शून्य समुच्चय: Difference between revisions

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\mathbb {R} ^{2}

सिएर्पिंस्की त्रिभुज रूपांतर में एक नुल बिंदु समुच्चय का एक उदाहरण है।

गणितीय विश्लेषण में, एक शून्य समुच्चय $N\subset \mathbb {R}$ एक मापने योग्य समुच्चय है जिसका माप शून्य है। इसे एक समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो इच्छानुसार से छोटी कुल लंबाई के अंतराल (गणित) के एक गणनीय संघ के माध्यम से कवर (टोपोलॉजी) हो सकता है।

शून्य समुच्चय की धारणा को रिक्त समुच्चय के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि समुच्चय सिद्धांत में परिभाषित किया गया है। चूंकि खाली समुच्चय में लेबेस्ग का माप शून्य होता है, फिर भी गैर-खाली समुच्चय होते हैं जो शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के किसी भी गैर-रिक्त गणनीय समुच्चय में लेबेस्ग का माप शून्य है और इसलिए यह शून्य है।

अधिक सामान्य रूप से, दिए गए माप स्थान $M=(X,\Sigma ,\mu )$ एक शून्य समुच्चय उस समुच्चय को कहा जाता है जिसके लिए $S\in \Sigma$ ऐसा है कि $\mu (S)=0$ . होता है।

उदाहरण

समयी या गणितीय असीमित संख्या के समुच्चय के लिए नुल समुच्चय है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय और राशियों का समुच्चय दोनों समयी असीमित होते हैं और इसलिए यदि वे रीयल संख्याओं के सबसेट के रूप में विचार किए जाएं तो वे नुल समुच्चय होते हैं।

कैंटर समुच्चय एक अगणित नुल समुच्चय का एक उदाहरण है।^{[further explanation needed]}

परिभाषा

यदि $A$ वास्तविक रेखा $\mathbb {R}$ के एक सबसेट है जिसके लिए

\forall \varepsilon >0,\ \exists \left\{U_{n}\right\}_{n}:U_{n}=(a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} :\quad A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }U_{n}\ {\textrm {and}}\ \sum _{n=1}^{\infty }\left|U_{n}\right|<\varepsilon \,,

जहां

U n

अंतराल (गणित) हैं और

| U |

की लंबाई है

U

, तो

A

एक शून्य समुच्चय है,^[1] शून्य-सामग्री के समुच्चय के रूप में भी जाना जाता है।

गणितीय विश्लेषण की शब्दावली में, इस परिभाषा के लिए आवश्यक है कि इसके खुले आवरणों का एक क्रम हो $A$ जिसके लिए कवर की लंबाई के अनुक्रम की सीमा शून्य है।

गुण

रिक्त समुच्चय सदैव शून्य समुच्चय होता है। अधिक सामान्यतः, अशक्त सेटों का कोई भी गणनीय संघ (सेट सिद्धांत) शून्य है। शून्य समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय अपने आप में शून्य समुच्चय होता है। साथ में, ये तथ्य बताते हैं कि m-null^{[further explanation needed]} X के समुच्चय X पर एक सिग्मा-आदर्श बनाते हैं। इसी प्रकार, मापने योग्य m-null समुच्चय औसत अंकिते के समुच्चय के सिग्मा-बीजगणित का सिग्मा-आदर्श बनाते हैं। इस प्रकार, अशक्त समुच्चय की व्याख्या नगण्य समुच्चय के रूप में की जा सकती है, जो अधिकतर हर जगह की धारणा को परिभाषित करता है।

लेबेस्ग उपाय

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के सबसेट के लिए लंबाई, क्षेत्र या मात्रा निर्दिष्ट करने का मानक प्रणाली लेबेस्गु माप है।

का एक उपसमुच्चय N $\mathbb {R}$ लेबेस्ग माप शून्य है और इसे एक शून्य समुच्चय माना जाता है $\mathbb {R}$ यदि और एकमात्र यदि:

किसी भी धनात्मक संख्या ε को देखते हुए, अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव एक अनुक्रम

{I n}

अंतराल (गणित) में

\mathbb {R}

ऐसा है कि एन के मिलन में निहित है

{I n}

और संघ की कुल लंबाई ε से कम है।

इस स्थिति को सामान्यीकृत किया जा सकता है $\mathbb {R} ^{n}$ , अंतरालों के अतिरिक्त n-क्यूब (ज्यामिति) का उपयोग करना। वास्तव में, किसी भी कई गुना पर विचार करने के लिए विचार किया जा सकता है, के होने पर भी वहां कोई लेबेस्गु उपाय न हो।

उदाहरण के लिए:

