समानता (गणित): Difference between revisions

Latest revision as of 12:34, 27 October 2023

गणित में, समानता दो मात्राओं या अधिक सामान्य रूप से दो गणितीय अभिव्यक्तियों के बीच एक संबंध है,जिसका आशय है कि मात्राओं का एक ही मान है, या अभिव्यक्तियाँ एक ही गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करती हैं। $A$ और $B$ के बीच समानता को $A = B$ लिखा है , और $A$ का उच्चारण $B$ के बराबर होता है।.^[1] प्रतीक "=" को "बराबर चिह्न" कहा जाता है। दो वस्तुएँ जो समान नहीं हैं, भिन्न कहलाती हैं.

उदाहरण के लिए:

$x=y$ का अर्थ है, कि $x$ और $y$ एक ही वस्तु को दर्शाते हैं।।^[2]
पहचान (गणित) $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ इसका तात्पर्य है कि यदि $x$ कोई संख्या है, तो दोनों व्यंजकों का मान समान है। इसे यह कहते हुए भी समझा जा सकता है कि बराबर चिह्न के दो पक्ष एक ही कार्य (गणित) का प्रतिनिधित्व करते हैं।
और केवल अगर $\{x\mid P(x)\}=\{x\mid Q(x)\}$ $P(x)\Leftrightarrow Q(x).$ यह अभिकथन, जो समूह निर्माता नोटेशन का उपयोग करता है, का अर्थ है कि यदि तत्व संपत्ति को संतुष्ट करते हैं $P(x)$ $Q(x),$ को संतुष्ट करने वाले तत्वों के समान हैं तो समूह निर्माता नोटेशन के दो उपयोग एक ही समूह को परिभाषित करते हैं। इस संपत्ति को सामान्यतः दो समूहों के रूप में व्यक्त किया जाता है जिनमें समान तत्व होते हैं। यह समुच्चय सिद्धांत के सामान्य स्वयंसिद्धों में से एक है, जिसे विस्तार का स्वयंसिद्ध कहा जाता है।^[3]

व्युत्पत्ति

शब्द की व्युत्पत्ति लैटिन भाषा के एक्वालिस ("समान", "समान", "तुलनीय", "समान") से हुई है, जो एसेस ("समान", "स्तर", "निष्पक्ष", "न्यायसंगत") से है।

मूल गुण

प्रतिस्थापन संपत्ति: किसी के लिए मात्रा a तथा b और कोई अभिव्यक्ति F(x), यदि a = b, तब F(a) = F(b) (प्रतिबंध कि दोनों पक्ष अच्छी तरह से गठित] हों).
इसके कुछ विशिष्ट उदाहरण हैं:
Template:अव्यवस्थित सूची
प्रतिवर्त गुण: किसी भी मात्रा के लिए a, a = a.
सममित संपत्ति: किसी भी मात्रा के लिए a और b, यदि a = b, तब b = a.
सकर्मक संपत्ति:किसी भी मात्रा के लिए a, b, और c, यदि a = b और b = c, तब a = c.^[4]

ये अंतिम तीन गुण समानता को एक तुल्यता संबंध बनाते हैं। वे मूल रूप से प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीआनो स्वयंसिद्धों में सम्मलित थे। चूँकि सममित और सकर्मक गुणों को सामान्यतः मौलिक के रूप में देखा जाता है, उन्हें प्रतिस्थापन और प्रतिवर्ती गुणों से घटाया जा सकता है।

विधेय के रूप में समानता

जब A और B पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं होते हैं या कुछ चर (गणित) पर निर्भर होते हैं, तो समानता एक प्रस्ताव (गणित) है, जो कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकता है और अन्य मूल्यों के लिए गलत हो सकता है। समानता एक द्विआधारी संबंध है (एक दो-तर्क विधेय (गणितीय तर्क)) जो अपने तर्कों से एक सत्य मान (गलत या सत्य) उत्पन्न कर सकता है। कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में, दो भावों से इसकी गणना को संबंधपरक संकारक के रूप में जाना जाता है।

पहचान

जब A और B को कुछ चरों के फलन (गणित) के रूप में देखा जा सकता है, तब A = B का अर्थ है कि A और B एक ही फलन को परिभाषित करते हैं। कार्यों की ऐसी समानता को कभी-कभी एक तत्समक

(पहचान गणित) कहा जाता है। एक उदाहरण है $\left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.$ कभी-कभी, लेकिन हमेशा नहीं, एक ट्रिपल बार के साथ एक पहचान लिखी जाती है: $\left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.$

समीकरण

एक समीकरण कुछ चरों के मान ज्ञात करने की समस्या है, जिसे अज्ञात कहा जाता है जिसके लिए निर्दिष्ट समानता सत्य है। शब्द समीकरण भी एक समानता संबंध को संदर्भित कर सकता है जो केवल उन चरों के मूल्यों के लिए संतुष्ट होता है जिनमें रुचि होती है। उदाहरण के लिए, $x^{2}+y^{2}=1$ इकाई घेरा समीकरण का है।

