मोनोटोन संभावना अनुपात: Difference between revisions

Latest revision as of 07:11, 19 October 2023

वितरण में संभावना अनुपात

f(x)

और

g(x)

उपरोक्त संभाव्यता घनत्व फलन

x

का अनुपात पैरामीटर में बढ़ रहा है, इसलिए

f(x)/g(x)

मोनोटोन संभावना अनुपात गुण को संतुष्ट करता है।

सांख्यिकी में, मोनोटोन संभावना अनुपात गुण दो संभाव्यता घनत्व कार्यों के अनुपात की गुण है। औपचारिक रूप से, वितरण ƒ(x) और g(x) गुण धारण करते हैं यदि

{\text{for every}}x_{1}>x_{0},\quad {\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}\geq {\frac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}

अर्थात, तर्क में अनुपात $x$ कम नहीं होता है।

यदि कार्य भिन्न-भिन्न हैं, तो गुण को कभी-कभी ${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)\geq 0$ कहा जा सकता है।

दो वितरणों के लिए जो कुछ तर्क x के संबंध में परिभाषा को संतुष्ट करते हैं, उनके पास x में एमएलआर है। वितरण के सदस्य के लिए जो सभी कुछ आंकड़े T(X) के संबंध में परिभाषा को पूर्ण करते हैं, अतः उनके पास T(X) में एमएलआर है।

अंतर्ज्ञान

एमएलआर का उपयोग डेटा-जनरेटिंग प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जो कुछ प्रेक्षित चर के परिमाण और इसके द्वारा प्राप्त वितरण के मध्य सरलता से संबंध स्थापित करता है। यदि $f(x)$ के संबंध में एमएलआर को $g(x)$ संतुष्ट करता है तो प्रेक्षित संख्या $x$ जितनी अधिक होगी उतनी ही अधिक संभावना वितरण से खींची गई $f$ के अतिरिक्त $g$ होता है। मोनोटोनिक संबंधों के लिए संभावना अनुपात आँकड़ों में कार्य करती है, विशेषकर जब अधिकतम संभावना अनुमान का उपयोग किया जाता है। इसके अतिरिक्त, एमएलआर वाले वितरण सदस्यों में कई उत्तम स्टोचैस्टिक गुण होते हैं, जैसे प्रथम-क्रम स्टोकेस्टिक प्रभुत्व और बढ़ते संकट अनुपात है। जैसा कि सदैव होता है, इस धारणा का बल यथार्थवाद के मूल्य पर प्राप्त होती है। विश्व में कई प्रक्रियाएं इनपुट और आउटपुट के मध्य मोनोटोनिक पत्राचार प्रदर्शित नहीं करती हैं।

उदाहरण: जटिल परिश्रम करना या अकर्मण्य होना

विचार कीजिए कि आप किसी योजना पर कार्य कर रहे हैं, और तो आप जटिल परिश्रम कर सकते हैं या अकर्मण्य हो सकते हैं। अपनी रुचि के प्रयास $e$ और परिणामी परियोजना की गुणवत्ता $q$ है, यदि एमएलआरपी आपके प्रयास $e$ के वितरण के लिए है , गुणवत्ता q जितनी अधिक होगी, आपके द्वारा जटिल परिश्रम करने की संभावना उतनी ही अधिक होगी। इसके विपरीत, गुणवत्ता जितनी कम होगी, आपके अकर्मण्य होने की संभावना अधिक होगी।

प्रयास $e\in \{H,L\}$ जहां H का तात्पर्य उच्च और L का तात्पर्य निम्न है
अवलोकन $q$ से खींचा $f(q\mid e)$ बेयस के कानून द्वारा समान पूर्व के साथ,
$\Pr[e=H\mid q]={\frac {f(q\mid H)}{f(q\mid H)+f(q\mid L)}}$ है ।
कल्पना $f(q\mid e)$ एमएलआरपी को संतुष्ट करता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर, कार्यकर्ता द्वारा कठिन परिश्रम करने की प्रायिकता

{\frac {1}{1+f(q\mid L)/f(q\mid H)}}

है ।

जो, एमएलआरपी के लिए नीरस रूप से

q

बढ़ रहा है (क्योंकि

f(q\mid L)/f(q\mid H)

में

q

घट रहा है ), इसलिए यदि कोई नियोक्ता प्रदर्शन की समीक्षा कर रहा है तो वह अपने कर्मचारी के व्यवहार को उसके कार्य की योग्यता से अनुमान लगा सकता है।

एमएलआर को संतुष्ट करने वाले वितरण के सदस्य

सांख्यिकीय मॉडल प्रायः मानते हैं कि डेटा के कुछ सदस्य से वितरण द्वारा उत्पन्न होते हैं और उस वितरण को निर्धारित करना चाहते हैं। यह कार्य सरल हो जाता है यदि सदस्य के पास मोनोटोन संभावना अनुपात गुण (एमएलआरपी) है।

घनत्व कार्यों का सदस्य $\{f_{\theta }(x)\}_{\theta \in \Theta }$ पैरामीटर द्वारा अनुक्रमित $\theta$ आदेशित सेट में मान को $\Theta$ कहा जाता है कि आँकड़ों में मोनोटोन संभावना अनुपात (एमएलआर) $T(X)$ है, यदि किसी के लिए $\theta _{1}<\theta _{2}$ ,

{\frac {f_{\theta _{2}}(X=x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}{f_{\theta _{1}}(X=x_{1},x_{2},x_{3},\dots )}}

का गैर-घटता कार्य

T(X)

है।

अतः हम कहते हैं कि वितरण के सदस्य में एमएलआर $T(X)$ है।

सदस्यों की सूची

सदस्य	$T(X)$ जिसमें $f_{\theta }(X)$ एमएलआर है
एक्सपोनेंशियल $[\lambda ]$	$\sum x_{i}$ टिप्पणियों
द्विपद $[n,p]$	$\sum x_{i}$ टिप्पणियों
प्वासों $[\lambda ]$	$\sum x_{i}$ टिप्पणियों
सामान्य $[\mu ,\sigma ]$	if $\sigma$ ज्ञात, $\sum x_{i}$ टिप्पणियों

