उच्च-आयामी बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 12:40, 17 October 2023

गणित में, विशेष रूप से (उच्च) श्रेणी सिद्धांत, उच्च-आयामी बीजगणित वर्गीकृत संरचनाओं का अध्ययन है। इसमें नॉनबेलियन बीजगणितीय सीन विज्ञान में अनुप्रयोग हैं, और जिसे अमूर्त बीजगणित को सामान्यीकृत किया गया है।

उच्च-आयामी श्रेणियाँ

उच्च आयामी बीजगणित को परिभाषित करने की दिशा में पहला कदम उच्च श्रेणी सिद्धांत की 2-श्रेणी की अवधारणा है, इसके बाद दोहरी श्रेणी की अधिक 'ज्यामितीय' अवधारणा है।^[1] ^[2]^[3]

इस प्रकार एक उच्च स्तरीय अवधारणा को श्रेणियों की श्रेणी, या उत्कृष्ट-श्रेणी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो श्रेणी की धारणा को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करती है - जिसे किसी भी संरचना के रूप में माना जाता है जो अमूर्त श्रेणियों (ईटीएसी) के प्राथमिक सिद्धांत के लॉवर के सिद्धांतों की व्याख्या है।^[4]^[5] Ll.

,^[6]^[7] इस प्रकार, एक उत्कृष्टश्रेणी और एक उत्कृष्ट-श्रेणी, को मेटा-श्रेणी,^[8] बहुश्रेणी, और बहु-ग्राफ़, k-आंशिक ग्राफ, या रंगीन ग्राफ (एक रंग आकृति देखें, और ग्राफ सिद्धांत में इसकी परिभाषा भी देखें) की अवधारणाओं के प्राकृतिक विस्तार के रूप में माना जा सकता है।।

उत्कृष्टश्रेणियों को पहली बार 1970 में प्रस्तावित किया गया था,^[9] और बाद में सैद्धांतिक भौतिकी (विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) और गणितीय जीव विज्ञान या गणितीय जैवभौतिकी में अनुप्रयोगों के लिए विकसित किया गया था।^[10]

उच्च-आयामी बीजगणित में अन्य पथ जैसे द्विश्रेणी, द्विश्रेणियों की समरूपताएं, परिवर्तनीय श्रेणी (अन्य नाम, अनुक्रमित, या पैरामीट्रिज्ड श्रेणी), टोपोई, प्रभावी अवरोहण, और समृद्ध और आंतरिक श्रेणियां सम्मिलित हैं।

युग्म वर्गीकृत

उच्च-आयामी बीजगणित (एचडीए) में, युग्म वर्गीकृत दो आयामों के लिए एक-आयामी वर्गीकृत का सामान्यीकरण है,^[11] और बाद वाले वर्गीकृत को सभी उलटे तीरों, या आकारिकी के साथ एक श्रेणी की एक विशेष स्थिति मानी जा सकती है।

युग्म वर्गीकृत का उपयोग सामान्यतः ज्यामितीय वस्तुओं जैसे उच्च-आयामी बहुविध (या एन-विमितीय बहुविध) के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए किया जाता है।^[11] सामान्य तौर पर, एन-विमितीय बहुविध एक ऐसा समष्‍टि है जो स्थानीय रूप से एन-विमितीय यूक्लिडियन समष्‍टि जैसा दिखता है,, लेकिन जिसकी वैश्विक संरचना गैर-यूक्लिडियन हो सकती है।

संदर्भ में, युग्म वर्गीकृत को पहली बार 1976 में रोनाल्ड ब्राउन द्वारा प्रस्तावित किया गया था।^[11]और इन्हें गैर-एबेलियन बीजगणितीय सीन विज्ञान में अनुप्रयोगों के लिए विकसित किया गया था।^[12]^[13]^[14]^[15] एक संबंधित, 'दोहरी' अवधारणा एक दोहरे बीजगणित की है, और आर-बीजगणित की अधिक सामान्य अवधारणा है।

नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी

नॉनबेलियन बीजगणितीय सांस्थितिकी देखें

अनुप्रयोग

सैद्धांतिक भौतिकी

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, क्वांटम युग्म वर्गीकृत और क्वांटम श्रेणियां मौजूद है।^[16]^[17]^[18]^[18] कोई व्यक्ति क्वांटम युग्म वर्गीकृत को 2-प्रकार्यक के माध्यम से परिभाषित मौलिक वर्गीकृत पर विचार कर सकता है, जो किसी को द्विश्रेणी स्पैन (वर्गीकृत) के संदर्भ में क्वांटम मुख्य वर्गीकृत (क्यूएफजी) के भौतिक रूप से रोचक स्थिति के बारे में सोचने की अनुमति देता है, और फिर बहुविध और कोबॉर्डिज्म के लिए 2-हिल्बर्ट समष्टि और 2-रेखीय मानचित्रों का निर्माण करता है। अगले चरण में, ऐसे 2-प्रकार्यको के प्राकृतिक परिवर्तनों के माध्यम से कोनों के साथ सह-बॉर्डिज़्म प्राप्त होता है। तब एक दावा किया गया था कि, गेज समूह SU(2) के साथ, विस्तारित TQFT, या ETQFT, क्वांटम गुरुत्व के पोंज़ानो-रेग प्रारूप के समतुल्य एक सिद्धांत देता है,^[18] इसी तरह, तुराएव-विरो प्रारूप को SU_q(2) के प्रतिनिधित्व के साथ प्राप्त किया जाएगा। इसलिए, कोई गेज सिद्धांत की अवस्था समष्टि का वर्णन कर सकता है - या कई प्रकार के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) और स्थानीय क्वांटम भौतिकी, समरूपता द्वारा दिए गए परिवर्तन समूह के संदर्भ में, उदाहरण के लिए गेज सिद्धांत की स्थिति में, अवस्थाओ पर कार्य करने वाले गेज परिवर्तन, इस स्थिति में, सम्बन्ध हैं। क्वांटम समूहों से संबंधित समरूपता की स्थिति में, कोई ऐसी संरचनाएं प्राप्त करेगा जो क्वांटम वर्गीकृत की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं,^[16] 2-सदिश समष्टि के बजाय जो वर्गीकृत की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं।

यह भी देखें

क्वांटम भौतिकी में अनुप्रयोग के क्षेत्र,

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↑ Nonabelian Algebraic Topology: Higher homotopy groupoids of filtered spaces
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अग्रिम पठन

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[1] "दोहरी श्रेणियाँ और छद्म बीजगणित" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2010-06-10.

[2] Brown, R.; Loday, J.-L. (1987). "Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces". Proceedings of the London Mathematical Society. 54 (1): 176–192. CiteSeerX 10.1.1.168.1325. doi:10.1112/plms/s3-54.1.176.

[3] Batanin, M.A. (1998). "Monoidal Globular Categories As a Natural Environment for the Theory of Weak n-Categories". Advances in Mathematics. 136 (1): 39–103. doi:10.1006/aima.1998.1724.

[4] Lawvere, F. W. (1964). "समुच्चयों की श्रेणी का एक प्राथमिक सिद्धांत". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 52 (6): 1506–1511. Bibcode:1964PNAS...52.1506L. doi:10.1073/pnas.52.6.1506. PMC 300477. PMID 16591243.

[5] Lawvere, F. W.: 1966, The Category of Categories as a Foundation for Mathematics., in Proc. Conf. Categorical Algebra – La Jolla., Eilenberg, S. et al., eds. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg and New York., pp. 1–20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ Archived 2009-08-12 at the Wayback Machine

[6] "Kryptowährungen und Physik". PlanetPhysics.

[7] Lawvere, F. W. (1969b). "नींव में जुड़ाव". Dialectica. 23 (3–4): 281–295. CiteSeerX 10.1.1.386.6900. doi:10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x. Archived from the original on 2009-08-12. Retrieved 2009-06-21.

[8] "मेटाकैटेगरीज़ और सुपरकैटेगरीज़ के अभिगृहीत". PlanetPhysics. Archived from the original on 2009-08-14. Retrieved 2009-03-02.

[9] "सुपरश्रेणी सिद्धांत". PlanetMath. Archived from the original on 2008-10-26.

[10] "गणितीय जीवविज्ञान और सैद्धांतिक बायोफिज़िक्स". PlanetPhysics. Archived from the original on 2009-08-14. Retrieved 2009-03-02.

[bangor-11] 11.0 ^11.1 ^11.2 Brown, Ronald; Spencer, Christopher B. (1976). "डबल ग्रुपोइड्स और क्रॉस्ड मॉड्यूल". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques. 17 (4): 343–362.

[12] "गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति और गैर-एबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी". PlanetPhysics. Archived from the original on 2009-08-14. Retrieved 2009-03-02.

[13] Non-Abelian Algebraic Topology book Archived 2009-06-04 at the Wayback Machine

[14] Nonabelian Algebraic Topology: Higher homotopy groupoids of filtered spaces

[15] Brown, Ronald; Higgins, Philip; Sivera, Rafael (2011). नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी. arXiv:math/0407275. doi:10.4171/083. ISBN 978-3-03719-083-8.

[planetmath-16] 16.0 ^16.1 "क्वांटम श्रेणी". PlanetMath. Archived from the original on 2011-12-01.

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[Morton09-18] 18.0 ^18.1 ^18.2 Morton, Jeffrey (March 18, 2009). "क्वांटम ग्रुपोइड्स पर एक नोट". C*-algebras, deformation theory, groupoids, noncommutative geometry, quantization. Theoretical Atlas.

