गतिशीलता सादृश्य

गतिशीलता सादृश्य, जिसे प्रवेश सादृश्य या फायरस्टोन सादृश्य भी कहा जाता है, समान विद्युत प्रणाली द्वारा यांत्रिक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने की विधि है। ऐसा करने का लाभ यह है कि विशेष रूप से इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर के क्षेत्र में जटिल विद्युत प्रणालियों से संबंधित सिद्धांत और विश्लेषण विधियों का बड़ा समूह है। विद्युत प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करके, विद्युत कार्यक्षेत्र में इन उपकरणों को बिना किसी संशोधन के सीधे यांत्रिक प्रणाली पर प्रस्तावित किया जाता है। वैद्युतयांत्रिकी में और इसका लाभ होता है: ऐसी प्रणाली के यांत्रिक भाग को विद्युत कार्यक्षेत्र में परिवर्तित करने से पूर्ण प्रणाली को एकीकृत पूर्ण के रूप में विश्लेषण करने की अनुमति मिलती है।

सिम्युलेटेड विद्युत प्रणाली का गणितीय व्यवहार प्रस्तुत यांत्रिक प्रणाली के गणितीय व्यवहार के समान है। विद्युत कार्यक्षेत्र में प्रत्येक विद्युत तत्व में यांत्रिक कार्यक्षेत्र में अनुरूप घटक समीकरण के साथ संबंधित तत्व होता है। परिपथ विश्लेषण के सभी नियम, जैसे कि किरचॉफ के परिपथ नियम या किरचॉफ के नियम के कारण जो विद्युत कार्यक्षेत्र में प्रस्तावित होते हैं, यांत्रिक गतिशीलता सादृश्य पर भी प्रस्तावित होते हैं।

गतिशीलता समानता विद्युत कार्यक्षेत्र में यांत्रिक प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली दो मुख्य यांत्रिक-विद्युत अनुरूपताओं में से है, अन्य प्रतिबाधा समानता है। इन दो प्रकारो में वोल्टेज और धारा की भूमिका व्युत्क्रम हो जाती है, और उत्पादित विद्युत प्रतिनिधित्व दूसरे के दोहरी प्रतिबाधा हैं। इस प्रकार गतिशीलता सादृश्य विद्युत कार्यक्षेत्र में स्थानांतरित होने पर यांत्रिक प्रणाली की सांस्थिति को संरक्षित करता है किन्तु प्रतिबाधा सादृश्य नहीं करता है। दूसरी ओर, प्रतिबाधा सादृश्य विद्युत प्रतिबाधा और यांत्रिक प्रतिबाधा के मध्य सादृश्य को संरक्षित करता है किन्तु गतिशीलता सादृश्य नहीं करता है।

अनुप्रयोग

यांत्रिक फिल्टर के व्यवहार को स्वरुप करने के लिए गतिशीलता सादृश्य का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। ये ऐसे फिल्टर हैं जो इलेक्ट्रॉनिक परिपथ में उपयोग के लिए अभिप्रेत हैं, किन्तु पूर्ण रूप से यांत्रिक कंपन तरंगों द्वारा कार्य करते हैं। ट्रांसड्यूसर विद्युत और यांत्रिक कार्यक्षेत्र के मध्य परिवर्तित करने के लिए फ़िल्टर के इनपुट और आउटपुट पर प्रदान किए जाते हैं।

इस कारण यह एक अन्य प्रकार के सामान्य उपयोग श्रव्य उपकरण के क्षेत्र में उपयोग किये जाते है, जैसे लाउडस्पीकर इत्यादि। किसी लाउडस्पीकर में ट्रांसड्यूसर और यांत्रिक मूविंग पार्ट्स होते हैं। ध्वनिक तरंगें स्वयं यांत्रिक गति की तरंगें हैं: वायु के अणुओं या किसी अन्य द्रव माध्यम की हैं।

तत्व

एक यांत्रिक प्रणाली के लिए विद्युत सादृश्य विकसित करने से पूर्व, इसे पूर्व अमूर्त यांत्रिक नेटवर्क के रूप में वर्णित किया जाना चाहिए। यांत्रिक प्रणाली को कई आदर्श तत्वों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक को विद्युत एनालॉग के साथ जोड़ा जा सकता है। नेटवर्क आरेखों पर इन यांत्रिक तत्वों के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों को प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व पर निम्न अनुभागों में दिखाया गया है।