परिकल्पना परीक्षण

यदि यादृच्छिक चर के सदस्य में एमएलआर $T(X)$ है, परिकल्पना के लिए समान रूप से सबसे शक्तिशाली परीक्षण $H_{0}:\theta \leq \theta _{0}$ के प्रति $H_{1}:\theta >\theta _{0}$ सरलता से निर्धारित किया जा सकता है।

उदाहरण: प्रयास और आउटपुट

उदाहरण $e$ स्टोकेस्टिक प्रौद्यिगिकी में इनपुट कार्यकर्ता का प्रयास है, उदाहरण के लिए $y$ इसका आउटपुट है, जिसकी संभावना प्रायिकता घनत्व फलन $f(y;e)$ द्वारा वर्णित है। सदस्य की मोनोटोन संभावना अनुपात गुण (एमएलआरपी) $f$ निम्नानुसार व्यक्त किया गया है: किसी के लिए $e_{1},e_{2}$ , यह तथ्य का $e_{2}>e_{1}$ तात्पर्य है कि अनुपात $f(y;e_{2})/f(y;e_{1})$ में $y$ बढ़ रहा है। .

अन्य सांख्यिकीय गुणों से संबंध

मोनोटोन संभावनाएं सांख्यिकीय सिद्धांत के कई क्षेत्रों में उपयोग की जाती हैं, जिसमें बिंदु अनुमान और परिकल्पना परीक्षण, साथ ही संभाव्यता मॉडल भी सम्मिलित हैं।

घातीय सदस्य

पैरामीटर एक्सपोनेंशियल सदस्य में मोनोटोन संभावना-कार्य होते हैं। विशेष रूप से, संभाव्यता घनत्व कार्यों या द्रव्यमान कार्यों के आयामी घातीय सदस्य के साथ

f_{\theta }(x)=c(\theta )h(x)\exp(\pi (\theta )T(x))

पर्याप्तता (सांख्यिकी) T(x) में मोनोटोन कम संभावना अनुपात है, परन्तु $\pi (\theta )$ कम नहीं होता है।

समान रूप से सबसे शक्तिशाली परीक्षण: कार्लिन-रुबिन प्रमेय

कार्लिन-रुबिन प्रमेय के अनुसार, मोनोटोन संभावना कार्यों का उपयोग समान रूप से सबसे शक्तिशाली परीक्षणों के निर्माण के लिए किया जाता है।^[1] स्केलर मापन पर विचार करें जिसमें स्केलर पैरामीटर θ द्वारा प्राचलित प्रायिकता घनत्व फलन होता है, और $\ell (x)=f_{\theta _{1}}(x)/f_{\theta _{0}}(x)$ संभावना अनुपात को परिभाषित करता है। यदि $\ell (x)$ मोनोटोन कम है तो $x$ , किसी भी जोड़ी के लिए $\theta _{1}\geq \theta _{0}$ (जिसका अर्थ है कि बड़ा $x$ है, अधिक सम्भावना $H_{1}$ है), तो परीक्षण:

\varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}

है,

जहाँ

x_{0}

चयन इसलिए किया जाता है जिससे

\operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (X)=\alpha

है,

परीक्षण के लिए आकार α का यूएमपी परीक्षण $H_{0}:\theta \leq \theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}$ है, ध्यान दें कि ठीक यही परीक्षण $H_{0}:\theta =\theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}$ परीक्षण के लिए यूएमपी भी है।

माध्य निष्पक्ष अनुमान

मोनोटोन संभावना-कार्यों का उपयोग मध्य-निष्पक्ष आकलनकर्ताओं के निर्माण के लिए किया जाता है, जोहान फनज़ागल और अन्य द्वारा निर्दिष्ट विधियों का उपयोग करते है।^[2]^[3] ऐसी ही प्रक्रिया राव-ब्लैकवेल प्रमेय का एनालॉग है। समान रूप से न्यूनतम-विचरण निष्पक्ष अनुमानक के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया है | मीन-निष्पक्ष अनुमानक: प्रक्रिया माध्य के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया की उपेक्षा में संभाव्यता वितरण के छोटे वर्ग के लिए है- निष्पक्ष अनुमान परन्तु हानि कार्यों के बड़े वर्ग के लिए है।^[3]^: 713

आजीवन विश्लेषण: उत्तरजीविता विश्लेषण और विश्वसनीयता

यदि वितरण का सदस्य $f_{\theta }(x)$ में मोनोटोन संभावना का अनुपात गुण $T(X)$ है,

सदस्य में मोनोटोन अल्प संकट की दर $\theta$ (परन्तु आवश्यक नहीं कि अंदर $T(X)$ ) है।
सदस्य पूर्व क्रम (और इसलिए दूसरे क्रम) में स्टोकास्टिक प्रभुत्व प्रदर्शित और $x$ का सबसे उचित बायेसियन अपडेट $\theta$ में $T(X)$ बढ़ रहा है। .

परन्तु इसके विपरीत नहीं न तो मोनोटोन संकट की दर और न ही स्टोकेस्टिक प्रभुत्व एमएलआरपी को प्रभावित करते हैं।

प्रमाण

वितरण सदस्य $f_{\theta }$ x में एमएलआर को संतुष्ट करके, जिसमें $\theta _{1}>\theta _{0}$ और $x_{1}>x_{0}$ :

{\frac {f_{\theta _{1}}(x_{1})}{f_{\theta _{0}}(x_{1})}}\geq {\frac {f_{\theta _{1}}(x_{0})}{f_{\theta _{0}}(x_{0})}},

या समकक्ष:

f_{\theta _{1}}(x_{1})f_{\theta _{0}}(x_{0})\geq f_{\theta _{1}}(x_{0})f_{\theta _{0}}(x_{1}).\,

इस अभिव्यक्ति को दो बार एकीकृत करके, हम प्राप्त करते हैं:

1. To

x_{1}

with respect to

x_{0}

{\begin{aligned}&\int _{\min _{x}\in X}^{x_{1}}f_{\theta _{1}}(x_{1})f_{\theta _{0}}(x_{0})\,dx_{0}\\[6pt]\geq {}&\int _{\min _{x}\in X}^{x_{1}}f_{\theta _{1}}(x_{0})f_{\theta _{0}}(x_{1})\,dx_{0}\end{aligned}}

integrate and rearrange to obtain

{\frac {f_{\theta _{1}}}{f_{\theta _{0}}}}(x)\geq {\frac {F_{\theta _{1}}}{F_{\theta _{0}}}}(x)