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-{{Short description|Study of categorified structures}}
+[[गणित]] में, विशेष रूप से ([[उच्च]]) श्रेणी सिद्धांत, '''उच्च-आयामी बीजगणित''' [[वर्गीकरण|वर्गीकृत]]  संरचनाओं का अध्ययन है। इसमें नॉनबेलियन [[बीजगणितीय टोपोलॉजी|बीजगणितीय सीन विज्ञान]] में अनुप्रयोग हैं, और जिसे [[अमूर्त बीजगणित]] को सामान्यीकृत किया गया है।
-गणित में, विशेष रूप से ([[उच्च [[श्रेणी सिद्धांत]]]]) श्रेणी सिद्धांत, उच्च-आयामी बीजगणित [[वर्गीकरण]] संरचनाओं का अध्ययन है। इसमें नॉनबेलियन [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में अनुप्रयोग हैं, और [[अमूर्त बीजगणित]] को सामान्यीकृत किया गया है।
 ==उच्च-आयामी श्रेणियाँ==
-{{main|Category theory#Higher-dimensional categories}}
+{{main|श्रेणी सिद्धांत#उच्च-आयामी श्रेणियां
+}}
-उच्च आयामी बीजगणित को परिभाषित करने की दिशा में पहला कदम उच्च श्रेणी सिद्धांत की [[2-श्रेणी]] की अवधारणा है, इसके बाद दोहरी श्रेणी की अधिक 'ज्यामितीय' अवधारणा है।<ref>{{cite web |title=दोहरी श्रेणियाँ और छद्म बीजगणित|url=http://www.math.uchicago.edu/~fiore/1/fiorefolding.pdf| archive-url=https://web.archive.org/web/20100610024231/http://www.math.uchicago.edu/~fiore/1/fiorefolding.pdf | archive-date=2010-06-10 }}</ref> <ref>{{cite journal
+उच्च आयामी बीजगणित को परिभाषित करने की दिशा में पहला कदम [[उच्च श्रेणी सिद्धांत]] की [[2-श्रेणी]] की अवधारणा है, इसके बाद दोहरी श्रेणी की अधिक 'ज्यामितीय' अवधारणा है।<ref>{{cite web |title=दोहरी श्रेणियाँ और छद्म बीजगणित|url=http://www.math.uchicago.edu/~fiore/1/fiorefolding.pdf| archive-url=https://web.archive.org/web/20100610024231/http://www.math.uchicago.edu/~fiore/1/fiorefolding.pdf | archive-date=2010-06-10 }}</ref> <ref>{{cite journal
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 |doi-access = free
   }}</ref>
-इस प्रकार एक उच्च स्तरीय अवधारणा को श्रेणियों की [[श्रेणी (गणित)]], या सुपर-श्रेणी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो श्रेणी (गणित) की धारणा को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करता है - जिसे किसी भी संरचना के रूप में माना जाता है जो लॉवेरे के प्रारंभिक सिद्धांत के सिद्धांतों की व्याख्या है। अमूर्त श्रेणियां (ईटीएसी)।<ref>{{cite journal | last1 = Lawvere | first1 = F. W. | year = 1964 | title = समुच्चयों की श्रेणी का एक प्राथमिक सिद्धांत| journal = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America | volume = 52 | issue = 6 | pages = 1506–1511 | doi = 10.1073/pnas.52.6.1506 | pmid = 16591243 | pmc = 300477 | bibcode = 1964PNAS...52.1506L | doi-access = free }}</ref><ref>Lawvere, F. W.: 1966, The Category of Categories as a Foundation for Mathematics., in ''Proc. Conf. Categorical Algebra &ndash; La Jolla''., Eilenberg, S. et al., eds. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg and New York., pp. 1&ndash;20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090812055706/http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ |date=2009-08-12 }}</ref> एल.एल.
-,<ref>{{Cite web | url=http://planetphysics.org/?op=getobj&from=objects&id=420 |title = Kryptowährungen und Physik |publisher=PlanetPhysics}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Lawvere | first1 = F. W. | year = 1969b | title = नींव में जुड़ाव| url = http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ | journal = Dialectica | volume = 23 | issue = 3–4 | pages = 281–295 | doi = 10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x | citeseerx = 10.1.1.386.6900 | access-date = 2009-06-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20090812055706/http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ | archive-date = 2009-08-12 | url-status = dead }}</ref> इस प्रकार, एक सुपरश्रेणी और एक फ़ंक्टर श्रेणी|सुपर-श्रेणी, को [[बहुश्रेणी]]|मेटा-श्रेणी की अवधारणाओं के प्राकृतिक विस्तार के रूप में माना