कोई मानक संकेतन नहीं है जो एक समीकरण को एक पहचान से भिन्न करता है, या समानता संबंध के अन्य उपयोग: किसी को अभिव्यक्ति के शब्दार्थ और संदर्भ से एक उपयुक्त व्याख्या का अनुमान लगाना पड़ता है। किसी दिए गए डोमेन में चर के सभी मूल्यों के लिए एक पहचान को सही माना जाता है। एक "समीकरण" का अर्थ कभी-कभी एक पहचान हो सकता है, लेकिन अधिक बार नहीं, यह चर स्थान के एक उपसमुच्चय के रूप में निर्दिष्ट करता है जहां समीकरण सत्य है।

अनुमानित समानता

कुछ गणितीय तर्क ऐसे हैं जिनमें समानता की कोई धारणा नहीं है। यह दो वास्तविक संख्याओं की समानता की अनिर्णीत समस्या को दर्शाता है, जो पूर्णांकों, मूल अंकगणितीय संक्रियाओं, लघुगणक और घातीय फलन से जुड़े सूत्रों द्वारा परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, ऐसी समानता तय करने के लिए कोई कलन विधि सम्मलित नहीं हो सकती है ।

द्विआधारी संबंध सन्निकटन (प्रतीक द्वारा निरूपित $\approx$ ) वास्तविक संख्याओं या अन्य चीजों के बीच, भले ही अधिक त्रुटिहीन रूप से परिभाषित हो, सकर्मक नहीं है (चूंकि कई छोटे अंतर (गणित) कुछ बड़ा जोड़ सकते हैं)। चूँकि , समानता लगभग हर जगह सकर्मक है।

परीक्षण के अंतर्गत एक संदिग्ध समानता को ≟ प्रतीक का उपयोग करके निरूपित किया जा सकता है।

तुल्यता, सर्वांगसमता और समरूपता से संबंध

एक संबंध के रूप में देखा गया, समानता एक समुच्चय पर तुल्यता संबंध की अधिक सामान्य अवधारणा का मूलरूप है: वे द्विआधारी संबंध जो प्रतिवर्त संबंध, सममित संबंध और सकर्मक संबंध हैं। पहचान संबंध एक तुल्यता संबंध है। विलोमतः, मान लीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है, और आइए हम x के तुल्यता वर्ग को x^R से निरूपित करें, जिसमें सभी अवयव z ऐसे हैं कि x R z है। तब संबंध x R y समता x^R = y^R के तुल्य है। यह इस प्रकार है कि समानता किसी भी समुच्चय S पर इस अर्थ में सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है कि यह ऐसा संबंध है जिसमें सबसे छोटा तुल्यता वर्ग है (प्रत्येक वर्ग को एक तत्व में घटाया जाता है)।

कुछ संदर्भों में, समानता को तुल्यता संबंध या तुल्याकारिता से स्पष्ट रूप से भिन्न किया जाता है।^[5] उदाहरण के लिए, कोई परिमेय संख्याओं से से भिन्नों को अलग कर सकता है, बाद वाला अंशों का तुल्यता वर्ग है: भिन्न $1/2$ तथा $2/4$ के रूप में भिन्न हैं (प्रतीकों के विभिन्न तार के रूप में) लेकिन वे एक ही परिमेय संख्या (संख्या रेखा पर एक ही बिंदु) का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह भेद भागफल समुच्चय की धारणा को जन्म देता है।

इसी प्रकार समूह

\{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}

तथा

\{1,2,3\}

समान समूह नहीं हैं - पहले में अक्षर होते हैं, जबकि दूसरे में संख्याएँ होती हैं - लेकिन वे दोनों तीन तत्वों के समूह हैं और इस प्रकार आइसोमॉर्फिक हैं, जिसका अर्थ है कि उनके बीच एक आक्षेप है। उदाहरण के लिए

{\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.

चूँकि, समरूपता के अन्य विकल्प हैं, जैसे

{\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,

और इन समूहों को इस प्रकार के विकल्प के बिना पहचाना नहीं जा सकता है - कोई भी विवरण जो उन्हें पहचानता है पहचान की पसंद पर निर्भर करता है। यह अंतर, समरूपता समानता के साथ संबंध, श्रेणी सिद्धांत में मूलभूत महत्व का है और श्रेणी सिद्धांत के विकास के लिए एक प्रेरणा है।

कुछ स्थिति में, एक समान दो गणितीय वस्तुओं के रूप में विचार किया जा सकता है जो केवल गुणों और संरचना के लिए समकक्ष हैं। शब्द सर्वांगसमता संबंध (और संबंधित प्रतीक $\cong$ ) इस प्रकार की समानता के लिए सामान्यतः उपयोग किया जाता है, और इसे वस्तुओं के बीच समरूपता वर्गों के भागफल समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, ज्यामिति में, दो ज्यामितीय आकृतियों को सर्वांगसमता (ज्यामिति) कहा जाता है, जब एक को दूसरे के साथ मेल खाने के लिए ले जाया जा सकता है, और समानता/सर्वांगसमता संबंध आकृतियों के बीच समरूपता का समरूपता वर्ग है। समूह के समरूपता के समान, गुणों और संरचना के साथ ऐसी गणितीय वस्तुओं के बीच समरूपता और समानता/अनुरूपता के बीच का अंतर श्रेणी सिद्धांत के विकास के साथ-साथ होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत और असमान नींव के लिए एक प्रेरणा थी।