2. From

x_{0}

with respect to

x_{1}

{\begin{aligned}&\int _{x_{0}}^{\max _{x}\in X}f_{\theta _{1}}(x_{1})f_{\theta _{0}}(x_{0})\,dx_{1}\\[6pt]\geq {}&\int _{x_{0}}^{\max _{x}\in X}f_{\theta _{1}}(x_{0})f_{\theta _{0}}(x_{1})\,dx_{1}\end{aligned}}

integrate and rearrange to obtain

{\frac {1-F_{\theta _{1}}(x)}{1-F_{\theta _{0}}(x)}}\geq {\frac {f_{\theta _{1}}}{f_{\theta _{0}}}}(x)

पूर्व क्रम का स्टोकेस्टिक प्रभुत्व

प्रथम क्रम प्रभुत्व प्राप्त करने के लिए उपरोक्त दो असमानता

F_{\theta _{1}}(x)\leq F_{\theta _{0}}(x)\ \forall x

है।

मोनोटोन संकट दर

मोनोटोन संकट दर प्राप्त करने के लिए केवल ऊपर दी गई दूसरी असमानता का उपयोग करते है।

{\frac {f_{\theta _{1}}(x)}{1-F_{\theta _{1}}(x)}}\leq {\frac {f_{\theta _{0}}(x)}{1-F_{\theta _{0}}(x)}}\ \forall x

उपयोग

अर्थशास्त्र

एमएलआर मैकेनिज्म डिजाइन और सूचना के अर्थशास्त्र में एजेंटों के प्रकार वितरण पर महत्वपूर्ण प्रतिबन्ध होता है, जहां एमएलआर के परिणाम के रूप में पॉल मिलग्रोम ने संकेतों की अनुकूलता (स्टोकेस्टिक प्रभुत्व के संदर्भ में) को परिभाषित किया है।^[4] मैकेनिज्म डिजाइन मॉडल के अधिकांश समाधान ऐसे वितरणों को मानते हैं जो समाधान विधियों का लाभ लेने के लिए एमएलआर को संतुष्ट करते हैं जिससे प्रारम्भ एवं व्याख्या करना सरल हो सकता है।

संदर्भ

↑ Casella, G.; Berger, R.L. (2008), Statistical Inference, Brooks/Cole. ISBN 0-495-39187-5 (Theorem 8.3.17)
↑ Pfanzagl, Johann (1979). "उपद्रव मापदंडों की उपस्थिति में इष्टतम औसत निष्पक्ष अनुमानकों पर". Annals of Statistics. 7 (1): 187–193. doi:10.1214/aos/1176344563.
↑ ^3.0 ^3.1 Brown, L. D.; Cohen, Arthur; Strawderman, W. E. (1976). "अनुप्रयोगों के साथ सख्त मोनोटोन संभावना अनुपात के लिए एक पूर्ण वर्ग प्रमेय". Ann. Statist. 4 (4): 712–722. doi:10.1214/aos/1176343543.
↑ Milgrom, P. R. (1981). Good News and Bad News: Representation Theorems and Applications. The Bell Journal of Economics, 12(2), 380–391. https://doi.org/10.2307/3003562

[1] Casella, G.; Berger, R.L. (2008), Statistical Inference, Brooks/Cole. ISBN 0-495-39187-5 (Theorem 8.3.17)

[2] Pfanzagl, Johann (1979). "उपद्रव मापदंडों की उपस्थिति में इष्टतम औसत निष्पक्ष अनुमानकों पर". Annals of Statistics. 7 (1): 187–193. doi:10.1214/aos/1176344563.

[BrownEtAl1976-3] 3.0 ^3.1 Brown, L. D.; Cohen, Arthur; Strawderman, W. E. (1976). "अनुप्रयोगों के साथ सख्त मोनोटोन संभावना अनुपात के लिए एक पूर्ण वर्ग प्रमेय". Ann. Statist. 4 (4): 712–722. doi:10.1214/aos/1176343543.

[4] Milgrom, P. R. (1981). Good News and Bad News: Representation Theorems and Applications. The Bell Journal of Economics, 12(2), 380–391. https://doi.org/10.2307/3003562