इसके संबंध में $\mathbb {R} ^{n}$ , सभी सिंगलटन (गणित) शून्य हैं, और इसलिए सभी गणनीय समुच्चय शून्य हैं। विशेष रूप से, परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q, में सघन (टोपोलॉजी) होने के अतिरिक्त एक रिक्त समुच्चय है $\mathbb {R}$ .
कैंटर समुच्चय का मानक निर्माण शून्य बेशुमार समुच्चय का एक उदाहरण है $\mathbb {R}$ ; चूँकि अन्य निर्माण संभव हैं जो कैंटर को किसी भी उपाय को निर्धारित करते हैं।
के सभी उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{n}$ जिसका आयाम n से छोटा है, में अशक्त लेबेस्ग माप है $\mathbb {R} ^{n}$ . उदाहरण के लिए सीधी रेखाएँ या वृत्त अशक्त समुच्चय हैं $\mathbb {R} ^{2}$ .
सार्ड्स लेम्मा: एक सुचारू कार्य के महत्वपूर्ण मूल्यों के समुच्चय का माप शून्य है।

यदि λ के लिए लेबेस्गु माप है $\mathbb {R}$ और π के लिए लेबेस्ग माप है $\mathbb {R} ^{2}$ , फिर उत्पाद माप $\lambda \times \lambda =\pi$ . अशक्त समुच्चयों के संदर्भ में, निम्नलिखित तुल्यता को फ़ुबिनी के प्रमेय की शैली दी गई है:^[2] * के लिए $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ और $A_{x}=\{y:(x,y)\in A\},$

\pi (A)=0\iff \lambda \left(\left\{x:\lambda \left(A_{x}\right)>0\right\}\right)=0.

उपयोग

लेबेस्ग एकीकरण की परिभाषा में अशक्त समुच्चय एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: यदि कार्य करता है $f$ और $g$ एक अशक्त समुच्चय को छोड़कर समान हैं $f$ पूर्णांक है यदि और एकमात्र यदि $g$ है, और उनके समाकल समान हैं। यह एलपी स्पेस| की औपचारिक परिभाषा को प्रेरित करता है $L p$ रिक्त स्थान कार्यों के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में जो एकमात्र अशक्त सेटों पर भिन्न होते हैं।

एक उपाय जिसमें अशक्त समुच्चय के सभी उपसमुच्चय मापने योग्य हैं, पूर्ण माप है। किसी भी गैर-पूर्ण माप को पूर्ण माप बनाने के लिए पूरा किया जा सकता है, यह प्रमाणित करते हुए कि अशक्त समुच्चय के सबसेट का माप शून्य है। लेबेस्ग माप पूर्ण माप का एक उदाहरण है; कुछ निर्माणों में, इसे गैर-पूर्ण बोरेल उपाय के पूरा होने के रूप में परिभाषित किया गया है।

कैंटर समुच्चय का एक उपसमुच्चय जो बोरेल मापने योग्य नहीं है

बोरेल का माप पूरा नहीं हुआ है। एक साधारण निर्माण मानक कैंटर समुच्चय के साथ प्रारंभ करना है $K$ , जो बंद है इसलिए बोरेल मापने योग्य है, और जिसकी माप शून्य है, और एक सबसेट खोजने के लिए $F$ का $K$ जो बोरल मापने योग्य नहीं है। (चूंकि लेबेस्ग माप पूरा हो गया है, यह $F$ बेशक लेबेस्ग मापने योग्य है।)

सबसे पहले, हमें यह जानना होगा कि सकारात्मक माप के प्रत्येक समुच्चय में एक गैर-मापने योग्य उपसमुच्चय होता है। होने देना $f$ कैंटर समारोह हो, एक सतत फ़ंक्शन जो स्थानीय रूप से स्थिर हो $K c$ , और नीरस रूप से [0, 1] पर बढ़ रहा है $f (0) = 0$ और $f (1) = 1$ . ज़ाहिर तौर से, $f (K c)$ गणनीय है, क्योंकि इसमें प्रति घटक एक बिंदु होता है $K c$ . इस प्रकार $f (K c)$ का माप शून्य है, इसलिए $f (K)$ का माप एक है। हमें सख्ती से मोनोटोनिक फ़ंक्शन की आवश्यकता है, इसलिए विचार करें $g (x) = f (x) + x$ . तब से $g (x)$ सख्ती से मोनोटोनिक और निरंतर है, यह होमियोमोर्फिज्म है। आगे, $g (K)$ का माप एक है। होने देना $E \subset g (K)$ गैर-मापने योग्य हो, और चलो $F = g -1 (E)$ . क्योंकि $g$ इंजेक्शन है, हमारे पास वह है $F \subset K$ , इसलिए $F$ एक शून्य समुच्चय है। चूंकि, यदि यह बोरेल औसत अंकिते का था, तो $g (F)$ बोरेल मापने योग्य भी होगा (यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि निरंतर कार्य के माध्यम से समुच्चय किए गए बोरेल की छवि (गणित) मापने योग्य है; $g (F) = (g -1) -1 (F)$ निरंतर कार्य के माध्यम से F की पूर्वछवि है $h = g -1$ ।) इसलिए, $F$ एक अशक्त, किन्तु गैर-बोरेल औसत अंकिते का समुच्चय है।

हार नल

एक वियोज्य स्थान में बनच स्थान $(X, +)$ , समूह संचालन किसी भी सबसेट को स्थानांतरित करता है $A \subset X$ अनुवाद करने के लिए $A + x$ किसी के लिए $x \in X$ . जब कोई संभाव्यता माप होती है $μ$ के बोरेल सबसेट के σ-बीजगणित पर $X$ , ऐसा कि सभी के लिए $x$ , $μ (A + x) = 0$ , तब $A$ उसका शून्य समुच्चय है।^[3]