तार्किक परिभाषाएँ

लाइबनिट्स ने समानता की धारणा को इस प्रकार बताया:

किसी भी x और y को देखते हुए, x = y यदि केवल , कोई विधेय (गणित) P, P(x) और P(y) दिया गया हो।

सेट सिद्धांत में समानता

समूह सिद्धांत में समूह की समानता को दो भिन्न -भिन्न उपायों से अभिगृहीत किया जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि क्या स्वयंसिद्ध पहले-क्रम की भाषा पर समानता के साथ या बिना आधारित हैं।

समानता के साथ प्रथम-क्रम तर्क के आधार पर समानता समूह करें समानता के साथ पहले क्रम के तर्क में, विस्तार का स्वयंसिद्ध बताता है कि दो समूह जिनमें समान तत्व होते हैं, वही समूह होते हैं।^[6]

तर्क सिद्धांत: x = y ⇒ ∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)
तर्क सिद्धांत: x = y ⇒ ∀z, (x ∈ z ⇔ y ∈ z)
सिद्धांत सिद्धांत समूह करें: (∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)) ⇒ x = y

पहले क्रम के तर्क में आधे काम को सम्मिलित करना केवल सुविधा का विषय माना जा सकता है, जैसा कि लेवी ने टिप्पणी की है।

हम प्रथम-क्रम विधेय कलन को समानता के साथ क्यों लेते हैं इसका कारण सुविधा का विषय है; इसके द्वारा हम समानता को परिभाषित करने और उसके सभी गुणों को सिद्ध करने के श्रम को बचाते हैं; यह बोझ अब तर्क द्वारा ग्रहण किया जाता है।^[7]

समानता के बिना प्रथम-क्रम तर्क के आधार पर समानता समूह करें

समानता के बिना पहले क्रम के तर्क में, दो समूहों को बराबर परिभाषित किया जाता है यदि उनमें समान तत्व होते हैं। तब विस्तार की अभिधारणा बताती है कि दो समान समुच्चय एक ही समुच्चय में समाहित हैं।^[8]

समुच्चय सिद्धांत परिभाषा: x = y का अर्थ है ∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)
समुच्चय सिद्धांत स्वयंसिद्ध: x = y ⇒ ∀z, (x ∈ z ⇔ y ∈ z)

यह भी देखें

↑ Weisstein, Eric W. "समानता". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-09-01.
↑ Rosser 2008, p. 163.
↑ Lévy 2002, pp. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999, p. 2. Mendelson 1964, p. 5.
↑ Weisstein, Eric W. "Equal". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-09-01.
↑ (Mazur 2007)
↑ Kleene 2002, p. 189. Lévy 2002, p. 13. Shoenfield 2001, p. 239.
↑ Lévy 2002, p. 4.
↑ Mendelson 1964, pp. 159–161. Rosser 2008, pp. 211–213

संदर्भ

Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Mathematical Logic. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42533-7.
Lévy, Azriel (2002) [1979]. Basic set theory. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42079-0.
Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (Third ed.). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
Mazur, Barry (12 June 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF)
Mendelson, Elliott (1964). Introduction to Mathematical Logic. New York: Van Nostrand Reinhold.
Rosser, John Barkley (2008) [1953]. Logic for mathematicians. Mineola, New York: Dover Publication. ISBN 978-0-486-46898-3.
Shoenfield, Joseph Robert (2001) [1967]. Mathematical Logic (2nd ed.). A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2.

बाहरी संबंध

"Equality axioms", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Weisstein, Eric W. "समानता". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-09-01.

[2] Rosser 2008, p. 163.

[3] Lévy 2002, pp. 13, 358. Mac Lane & Birkhoff 1999, p. 2. Mendelson 1964, p. 5.

[4] Weisstein, Eric W. "Equal". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-09-01.

[5] (Mazur 2007)

[6] Kleene 2002, p. 189. Lévy 2002, p. 13. Shoenfield 2001, p. 239.

[7] Lévy 2002, p. 4.

