क्षेत्र पर बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 06:59, 19 October 2023

गणित में, एक क्षेत्र पर बीजगणित (अधिकांशतः बस बीजगणित कहा जाता है) सदिश स्थान होता है जो बिलिनियर मानचित्र उत्पाद (गणित) से सुसज्जित होता है। इस प्रकार, बीजगणित बीजगणितीय संरचना है जिसमें क्षेत्र (गणित) के तत्वों द्वारा गुणा और जोड़ और स्केलर गुणा के संचालन के साथ समुचय (गणित) होता है और वेक्टर अंतरिक्ष और बिलिनियर द्वारा निहित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।^[1]

एक बीजगणित में गुणन संक्रिया साहचर्य हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है, जो साहचर्य बीजगणित और गैर-सहयोगी बीजगणित की धारणाओं को जन्म देती है। पूर्णांक n को देखते हुए, क्रम n के वास्तविक आव्यूह स्क्वायर आव्यूह की रिंग(गणित) आव्यूह जोड़ और आव्यूह गुणन के अनुसार वास्तविक संख्या के क्षेत्र में साहचर्य बीजगणित का उदाहरण है क्योंकि आव्यूह गुणन साहचर्य है। वेक्टर क्रॉस उत्पाद द्वारा दिए गए गुणन के साथ त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में गैर-सहयोगी बीजगणित का उदाहरण है क्योंकि वेक्टर क्रॉस उत्पाद गैर-सहयोगी है, के अतिरिक्त जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है।

एक बीजगणित 'इकाई' या 'एकात्मक' है यदि इसमें गुणन के संबंध में पहचान तत्व है। क्रम n के वास्तविक वर्ग आव्यूहों का वलय इकाई बीजगणित बनाता है क्योंकि क्रम n का पहचान आव्यूह आव्यूह गुणन के संबंध में पहचान तत्व है। यह इकाई साहचर्य बीजगणित का उदाहरण है, (इकाई) वलय जो सदिश स्थान भी है।

कई लेखक बीजगणित शब्द का प्रयोग साहचर्य बीजगणित, या इकाई साहचर्य बीजगणित, या कुछ विषयों जैसे बीजगणितीय ज्यामिति, एकात्मक साहचर्य क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए करते हैं।

अदिश क्षेत्र को क्रमविनिमेय वलय द्वारा प्रतिस्थापित करने से या सामान्यीकरण की अधिक सामान्य धारणा बनती है: बीजगणित को बिलिनियर रूप से सुसज्जित वेक्टर रिक्त स्थान के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जैसे आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान, जैसे, ऐसे स्थान के लिए, उत्पाद का परिणाम स्थान में नहीं है, बल्कि गुणांक के क्षेत्र में है।

परिभाषा और प्रेरणा

प्रेरक उदाहरण


बीजगणित	सदिश स्थल	बिलिनियर ऑपरेटर	संबद्धता	क्रमविनिमेयता
जटिल आंकड़े	$\mathbb {R} ^{2}$	जटिल संख्याओं का उत्पाद $\left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)$	हाँ	हाँ
3डी वैक्टर का क्रॉस उत्पाद	$\mathbb {R} ^{3}$	क्रॉस उत्पाद ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$	नहीं	नहीं (अनुगामी)
चतुष्क	$\mathbb {R} ^{4}$	हैमिल्टन उत्पाद $(a+{\vec {v}})(b+{\vec {w}})$	हाँ	नहीं
बहुपद	$\mathbb {R} [X]$	बहुपद गुणन	हाँ	हाँ
स्क्वायर मैट्रिसेस	$\mathbb {R} ^{n\times n}$	मैट्रिक्स गुणन	हाँ	नहीं

परिभाषा

माना K एक क्षेत्र है, और A , K पर एक सदिश स्थान है, जो एक अतिरिक्त बाइनरी ऑपरेशन से कम है यहाँ A × A से A तक, द्वारा दर्शाया गया है · $\cdot$ (अर्थात, यदि $x$ और $y$ के कोई दो तत्व हैं $A$ , तब $x \cdot y$ का तत्व है $A$ का उत्पाद कहलाता है $x$ और $y$ ). तब A, K के ऊपर एक बीजगणित है यदि निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सभी तत्वों के लिए प्रयुक्त होती हैं $x, y, z$ में $A$ , और K में सभी तत्व (अक्सर अदिश कहलाते हैं) A और b के लिए प्रयुक्त होती है

सही वितरण: $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$
वाम वितरण: $z \cdot (x + y) = z \cdot x + z \cdot y$
स्केलर्स के साथ संगतता: $(ax) \cdot (by) = (ab) (x \cdot y)$ .

यह तीन अभिगृहीत को कहने की एक और प्रणाली है कि बाइनरी ऑपरेशन बिलिनियर संचालक है। K पर बीजगणित को कभी-कभी K-बीजगणित भी कहा जाता है, और $K$ का आधार क्षेत्र कहा जाता है $A$ . बाइनरी ऑपरेशन को अधिकांशतः गुणन के रूप में जाना जाता है $A$ . इस लेख में अपनाया गया सम्मेलन यह है कि बीजगणित के तत्वों का गुणन अनिवार्य रूप से साहचर्य नहीं है, चूंकि कुछ लेखक साहचर्य बीजगणित को संदर्भित करने के लिए बीजगणित शब्द का उपयोग करते हैं।

जब सदिश स्थान पर द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय होती है, तो बायाँ वितरण और दायाँ वितरण समतुल्य होते हैं, और, इस स्थितियों में, केवल वितरण के लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है। सामान्यतः, गैर-विनिमेय संचालन के लिए बाएं वितरण और सही वितरण समान नहीं होते हैं, और अलग-अलग प्रमाण की आवश्यकता होती है।

मूलभूत अवधारणाएँ

बीजगणित समरूपता

दिए गए K-बीजगणित A और B, K-बीजगणित समाकारिता K-रैखिक मानचित्र है f: A → B है, जिससे कि A में सभी x, y के लिए f(xy) = f(x) f(y) है। A और b के बीच सभी के-बीजगणित समरूपता का स्थान अधिकांशतः लिखा जाता है

\mathbf {Hom} _{K{\text{-alg}}}(A,B).

एक K-बीजगणित समरूपता विशेषण K-बीजगणित समरूपता है। सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, समाकृतिकता बीजगणित केवल संकेतन से भिन्न होते हैं।

उपबीजगणित और आदर्शों

क्षेत्र K पर बीजगणित का उपबीजगणित रेखीय उप-स्थान है जिसमें संपत्ति होती है कि इसके दो तत्वों का उत्पाद फिर से उप-स्थान में होता है। दूसरे शब्दों में, बीजगणित का उपलजगणित तत्वों का गैर-खाली उपसमुचय है जो अतिरिक्त, गुणन और स्केलर गुणन के अनुसार बंद है। प्रतीकों में, हम कहते हैं कि K-बीजगणित A का उपसमुच्चय उपसमूह है यदि प्रत्येक x, L में Y और K में C के लिए, हमारे पास x · y, x + y, और cx सभी L में हैं।

वास्तविक संख्याओं के ऊपर द्वि-आयामी बीजगणित के रूप में देखी जाने वाली जटिल संख्याओं के उपरोक्त उदाहरण में, एक-आयामी वास्तविक रेखा उपबीजगणित है।

k-बीजगणित का बायां आदर्श रेखीय उप-स्थान है जिसमें गुण है कि उप-स्थान के किसी भी तत्व को बीजगणित के किसी भी तत्व द्वारा बाईं ओर गुणा करने से उप-स्थान का तत्व उत्पन्न होता है। प्रतीकों में, हम कहते हैं कि K-बीजगणित A का उपसमुच्चय बायाँ आदर्श है यदि L में प्रत्येक x और y के लिए, A में z और K में c, हमारे पास निम्नलिखित तीन कथन हैं।

x + y L में है (L योग के अनुसार बंद है),
C,X L में है (एल स्केलर गुणा के अनुसार बंद है),
z · x एल में है (एल मनमाने तत्वों द्वारा बाएं गुणन के अनुसार बंद है)।

यदि (3) को x · z से प्रतिस्थापित किया जाता है जो L में है, तो यह सही गुणजावली को परिभाषित करेगा। दो तरफा आदर्श उपसमुच्चय है जो बाएँ और दाएँ आदर्श दोनों है। अपने आप में आदर्श शब्द का अर्थ सामान्यतः दो तरफा आदर्श के रूप में लिया जाता है। बेशक जब बीजगणित क्रमविनिमेय है, तो आदर्श की ये सभी धारणाएँ समतुल्य हैं। ध्यान दें कि स्थितियां (1) और (2) साथ एल के समकक्ष हैं जो A के रैखिक उपसमूह हैं। यह स्थिति (3) से अनुसरण करता है कि प्रत्येक बाएं या दाएं आदर्श उप-बीजगणित है।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह परिभाषा आदर्श (रिंग थ्योरी) की परिभाषा से अलग है, इसमें हमें स्थिति (2) की आवश्यकता है। बेशक यदि बीजगणित एकात्मक है, तो स्थिति (3) का तात्पर्य स्थिति (2) से है।

अदिशों का विस्तार

यदि हमारे पास क्षेत्र विस्तार f/k है, जो कि बड़ा क्षेत्र f है जिसमें k सम्मिलित है, तो k पर किसी भी बीजगणित से f पर बीजगणित बनाने का प्राकृतिक प्रणाली है। यह वही निर्माण है जिसका उपयोग बनाने के लिए किया जाता है। बड़े क्षेत्र पर सदिश स्थान, अर्थात् टेन्सर उत्पाद $V_{F}:=V\otimes _{K}F$ . इसलिए यदि A , K के पर बीजगणित है, तब $A_{F}$ F पर एक बीजगणित है।

बीजगणित के प्रकार और उदाहरण

क्षेत्रों पर बीजगणित कई अलग-अलग प्रकारों में आते हैं। इन प्रकारों को कुछ और अभिगृहीतों पर जोर देकर निर्दिष्ट किया जाता है, जैसे कि गुणन संक्रिया की क्रमविनिमेयता या साहचर्यता, जो बीजगणित की व्यापक परिभाषा में आवश्यक नहीं हैं। विभिन्न प्रकार के बीजगणितों से संबंधित सिद्धांत अधिकांशतः बहुत भिन्न होते हैं।