गांठ वाले विद्युत तत्वों की यांत्रिक उपमाएँ में भी इस प्रकार के तत्व सम्मिलित रहते हैं, अर्थात, यह माना जाता है कि तत्व रखने वाले यांत्रिक घटक इतने छोटे होते हैं कि यांत्रिक तरंगों द्वारा घटक के छोर से दूसरे छोर तक प्रचार करने में लगने वाले समय की उपेक्षा की जा सकती है। इस पारेषण लाइनों जैसे वितरित तत्वों के लिए समानताएं भी विकसित की जा सकती हैं किन्तु लम्प्ड-एलिमेंट परिपथ के साथ सबसे बड़ा लाभ है। तीन निष्क्रिय विद्युत तत्वों, अर्थात् विद्युत प्रतिरोध, अधिष्ठापन और धारिता के लिए यांत्रिक उपमाएँ आवश्यक हैं। इस कारण इन उपमाओं का निर्धारण वोल्टेज का प्रतिनिधित्व करने के लिए किस यांत्रिक संपत्ति को चुना जाता है, और विद्युत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करने के लिए किस संपत्ति को चुना जाता है। गतिशीलता सादृश्य में वोल्टेज का एनालॉग वेग है और धारा का एनालॉग बल है। यांत्रिक प्रतिबाधा को बल और वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, इस प्रकार यह विद्युत प्रतिबाधा के अनुरूप नहीं है। इसके अतिरिक्त यह प्रवेश का अनुरूप है, प्रतिबाधा का व्युत्क्रम है। इस प्रकार यांत्रिक प्रवेश को सामान्यतः गतिशीलता कहा जाता है, इसलिए सादृश्य का नाम हैं।

प्रतिरोध

एक स्पंज (बाएं) और उसके विद्युत सादृश्य (दाएं) के लिए यांत्रिक प्रतीक। प्रतीक का अर्थ डैशपोट का विचारोत्तेजक होना है।

विद्युत प्रतिरोध का यांत्रिक सादृश्य घर्षण जैसी प्रक्रियाओं के माध्यम से चलती प्रणाली की ऊर्जा का हानि है। प्रतिरोधी के अनुरूप यांत्रिक घटक सदमे अवशोषक है और व्युत्क्रम प्रतिरोध (चालन) के अनुरूप गुण प्रतिरोधकता है (उलटा, क्योंकि विद्युत प्रतिबाधा यांत्रिक प्रतिबाधा के व्युत्क्रम का सादृश्य है)। इस प्रकार ओम के नियम के संवैधानिक समीकरण द्वारा प्रतिरोधक को नियंत्रित किया जाता है,

$i=vG$

यांत्रिक कार्यक्षेत्र में अनुरूप समीकरण है,

$F=uR_{\mathrm {m} }$

जहाँ,

G = 1/R चालकता है

R प्रतिरोध है

V वोल्टेज है

I धारा है

R_m यांत्रिक प्रतिरोध है

F बल है

u बल द्वारा प्रेरित वेग है।

विद्युत चालन प्रवेश के वास्तविक भाग का प्रतिनिधित्व करता है। इसी प्रकार यांत्रिक प्रतिरोध यांत्रिक प्रतिबाधा का वास्तविक भाग है।

अधिष्ठापन

एक अनुपालन तत्व (बाएं) और उसके विद्युत सादृश्य (दाएं) के लिए यांत्रिक प्रतीक। प्रतीक का मतलब वसंत का विचारोत्तेजक होना है।

गतिशीलता सादृश्य में अधिष्ठापन का यांत्रिक सादृश्य अनुपालन है। यांत्रिकी में कठोरता, अनुपालन के व्युत्क्रम पर चर्चा करना अधिक सामान्य है। प्रारंभ करनेवाला के अनुरूप यांत्रिक घटक वसंत (उपकरण)उपकरण) है। प्रारंभ करनेवाला संवैधानिक समीकरण द्वारा शासित होता है,