[8] Mendelson 1964, pp. 159–161. Rosser 2008, pp. 211–213

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-{{short description|Relationship asserting that two quantities are the same}}
+गणित में, '''समानता''' दो मात्राओं या अधिक सामान्य रूप से दो [[गणितीय अभिव्यक्ति|गणितीय अभिव्यक्तियों]] के बीच एक संबंध है,जिसका आशय है कि मात्राओं का एक ही मान है, या अभिव्यक्तियाँ एक ही [[गणितीय वस्तु]] का प्रतिनिधित्व करती हैं। {{math|''A''}} और {{math|''B''}} के बीच समानता  को {{math|1=''A''&nbsp;=&nbsp;''B''}} लिखा है , और {{math|''A''}} का उच्चारण {{math|''B''}}  के बराबर होता है।.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=समानता|url=https://mathworld.wolfram.com/समानता.html|access-date=2020-09-01|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> प्रतीक  "=" को "बराबर चिह्न" कहा जाता है।  दो वस्तुएँ जो समान नहीं हैं, भिन्न कहलाती हैं<!--Redirect-->.
-{{refimprove|date=December 2015}}
-{{Use dmy dates|date=July 2013}}
-गणित में, समानता दो मात्राओं या अधिक सामान्य रूप से दो [[गणितीय अभिव्यक्ति|गणितीय अभिव्यक्तियों]] के बीच एक संबंध है, जो यह दावा करती है कि मात्राओं का समान मान है, या यह कि अभिव्यक्तियाँ एक ही [[गणितीय वस्तु]] का प्रतिनिधित्व करती हैं। {{math|''A''}} और {{math|''B''}} के बीच समानता  को {{math|1=''A''&nbsp;=&nbsp;''B''}} लिखा है , और {{math|''A''}} का उच्चारण {{math|''B''}}  के बराबर होता है।.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=समानता|url=https://mathworld.wolfram.com/समानता.html|access-date=2020-09-01|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> प्रतीक  "=" को "बराबर चिह्न" कहा जाता है।  दो वस्तुएँ जो समान नहीं हैं, भिन्न कहलाती हैं<!--Redirect-->.
 उदाहरण के लिए:
-* <math>x=y</math> मतलब कि {{mvar|x}} और  {{mvar|y}} एक ही वस्तु को दर्शाते हैं।।<ref>{{harvnb|Rosser|2008|page=163}}.</ref>
+* <math>x=y</math> का अर्थ है, कि {{mvar|x}} और  {{mvar|y}} एक ही वस्तु को दर्शाते हैं।।<ref>{{harvnb|Rosser|2008|page=163}}.</ref>
 * [[पहचान (गणित)]] <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> इसका तात्पर्य है कि यदि {{mvar|x}} कोई संख्या है, तो दोनों व्यंजकों का मान समान है। इसे यह कहते हुए भी समझा जा सकता है कि बराबर चिह्न के दो पक्ष एक ही कार्य (गणित) का प्रतिनिधित्व करते हैं।
-* अगर और केवल अगर  <math>\{x \mid P(x)\} = \{x \mid Q(x)\}</math> <math>P(x) \Leftrightarrow Q(x).</math> यह अभिकथन, जो [[सेट-बिल्डर नोटेशन]] का उपयोग करता है, का अर्थ है कि यदि तत्व संपत्ति को संतुष्ट करते हैं <math>P(x)</math>  <math>Q(x),</math>को संतुष्ट करने वाले तत्वों के समान हैं तो सेट-बिल्डर नोटेशन के दो उपयोग एक ही सेट को परिभाषित करते हैं। इस संपत्ति को सामान्यतः दो सेटों के रूप में व्यक्त किया जाता है जिनमें समान तत्व समान होते हैं। यह समुच्चय सिद्धांत के सामान्य स्वयंसिद्धों में से एक है, जिसे [[विस्तार का स्वयंसिद्ध]] कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Lévy|2002|pages=13, 358}}. {{harvnb|Mac Lane|Birkhoff|1999|page=2}}. {{harvnb|Mendelson|1964|page=5}}.</ref>
+*और केवल अगर  <math>\{x \mid P(x)\} = \{x \mid Q(x)\}</math> <math>P(x) \Leftrightarrow Q(x).</math> यह अभिकथन, जो [[सेट-बिल्डर नोटेशन|समूह निर्माता नोटेशन]] का उपयोग करता है, का अर्थ है कि यदि तत्व संपत्ति को संतुष्ट करते हैं <math>P(x)</math>  <math>Q(x),</math>को संतुष्ट करने वाले तत्वों के समान हैं तो समूह निर्माता नोटेशन के दो उपयोग एक ही समूह को परिभाषित करते हैं। इस संपत्ति को सामान्यतः दो समूहों के रूप में व्यक्त किया जाता है जिनमें समान तत्व होते हैं। यह समुच्चय सिद्धांत के सामान्य स्वयंसिद्धों में से एक है, जिसे [[विस्तार का स्वयंसिद्ध]] कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Lévy|2002|pages=13, 358}}. {{harvnb|Mac Lane|Birkhoff|1999|page=2}}. {{harvnb|Mendelson|1964|page=5}}.</ref>
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 {{unordered list
