation $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \$, it follows that $\ell$ is also an integer. This shows that the quantum numbers $m_{\ell }$ and $\ell$ for the orbital angular momentum $\mathbf {L}$ are restricted to integers, unlike the quantum numbers for the total angular momentum $\mathbf {J}$ and spin $\mathbf {S}$, which can have half-integer values.

An alternative derivation which does not assume single-valued wave functions follows and another argument using Lie groups is below.

Alternative derivation of the restriction to integer quantum numbers for $L_{z}$ and $L^{2}$

A key part of the traditional derivation above is that the wave function must be single-valued. This is now recognised by many as not being completely correct: a wave function $\psi$ is not observable and only the probability density $\psi ^{*}\psi$ is required to be single-valued. The possible double-valued half-integer wave functions have a single-valued probability density. This was recognised by Pauli in 1939 (cited by Japaridze et al)

... there is no a priori convincing argument stating that the wave functions which describe some physical states must be single valued functions. For physical quantities, which are expressed by squares of wave functions, to be single valued it is quite sufficient that after moving around a closed contour these functions gain a factor exp(iα)

Double-valued wave functions have been found, such as $\left|{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta$ and $\left|{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{-i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta$. These do not behave well under the ladder operators, but have been found to be useful in describing rigid quantum particles

Ballentine gives an argument based solely on the operator formalism and which does not rely on the wave function being single-valued. The azimuthal angular momentum is defined as

$$L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}$$

Define new operators

$${\begin{aligned}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\sqrt {2}}}&q_{2}&={\frac {Q_{x}-P_{y}}{\sqrt {2}}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\sqrt {2}}}&p_{2}&={\frac {P_{x}+Q_{y}}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}$$

(Dimensional correctness may be maintained by inserting factors of mass and unit angular frequency numerically equal to one.) Then

$$L_{z}={\frac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)$$

But the two terms on the right are just the Hamiltonians for the quantum harmonic oscillator with unit mass and angular frequency

$${\begin{aligned}H_{1}&={\frac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)\\H_{2}&={\frac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)\end{aligned}}$$

and $L^{2}$, $L_{z}$, $H_{1}$ and $H_{2}$ all commute.

For commuting Hermitian operators a complete set of basis vectors can be chosen that are eigenvectors for all four operators. (The argument by Glorioso can easily be generalised to any number of commuting operators.)

For any of these eigenvectors $\psi$ with

$${\begin{aligned}L^{2}\psi &=\hbar \ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi &=\hbar m\psi \\H_{1}\psi &=\hbar \left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \\H_{2}\psi &=\hbar \left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \end{aligned}}$$

for some integers $n_{1},n_{2}$, we find

$$m=\left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)=n_{1}-n_{2}$$

As a difference of two integers, $m$ must be an integer, from which $\ell$ is also integral.

A more complex version of this argument using the ladder operators of the quantum harmonic oscillator has been given by Buchdahl.

दृश्य व्याख्या

कक्षीय कोणीय गति के सदिश मॉडल का चित्रण।

Main article: Vector model of the atom

चूँकि कोणीय संवेग क्वांटम संचालक होते हैं, उन्हें शास्त्रीय यांत्रिकी की भाँति वैक्टर के रूप में नहीं खींचा जा सकता है। उन्हें इस प्रकार से ह्यूरिस्टिक रूप में चित्रित करना साधारण है। दाईं ओर दर्शाया गया क्वांटम संख्या की स्तिथियों का समूह है $\ell =2$, और $m_{\ell }=-2,-1,0,1,2$ नीचे से ऊपर पाँच शंकुओं के लिए। $|L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}$, वैक्टर सभी लंबाई $\hbar {\sqrt {6}}$ से प्रदर्शित किये जाते हैं, अंगूठियां इस तथ्य का प्रतिनिधित्व करती हैं कि $L_{z}$ निश्चित रूप से जाना जाता है, किन्तु $L_{x}$ और $L_{y}$ अज्ञात हैं| इसलिए उपयुक्त लंबाई और z-घटक के साथ प्रत्येक क्लासिकल सदिश को शंकु बनाते हुए खींचा जाता है। द्वारा विशेषता क्वांटम राज्य में प्रणाली के दिए गए पहनावा के लिए कोणीय गति का अपेक्षित मूल्य $\ell$ और $m_{\ell }$ इस शंकु पर कहीं हो सकता है, जबकि इसे एक प्रणाली के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है (के घटकों के बाद से $L$ एक दूसरे के साथ यात्रा न करें)।