यह शब्द अनुवाद के उपायों के अशक्त व्युत्क्रम को संदर्भित करता है, इसे हार माप के साथ मिले पूर्ण व्युत्क्रम के साथ जोड़ता है।

टोपोलॉजिकल समूहों के कुछ बीजगणितीय गुणों को सबसेट के आकार और हार नल समुच्चय से संबंधित किया गया है।^[4]

पोलिश समूहों में हार नल समुच्चय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया गया है कि कब $A$ तब अल्प समुच्चय नहीं है $A -1 A$ में पहचान तत्व का एक खुला पड़ोस होता है।^[5] इस संपत्ति का नाम ह्यूगो स्टीनहॉस के नाम पर रखा गया है क्योंकि यह स्टीनहॉस प्रमेय का निष्कर्ष है।

यह भी देखें

कैंटर फ़ंक्शन
उपाय (गणित)
खाली सेट
कुछ नहीं

संदर्भ

↑ Franks, John (2009). A (संक्षिप्त) Lebesgue एकीकरण का परिचय. The Student Mathematical Library. Vol. 48. American Mathematical Society. p. 28. doi:10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.
↑ van Douwen, Eric K. (1989). "अशक्त समुच्चयों के लिए फ़ुबिनी का प्रमेय". American Mathematical Monthly. 96 (8): 718–21. doi:10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR 2324722. MR 1019152.
↑ Matouskova, Eva (1997). "उत्तलता और हार नल सेट" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (6): 1793–1799. doi:10.1090/S0002-9939-97-03776-3. JSTOR 2162223.
↑ Solecki, S. (2005). "समूहों के सबसेट के आकार और हार नल सेट". Geometric and Functional Analysis. 15: 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074. doi:10.1007/s00039-005-0505-z. MR 2140632. S2CID 11511821.
↑ Dodos, Pandelis (2009). "स्टाइनहॉस संपत्ति और हार-नल सेट". Bulletin of the London Mathematical Society. 41 (2): 377–44. arXiv:1006.2675. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. doi:10.1112/blms/bdp014. MR 4296513. S2CID 119174196.

अग्रिम पठन

Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Measure, Integral and Probability. Springer. p. 16. ISBN 978-1-85233-781-0.
Jones, Frank (1993). Lebesgue Integration on Euclidean Spaces. Jones & Bartlett. p. 107. ISBN 978-0-86720-203-8.
Oxtoby, John C. (1971). Measure and Category. Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-05349-3.

[1] Franks, John (2009). A (संक्षिप्त) Lebesgue एकीकरण का परिचय. The Student Mathematical Library. Vol. 48. American Mathematical Society. p. 28. doi:10.1090/stml/048. ISBN 978-0-8218-4862-3.

[2] van Douwen, Eric K. (1989). "अशक्त समुच्चयों के लिए फ़ुबिनी का प्रमेय". American Mathematical Monthly. 96 (8): 718–21. doi:10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR 2324722. MR 1019152.

[3] Matouskova, Eva (1997). "उत्तलता और हार नल सेट" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (6): 1793–1799. doi:10.1090/S0002-9939-97-03776-3. JSTOR 2162223.

[4] Solecki, S. (2005). "समूहों के सबसेट के आकार और हार नल सेट". Geometric and Functional Analysis. 15: 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074. doi:10.1007/s00039-005-0505-z. MR 2140632. S2CID 11511821.

[5] Dodos, Pandelis (2009). "स्टाइनहॉस संपत्ति और हार-नल सेट". Bulletin of the London Mathematical Society. 41 (2): 377–44. arXiv:1006.2675. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. doi:10.1112/blms/bdp014. MR 4296513. S2CID 119174196.

