मध्यक्षेत्र: Difference between revisions

Latest revision as of 07:27, 16 October 2023

बहुफलक और उसका मध्यक्षेत्र। लाल वृत्त वृत्ताकार कैप्स की सीमाएँ हैं जिनके अन्दर वृत्त की सतह प्रत्येक शीर्ष से दृश्यता (ज्यामिति) होती है। आकार, बहुफलक के प्रत्येक किनारे के स्पर्शरेखा। वृत्त के दृश्य भाग, बहुफलक के बाहर, बहुफलक के प्रत्येक फलक पर दो आकार के वृत्ताकार टोपियां बनाते हैं: त्रिकोणीय फलको में छोटे, और चतुर्भुज फलको में बड़े। वृत्त की सतह पर लाल वृत्त, इन टोपी से निकलते हुए, प्रत्येक बहुफलक शीर्ष से दिखाई देने वाले क्षितिज को चिह्नित करते हैं। लाल वृत्तों के दो आकार वृत्ताकार कैप्स के समान होते हैं: छोटे वृत्त बहुफलक शीर्षों को आवरण करते हैं जहां तीन फलक मिलते हैं, और बड़े वृत्त उन शीर्षों को आवरण करते हैं जहां चार फलक मिलते हैं।

ज्यामिति में, उत्तल बहुफलक का मध्यक्षेत्र या अंतरक्षेत्र एक वृत्त होता है जो बहुफलक के प्रत्येक किनारे पर स्पर्शरेखा है प्रत्येक बहुफलक में मध्यक्षेत्र नहीं होता है, किन्तु एकसमान बहुफलक, जिसमें एकसमान बहुफलक, क्वासि नियमित बहुफलक और सेमीरेगुलर बहुफलक और उनके दोहरे बहुफलक सम्मिलित हैं, इस प्रकार सभी में मध्यक्षेत्र होते हैं। मध्यक्षेत्र की त्रिज्या को मध्यत्रिज्या कहा जाता है। बहुफलक जिसका मध्यक्षेत्र होता है, उसे इस वृत्त के चारों ओर मध्याभिमुख कहा जाता है।^[1]

जब बहुफलक का मध्यक्षेत्र होता है, तो मध्यक्षेत्र पर दो लंबवत वृत्त पैकिंग प्रमेय बना सकता है, इस प्रकार बहुफलक के शीर्षों के मध्य आसन्नता के अनुरूप होता है, और दूसरा इसके दोहरे बहुफलक के समान होता है, जिसका मध्यक्षेत्र समान होता है। प्रत्येक बहुफलक किनारे की लंबाई इस सर्कल पैकिंग प्रमेय इसके दो अंतिम बिंदुओं से उनके संबंधित वृत्त तक की दूरी का योग है।

प्रत्येक उत्तल बहुफलक के लिए संयोजन समतुल्य बहुफलक, कैनोनिकल बहुफलक होता है, इस प्रकार जिसमें मध्यक्षेत्र होता है, जो किनारों के स्पर्शरेखा बिंदुओं के केंद्रक पर केंद्रित होता है। संख्यात्मक सन्निकटन एल्गोरिदम इसका निर्माण कर सकते हैं, किन्तु इसके निर्देशांक को क्लोज्ड-फॉर्म एक्सप्रेशन के रूप में पूर्णतः प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। किसी भी कैनोनिकल बहुफलक और उसके ध्रुवीय दोहरे का उपयोग चार-आयामी एंटीप्रिज्म के दो विपरीत फलक बनाने के लिए किया जा सकता है।

परिभाषा एवं उदाहरण

इस प्रकार त्रि-आयामी उत्तल बहुफलक के मध्यक्षेत्र को ऐसे वृत्त के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बहुफलक के प्रत्येक किनारे पर स्पर्शरेखा होता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, प्रत्येक किनारे को इसे पार किए बिना, किनारे के आंतरिक बिंदु पर स्पर्श करना चाहिए। सामान्यतः, यह ऐसा वृत्त है जिसमें बहुफलक के प्रत्येक फलक का स्पर्शरेखीय बहुभुज सम्मिलित होता है।^[2] जब मध्यक्षेत्र उपस्थित होता है, तो यह अद्वितीय होता है। प्रत्येक उत्तल बहुफलक का मध्यक्षेत्र नहीं होता है; मध्यक्षेत्र होने के लिए, प्रत्येक फलक पर उत्कीर्ण वृत्त होना चाहिए (अर्थात्, यह स्पर्शरेखीय बहुभुज होना चाहिए), और यह सभी अंकित वृत्त ही वृत्त से संबंधित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, आयताकार घनाभ का मध्यक्षेत्र केवल तभी होता है जब वह घन होता है, क्योंकि अन्यथा इसके फलक के रूप में गैर-वर्गाकार आयत होते हैं, और इनमें अंकित वृत्त नहीं होते हैं।^[3]

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल (गणित) पर केंद्रित इकाई घन के लिए, आठ बिंदुओं पर शीर्षों के साथ ${\textstyle (\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}})}$ , $1/{\sqrt {2}}$ किनारों के मध्यबिंदु मूल बिंदु से दूरी पर हैं इसलिए, इस घन के लिए, मध्यक्षेत्र त्रिज्या ${\textstyle 1/{\sqrt {2}}}$ के साथ मूल बिंदु पर केन्द्रित है . यह अंकित वृत्त की त्रिज्या ${\textstyle 1/2}$ से बड़ा है, और परिचालित वृत्त की त्रिज्या ${\textstyle {\sqrt {3/4}}}$ से छोटा है, . अधिक सामान्यतः, किनारे की लंबाई $\ell$ के किसी भी प्लेटोनिक ठोस के लिए , मध्य त्रिज्या है^[4]

${\tfrac {1}{2{\sqrt {2}}}}\ell$ नियमित चतुष्फलक के लिए,
${\tfrac {1}{2}}\ell$ नियमित अष्टफलक के लिए,
${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\ell$ नियमित घन के लिए,
${\tfrac {\varphi }{2}}\ell$ नियमित विंशतिफलक के लिए, जहां $\varphi$ स्वर्णिम अनुपात को दर्शाता है, और
${\tfrac {\varphi ^{2}}{2}}\ell$ नियमित द्वादशफ़लक के लिए।

नियमित बहुफलक, क्वासिरेगुलर बहुफलक और सेमीरेगुलर बहुफलक और उनके दोहरे बहुफलक सहित सभी समान बहुफलक में मध्यक्षेत्र होते हैं। नियमित बहुफलक में, अंकित वृत्त, मध्यक्षेत्र और परिचालित वृत्त सभी उपस्थित हैं और संकेंद्रित वस्तुएं हैं,^[5] और मध्यक्षेत्र प्रत्येक किनारे को उसके मध्यबिंदु पर स्पर्श करता है।^[6]

चार जोड़ीदार स्पर्शरेखा क्षेत्रों के केंद्र क्रेले के चतुष्फलक के शीर्ष बनाते हैं। यहाँ, चार समान वृत्त नियमित चतुष्फलक बनाते हैं। मध्यक्षेत्र इन वृत्तो के स्पर्शरेखा के छह बिंदुओं से होकर निकलता है, जो इस स्थिति में नियमित अष्टफलक का निर्माण करते हैं।

प्रत्येक अनियमित चतुष्फलक का मध्यक्षेत्र नहीं होता है। जिस चतुष्फलक का मध्यक्षेत्र होता है उसे क्रेले का चतुष्फलक कहा जाता है; वह सभी टेट्राहेड्रा के छह-आयामी समष्टि का चार-आयामी उपवर्ग बनाते हैं (जैसा कि उनकी छह किनारों की लंबाई द्वारा मापदंड किया गया है)। अधिक स्पष्ट रूप से, क्रेले का टेट्राहेड्रा वास्तव में चार क्षेत्रों के केंद्रों द्वारा गठित टेट्राहेड्रा है जो सभी बाहरी रूप से दूसरे के स्पर्शरेखा हैं। इस स्थिति में, चतुष्फलक के छह किनारों की लंबाई इन क्षेत्रों की चार त्रिज्याओं का जोड़ीवार योग है।^[7] इस प्रकार ऐसे चतुष्फलक का मध्यक्षेत्र उन बिंदुओं पर इसके किनारों को स्पर्श करता है जहां चार उत्पन्न करने वाले क्षेत्रों में से दो दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं, और सभी चार उत्पन्न करने वाले क्षेत्रों के लंबवत होते हैं।^[8]

गुण

स्पर्शरेखा वृत्त

यदि $O$ उत्तल बहुफलक $P$ का मध्यक्षेत्र है , तो $P$ के किसी भी फलक के साथ $O$ का प्रतिच्छेदन एक वृत्त है जो फलक के अन्दर स्थित है, और इसके किनारों पर उन्हीं बिंदुओं पर स्पर्शरेखा है जहां मध्यक्षेत्र स्पर्शरेखा है। इस प्रकार, प्रत्येक फलक $P$ में खुदा हुआ वृत्त है, और यह वृत्त ठीक उसी समय दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं जब यह जिन फलकों पर स्थित होते हैं वह किनारे साझा करते हैं। (चूंकि, इन गुणों वाले वृत्तों की सभी प्रणालियाँ मध्यक्षेत्र से नहीं आती हैं।)^[1]

यदि $v$ , $P$ का एक शीर्ष है तो एक शंकु है जिसका शीर्ष $v$ पर है और वह एक वृत्त में $O$ की स्पर्श रेखा है; यह वृत्त वृत्ताकार टोपी की सीमा बनाता है जिसके अन्दर वृत्त की सतह शीर्ष से दृश्यता (ज्यामिति) होती है। अर्थात्, जैसा कि शीर्ष से देखा जाता है, वृत्त मध्यक्षेत्र का क्षितिज है। इस तरह से बने वृत्त ठीक उसी समय एक-दूसरे से स्पर्शरेखा होते हैं, जब वह शीर्ष किनारे से जुड़े होते हैं।^[9]