$v=L{\frac {di}{dt}}$

यांत्रिक कार्यक्षेत्र में समरूप समीकरण हुक के नियम का रूप है,

$u=C_{\mathrm {m} }{\frac {dF}{dt}}$

जहाँ,

एल अधिष्ठापन है

टी समय है

C_m = 1/एस यांत्रिक अनुपालन है

एस कठोरता है

एक प्रारंभ करने वाले के अनुसार प्रतिबाधा विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या है और इसके द्वारा दिया जाता है,

$Z=j\omega L$

अनुरूप यांत्रिक प्रवेश द्वारा दिया जाता है,

$Y_{\mathrm {m} }=j\omega C_{\mathrm {m} }$

जहाँ,

Z विद्युत प्रतिबाधा है

j काल्पनिक इकाई है

ω कोणीय आवृत्ति है

Y_m यांत्रिक प्रवेश है।

धारिता

द्रव्यमान के लिए यांत्रिक प्रतीक (बाएं) और इसकी विद्युत सादृश्यता (दाएं)। द्रव्यमान के नीचे का वर्ग कोण यह इंगित करने के लिए है कि द्रव्यमान का संचलन संदर्भ के फ्रेम के सापेक्ष है।

गतिशीलता सादृश्य में धारिता का यांत्रिक सादृश्य द्रव्यमान है। संधारित्र के समान यांत्रिक घटक बड़ा, कठोर भार है। संधारित्र संवैधानिक समीकरण द्वारा शासित होता है,

$i=C{\frac {dv}{dt}}$

यांत्रिक कार्यक्षेत्र में समरूप समीकरण न्यूटन का गति का दूसरा नियम है,

$F=M{\frac {du}{dt}}$

जहाँ,

C धारिता है

एम द्रव्यमान है

एक संधारित्र का प्रतिबाधा विशुद्ध रूप से काल्पनिक है और इसके द्वारा दिया जाता है,

$Z={1 \over j\omega C}$

अनुरूप यांत्रिक प्रवेश द्वारा दिया जाता है,

$Y_{\mathrm {m} }={1 \over j\omega M}$.

जड़ता

विद्युत तत्व के सादृश्य के रूप में द्रव्यमान के साथ विचित्र कठिनाई उत्पन्न होती है। यह इस तथ्य से जुड़ा है कि यांत्रिक प्रणालियों में द्रव्यमान का वेग (और अधिक महत्वपूर्ण रूप से, इसका त्वरण) हमेशा कुछ निश्चित संदर्भ फ्रेम, सामान्यतः पृथ्वी के विरुद्ध मापा जाता है। दो-टर्मिनल प्रणाली तत्व के रूप में माना जाता है, द्रव्यमान में टर्मिनल वेग u पर होता है, जो विद्युत क्षमता के अनुरूप होता है। अन्य टर्मिनल शून्य वेग पर है और इलेक्ट्रिक ग्राउंड क्षमता के अनुरूप है। इस प्रकार, द्रव्यमान को भूमिगत संधारित्र के अनुरूप के रूप में उपयोग नहीं किया जा सकता है।

इसने 2002 में कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के मैल्कम सी. स्मिथ को यांत्रिक नेटवर्क के लिए नई ऊर्जा भंडारण तत्व को परिभाषित करने के लिए प्रेरित किया, जिसे निष्क्रियता कहा जाता है। घटक जिसमें जड़ता होती है उसे जड़ता (यांत्रिक नेटवर्क) कहा जाता है। द्रव्यमान के विपरीत, जड़ता के दो टर्मिनलों को दो अलग-अलग, मनमाना वेग और त्वरण की अनुमति है। जड़त्व का संवैधानिक समीकरण द्वारा दिया गया है,

$F=B\left({\frac {du_{\mathrm {2} }}{dt}}-{\frac {du_{\mathrm {1} }}{dt}}\right)=B{\frac {d\Delta u}{dt}}$