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 {{Short description|Measurable set whose measure is zero}}
-{{For|the set with no elements|Empty set}}{{For|the set of zeros of a function|Zero set}}
+{{For|बिना तत्वों वाला सेट|खाली सेट}}{{For|किसी फ़ंक्शन के शून्य का सेट|शून्य सेट}}
-[[File:Sierpinski triangle.svg|thumb|सिएरपिन्स्की त्रिकोण बिंदुओं के शून्य सेट का एक उदाहरण है <math>\mathbb R^2</math>.]][[गणितीय विश्लेषण]] में, एक शून्य सेट <math>N \subset \mathbb{R}</math> एक [[मापने योग्य सेट]] है जिसका माप शून्य है। इसे एक सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो इच्छानुसार से छोटी कुल लंबाई के [[अंतराल (गणित)]] के एक [[गणनीय]] संघ  के माध्यम से कवर (टोपोलॉजी) हो सकता है।
+[[File:Sierpinski triangle.svg|thumb|<math>\mathbb R^2</math>सिएर्पिंस्की त्रिभुज रूपांतर में एक नुल बिंदु समुच्चय का एक उदाहरण है।]][[गणितीय विश्लेषण]] में, एक शून्य समुच्चय <math>N \subset \mathbb{R}</math> एक [[मापने योग्य सेट|मापने योग्य]] समुच्चय है जिसका माप शून्य है। इसे एक समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो इच्छानुसार से छोटी कुल लंबाई के [[अंतराल (गणित)]] के एक [[गणनीय]] संघ  के माध्यम से कवर (टोपोलॉजी) हो सकता है।
-शून्य सेट की धारणा को [[खाली सेट]] के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि सेट सिद्धांत में परिभाषित किया गया है। चूंकि खाली सेट में लेबेस्ग का माप शून्य होता है, फिर भी गैर-खाली सेट होते हैं जो शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के किसी भी गैर-रिक्त गणनीय सेट में लेबेस्ग का माप शून्य है और इसलिए यह शून्य है।
+शून्य समुच्चय की धारणा को [[खाली सेट|रिक्त]] समुच्चय के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि समुच्चय सिद्धांत में परिभाषित किया गया है। चूंकि खाली समुच्चय में लेबेस्ग का माप शून्य होता है, फिर भी गैर-खाली समुच्चय होते हैं जो शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के किसी भी गैर-रिक्त गणनीय समुच्चय में लेबेस्ग का माप शून्य है और इसलिए यह शून्य है।
-अधिक सामान्यतः, किसी दिए गए माप स्थान पर <math>M = (X, \Sigma, \mu)</math> एक शून्य सेट एक सेट है <math>S\in\Sigma</math> ऐसा है कि <math>\mu(S) = 0</math>.
+अधिक सामान्य रूप से, दिए गए माप स्थान <math>M = (X, \Sigma, \mu)</math> एक शून्य समुच्चय उस समुच्चय को कहा जाता है जिसके लिए<math>S\in\Sigma</math> ऐसा है कि <math>\mu(S) = 0</math>. होता है।
 == उदाहरण ==
-वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक परिमित या गणनीय अनंत उपसमुच्चय एक शून्य समुच्चय होता है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय और परिमेय संख्याओं का समुच्चय दोनों गणनीय रूप से अनंत हैं और इसलिए वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय माने जाने पर अशक्त समुच्चय हैं।
+समयी या गणितीय असीमित संख्या के समुच्चय के लिए नुल समुच्चय है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय और राशियों का समुच्चय दोनों समयी असीमित होते हैं और इसलिए यदि वे रीयल संख्याओं के सबसेट के रूप में विचार किए जाएं तो वे नुल समुच्चय होते हैं।
-[[कैंटर सेट]] अनगिनत नल सेट का एक उदाहरण है।{{Explain|reason=elaboration on how an uncountable set can be null and/or how the countability of a set may interact with its nullity is needed|date=November 2021}}
+[[कैंटर सेट|कैंटर]] समुच्चय एक अगणित नुल समुच्चय का एक उदाहरण है।{{Explain|reason=elaboration on how an uncountable set can be null and/or how the countability of a set may interact with its nullity is needed|date=November 2021}}
 == परिभाषा ==
-कल्पना करना <math>A</math> [[वास्तविक रेखा]] का उपसमुच्चय है <math>\mathbb{R}</math> ऐसा है कि
+यदि <math>A</math> [[वास्तविक रेखा]]  <math>\mathbb{R}</math> के एक सबसेट है जिसके लिए
- <math display="block">
+<math display="block">
 \forall \varepsilon > 0, \ \exists \left\{U_n\right\}_n : U_n=(a_n,b_n)\subset \mathbb{R}: \quad
 A \subset \bigcup_{n = 1}^\infty U_n \ \textrm{and}\ \sum_{n = 1}^\infty \left|U_n\right| < \varepsilon \,,
 </math>
-जहां {{math|''U''<sub>n</sub>}} अंतराल (गणित) हैं और {{math|{{!}}''U''{{!}}}} की लंबाई है {{mvar|U}}, तब {{mvar|A}} एक शून्य समुच्चय है,<ref>{{cite book | first=John | last=Franks | date=2009 | title=A (संक्षिप्त) Lebesgue एकीकरण का परिचय| volume=48 | page=28 | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-0-8218-4862-3 | doi=10.1090/stml/048| series=The Student Mathematical Library }}</ref> शून्य-सामग्री के सेट के रूप में भी जाना जाता है।