द्वैत

समान मध्यक्षेत्र के साथ घन और अष्टफलक का यौगिक

यदि बहुफलक $P$ का मध्यक्षेत्र $O$ है , पुनः $O$ के संबंध में ध्रुवीय बहुफलक का भी मध्यक्षेत्र $O$ ही है। ध्रुवीय बहुफलक के फलक तल $O$ वृत्तों से होकर निकलते हैं जो $P$ शीर्षों वाले शंकुओं की स्पर्श रेखाएं हैं इस प्रकार उनके शीर्ष के रूप में ^[2] ध्रुवीय बहुफलक के किनारों में मध्यक्षेत्र के साथ स्पर्शरेखा के समान बिंदु होते हैं, जिस पर वह $P$ किनारों के लंबवत होते हैं .^[10]

किनारे की लंबाई

इस प्रकार मध्यक्षेत्र वाले बहुफलक के लिए, प्रत्येक शीर्ष को वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करना संभव है (मध्यक्षेत्र के संबंध में शीर्ष के बिंदु की शक्ति) जो उस शीर्ष से स्पर्श करने वाले प्रत्येक किनारे के स्पर्श बिंदु तक की दूरी के समान होती है यह प्रत्येक किनारे के लिए, उसके अंतिम बिंदुओं को निर्दिष्ट दो संख्याओं का योग केवल किनारे की लंबाई है। उदाहरण के लिए, क्रेले के टेट्राहेड्रा को उनके चार शीर्षों पर इस तरह निर्दिष्ट चार संख्याओं द्वारा पैरामीटराइज़ किया जा सकता है, जिससे पता चलता है कि वह चार-आयामी वर्ग बनाते हैं।^[11]

उदाहरण के रूप में, चार बिंदु (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), और (0,0,1) क्रेले के टेट्राहेड्रा में से बनाते हैं, जिसमें तीन समद्विबाहु समकोण होते हैं और फलक के लिए समबाहु त्रिभुज यह चार बिंदु त्रिज्या वाले चार जोड़ीदार स्पर्शरेखा क्षेत्रों के केंद्र हैं समबाहु त्रिभुज पर तीन गैर-शून्य बिंदुओं के लिए त्रिज्या ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.707$ और $1-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\approx 0.293$ है यह चार संख्याएँ (तीन समान और छोटी) वह चार संख्याएँ हैं जो इस चतुष्फलक को मानकीकृत करती हैं। चतुष्फलक के तीन किनारे दो बिंदुओं को जोड़ते हैं और दोनों की त्रिज्या बड़ी होती है; इस प्रकार इन किनारों की लंबाई इन समान त्रिज्याओं ${\sqrt {2}}$ का योग है, अन्य तीन किनारे भिन्न-भिन्न त्रिज्याओं वाले दो बिंदुओं को जोड़ते हैं जिनका योग एक होता है।

जब मध्यक्षेत्र वाले बहुफलक में हैमिल्टनियन चक्र होता है, तो चक्र में किनारों की लंबाई के योग को शीर्षों की शक्तियों के योग के दोगुने में उसी तरह विभाजित किया जा सकता है। क्योंकि शीर्षों की शक्तियों का यह योग चक्र में किनारों की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, सभी हैमिल्टनियन चक्रों की लंबाई समान होती है।^[12]

कैनोनिकल बहुफलक

अष्टफलक के मध्यक्षेत्र पर क्षितिज वृत्तों को स्टीरियोग्राफिक रूप से प्रक्षेपित करके समतल (नीला) में वृत्त पैकिंग प्राप्त की जाती है। पीले कोने और लाल किनारे स्वयं अष्टफलक का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो केंद्रीय रूप से मध्यक्षेत्र पर प्रक्षेपित होता है और फिर स्टीरियोग्राफिक रूप से समतल पर प्रक्षेपित होता है।

इस प्रकार स्पर्शरेखा वृत्तों की प्रणालियों द्वारा समतलीय आरेख का प्रतिनिधित्व करने पर सर्कल पैकिंग प्रमेय का सशक्त रूप बताता है कि प्रत्येक बहुफलकीय आरेख को मध्यक्षेत्र के साथ बहुफलक के शीर्ष और किनारों द्वारा दर्शाया जा सकता है। सामान्यतः, किसी भी उत्तल बहुफलक को संगत शीर्षों, किनारों और फलकों के साथ संयोजनात्मक रूप से समतुल्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें मध्यक्षेत्र होता है। परिणामी बहुफलक के क्षितिज वृत्तों को, त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा, यूक्लिडियन प्लेन में वृत्त पैकिंग में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसका प्रतिच्छेदन आरेख दिया गया आरेख है: इसके वृत्त एक-दूसरे को पार नहीं करते हैं और एक-दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं, ठीक उसी समय जब वह शीर्षों के अनुरूप होते हैं ^[13] यद्यपि प्रत्येक बहुफलक का मध्यक्षेत्र के साथ संयोजनात्मक रूप से समतुल्य रूप होता है, कुछ बहुफलक का उत्कीर्ण वृत्त के साथ, या परिचालित वृत्त के साथ कोई समतुल्य रूप नहीं होता है।^[14]

इस प्रकार समान फलक जालक और समान मध्यक्षेत्र वाले किसी भी दो उत्तल बहुफलक को त्रि-आयामी समष्टि के प्रक्षेप्य परिवर्तन द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है जो मध्यक्षेत्र को एक ही स्थिति में छोड़ देता है। यह परिवर्तन वृत्त को उसकी समष्टि पर छोड़ देता है, किन्तु मोबियस परिवर्तन के अनुसार बिंदुओं को वृत्त के अन्दर ले जाता है।^[15] मध्यक्षेत्र वाला कोई भी बहुफलक, इस प्रकार स्केल किया गया हो कि मध्यक्षेत्र इकाई क्षेत्र हो, इस तरह से बहुफलक में परिवर्तित किया जा सकता है जिसके लिए स्पर्शरेखा बिंदुओं का केन्द्रक वृत्त के केंद्र में होता है। इस परिवर्तन का परिणाम दिए गए बहुफलक का समतुल्य रूप है, जिसे कैनोनिकल बहुफलक कहा जाता है, इस प्रोपाईटरी के साथ कि सभी कॉम्बिनेटरियल समकक्ष बहुफलक एक-दूसरे के समान कैनोनिकल बहुफलक का उत्पादन करेंगे, सर्वांगसमता (ज्यामिति) तक ^[16] परिवर्तन का भिन्न विकल्प मध्यक्षेत्र वाले किसी भी बहुफलक को ऐसे बहुफलक में ले जाता है जो मध्यक्षेत्र से शीर्ष की न्यूनतम दूरी को अधिकतम करता है। इसे रैखिक समय में पाया जा सकता है, और इस वैकल्पिक विधि से परिभाषित कैनोनिकल बहुफलक में ही बहुफलक के सभी संयोजक समकक्ष रूपों के मध्य अधिकतम समरूपता होती है।^[17] इस प्रकार अभिविन्यास-संरक्षण समरूपता के गैर-चक्रीय समूह वाले बहुफलक के लिए, परिवर्तन के दो विकल्प मेल खाते हैं।^[18] उदाहरण के लिए, घनाभ का कैनोनिकल बहुफलक, जिसे इन दोनों विधियों से परिभाषित किया गया है, एक घन है, जिसके केन्द्रक से उसके किनारे के मध्य बिंदु की दूरी के समान है और इसके किनारे की लंबाई ${\sqrt {2}}$ के समान है .^[19]

निर्माण

इस प्रकार किसी दिए गए बहुफलकीय आरेख के लिए कैनोनिकल बहुफलक का संख्यात्मक सन्निकटन आरेख और उसके दोहरे आरेख को यूक्लिडियन विमान में लंबवत सर्कल पैकिंग प्रमेय के रूप में प्रस्तुत करके बनाया जा सकता है,^[20] इसे वृत्त पर सर्कल पैकिंग की जोड़ी में परिवर्तित करने के लिए स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण को प्रयुक्त करना, मोबियस परिवर्तन के लिए संख्यात्मक रूप से खोज करना जो क्रॉसिंग पॉइंट्स के सेंट्रोइड को वृत्त के केंद्र में लाता है, और इस प्रकार बहुफलक के कोने को समष्टि में बिंदुओं पर रखता है परिवर्तित पैकिंग के दोहरे वृत्तों को उनके क्षितिज के रूप में रखना। चूंकि, वृत्त पैकिंग चरण में वृत्तों के निर्देशांक और त्रिज्याएँ रचनात्मक संख्या या गैर-रचनात्मक संख्याएँ हो सकती हैं जिनमें अंकगणित और $n$ वें-रूट संचालन का उपयोग करके कोई स्पष्ट बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं होती है।^[21]

वैकल्पिक रूप से, जॉर्ज डब्लू. हार्ट द्वारा प्रस्तावित कैनोनिकल बहुफलक के निर्माण के लिए सरल संख्यात्मक विधि प्रत्यक्ष बहुफलक शीर्षों के निर्देशांक के साथ कार्य करती है, किनारों को मूल से समान दूरी बनाने के प्रयास में उनकी स्थिति को समायोजित करती है, जिससे न्यूनतम बिंदु बनाए जा सके। इस प्रकार मूल बिंदु से दूरी का मूल उनके केन्द्रक के रूप में होता है, और बहुफलक के फलक समतल बने रहते हैं। सर्कल पैकिंग विधि के विपरीत, यह कैनोनिकल बहुफलक में परिवर्तित होने के लिए सिद्ध नहीं हुआ है, और यह दिए गए बहुफलक के संयोजन के समान बहुफलक का उत्पादन करने की गारंटी भी नहीं देता है, किन्तु यह छोटे उदाहरणों पर अच्छी तरह से कार्य करता प्रतीत होता है।^[19]