 |1=
-''Substitution property'': [[For any]] quantities ''a'' and ''b'' and any expression ''F''(''x''), [[material conditional|if]] ''a'' = ''b'', then ''F''(''a'') = ''F''(''b'') (provided that both sides are [[well-formed formula|well-formed]]).
+''प्रतिस्थापन संपत्ति'': [[किसी के लिए]] मात्रा ''a'' तथा ''b'' और कोई अभिव्यक्ति ''F''(''x''), [[सामग्री सशर्त | यदि]] ''a'' = ''b'', तब ''F''(''a'') = ''F''(''b'') (प्रतिबंध कि दोनों पक्ष [[अच्छी तरह से निर्मित सूत्र|अच्छी तरह से गठित] हों]]).
-Some specific examples of this are:
+इसके कुछ विशिष्ट उदाहरण हैं:
-{{unordered list
+{{अव्यवस्थित सूची
-  |1= For any [[real number]]s ''a'', ''b'', and ''c'', if ''a'' = ''b'', then ''a'' + ''c'' = ''b'' + ''c'' (here, ''F''(''x'') is ''x'' + ''c'');
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+  |3= किसी के लिए [[वास्तविक संख्या]]s ''a'', ''b'', और ''c'', if ''a'' = ''b'',तब ''ac'' = ''bc'' (यहां, ''F''(''x'') is ''xc'');
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-ये अंतिम तीन गुण समानता को एक [[तुल्यता संबंध]] बनाते हैं। वे मूल रूप से प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीआनो स्वयंसिद्धों में शामिल थे। चूँकि सममित और सकर्मक गुणों को सामान्यतः मौलिक के रूप में देखा जाता है, उन्हें प्रतिस्थापन और प्रतिवर्ती गुणों से घटाया जा सकता है।
+ये अंतिम तीन गुण समानता को एक [[तुल्यता संबंध]] बनाते हैं। वे मूल रूप से प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीआनो स्वयंसिद्धों में सम्मलित थे। चूँकि सममित और सकर्मक गुणों को सामान्यतः मौलिक के रूप में देखा जाता है, उन्हें प्रतिस्थापन और प्रतिवर्ती गुणों से घटाया जा सकता है।
 == विधेय के रूप में समानता ==
-जब ''A'' और ''B'' पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं होते हैं या कुछ [[चर (गणित)]] पर निर्भर होते हैं, तो समानता एक [[प्रस्ताव (गणित)]] है, जो कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकता है और अन्य मूल्यों के लिए गलत हो सकता है। समानता एक [[द्विआधारी संबंध]] है (यानी, एक दो-तर्क [[विधेय (गणितीय तर्क)]]) जो अपने तर्कों से एक सत्य मान (गलत या सत्य) उत्पन्न कर सकता है। [[कंप्यूटर प्रोग्रामिंग]] में, दो भावों से इसकी गणना को [[रिलेशनल ऑपरेटर]] के रूप में जाना जाता है।
+जब ''A'' और ''B'' पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं होते हैं या कुछ [[चर (गणित)]] पर निर्भर होते हैं, तो समानता एक [[प्रस्ताव (गणित)]] है, जो कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकता है और अन्य मूल्यों के लिए गलत हो सकता है। समानता एक [[द्विआधारी संबंध]] है (एक दो-तर्क [[विधेय (गणितीय तर्क)]]) जो अपने तर्कों से एक सत्य मान (गलत या सत्य) उत्पन्न कर सकता है। [[कंप्यूटर प्रोग्रामिंग]] में, दो भावों से इसकी गणना को  [[रिलेशनल ऑपरेटर|संबंधपरक संकारक]] के रूप में जाना जाता है।
 == पहचान ==
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+{{main|पहचान (गणित)
-जब A और B को कुछ चरों के फलन (गणित) के रूप में देखा जा सकता है, तब A = B का मतलब है कि A और B एक ही फलन को परिभाषित करते हैं। कार्यों की ऐसी समानता को कभी-कभी एक तत्समक
+}}
+जब A और B को कुछ चरों के फलन (गणित) के रूप में देखा जा सकता है, तब A = B का अर्थ है कि A और B एक ही फलन को परिभाषित करते हैं। कार्यों की ऐसी समानता को कभी-कभी एक तत्समक
 (पहचान गणित) कहा जाता है। एक उदाहरण है <math>\left(x + 1\right)\left(x + 1\right) = x^2 + 2 x + 1.</math> कभी-कभी, लेकिन हमेशा नहीं, एक [[ट्रिपल बार]] के साथ एक पहचान लिखी जाती है: <math>\left(x + 1\right)\left(x + 1\right) \equiv x^2 + 2 x + 1.</math>
 == [[समीकरण]] ==
-एक समीकरण कुछ चरों के मान ज्ञात करने की समस्या है, जिसे  {{em|अज्ञात }}  कहा जाता है जिसके लिए निर्दिष्ट समानता सत्य है। शब्द समीकरण भी एक समानता संबंध को संदर्भित कर सकता है जो केवल उन चरों के मूल्यों के लिए संतुष्ट होता है जिनमें रुचि होती है। उदाहरण के लिए, <math>x^2 + y^2 = 1</math> [[यूनिट सर्कल]] {{em|समीकरण }}  का है।