+जहां {{math|''U''<sub>n</sub>}} अंतराल (गणित) हैं और {{math|{{!}}''U''{{!}}}} की लंबाई है {{mvar|U}}, तो {{mvar|A}} एक शून्य समुच्चय है,<ref>{{cite book | first=John | last=Franks | date=2009 | title=A (संक्षिप्त) Lebesgue एकीकरण का परिचय| volume=48 | page=28 | publisher=[[American Mathematical Society]] | isbn=978-0-8218-4862-3 | doi=10.1090/stml/048| series=The Student Mathematical Library }}</ref> शून्य-सामग्री के समुच्चय के रूप में भी जाना जाता है।
 गणितीय विश्लेषण की शब्दावली में, इस परिभाषा के लिए आवश्यक है कि इसके खुले आवरणों का एक क्रम हो {{mvar|A}} जिसके लिए कवर की लंबाई के [[अनुक्रम की सीमा]] शून्य है।
 == गुण ==
-रिक्त समुच्चय सदैव शून्य समुच्चय होता है। अधिक सामान्यतः, अशक्त सेटों का कोई भी गणनीय [[संघ (सेट सिद्धांत)]] शून्य है। शून्य समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय अपने आप में शून्य समुच्चय होता है। साथ में, ये तथ्य बताते हैं कि m-null{{explain|reason=What is m? An arbitrary measure? Its meaning should be made explicit.|date=December 2020}} X के सेट X पर एक [[सिग्मा-आदर्श]] बनाते हैं। इसी प्रकार, मापने योग्य m-null सेट औसत अंकिते के सेट के [[सिग्मा-बीजगणित]] का सिग्मा-आदर्श बनाते हैं। इस प्रकार, अशक्त समुच्चय की व्याख्या नगण्य समुच्चय के रूप में की जा सकती है, जो [[लगभग हर जगह|अधिकतर हर जगह]] की धारणा को परिभाषित करता है।
+रिक्त समुच्चय सदैव शून्य समुच्चय होता है। अधिक सामान्यतः, अशक्त सेटों का कोई भी गणनीय [[संघ (सेट सिद्धांत)]] शून्य है। शून्य समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय अपने आप में शून्य समुच्चय होता है। साथ में, ये तथ्य बताते हैं कि m-null{{explain|reason=What is m? An arbitrary measure? Its meaning should be made explicit.|date=December 2020}} X के समुच्चय X पर एक [[सिग्मा-आदर्श]] बनाते हैं। इसी प्रकार, मापने योग्य m-null समुच्चय औसत अंकिते के समुच्चय के [[सिग्मा-बीजगणित]] का सिग्मा-आदर्श बनाते हैं। इस प्रकार, अशक्त समुच्चय की व्याख्या नगण्य समुच्चय के रूप में की जा सकती है, जो [[लगभग हर जगह|अधिकतर हर जगह]] की धारणा को परिभाषित करता है।
 == लेबेस्ग उपाय ==
 [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के सबसेट के लिए [[लंबाई]], [[क्षेत्र]] या मात्रा निर्दिष्ट करने का मानक प्रणाली लेबेस्गु माप है।
-का एक उपसमुच्चय N <math>\mathbb{R}</math> लेबेस्ग माप शून्य है और इसे एक शून्य सेट माना जाता है <math>\mathbb{R}</math> यदि और एकमात्र यदि:
+का एक उपसमुच्चय N <math>\mathbb{R}</math> लेबेस्ग माप शून्य है और इसे एक शून्य समुच्चय माना जाता है <math>\mathbb{R}</math> यदि और एकमात्र यदि:
 : किसी भी धनात्मक संख्या ε को देखते हुए, अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव एक अनुक्रम {{math|{''I''<sub>''n''</sub>}<nowiki/>}} अंतराल (गणित) में <math>\mathbb{R}</math> ऐसा है कि एन के मिलन में निहित है {{math|{''I''<sub>''n''</sub>}<nowiki/>}} और संघ की कुल लंबाई ε से कम है।
 इस स्थिति को सामान्यीकृत किया जा सकता है <math>\mathbb{R}^{n}</math>, अंतरालों के अतिरिक्त n-क्यूब (ज्यामिति) का उपयोग करना। वास्तव में, किसी भी [[कई गुना]] पर विचार करने के लिए विचार किया जा सकता है, के होने पर भी वहां कोई लेबेस्गु उपाय न हो।
 उदाहरण के लिए:
-* इसके संबंध में <math>\mathbb{R}^n</math>, सभी [[सिंगलटन (गणित)]] शून्य हैं, और इसलिए सभी [[गणनीय सेट]] शून्य हैं। विशेष रूप से, परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q, में [[सघन (टोपोलॉजी)]] होने के अतिरिक्त एक रिक्त समुच्चय है <math>\mathbb{R}</math>.
+* इसके संबंध में <math>\mathbb{R}^n</math>, सभी [[सिंगलटन (गणित)]] शून्य हैं, और इसलिए सभी [[गणनीय सेट|गणनीय]] समुच्चय शून्य हैं। विशेष रूप से, परिमेय संख्याओं का समुच्चय Q, में [[सघन (टोपोलॉजी)]] होने के अतिरिक्त एक रिक्त समुच्चय है <math>\mathbb{R}</math>.
-* कैंटर सेट का मानक निर्माण शून्य [[बेशुमार सेट]] का एक उदाहरण है <math>\mathbb{R}</math>; चूँकि अन्य निर्माण संभव हैं जो कैंटर को किसी भी उपाय को निर्धारित करते हैं।
+* कैंटर समुच्चय का मानक निर्माण शून्य [[बेशुमार सेट|बेशुमार]] समुच्चय का एक उदाहरण है <math>\mathbb{R}</math>; चूँकि अन्य निर्माण संभव हैं जो कैंटर को किसी भी उपाय को निर्धारित करते हैं।
-* के सभी उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}^n</math> जिसका [[आयाम]] n से छोटा है, में अशक्त लेबेस्ग माप है <math>\mathbb{R}^n</math>. उदाहरण के लिए सीधी रेखाएँ या वृत्त अशक्त सेट हैं <math>\mathbb{R}^2</math>.
+* के सभी उपसमुच्चय <math>\mathbb{R}^n</math> जिसका [[आयाम]] n से छोटा है, में अशक्त लेबेस्ग माप है <math>\mathbb{R}^n</math>. उदाहरण के लिए सीधी रेखाएँ या वृत्त अशक्त समुच्चय हैं <math>\mathbb{R}^2</math>.
-* सार्ड्स लेम्मा: एक सुचारू कार्य के महत्वपूर्ण मूल्यों के सेट का माप शून्य है।