जहाँ,

F समान और विपरीत बल है जो दो टर्मिनलों पर लगाया जाता है

बी जड़ता है

यू₁ और आप₂ क्रमशः टर्मिनल 1 और 2 पर वेग हैं

Δu = यू₂ - में₁

जड़त्व में द्रव्यमान (SI प्रणाली में किलोग्राम) के समान इकाइयाँ होती हैं और नाम जड़ता से इसके संबंध को इंगित करता है। स्मिथ ने न केवल नेटवर्क सैद्धांतिक तत्व को परिभाषित किया, बल्कि उन्होंने वास्तविक यांत्रिक घटक के लिए निर्माण का भी सुझाव दिया और छोटा प्रोटोटाइप बनाया। स्मिथ के इनरटर में प्लंजर होता है जो सिलेंडर के अंदर या बाहर स्लाइड करने में सक्षम होता है। सवार रैक और पंख काटना गियर से जुड़ा होता है जो सिलेंडर के अंदर चक्का चलाता है। टॉर्कः को विकसित होने से रोकने के लिए दो काउंटर रोटेटिंग फ्लाईव्हील्स हो सकते हैं। जब प्लंजर विपरीत दिशा में चलता है तो प्लंजर को अंदर धकेलने में प्रदान की गई ऊर्जा वापस आ जाएगी, इसलिए डिवाइस द्रव्यमान के ब्लॉक की तरह इसे नष्ट करने के बजाय ऊर्जा को संग्रहित करता है। चूंकि, जड़त्व का वास्तविक द्रव्यमान बहुत छोटा हो सकता है, आदर्श जड़ता का कोई द्रव्यमान नहीं होता है। इनरटर पर दो बिंदु, प्लंजर और सिलेंडर केस, स्वतंत्र रूप से यांत्रिक प्रणाली के अन्य भागों से जुड़े हो सकते हैं, जिनमें से कोई भी आवश्यक रूप से जमीन से जुड़ा नहीं है।

स्मिथ के इनरटर को फार्मूला वन रेसिंग में एप्लिकेशन मिला है जहां इसे जे-डैम्पर के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार यह अब प्रतिबंधित ट्यून किए गए बड़े पैमाने पर स्पंज के विकल्प के रूप में प्रयोग किया जाता है और वाहन निलंबन का हिस्सा बनता है। स्मिथ के साथ सहयोग के बाद 2005 में मैकलारेन द्वारा इसे पहली बार गुप्त रूप से उपयोग किया गया हो सकता है। माना जाता है कि अन्य टीमें अब इसका उपयोग कर रही हैं। इनरटर ट्यून्ड मास डैम्पर की तुलना में बहुत छोटा होता है और टायरों पर संपर्क पैच लोड विविधताओं को सुचारू करता है। इसके कारण स्मिथ मशीन कंपन को कम करने के लिए इनरटर का उपयोग करने का भी सुझाव देते हैं।

यांत्रिक उपमाओं में द्रव्यमान के साथ कठिनाई गतिशीलता सादृश्य तक सीमित नहीं है। प्रतिबाधा सादृश्य में संबंधित समस्या भी होती है, किन्तु उस स्थिति में यह कैपेसिटर के बजाय अपंजीकृत सूचक होते हैं, जिन्हें मानक तत्वों के साथ प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है।

दोलित्र यंत्र

एक यांत्रिक दोलित्र यंत्र में द्रव्यमान तत्व और अनुपालन तत्व दोनों होते हैं। यांत्रिक दोलित्र यंत्र अधिष्ठापन और धारिता से युक्त विद्युत एलसी परिपथ के अनुरूप होते हैं। वास्तविक यांत्रिक घटकों में अनिवार्य रूप से द्रव्यमान और अनुपालन दोनों होते हैं इसलिए अनुनादकों को घटक के रूप में बनाना व्यावहारिक प्रस्ताव है। वास्तव में, शुद्ध द्रव्यमान या शुद्ध अनुपालन को घटक के रूप में बनाना अधिक कठिन है। स्प्रिंग को निश्चित अनुपालन के साथ बनाया जा सकता है और द्रव्यमान को कम से कम किया जा सकता है, या द्रव्यमान को कम से कम अनुपालन के साथ बनाया जा सकता है, किन्तु न तो पूरी तरह से समाप्त किया जा सकता है। यांत्रिक दोलित्र यंत्र यांत्रिक फिल्टर का प्रमुख घटक है।