अनुप्रयोग

इस प्रकार कैनोनिकल बहुफलक और इसके ध्रुवीय दोहरे का उपयोग एंटीप्रिज्म के चार-आयामी एनालॉग के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसके दो विपरीत फलको में से किसी भी दिए गए त्रि-आयामी बहुफलक के संयोजन के समान है। यह अज्ञात है कि क्या प्रत्येक त्रि-आयामी बहुफलक को प्रत्यक्ष चार-आयामी एंटीप्रिज्म के फलक के रूप में उपयोग किया जा सकता है, इसे इसके कैनोनिकल बहुफलक द्वारा प्रतिस्थापित किए बिना, किन्तु इच्छानुसार त्रि-आयामी बहुफलक और इसके दोनों का उपयोग करके ऐसा करना सदैव संभव नहीं होता है ^[1]

काजिंग एन एग

इस प्रकार कैनोनिकल बहुफलक के निर्माण में मध्यक्षेत्र को किसी भी स्मूथ उत्तल पिंड द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। ऐसे निकाय को देखते हुए, प्रत्येक बहुफलक में संयोजनात्मक रूप से समतुल्य अनुभूति होती है जिसके किनारे इस निकाय के स्पर्शरेखा होते हैं। इसे काजिंग एन एग के रूप में वर्णित किया गया है: स्मूथ निकाय एग है और बहुफलकीय अनुभव इसका काजिंग है।^[22] इसके अतिरिक्त, एग पर स्पर्शरेखा के तीन निर्दिष्ट बिंदुओं के लिए काजिंग के तीन किनारों को सही करने से यह अनुहाव अद्वितीय हो जाता है।^[23]

यह भी देखें

आदर्श बहुफलक, अतिपरवलयिक बहुफलक जिसमें प्रत्येक शीर्ष अनंत पर वृत्त पर स्थित होता है

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Grünbaum (2005).
↑ ^2.0 ^2.1 Coxeter (1973).
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↑ Coxeter (1973) states this for regular polyhedra; Cundy & Rollett 1961 for Archimedean polyhedra.
↑ Pugh (1976).
↑ László (2017). The irregular tetrahedra with a midsphere provide a counterexample to an incorrect claim of Pugh (1976): it is not true that only the regular polyhedra have all three of a midsphere, insphere, and circumsphere.
↑ Byer & Smeltzer (2015).
↑ Ziegler (2007).
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↑ Schramm (1992); Steinitz (1928).
↑ Sachs (1994).
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संदर्भ

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[FOOTNOTEGrünbaum2005-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Grünbaum (2005).

[FOOTNOTECoxeter1973-2] 2.0 ^2.1 Coxeter (1973).

[FOOTNOTEWheeler1958-3] Wheeler (1958).

[4] Coxeter (1973), Table I(i), pp. 292–293. See column " ${}_{1}\!\mathrm {R} /\ell$ ", where ${}_{1}\!\mathrm {R}$ is Coxeter's notation for the midradius, noting also that Coxeter uses $2\ell$ as the edge length (see p. 2).

[5] Coxeter (1973) states this for regular polyhedra; Cundy & Rollett 1961 for Archimedean polyhedra.

[FOOTNOTEPugh1976-6] Pugh (1976).

[7] László (2017). The irregular tetrahedra with a midsphere provide a counterexample to an incorrect claim of Pugh (1976): it is not true that only the regular polyhedra have all three of a midsphere, insphere, and circumsphere.

[FOOTNOTEByerSmeltzer2015-8] Byer & Smeltzer (2015).

[FOOTNOTEZiegler2007-9] Ziegler (2007).

[FOOTNOTECundyRollett1961-10] Cundy & Rollett (1961).

[FOOTNOTELászló2017-11] László (2017).

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[13] Schramm (1992); Sachs (1994). Schramm states that the existence of an equivalent polyhedron with a midsphere was claimed by Koebe (1936), but that Koebe only proved this result for polyhedra with triangular faces. Schramm credits the full result to William Thurston, but the relevant portion of Thurston's lecture notes [1] again only states the result explicitly for triangulated polyhedra.

[14] Schramm (1992); Steinitz (1928).

[FOOTNOTESachs1994-15] Sachs (1994).

[FOOTNOTEZiegler1995-16] Ziegler (1995).

[FOOTNOTEBernEppstein2001-17] Bern & Eppstein (2001).

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[FOOTNOTEMohar1993-20] Mohar (1993).

[FOOTNOTEBannisterDevannyEppsteinGoodrich2015-21] Bannister et al. (2015).

[FOOTNOTESchramm1992-22] Schramm (1992).

[FOOTNOTELiuZhou2016-23] Liu & Zhou (2016).