+* सार्ड्स लेम्मा: एक सुचारू कार्य के महत्वपूर्ण मूल्यों के समुच्चय का माप शून्य है।
 यदि λ के लिए लेबेस्गु माप है <math>\mathbb{R}</math> और π के लिए लेबेस्ग माप है <math>\mathbb{R}^{2}</math>, फिर [[उत्पाद माप]] <math>\lambda \times \lambda = \pi</math>. अशक्त समुच्चयों के संदर्भ में, निम्नलिखित तुल्यता को फ़ुबिनी के प्रमेय की शैली दी गई है:<ref>{{cite journal | first=Eric K. | last=van Douwen | date=1989 | title=अशक्त समुच्चयों के लिए फ़ुबिनी का प्रमेय| journal=[[American Mathematical Monthly]] | volume=96 | issue=8 | pages=718–21 | mr=1019152 | jstor=2324722| doi=10.1080/00029890.1989.11972270 }}</ref> * के लिए <math>A \subset \mathbb{R}^{2}</math> और <math>A_x = \{y : (x , y) \isin A \} ,</math> <math display="block">\pi(A) = 0 \iff \lambda \left(\left\{ x : \lambda\left(A_x\right) > 0 \right\}\right) = 0 .</math>
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 == उपयोग ==
-लेबेस्ग एकीकरण की परिभाषा में अशक्त सेट एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: यदि कार्य करता है {{math|''f''}} और {{math|''g''}} एक अशक्त सेट को छोड़कर समान हैं {{math|''f''}} पूर्णांक है यदि और एकमात्र यदि {{math|''g''}} है, और उनके समाकल समान हैं। यह एलपी स्पेस| की औपचारिक परिभाषा को प्रेरित करता है{{math|''L''<sup>''p''</sup>}} रिक्त स्थान कार्यों के समतुल्य वर्गों के सेट के रूप में जो एकमात्र अशक्त सेटों पर भिन्न होते हैं।
+लेबेस्ग एकीकरण की परिभाषा में अशक्त समुच्चय एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं: यदि कार्य करता है {{math|''f''}} और {{math|''g''}} एक अशक्त समुच्चय को छोड़कर समान हैं {{math|''f''}} पूर्णांक है यदि और एकमात्र यदि {{math|''g''}} है, और उनके समाकल समान हैं। यह एलपी स्पेस| की औपचारिक परिभाषा को प्रेरित करता है{{math|''L''<sup>''p''</sup>}} रिक्त स्थान कार्यों के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में जो एकमात्र अशक्त सेटों पर भिन्न होते हैं।
-एक उपाय जिसमें अशक्त सेट के सभी उपसमुच्चय मापने योग्य हैं, पूर्ण माप है। किसी भी गैर-पूर्ण माप को पूर्ण माप बनाने के लिए पूरा किया जा सकता है, यह प्रमाणित  करते हुए कि अशक्त सेट के सबसेट का माप शून्य है। लेबेस्ग माप पूर्ण माप का एक उदाहरण है; कुछ निर्माणों में, इसे गैर-पूर्ण बोरेल उपाय के पूरा होने के रूप में परिभाषित किया गया है।
+एक उपाय जिसमें अशक्त समुच्चय के सभी उपसमुच्चय मापने योग्य हैं, पूर्ण माप है। किसी भी गैर-पूर्ण माप को पूर्ण माप बनाने के लिए पूरा किया जा सकता है, यह प्रमाणित  करते हुए कि अशक्त समुच्चय के सबसेट का माप शून्य है। लेबेस्ग माप पूर्ण माप का एक उदाहरण है; कुछ निर्माणों में, इसे गैर-पूर्ण बोरेल उपाय के पूरा होने के रूप में परिभाषित किया गया है।
-=== कैंटर सेट का एक उपसमुच्चय जो बोरेल मापने योग्य नहीं है ===
+=== कैंटर समुच्चय का एक उपसमुच्चय जो बोरेल मापने योग्य नहीं है ===
-बोरेल का माप पूरा नहीं हुआ है। एक साधारण निर्माण मानक कैंटर सेट के साथ प्रारंभ करना है {{math|''K''}}, जो बंद है इसलिए बोरेल मापने योग्य है, और जिसकी माप शून्य है, और एक सबसेट खोजने के लिए {{mvar|F}} का {{math|''K''}} जो बोरल मापने योग्य नहीं है। (चूंकि लेबेस्ग माप पूरा हो गया है, यह {{mvar|F}} बेशक लेबेस्ग मापने योग्य है।)
+बोरेल का माप पूरा नहीं हुआ है। एक साधारण निर्माण मानक कैंटर समुच्चय के साथ प्रारंभ करना है {{math|''K''}}, जो बंद है इसलिए बोरेल मापने योग्य है, और जिसकी माप शून्य है, और एक सबसेट खोजने के लिए {{mvar|F}} का {{math|''K''}} जो बोरल मापने योग्य नहीं है। (चूंकि लेबेस्ग माप पूरा हो गया है, यह {{mvar|F}} बेशक लेबेस्ग मापने योग्य है।)
-सबसे पहले, हमें यह जानना होगा कि सकारात्मक माप के प्रत्येक सेट में एक गैर-मापने योग्य उपसमुच्चय होता है। होने देना {{math|''f''}} [[कैंटर समारोह]] हो, एक सतत फ़ंक्शन जो स्थानीय रूप से स्थिर हो {{math|''K<sup>c</sup>''}}, और नीरस रूप से [0, 1] पर बढ़ रहा है {{math|1=''f''(0) = 0}} और {{math|1=''f''(1) = 1}}. ज़ाहिर तौर से, {{math|''f''(''K<sup>c</sup>'')}} गणनीय है, क्योंकि इसमें प्रति घटक एक बिंदु होता है {{math|''K<sup>c</sup>''}}. इस प्रकार {{math|''f''(''K<sup>c</sup>'')}} का माप शून्य है, इसलिए {{math|''f''(''K'')}} का माप एक है। हमें सख्ती से [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]] की आवश्यकता है, इसलिए विचार करें {{math|1=''g''(''x'') = ''f''(''x'') + ''x''}}. तब से {{math|''g''(''x'')}} सख्ती से मोनोटोनिक और निरंतर है, यह [[होमियोमोर्फिज्म]] है। आगे, {{math|''g''(''K'')}} का माप एक है। होने देना {{math|''E'' ⊂ ''g''(''K'')}} गैर-मापने योग्य हो, और चलो {{math|1=''F'' = ''g''<sup>−1</sup>(''E'')}}. क्योंकि {{mvar|g}} इंजेक्शन है, हमारे पास वह है {{math|''F'' ⊂ ''K''}}, इसलिए {{mvar|F}} एक शून्य समुच्चय है। चूंकि, यदि यह बोरेल औसत अंकिते का था, तो {{math|''g''(''F'')}} बोरेल मापने योग्य भी होगा (यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि निरंतर कार्य  के माध्यम से सेट किए गए बोरेल की [[छवि (गणित)]] मापने योग्य है; {{math|1=''g''(''F'') = (''g''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>(''F'')}} निरंतर कार्य के माध्यम से F की पूर्वछवि है {{math|1=''h'' = ''g''<sup>−1</sup>}}।) इसलिए, {{mvar|F}} एक अशक्त, किन्तु गैर-बोरेल औसत अंकिते का सेट है।