जेनरेटर

निरंतर वेग जनरेटर (बाएं) और इसके विद्युत सादृश्य (दाएं) के लिए यांत्रिक प्रतीक

एक निरंतर बल जनरेटर (बाएं) और इसके विद्युत सादृश्य (दाएं) के लिए यांत्रिक प्रतीक

वोल्टेज स्रोत और धारा स्रोत (जनरेटर) के सक्रिय विद्युत तत्वों के लिए एनालॉग मौजूद हैं। निरंतर चालू जनरेटर की गतिशीलता सादृश्य में यांत्रिक एनालॉग निरंतर बल जनरेटर है। निरंतर वोल्टेज जनरेटर का यांत्रिक एनालॉग निरंतर वेग जनरेटर है।

निरंतर बल जनरेटर का उदाहरण निरंतर बल वसंत है। व्यावहारिक निरंतर वेग जनरेटर का उदाहरण हल्की लोड वाली शक्तिशाली मशीन है, जैसे विद्युत मोटर , बेल्ट (यांत्रिक) चला रहा है। यह वास्तविक वोल्टेज स्रोत के समान है, जैसे कि बैटरी, जो लोड के साथ स्थिर-वोल्टेज के पास रहती है, बशर्ते लोड प्रतिरोध बैटरी के आंतरिक प्रतिरोध से बहुत अधिक हो।

ट्रांसड्यूसर

इलेक्ट्रोमैकेनिक्स को इलेक्ट्रिकल और यांत्रिक कार्यक्षेत्र के मध्य रूपांतरण के लिए ट्रांसड्यूसर की आवश्यकता होती है। वे दो-पोर्ट नेटवर्क के अनुरूप हैं और उन जैसे साथ समीकरणों की जोड़ी और चार मनमाने मापदंडों द्वारा वर्णित किए जा सकते हैं। कई संभावित अभ्यावेदन हैं, किन्तु गतिशीलता सादृश्य के लिए सबसे अधिक प्रस्तावित प्रपत्र में प्रवेश की इकाइयों में मनमाना पैरामीटर हैं। मैट्रिक्स रूप में (पोर्ट 1 के रूप में लिए गए विद्युत पक्ष के साथ) यह प्रतिनिधित्व है,

${\begin{bmatrix}i\\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v\\F\end{bmatrix}}$

तत्व $y_{22}\,$ शॉर्ट परिपथ यांत्रिक प्रवेश है, अर्ताथ ट्रांसड्यूसर के यांत्रिक पक्ष द्वारा प्रस्तुत प्रवेश जब विद्युत पक्ष पर शून्य वोल्टेज (शॉर्ट परिपथ) प्रस्तावित होता है। तत्व $y_{11}\,$, इसके विपरीत, अनलोडेड विद्युत प्रवेश है, अर्थात, विद्युत पक्ष को प्रस्तुत किया गया प्रवेश जब यांत्रिक पक्ष भार (शून्य बल) नहीं चला रहा है। शेष दो तत्व, $y_{21}\,$ और $y_{12}\,$क्रमशः ट्रांसड्यूसर फॉरवर्ड और रिवर्स ट्रांसफर फ़ंक्शंस का वर्णन करें। वे दोनों ट्रांस धारिता के अनुरूप हैं और विद्युत और यांत्रिक मात्रा के संकर अनुपात हैं।

ट्रांसफॉर्मर

एक ट्रांसफॉर्मर की यांत्रिक समानता साधारण मशीन है जैसे चरखी या लीवर इत्यादि। लोड पर प्रस्तावित बल इनपुट बल से अधिक या कम हो सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि मशीन का यांत्रिक लाभ क्रमशः एकता से अधिक या कम है। इस प्रकार यांत्रिक लाभ गतिशीलता सादृश्य में ट्रांसफार्मर के व्युत्क्रम अनुपात के अनुरूप है। एकता से कम यांत्रिक लाभ स्टेप-अप ट्रांसफार्मर के अनुरूप है और एकता से अधिक स्टेप-डाउन ट्रांसफार्मर के अनुरूप है।