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-<div शैली = चौड़ाई: 367px; बॉर्डर: सॉलिड #aaa 1px; मार्जिन: 0 0 1em 1em; फ़ॉन्ट-आकार: 90%; पृष्ठभूमि: #f9f9f9; पैडिंग: 4 पीएक्स; पाठ-संरेखण: बाएँ; सही नाव; >
+<div शैली = चौड़ाई: 367px; बॉर्डर: सॉलिड #aaa 1px; मार्जिन: 0 0 1em 1em; फ़ॉन्ट-आकार: 90%; पृष्ठभूमि: #f9f9f9; पैडिंग: 4 पीएक्स; पाठ-संरेखण: बाएँ; सही नाव; ><div>
-<div>वितरण में एकरस संभावना अनुपात <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math></div>
+वितरण में '''संभावना अनुपात''' <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math> उपरोक्त संभाव्यता घनत्व फलन <math>x</math> का अनुपात पैरामीटर में बढ़ रहा है, इसलिए <math>f(x)/g(x)</math> मोनोटोन संभावना अनुपात गुण को संतुष्ट करता है।[[Image:MLRP-illustration.png|right]]</div>
-<div>[[Image:MLRP-illustration.png|none]]</div>
-उपरोक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का अनुपात पैरामीटर में बढ़ रहा है <math>x</math>, इसलिए <math>f(x)/g(x)</math> मोनोटोन संभावना अनुपात संपत्ति को संतुष्ट करता है।
 </div>
-आंकड़ों में, मोनोटोन संभावना अनुपात संपत्ति दो संभाव्यता घनत्व कार्यों (पीडीएफ) के अनुपात की संपत्ति है। औपचारिक रूप से, वितरण ''ƒ''(''x'') और ''g''(''x'') गुण धारण करते हैं यदि
+सांख्यिकी में, '''मोनोटोन संभावना अनुपात''' गुण दो संभाव्यता घनत्व कार्यों के अनुपात की गुण है। औपचारिक रूप से, वितरण ''ƒ''(''x'') और ''g''(''x'') गुण धारण करते हैं यदि
-: <math>\text{for every }x_1 > x_0, \quad \frac{f(x_1)}{g(x_1)} \geq \frac{f(x_0)}{g(x_0)}</math>
+: <math>\text{for every}x_1 > x_0, \quad \frac{f(x_1)}{g(x_1)} \geq \frac{f(x_0)}{g(x_0)}</math>
-यानी, अगर तर्क में अनुपात घटता नहीं है <math>x</math>.
+अर्थात, तर्क में अनुपात <math>x</math> कम नहीं होता है।
-यदि कार्य पहले-अलग-अलग हैं, तो संपत्ति को कभी-कभी कहा जा सकता है
+यदि कार्य भिन्न-भिन्न हैं, तो गुण को कभी-कभी  <math>\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) \geq 0</math> कहा जा सकता है।
-:<math>\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) \geq 0</math>
+:
-दो वितरणों के लिए जो कुछ तर्क x के संबंध में परिभाषा को संतुष्ट करते हैं, हम कहते हैं कि उनके पास x में MLRP है। वितरण के एक परिवार के लिए जो सभी कुछ आंकड़े टी (एक्स) के संबंध में परिभाषा को पूरा करते हैं, हम कहते हैं कि उनके पास टी (एक्स) में एमएलआर है।
+दो वितरणों के लिए जो कुछ तर्क x के संबंध में परिभाषा को संतुष्ट करते हैं, उनके पास x में एमएलआर है। वितरण के सदस्य के लिए जो सभी कुछ आंकड़े ''T''(''X'') के संबंध में परिभाषा को पूर्ण करते हैं, अतः उनके पास ''T''(''X'') में एमएलआर है।
 == अंतर्ज्ञान ==
-MLRP का उपयोग एक डेटा-जनरेटिंग प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जो कुछ प्रेक्षित चर के परिमाण और इसके द्वारा प्राप्त वितरण के बीच एक सीधा संबंध प्राप्त करता है। अगर <math>f(x)</math> के संबंध में MLRP को संतुष्ट करता है <math>g(x)</math>, प्रेक्षित मान जितना अधिक होगा <math>x</math>, अधिक संभावना यह वितरण से खींची गई थी <math>f</math> इसके बजाय <math>g</math>. मोनोटोनिक संबंधों के लिए हमेशा की तरह, संभावना अनुपात की मोनोटोनिकिटी आँकड़ों में काम आती है, खासकर जब अधिकतम संभावना | अधिकतम-संभावना [[अनुमान]] का उपयोग किया जाता है। इसके अलावा, एमएलआर वाले वितरण परिवारों में कई अच्छे व्यवहार वाले स्टोचैस्टिक गुण होते हैं, जैसे [[प्रथम-क्रम स्टोकेस्टिक प्रभुत्व]] और बढ़ते जोखिम अनुपात। दुर्भाग्य से, जैसा कि हमेशा होता है, इस धारणा की ताकत यथार्थवाद की कीमत पर आती है। दुनिया में कई प्रक्रियाएं इनपुट और आउटपुट के बीच एक मोनोटोनिक पत्राचार प्रदर्शित नहीं करती हैं।
+एमएलआर का उपयोग डेटा-जनरेटिंग प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जो कुछ प्रेक्षित चर के परिमाण और इसके द्वारा प्राप्त वितरण के मध्य सरलता से संबंध स्थापित करता है। यदि <math>f(x)</math> के संबंध में एमएलआर को <math>g(x)</math> संतुष्ट करता है तो प्रेक्षित संख्या <math>x</math> जितनी अधिक होगी उतनी ही अधिक संभावना वितरण से खींची गई <math>f</math> के अतिरिक्त  <math>g</math> होता है। मोनोटोनिक संबंधों के लिए  संभावना अनुपात आँकड़ों में कार्य करती है, विशेषकर जब अधिकतम संभावना [[अनुमान]] का उपयोग किया जाता है। इसके अतिरिक्त, एमएलआर वाले वितरण सदस्यों में कई उत्तम स्टोचैस्टिक गुण होते हैं, जैसे [[प्रथम-क्रम स्टोकेस्टिक प्रभुत्व]] और बढ़ते संकट अनुपात है। जैसा कि सदैव होता है, इस धारणा का बल यथार्थवाद के मूल्य पर प्राप्त होती है। विश्व में कई प्रक्रियाएं इनपुट और आउटपुट के मध्य मोनोटोनिक पत्राचार प्रदर्शित नहीं करती हैं।