+एक समीकरण कुछ चरों के मान ज्ञात करने की समस्या है, जिसे  {{em|अज्ञात }}  कहा जाता है जिसके लिए निर्दिष्ट समानता सत्य है। शब्द समीकरण भी एक समानता संबंध को संदर्भित कर सकता है जो केवल उन चरों के मूल्यों के लिए संतुष्ट होता है जिनमें रुचि होती है। उदाहरण के लिए, <math>x^2 + y^2 = 1</math>  [[यूनिट सर्कल|इकाई घेरा]] {{em|समीकरण }}  का है।
-कोई मानक संकेतन नहीं है जो एक समीकरण को एक पहचान से अलग करता है, या समानता संबंध के अन्य उपयोग: किसी को अभिव्यक्ति के शब्दार्थ और संदर्भ से एक उपयुक्त व्याख्या का अनुमान लगाना पड़ता है। किसी दिए गए डोमेन में चर के सभी मूल्यों के लिए एक पहचान को सही माना जाता है। एक "समीकरण" का अर्थ कभी-कभी एक पहचान हो सकता है, लेकिन अधिक बार नहीं, यह चर स्थान के एक उपसमुच्चय को उपसमुच्चय के रूप में निर्दिष्ट करता है जहां समीकरण सत्य है।
+कोई मानक संकेतन नहीं है जो एक समीकरण को एक पहचान से भिन्न करता है, या समानता संबंध के अन्य उपयोग: किसी को अभिव्यक्ति के शब्दार्थ और संदर्भ से एक उपयुक्त व्याख्या का अनुमान लगाना पड़ता है। किसी दिए गए डोमेन में चर के सभी मूल्यों के लिए एक पहचान को सही माना जाता है। एक "समीकरण" का अर्थ कभी-कभी एक पहचान हो सकता है, लेकिन अधिक बार नहीं, यह चर स्थान के एक उपसमुच्चय के रूप में निर्दिष्ट करता है जहां समीकरण सत्य है।
 == अनुमानित समानता ==
-कुछ [[गणितीय तर्क]] ऐसे हैं जिनमें समानता की कोई धारणा नहीं है। यह दो [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] की समानता की [[अनिर्णीत समस्या]] को दर्शाता है, जो [[पूर्णांक|पूर्णांकों]], मूल अंकगणितीय संक्रियाओं, लघुगणक और घातीय फलन से जुड़े सूत्रों द्वारा परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, ऐसी समानता तय करने के लिए कोई एल्गोरिद्म मौजूद नहीं हो सकता।
+कुछ [[गणितीय तर्क]] ऐसे हैं जिनमें समानता की कोई धारणा नहीं है। यह दो [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] की समानता की [[अनिर्णीत समस्या]] को दर्शाता है, जो [[पूर्णांक|पूर्णांकों]], मूल अंकगणितीय संक्रियाओं, लघुगणक और घातीय फलन से जुड़े सूत्रों द्वारा परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, ऐसी समानता तय करने के लिए कोई कलन विधि सम्मलित नहीं हो सकती है ।
-द्विआधारी संबंध [[सन्निकटन]] (प्रतीक द्वारा निरूपित <math>\approx</math>) वास्तविक संख्याओं या अन्य चीजों के बीच, भले ही अधिक सटीक रूप से परिभाषित हो, सकर्मक नहीं है (चूंकि कई छोटे [[अंतर (गणित)]] कुछ बड़ा जोड़ सकते हैं)। चूँकि , समानता [[लगभग हर जगह]] सकर्मक है।
+द्विआधारी संबंध [[सन्निकटन]] (प्रतीक द्वारा निरूपित <math>\approx</math>) वास्तविक संख्याओं या अन्य चीजों के बीच, भले ही अधिक त्रुटिहीन रूप से परिभाषित हो, सकर्मक नहीं है (चूंकि कई छोटे [[अंतर (गणित)]] कुछ बड़ा जोड़ सकते हैं)। चूँकि , समानता [[लगभग हर जगह]] सकर्मक है।
-परीक्षण के तहत एक संदिग्ध समानता को ≟ प्रतीक का उपयोग करके निरूपित किया जा सकता है।
+परीक्षण के अंतर्गत एक संदिग्ध समानता को ≟ प्रतीक का उपयोग करके निरूपित किया जा सकता है।
 == तुल्यता, सर्वांगसमता और समरूपता से संबंध ==
-{{Main|Equivalence relation|Isomorphism|Congruence relation|Congruence (geometry)}}
+{{Main|तुल्यता संबंध
-एक संबंध के रूप में देखा गया, समानता एक समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध की अधिक सामान्य अवधारणा का मूलरूप है: वे द्विआधारी संबंध जो [[प्रतिवर्त संबंध]], [[सममित संबंध]] और [[सकर्मक संबंध]] हैं। पहचान संबंध एक तुल्यता संबंध है। विलोमतः, मान लीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है, और आइए हम x के तुल्यता वर्ग को ''x<sup>R</sup>''  से निरूपित करें, जिसमें सभी अवयव z ऐसे हैं कि x R z है। तब संबंध x R y समता ''x<sup>R</sup>'' = ''y<sup>R</sup>'' के तुल्य है। यह इस प्रकार है कि समानता किसी भी समुच्चय S पर इस अर्थ में सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है कि यह ऐसा संबंध है जिसमें सबसे छोटा तुल्यता वर्ग है (प्रत्येक वर्ग को एक तत्व में घटाया जाता है)।
+|समाकृतिकता
+|सर्वांगसमता संबंध
+|सर्वांगसमता (ज्यामिति)
+}}