शक्ति और ऊर्जा समीकरण

गतिशीलता सादृश्य में समान शक्ति और ऊर्जा समीकरणों की तालिका

विद्युत मात्रा	विद्युत प्रारूप	यांत्रिक सादृश्य	यांत्रिक प्रारूप
ऊर्जा प्रदान की गई	$E=\int vi\ dt$	ऊर्जा प्रदान की गई	$E=\int Fu\ dt$
बिजली की आपूर्ति	$P=vi$	बिजली की आपूर्ति	$P=Fu$
एक रोकनेवाला में बिजली अपव्यय	$P=i^{2}R={v^{2} \over R}$	एक स्पंज में बिजली अपव्यय	$P=u^{2}R_{\mathrm {m} }={F^{2} \over R_{\mathrm {m} }}$
एक प्रारंभ करनेवाला चुंबकीय क्षेत्र में संग्रहीत ऊर्जा	$E={\tfrac {1}{2}}Li^{2}$	एक वसंत में संग्रहीत संभावित ऊर्जा	$E={\tfrac {1}{2}}C_{\mathrm {m} }F^{2}$
एक संधारित्र विद्युत क्षेत्र में संग्रहीत ऊर्जा	$E={\tfrac {1}{2}}Cv^{2}$	गतिमान द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा	$E={\tfrac {1}{2}}Mu^{2}$

उदाहरण

सरल दोलित्र परिपथ

सरल यांत्रिक दोलित्र यंत्र (बाएं) और इसकी गतिशीलता सादृश्य समकक्ष परिपथ (दाएं)

यह चित्र द्रव्यमान M के एक प्लेटफ़ॉर्म की यांत्रिक व्यवस्था को दर्शाता है जो कठोरता S के एक स्प्रिंग और प्रतिरोध R_m के एक डैम्पर द्वारा सब्सट्रेट के ऊपर निलंबित है। गतिशीलता सादृश्य समतुल्य सर्किट को इस व्यवस्था के दाईं ओर दिखाया गया है और इसमें एक समानांतर अनुनाद सर्किट होता है। इस प्रणाली में एक दोलित्र आवृत्ति होती है, और यदि बहुत अधिक नमी न हो तो इसमें दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति हो सकती है।

लाभऔर हानि

इसके विकल्प, प्रतिबाधा सादृश्य पर गतिशीलता सादृश्य का मुख्य लाभ यह है कि यह यांत्रिक प्रणाली की सांस्थिति को संरक्षित करता है। यांत्रिक प्रणाली में श्रृंखला में आने वाले तत्व विद्युत समतुल्य परिपथ में श्रृंखला में होते हैं और यांत्रिक प्रणाली में समानांतर तत्व विद्युत समकक्ष में समानांतर में रहते हैं।

गतिशीलता समानता का मुख्य हानि यह है कि यह विद्युत और यांत्रिक प्रतिबाधा के मध्य समानता को बनाए नहीं रखता है। यांत्रिक प्रतिबाधा को विद्युत प्रवेश के रूप में दर्शाया जाता है और विद्युत समतुल्य परिपथ में यांत्रिक प्रतिरोध को विद्युत चालकता के रूप में दर्शाया जाता है। इस प्रकार के बल वोल्टेज के अनुरूप नहीं है (जेनरेटर (परिपथ सिद्धांत) वोल्टेज को अधिकांशतः वैद्युतवाहक बल कहा जाता है), किन्तु यह धारा के अनुरूप होता है।

इतिहास

ऐतिहासिक रूप से, प्रतिबाधा सादृश्य गतिशीलता सादृश्य से बहुत पूर्व उपयोग में था। सांस्थिति के संरक्षण के मुद्दे को दूर करने के लिए 1932 में F. A. फायरस्टोन द्वारा यांत्रिक प्रवेश और संबद्ध गतिशीलता सादृश्य प्रस्तुत किया गया था। डब्ल्यू हैंह्लले का स्वतंत्र रूप से जर्मनी में भी यही विचार था। होरेस एम. ट्रेंट ने गणितीय ग्राफ सिद्धांत के दृष्टिकोण से सामान्य रूप से सादृश्यता के लिए उपचार विकसित किया और अपनी स्वयं की नई उपमा प्रस्तुत की गई थी।

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