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 {{short description|Sphere tangent to every edge of a polyhedron}}
-[[File:Midsphere.png|thumb|एक बहुफलक और उसका मध्यमंडल। लाल वृत्त गोलाकार टोपियों की सीमाएँ हैं जिनके भीतर गोले की सतह प्रत्येक शीर्ष से [[दृश्यता (ज्यामिति)]] होती है। आकार, बहुफलक के प्रत्येक किनारे के स्पर्शरेखा। गोले के दृश्य भाग, पॉलीहेड्रॉन के बाहर, पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक चेहरे पर दो आकार के गोलाकार टोपियां बनाते हैं: त्रिकोणीय चेहरों में छोटे, और चतुर्भुज चेहरों में बड़े। गोले की सतह पर लाल वृत्त, इन टोपी से गुजरते हुए, प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन शीर्ष से दिखाई देने वाले क्षितिज को चिह्नित करते हैं। लाल वृत्तों के दो आकार गोलाकार टोपियों के समान होते हैं: छोटे वृत्त पॉलीहेड्रॉन शीर्षों को घेरते हैं जहां तीन चेहरे मिलते हैं, और बड़े वृत्त उन शीर्षों को घेरते हैं जहां चार चेहरे मिलते हैं।]][[ज्यामिति]] में, [[[[[[अर्धनियमित बहुफलक]]]]]] का मध्यक्षेत्र या अंतरक्षेत्र एक ऐसा [[गोला]] होता है [[दोहरी बहुफलक]] के प्रत्येक किनारे (ज्यामिति) के [[स्पर्शरेखा]] होता है। प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन में एक मध्यक्षेत्र नहीं होता है, लेकिन एकसमान पॉलीहेड्रॉन, जिसमें [[एकसमान बहुफलक]], क्वासि[[ नियमित बहुफलक ]] और सेमीरेगुलर पॉलीहेड्रॉन पॉलीहेड्रा और उनके दोहरे पॉलीहेड्रॉन शामिल हैं, सभी में मध्यक्षेत्र होते हैं। मध्यमंडल की त्रिज्या को मध्यत्रिज्या कहा जाता है। एक बहुफलक जिसका मध्यगोला होता है, उसे इस गोले के चारों ओर मध्याभिमुख कहा जाता है।{{sfnp|Grünbaum|2005}}
+[[File:Midsphere.png|thumb|बहुफलक और उसका मध्यक्षेत्र। लाल वृत्त वृत्ताकार कैप्स की सीमाएँ हैं जिनके अन्दर वृत्त की सतह प्रत्येक शीर्ष से [[दृश्यता (ज्यामिति)]] होती है। आकार, बहुफलक के प्रत्येक किनारे के स्पर्शरेखा। वृत्त के दृश्य भाग, बहुफलक के बाहर, बहुफलक के प्रत्येक फलक पर दो आकार के वृत्ताकार टोपियां बनाते हैं: त्रिकोणीय फलको में छोटे, और चतुर्भुज फलको में बड़े। वृत्त की सतह पर लाल वृत्त, इन टोपी से निकलते हुए, प्रत्येक बहुफलक शीर्ष से दिखाई देने वाले क्षितिज को चिह्नित करते हैं। लाल वृत्तों के दो आकार वृत्ताकार कैप्स के समान होते हैं: छोटे वृत्त बहुफलक शीर्षों को आवरण करते हैं जहां तीन फलक मिलते हैं, और बड़े वृत्त उन शीर्षों को आवरण करते हैं जहां चार फलक मिलते हैं।                                             |alt=                                                                                                                         ]][[ज्यामिति]] में, उत्तल बहुफलक का '''मध्यक्षेत्र''' या अंतरक्षेत्र एक वृत्त होता है जो बहुफलक के प्रत्येक किनारे पर स्पर्शरेखा है प्रत्येक बहुफलक में मध्यक्षेत्र नहीं होता है, किन्तु एकसमान बहुफलक, जिसमें [[एकसमान बहुफलक]], क्वासि[[ नियमित बहुफलक | नियमित बहुफलक]] और सेमीरेगुलर बहुफलक और उनके दोहरे बहुफलक सम्मिलित हैं, इस प्रकार सभी में मध्यक्षेत्र होते हैं। मध्यक्षेत्र की त्रिज्या को मध्यत्रिज्या कहा जाता है। बहुफलक जिसका मध्यक्षेत्र होता है, उसे इस वृत्त के चारों ओर मध्याभिमुख कहा जाता है।{{sfnp|Grünbaum|2005}}
-जब एक बहुफलक का एक मध्यक्षेत्र होता है, तो एक मध्यक्षेत्र पर दो लंबवत वृत्त पैकिंग प्रमेय बना सकता है, एक बहुफलक के शीर्षों के बीच आसन्नता के अनुरूप होता है, और दूसरा इसके दोहरे बहुफलक के समान होता है, जिसका मध्यक्षेत्र समान होता है। प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन किनारे की लंबाई इस [[सर्कल पैकिंग प्रमेय]] इसके दो अंतिम बिंदुओं से उनके संबंधित सर्कल तक की दूरी का योग है।
+जब बहुफलक का मध्यक्षेत्र होता है, तो मध्यक्षेत्र पर दो लंबवत वृत्त पैकिंग प्रमेय बना सकता है, इस प्रकार बहुफलक के शीर्षों के मध्य आसन्नता के अनुरूप होता है, और दूसरा इसके दोहरे बहुफलक के समान होता है, जिसका मध्यक्षेत्र समान होता है। प्रत्येक बहुफलक किनारे की लंबाई इस [[सर्कल पैकिंग प्रमेय]] इसके दो अंतिम बिंदुओं से उनके संबंधित वृत्त तक की दूरी का योग है।
-प्रत्येक उत्तल पॉलीहेड्रॉन के लिए एक संयोजन समतुल्य पॉलीहेड्रॉन, कैनोनिकल पॉलीहेड्रॉन होता है, जिसमें एक मध्यक्षेत्र होता है, जो किनारों के स्पर्शरेखा बिंदुओं के केंद्रक पर केंद्रित होता है। संख्यात्मक सन्निकटन एल्गोरिदम इसका निर्माण कर सकते हैं, लेकिन इसके निर्देशांक को [[बंद-रूप अभिव्यक्ति]] के रूप में बिल्कुल प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। किसी भी विहित बहुफलक और उसके ध्रुवीय दोहरे का उपयोग चार-आयामी [[ प्रतिवाद ]] के दो विपरीत चेहरे बनाने के लिए किया जा सकता है।
+प्रत्येक उत्तल बहुफलक के लिए संयोजन समतुल्य बहुफलक, कैनोनिकल बहुफलक होता है, इस प्रकार जिसमें मध्यक्षेत्र होता है, जो किनारों के स्पर्शरेखा बिंदुओं के केंद्रक पर केंद्रित होता है। संख्यात्मक सन्निकटन एल्गोरिदम इसका निर्माण कर सकते हैं, किन्तु इसके निर्देशांक को [[बंद-रूप अभिव्यक्ति|क्लोज्ड-फॉर्म एक्सप्रेशन]] के रूप में पूर्णतः प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। किसी भी कैनोनिकल बहुफलक और उसके ध्रुवीय दोहरे का उपयोग चार-आयामी [[ प्रतिवाद |एंटीप्रिज्म]] के दो विपरीत फलक बनाने के लिए किया जा सकता है।
 ==परिभाषा एवं उदाहरण==
-त्रि-आयामी उत्तल बहुफलक के मध्यक्षेत्र को एक ऐसे गोले के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बहुफलक के प्रत्येक किनारे पर स्पर्शरेखा होता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, प्रत्येक किनारे को इसे पार किए बिना, किनारे के आंतरिक बिंदु पर छूना चाहिए। समान रूप से, यह एक ऐसा गोला है जिसमें बहुफलक के प्रत्येक फलक का [[स्पर्शरेखीय बहुभुज]] शामिल होता है।{{sfnp|Coxeter|1973}} जब एक मध्यक्षेत्र मौजूद होता है, तो यह अद्वितीय होता है। प्रत्येक उत्तल बहुफलक का मध्यक्षेत्र नहीं होता; एक मध्यगोला होने के लिए, प्रत्येक फलक पर एक उत्कीर्ण वृत्त होना चाहिए (अर्थात्, यह एक स्पर्शरेखीय बहुभुज होना चाहिए), और ये सभी अंकित वृत्त एक ही गोले से संबंधित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, एक आयताकार घनाभ का मध्यगोला केवल तभी होता है जब वह एक घन होता है, क्योंकि अन्यथा इसके फलक के रूप में गैर-वर्गाकार आयत होते हैं, और इनमें अंकित वृत्त नहीं होते हैं।{{sfnp|Wheeler|1958}}
+इस प्रकार त्रि-आयामी उत्तल बहुफलक के मध्यक्षेत्र को ऐसे वृत्त के रूप में परिभाषित किया जाता है जो बहुफलक के प्रत्येक किनारे पर स्पर्शरेखा होता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, प्रत्येक किनारे को इसे पार किए बिना, किनारे के आंतरिक बिंदु पर स्पर्श करना चाहिए। सामान्यतः, यह ऐसा वृत्त है जिसमें बहुफलक के प्रत्येक फलक का [[स्पर्शरेखीय बहुभुज]] सम्मिलित होता है।{{sfnp|Coxeter|1973}} जब मध्यक्षेत्र उपस्थित होता है, तो यह अद्वितीय होता है। प्रत्येक उत्तल बहुफलक का मध्यक्षेत्र नहीं होता है; मध्यक्षेत्र होने के लिए, प्रत्येक फलक पर उत्कीर्ण वृत्त होना चाहिए (अर्थात्, यह स्पर्शरेखीय बहुभुज होना चाहिए), और यह सभी अंकित वृत्त ही वृत्त से संबंधित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, आयताकार घनाभ का मध्यक्षेत्र केवल तभी होता है जब वह घन होता है, क्योंकि अन्यथा इसके फलक के रूप में गैर-वर्गाकार आयत होते हैं, और इनमें अंकित वृत्त नहीं होते हैं।{{sfnp|Wheeler|1958}}