-=== उदाहरण: कड़ी मेहनत करना या आलसी होना ===
+=== उदाहरण: जटिल परिश्रम करना या अकर्मण्य होना ===
-मान लीजिए आप किसी प्रोजेक्ट पर काम कर रहे हैं, और आप या तो कड़ी मेहनत कर सकते हैं या सुस्त हो सकते हैं। अपनी पसंद के प्रयास को बुलाओ <math>e</math> और परिणामी परियोजना की गुणवत्ता <math>q</math>. यदि एमएलआरपी आपके प्रयास पर क्यू सशर्त के वितरण के लिए है <math>e</math>, गुणवत्ता जितनी अधिक होगी, आपके द्वारा कड़ी मेहनत करने की संभावना उतनी ही अधिक होगी। इसके विपरीत, गुणवत्ता जितनी कम होगी, आपके सुस्त होने की संभावना उतनी ही अधिक होगी।
+विचार कीजिए कि आप किसी योजना पर कार्य कर रहे हैं, और तो आप जटिल परिश्रम कर सकते हैं या अकर्मण्य हो सकते हैं। अपनी रुचि के प्रयास <math>e</math> और परिणामी परियोजना की गुणवत्ता <math>q</math> है, यदि एमएलआरपी आपके प्रयास <math>e</math> के वितरण के लिए है , गुणवत्ता q  जितनी अधिक होगी, आपके द्वारा जटिल परिश्रम करने की संभावना उतनी ही अधिक होगी। इसके विपरीत, गुणवत्ता जितनी कम होगी, आपके अकर्मण्य होने की संभावना अधिक होगी।
-# प्रयास चुनें <math>e \in \{H,L\}</math> जहां H का मतलब हाई और L का मतलब लो है
+# प्रयास <math>e \in \{H,L\}</math> जहां H का तात्पर्य उच्च और L का तात्पर्य निम्न है
-#अवलोकन करना <math>q</math> से खींचा <math>f(q\mid e)</math>. बेयस के कानून द्वारा एक समान पूर्व के साथ,
+#अवलोकन <math>q</math> से खींचा <math>f(q\mid e)</math> बेयस के कानून द्वारा समान पूर्व के साथ,
-#:<math>\Pr[e=H\mid q]=\frac{f(q\mid H)}{f(q\mid H)+f(q\mid L)}</math>
+#:<math>\Pr[e=H\mid q]=\frac{f(q\mid H)}{f(q\mid H)+f(q\mid L)}</math> है ।
-#कल्पना करना <math>f(q\mid e)</math> एमएलआरपी को संतुष्ट करता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर, कार्यकर्ता द्वारा कठिन परिश्रम करने की प्रायिकता है
+#कल्पना <math>f(q\mid e)</math> एमएलआरपी को संतुष्ट करता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर, कार्यकर्ता द्वारा कठिन परिश्रम करने की प्रायिकता
-::: <math>\frac{1}{1+f(q\mid L)/f(q\mid H)}</math>
+::: <math>\frac{1}{1+f(q\mid L)/f(q\mid H)}</math> है ।
-: जो, एमएलआरपी के लिए धन्यवाद, नीरस रूप से बढ़ रहा है <math>q</math> (क्योंकि <math>f(q\mid L)/f(q\mid H)</math> में घट रहा है <math>q</math>). इसलिए यदि कोई नियोक्ता प्रदर्शन की समीक्षा कर रहा है तो वह अपने कर्मचारी के व्यवहार को उसके काम की योग्यता से अनुमान लगा सकता है।
+: जो, एमएलआरपी के लिए नीरस रूप से <math>q</math> बढ़ रहा है  (क्योंकि <math>f(q\mid L)/f(q\mid H)</math> में <math>q</math> घट रहा है ), इसलिए यदि कोई नियोक्ता प्रदर्शन की समीक्षा कर रहा है तो वह अपने कर्मचारी के व्यवहार को उसके कार्य की योग्यता से अनुमान लगा सकता है।
-== एमएलआर को संतुष्ट करने वाले वितरण के परिवार ==
+== एमएलआर को संतुष्ट करने वाले वितरण के सदस्य ==
-सांख्यिकीय मॉडल अक्सर मानते हैं कि डेटा वितरण के कुछ परिवार से वितरण द्वारा उत्पन्न होते हैं और उस वितरण को निर्धारित करना चाहते हैं। यह कार्य सरल हो जाता है यदि परिवार के पास मोनोटोन संभावना अनुपात संपत्ति (एमएलआरपी) है।
+सांख्यिकीय मॉडल प्रायः मानते हैं कि डेटा के कुछ सदस्य से वितरण द्वारा उत्पन्न होते हैं और उस वितरण को निर्धारित करना चाहते हैं। यह कार्य सरल हो जाता है यदि सदस्य के पास मोनोटोन संभावना अनुपात गुण (एमएलआरपी) है।
-घनत्व कार्यों का एक परिवार <math>\{ f_\theta (x)\}_{\theta\in \Theta}</math> एक पैरामीटर द्वारा अनुक्रमित <math>\theta</math> एक आदेशित सेट में मान लेना <math>\Theta</math> कहा जाता है कि आँकड़ों में एक मोनोटोन संभावना अनुपात (एमएलआर) है <math>T(X)</math> अगर किसी के लिए <math>\theta_1 < \theta_2</math>,
+घनत्व कार्यों का सदस्य <math>\{ f_\theta (x)\}_{\theta\in \Theta}</math>  पैरामीटर द्वारा अनुक्रमित <math>\theta</math> आदेशित सेट में मान को <math>\Theta</math> कहा जाता है कि आँकड़ों में मोनोटोन संभावना अनुपात (एमएलआर) <math>T(X)</math> है, यदि किसी के लिए <math>\theta_1 < \theta_2</math>,
-:<math>\frac{f_{\theta_2}(X=x_1,x_2,x_3,\dots)}{f_{\theta_1}(X=x_1,x_2,x_3,\dots)} </math>का एक गैर-घटता कार्य है <math>T(X)</math>.
+:<math>\frac{f_{\theta_2}(X=x_1,x_2,x_3,\dots)}{f_{\theta_1}(X=x_1,x_2,x_3,\dots)} </math> का  गैर-घटता कार्य  <math>T(X)</math> है।
-फिर हम कहते हैं कि वितरण के परिवार में एमएलआर है <math>T(X)</math>.
+अतः हम कहते हैं कि वितरण के सदस्य में एमएलआर  <math>T(X)</math> है।
-=== परिवारों की सूची ===
+=== सदस्यों की सूची ===
 {| class="wikitable" style="margin: 1em 0 1em 0" border="1"
-!  Family || <math>T(X)</math>&nbsp; in which <math>f_\theta(X)</math> has the MLR