+सबसे पहले, हमें यह जानना होगा कि सकारात्मक माप के प्रत्येक समुच्चय में एक गैर-मापने योग्य उपसमुच्चय होता है। होने देना {{math|''f''}} [[कैंटर समारोह]] हो, एक सतत फ़ंक्शन जो स्थानीय रूप से स्थिर हो {{math|''K<sup>c</sup>''}}, और नीरस रूप से [0, 1] पर बढ़ रहा है {{math|1=''f''(0) = 0}} और {{math|1=''f''(1) = 1}}. ज़ाहिर तौर से, {{math|''f''(''K<sup>c</sup>'')}} गणनीय है, क्योंकि इसमें प्रति घटक एक बिंदु होता है {{math|''K<sup>c</sup>''}}. इस प्रकार {{math|''f''(''K<sup>c</sup>'')}} का माप शून्य है, इसलिए {{math|''f''(''K'')}} का माप एक है। हमें सख्ती से [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]] की आवश्यकता है, इसलिए विचार करें {{math|1=''g''(''x'') = ''f''(''x'') + ''x''}}. तब से {{math|''g''(''x'')}} सख्ती से मोनोटोनिक और निरंतर है, यह [[होमियोमोर्फिज्म]] है। आगे, {{math|''g''(''K'')}} का माप एक है। होने देना {{math|''E'' ⊂ ''g''(''K'')}} गैर-मापने योग्य हो, और चलो {{math|1=''F'' = ''g''<sup>−1</sup>(''E'')}}. क्योंकि {{mvar|g}} इंजेक्शन है, हमारे पास वह है {{math|''F'' ⊂ ''K''}}, इसलिए {{mvar|F}} एक शून्य समुच्चय है। चूंकि, यदि यह बोरेल औसत अंकिते का था, तो {{math|''g''(''F'')}} बोरेल मापने योग्य भी होगा (यहां हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि निरंतर कार्य  के माध्यम से समुच्चय किए गए बोरेल की [[छवि (गणित)]] मापने योग्य है; {{math|1=''g''(''F'') = (''g''<sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>(''F'')}} निरंतर कार्य के माध्यम से F की पूर्वछवि है {{math|1=''h'' = ''g''<sup>−1</sup>}}।) इसलिए, {{mvar|F}} एक अशक्त, किन्तु गैर-बोरेल औसत अंकिते का समुच्चय है।
 == हार नल ==
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 यह शब्द अनुवाद के उपायों के अशक्त व्युत्क्रम को संदर्भित करता है, इसे हार माप के साथ मिले पूर्ण व्युत्क्रम के साथ जोड़ता है।
-[[टोपोलॉजिकल समूह]]ों के कुछ बीजगणितीय गुणों को सबसेट के आकार और हार नल सेट से संबंधित किया गया है।<ref>{{cite journal | first=S. | last=Solecki | date=2005 | title=समूहों के सबसेट के आकार और हार नल सेट| journal=Geometric and Functional Analysis | volume=15 | pages=246–73 | mr=2140632 | doi=10.1007/s00039-005-0505-z| citeseerx=10.1.1.133.7074 | s2cid=11511821 }}</ref>
+[[टोपोलॉजिकल समूह]]ों के कुछ बीजगणितीय गुणों को सबसेट के आकार और हार नल समुच्चय से संबंधित किया गया है।<ref>{{cite journal | first=S. | last=Solecki | date=2005 | title=समूहों के सबसेट के आकार और हार नल सेट| journal=Geometric and Functional Analysis | volume=15 | pages=246–73 | mr=2140632 | doi=10.1007/s00039-005-0505-z| citeseerx=10.1.1.133.7074 | s2cid=11511821 }}</ref>
-[[पोलिश समूह]]ों में हार नल सेट का उपयोग यह दिखाने के लिए किया गया है कि कब {{mvar|A}} तब अल्प समुच्चय नहीं है {{math|''A''<sup>−1</sup>''A''}} में [[पहचान तत्व]] का एक खुला पड़ोस होता है।<ref>{{cite journal | first=Pandelis | last=Dodos | date=2009 | title=स्टाइनहॉस संपत्ति और हार-नल सेट| journal=[[Bulletin of the London Mathematical Society]] | volume=41 | issue=2 | pages=377–44 | mr=4296513| bibcode=2010arXiv1006.2675D | arxiv=1006.2675 | doi=10.1112/blms/bdp014 | s2cid=119174196 }}</ref> इस संपत्ति का नाम [[ह्यूगो स्टीनहॉस]] के नाम पर रखा गया है क्योंकि यह स्टीनहॉस प्रमेय का निष्कर्ष है।
+[[पोलिश समूह]]ों में हार नल समुच्चय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया गया है कि कब {{mvar|A}} तब अल्प समुच्चय नहीं है {{math|''A''<sup>−1</sup>''A''}} में [[पहचान तत्व]] का एक खुला पड़ोस होता है।<ref>{{cite journal | first=Pandelis | last=Dodos | date=2009 | title=स्टाइनहॉस संपत्ति और हार-नल सेट| journal=[[Bulletin of the London Mathematical Society]] | volume=41 | issue=2 | pages=377–44 | mr=4296513| bibcode=2010arXiv1006.2675D | arxiv=1006.2675 | doi=10.1112/blms/bdp014 | s2cid=119174196 }}</ref> इस संपत्ति का नाम [[ह्यूगो स्टीनहॉस]] के नाम पर रखा गया है क्योंकि यह स्टीनहॉस प्रमेय का निष्कर्ष है।
 == यह भी देखें ==