-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल (गणित) पर केंद्रित एक [[इकाई घन]] के लिए, आठ बिंदुओं पर शीर्षों के साथ <math display=inline>(\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12)</math>, किनारों के मध्यबिंदु दूरी पर हैं <math>1/\sqrt2</math> मूल से. इसलिए, इस घन के लिए, मध्यगोला त्रिज्या के साथ मूल बिंदु पर केन्द्रित है <math display=inline>1/\sqrt2</math>. यह अंकित गोले की त्रिज्या से बड़ा है, <math display=inline>1/2</math>, और परिचालित गोले की त्रिज्या से छोटा है, <math display=inline>\sqrt{3/4}</math>. अधिक सामान्यतः, किनारे की लंबाई के किसी भी [[प्लेटोनिक ठोस]] के लिए <math>\ell</math>, मध्य त्रिज्या है<ref>{{harvtxt|Coxeter|1973}}, Table I(i), pp. 292–293. See column "<math>{}_1\!\mathrm{R}/\ell</math>", where <math>{}_1\!\mathrm{R}</math> is Coxeter's notation for the midradius, noting also that Coxeter uses <math>2\ell</math> as the edge length (see p. 2).</ref>
+कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल (गणित) पर केंद्रित [[इकाई घन]] के लिए, आठ बिंदुओं पर शीर्षों के साथ <math display=inline>(\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12)</math>, <math>1/\sqrt2</math> किनारों के मध्यबिंदु मूल बिंदु से दूरी पर हैं   इसलिए, इस घन के लिए, मध्यक्षेत्र त्रिज्या <math display="inline">1/\sqrt2</math> के साथ मूल बिंदु पर केन्द्रित है . यह अंकित वृत्त की त्रिज्या <math display="inline">1/2</math> से बड़ा है, और परिचालित वृत्त की त्रिज्या <math display="inline">\sqrt{3/4}</math> से छोटा है, . अधिक सामान्यतः, किनारे की लंबाई <math>\ell</math> के किसी भी [[प्लेटोनिक ठोस]] के लिए , मध्य त्रिज्या है<ref>{{harvtxt|Coxeter|1973}}, Table I(i), pp. 292–293. See column "<math>{}_1\!\mathrm{R}/\ell</math>", where <math>{}_1\!\mathrm{R}</math> is Coxeter's notation for the midradius, noting also that Coxeter uses <math>2\ell</math> as the edge length (see p. 2).</ref>
-* <math>\tfrac{1}{2\sqrt2}\ell</math> एक नियमित चतुष्फलक के लिए,
+* <math>\tfrac{1}{2\sqrt2}\ell</math> नियमित चतुष्फलक के लिए,
-* <math>\tfrac12\ell</math> एक नियमित [[अष्टफलक]] के लिए,
+* <math>\tfrac12\ell</math> नियमित [[अष्टफलक]] के लिए,
-* <math>\tfrac{1}{\sqrt2}\ell</math> एक नियमित घन के लिए,
+* <math>\tfrac{1}{\sqrt2}\ell</math> नियमित घन के लिए,
-* <math>\tfrac{\varphi}{2}\ell</math> एक नियमित [[विंशतिफलक]] के लिए, जहां <math>\varphi</math> स्वर्णिम अनुपात को दर्शाता है, और
+* <math>\tfrac{\varphi}{2}\ell</math> नियमित [[विंशतिफलक]] के लिए, जहां <math>\varphi</math> स्वर्णिम अनुपात को दर्शाता है, और
-* <math>\tfrac{\varphi^2}{2}\ell</math> एक नियमित [[द्वादशफ़लक]] के लिए।
+* <math>\tfrac{\varphi^2}{2}\ell</math> नियमित [[द्वादशफ़लक]] के लिए।
-नियमित पॉलीहेड्रॉन, क्वासिरेगुलर पॉलीहेड्रॉन और सेमीरेगुलर पॉलीहेड्रॉन पॉलीहेड्रा और उनके दोहरे पॉलीहेड्रॉन सहित सभी समान पॉलीहेड्रॉन में मध्यक्षेत्र होते हैं। नियमित पॉलीहेड्रा में, अंकित गोला, मध्यक्षेत्र और परिचालित गोला सभी मौजूद हैं और संकेंद्रित वस्तुएं हैं,<ref>{{harvtxt|Coxeter|1973}} states this for regular polyhedra; {{harvnb|Cundy|Rollett|1961}} for Archimedean polyhedra.</ref> और मध्यगोला प्रत्येक किनारे को उसके मध्यबिंदु पर छूता है।{{sfnp|Pugh|1976}}
+नियमित बहुफलक, क्वासिरेगुलर बहुफलक और सेमीरेगुलर बहुफलक और उनके दोहरे बहुफलक सहित सभी समान बहुफलक में मध्यक्षेत्र होते हैं। नियमित बहुफलक में, अंकित वृत्त, मध्यक्षेत्र और परिचालित वृत्त सभी उपस्थित हैं और संकेंद्रित वस्तुएं हैं,<ref>{{harvtxt|Coxeter|1973}} states this for regular polyhedra; {{harvnb|Cundy|Rollett|1961}} for Archimedean polyhedra.</ref> और मध्यक्षेत्र प्रत्येक किनारे को उसके मध्यबिंदु पर स्पर्श करता है।{{sfnp|Pugh|1976}}
-[[File:FCC closed packing tetrahedron (4).jpg|thumb|upright|चार जोड़ीदार स्पर्शरेखा क्षेत्रों के केंद्र क्रेले के टेट्राहेड्रोन के शीर्ष बनाते हैं। यहाँ, चार समान गोले एक नियमित चतुष्फलक बनाते हैं। मध्यगोला इन गोलों के स्पर्शरेखा के छह बिंदुओं से होकर गुजरता है, जो इस मामले में एक नियमित अष्टफलक का निर्माण करते हैं।|alt=नियमित चतुष्फलक के शीर्षों पर केन्द्रित समान आकार के चार सफेद गोले एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।]]प्रत्येक अनियमित चतुष्फलक का मध्यमंडल नहीं होता। जिस चतुष्फलक का मध्यक्षेत्र होता है उसे क्रेले का चतुष्फलक कहा जाता है; वे सभी टेट्राहेड्रा के छह-आयामी स्थान का एक चार-आयामी उपपरिवार बनाते हैं (जैसा कि उनकी छह किनारों की लंबाई द्वारा पैरामीटर किया गया है)। अधिक सटीक रूप से, क्रेले का टेट्राहेड्रा वास्तव में चार क्षेत्रों के केंद्रों द्वारा गठित टेट्राहेड्रा है जो सभी बाहरी रूप से एक दूसरे के स्पर्शरेखा हैं। इस मामले में, टेट्राहेड्रोन के छह किनारों की लंबाई इन क्षेत्रों की चार त्रिज्याओं का जोड़ीवार योग है।<ref>{{harvtxt|László|2017}}. The irregular tetrahedra with a midsphere provide a counterexample to an incorrect claim of {{harvtxt|Pugh|1976}}: it is not true that only the regular polyhedra have all three of a midsphere, insphere, and circumsphere.</ref> ऐसे टेट्राहेड्रोन का मध्यक्षेत्र उन बिंदुओं पर इसके किनारों को छूता है जहां चार उत्पन्न करने वाले क्षेत्रों में से दो एक दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं, और सभी चार उत्पन्न करने वाले क्षेत्रों के लंबवत होते हैं।{{sfnp|Byer|Smeltzer|2015}}
+[[File:FCC closed packing tetrahedron (4).jpg|thumb|upright|चार जोड़ीदार स्पर्शरेखा क्षेत्रों के केंद्र क्रेले के चतुष्फलक के शीर्ष बनाते हैं। यहाँ, चार समान वृत्त नियमित चतुष्फलक बनाते हैं। मध्यक्षेत्र इन वृत्तो के स्पर्शरेखा के छह बिंदुओं से होकर निकलता है, जो इस स्थिति में नियमित अष्टफलक का निर्माण करते हैं।|alt=नियमित चतुष्फलक के शीर्षों पर केन्द्रित समान आकार के चार सफेद गोले एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।]]प्रत्येक अनियमित चतुष्फलक का मध्यक्षेत्र नहीं होता है। जिस चतुष्फलक का मध्यक्षेत्र होता है उसे क्रेले का चतुष्फलक कहा जाता है; वह सभी टेट्राहेड्रा के छह-आयामी समष्टि का चार-आयामी उपवर्ग बनाते हैं (जैसा कि उनकी छह किनारों की लंबाई द्वारा मापदंड किया गया है)। अधिक स्पष्ट रूप से, क्रेले का टेट्राहेड्रा वास्तव में चार क्षेत्रों के केंद्रों द्वारा गठित टेट्राहेड्रा है जो सभी बाहरी रूप से दूसरे के स्पर्शरेखा हैं। इस स्थिति में, चतुष्फलक के छह किनारों की लंबाई इन क्षेत्रों की चार त्रिज्याओं का जोड़ीवार योग है।<ref>{{harvtxt|László|2017}}. The irregular tetrahedra with a midsphere provide a counterexample to an incorrect claim of {{harvtxt|Pugh|1976}}: it is not true that only the regular polyhedra have all three of a midsphere, insphere, and circumsphere.</ref> इस प्रकार ऐसे चतुष्फलक का मध्यक्षेत्र उन बिंदुओं पर इसके किनारों को स्पर्श करता है जहां चार उत्पन्न करने वाले क्षेत्रों में से दो दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं, और सभी चार उत्पन्न करने वाले क्षेत्रों के लंबवत होते हैं।{{sfnp|Byer|Smeltzer|2015}}
 ==गुण==
 ===स्पर्शरेखा वृत्त===
-अगर {{mvar|O}} उत्तल बहुफलक का मध्यक्षेत्र है {{mvar|P}}, फिर का चौराहा {{mvar|O}} किसी भी चेहरे के साथ {{mvar|P}} एक वृत्त है जो चेहरे के भीतर स्थित है, और इसके किनारों पर उन्हीं बिंदुओं पर स्पर्शरेखा है जहां मध्यगोला स्पर्शरेखा है। इस प्रकार, प्रत्येक चेहरा {{mvar|P}} में एक खुदा हुआ वृत्त है, और ये वृत्त ठीक उसी समय एक दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं जब वे जिन फलकों पर स्थित होते हैं वे एक किनारे साझा करते हैं। (हालाँकि, इन गुणों वाले वृत्तों की सभी प्रणालियाँ मध्यमंडल से नहीं आती हैं।){{sfnp|Grünbaum|2005}}
+यदि {{mvar|O}} उत्तल बहुफलक {{mvar|P}} का मध्यक्षेत्र है , तो {{mvar|P}} के किसी भी फलक के साथ {{mvar|O}} का प्रतिच्छेदन एक वृत्त है जो फलक के अन्दर स्थित है, और इसके किनारों पर उन्हीं बिंदुओं पर स्पर्शरेखा है जहां मध्यक्षेत्र स्पर्शरेखा है। इस प्रकार, प्रत्येक फलक {{mvar|P}} में खुदा हुआ वृत्त है, और यह वृत्त ठीक उसी समय दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं जब यह जिन फलकों पर स्थित होते हैं वह किनारे साझा करते हैं। (चूंकि, इन गुणों वाले वृत्तों की सभी प्रणालियाँ मध्यक्षेत्र से नहीं आती हैं।){{sfnp|Grünbaum|2005}}