जा सकता है,<ref>{{Cite web |url=http://planetphysics.org/encyclopedia/AxiomsOfMetacategoriesAndSupercategories.html |title=मेटाकैटेगरीज़ और सुपरकैटेगरीज़ के अभिगृहीत|publisher=PlanetPhysics |access-date=2009-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090814032345/http://planetphysics.org/encyclopedia/AxiomsOfMetacategoriesAndSupercategories.html |archive-date=2009-08-14 |url-status=dead }}</ref> बहुश्रेणी, और तुरान ग्राफ|मल्टी-ग्राफ, के-पार्टाइट ग्राफ, या [[रंगीन ग्राफ]] (एक [[रंग आकृति]] देखें, और [[ग्राफ सिद्धांत]] में इसकी परिभाषा भी देखें)।
+इस प्रकार एक उच्च स्तरीय अवधारणा को श्रेणियों की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]], या उत्कृष्ट-श्रेणी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो [[श्रेणी]] की धारणा को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करती है - जिसे किसी भी संरचना के रूप में माना जाता है जो [[अमूर्त श्रेणियों]] (ईटीएसी) [[के प्राथमिक सिद्धांत]] के लॉवर के सिद्धांतों की व्याख्या है।<ref>{{cite journal | last1 = Lawvere | first1 = F. W. | year = 1964 | title = समुच्चयों की श्रेणी का एक प्राथमिक सिद्धांत| journal = Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America | volume = 52 | issue = 6 | pages = 1506–1511 | doi = 10.1073/pnas.52.6.1506 | pmid = 16591243 | pmc = 300477 | bibcode = 1964PNAS...52.1506L | doi-access = free }}</ref><ref>Lawvere, F. W.: 1966, The Category of Categories as a Foundation for Mathematics., in ''Proc. Conf. Categorical Algebra &ndash; La Jolla''., Eilenberg, S. et al., eds. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg and New York., pp. 1&ndash;20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090812055706/http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ |date=2009-08-12 }}</ref> Ll.
+,<ref>{{Cite web | url=http://planetphysics.org/?op=getobj&from=objects&id=420 |title = Kryptowährungen und Physik |publisher=PlanetPhysics}}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Lawvere | first1 = F. W. | year = 1969b | title = नींव में जुड़ाव| url = http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ | journal = Dialectica | volume = 23 | issue = 3–4 | pages = 281–295 | doi = 10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x | citeseerx = 10.1.1.386.6900 | access-date = 2009-06-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20090812055706/http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ | archive-date = 2009-08-12 | url-status = dead }}</ref> इस प्रकार, एक उत्कृष्टश्रेणी और एक उत्कृष्ट-श्रेणी, को [[मेटा-श्रेणी]],<ref>{{Cite web |url=http://planetphysics.org/encyclopedia/AxiomsOfMetacategoriesAndSupercategories.html |title=मेटाकैटेगरीज़ और सुपरकैटेगरीज़ के अभिगृहीत|publisher=PlanetPhysics |access-date=2009-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090814032345/http://planetphysics.org/encyclopedia/AxiomsOfMetacategoriesAndSupercategories.html |archive-date=2009-08-14 |url-status=dead }}</ref> बहुश्रेणी, और [[बहु-ग्राफ़, k-आंशिक ग्राफ]], या [[रंगीन ग्राफ]] (एक [[रंग आकृति]] देखें, और [[ग्राफ सिद्धांत]] में इसकी परिभाषा भी देखें) की अवधारणाओं के प्राकृतिक विस्तार के रूप में माना जा सकता है।।
+उत्कृष्टश्रेणियों को पहली बार 1970 में प्रस्तावित किया गया था,<ref>{{cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/Supercategories3.html| archive-url=https://web.archive.org/web/20081026223925/http://planetmath.org/encyclopedia/Supercategories3.html | archive-date=2008-10-26|title=सुपरश्रेणी सिद्धांत|publisher=PlanetMath}}</ref> और बाद में [[सैद्धांतिक भौतिकी]] (विशेष रूप से [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] और [[टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत|सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]) और [[गणितीय जीव विज्ञान]] या [[गणितीय जैवभौतिकी]] में अनुप्रयोगों के लिए विकसित किया गया था।<ref>{{Cite web |url=http://planetphysics.org/encyclopedia/MathematicalBiologyAndTheoreticalBiophysics.html |title=गणितीय जीवविज्ञान और सैद्धांतिक बायोफिज़िक्स|publisher=PlanetPhysics |access-date=2009-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090814033617/http://planetphysics.org/encyclopedia/MathematicalBiologyAndTheoreticalBiophysics.html |archive-date=2009-08-14 |url-status=dead }}</ref>