+!  सदस्य || <math>T(X)</math>&nbsp; जिसमें <math>f_\theta(X)</math>एमएलआर है
 |-
-| [[Exponential distribution|Exponential<math>[\lambda]</math>]] || <math>\sum x_i</math> observations
+| [[Exponential distribution|एक्सपोनेंशियल<math>[\lambda]</math>]] || <math>\sum x_i</math> टिप्पणियों
 |-
-| [[Binomial distribution|Binomial<math>[n,p]</math>]] || <math>\sum x_i</math> observations
+| [[Binomial distribution|द्विपद<math>[n,p]</math>]] || <math>\sum x_i</math> टिप्पणियों
 |-
-| [[Poisson distribution|Poisson<math>[\lambda]</math>]] || <math>\sum x_i</math> observations
+| [[Poisson distribution|प्वासों<math>[\lambda]</math>]] || <math>\sum x_i</math> टिप्पणियों
 |-
-| [[Normal distribution|Normal<math>[\mu,\sigma]</math>]] || if <math>\sigma</math> known, <math>\sum x_i</math> observations
+| [[Normal distribution|सामान्य<math>[\mu,\sigma]</math>]] || if <math>\sigma</math> ज्ञात, <math>\sum x_i</math> टिप्पणियों
 |}
@@ Line 55: / Line 54: @@
 === परिकल्पना परीक्षण ===
-यदि यादृच्छिक चर के परिवार में MLRP है <math>T(X)</math>, परिकल्पना के लिए एक [[समान रूप से सबसे शक्तिशाली परीक्षण]] आसानी से निर्धारित किया जा सकता है <math>H_0 : \theta \le \theta_0</math> बनाम <math>H_1 : \theta > \theta_0</math>.
+यदि यादृच्छिक चर के सदस्य में एमएलआर  <math>T(X)</math> है, परिकल्पना के लिए  [[समान रूप से सबसे शक्तिशाली परीक्षण]]  <math>H_0 : \theta \le \theta_0</math>  के प्रति  <math>H_1 : \theta > \theta_0</math> सरलता से निर्धारित किया जा सकता है।
 === उदाहरण: प्रयास और आउटपुट ===
-उदाहरण: चलो <math>e</math> स्टोकेस्टिक तकनीक में एक इनपुट बनें - कार्यकर्ता का प्रयास, उदाहरण के लिए - और  <math>y</math> इसका आउटपुट, जिसकी संभावना प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है <math>f(y;e).</math> फिर परिवार की मोनोटोन संभावना अनुपात संपत्ति (एमएलआरपी)। <math>f</math> निम्नानुसार व्यक्त किया गया है: किसी के लिए  <math>e_1,e_2</math>, यह तथ्य कि  <math>e_2 > e_1</math> तात्पर्य है कि अनुपात  <math>f(y;e_2)/f(y;e_1)</math> में बढ़ रहा है  <math>y</math>.
+उदाहरण  <math>e</math> स्टोकेस्टिक प्रौद्यिगिकी में इनपुट कार्यकर्ता का प्रयास है, उदाहरण के लिए  <math>y</math> इसका आउटपुट है, जिसकी संभावना प्रायिकता घनत्व फलन <math>f(y;e)</math> द्वारा वर्णित है। सदस्य की मोनोटोन संभावना अनुपात गुण (एमएलआरपी) <math>f</math> निम्नानुसार व्यक्त किया गया है: किसी के लिए  <math>e_1,e_2</math>, यह तथ्य का  <math>e_2 > e_1</math> तात्पर्य है कि अनुपात  <math>f(y;e_2)/f(y;e_1)</math> में <math>y</math> बढ़ रहा है। .
 == अन्य सांख्यिकीय गुणों से संबंध ==
-मोनोटोन संभावनाएं सांख्यिकीय सिद्धांत के कई क्षेत्रों में उपयोग की जाती हैं, जिसमें [[बिंदु अनुमान]] और [[परिकल्पना परीक्षण]], साथ ही [[संभाव्यता मॉडल]] भी शामिल हैं।
+मोनोटोन संभावनाएं सांख्यिकीय सिद्धांत के कई क्षेत्रों में उपयोग की जाती हैं, जिसमें [[बिंदु अनुमान]] और [[परिकल्पना परीक्षण]], साथ ही [[संभाव्यता मॉडल]] भी सम्मिलित हैं।
-=== [[घातीय परिवार]] ===
+=== [[घातीय परिवार|घातीय सदस्य]] ===
-एक-पैरामीटर एक्सपोनेंशियल फैमिली में मोनोटोन संभावना-कार्य होते हैं। विशेष रूप से, संभाव्यता घनत्व कार्यों या संभाव्यता द्रव्यमान कार्यों के एक-आयामी घातीय परिवार के साथ
+पैरामीटर एक्सपोनेंशियल सदस्य में मोनोटोन संभावना-कार्य होते हैं। विशेष रूप से, संभाव्यता घनत्व कार्यों या द्रव्यमान कार्यों के आयामी घातीय सदस्य के साथ
 :<math>f_\theta(x) = c(\theta)h(x)\exp(\pi(\theta)T(x))</math>
-[[पर्याप्तता (सांख्यिकी)]] टी (एक्स) में एक मोनोटोन गैर-घटती संभावना अनुपात है, बशर्ते कि <math>\pi(\theta)</math> घटता नहीं है।
+[[पर्याप्तता (सांख्यिकी)]] ''T''(''x'') में मोनोटोन कम संभावना अनुपात है, परन्तु <math>\pi(\theta)</math> कम नहीं  होता है।
 === समान रूप से सबसे शक्तिशाली परीक्षण: कार्लिन-रुबिन प्रमेय ===
-कार्लिन-रुबिन प्रमेय के अनुसार, मोनोटोन संभावना कार्यों का उपयोग समान रूप से सबसे शक्तिशाली परीक्षणों के निर्माण के लिए किया जाता है।<ref>Casella, G.; Berger, R.L. (2008), ''Statistical Inference'', Brooks/Cole. {{isbn|0-495-39187-5}} (Theorem 8.3.17)</ref> एक स्केलर मापन पर विचार करें जिसमें स्केलर पैरामीटर θ द्वारा प्राचलित प्रायिकता घनत्व फलन हो, और संभावना अनुपात को परिभाषित करें <math> \ell(x) = f_{\theta_1}(x) / f_{\theta_0}(x)</math>.