इकाई बीजगणित

एक बीजगणित इकाई या एकात्मक है यदि इसमें इकाई (बीजगणित) या पहचान तत्व I है जिसमें बीजगणित में सभी x के लिए Ix = x = xI है।

शून्य बीजगणित

एक बीजगणित को शून्य बीजगणित कहा जाता है यदि uv = 0 बीजगणित में सभी u, v के लिए,^[2] तत्व के साथ बीजगणित के साथ भ्रमित न हों। यह स्वाभाविक रूप से गैर-एकात्मक (केवल तत्व के स्थितियों को छोड़कर), साहचर्य और क्रमविनिमेय है।

एक क्षेत्र (या अधिक सामान्यतः रिंग) K और K-सदिश स्थल (या मापांक) V के मापांक का प्रत्यक्ष योग लेकर इकाई शून्य बीजगणित को परिभाषित कर सकता है, और 'V' के तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करना। अर्थात यदि λ, μ ∈ K और u, v ∈ V, तब (λ + u) (μ + v) = λμ + (λv + μu). यदि e₁, ... e_d V का आधार है, इकाई शून्य बीजगणित बहुपद वलय K[E1, ..., En] का भागफल है जो EiEj द्वारा प्रत्येक जोड़ी (i, j) के लिए उत्पन्न आदर्श द्वारा दिया जाता है।

इकाई शून्य बीजगणित का उदाहरण दोहरी संख्याओं का बीजगणित है, आयामी वास्तविक सदिश स्थान से निर्मित इकाई शून्य R-बीजगणित।

ये इकाई शून्य बीजगणित अधिक सामान्यतः उपयोगी हो सकते हैं, क्योंकि वे बीजगणित की किसी भी सामान्य संपत्ति को वेक्टर रिक्त स्थान या मापांक (गणित) के गुणों में अनुवाद करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, ग्रोबनेर आधार का सिद्धांत | ग्रोबनर आधारों को ब्रूनो बुचबर्गर द्वारा बहुपद वलय में आदर्श (रिंग सिद्धांत) के लिए प्रस्तुत किया गया था। R = K[x₁, ..., x_n] मैदान के ऊपर। मुक्त R-मापांक पर यूनिटल शून्य बीजगणित का निर्माण इस सिद्धांत को मुक्त मापांक के सबमापांक के लिए ग्रोबनेर आधार सिद्धांत के रूप में विस्तारित करने की अनुमति देता है। यह एक्सटेंशन किसी सबमापांक के ग्रोबनर आधार की गणना करने के लिए, बिना किसी संशोधन के, किसी एल्गोरिदम और आदर्शों के ग्रोबनर आधारों की गणना के लिए किसी भी सॉफ्टवेयर का उपयोग करने की अनुमति देता है।

साहचर्य बीजगणित

साहचर्य बीजगणित के उदाहरणों में सम्मिलित हैं

एक क्षेत्र (या क्रमविनिमेय वलय) K पर सभी n-by-n आव्यूह (गणित) का बीजगणित। यहाँ गुणन साधारण आव्यूह गुणन है।
समूह वलय, जहाँ समूह (गणित) सदिश स्थान के आधार के रूप में कार्य करता है और बीजगणित गुणन समूह गुणन का विस्तार करता है।
K पर सभी बहुपदों का क्रमविनिमेय बीजगणित K[x] (बहुपद वलय देखें)।
फलन (गणित) के बीजगणित, जैसे अंतराल (गणित) [0,1] पर परिभाषित सभी वास्तविक-मूल्यवान निरंतर फलन, फलन का 'R'-बीजगणित, या परिभाषित सभी होलोमॉर्फिक फलन का 'C'-बीजगणित जटिल तल में कुछ निश्चित खुले समुचय पर। ये भी क्रमविनिमेय हैं।
घटना बीजगणित कुछ आंशिक रूप से आदेशित समुच्चयों पर बनाए गए हैं।
हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर उदाहरण के लिए रैखिक ऑपरेटरों के बीजगणित| यहां बीजगणित गुणा संचालको की कार्यात्मक संरचना द्वारा दिया जाता है। इन बीजगणितों में सांस्थितिक स्थान भी होता है; उनमें से कई अंतर्निहित बनच स्थान पर परिभाषित हैं, जो उन्हें बनच बीजगणित में बदल देता है। यदि अंतर्वलन भी दिया जाता है, तो हमें *B* - बीजगणित और C*-बीजगणित प्राप्त होते हैं। कार्यात्मक विश्लेषण में इनका अध्ययन किया जाता है।

गैर-सहयोगी बीजगणित

एक गैर-सहयोगी बीजगणित^[3] (या वितरण बीजगणित) एक क्षेत्र k के ऊपर K-वेक्टर स्थान A है जो K- बिलिनियर मानचित्र से सुसज्जित है $A\times A\rightarrow A$ . यहाँ गैर-सहयोगी का उपयोग यह बताने के लिए है कि सहचारिता को ग्रहण नहीं किया जाता है, किन्तु इसका कारण यह नहीं है कि यह निषिद्ध है - अर्थात, इसका अर्थ आवश्यक नहीं है कि साहचर्य हो।

मुख्य लेख में विस्तृत उदाहरणों में सम्मिलित हैं:

यूक्लिडियन स्पेस R³ वेक्टर क्रॉस उत्पाद द्वारा दिए गए गुणन के साथ
ऑक्टोनियन
लाई बीजगणित
जॉर्डन बीजगणित
वैकल्पिक बीजगणित
लचीला बीजगणित
शक्ति-सहयोगी बीजगणित

बीजगणित और रिंग्स

इकाई के साथ साहचर्य K-बीजगणित की परिभाषा भी अधिकांशतः वैकल्पिक विधिे से दी जाती है। इस स्थितियों में, क्षेत्र K पर बीजगणित वलय (गणित) A है जिसमें वलय समरूपता है

\eta \colon K\to Z(A),

जहाँ Z(A ) A का केंद्र (रिंग थ्योरी) है। चूँकि η वलय समरूपता है, तो किसी के पास या तो A शून्य वलय होना चाहिए, या कि η अंतःक्षेपी फलन है। अदिश गुणन के साथ यह परिभाषा उपरोक्त के समतुल्य है,

K\times A\to A

द्वारा दिए गए

(k,a)\mapsto \eta (k)a.

दो ऐसे साहचर्य एकात्मक K-बीजगणित A और B दिए गए हैं, इकाई K-बीजगणित समरूपता f: A → B वलय समरूपता है जो η द्वारा परिभाषित अदिश गुणन के साथ संचार करता है, जिसे कोई इस रूप में लिख सकता है

f(ka)=kf(a)

सभी के लिए $k\in K$ और $a\in A$ . दूसरे शब्दों में, निम्नलिखित आरेख यात्रा करता है:

{\begin{matrix}&&K&&\\&\eta _{A}\swarrow &\,&\eta _{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}

संरचना गुणांक

एक क्षेत्र पर बीजगणित के लिए, A × A से A तक बिलिनियर गुणन A के आधार (रैखिक बीजगणित) तत्वों के गुणन द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है।

इसके विपरीत, बार A के लिए आधार चुने जाने के बाद, आधार तत्वों के उत्पादों को इच्छानुसार से समुचय किया जा सकता है, और फिर A पर बिलिनियर संचालक के लिए अद्वितीय विधिे से बढ़ाया जा सकता है, अर्थात, परिणामी गुणा बीजगणित नियम को संतुष्ट करता है।

इस प्रकार, दिए गए क्षेत्र के, किसी भी परिमित-आयामी बीजगणित को इसके आयाम (रैखिक बीजगणित) (n कहते हैं), और n³ निर्दिष्ट करके समरूपता तक निर्दिष्ट किया जा सकता है संरचना गुणांक c_i,j,k, जो अदिश (गणित) हैं।

ये संरचना गुणांक निम्न नियम के माध्यम से A में गुणन का निर्धारण करते हैं:

\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}

जहां e₁,...,e_n यह है A का आधार बनता है।

चूंकि ध्यान दें कि संरचना गुणांक के कई अलग-अलग समुचय आइसोमोर्फिक बीजगणित को जन्म दे सकते हैं।

गणितीय भौतिकी में, संरचना गुणांक सामान्यतः ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं, जिससे उनके परिवर्तन गुणों को समन्वय परिवर्तनों के अनुसार अलग किया जा सके। विशेष रूप से, निचले सूचकांक सदिश सूचकांक के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण हैं, और ठहराना (अंतर ज्यामिति) के माध्यम से रूपांतरित होते हैं, जबकि ऊपरी सूचकांक सहप्रसरण और सदिशों के विपरीत होते हैं, जो बढ़ना (अंतर) के अनुसार रूपांतरित होते हैं। इस प्रकार, संरचना गुणांक अधिकांशतः लिखा जाता हैC_i,j^k, और उनके परिभाषित नियम को आइंस्टीन संकेतन के रूप में लिखा गया है

e_ie_j = c_i_,j^ke_k.

यदि आप इसे अनुक्रमणिका संकेतन में लिखे सदिशों पर प्रयुक्त करते हैं, तो यह बन जाता है

(xy)^k = c_i_,j^kxⁱy^j.

यदि K केवल क्रमविनिमेय वलय है और क्षेत्र नहीं है, तो वही प्रक्रिया काम करती है यदि A , K के ऊपर मुक्त मापांक है। चूंकि, इस स्थितियों में संरचना स्थिरांक को इच्छानुसार से निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, और केवल संरचना स्थिरांक को जानने से समरूपता तक बीजगणित निर्दिष्ट नहीं होता है।

जटिल संख्याओं पर निम्न-आयामी एकात्मक साहचर्य बीजगणित का वर्गीकरण

एडवर्ड अध्ययन द्वारा जटिल संख्याओं के क्षेत्र में द्वि-आयामी, त्रि-आयामी और चार-आयामी यूनिटल सहयोगी बीजगणित को पूरी तरह से समाकृतिकता तक वर्गीकृत किया गया था।^[4]

ऐसे दो द्वि-आयामी बीजगणित उपस्थित हैं। प्रत्येक बीजगणित में दो आधार तत्वों, 1 (पहचान तत्व) और A के रैखिक संयोजन (जटिल गुणांक के साथ) होते हैं। पहचान तत्व की परिभाषा के अनुसार,

\textstyle 1\cdot 1=1\,,\quad 1\cdot a=a\,,\quad a\cdot 1=a\,.