मैक्रोस्कोपिक प्रणाली में परिमाणीकरण

मैक्रोस्कोपिक प्रणाली के लिए भी परिमाणीकरण नियमों को व्यापक रूप से सही माना जाता है, जैसे कताई टायर के कोणीय गति एल। चूँकि उनका कोई अवलोकनीय प्रभाव नहीं है इसलिए इसका परीक्षण नहीं किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि $L_{z}/\hbar$ मोटे तौर पर 100000000 है, इससे अनिवार्य रूप से कोई फर्क नहीं पड़ता है कि क्या त्रुटिहीन मान 100000000 या 100000001 जैसा पूर्णांक है, या 100000000.2 जैसा गैर-पूर्णांक है—असतत चरण वर्तमान में मापने के लिए बहुत छोटे हैं।

घूर्णन के जनरेटर के रूप में कोणीय गति

See also: Total angular momentum quantum number

कोणीय गति की सबसे सामान्य और मौलिक परिभाषा घूर्णन के जनरेटर के रूप में है। अधिक विशेष रूप से, चलो $R({\hat {n}},\phi )$ एक रोटेशन संचालक (क्वांटम यांत्रिकी) बनें, जो धुरी के बारे में किसी क्वांटम राज्य को घुमाता है ${\hat {n}}$ कोण से $\phi$. जैसा $\phi \rightarrow 0$, परिचालक $R({\hat {n}},\phi )$ पहचान संचालक से संपर्क करता है, क्योंकि 0° का रोटेशन सभी राज्यों को अपने आप में मैप करता है। फिर कोणीय गति संचालक $J_{\hat {n}}$ अक्ष के बारे में ${\hat {n}}$ परिभाषित किया जाता है:

$$J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1}{\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}$$

जहां 1 पहचान संचालक है। यह भी ध्यान दें कि R एक योज्य आकारिकी है: $R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)$ ; एक परिणाम के रूप में

$$R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)$$

जहां ऍक्स्प मैट्रिक्स घातीय है।

सरल शब्दों में, टोटल कोणीय गति संचालक यह दर्शाता है कि जब क्वांटम प्रणाली को घुमाया जाता है तो उसे कैसे बदला जाता है। कोणीय गति संचालकों और रोटेशन संचालकों के मध्य संबंध वही है जो गणित में लाई बीजगणित और लाई समूहों के मध्य संबंध है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

विभिन्न प्रकार के रोटेशन संचालक (क्वांटम यांत्रिकी)। शीर्ष बॉक्स दो कणों को दिखाता है, जिसमें स्पिन राज्यों को तीरों द्वारा योजनाबद्ध रूप से दर्शाया गया है।

1. The operator R, related to J, rotates the entire system.
2. The operator R_spatial, related to L, rotates the particle positions without altering their internal spin states.
3. The operator R_internal, related to S, rotates the particles' internal spin states without changing their positions.

जैसे जे रोटेशन संचालक (क्वांटम यांत्रिकी) के लिए जनरेटर है, एल और एस संशोधित आंशिक रोटेशन संचालकों के लिए जनरेटर हैं। परिचालक

$$R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),$$

किसी भी कण की आंतरिक (स्पिन) स्थिति को घुमाए बिना, सभी कणों और क्षेत्रों की स्थिति (अंतरिक्ष में) को घुमाता है। इसी प्रकार संचालिका

$$R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),$$

अंतरिक्ष में किसी भी कण या क्षेत्र को स्थानांतरित किए बिना, सभी कणों की आंतरिक (स्पिन) स्थिति को घुमाता है। संबंध J = L + S से आता है:

$$R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)$$

यानी यदि पदों को घुमाया जाता है, और फिर आंतरिक राज्यों को घुमाया जाता है, तो कुल मिलाकर पूरा प्रणाली घूम गया है।

एसयू(2), एसओ(3), और 360 डिग्री रोटेशन

Main article: Spin (physics)