-सुपरश्रेणियाँ पहली बार 1970 में शुरू की गईं,<ref>{{cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/Supercategories3.html| archive-url=https://web.archive.org/web/20081026223925/http://planetmath.org/encyclopedia/Supercategories3.html | archive-date=2008-10-26|title=सुपरश्रेणी सिद्धांत|publisher=PlanetMath}}</ref> और बाद में [[सैद्धांतिक भौतिकी]] (विशेष रूप से [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] और [[टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]) और [[गणितीय जीव विज्ञान]] या गणितीय जीव विज्ञान में अनुप्रयोगों के लिए विकसित किया गया।<ref>{{Cite web |url=http://planetphysics.org/encyclopedia/MathematicalBiologyAndTheoreticalBiophysics.html |title=गणितीय जीवविज्ञान और सैद्धांतिक बायोफिज़िक्स|publisher=PlanetPhysics |access-date=2009-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090814033617/http://planetphysics.org/encyclopedia/MathematicalBiologyAndTheoreticalBiophysics.html |archive-date=2009-08-14 |url-status=dead }}</ref>
+उच्च-आयामी बीजगणित में अन्य पथ जैसे [[द्विश्रेणी]], द्विश्रेणियों की समरूपताएं, [[परिवर्तनीय श्रेणी]] (अन्य नाम, अनुक्रमित, या [[पैरामीट्रिज्ड श्रेणी]]), [[चूहे|टोपोई]], प्रभावी अवरोहण, और [[समृद्ध श्रेणी|समृद्ध]] और [[आंतरिक श्रेणी|आंतरिक श्रेणियां]] सम्मिलित हैं।
-उच्च-आयामी बीजगणित में अन्य मार्गों में शामिल हैं: [[द्विश्रेणी]], द्विश्रेणियों की समरूपताएं, परिवर्तनीय श्रेणी (उर्फ, अनुक्रमित, या [[पैरामीट्रिज्ड श्रेणी]]), [[चूहे]], प्रभावी वंश, और [[समृद्ध श्रेणी]] और [[आंतरिक श्रेणी]]।
-==डबल ग्रुपॉयड==
+==युग्म वर्गीकृत ==
-{{Main|double groupoid}}
+{{Main|युग्म वर्गीकृत}}
-उच्च-आयामी बीजगणित (एचडीए) में, ''डबल [[समूहबद्ध]]'' एक-आयामी ग्रुपॉइड का दो आयामों में सामान्यीकरण है,<ref name=bangor>{{cite journal |url=http://www.numdam.org/item/CTGDC_1976__17_4_343_0/| title=डबल ग्रुपोइड्स और क्रॉस्ड मॉड्यूल| journal=Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques | year=1976 | volume=17 | issue=4 | pages=343–362 | last1=Brown | first1=Ronald | last2=Spencer | first2=Christopher B. }}
+उच्च-आयामी बीजगणित (एचडीए) में, ''युग्म [[समूहबद्ध|वर्गीकृत]]''  दो आयामों के लिए एक-आयामी वर्गीकृत का सामान्यीकरण है,<ref name=bangor>{{cite journal |url=http://www.numdam.org/item/CTGDC_1976__17_4_343_0/| title=डबल ग्रुपोइड्स और क्रॉस्ड मॉड्यूल| journal=Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques | year=1976 | volume=17 | issue=4 | pages=343–362 | last1=Brown | first1=Ronald | last2=Spencer | first2=Christopher B. }}
-</ref> और बाद वाले ग्रुपॉइड को सभी उलटे तीरों, या आकारिकी के साथ एक श्रेणी का एक विशेष मामला माना जा सकता है।
+</ref> और बाद वाले वर्गीकृत को सभी उलटे तीरों, या [[आकारिकी]] के साथ एक श्रेणी की एक विशेष स्थिति मानी जा सकती है।
-[[डबल ग्रुपॉयड]] का उपयोग अक्सर [[ज्यामितीय]] वस्तुओं जैसे ए[[ एन-आयामी स्थान ]]|उच्च-आयामी मैनिफोल्ड्स (या मैनिफोल्ड्स की सूची|एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड्स) के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए किया जाता है।{{R|bangor}} सामान्य तौर पर, मैनिफोल्ड्स की एक सूची|एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान है जो स्थानीय रूप से एन-डायमेंशनल [[गैर इयूक्लिडियन]] स्पेस जैसा दिखता है|एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस, लेकिन जिसकी वैश्विक संरचना गैर-यूक्लिडियन हो सकती है।