यह निर्दिष्ट करना बाकी है

\textstyle aa=1

पहले बीजगणित के लिए,

\textstyle aa=0

दूसरे बीजगणित के लिए।

ऐसे पांच त्रिविम बीजगणित उपस्थित हैं। प्रत्येक बीजगणित में तीन आधार तत्वों, 1 (पहचान तत्व), A और B के रैखिक संयोजन होते हैं। पहचान तत्व की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, यह निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है

\textstyle aa=a\,,\quad bb=b\,,\quad ab=ba=0

पहले बीजगणित के लिए,

\textstyle aa=a\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

दूसरे बीजगणित के लिए,

\textstyle aa=b\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

तीसरे बीजगणित के लिए,

\textstyle aa=1\,,\quad bb=0\,,\quad ab=-ba=b

चौथे बीजगणित के लिए,

\textstyle aa=0\,,\quad bb=0\,,\quad ab=ba=0

पांचवें बीजगणित के लिए।

इन बीजगणितों में से चौथा गैर-क्रमविनिमेय है, और अन्य क्रमविनिमेय हैं।

सामान्यीकरण: रिंग पर बीजगणित

गणित के कुछ क्षेत्रों में, जैसे क्रमविनिमेय बीजगणित, वलय के ऊपर बीजगणित की अधिक सामान्य अवधारणा पर विचार करना सामान्य है, जहां क्रमविनिमेय एकात्मक वलय R क्षेत्र K की स्थान लेता है। परिभाषा का एक मात्र हिस्सा जो बदलता है वह यह है कि A को (गणित) R-मापांक माना जाता है| ('K पर सदिश स्थल के अतिरिक्त)।

रिंग्स पर साहचर्य बीजगणित

एक वलय (गणित) A सदैव अपने केंद्र (रिंग सिद्धांत) और पूर्णांकों पर साहचर्य बीजगणित होता है। इसके केंद्र पर बीजगणित का मौलिक उदाहरण है विभाजित-द्विभाजित |विभाजित-द्विभाजित बीजगणित, जो समरूपी $\mathbb {H} \times \mathbb {H}$ , दो चतुष्कोणों का प्रत्यक्ष उत्पाद। उस वलय का केंद्र है $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ , और इसलिए इसके केंद्र के ऊपर बीजगणित की संरचना है, जो क्षेत्र नहीं है। ध्यान दें कि विभाजन-द्विभाजित बीजगणित भी स्वाभाविक रूप से 8-आयामी $\mathbb {R}$ -बीजगणित भी है ।

क्रमविनिमेय बीजगणित में, यदि A क्रमविनिमेय वलय है, तो कोई इकाई वलय समाकारिता $R\to A$ A पर R-मापांक संरचना को परिभाषित करता है, और यही वह है जिसे R-बीजगणित संरचना के रूप में जाना जाता है।^[5] तो रिंग प्राकृतिक के साथ आती है $\mathbb {Z}$ -मापांक संरचना, चूंकि कोई अद्वितीय समरूपता ले सकता है $\mathbb {Z} \to A$ .^[6] दूसरी ओर, सभी वलयों को क्षेत्र पर बीजगणित की संरचना नहीं दी जा सकती है (उदाहरण के लिए पूर्णांक)। प्रत्येक रिंग को संरचना देने के प्रयास के विवरण के लिए तत्व के साथ क्षेत्र देखें जो क्षेत्र पर बीजगणित की तरह व्यवहार करता है।

यह भी देखें

↑ See also Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 3 Proposition 1.1.1
↑ Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lemma 4.10". Approximation of Vector Valued Functions. Elsevier. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.
↑ Schafer, Richard D. (1996). An Introduction to Nonassociative Algebras. ISBN 0-486-68813-5.
↑ Study, E. (1890), "Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik, 1 (1): 283–354, doi:10.1007/BF01692479, S2CID 121426669
↑ Matsumura, H. (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Translated by Reid, M. (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.
↑ Kunz, Ernst (1985). Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry. Birkhauser. ISBN 0-8176-3065-1.

संदर्भ

Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules. Vol. 1. Springer. ISBN 1-4020-2690-0.

[1] See also Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. 3 Proposition 1.1.1

[2] Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lemma 4.10". Approximation of Vector Valued Functions. Elsevier. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.

[Schafer-3] Schafer, Richard D. (1996). An Introduction to Nonassociative Algebras. ISBN 0-486-68813-5.

[4] Study, E. (1890), "Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen", Monatshefte für Mathematik, 1 (1): 283–354, doi:10.1007/BF01692479, S2CID 121426669

[5] Matsumura, H. (1989). Commutative Ring Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Translated by Reid, M. (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6.

[6] Kunz, Ernst (1985). Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry. Birkhauser. ISBN 0-8176-3065-1.