चूँकि कोई उम्मीद कर सकता है $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1$ (360° का घूर्णन पहचान संचालक है), यह क्वांटम यांत्रिकी में नहीं माना जाता है, और ज्ञात होता है कि यह अधिकांशतः सत्य नहीं होता है| जब कुल कोणीय गति क्वांटम संख्या आधा पूर्णांक है- (1/2, 3/2) , वगैरह।), $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1$, और जब यह पूर्णांक है- $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1$. गणितीय रूप से, ब्रह्मांड में घूर्णन की संरचना SO(3) नहीं है, शास्त्रीय यांत्रिकी में त्रि-आयामी घुमावों का झूठा समूह है। इसके अतिरिक्त, यह SU(2) है, जो छोटे घुमावों के लिए SO(3) के समान है, किन्तु जहां 360° घुमाव को गणितीय रूप से 0° के घूर्णन से भिन्न किया जाता है। (चूँकि, 720° का घूर्णन 0° के घूर्णन के समान है।)

वहीं दूसरी ओर, $R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1$ सभी परिस्थितियों में, क्योंकि स्थानिक विन्यास का 360° घूर्णन बिल्कुल भी घूर्णन न करने के समान है। (यह कण की आंतरिक (स्पिन) स्थिति के 360° घूर्णन से भिन्न है, जो बिल्कुल भी घूर्णन न होने के समान हो भी सकता है और नहीं भी।) दूसरे शब्दों में, $R_{\text{spatial}}$ संचालक SO(3) की संरचना को ले जाते हैं, जबकि $R$ और $R_{\text{internal}}$ संचालक SU(2) की संरचना को ले जाते हैं।

समीकरण से $+1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)$, आइगेनस्टेट चुनता है $L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle$ और खींचता है

$$e^{-2\pi im}=1$$

जिसका कहना है कि कक्षीय कोणीय गति क्वांटम संख्या केवल पूर्णांक हो सकती है, अर्ध-पूर्णांक नहीं हो सकती है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत से संबंध

Main articles: Particle physics and representation theory, Representation theory of SU(2), and Rotation group SO(3) § A note on Lie algebras

एक निश्चित क्वांटम अवस्था से शुरू $|\psi _{0}\rangle$, राज्यों के सेट पर विचार करें $R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle$ हर संभव के लिए ${\hat {n}}$ और $\phi$, यानी हर संभव तरीके से शुरुआती अवस्था को घुमाने से आने वाले राज्यों का समूह। उस सेट की रैखिक अवधि एक सदिश स्थान है, और इसलिए जिस तरह से रोटेशन संचालक एक राज्य को दूसरे पर मैप करते हैं, वह रोटेशन संचालकों के समूह का एक समूह प्रतिनिधित्व है।

जब रोटेशन संचालक क्वांटम राज्यों पर कार्य करते हैं, तो यह लाइ समूह एसयू (2) (आर और आर के लिए) का समूह प्रतिनिधित्व करता है_internal), या एसओ (3) (आर के लिए_spatial).

'जे' और रोटेशन संचालकों के मध्य संबंध से,

जब कोणीय संवेग संचालक क्वांटम अवस्थाओं पर कार्य करते हैं, तो यह लाई बीजगणित का एक समूह प्रतिनिधित्व बनाता है ${\mathfrak {su}}(2)$ या ${\mathfrak {so}}(3)$.

(SU(2) और SO(3) का झूठ बीजगणित समान हैं।)

उपरोक्त लैडर संचालक व्युत्पत्ति लाई बीजगणित SU(2) के अभ्यावेदन को वर्गीकृत करने की एक विधि है।

रूपान्तरण संबंधों से कनेक्शन

शास्त्रीय घुमाव एक दूसरे के साथ नहीं चलते हैं: उदाहरण के लिए, एक्स-अक्ष के बारे में 1° फिर y-अक्ष के बारे में 1° घुमाने से y-अक्ष के बारे में 1° फिर x-अक्ष के बारे में 1° घूमने की तुलना में थोड़ा भिन्न समग्र घुमाव मिलता है। एक्सिस। इस गैर-अनुक्रमणीयता का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करके, कोणीय संवेग संचालकों के रूपान्तरण संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं।

(यह वही गणनात्मक प्रक्रिया गणितीय प्रश्न का उत्तर देने का एक तरीका है झूठ समूह SO(3) या SU(2)? का झूठ बीजगणित क्या है?)