+एक संबंध के रूप में देखा गया, समानता एक समुच्चय पर तुल्यता संबंध की अधिक सामान्य अवधारणा का मूलरूप है: वे द्विआधारी संबंध जो [[प्रतिवर्त संबंध]], [[सममित संबंध]] और [[सकर्मक संबंध]] हैं। पहचान संबंध एक तुल्यता संबंध है। विलोमतः, मान लीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है, और आइए हम x के तुल्यता वर्ग को ''x<sup>R</sup>''  से निरूपित करें, जिसमें सभी अवयव z ऐसे हैं कि x R z है। तब संबंध x R y समता ''x<sup>R</sup>'' = ''y<sup>R</sup>'' के तुल्य है। यह इस प्रकार है कि समानता किसी भी समुच्चय S पर इस अर्थ में सबसे अच्छा तुल्यता संबंध है कि यह ऐसा संबंध है जिसमें सबसे छोटा तुल्यता वर्ग है (प्रत्येक वर्ग को एक तत्व में घटाया जाता है)।
-कुछ संदर्भों में, समानता को तुल्यता संबंध या तुल्याकारिता से स्पष्ट रूप से अलग किया जाता है।<ref>{{Harv|Mazur|2007}}</ref> उदाहरण के लिए, कोई  [[परिमेय संख्या|परिमेय संख्याओं]] से से भिन्नों को अलग कर सकता है, बाद वाला अंशों का तुल्यता वर्ग है: भिन्न <math>1/2</math> तथा <math>2/4</math> भिन्न के रूप में भिन्न हैं (प्रतीकों के विभिन्न तार के रूप में) लेकिन वे एक ही परिमेय संख्या (संख्या रेखा पर एक ही बिंदु) का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह भेद भागफल समुच्चय की धारणा को जन्म देता है।
+कुछ संदर्भों में, समानता को तुल्यता संबंध या तुल्याकारिता से स्पष्ट रूप से भिन्न किया जाता है।<ref>{{Harv|Mazur|2007}}</ref> उदाहरण के लिए, कोई  [[परिमेय संख्या|परिमेय संख्याओं]] से से भिन्नों को अलग कर सकता है, बाद वाला अंशों का तुल्यता वर्ग है: भिन्न <math>1/2</math> तथा <math>2/4</math> के रूप में भिन्न हैं (प्रतीकों के विभिन्न तार के रूप में) लेकिन वे एक ही परिमेय संख्या (संख्या रेखा पर एक ही बिंदु) का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह भेद भागफल समुच्चय की धारणा को जन्म देता है।
-इसी तरह सेट्स
+इसी प्रकार समूह
 :<math>\{\text{A}, \text{B}, \text{C}\} </math> तथा <math>\{ 1, 2, 3 \} </math>
-समान सेट नहीं हैं - पहले में अक्षर होते हैं, जबकि दूसरे में संख्याएँ होती हैं - लेकिन वे दोनों तीन तत्वों के सेट हैं और इस प्रकार आइसोमॉर्फिक हैं, जिसका अर्थ है कि उनके बीच एक आक्षेप है। उदाहरण के लिए
+समान समूह नहीं हैं - पहले में अक्षर होते हैं, जबकि दूसरे में संख्याएँ होती हैं - लेकिन वे दोनों तीन तत्वों के समूह हैं और इस प्रकार आइसोमॉर्फिक हैं, जिसका अर्थ है कि उनके बीच एक आक्षेप है। उदाहरण के लिए
 :<math>\text{A} \mapsto 1, \text{B} \mapsto 2, \text{C} \mapsto 3.</math>
 चूँकि, समरूपता के अन्य विकल्प हैं, जैसे
 :<math>\text{A} \mapsto 3, \text{B} \mapsto 2, \text{C} \mapsto 1,</math>
-और इन सेटों को इस तरह के विकल्प के बिना पहचाना नहीं जा सकता है - कोई भी विवरण जो उन्हें पहचानता है पहचान की पसंद पर निर्भर करता है। यह अंतर, समरूपता समानता के साथ संबंध, [[श्रेणी सिद्धांत]] में मूलभूत महत्व का है और श्रेणी सिद्धांत के विकास के लिए एक प्रेरणा है।
+और इन समूहों को इस प्रकार के विकल्प के बिना पहचाना नहीं जा सकता है - कोई भी विवरण जो उन्हें पहचानता है पहचान की पसंद पर निर्भर करता है। यह अंतर, समरूपता समानता के साथ संबंध, [[श्रेणी सिद्धांत]] में मूलभूत महत्व का है और श्रेणी सिद्धांत के विकास के लिए एक प्रेरणा है।
-कुछ मामलों में, एक समान दो गणितीय वस्तुओं के रूप में विचार किया जा सकता है जो केवल गुणों और संरचना के लिए समकक्ष हैं। शब्द [[सर्वांगसमता संबंध]] (और संबंधित प्रतीक <math>\cong</math>) इस तरह की समानता के लिए सामान्यतः उपयोग किया जाता है, और इसे वस्तुओं के बीच [[समरूपता वर्ग|समरूपता वर्गों]] के भागफल सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[ज्यामिति]] में, दो ज्यामितीय आकृतियों को [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] कहा जाता है, जब एक को दूसरे के साथ मेल खाने के लिए ले जाया जा सकता है, और समानता/सर्वांगसमता संबंध आकृतियों के बीच समरूपता का समरूपता वर्ग है। सेट के समरूपता के समान, गुणों और संरचना के साथ ऐसी गणितीय वस्तुओं के बीच समरूपता और समानता/अनुरूपता के बीच का अंतर श्रेणी सिद्धांत के विकास के साथ-साथ होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत और [[असमान नींव]] के लिए एक प्रेरणा थी।