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Contents

परिभाषा और प्रेरणा

प्रेरक उदाहरण

परिभाषा

मूलभूत अवधारणाएँ

बीजगणित समरूपता

उपबीजगणित और आदर्शों

अदिशों का विस्तार

बीजगणित के प्रकार और उदाहरण

इकाई बीजगणित

शून्य बीजगणित

साहचर्य बीजगणित

गैर-सहयोगी बीजगणित

बीजगणित और रिंग्स

संरचना गुणांक

जटिल संख्याओं पर निम्न-आयामी एकात्मक साहचर्य बीजगणित का वर्गीकरण

सामान्यीकरण: रिंग पर बीजगणित

रिंग्स पर साहचर्य बीजगणित

यह भी देखें

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-गणित में, एक क्षेत्र पर एक बीजगणित (अक्सर बस एक बीजगणित कहा जाता है) एक सदिश स्थान होता है जो बिलिनियर मानचित्र [[उत्पाद (गणित)]] से सुसज्जित होता है। इस प्रकार, एक बीजगणित एक [[बीजगणितीय संरचना]] है जिसमें एक [[क्षेत्र (गणित)]] के तत्वों द्वारा गुणा और जोड़ और स्केलर गुणा के संचालन के साथ एक [[सेट (गणित)]] होता है और वेक्टर अंतरिक्ष और बिलिनियर द्वारा निहित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।<ref>See also {{harvnb|Hazewinkel|Gubareni|Kirichenko|2004|p=[{{Google books|AibpdVNkFDYC|plainurl=y|page=3|text=an algebra over a field k}} 3] Proposition 1.1.1}}</ref>
+गणित में, एक क्षेत्र पर बीजगणित (अधिकांशतः बस बीजगणित कहा जाता है) सदिश स्थान होता है जो बिलिनियर मानचित्र [[उत्पाद (गणित)]] से सुसज्जित होता है। इस प्रकार, बीजगणित [[बीजगणितीय संरचना]] है जिसमें [[क्षेत्र (गणित)]] के तत्वों द्वारा गुणा और जोड़ और स्केलर गुणा के संचालन के साथ [[सेट (गणित)|समुचय (गणित)]] होता है और वेक्टर अंतरिक्ष और बिलिनियर द्वारा निहित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।<ref>See also {{harvnb|Hazewinkel|Gubareni|Kirichenko|2004|p=[{{Google books|AibpdVNkFDYC|plainurl=y|page=3|text=an algebra over a field k}} 3] Proposition 1.1.1}}</ref>
-एक बीजगणित में गुणन संक्रिया साहचर्य हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है, जो [[साहचर्य बीजगणित]] और गैर-सहयोगी बीजगणित की धारणाओं को जन्म देती है। एक पूर्णांक n को देखते हुए, क्रम n के [[वास्तविक मैट्रिक्स]] [[स्क्वायर मैट्रिक्स]] की [[अंगूठी (गणित)]] [[मैट्रिक्स जोड़]] और [[मैट्रिक्स गुणन]] के तहत [[वास्तविक संख्या]] के क्षेत्र में एक साहचर्य बीजगणित का एक उदाहरण है क्योंकि मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है। [[वेक्टर क्रॉस उत्पाद]] द्वारा दिए गए गुणन के साथ त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक गैर-सहयोगी बीजगणित का एक उदाहरण है क्योंकि वेक्टर क्रॉस उत्पाद गैर-सहयोगी है, इसके बजाय [[जैकोबी पहचान]] को संतुष्ट करता है।
-एक बीजगणित 'एकात्मक' या 'एकात्मक' है यदि इसमें गुणन के संबंध में एक [[पहचान तत्व]] है। क्रम n के वास्तविक वर्ग आव्यूहों का वलय एक इकाई बीजगणित बनाता है क्योंकि क्रम n का पहचान मैट्रिक्स आव्यूह गुणन के संबंध में पहचान तत्व है। यह एक एकात्मक साहचर्य बीजगणित का एक उदाहरण है, एक एकात्मक वलय | (एकात्मक) वलय जो एक सदिश स्थान भी है।
+एक बीजगणित में गुणन संक्रिया साहचर्य हो भी सकती है और नहीं भी हो सकती है, जो [[साहचर्य बीजगणित]] और गैर-सहयोगी बीजगणित की धारणाओं को जन्म देती है। पूर्णांक n को देखते हुए, क्रम n के [[वास्तविक मैट्रिक्स|वास्तविक आव्यूह]] [[स्क्वायर मैट्रिक्स|स्क्वायर आव्यूह]] की [[अंगूठी (गणित)|रिंग(गणित)]] [[मैट्रिक्स जोड़|आव्यूह जोड़]] और [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] के अनुसार [[वास्तविक संख्या]] के क्षेत्र में साहचर्य बीजगणित का उदाहरण है क्योंकि आव्यूह गुणन साहचर्य है। [[वेक्टर क्रॉस उत्पाद]] द्वारा दिए गए गुणन के साथ त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में गैर-सहयोगी बीजगणित का उदाहरण है क्योंकि वेक्टर क्रॉस उत्पाद गैर-सहयोगी है, के अतिरिक्त [[जैकोबी पहचान]] को संतुष्ट करता है।
+एक बीजगणित 'इकाई' या 'एकात्मक' है यदि इसमें गुणन के संबंध में [[पहचान तत्व]] है। क्रम n के वास्तविक वर्ग आव्यूहों का वलय इकाई बीजगणित बनाता है क्योंकि क्रम n का पहचान आव्यूह आव्यूह गुणन के संबंध में पहचान तत्व है। यह इकाई साहचर्य बीजगणित का उदाहरण है, (इकाई) वलय जो सदिश स्थान भी है।
 कई लेखक बीजगणित शब्द का प्रयोग साहचर्य बीजगणित, या इकाई साहचर्य बीजगणित, या कुछ विषयों जैसे [[बीजगणितीय ज्यामिति]], एकात्मक साहचर्य क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए करते हैं।
-अदिश क्षेत्र को क्रमविनिमेय वलय द्वारा प्रतिस्थापित करने से #सामान्यीकरण की अधिक सामान्य धारणा बनती है: एक वलय के ऊपर बीजगणित। बीजगणित को [[द्विरेखीय रूप]] से सुसज्जित वेक्टर रिक्त स्थान के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जैसे आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान, जैसे, ऐसे स्थान के लिए, उत्पाद का परिणाम स्थान में नहीं है, बल्कि गुणांक के क्षेत्र में है।
+अदिश क्षेत्र को क्रमविनिमेय वलय द्वारा प्रतिस्थापित करने से या सामान्यीकरण की अधिक सामान्य धारणा बनती है: बीजगणित को [[द्विरेखीय रूप|बिलिनियर रूप]] से सुसज्जित वेक्टर रिक्त स्थान के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जैसे आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान, जैसे, ऐसे स्थान के लिए, उत्पाद का परिणाम स्थान में नहीं है, बल्कि गुणांक के क्षेत्र में है।
 == परिभाषा और प्रेरणा ==
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 {| class="wikitable"
 |+
-!Algebra
+!बीजगणित
-!vector space
+!सदिश स्थल
-!bilinear operator
+!बिलिनियर ऑपरेटर
-![[associativity]]
+![[associativity|संबद्धता]]
-![[commutativity]]
+![[commutativity|क्रमविनिमेयता]]
 |-
-|[[complex number]]s
+|[[complex number|जटिल आंकड़े]]
 |<math>\mathbb{R}^2</math>
-|[[Complex number#Multiplication|product of complex numbers]]<br><math>\left(a+ib \right) \cdot \left(c+id \right)</math>
+|[[Complex number#Multiplication|जटिल संख्याओं का उत्पाद]]<br><math>\left(a+ib \right) \cdot \left(c+id \right)</math>
-|Yes
+|हाँ
-|Yes
+|हाँ
 |-
-|[[cross product]] of 3D vectors
+|3डी वैक्टर का क्रॉस उत्पाद
 |<math>\mathbb{R}^3</math>
-|[[cross product]] <br><math>\vec{a} \times \vec{b}</math>
+|[[cross product|क्रॉस उत्पाद]] <br><math>\vec{a} \times \vec{b}</math>
-|No
+|नहीं
-|No ([[Anticommutative property|anticommutative]])
+|नहीं ([[Anticommutative property|अनुगामी]])
 |-
-|[[quaternion]]s
+|[[quaternion|चतुष्क]]
 |<math>\mathbb{R}^4</math>
-|[[Quaternion#Hamilton product|Hamilton product]] <br><math>(a+\vec{v})(b+\vec{w})</math>
+|[[Quaternion#Hamilton product|हैमिल्टन उत्पाद]] <br><math>(a+\vec{v})(b+\vec{w})</math>
-|Yes
+|हाँ
-|No
+|नहीं
 |-
-|[[polynomial]]s
+| [[polynomial|बहुपद]]
 |<math>\mathbb{R}[X]</math>
-|[[polynomial multiplication]]
+|[[polynomial multiplication|बहुपद गुणन]]
-|Yes
+|हाँ
-|Yes
+|हाँ
 |-
-| [[square matrix|square matrices]]
+| [[square matrix|स्क्वायर मैट्रिसेस]]
 | <math>\mathbb R^{n\times n}</math>
-| [[matrix multiplication]]
+| [[matrix multiplication|मैट्रिक्स गुणन]]
-| Yes
+| हाँ
-| No
+| नहीं
 |}
 === परिभाषा ===
-होने देना {{mvar|K}} एक क्षेत्र बनो, और रहने दो {{mvar|A}} वेक्टर स्पेस ओवर बनें {{mvar|K}} से एक अतिरिक्त [[बाइनरी ऑपरेशन]] से लैस है {{math|''A'' × ''A''}} को {{mvar|A}}, द्वारा यहाँ दर्शाया गया है {{math|·}} (यानी, अगर {{mvar|x}} और {{mvar|y}} के कोई दो तत्व हैं {{mvar|A}}, तब {{math|''x'' · ''y''}} का एक तत्व है {{mvar|A}} का उत्पाद कहलाता है {{mvar|x}} और {{mvar|y}}). तब {{mvar|A}} एक बीजगणित खत्म है {{mvar|K}} यदि निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सभी तत्वों के लिए लागू होती हैं {{math|''x'', ''y'', ''z''}} में {{mvar|A}} , और सभी तत्व (अक्सर स्केलर (गणित) कहा जाता है) {{mvar|a}} और {{mvar|b}} में {{mvar|K}}:
+माना K एक क्षेत्र है, और A , K पर एक सदिश स्थान है, जो एक अतिरिक्त बाइनरी ऑपरेशन से कम है यहाँ A × A से A तक, द्वारा दर्शाया गया है · {{math|·}} (अर्थात, यदि {{mvar|x}} और {{mvar|y}} के कोई दो तत्व हैं {{mvar|A}}, तब {{math|''x'' · ''y''}} का तत्व है {{mvar|A}} का उत्पाद कहलाता है {{mvar|x}} और {{mvar|y}}). तब A, K के ऊपर एक बीजगणित है यदि निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सभी तत्वों के लिए प्रयुक्त होती हैं {{math|''x'', ''y'', ''z''}} में {{mvar|A}} , और K में सभी तत्व (अक्सर अदिश कहलाते हैं) A और b के लिए प्रयुक्त होती है