-दोहरी, अगर {{mvar|v}} का एक शीर्ष है {{mvar|P}}, फिर एक [[शंकु (ज्यामिति)]] है जिसका शीर्ष पर है {{mvar|v}} और वह स्पर्शरेखा है {{mvar|O}} एक चक्र में; यह वृत्त एक गोलाकार टोपी की सीमा बनाता है जिसके भीतर गोले की सतह शीर्ष से दृश्यता (ज्यामिति) होती है। अर्थात्, जैसा कि शीर्ष से देखा जाता है, वृत्त मध्यक्षेत्र का [[क्षितिज]] है। इस तरह से बने वृत्त ठीक उसी समय एक-दूसरे से स्पर्शरेखा होते हैं, जब वे शीर्ष एक किनारे से जुड़े होते हैं।{{sfnp|Ziegler|2007}}
+यदि {{mvar|v}}, {{mvar|P}} का एक शीर्ष है तो एक शंकु है जिसका शीर्ष {{mvar|v}} पर है और वह एक वृत्त में {{mvar|O}} की स्पर्श रेखा है; यह वृत्त वृत्ताकार टोपी की सीमा बनाता है जिसके अन्दर वृत्त की सतह शीर्ष से दृश्यता (ज्यामिति) होती है। अर्थात्, जैसा कि शीर्ष से देखा जाता है, वृत्त मध्यक्षेत्र का [[क्षितिज]] है। इस तरह से बने वृत्त ठीक उसी समय एक-दूसरे से स्पर्शरेखा होते हैं, जब वह शीर्ष किनारे से जुड़े होते हैं।{{sfnp|Ziegler|2007}}
 ===द्वैत===
-[[File:Skeleton pair 6-8, size m (crop), sphere.png|thumb|समान मध्यक्षेत्र के साथ [[घन और अष्टफलक का यौगिक]]|alt=एक रेखांकित मैजेंटा घन और हरा अष्टफलक, इस प्रकार व्यवस्थित किया गया है कि प्रत्येक घन का किनारा दोनों किनारों के मध्य बिंदु पर एक अष्टफलकीय किनारे को पार करता है। एक पारभासी गोला, घन और अष्टफलक के साथ संकेंद्रित, सभी क्रॉसिंग बिंदुओं से होकर गुजरता है।]]यदि एक बहुफलक {{mvar|P}} का एक मध्यक्षेत्र है {{mvar|O}}, फिर के संबंध में दोहरी बहुफलक {{mvar|O}} भी है {{mvar|O}} इसके मध्यक्षेत्र के रूप में। ध्रुवीय बहुफलक के मुख तल वृत्तों से होकर गुजरते हैं {{mvar|O}} जो कि शीर्षों वाले शंकुओं की स्पर्श रेखाएं हैं {{mvar|P}} उनके शीर्ष के रूप में।{{sfnp|Coxeter|1973}} ध्रुवीय पॉलीहेड्रॉन के किनारों में मध्यक्षेत्र के साथ स्पर्शरेखा के समान बिंदु होते हैं, जिस पर वे किनारों के लंबवत होते हैं {{mvar|P}}.{{sfnp|Cundy|Rollett|1961}}
+[[File:Skeleton pair 6-8, size m (crop), sphere.png|thumb|समान मध्यक्षेत्र के साथ [[घन और अष्टफलक का यौगिक]]                                                     |alt=एक रेखांकित मैजेंटा घन और हरा अष्टफलक, इस प्रकार व्यवस्थित किया गया है कि                                                                                                                                                                                                                 प्रत्येक घन का किनारा दोनों किनारों के मध्य बिंदु पर एक अष्टफलकीय किनारे को पार करता है। एक पारभासी गोला, घन और अष्टफलक के साथ संकेंद्रित, सभी क्रॉसिंग बिंदुओं से होकर गुजरता है।]]यदि बहुफलक {{mvar|P}} का मध्यक्षेत्र {{mvar|O}} है , पुनः {{mvar|O}} के संबंध में ध्रुवीय बहुफलक का भी मध्यक्षेत्र {{mvar|O}} ही है। ध्रुवीय बहुफलक के फलक तल {{mvar|O}} वृत्तों से होकर निकलते हैं जो {{mvar|P}} शीर्षों वाले शंकुओं की स्पर्श रेखाएं हैं इस प्रकार उनके शीर्ष के रूप में {{sfnp|Coxeter|1973}} ध्रुवीय बहुफलक के किनारों में मध्यक्षेत्र के साथ स्पर्शरेखा के समान बिंदु होते हैं, जिस पर वह {{mvar|P}} किनारों के लंबवत होते हैं .{{sfnp|Cundy|Rollett|1961}}
 ===किनारे की लंबाई===
-मध्यगोले वाले एक बहुफलक के लिए, प्रत्येक शीर्ष को एक [[वास्तविक संख्या]] निर्दिष्ट करना संभव है (मध्यगोले के संबंध में शीर्ष के [[एक बिंदु की शक्ति]]) जो उस शीर्ष से स्पर्श करने वाले प्रत्येक किनारे के स्पर्श बिंदु तक की दूरी के बराबर होती है यह। प्रत्येक किनारे के लिए, उसके अंतिम बिंदुओं को निर्दिष्ट दो संख्याओं का योग केवल किनारे की लंबाई है। उदाहरण के लिए, क्रेले के टेट्राहेड्रा को उनके चार शीर्षों पर इस तरह निर्दिष्ट चार संख्याओं द्वारा पैरामीटराइज़ किया जा सकता है, जिससे पता चलता है कि वे एक चार-आयामी परिवार बनाते हैं।{{sfnp|László|2017}}
+इस प्रकार मध्यक्षेत्र वाले बहुफलक के लिए, प्रत्येक शीर्ष को [[वास्तविक संख्या]] निर्दिष्ट करना संभव है (मध्यक्षेत्र के संबंध में शीर्ष के [[एक बिंदु की शक्ति|बिंदु की शक्ति]]) जो उस शीर्ष से स्पर्श करने वाले प्रत्येक किनारे के स्पर्श बिंदु तक की दूरी के समान होती है यह प्रत्येक किनारे के लिए, उसके अंतिम बिंदुओं को निर्दिष्ट दो संख्याओं का योग केवल किनारे की लंबाई है। उदाहरण के लिए, क्रेले के टेट्राहेड्रा को उनके चार शीर्षों पर इस तरह निर्दिष्ट चार संख्याओं द्वारा पैरामीटराइज़ किया जा सकता है, जिससे पता चलता है कि वह चार-आयामी वर्ग बनाते हैं।{{sfnp|László|2017}}
+उदाहरण के रूप में, चार बिंदु (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), और (0,0,1) क्रेले के टेट्राहेड्रा में से बनाते हैं, जिसमें तीन समद्विबाहु समकोण होते हैं और फलक के लिए समबाहु त्रिभुज यह चार बिंदु त्रिज्या वाले चार जोड़ीदार स्पर्शरेखा क्षेत्रों के केंद्र हैं समबाहु त्रिभुज पर तीन गैर-शून्य बिंदुओं के लिए त्रिज्या <math>\tfrac12\sqrt2\approx 0.707</math> और <math>1-\tfrac12\sqrt2\approx 0.293</math> है यह चार संख्याएँ (तीन समान और छोटी) वह चार संख्याएँ हैं जो इस चतुष्फलक को मानकीकृत करती हैं। चतुष्फलक के तीन किनारे दो बिंदुओं को जोड़ते हैं और दोनों की त्रिज्या बड़ी होती है; इस प्रकार इन किनारों की लंबाई इन समान त्रिज्याओं <math>\sqrt2</math> का योग है, अन्य तीन किनारे भिन्न-भिन्न त्रिज्याओं वाले दो बिंदुओं को जोड़ते हैं जिनका योग एक होता है।
-उदाहरण के तौर पर, चार बिंदु (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), और (0,0,1) क्रेले के टेट्राहेड्रा में से एक बनाते हैं, जिसमें तीन समद्विबाहु समकोण होते हैं और एक चेहरे के लिए एक समबाहु त्रिभुज। ये चार बिंदु त्रिज्या वाले चार जोड़ीदार स्पर्शरेखा क्षेत्रों के केंद्र हैं <math>\tfrac12\sqrt2\approx 0.707</math> समबाहु त्रिभुज पर तीन शून्येतर बिंदुओं के लिए और <math>1-\tfrac12\sqrt2\approx 0.293</math> उत्पत्ति के लिए. ये चार संख्याएँ (तीन बराबर और एक छोटी) वे चार संख्याएँ हैं जो इस चतुष्फलक को मानकीकृत करती हैं। चतुष्फलक के तीन किनारे दो बिंदुओं को जोड़ते हैं और दोनों की त्रिज्या बड़ी होती है; इन किनारों की लंबाई इन समान त्रिज्याओं का योग है, <math>\sqrt2</math>. अन्य तीन किनारे अलग-अलग त्रिज्याओं वाले दो बिंदुओं को जोड़ते हैं जिनका योग एक होता है।
+जब मध्यक्षेत्र वाले बहुफलक में [[हैमिल्टनियन चक्र]] होता है, तो चक्र में किनारों की लंबाई के योग को शीर्षों की शक्तियों के योग के दोगुने में उसी तरह विभाजित किया जा सकता है। क्योंकि शीर्षों की शक्तियों का यह योग चक्र में किनारों की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, सभी हैमिल्टनियन चक्रों की लंबाई समान होती है।{{sfnp|Fetter|2012}}
-जब मध्यमंडल वाले बहुफलक में [[हैमिल्टनियन चक्र]] होता है, तो चक्र में किनारों की लंबाई के योग को शीर्षों की शक्तियों के योग के दोगुने में उसी तरह विभाजित किया जा सकता है। क्योंकि शीर्षों की शक्तियों का यह योग चक्र में किनारों की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, सभी हैमिल्टनियन चक्रों की लंबाई समान होती है।{{sfnp|Fetter|2012}}
+==कैनोनिकल बहुफलक==