+[[डबल ग्रुपॉयड|युग्म वर्गीकृत]] का उपयोग सामान्यतः [[ज्यामितीय]] वस्तुओं जैसे [[उच्च-आयामी बहुविध]] (या [[एन-विमितीय बहुविध]]) के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए किया जाता है।{{R|bangor}} सामान्य तौर पर, [[एन-विमितीय बहुविध]] एक ऐसा समष्‍टि है जो स्थानीय रूप से [[एन-विमितीय यूक्लिडियन समष्‍टि]] जैसा दिखता है,, लेकिन जिसकी वैश्विक संरचना [[गैर-यूक्लिडियन]] हो सकती है।
-डबल ग्रुपोइड्स को पहली बार 1976 में [[रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ)]] द्वारा रेफरी में पेश किया गया था।<ref name="bangor" />और इन्हें गैर-एबेलियन समूह बीजगणितीय टोपोलॉजी में अनुप्रयोगों के लिए और विकसित किया गया।<ref>{{Cite web |url=http://planetphysics.org/encyclopedia/NAAT.html |title=गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति और गैर-एबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी|publisher=PlanetPhysics |access-date=2009-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090814033622/http://planetphysics.org/encyclopedia/NAAT.html |archive-date=2009-08-14 |url-status=dead }}</ref><ref>[http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html ''Non-Abelian Algebraic Topology'' book] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090604050453/http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html |date=2009-06-04 }}</ref><ref>[http://planetphysics.org/?op=getobj&from=books&id=249 Nonabelian Algebraic Topology: Higher homotopy groupoids of filtered spaces]</ref><ref>{{cite book |doi=10.4171/083| title=नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी| year=2011 | last1=Brown | first1=Ronald | last2=Higgins | first2=Philip | last3=Sivera | first3=Rafael | arxiv=math/0407275 | isbn=978-3-03719-083-8|url=http://www.groupoids.org.uk/nonab-a-t.html }}</ref> एक संबंधित, 'दोहरी' अवधारणा डबल लाई बीजगणित की है, और [[आर-बीजगणित]] की अधिक सामान्य अवधारणा है।
+संदर्भ में, युग्म वर्गीकृत को पहली बार 1976 में [[रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ)|रोनाल्ड ब्राउन]] द्वारा प्रस्तावित किया गया था।<ref name="bangor" />और इन्हें [[गैर-एबेलियन बीजगणितीय सीन विज्ञान]] में अनुप्रयोगों के लिए विकसित किया गया था।<ref>{{Cite web |url=http://planetphysics.org/encyclopedia/NAAT.html |title=गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति और गैर-एबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी|publisher=PlanetPhysics |access-date=2009-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090814033622/http://planetphysics.org/encyclopedia/NAAT.html |archive-date=2009-08-14 |url-status=dead }}</ref><ref>[http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html ''Non-Abelian Algebraic Topology'' book] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090604050453/http://www.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html |date=2009-06-04 }}</ref><ref>[http://planetphysics.org/?op=getobj&from=books&id=249 Nonabelian Algebraic Topology: Higher homotopy groupoids of filtered spaces]</ref><ref>{{cite book |doi=10.4171/083| title=नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी| year=2011 | last1=Brown | first1=Ronald | last2=Higgins | first2=Philip | last3=Sivera | first3=Rafael | arxiv=math/0407275 | isbn=978-3-03719-083-8|url=http://www.groupoids.org.uk/nonab-a-t.html }}</ref> एक संबंधित, 'दोहरी' अवधारणा एक दोहरे [[बीजगणित]] की है, और [[आर-बीजगणित]] की अधिक सामान्य अवधारणा है।
-== [[नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी]] ==
+== नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी ==
-नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी देखें
+[[नॉनबेलियन बीजगणितीय सांस्थितिकी]] देखें
 ==अनुप्रयोग==
 ===सैद्धांतिक भौतिकी===