 * सही [[वितरण]]: {{math|1=(''x'' + ''y'') · ''z'' = ''x'' · ''z'' + ''y'' · ''z''}}
 * वाम वितरण: {{math|1=''z'' · (''x'' + ''y'') = ''z'' · ''x'' + ''z'' · ''y''}}
 * स्केलर्स के साथ संगतता: {{math|1=(''ax'') · (''by'') = (''ab'') (''x'' · ''y'')}}.
-ये तीन स्वयंसिद्ध यह कहने का एक और तरीका है कि बाइनरी ऑपरेशन [[बिलिनियर ऑपरेटर]] है। एक बीजगणित खत्म {{mvar|K}} कभी-कभी ए भी कहा जाता है{{mvar|K}}-बीजगणित, और {{mvar|K}} का आधार क्षेत्र कहा जाता है {{mvar|A}}. बाइनरी ऑपरेशन को अक्सर गुणन के रूप में जाना जाता है {{mvar|A}}. इस लेख में अपनाया गया सम्मेलन यह है कि एक बीजगणित के तत्वों का गुणन अनिवार्य रूप से साहचर्य नहीं है, हालांकि कुछ लेखक एक साहचर्य बीजगणित को संदर्भित करने के लिए बीजगणित शब्द का उपयोग करते हैं।
+यह तीन अभिगृहीत को कहने की एक और प्रणाली है कि बाइनरी ऑपरेशन [[बिलिनियर ऑपरेटर|बिलिनियर]] संचालक है। K पर बीजगणित को कभी-कभी K-बीजगणित भी कहा जाता है, और {{mvar|K}} का आधार क्षेत्र कहा जाता है {{mvar|A}}. बाइनरी ऑपरेशन को अधिकांशतः गुणन के रूप में जाना जाता है {{mvar|A}}. इस लेख में अपनाया गया सम्मेलन यह है कि बीजगणित के तत्वों का गुणन अनिवार्य रूप से साहचर्य नहीं है, चूंकि कुछ लेखक साहचर्य बीजगणित को संदर्भित करने के लिए बीजगणित शब्द का उपयोग करते हैं।
-जब सदिश स्थान पर एक द्विआधारी संक्रिया क्रम[[विनिमेय]] होती है, तो बायाँ वितरण और दायाँ वितरण समतुल्य होते हैं, और, इस मामले में, केवल एक वितरण के लिए एक प्रमाण की आवश्यकता होती है। सामान्य तौर पर, गैर-कम्यूटेटिव संचालन के लिए बाएं वितरण और सही वितरण समान नहीं होते हैं, और अलग-अलग सबूत की आवश्यकता होती है।
+जब सदिश स्थान पर द्विआधारी संक्रिया क्रम[[विनिमेय]] होती है, तो बायाँ वितरण और दायाँ वितरण समतुल्य होते हैं, और, इस स्थितियों में, केवल वितरण के लिए प्रमाण की आवश्यकता होती है। सामान्यतः, गैर-विनिमेय संचालन के लिए बाएं वितरण और सही वितरण समान नहीं होते हैं, और अलग-अलग प्रमाण की आवश्यकता होती है।
-== बुनियादी अवधारणाएँ ==
+== मूलभूत अवधारणाएँ ==
 === बीजगणित समरूपता ===
-{{main|Algebra homomorphism}}
+{{main|बीजगणित समरूपता}}
-दिए गए K-बीजगणित A और B, एक K-बीजगणित समाकारिता एक K-रैखिक मानचित्र है f: A → B ऐसा कि f('xy') = f('x') f('y') सभी 'x' के लिए , ए में 'वाई'। ए और बी के बीच सभी के-बीजगणित [[समरूपता]] का स्थान अक्सर लिखा जाता है
+दिए गए K-बीजगणित A और B, K-बीजगणित समाकारिता K-रैखिक मानचित्र है f: A → B है, जिससे कि A में सभी x, y के लिए f(xy) = f(x) f(y) है। A और b के बीच सभी के-बीजगणित [[समरूपता]] का स्थान अधिकांशतः लिखा जाता है
 :<math>\mathbf{Hom}_{K\text{-alg}} (A,B).</math>
-एक K-बीजगणित समरूपता एक विशेषण K-बीजगणित समरूपता है। सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, [[समाकृतिकता]] बीजगणित केवल संकेतन से भिन्न होते हैं।
+एक K-बीजगणित समरूपता विशेषण K-बीजगणित समरूपता है। सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, [[समाकृतिकता]] बीजगणित केवल संकेतन से भिन्न होते हैं।
-=== Subalgebras और आदर्शों ===
+=== उपबीजगणित और आदर्शों ===
-{{main|Substructure (mathematics)}}
+{{main|अधोसंरचना (गणित)}}
-फ़ील्ड K पर एक बीजगणित का एक सबलजेब्रा एक रेखीय उप-स्थान है जिसमें संपत्ति होती है कि इसके दो तत्वों का उत्पाद फिर से उप-स्थान में होता है। दूसरे शब्दों में, बीजगणित का एक उपलजगणित तत्वों का एक गैर-खाली सबसेट है जो अतिरिक्त, गुणन और स्केलर गुणन के तहत बंद है। प्रतीकों में, हम कहते हैं कि K-बीजगणित A का एक उपसमुच्चय एक उपसमूह है यदि L में प्रत्येक x, y और K में c के लिए, हमारे पास x · y, x + y, और cx सभी L में हैं।
+क्षेत्र K पर बीजगणित का उपबीजगणित रेखीय उप-स्थान है जिसमें संपत्ति होती है कि इसके दो तत्वों का उत्पाद फिर से उप-स्थान में होता है। दूसरे शब्दों में, बीजगणित का उपलजगणित तत्वों का गैर-खाली उपसमुचय है जो अतिरिक्त, गुणन और स्केलर गुणन के अनुसार बंद है। प्रतीकों में, हम कहते हैं कि K-बीजगणित A का उपसमुच्चय उपसमूह है यदि प्रत्येक x, L में Y और K में C के लिए, हमारे पास x · y, x + y, और cx सभी L में हैं।
-वास्तविक संख्याओं के ऊपर द्वि-आयामी बीजगणित के रूप में देखी जाने वाली जटिल संख्याओं के उपरोक्त उदाहरण में, एक-आयामी वास्तविक रेखा एक सबलजेब्रा है।
+वास्तविक संख्याओं के ऊपर द्वि-आयामी बीजगणित के रूप में देखी जाने वाली जटिल संख्याओं के उपरोक्त उदाहरण में, एक-आयामी वास्तविक रेखा उपबीजगणित है।
-के-बीजगणित का एक बायां आदर्श एक रेखीय उप-स्थान है जिसमें गुण है कि उप-स्थान के किसी भी तत्व को बीजगणित के किसी भी तत्व द्वारा बाईं ओर गुणा करने से उप-स्थान का एक तत्व उत्पन्न होता है। प्रतीकों में, हम कहते हैं कि K-बीजगणित A का एक उपसमुच्चय एक बायाँ आदर्श है यदि L में प्रत्येक x और y के लिए, A में z और K में c, हमारे पास निम्नलिखित तीन कथन हैं।
+k-बीजगणित का बायां आदर्श रेखीय उप-स्थान है जिसमें गुण है कि उप-स्थान के किसी भी तत्व को बीजगणित के किसी भी तत्व द्वारा बाईं ओर गुणा करने से उप-स्थान का तत्व उत्पन्न होता है। प्रतीकों में, हम कहते हैं कि K-बीजगणित A का उपसमुच्चय बायाँ आदर्श है यदि L में प्रत्येक x और y के लिए, A में z और K में c, हमारे पास निम्नलिखित तीन कथन हैं।
-# x + y L में है (L योग के तहत बंद है),
+# x + y L में है (L योग के अनुसार बंद है),
-# सीएक्स एल में है (एल स्केलर गुणा के तहत बंद है),
+# C,X L में है (एल स्केलर गुणा के अनुसार बंद है),
-# z · x एल में है (एल मनमाने तत्वों द्वारा बाएं गुणन के तहत बंद है)।
+# z · x एल में है (एल मनमाने तत्वों द्वारा बाएं गुणन के अनुसार बंद है)।
-यदि (3) को x · z से प्रतिस्थापित किया जाता है जो L में है, तो यह एक सही गुणजावली को परिभाषित करेगा। एक दो तरफा आदर्श एक उपसमुच्चय है जो एक बाएँ और दाएँ आदर्श दोनों है। अपने आप में आदर्श शब्द का अर्थ आमतौर पर दो तरफा आदर्श के रूप में लिया जाता है। बेशक जब बीजगणित क्रमविनिमेय है, तो आदर्श की ये सभी धारणाएँ समतुल्य हैं। ध्यान दें कि स्थितियां (1) और (2) एक साथ एल के समकक्ष हैं जो ए के एक रैखिक उपसमूह हैं। यह स्थिति (3) से अनुसरण करता है कि प्रत्येक बाएं या दाएं आदर्श एक उप-बीजगणित है।
+यदि (3) को x · z से प्रतिस्थापित किया जाता है जो L में है, तो यह सही गुणजावली को परिभाषित करेगा। दो तरफा आदर्श उपसमुच्चय है जो बाएँ और दाएँ आदर्श दोनों है। अपने आप में आदर्श शब्द का अर्थ सामान्यतः दो तरफा आदर्श के रूप में लिया जाता है। बेशक जब बीजगणित क्रमविनिमेय है, तो आदर्श की ये सभी धारणाएँ समतुल्य हैं। ध्यान दें कि स्थितियां (1) और (2) साथ एल के समकक्ष हैं जो A के रैखिक उपसमूह हैं। यह स्थिति (3) से अनुसरण करता है कि प्रत्येक बाएं या दाएं आदर्श उप-बीजगणित है।
-यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह परिभाषा एक आदर्श (रिंग थ्योरी) की परिभाषा से अलग है, इसमें हमें शर्त (2) की आवश्यकता है। बेशक अगर बीजगणित एकात्मक है, तो स्थिति (3) का तात्पर्य स्थिति (2) से है।
+यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह परिभाषा आदर्श (रिंग थ्योरी) की परिभाषा से अलग है, इसमें हमें स्थिति (2) की आवश्यकता है। बेशक यदि बीजगणित एकात्मक है, तो स्थिति (3) का तात्पर्य स्थिति (2) से है।
 === अदिशों का विस्तार ===
-{{main|Extension of scalars}}
+{{main|स्केलर्स का विस्तार}}
-यदि हमारे पास एक क्षेत्र विस्तार एफ/के है, जो कि एक बड़ा क्षेत्र एफ है जिसमें के शामिल है, तो के पर किसी भी बीजगणित से एफ पर बीजगणित बनाने का एक प्राकृतिक तरीका है। यह वही निर्माण है जिसका उपयोग एक बनाने के लिए किया जाता है। एक बड़े क्षेत्र पर सदिश स्थान, अर्थात् टेन्सर उत्पाद <math> V_F:=V \otimes_K F </math>. इसलिए यदि A, K के ऊपर एक बीजगणित है, तब <math>A_F</math> F पर एक बीजगणित है।
+यदि हमारे पास क्षेत्र विस्तार f/k है, जो कि बड़ा क्षेत्र f है जिसमें k सम्मिलित है, तो k पर किसी भी बीजगणित से f पर बीजगणित बनाने का प्राकृतिक प्रणाली है। यह वही निर्माण है जिसका उपयोग बनाने के लिए किया जाता है। बड़े क्षेत्र पर सदिश स्थान, अर्थात् टेन्सर उत्पाद <math> V_F:=V \otimes_K F </math>. इसलिए यदि A , K के पर बीजगणित है, तब <math>A_F</math> F पर एक बीजगणित है।
 == बीजगणित के प्रकार और उदाहरण ==
-खेतों पर बीजगणित कई अलग-अलग प्रकारों में आते हैं। इन प्रकारों को कुछ और अभिगृहीतों पर जोर देकर निर्दिष्ट किया जाता है, जैसे कि गुणन संक्रिया की [[क्रमविनिमेयता]] या साहचर्यता, जो बीजगणित की व्यापक परिभाषा में आवश्यक नहीं हैं। विभिन्न प्रकार के बीजगणितों से संबंधित सिद्धांत अक्सर बहुत भिन्न होते हैं।