+[[File:Stereographic octahedral packing.svg|thumb|upright=1.5|अष्टफलक के मध्यक्षेत्र पर क्षितिज वृत्तों को स्टीरियोग्राफिक रूप से प्रक्षेपित करके समतल (नीला) में वृत्त पैकिंग प्राप्त की जाती है। पीले कोने और लाल किनारे स्वयं अष्टफलक का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो केंद्रीय रूप से मध्यक्षेत्र पर प्रक्षेपित होता है और फिर स्टीरियोग्राफिक रूप से समतल पर प्रक्षेपित होता है।|alt=छह नीले वृत्त, प्रत्येक चार अन्य वृत्तों के स्पर्शरेखा, तीन बड़े बाहरी वृत्तों और तीन छोटे के दो त्रिकोणों में व्यवस्थित आंतरिक वृत्त. तीन और लाल वृत्त एक दूसरे को काटते हैं और नीले वृत्त समकोण पर हैं। छह लाल-लाल क्रॉसिंग में से प्रत्येक नीले सर्कल में से एक के अंदर है, और प्रत्येक लाल-नीला क्रॉसिंग एक बिंदु पर है जहां दो नीले सर्कल एक दूसरे को छूते हैं। लाल-लाल क्रॉसिंग को छोटे पीले वृत्तों द्वारा हाइलाइट किया जाता है।]]इस प्रकार स्पर्शरेखा वृत्तों की प्रणालियों द्वारा समतलीय आरेख का प्रतिनिधित्व करने पर सर्कल पैकिंग प्रमेय का सशक्त रूप बताता है कि प्रत्येक [[ बहुफलकीय ग्राफ |बहुफलकीय आरेख]] को मध्यक्षेत्र के साथ बहुफलक के शीर्ष और किनारों द्वारा दर्शाया जा सकता है। सामान्यतः, किसी भी उत्तल बहुफलक को संगत शीर्षों, किनारों और फलकों के साथ संयोजनात्मक रूप से समतुल्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें मध्यक्षेत्र होता है। परिणामी बहुफलक के क्षितिज वृत्तों को, [[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा, [[यूक्लिडियन विमान|यूक्लिडियन प्लेन]] में वृत्त पैकिंग में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसका [[प्रतिच्छेदन ग्राफ|प्रतिच्छेदन आरेख]] दिया गया आरेख है: इसके वृत्त एक-दूसरे को पार नहीं करते हैं और एक-दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं, ठीक उसी समय जब वह शीर्षों के अनुरूप होते हैं <ref>{{harvtxt|Schramm|1992}}; {{harvtxt|Sachs|1994}}. Schramm states that the existence of an equivalent polyhedron with a midsphere was claimed by {{harvtxt|Koebe|1936}}, but that Koebe only proved this result for polyhedra with triangular faces. Schramm credits the full result to [[William Thurston]], but the relevant portion of Thurston's lecture notes [http://library.msri.org/books/gt3m/PDF/13.pdf] again only states the result explicitly for triangulated polyhedra.</ref> यद्यपि प्रत्येक बहुफलक का मध्यक्षेत्र के साथ संयोजनात्मक रूप से समतुल्य रूप होता है, कुछ बहुफलक का उत्कीर्ण वृत्त के साथ, या परिचालित वृत्त के साथ कोई समतुल्य रूप नहीं होता है।<ref>{{harvtxt|Schramm|1992}}; {{harvtxt|Steinitz|1928}}.
-==विहित बहुफलक==
+</ref>
-[[File:Stereographic octahedral packing.svg|thumb|upright=1.5|एक अष्टफलक के मध्यमंडल पर क्षितिज वृत्तों को स्टीरियोग्राफिक रूप से प्रक्षेपित करके समतल (नीला) में एक वृत्त पैकिंग प्राप्त की जाती है। पीले कोने और लाल किनारे स्वयं अष्टफलक का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो केंद्रीय रूप से मध्यमंडल पर प्रक्षेपित होता है और फिर स्टीरियोग्राफिक रूप से समतल पर प्रक्षेपित होता है।|alt=छह नीले वृत्त, प्रत्येक चार अन्य वृत्तों के स्पर्शरेखा, तीन बड़े बाहरी वृत्तों और तीन छोटे के दो त्रिकोणों में व्यवस्थित आंतरिक वृत्त. तीन और लाल वृत्त एक दूसरे को काटते हैं और नीले वृत्त समकोण पर हैं। छह लाल-लाल क्रॉसिंग में से प्रत्येक नीले सर्कल में से एक के अंदर है, और प्रत्येक लाल-नीला क्रॉसिंग एक बिंदु पर है जहां दो नीले सर्कल एक दूसरे को छूते हैं। लाल-लाल क्रॉसिंग को छोटे पीले वृत्तों द्वारा हाइलाइट किया जाता है।]]स्पर्शरेखा वृत्तों की प्रणालियों द्वारा समतलीय ग्राफ़ का प्रतिनिधित्व करने पर सर्कल पैकिंग प्रमेय का एक मजबूत रूप बताता है कि प्रत्येक [[ बहुफलकीय ग्राफ ]]़ को एक मध्यक्षेत्र के साथ पॉलीहेड्रॉन के शीर्ष और किनारों द्वारा दर्शाया जा सकता है। समान रूप से, किसी भी उत्तल बहुफलक को संगत शीर्षों, किनारों और फलकों के साथ संयोजनात्मक रूप से समतुल्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें एक मध्यक्षेत्र होता है। परिणामी पॉलीहेड्रॉन के क्षितिज वृत्तों को, [[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा, [[यूक्लिडियन विमान]] में एक वृत्त पैकिंग में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसका [[प्रतिच्छेदन ग्राफ]] दिया गया ग्राफ़ है: इसके वृत्त एक-दूसरे को पार नहीं करते हैं और एक-दूसरे के स्पर्शरेखा होते हैं, ठीक उसी समय जब वे शीर्षों के अनुरूप होते हैं से सटे हुए हैं.<ref>{{harvtxt|Schramm|1992}}; {{harvtxt|Sachs|1994}}. Schramm states that the existence of an equivalent polyhedron with a midsphere was claimed by {{harvtxt|Koebe|1936}}, but that Koebe only proved this result for polyhedra with triangular faces. Schramm credits the full result to [[William Thurston]], but the relevant portion of Thurston's lecture notes [http://library.msri.org/books/gt3m/PDF/13.pdf] again only states the result explicitly for triangulated polyhedra.</ref> यद्यपि प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन का एक मध्यक्षेत्र के साथ संयोजनात्मक रूप से समतुल्य रूप होता है, कुछ पॉलीहेड्रा का एक उत्कीर्ण गोले के साथ, या एक परिचालित गोले के साथ कोई समतुल्य रूप नहीं होता है।<ref>{{harvtxt|Schramm|1992}}; {{harvtxt|Steinitz|1928}}.</ref>
+इस प्रकार समान फलक जालक और समान मध्यक्षेत्र वाले किसी भी दो उत्तल बहुफलक को त्रि-आयामी समष्टि के [[प्रक्षेप्य परिवर्तन]] द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है जो मध्यक्षेत्र को एक ही स्थिति में छोड़ देता है। यह परिवर्तन वृत्त को उसकी समष्टि पर छोड़ देता है, किन्तु मोबियस परिवर्तन के अनुसार बिंदुओं को वृत्त के अन्दर ले जाता है।{{sfnp|Sachs|1994}} मध्यक्षेत्र वाला कोई भी बहुफलक, इस प्रकार स्केल किया गया हो कि मध्यक्षेत्र इकाई क्षेत्र हो, इस तरह से बहुफलक में परिवर्तित किया जा सकता है जिसके लिए स्पर्शरेखा बिंदुओं का केन्द्रक वृत्त के केंद्र में होता है। इस परिवर्तन का परिणाम दिए गए बहुफलक का समतुल्य रूप है, जिसे कैनोनिकल बहुफलक कहा जाता है, इस प्रोपाईटरी के साथ कि सभी कॉम्बिनेटरियल समकक्ष बहुफलक एक-दूसरे के समान कैनोनिकल बहुफलक का उत्पादन करेंगे, [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] तक {{sfnp|Ziegler|1995}} परिवर्तन का भिन्न विकल्प मध्यक्षेत्र वाले किसी भी बहुफलक को ऐसे बहुफलक में ले जाता है जो मध्यक्षेत्र से शीर्ष की न्यूनतम दूरी को अधिकतम करता है। इसे [[रैखिक समय]] में पाया जा सकता है, और इस वैकल्पिक विधि से परिभाषित कैनोनिकल बहुफलक में ही बहुफलक के सभी संयोजक समकक्ष रूपों के मध्य अधिकतम समरूपता होती है।{{sfnp|Bern|Eppstein|2001}} इस प्रकार अभिविन्यास-संरक्षण समरूपता के गैर-चक्रीय समूह वाले बहुफलक के लिए, परिवर्तन के दो विकल्प मेल खाते हैं।{{sfnp|Springborn|2005}} उदाहरण के लिए, [[घनाभ]] का कैनोनिकल बहुफलक, जिसे इन दोनों विधियों से परिभाषित किया गया है, एक घन है, जिसके केन्द्रक से उसके किनारे के मध्य बिंदु की दूरी के समान है और इसके किनारे की लंबाई <math>\sqrt2</math> के समान है .{{sfnp|Hart|1997}}
-समान फलक जाली और समान मध्यक्षेत्र वाले किसी भी दो उत्तल पॉलीहेड्रा को त्रि-आयामी स्थान के [[प्रक्षेप्य परिवर्तन]] द्वारा एक दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है जो मध्यक्षेत्र को एक ही स्थिति में छोड़ देता है। यह परिवर्तन गोले को उसकी जगह पर छोड़ देता है, लेकिन मोबियस परिवर्तन के अनुसार बिंदुओं को गोले के भीतर ले जाता है।{{sfnp|Sachs|1994}} मध्यगोले वाला कोई भी बहुफलक, इस प्रकार स्केल किया गया हो कि मध्यगोला इकाई क्षेत्र हो, इस तरह से एक बहुफलक में परिवर्तित किया जा सकता है जिसके लिए स्पर्शरेखा बिंदुओं का केन्द्रक गोले के केंद्र में होता है। इस परिवर्तन का परिणाम दिए गए पॉलीहेड्रॉन का एक समतुल्य रूप है, जिसे कैनोनिकल पॉलीहेड्रॉन कहा जाता है, इस संपत्ति के साथ कि सभी कॉम्बिनेटरियल समकक्ष पॉलीहेड्रा एक-दूसरे के समान कैनोनिकल पॉलीहेड्रा का उत्पादन करेंगे, [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] तक।{{sfnp|Ziegler|1995}} परिवर्तन का एक अलग विकल्प मध्यक्षेत्र वाले किसी भी बहुफलक को एक ऐसे बहुफलक में ले जाता है जो मध्यक्षेत्र से शीर्ष की न्यूनतम दूरी को अधिकतम करता है। इसे [[रैखिक समय]] में पाया जा सकता है, और इस वैकल्पिक तरीके से परिभाषित कैनोनिकल पॉलीहेड्रॉन में एक ही पॉलीहेड्रॉन के सभी संयोजक समकक्ष रूपों के बीच [[अधिकतम तत्व]] [[समरूपता]] होती है।{{sfnp|Bern|Eppstein|2001}}अभिविन्यास-संरक्षण समरूपता के गैर-चक्रीय समूह वाले पॉलीहेड्रा के लिए, परिवर्तन के दो विकल्प मेल खाते हैं।{{sfnp|Springborn|2005}} उदाहरण के लिए, एक [[घनाभ]] का विहित बहुफलक, जिसे इन दोनों तरीकों से परिभाषित किया गया है, एक घन है, जिसके केन्द्रक से उसके किनारे के मध्य बिंदु की दूरी एक के बराबर है और इसके किनारे की लंबाई बराबर है <math>\sqrt2</math>.{{sfnp|Hart|1997}}