-क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, [[क्वांटम श्रेणी]] मौजूद है।<ref name="planetmath">{{cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/QuantumCategory.html| archive-url=https://web.archive.org/web/20111201230551/http://planetmath.org/encyclopedia/QuantumCategory.html | archive-date=2011-12-01|title= क्वांटम श्रेणी|publisher=PlanetMath}}</ref><ref>{{cite web |url=https://planetmath.org/encyclopedia/AssociativityIsomorphism.html| archive-url=https://web.archive.org/web/20101217084009/https://planetmath.org/encyclopedia/AssociativityIsomorphism.html | archive-date=2010-12-17 |title= साहचर्य समरूपता|publisher=PlanetMath}}</ref><ref name=Morton09/>और [[क्वांटम डबल ग्रुपॉइड]]<ref name=Morton09>{{cite web |first=Jeffrey |last=Morton |title=क्वांटम ग्रुपोइड्स पर एक नोट|date=March 18, 2009 |work=C*-algebras, deformation theory, groupoids, noncommutative geometry, quantization |publisher=Theoretical Atlas |url=http://theoreticalatlas.wordpress.com/2009/03/18/a-note-on-quantum-groupoids/}}</ref> कोई व्यक्ति [[क्वांटम मौलिक समूह]] को 2-फंक्टर के माध्यम से परिभाषित मौलिक ग्रुपोइड्स पर विचार कर सकता है, जो किसी को द्विश्रेणी स्पैन (ग्रुपॉइड्स) के संदर्भ में क्वांटम [[ मौलिक समूह ]]ोइड्स (क्यूएफजी) के भौतिक रूप से दिलचस्प मामले के बारे में सोचने की अनुमति देता है, और फिर 2-हिल्बर्ट का निर्माण करता है। मैनिफोल्ड्स और [[सह-बॉर्डिज्म]] के लिए रिक्त स्थान और 2-रैखिक मानचित्र। अगले चरण में, ऐसे [[2-फ़ंक्शन]]रों के [[प्राकृतिक परिवर्तन]]ों के माध्यम से कोनों के साथ सह-बॉर्डिज़्म प्राप्त होता है। तब एक दावा किया गया था कि, [[गेज समूह]] [[SU(2)]] के साथ, ''विस्तारित [[TQFT]], या ETQFT, [[क्वांटम गुरुत्व]] के पोंज़ानो-रेग मॉडल के समतुल्य एक सिद्धांत देता है'';<ref name=Morton09/>इसी तरह, तुराएव-विरो मॉडल को एसयू के [[प्रतिनिधित्व (गणित)]] के साथ प्राप्त किया जाएगा<sub>''q''</sub>(2). इसलिए, कोई गेज सिद्धांत के राज्य स्थान का वर्णन कर सकता है - या कई प्रकार के [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (क्यूएफटी) और स्थानीय क्वांटम भौतिकी, समरूपता द्वारा दिए गए परिवर्तन समूह के संदर्भ में, उदाहरण के लिए गेज सिद्धांत के मामले में, द्वारा राज्यों पर कार्य करने वाले [[गेज परिवर्तन]], इस मामले में, कनेक्शन हैं। [[क्वांटम समूह]]ों से संबंधित समरूपता के मामले में, कोई ऐसी संरचनाएं प्राप्त करेगा जो [[ क्वांटम ग्रुपॉइड ]] की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं,<ref name="planetmath" />2-वेक्टर रिक्त स्थान के बजाय जो ग्रुपोइड्स की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं।
+[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में, [[क्वांटम डबल ग्रुपॉइड|क्वांटम युग्म वर्गीकृत]] और [[क्वांटम श्रेणी|क्वांटम श्रेणियां]] मौजूद है।<ref name="planetmath">{{cite web |url=http://planetmath.org/encyclopedia/QuantumCategory.html| archive-url=https://web.archive.org/web/20111201230551/http://planetmath.org/encyclopedia/QuantumCategory.html | archive-date=2011-12-01|title= क्वांटम श्रेणी|publisher=PlanetMath}}</ref><ref>{{cite web |url=https://planetmath.org/encyclopedia/AssociativityIsomorphism.html| archive-url=https://web.archive.org/web/20101217084009/https://planetmath.org/encyclopedia/AssociativityIsomorphism.html | archive-date=2010-12-17 |title= साहचर्य समरूपता|publisher=PlanetMath}}</ref><ref name=Morton09/><ref name=Morton09>{{cite web |first=Jeffrey |last=Morton |title=क्वांटम ग्रुपोइड्स पर एक नोट|date=March 18, 2009 |work=C*-algebras, deformation theory, groupoids, noncommutative geometry, quantization |publisher=Theoretical Atlas |url=http://theoreticalatlas.wordpress.com/2009/03/18/a-note-on-quantum-groupoids/}}</ref> कोई व्यक्ति [[क्वांटम मौलिक समूह|क्वांटम युग्म वर्गीकृत]] को [[2-प्रकार्यक]] के माध्यम से परिभाषित मौलिक वर्गीकृत पर विचार कर सकता है, जो किसी को द्विश्रेणी '''स्पैन (वर्गीकृत)''' के संदर्भ में [[क्वांटम]] [[ मौलिक समूह |मुख्य]] [[क्वांटम डबल ग्रुपॉइड|वर्गीकृत]] (क्यूएफजी) के भौतिक रूप से रोचक स्थिति के बारे में सोचने की अनुमति देता है, और फिर बहुविध