+कार्लिन-रुबिन प्रमेय के अनुसार, मोनोटोन संभावना कार्यों का उपयोग समान रूप से सबसे शक्तिशाली परीक्षणों के निर्माण के लिए किया जाता है।<ref>Casella, G.; Berger, R.L. (2008), ''Statistical Inference'', Brooks/Cole. {{isbn|0-495-39187-5}} (Theorem 8.3.17)</ref> स्केलर मापन पर विचार करें जिसमें स्केलर पैरामीटर θ द्वारा प्राचलित प्रायिकता घनत्व फलन होता है, और <math> \ell(x) = f_{\theta_1}(x) / f_{\theta_0}(x)</math> संभावना अनुपात को परिभाषित करता है। यदि <math>\ell(x)</math> मोनोटोन कम है तो <math>x</math>, किसी भी जोड़ी के लिए <math>\theta_1 \geq \theta_0</math> (जिसका अर्थ है कि बड़ा <math>x</math> है, अधिक सम्भावना  <math>H_1</math> है), तो  परीक्षण:
-अगर <math>\ell(x)</math> मोनोटोन गैर-घटता है, में <math>x</math>, किसी भी जोड़ी के लिए <math>\theta_1 \geq \theta_0</math> (जिसका अर्थ है कि बड़ा <math>x</math> है, अधिक सम्भावना है <math>H_1</math> है), तो दहलीज परीक्षण:
 :<math>\varphi(x) =
 \begin{cases}
 & \text{if } x > x_0 \\
 & \text{if } x < x_0
-\end{cases}</math>
+\end{cases}</math> है,
-:कहाँ <math>x_0</math> इसलिए चुना जाता है <math>\operatorname{E}_{\theta_0}\varphi(X)=\alpha</math>
+:जहाँ <math>x_0</math> चयन इसलिए किया जाता है जिससे <math>\operatorname{E}_{\theta_0}\varphi(X)=\alpha</math> है,
-परीक्षण के लिए आकार α का UMP परीक्षण है <math> H_0: \theta \leq \theta_0 \text{ vs. } H_1: \theta > \theta_0 .</math>
+परीक्षण के लिए आकार α का यूएमपी परीक्षण <math> H_0: \theta \leq \theta_0 \text{ vs. } H_1: \theta > \theta_0 </math>है, ध्यान दें कि ठीक यही परीक्षण <math> H_0: \theta = \theta_0 \text{ vs. } H_1: \theta > \theta_0 </math>परीक्षण के लिए यूएमपी भी है।
-ध्यान दें कि ठीक यही परीक्षण परीक्षण के लिए UMP भी है <math> H_0: \theta = \theta_0 \text{ vs. } H_1: \theta > \theta_0 .</math>
 === माध्य निष्पक्ष अनुमान ===
-मोनोटोन संभावना-कार्यों का उपयोग [[मध्य-निष्पक्ष आकलनकर्ता]]ओं के निर्माण के लिए किया जाता है, [[जोहान फनज़ागल]] और अन्य द्वारा निर्दिष्ट विधियों का उपयोग करते हुए।<ref>{{cite journal |last=Pfanzagl |first=Johann |title=उपद्रव मापदंडों की उपस्थिति में इष्टतम औसत निष्पक्ष अनुमानकों पर|journal=[[Annals of Statistics]] |year=1979 |volume=7 |issue=1 |pages=187–193 |doi=10.1214/aos/1176344563 |doi-access=free }}</ref><ref name="BrownEtAl1976">{{cite journal |author-link=Lawrence D. Brown |last=Brown |first=L. D. |last2=Cohen |first2=Arthur |last3=Strawderman |first3=W. E. |title=अनुप्रयोगों के साथ सख्त मोनोटोन संभावना अनुपात के लिए एक पूर्ण वर्ग प्रमेय|journal=Ann. Statist. |volume=4 |year=1976 |issue=4 |pages=712–722 |doi=10.1214/aos/1176343543 |doi-access=free }}</ref> ऐसी ही एक प्रक्रिया राव-ब्लैकवेल प्रमेय का एक एनालॉग है। [[समान रूप से न्यूनतम-विचरण निष्पक्ष अनुमानक]] के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया|मीन-निष्पक्ष अनुमानक: प्रक्रिया माध्य के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया की तुलना में संभाव्यता वितरण के एक छोटे वर्ग के लिए है- निष्पक्ष अनुमान लेकिन हानि कार्यों के एक बड़े वर्ग के लिए।<ref name="BrownEtAl1976" />{{rp|page=713}}
+मोनोटोन संभावना-कार्यों का उपयोग [[मध्य-निष्पक्ष आकलनकर्ता|मध्य-निष्पक्ष आकलनकर्ताओं]] के निर्माण के लिए किया जाता है, [[जोहान फनज़ागल]] और अन्य द्वारा निर्दिष्ट विधियों का उपयोग करते है।<ref>{{cite journal |last=Pfanzagl |first=Johann |title=उपद्रव मापदंडों की उपस्थिति में इष्टतम औसत निष्पक्ष अनुमानकों पर|journal=[[Annals of Statistics]] |year=1979 |volume=7 |issue=1 |pages=187–193 |doi=10.1214/aos/1176344563 |doi-access=free }}</ref><ref name="BrownEtAl1976">{{cite journal |author-link=Lawrence D. Brown |last=Brown |first=L. D. |last2=Cohen |first2=Arthur |last3=Strawderman |first3=W. E. |title=अनुप्रयोगों के साथ सख्त मोनोटोन संभावना अनुपात के लिए एक पूर्ण वर्ग प्रमेय|journal=Ann. Statist. |volume=4 |year=1976 |issue=4 |pages=712–722 |doi=10.1214/aos/1176343543 |doi-access=free }}</ref> ऐसी ही प्रक्रिया राव-ब्लैकवेल प्रमेय का एनालॉग है। [[समान रूप से न्यूनतम-विचरण निष्पक्ष अनुमानक]] के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया है | मीन-निष्पक्ष अनुमानक: प्रक्रिया माध्य के लिए राव-ब्लैकवेल प्रक्रिया की उपेक्षा में संभाव्यता वितरण के छोटे वर्ग के लिए है- निष्पक्ष अनुमान परन्तु हानि कार्यों के बड़े वर्ग के लिए है।<ref name="BrownEtAl1976" />{{rp|page=713}}
 === आजीवन विश्लेषण: उत्तरजीविता विश्लेषण और विश्वसनीयता ===
-यदि वितरण का एक परिवार <math>f_\theta(x)</math> में मोनोटोन संभावना अनुपात गुण है <math>T(X)</math>,