 ===निर्माण===
-किसी दिए गए पॉलीहेड्रल ग्राफ के लिए विहित पॉलीहेड्रॉन का एक संख्यात्मक सन्निकटन ग्राफ और उसके दोहरे ग्राफ को यूक्लिडियन विमान में लंबवत सर्कल पैकिंग प्रमेय के रूप में प्रस्तुत करके बनाया जा सकता है,{{sfnp|Mohar|1993}} इसे एक गोले पर सर्कल पैकिंग की एक जोड़ी में बदलने के लिए एक स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण को लागू करना, एक मोबियस परिवर्तन के लिए संख्यात्मक रूप से खोज करना जो क्रॉसिंग पॉइंट्स के सेंट्रोइड को गोले के केंद्र में लाता है, और पॉलीहेड्रॉन के कोने को अंतरिक्ष में बिंदुओं पर रखता है परिवर्तित पैकिंग के दोहरे वृत्तों को उनके क्षितिज के रूप में रखना। हालाँकि, वृत्त पैकिंग चरण में वृत्तों के निर्देशांक और त्रिज्याएँ रचनात्मक संख्या | गैर-रचनात्मक संख्याएँ हो सकती हैं जिनमें अंकगणित और का उपयोग करके कोई सटीक बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं होती है। {{mvar|n}}वें-रूट संचालन।{{sfnp|Bannister|Devanny|Eppstein|Goodrich|2015}}
+इस प्रकार किसी दिए गए बहुफलकीय आरेख के लिए कैनोनिकल बहुफलक का संख्यात्मक सन्निकटन आरेख और उसके दोहरे आरेख को यूक्लिडियन विमान में लंबवत सर्कल पैकिंग प्रमेय के रूप में प्रस्तुत करके बनाया जा सकता है,{{sfnp|Mohar|1993}} इसे वृत्त पर सर्कल पैकिंग की जोड़ी में परिवर्तित करने के लिए स्टीरियोग्राफ़िक प्रक्षेपण को प्रयुक्त करना, मोबियस परिवर्तन के लिए संख्यात्मक रूप से खोज करना जो क्रॉसिंग पॉइंट्स के सेंट्रोइड को वृत्त के केंद्र में लाता है, और इस प्रकार बहुफलक के कोने को समष्टि में बिंदुओं पर रखता है परिवर्तित पैकिंग के दोहरे वृत्तों को उनके क्षितिज के रूप में रखना। चूंकि, वृत्त पैकिंग चरण में वृत्तों के निर्देशांक और त्रिज्याएँ रचनात्मक संख्या या गैर-रचनात्मक संख्याएँ हो सकती हैं जिनमें अंकगणित और {{mvar|n}}वें-रूट संचालन का उपयोग करके कोई स्पष्ट बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं होती है।{{sfnp|Bannister|Devanny|Eppstein|Goodrich|2015}}
-वैकल्पिक रूप से, जॉर्ज डब्लू. हार्ट द्वारा प्रस्तावित कैनोनिकल पॉलीहेड्रॉन के निर्माण के लिए एक सरल संख्यात्मक विधि सीधे पॉलीहेड्रॉन शीर्षों के निर्देशांक के साथ काम करती है, किनारों को मूल से समान दूरी बनाने के प्रयास में उनकी स्थिति को समायोजित करती है, ताकि न्यूनतम बिंदु बनाए जा सकें। मूल से दूरी का मूल उनके केन्द्रक के रूप में होता है, और बहुफलक के फलक समतल बने रहते हैं। सर्कल पैकिंग विधि के विपरीत, यह विहित पॉलीहेड्रॉन में परिवर्तित होने के लिए सिद्ध नहीं हुआ है, और यह दिए गए पॉलीहेड्रॉन के संयोजन के बराबर पॉलीहेड्रॉन का उत्पादन करने की गारंटी भी नहीं देता है, लेकिन यह छोटे उदाहरणों पर अच्छी तरह से काम करता प्रतीत होता है।{{sfnp|Hart|1997}}
+वैकल्पिक रूप से, जॉर्ज डब्लू. हार्ट द्वारा प्रस्तावित कैनोनिकल बहुफलक के निर्माण के लिए सरल संख्यात्मक विधि प्रत्यक्ष बहुफलक शीर्षों के निर्देशांक के साथ कार्य करती है, किनारों को मूल से समान दूरी बनाने के प्रयास में उनकी स्थिति को समायोजित करती है, जिससे न्यूनतम बिंदु बनाए जा सके। इस प्रकार मूल बिंदु से दूरी का मूल उनके केन्द्रक के रूप में होता है, और बहुफलक के फलक समतल बने रहते हैं। सर्कल पैकिंग विधि के विपरीत, यह कैनोनिकल बहुफलक में परिवर्तित होने के लिए सिद्ध नहीं हुआ है, और यह दिए गए बहुफलक के संयोजन के समान बहुफलक का उत्पादन करने की गारंटी भी नहीं देता है, किन्तु यह छोटे उदाहरणों पर अच्छी तरह से कार्य करता प्रतीत होता है।{{sfnp|Hart|1997}}
 ===अनुप्रयोग===
-कैनोनिकल पॉलीहेड्रॉन और इसके ध्रुवीय दोहरे का उपयोग एंटीप्रिज्म के चार-आयामी एनालॉग के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसके दो विपरीत चेहरों में से एक किसी भी दिए गए त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन के संयोजन के बराबर है। यह अज्ञात है कि क्या प्रत्येक त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन को सीधे चार-आयामी एंटीप्रिज्म के चेहरे के रूप में उपयोग किया जा सकता है, इसे इसके विहित पॉलीहेड्रॉन द्वारा प्रतिस्थापित किए बिना, लेकिन एक मनमाना त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन और इसके दोनों का उपयोग करके ऐसा करना हमेशा संभव नहीं होता है ध्रुवीय द्वैत.{{sfnp|Grünbaum|2005}}
+इस प्रकार कैनोनिकल बहुफलक और इसके ध्रुवीय दोहरे का उपयोग एंटीप्रिज्म के चार-आयामी एनालॉग के निर्माण के लिए किया जा सकता है, जिसके दो विपरीत फलको में से किसी भी दिए गए त्रि-आयामी बहुफलक के संयोजन के समान है। यह अज्ञात है कि क्या प्रत्येक त्रि-आयामी बहुफलक को प्रत्यक्ष चार-आयामी एंटीप्रिज्म के फलक के रूप में उपयोग किया जा सकता है, इसे इसके कैनोनिकल बहुफलक द्वारा प्रतिस्थापित किए बिना, किन्तु इच्छानुसार त्रि-आयामी बहुफलक और इसके दोनों का उपयोग करके ऐसा करना सदैव संभव नहीं होता है {{sfnp|Grünbaum|2005}}
-===अंडे को पिंजरे में बंद करना===
+===काजिंग एन एग===
-विहित बहुफलक के निर्माण में मध्यक्षेत्र को किसी भी चिकने उत्तल पिंड द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। ऐसे शरीर को देखते हुए, प्रत्येक बहुफलक में संयोजनात्मक रूप से समतुल्य अनुभूति होती है जिसके किनारे इस शरीर के स्पर्शरेखा होते हैं। इसे अंडे को पिंजरे में बंद करने के रूप में वर्णित किया गया है: चिकना शरीर अंडा है और बहुफलकीय अहसास इसका पिंजरा है।{{sfnp|Schramm|1992}} इसके अलावा, अंडे पर स्पर्शरेखा के तीन निर्दिष्ट बिंदुओं के लिए पिंजरे के तीन किनारों को ठीक करने से यह अहसास अद्वितीय हो जाता है।{{sfnp|Liu|Zhou|2016}}
+इस प्रकार कैनोनिकल बहुफलक के निर्माण में मध्यक्षेत्र को किसी भी स्मूथ उत्तल पिंड द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। ऐसे निकाय को देखते हुए, प्रत्येक बहुफलक में संयोजनात्मक रूप से समतुल्य अनुभूति होती है जिसके किनारे इस निकाय के स्पर्शरेखा होते हैं। इसे काजिंग एन एग के रूप में वर्णित किया गया है: स्मूथ निकाय एग है और बहुफलकीय अनुभव इसका काजिंग है।{{sfnp|Schramm|1992}} इसके अतिरिक्त, एग पर स्पर्शरेखा के तीन निर्दिष्ट बिंदुओं के लिए काजिंग के तीन किनारों को सही करने से यह अनुहाव अद्वितीय हो जाता है।{{sfnp|Liu|Zhou|2016}}
 ==यह भी देखें==
-*[[आदर्श बहुफलक]], एक अतिपरवलयिक बहुफलक जिसमें प्रत्येक शीर्ष अनंत पर गोले पर स्थित होता है
+*[[आदर्श बहुफलक]], अतिपरवलयिक बहुफलक जिसमें प्रत्येक शीर्ष अनंत पर वृत्त पर स्थित होता है
-==टिप्पणियाँ==
+==टिप्पणियाँ                                                                                                                                                                               ==
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-== संदर्भ ==
+== संदर्भ                                                                                                                                                                                ==
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 *{{citation
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 [[Category:Created On 15/08/2023]]
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