और [[सह-बॉर्डिज्म|कोबॉर्डिज्म]] के लिए 2-[[हिल्बर्ट समष्टि]] और 2-[[रेखीय मानचित्रों]] का निर्माण करता है। अगले चरण में, ऐसे [[2-फ़ंक्शन|2-प्रकार्यको]] के [[प्राकृतिक परिवर्तन|प्राकृतिक परिवर्तनों]] के माध्यम से कोनों के साथ [[सह-बॉर्डिज़्म]] प्राप्त होता है। तब एक दावा किया गया था कि, [[गेज समूह]] [[SU(2)]] के साथ, ''विस्तारित [[TQFT]], या ETQFT, [[क्वांटम गुरुत्व]] के [[पोंज़ानो-रेग प्रारूप]] के समतुल्य एक सिद्धांत देता है,''<ref name=Morton09/> इसी तरह, [[तुराएव-विरो प्रारूप]] को [[SU(2)|SU]]<sub>''q''</sub>(2) के [[प्रतिनिधित्व (गणित)|प्रतिनिधित्व]] के साथ प्राप्त किया जाएगा। इसलिए, कोई गेज सिद्धांत की अवस्था समष्टि का वर्णन कर सकता है - या कई प्रकार के [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (क्यूएफटी) और स्थानीय क्वांटम भौतिकी, समरूपता द्वारा दिए गए परिवर्तन समूह के संदर्भ में, उदाहरण के लिए गेज सिद्धांत की स्थिति में, अवस्थाओ पर कार्य करने वाले [[गेज परिवर्तन]], इस स्थिति में, सम्बन्ध हैं। [[क्वांटम समूह|क्वांटम समूहों]] से संबंधित समरूपता की स्थिति में, कोई ऐसी संरचनाएं प्राप्त करेगा जो [[ क्वांटम ग्रुपॉइड |क्वांटम वर्गीकृत]] की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं,<ref name="planetmath" /> 2-[[सदिश समष्टि]] के बजाय जो वर्गीकृत की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं।
 ==यह भी देखें==
 {{Portal|Mathematics}}
 {{columns-list|colwidth=20em|
-*[[Timeline of category theory and related mathematics]]
+*[[श्रेणी सिद्धांत और संबंधित गणित की समयरेखा]]
-*[[Higher category theory]]
+*[[उच्च श्रेणी सिद्धांत]]
-*[[Ronald Brown (mathematician)|Ronald Brown]]
+*[[रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ)|रोनाल्ड ब्राउन
-*[[Lie algebroid]]
+]]
-*[[Double groupoid]]
+*[[लीइ बीजगणित]]
-*[[Anabelian geometry]]
+*[[युग्म वर्गीकृत]]
-*[[Noncommutative geometry]]
+*[[एनाबेलियन ज्यामिति]]
-*[[Categorical algebra]]
+*[[गैर विनिमेय ज्यामिति]]
-*[[Grothendieck's Galois theory]]
+*[[श्रेणीबद्ध बीजगणित]]
-*[[Grothendieck topology]]
+*[[ग्रोथेंडिक का गैलोज़ सिद्धांत]]
-*[[Topological dynamics]]
+*[[ग्रोथेंडिक सीन विज्ञान]]
-*[[Symbolic dynamics|Categorical dynamics]]
+*[[सांस्थितिक गतिशीलता]]
-*[[Crossed module]]
+*[[प्रतीकात्मक गतिशीलता|श्रेणीबद्ध गतिशीलता]]
-*[[Pseudoalgebra]]
+*[[क्रॉस्ड मापांक]]
+*[[छद्मबीजगणित]]
 }}
-*क्वांटम भौतिकी में अनुप्रयोग के क्षेत्र:{{columns-list|colwidth=20em|
+*क्वांटम भौतिकी में अनुप्रयोग के क्षेत्र,{{columns-list|colwidth=20em|
-**[[Topological order|Quantum Algebraic Topology]]
+**[[सांस्थितिक अनुक्रम|क्वांटम बीजगणितीय सांस्थिति]]
-**[[Quantum geometry]]
+**[[क्वांटम ज्यामिति]]
-**[[Quantum gravity]]
+**[[क्वांटम गुरुत्व]]
-**[[Quantum group]]
+**[[क्वांटम समूह]]
-**[[Topological quantum field theory]]
+**[[सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]
-**[[Local quantum field theory]]
+**[[स्थानीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]
 }}
@@ Line 206: / Line 209: @@
 *{{cite journal | doi = 10.1007/BF00872989 | volume=1 | title=Galois theory in variable categories | year=1993 | journal=Applied Categorical Structures | pages=103–110 | last1 = Janelidze | first1 = George| s2cid=22258886 }}.
-{{Category theory}}
+{{DEFAULTSORT:Higher-Dimensional Algebra}}
-{{DEFAULTSORT:Higher-Dimensional Algebra}}[[Category: उच्च श्रेणी सिद्धांत]] [[Category: श्रेणी सिद्धांत]] [[Category: बीजगणितीय टोपोलॉजी]] [[Category: बीजगणितीय तर्क]] [[Category: श्रेणीबद्ध तर्क]]
 [[de:Gruppoid (Kategorientheorie)]]
@@ Line 217: / Line 218: @@
 [[pt:Grupóide (teoria das categorias)]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Higher-Dimensional Algebra]]
+[[Category:CS1|Higher-Dimensional Algebra]]
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+[[Category:Created On 03/07/2023|Higher-Dimensional Algebra]]
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