v t e Measure theory
Basic concepts	Absolute continuity Lebesgue integration L^p spaces Measure Measure space Probability space Measurable space/function
Sets	Almost everywhere Baire set Borel set Carathéodory's criterion Convergence in measure 𝜆-system Essential range infimum/supremum Locally measurable [[Pi-system\| $π$ -system]] σ-algebra Non-measurable set Vitali set Null set Support Transverse measure
Types of Measures	Baire Banach Besov Borel Complex Complete Content (Logarithmically) Convex Discrete Finite Inner (Quasi-) Invariant Locally finite Maximising Metric outer Outer Perfect Pre-measure (Sub-) Probability Projection-valued Radon Random Regular Borel regular Inner regular Outer regular Saturated Set function σ-finite s-finite Signed Singular Spectral Strictly positive Tight Vector
Particular measures	Counting Dirac Euler Gaussian Haar Harmonic Hausdorff Intensity Lebesgue Logarithmic Product Pushforward Spherical measure Tangent Trivial Young
Main results	Carathéodory's extension theorem Convergence theorems Dominated Monotone Vitali Decomposition theorems Hahn Jordan Maharam's Egorov's Fatou's lemma Fubini's Fubini–Tonelli Hölder's inequality Minkowski inequality Radon–Nikodym Riesz–Markov–Kakutani representation theorem
Other results	Disintegration theorem Lifting theory Lebesgue's density theorem Lebesgue differentiation theorem Sard's theorem
Applications & related	Probability theory Real analysis Spectral theory

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लेबेस्ग उपाय

उपयोग

कैंटर समुच्चय का एक उपसमुच्चय जो बोरेल मापने योग्य नहीं है

हार नल

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कैंटर समुच्चय का एक उपसमुच्चय जो बोरेल मापने योग्य नहीं है

हार नल

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