+क्षेत्रों पर बीजगणित कई अलग-अलग प्रकारों में आते हैं। इन प्रकारों को कुछ और अभिगृहीतों पर जोर देकर निर्दिष्ट किया जाता है, जैसे कि गुणन संक्रिया की [[क्रमविनिमेयता]] या साहचर्यता, जो बीजगणित की व्यापक परिभाषा में आवश्यक नहीं हैं। विभिन्न प्रकार के बीजगणितों से संबंधित सिद्धांत अधिकांशतः बहुत भिन्न होते हैं।
 === इकाई बीजगणित ===
-एक बीजगणित इकाई या एकात्मक है यदि इसमें एक [[इकाई (बीजगणित)]] या पहचान तत्व I है जिसमें बीजगणित में सभी x के लिए Ix = x = xI है।
+एक बीजगणित इकाई या एकात्मक है यदि इसमें [[इकाई (बीजगणित)]] या पहचान तत्व I है जिसमें बीजगणित में सभी x के लिए Ix = x = xI है।
 === शून्य बीजगणित ===
-<!--The term '''zero algebra''' may have other uses outside ring theory-->
+एक बीजगणित को शून्य बीजगणित कहा जाता है यदि {{nowrap|1=''uv'' = 0}} बीजगणित में सभी u, v के लिए,<ref>{{cite book |first=João B. |last=Prolla |title=Approximation of Vector Valued Functions |chapter=Lemma 4.10 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=utTS4nTd-IsC |date=2011 |publisher=Elsevier |isbn=978-0-08-087136-3 |orig-year=1977 |page=65}}</ref> तत्व के साथ बीजगणित के साथ भ्रमित न हों। यह स्वाभाविक रूप से गैर-एकात्मक (केवल तत्व के स्थितियों को छोड़कर), साहचर्य और क्रमविनिमेय है।
-एक बीजगणित को शून्य बीजगणित कहा जाता है यदि {{nowrap|1=''uv'' = 0}} बीजगणित में सभी यू, वी के लिए,<ref>{{cite book |first=João B. |last=Prolla |title=Approximation of Vector Valued Functions |chapter=Lemma 4.10 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=utTS4nTd-IsC |date=2011 |publisher=Elsevier |isbn=978-0-08-087136-3 |orig-year=1977 |page=65}}</ref> एक तत्व के साथ बीजगणित के साथ भ्रमित न हों। यह स्वाभाविक रूप से गैर-एकात्मक (केवल एक तत्व के मामले को छोड़कर), साहचर्य और क्रमविनिमेय है।
-एक फ़ील्ड (या अधिक आम तौर पर एक रिंग) ''K'' और ''K''-वेक्टर स्पेस (या मॉड्यूल) ''V'' के [[मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग]] लेकर एक इकाई शून्य बीजगणित को परिभाषित कर सकता है, और 'V' के तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करना। यानी अगर {{nowrap|''λ'', ''μ'' ∈ ''K''}} और {{nowrap|''u'', ''v'' ∈ ''V''}}, तब {{nowrap|1=(''λ'' + ''u'') (''μ'' + ''v'') = ''λμ'' + (''λv'' + ''μu'')}}. अगर {{nowrap|''e''<sub>1</sub>, ... ''e''<sub>''d''</sub>}} V का एक आधार है, इकाई शून्य बीजगणित बहुपद वलय का भागफल है {{nowrap|''K''[''E''<sub>1</sub>, ..., ''E''<sub>''n''</sub>]}} ई द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) द्वारा<sub>''i''</sub>E<sub>''j''</sub> हर जोड़ी के लिए {{nowrap|(''i'', ''j'')}}.
+एक क्षेत्र (या अधिक सामान्यतः रिंग) ''K'' और ''K''-सदिश स्थल (या मापांक) ''V'' के [[मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग|मापांक का प्रत्यक्ष योग]] लेकर इकाई शून्य बीजगणित को परिभाषित कर सकता है, और 'V' के तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करना। अर्थात यदि {{nowrap|''λ'', ''μ'' ∈ ''K''}} और {{nowrap|''u'', ''v'' ∈ ''V''}}, तब {{nowrap|1=(''λ'' + ''u'') (''μ'' + ''v'') = ''λμ'' + (''λv'' + ''μu'')}}. यदि {{nowrap|''e''<sub>1</sub>, ... ''e''<sub>''d''</sub>}} V का आधार है, इकाई शून्य बीजगणित बहुपद वलय K[E1, ..., En] का भागफल है जो EiEj द्वारा प्रत्येक जोड़ी (i, j) के लिए उत्पन्न आदर्श द्वारा दिया जाता है।
-इकाई शून्य बीजगणित का एक उदाहरण [[दोहरी संख्या]]ओं का बीजगणित है, एक आयामी वास्तविक सदिश स्थान से निर्मित इकाई शून्य आर-बीजगणित।
+इकाई शून्य बीजगणित का उदाहरण [[दोहरी संख्या]]ओं का बीजगणित है, आयामी वास्तविक सदिश स्थान से निर्मित इकाई शून्य R-बीजगणित।
-ये इकाई शून्य बीजगणित अधिक आम तौर पर उपयोगी हो सकते हैं, क्योंकि वे बीजगणित की किसी भी सामान्य संपत्ति को वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)]] के गुणों में अनुवाद करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, ग्रोबनेर आधार का सिद्धांत | ग्रोबनर आधारों को [[ब्रूनो बुचबर्गर]] द्वारा एक बहुपद वलय में आदर्श (रिंग सिद्धांत) के लिए पेश किया गया था। {{nowrap|1=''R'' = ''K''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>]}} एक मैदान के ऊपर। एक मुक्त आर-मॉड्यूल पर यूनिटल शून्य बीजगणित का निर्माण इस सिद्धांत को एक मुक्त मॉड्यूल के सबमॉड्यूल के लिए ग्रोबनेर आधार सिद्धांत के रूप में विस्तारित करने की अनुमति देता है। यह एक्सटेंशन किसी सबमॉड्यूल के ग्रोबनर आधार की गणना करने के लिए, बिना किसी संशोधन के, किसी एल्गोरिदम और आदर्शों के ग्रोबनर आधारों की गणना के लिए किसी भी सॉफ्टवेयर का उपयोग करने की अनुमति देता है।
+ये इकाई शून्य बीजगणित अधिक सामान्यतः उपयोगी हो सकते हैं, क्योंकि वे बीजगणित की किसी भी सामान्य संपत्ति को वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)|मापांक (गणित)]] के गुणों में अनुवाद करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, ग्रोबनेर आधार का सिद्धांत | ग्रोबनर आधारों को [[ब्रूनो बुचबर्गर]] द्वारा बहुपद वलय में आदर्श (रिंग सिद्धांत) के लिए प्रस्तुत किया गया था। {{nowrap|1=''R'' = ''K''[''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>]}} मैदान के ऊपर। मुक्त R-मापांक पर यूनिटल शून्य बीजगणित का निर्माण इस सिद्धांत को मुक्त मापांक के सबमापांक के लिए ग्रोबनेर आधार सिद्धांत के रूप में विस्तारित करने की अनुमति देता है। यह एक्सटेंशन किसी सबमापांक के ग्रोबनर आधार की गणना करने के लिए, बिना किसी संशोधन के, किसी एल्गोरिदम और आदर्शों के ग्रोबनर आधारों की गणना के लिए किसी भी सॉफ्टवेयर का उपयोग करने की अनुमति देता है।
 === साहचर्य बीजगणित ===
-{{main|Associative algebra}}
+{{main|साहचर्य बीजगणित}}
-साहचर्य बीजगणित के उदाहरणों में शामिल हैं
+साहचर्य बीजगणित के उदाहरणों में सम्मिलित हैं
-* एक क्षेत्र (या क्रमविनिमेय वलय) K पर सभी n-by-n [[मैट्रिक्स (गणित)]] का बीजगणित। यहाँ गुणन साधारण मैट्रिक्स गुणन है।
+* एक क्षेत्र (या क्रमविनिमेय वलय) K पर सभी n-by-n [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] का बीजगणित। यहाँ गुणन साधारण आव्यूह गुणन है।
-* समूह वलय, जहाँ एक [[समूह (गणित)]] सदिश स्थान के आधार के रूप में कार्य करता है और बीजगणित गुणन समूह गुणन का विस्तार करता है।
+* समूह वलय, जहाँ [[समूह (गणित)]] सदिश स्थान के आधार के रूप में कार्य करता है और बीजगणित गुणन समूह गुणन का विस्तार करता है।
-* K पर सभी [[बहुपद]]ों का क्रमविनिमेय बीजगणित K[x] (बहुपद वलय देखें)।
+* K पर सभी बहुपदों का क्रमविनिमेय बीजगणित K[x] (बहुपद वलय देखें)।
-* फ़ंक्शन (गणित) के बीजगणित, जैसे [[अंतराल (गणित)]] [0,1] पर परिभाषित सभी वास्तविक-मूल्यवान निरंतर फ़ंक्शन फ़ंक्शंस का 'आर'-बीजगणित, या परिभाषित सभी [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] का 'सी'-बीजगणित जटिल तल में कुछ निश्चित खुले सेट पर। ये भी क्रमविनिमेय हैं।
+* फलन (गणित) के बीजगणित, जैसे [[अंतराल (गणित)]] [0,1] पर परिभाषित सभी वास्तविक-मूल्यवान निरंतर फलन, फलन का 'R'-बीजगणित, या परिभाषित सभी [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक]] फलन का 'C'-बीजगणित जटिल तल में कुछ निश्चित खुले समुचय पर। ये भी क्रमविनिमेय हैं।
-* [[घटना बीजगणित]] कुछ [[आंशिक रूप से आदेशित सेट]]ों पर बनाए गए हैं।
+* [[घटना बीजगणित]] कुछ [[आंशिक रूप से आदेशित सेट|आंशिक रूप से आदेशित]] समुच्चयों पर बनाए गए हैं।
-* [[रैखिक ऑपरेटर]]ों के बीजगणित, उदाहरण के लिए [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] पर। यहां बीजगणित गुणा ऑपरेटरों की कार्यात्मक संरचना द्वारा दिया जाता है। इन बीजगणितों में सांस्थितिक स्थान भी होता है; उनमें से कई एक अंतर्निहित [[बनच स्थान]] पर परिभाषित हैं, जो उन्हें [[बनच बीजगणित]] में बदल देता है। यदि एक अंतर्वलन भी दिया जाता है, तो हमें B*[[बी * - बीजगणित]] और C*-एलजेब्रा प्राप्त होते हैं। [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में इनका अध्ययन किया जाता है।
+* हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर उदाहरण के लिए रैखिक ऑपरेटरों के बीजगणित| यहां बीजगणित गुणा संचालको की कार्यात्मक संरचना द्वारा दिया जाता है। इन बीजगणितों में सांस्थितिक स्थान भी होता है; उनमें से कई अंतर्निहित [[बनच स्थान]] पर परिभाषित हैं, जो उन्हें [[बनच बीजगणित]] में बदल देता है। यदि अंतर्वलन भी दिया जाता है, तो हमें *[[बी * - बीजगणित|B* - बीजगणित]] और C*-बीजगणित प्राप्त होते हैं। [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में इनका अध्ययन किया जाता है।