कोणीय गति का संरक्षण

हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) एच प्रणाली की ऊर्जा और गतिशीलता का प्रतिनिधित्व करता है। गोलाकार रूप से सममित स्थिति में, हैमिल्टनियन घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है:

$$RHR^{-1}=H$$

जहाँ R एक रोटेशन संचालक (क्वांटम यांत्रिकी) है। एक परिणाम के रूप में, $[H,R]=0$, और तब $[H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0}$ J और R के मध्य संबंध के कारण। Ehrenfest प्रमेय द्वारा, यह इस प्रकार है कि J संरक्षित है।

संक्षेप में, यदि H घूर्णी-अपरिवर्तनीय (गोलाकार सममित) है, तो कुल कोणीय गति J संरक्षित है। यह नोएदर के प्रमेय का एक उदाहरण है।

यदि H एक कण के लिए सिर्फ हैमिल्टनियन है, तो उस एक कण का कुल कोणीय संवेग तब संरक्षित होता है जब कण एक केंद्रीय क्षमता में होता है (अर्थात, जब संभावित ऊर्जा कार्य केवल पर निर्भर करता है) $\left|\mathbf {r} \right|$). वैकल्पिक रूप से, एच ​​ब्रह्मांड में सभी कणों और क्षेत्रों का हैमिल्टनियन हो सकता है, और फिर एच सदैव घूर्णनशील-अपरिवर्तनीय होता है, क्योंकि ब्रह्मांड के भौतिकी के मौलिक नियम अभिविन्यास के बावजूद समान होते हैं। यह कहने का आधार है कि कोणीय संवेग का संरक्षण भौतिकी का एक सामान्य सिद्धांत है।

स्पिन के बिना एक कण के लिए, 'J' = 'L', इसलिए समान परिस्थितियों में कक्षीय कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। जब स्पिन शून्य नहीं होता है, तो स्पिन-ऑर्बिट इंटरैक्शन कोणीय गति को 'एल' से 'एस' या वापस स्थानांतरित करने की अनुमति देता है। इसलिए, 'एल' अपने आप में संरक्षित नहीं है।

कोणीय गति युग्मन

Main articles: Angular momentum coupling and Clebsch–Gordan coefficients

अधिकांशतः , दो या दो से अधिक प्रकार के कोणीय संवेग एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करते हैं, ताकि कोणीय संवेग एक से दूसरे में स्थानांतरित हो सके। उदाहरण के लिए, स्पिन-कक्षा युग्मन में, कोणीय गति एल और एस के मध्य स्थानांतरित हो सकती है, किन्तु केवल कुल जे = एल + एस संरक्षित है। दूसरे उदाहरण में, दो इलेक्ट्रॉनों वाले एक परमाणु में, प्रत्येक का अपना कोणीय संवेग J होता है₁ और जे₂, किन्तु केवल कुल J = J₁ + जे₂ संरक्षित है।

इन स्थितियों में, एक ओर, जहां राज्यों के मध्य के संबंध को जानना अधिकांशतः उपयोगी होता है $\left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}$ सभी के निश्चित मूल्य हैं, और दूसरी ओर, जहाँ है $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}$ सभी के निश्चित मूल्य हैं, क्योंकि बाद के चार सामन्यान्तः संरक्षित (गति के स्थिरांक) हैं। इन आधारों (रैखिक बीजगणित) के मध्य आगे और पीछे जाने की प्रक्रिया क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक का उपयोग करना है।

इस क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि क्वांटम संख्याओं के मध्य संबंध $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}$:

$$j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right),\ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}.$$

जे = एल + एस के साथ एक परमाणु या अणु के लिए, शब्द प्रतीक संचालकों से जुड़े क्वांटम नंबर देता है $L^{2},S^{2},J^{2}$.

गोलाकार निर्देशांक में कक्षीय कोणीय गति

गोलाकार निर्देशांक में गोलाकार समरूपता के साथ समस्या को हल करते समय कोणीय गति संचालक सामन्यान्तः होते हैं। स्थानिक प्रतिनिधित्व में कोणीय गति है

$$\Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.$$