+यदि वितरण का सदस्य <math>f_\theta(x)</math> में मोनोटोन संभावना का अनुपात गुण <math>T(X)</math> है,
-# परिवार में मोनोटोन घटती खतरे की दर है <math>\theta</math> (लेकिन जरूरी नहीं कि अंदर <math>T(X)</math>)
+# सदस्य में मोनोटोन अल्प संकट की दर <math>\theta</math> (परन्तु आवश्यक नहीं कि अंदर <math>T(X)</math>) है।
-# परिवार पहले क्रम (और इसलिए दूसरे क्रम) में स्टोकास्टिक प्रभुत्व प्रदर्शित करता है <math>x</math>, और का सबसे अच्छा बायेसियन अपडेट <math>\theta</math> में बढ़ रहा है <math>T(X)</math>.
+# सदस्य पूर्व क्रम (और इसलिए दूसरे क्रम) में स्टोकास्टिक प्रभुत्व प्रदर्शित और <math>x</math> का सबसे उचित बायेसियन अपडेट <math>\theta</math> में  <math>T(X)</math> बढ़ रहा है। .
-लेकिन इसके विपरीत नहीं: न तो मोनोटोन खतरे की दर और न ही स्टोकेस्टिक प्रभुत्व एमएलआरपी को प्रभावित करते हैं।
+परन्तु इसके विपरीत नहीं न तो मोनोटोन संकट की दर और न ही स्टोकेस्टिक प्रभुत्व एमएलआरपी को प्रभावित करते हैं।
 ==== प्रमाण ====
-वितरण परिवार चलो <math>f_\theta</math> एक्स में एमएलआर को संतुष्ट करें, ताकि के लिए <math>\theta_1>\theta_0</math> और <math>x_1>x_0</math>:
+वितरण सदस्य  <math>f_\theta</math> x में एमएलआर को संतुष्ट करके, जिसमें <math>\theta_1>\theta_0</math> और <math>x_1>x_0</math>:
 : <math>\frac{f_{\theta_1}(x_1)}{f_{\theta_0}(x_1)} \geq \frac{f_{\theta_1}(x_0)}{f_{\theta_0}(x_0)},</math>
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 : <math>f_{\theta_1}(x_1) f_{\theta_0}(x_0) \geq f_{\theta_1}(x_0) f_{\theta_0}(x_1). \, </math>
-इस अभिव्यक्ति को दो बार एकीकृत करना, हम प्राप्त करते हैं:
+इस अभिव्यक्ति को दो बार एकीकृत करके, हम प्राप्त करते हैं:
 {| cellpadding="2" style="border:1px solid darkgray;"
@@ Line 135: / Line 132: @@
-==== पहले क्रम का स्टोकेस्टिक प्रभुत्व ====
+==== पूर्व क्रम का स्टोकेस्टिक प्रभुत्व ====
-प्रथम क्रम प्रभुत्व प्राप्त करने के लिए उपरोक्त दो असमानताओं को मिलाएं:
+प्रथम क्रम प्रभुत्व प्राप्त करने के लिए उपरोक्त दो असमानता
-:<math>F_{\theta_1}(x) \leq F_{\theta_0}(x) \ \forall x</math>
+:<math>F_{\theta_1}(x) \leq F_{\theta_0}(x) \ \forall x</math> है।
-==== मोनोटोन खतरा दर ====
+==== मोनोटोन संकट दर ====
-मोनोटोन खतरा दर प्राप्त करने के लिए केवल ऊपर दी गई दूसरी असमानता का उपयोग करें:
+मोनोटोन संकट दर प्राप्त करने के लिए केवल ऊपर दी गई दूसरी असमानता का उपयोग करते है।
 :<math>\frac{f_{\theta_1}(x)}{1-F_{\theta_1}(x)} \leq \frac{f_{\theta_0}(x)}{1-F_{\theta_0}(x)} \ \forall x </math>
-== उपयोग करता है ==
+== उपयोग ==
 === अर्थशास्त्र ===
-एमएलआर [[तंत्र डिजाइन]] और सूचना के अर्थशास्त्र में एजेंटों के प्रकार वितरण पर एक महत्वपूर्ण शर्त है, जहां एमएलआर के परिणाम के रूप में [[पॉल मिलग्रोम]] ने संकेतों की अनुकूलता (स्टोकेस्टिक प्रभुत्व के संदर्भ में) को परिभाषित किया।<ref>Milgrom, P. R. (1981). Good News and Bad News: Representation Theorems and Applications. The Bell Journal of Economics, 12(2), 380–391. https://doi.org/10.2307/3003562</ref> तंत्र डिजाइन मॉडल के अधिकांश समाधान ऐसे वितरणों को मानते हैं जो समाधान विधियों का लाभ लेने के लिए एमएलआर को संतुष्ट करते हैं जो कि लागू करना और व्याख्या करना आसान हो सकता है।
+एमएलआर [[तंत्र डिजाइन|मैकेनिज्म डिजाइन]] और सूचना के अर्थशास्त्र में एजेंटों के प्रकार वितरण पर महत्वपूर्ण प्रतिबन्ध होता है, जहां एमएलआर के परिणाम के रूप में [[पॉल मिलग्रोम]] ने संकेतों की अनुकूलता (स्टोकेस्टिक प्रभुत्व के संदर्भ में) को परिभाषित किया है।<ref>Milgrom, P. R. (1981). Good News and Bad News: Representation Theorems and Applications. The Bell Journal of Economics, 12(2), 380–391. https://doi.org/10.2307/3003562</ref> मैकेनिज्म डिजाइन मॉडल के अधिकांश समाधान ऐसे वितरणों को मानते हैं जो समाधान विधियों का लाभ लेने के लिए एमएलआर को संतुष्ट करते हैं जिससे प्रारम्भ एवं व्याख्या करना सरल हो सकता है।
 ==संदर्भ==
 <references />
-{{Statistics|inference}}
-{{Theory of probability distributions}}
-{{DEFAULTSORT:Monotone Likelihood Ratio Property}}
 [[Category:Collapse templates|Monotone Likelihood Ratio Property]]
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 [[Category:Sidebars with styles needing conversion|Monotone Likelihood Ratio Property]]
 [[Category:Template documentation pages|Documentation/doc]]
+[[Category:Vigyan Ready]]

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मोनोटोन संभावना अनुपात: Difference between revisions

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उदाहरण: जटिल परिश्रम करना या अकर्मण्य होना