 === गैर-सहयोगी बीजगणित ===
-{{main|Non-associative algebra}}
+{{main|गैर-सहयोगी बीजगणित}}
-एक गैर-सहयोगी बीजगणित<ref name=Schafer>{{cite book |first=Richard D. |last=Schafer|author-link=Richard D. Schafer|title=An Introduction to Nonassociative Algebras |year=1996 |isbn=0-486-68813-5 |url=http://www.gutenberg.org/ebooks/25156}}</ref> (या वितरण बीजगणित) एक क्षेत्र के ऊपर K एक K-वेक्टर स्थान A है जो K- बिलिनियर मानचित्र से सुसज्जित है <math>A \times A \rightarrow A</math>. यहाँ गैर-सहयोगी का उपयोग यह बताने के लिए है कि सहचारिता को ग्रहण नहीं किया जाता है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि यह निषिद्ध है - अर्थात, इसका अर्थ जरूरी नहीं है कि साहचर्य हो।
+एक गैर-सहयोगी बीजगणित<ref name=Schafer>{{cite book |first=Richard D. |last=Schafer|author-link=Richard D. Schafer|title=An Introduction to Nonassociative Algebras |year=1996 |isbn=0-486-68813-5 |url=http://www.gutenberg.org/ebooks/25156}}</ref> (या वितरण बीजगणित) एक क्षेत्र k के ऊपर K-वेक्टर स्थान A है जो K- बिलिनियर मानचित्र से सुसज्जित है <math>A \times A \rightarrow A</math>. यहाँ गैर-सहयोगी का उपयोग यह बताने के लिए है कि सहचारिता को ग्रहण नहीं किया जाता है, किन्तु इसका कारण यह नहीं है कि यह निषिद्ध है - अर्थात, इसका अर्थ आवश्यक नहीं है कि साहचर्य हो।
-मुख्य लेख में विस्तृत उदाहरणों में शामिल हैं:
+मुख्य लेख में विस्तृत उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
-* यूक्लिडियन स्पेस आर<sup>3</sup> वेक्टर क्रॉस उत्पाद द्वारा दिए गए गुणन के साथ
+* यूक्लिडियन स्पेस R<sup>3</sup> वेक्टर क्रॉस उत्पाद द्वारा दिए गए गुणन के साथ
 * [[ऑक्टोनियन]]
-* बीजगणित झूठ बोलो
+* लाई बीजगणित
 * [[जॉर्डन बीजगणित]]
 * [[वैकल्पिक बीजगणित]]
@@ Line 134: / Line 135: @@
 * [[शक्ति-सहयोगी बीजगणित]]
-== बीजगणित और अंगूठियां ==
+== बीजगणित और रिंग्स ==
-इकाई के साथ एक साहचर्य K-बीजगणित की परिभाषा भी अक्सर एक वैकल्पिक तरीके से दी जाती है। इस मामले में, क्षेत्र K पर एक बीजगणित एक वलय (गणित) A है जिसमें एक वलय समरूपता है
+इकाई के साथ साहचर्य K-बीजगणित की परिभाषा भी अधिकांशतः वैकल्पिक विधिे से दी जाती है। इस स्थितियों में, क्षेत्र K पर बीजगणित वलय (गणित) A है जिसमें वलय समरूपता है
 :<math>\eta\colon K\to Z(A),</math>
-जहाँ Z(A) A का [[केंद्र (रिंग थ्योरी)]] है। चूँकि η एक वलय समरूपता है, तो किसी के पास या तो A शून्य वलय होना चाहिए, या कि η अंतःक्षेपी फलन है। यह परिभाषा उपरोक्त के समतुल्य है, अदिश गुणन के साथ
+जहाँ Z(A ) A का [[केंद्र (रिंग थ्योरी)]] है। चूँकि η वलय समरूपता है, तो किसी के पास या तो A शून्य वलय होना चाहिए, या कि η अंतःक्षेपी फलन है। अदिश गुणन के साथ यह परिभाषा उपरोक्त के समतुल्य है,
 :<math>K\times A \to A</math>
 द्वारा दिए गए
 :<math>(k,a) \mapsto \eta(k) a.</math>
-दो ऐसे साहचर्य एकात्मक K-बीजगणित A और B दिए गए हैं, एक इकाई K-बीजगणित समरूपता f: A → B एक वलय समरूपता है जो η द्वारा परिभाषित अदिश गुणन के साथ संचार करता है, जिसे कोई इस रूप में लिख सकता है
+दो ऐसे साहचर्य एकात्मक K-बीजगणित A और B दिए गए हैं, इकाई K-बीजगणित समरूपता f: A → B वलय समरूपता है जो η द्वारा परिभाषित अदिश गुणन के साथ संचार करता है, जिसे कोई इस रूप में लिख सकता है
 :<math>f(ka)=kf(a)</math>
-सभी के लिए <math>k\in K</math> और <math>a \in A</math>. दूसरे शब्दों में, निम्न आरेख यात्रा करता है:
+सभी के लिए <math>k\in K</math> और <math>a \in A</math>. दूसरे शब्दों में, निम्नलिखित आरेख यात्रा करता है:
 :<math>\begin{matrix}
 && K &&   \\
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 == संरचना गुणांक ==
-{{main|Structure constants}}
+{{main|संरचना स्थिरांक}}
-एक क्षेत्र पर बीजगणित के लिए, ए × ए से ए [[तक]] बिलिनियर गुणन ए के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] तत्वों के गुणन द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है।
+एक क्षेत्र पर बीजगणित के लिए, A × A से A [[तक]] बिलिनियर गुणन A के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] तत्वों के गुणन द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है।
-इसके विपरीत, एक बार ए के लिए आधार चुने जाने के बाद, आधार तत्वों के उत्पादों को मनमाने ढंग से सेट किया जा सकता है, और फिर ए पर बिलिनियर ऑपरेटर के लिए एक अद्वितीय तरीके से बढ़ाया जा सकता है, यानी, परिणामी गुणा बीजगणित कानूनों को संतुष्ट करता है।
+इसके विपरीत, बार A के लिए आधार चुने जाने के बाद, आधार तत्वों के उत्पादों को इच्छानुसार से समुचय किया जा सकता है, और फिर A पर बिलिनियर संचालक के लिए अद्वितीय विधिे से बढ़ाया जा सकता है, अर्थात, परिणामी गुणा बीजगणित नियम को संतुष्ट करता है।
+इस प्रकार, दिए गए क्षेत्र के, किसी भी परिमित-आयामी बीजगणित को इसके [[आयाम (रैखिक बीजगणित)]] (n कहते हैं), और n<sup>3</sup> निर्दिष्ट करके समरूपता तक निर्दिष्ट किया जा सकता है संरचना गुणांक c<sub>''i'',''j'',''k''</sub>, जो अदिश (गणित) हैं।
-इस प्रकार, क्षेत्र के दिया गया है, किसी भी परिमित-आयामी बीजगणित को इसके [[आयाम (रैखिक बीजगणित)]] (एन कहते हैं), और एन निर्दिष्ट करके समरूपता तक निर्दिष्ट किया जा सकता है<sup>3</sup> संरचना गुणांक c<sub>''i'',''j'',''k''</sub>, जो अदिश (गणित) हैं।
 ये संरचना गुणांक निम्न नियम के माध्यम से A में गुणन का निर्धारण करते हैं:
 : <math>\mathbf{e}_{i} \mathbf{e}_{j} = \sum_{k=1}^n c_{i,j,k} \mathbf{e}_{k}</math>
-जहां ई<sub>1</sub>,...,यह है<sub>''n''</sub> ए. का आधार बनता है।
+जहां e<sub>1</sub>,...,e<sub>''n''</sub> यह है A का आधार बनता है।
-हालांकि ध्यान दें कि संरचना गुणांक के कई अलग-अलग सेट आइसोमोर्फिक बीजगणित को जन्म दे सकते हैं।
+चूंकि ध्यान दें कि संरचना गुणांक के कई अलग-अलग समुचय आइसोमोर्फिक बीजगणित को जन्म दे सकते हैं।
-[[गणितीय भौतिकी]] में, संरचना गुणांक आमतौर पर ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं, ताकि उनके परिवर्तन गुणों को समन्वय परिवर्तनों के तहत अलग किया जा सके। विशेष रूप से, निचले सूचकांक सदिश सूचकांकों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण हैं, और [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)]] के माध्यम से रूपांतरित होते हैं, जबकि ऊपरी सूचकांक सहप्रसरण और सदिशों के विपरीत होते हैं, जो [[पुशफॉरवर्ड (अंतर)]] के तहत रूपांतरित होते हैं। इस प्रकार, संरचना गुणांक अक्सर सी लिखा जाता है<sub>''i'',''j''</sub><sup>k</sup>, और उनके परिभाषित नियम को [[आइंस्टीन संकेतन]] के रूप में लिखा गया है
+[[गणितीय भौतिकी]] में, संरचना गुणांक सामान्यतः ऊपरी और निचले सूचकांकों के साथ लिखे जाते हैं, जिससे उनके परिवर्तन गुणों को समन्वय परिवर्तनों के अनुसार अलग किया जा सके। विशेष रूप से, निचले सूचकांक सदिश सूचकांक के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण हैं, और [[पुलबैक (अंतर ज्यामिति)|ठहराना (अंतर ज्यामिति)]] के माध्यम से रूपांतरित होते हैं, जबकि ऊपरी सूचकांक सहप्रसरण और सदिशों के विपरीत होते हैं, जो [[पुशफॉरवर्ड (अंतर)|बढ़ना (अंतर)]] के अनुसार रूपांतरित होते हैं। इस प्रकार, संरचना गुणांक अधिकांशतः लिखा जाता हैC<sub>''i'',''j''</sub><sup>k</sup>, और उनके परिभाषित नियम को [[आइंस्टीन संकेतन]] के रूप में लिखा गया है
-: 'इ'<sub>''i''</sub>e<sub>''j''</sub> = सी<sub>''i'',''j''</sub><sup>कश्मीर</sup>'ई'<sub>''k''</sub>.
+: '''e'''<sub>''i''</sub>'''e'''<sub>''j''</sub> = ''c<sub>i</sub>''<sub>,''j''</sub><sup>''k''</sup>'''e'''<sub>''k''</sub>.
-यदि आप इसे अनुक्रमणिका संकेतन में लिखे सदिशों पर लागू करते हैं, तो यह बन जाता है
+यदि आप इसे अनुक्रमणिका संकेतन में लिखे सदिशों पर प्रयुक्त करते हैं, तो यह बन जाता है
-: (xy)<sup>के </सुप> = सी<sub>''i'',''j''</sub><sup>कश्मीर</sup>x<sup>मैं </ sup> वाई<sup>जम्मू ।
+: ('''xy''')<sup>''k''</sup> = ''c<sub>i</sub>''<sub>,''j''</sub><sup>''k''</sup>''x<sup>i</sup>y<sup>j</sup>''.
-यदि K केवल एक क्रमविनिमेय वलय है और एक क्षेत्र नहीं है, तो वही प्रक्रिया काम करती है यदि A, K के ऊपर एक मुक्त मॉड्यूल है। हालाँकि, इस मामले में संरचना स्थिरांक को मनमाने ढंग से निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, और केवल संरचना स्थिरांक को जानने से समरूपता तक बीजगणित निर्दिष्ट नहीं होता है।
+यदि K केवल क्रमविनिमेय वलय है और क्षेत्र नहीं है, तो वही प्रक्रिया काम करती है यदि A , K के ऊपर मुक्त मापांक है। चूंकि, इस स्थितियों में संरचना स्थिरांक को इच्छानुसार से निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, और केवल संरचना स्थिरांक को जानने से समरूपता तक बीजगणित निर्दिष्ट नहीं होता है।
 == जटिल संख्याओं पर निम्न-आयामी एकात्मक साहचर्य बीजगणित का वर्गीकरण ==
-[[एडवर्ड स्टडी]] द्वारा जटिल संख्याओं के क्षेत्र में द्वि-आयामी, त्रि-आयामी और चार-आयामी यूनिटल सहयोगी बीजगणित को पूरी तरह से आइसोमोर्फिज्म तक वर्गीकृत किया गया था।<ref>{{ citation | last=Study | first=E. | year=1890 | title=Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen | journal=Monatshefte für Mathematik | volume=1 |issue=1 | pages=283–354 | doi=10.1007/BF01692479 | s2cid=121426669 }}</ref>
+[[एडवर्ड स्टडी|एडवर्ड अध्ययन]] द्वारा जटिल संख्याओं के क्षेत्र में द्वि-आयामी, त्रि-आयामी और चार-आयामी यूनिटल सहयोगी बीजगणित को पूरी तरह से समाकृतिकता तक वर्गीकृत किया गया था।<ref>{{ citation | last=Study | first=E. | year=1890 | title=Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen | journal=Monatshefte für Mathematik | volume=1 |issue=1 | pages=283–354 | doi=10.1007/BF01692479 | s2cid=121426669 }}</ref>
-ऐसे दो द्वि-आयामी बीजगणित मौजूद हैं। प्रत्येक बीजगणित में दो आधार तत्वों, 1 (पहचान तत्व) और ए के रैखिक संयोजन (जटिल गुणांक के साथ) होते हैं। पहचान तत्व की परिभाषा के अनुसार,
+ऐसे दो द्वि-आयामी बीजगणित उपस्थित हैं। प्रत्येक बीजगणित में दो आधार तत्वों, 1 (पहचान तत्व) और A के रैखिक संयोजन (जटिल गुणांक के साथ) होते हैं। पहचान तत्व की परिभाषा के अनुसार,
 :<math>\textstyle 1 \cdot 1 = 1 \, , \quad 1 \cdot a = a \, , \quad a \cdot 1 = a \, . </math>
 यह निर्दिष्ट करना बाकी है
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 :<math>\textstyle a a = 0 </math> दूसरे बीजगणित के लिए।
-ऐसे पांच त्रिविम बीजगणित मौजूद हैं। प्रत्येक बीजगणित में तीन आधार तत्वों, 1 (पहचान तत्व), ए और बी के रैखिक संयोजन होते हैं। पहचान तत्व की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, यह निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है
+ऐसे पांच त्रिविम बीजगणित उपस्थित हैं। प्रत्येक बीजगणित में तीन आधार तत्वों, 1 (पहचान तत्व), A और B के रैखिक संयोजन होते हैं। पहचान तत्व की परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, यह निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है
 :<math>\textstyle a a = a \, , \quad b b = b \, , \quad a b = b a = 0 </math> पहले बीजगणित के लिए,
 :<math>\textstyle a a = a \, , \quad b b = 0 \, , \quad a b = b a = 0 </math> दूसरे बीजगणित के लिए,
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 इन बीजगणितों में से चौथा गैर-क्रमविनिमेय है, और अन्य क्रमविनिमेय हैं।
-== सामान्यीकरण: एक अंगूठी पर बीजगणित ==
+== सामान्यीकरण: रिंग पर बीजगणित ==
-गणित के कुछ क्षेत्रों में, जैसे [[क्रमविनिमेय बीजगणित]], एक वलय के ऊपर बीजगणित की अधिक सामान्य अवधारणा पर विचार करना आम है, जहां एक क्रमविनिमेय एकात्मक वलय ''R'' क्षेत्र ''K'' की जगह लेता है। परिभाषा का एकमात्र हिस्सा जो बदलता है वह यह है कि ''ए'' को मॉड्यूल (गणित) माना जाता है|''आर''-मॉड्यूल ('के'' पर वेक्टर स्पेस के बजाय)।
+गणित के कुछ क्षेत्रों में, जैसे [[क्रमविनिमेय बीजगणित]], वलय के ऊपर बीजगणित की अधिक सामान्य अवधारणा पर विचार करना सामान्य है, जहां क्रमविनिमेय एकात्मक वलय ''R'' क्षेत्र ''K'' की स्थान लेता है। परिभाषा का एक मात्र हिस्सा जो बदलता है वह यह है कि A को (गणित) ''R''-मापांक माना जाता है| ('K ''पर सदिश स्थल के अतिरिक्त)।''
-=== अंगूठियों पर साहचर्य बीजगणित ===
+=== रिंग्स पर साहचर्य बीजगणित ===
-{{main|Associative algebra}}
+{{main|साहचर्य बीजगणित}}
-एक वलय (गणित) A हमेशा अपने केंद्र (अंगूठी सिद्धांत) और [[पूर्णांक]]ों पर एक साहचर्य बीजगणित होता है। इसके केंद्र पर एक बीजगणित का एक शास्त्रीय उदाहरण है विभाजित-द्विभाजित |विभाजित-द्विभाजित बीजगणित, जो समरूपी <math>\mathbb{H} \times \mathbb{H}</math>, दो चतुष्कोणों का प्रत्यक्ष उत्पाद। उस वलय का केंद्र है <math>\mathbb{R} \times \mathbb{R}</math>, और इसलिए इसके केंद्र के ऊपर एक बीजगणित की संरचना है, जो एक क्षेत्र नहीं है। ध्यान दें कि विभाजन-द्विभाजित बीजगणित भी स्वाभाविक रूप से एक 8-आयामी है <math>\mathbb{R}</math>-बीजगणित।
+एक वलय (गणित) A सदैव अपने केंद्र (रिंग सिद्धांत) और पूर्णांकों पर साहचर्य बीजगणित होता है। इसके केंद्र पर बीजगणित का मौलिक उदाहरण है विभाजित-द्विभाजित |विभाजित-द्विभाजित बीजगणित, जो समरूपी <math>\mathbb{H} \times \mathbb{H}</math>, दो चतुष्कोणों का प्रत्यक्ष उत्पाद। उस वलय का केंद्र है <math>\mathbb{R} \times \mathbb{R}</math>, और इसलिए इसके केंद्र के ऊपर बीजगणित की संरचना है, जो क्षेत्र नहीं है। ध्यान दें कि विभाजन-द्विभाजित बीजगणित भी स्वाभाविक रूप से 8-आयामी <math>\mathbb{R}</math>-बीजगणित भी है ।
-क्रमविनिमेय बीजगणित में, यदि A क्रमविनिमेय वलय है, तो कोई इकाई वलय समाकारिता <math>R \to A</math> ए पर एक आर-मॉड्यूल संरचना को परिभाषित करता है, और यही वह है जिसे आर-बीजगणित संरचना के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book |first=H. |last=Matsumura |title=Commutative Ring Theory |url=https://books.google.com/books?id=yJwNrABugDEC |date=1989 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-36764-6 |translator-first=M. |translator-last=Reid |edition=2nd |volume=8 |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics }}</ref> तो एक अंगूठी प्राकृतिक के साथ आती है <math>\mathbb{Z}</math>-मॉड्यूल संरचना, चूंकि कोई अद्वितीय समरूपता ले सकता है <math>\mathbb{Z} \to A</math>.<ref>{{cite book |first=Ernst |last=Kunz |title=Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry |publisher=Birkhauser |year=1985 |isbn=0-8176-3065-1}}</ref> दूसरी ओर, सभी वलयों को एक क्षेत्र पर बीजगणित की संरचना नहीं दी जा सकती है (उदाहरण के लिए पूर्णांक)। प्रत्येक रिंग को एक संरचना देने के प्रयास के विवरण के लिए एक तत्व के साथ फ़ील्ड देखें जो एक फ़ील्ड पर बीजगणित की तरह व्यवहार करता है।
+क्रमविनिमेय बीजगणित में, यदि A क्रमविनिमेय वलय है, तो कोई इकाई वलय समाकारिता <math>R \to A</math> A पर R-मापांक संरचना को परिभाषित करता है, और यही वह है जिसे R-बीजगणित संरचना के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book |first=H. |last=Matsumura |title=Commutative Ring Theory |url=https://books.google.com/books?id=yJwNrABugDEC |date=1989 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-36764-6 |translator-first=M. |translator-last=Reid |edition=2nd |volume=8 |series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics }}</ref> तो रिंग प्राकृतिक के साथ आती है <math>\mathbb{Z}</math>-मापांक संरचना, चूंकि कोई अद्वितीय समरूपता ले सकता है <math>\mathbb{Z} \to A</math>.<ref>{{cite book |first=Ernst |last=Kunz |title=Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry |publisher=Birkhauser |year=1985 |isbn=0-8176-3065-1}}</ref> दूसरी ओर, सभी वलयों को क्षेत्र पर बीजगणित की संरचना नहीं दी जा सकती है (उदाहरण के लिए पूर्णांक)। प्रत्येक रिंग को संरचना देने के प्रयास के विवरण के लिए तत्व के साथ क्षेत्र देखें जो क्षेत्र पर बीजगणित की तरह व्यवहार करता है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 223: / Line 227: @@
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क्षेत्र पर बीजगणित: Difference between revisions

Latest revision as of 06:59, 19 October 2023

परिभाषा और प्रेरणा

प्रेरक उदाहरण

परिभाषा

मूलभूत अवधारणाएँ

बीजगणित समरूपता

उपबीजगणित और आदर्शों

अदिशों का विस्तार

बीजगणित के प्रकार और उदाहरण

इकाई बीजगणित

शून्य बीजगणित

साहचर्य बीजगणित

गैर-सहयोगी बीजगणित

बीजगणित और रिंग्स

संरचना गुणांक

जटिल संख्याओं पर निम्न-आयामी एकात्मक साहचर्य बीजगणित का वर्गीकरण

सामान्यीकरण: रिंग पर बीजगणित

रिंग्स पर साहचर्य बीजगणित

यह भी देखें

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