+कुछ स्थिति में, एक समान दो गणितीय वस्तुओं के रूप में विचार किया जा सकता है जो केवल गुणों और संरचना के लिए समकक्ष हैं। शब्द [[सर्वांगसमता संबंध]] (और संबंधित प्रतीक <math>\cong</math>) इस प्रकार की समानता के लिए सामान्यतः उपयोग किया जाता है, और इसे वस्तुओं के बीच [[समरूपता वर्ग|समरूपता वर्गों]] के भागफल समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, [[ज्यामिति]] में, दो ज्यामितीय आकृतियों को [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] कहा जाता है, जब एक को दूसरे के साथ मेल खाने के लिए ले जाया जा सकता है, और समानता/सर्वांगसमता संबंध आकृतियों के बीच समरूपता का समरूपता वर्ग है। समूह के समरूपता के समान, गुणों और संरचना के साथ ऐसी गणितीय वस्तुओं के बीच समरूपता और समानता/अनुरूपता के बीच का अंतर श्रेणी सिद्धांत के विकास के साथ-साथ होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत और [[असमान नींव]] के लिए एक प्रेरणा थी।
 == तार्किक परिभाषाएँ ==
-{{See also|First-order logic#Equality and its axioms|Identity of indiscernibles}}
+{{See also|प्रथम-क्रम तर्क समानता और इसके सिद्धांत
+|अविवेकियों की पहचान
+}}
 [[लाइबनिट्स]] ने समानता की धारणा को इस प्रकार बताया:
-: किसी भी x और y को देखते हुए, x = y यदि और केवल यदि, कोई [[विधेय (गणित)]] P, P(x) यदि और केवल यदि P(y) दिया गया हो।
+: किसी भी x और y को देखते हुए, x = y यदि केवल , कोई [[विधेय (गणित)]] P, P(x) और P(y) दिया गया हो।
 == सेट सिद्धांत में समानता ==
-{{Main|Axiom of extensionality}}
+{{Main|विस्तार का स्वयंसिद्ध
-सेट सिद्धांत में सेट की समानता को दो अलग-अलग तरीकों से अभिगृहीत किया जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि क्या स्वयंसिद्ध पहले-क्रम की भाषा पर समानता के साथ या बिना आधारित हैं।
+}}
+समूह सिद्धांत में समूह की समानता को दो भिन्न -भिन्न उपायों से अभिगृहीत किया जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि क्या स्वयंसिद्ध पहले-क्रम की भाषा पर समानता के साथ या बिना आधारित हैं।
-=== समानता === के साथ प्रथम-क्रम तर्क के आधार पर समानता सेट करें समानता के साथ पहले क्रम के तर्क में, विस्तार का स्वयंसिद्ध बताता है कि दो सेट जिनमें समान तत्व होते हैं, वही सेट होते हैं।<ref>{{harvnb|Kleene|2002|page=189}}. {{harvnb|Lévy|2002|page=13}}. {{harvnb|Shoenfield|2001|page=239}}.</ref>
+समानता के साथ प्रथम-क्रम तर्क के आधार पर समानता समूह करें समानता के साथ पहले क्रम के तर्क में, विस्तार का स्वयंसिद्ध बताता है कि दो समूह जिनमें समान तत्व होते हैं, वही समूह होते हैं।<ref>{{harvnb|Kleene|2002|page=189}}. {{harvnb|Lévy|2002|page=13}}. {{harvnb|Shoenfield|2001|page=239}}.</ref>
 * तर्क सिद्धांत: x = y ⇒ ∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)
 * तर्क सिद्धांत: x = y ⇒ ∀z, (x ∈ z ⇔ y ∈ z)
-* सिद्धांत सिद्धांत सेट करें: (∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)) ⇒ x = y
+* सिद्धांत सिद्धांत समूह करें: (∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)) ⇒ x = y
-पहले क्रम के तर्क में आधे काम को सम्मिलित करना केवल सुविधा का विषय माना जा सकता है, जैसा कि लेवी ने नोट किया है।
+पहले क्रम के तर्क में आधे काम को सम्मिलित करना केवल सुविधा का विषय माना जा सकता है, जैसा कि लेवी ने टिप्पणी की है।
 : हम प्रथम-क्रम विधेय कलन को समानता के साथ क्यों लेते हैं इसका कारण सुविधा का विषय है; इसके द्वारा हम समानता को परिभाषित करने और उसके सभी गुणों को सिद्ध करने के श्रम को बचाते हैं; यह बोझ अब तर्क द्वारा ग्रहण किया जाता है।<ref>{{harvnb|Lévy|2002|page=4}}.</ref>
-=== समानता के बिना प्रथम-क्रम तर्क के आधार पर समानता सेट करें ===
+=== समानता के बिना प्रथम-क्रम तर्क के आधार पर समानता समूह करें ===
-समानता के बिना पहले क्रम के तर्क में, दो सेटों को बराबर परिभाषित किया जाता है यदि उनमें समान तत्व होते हैं। तब विस्तार की अभिधारणा बताती है कि दो समान समुच्चय एक ही समुच्चय में समाहित हैं।<ref>{{harvnb|Mendelson|1964|pages=159–161}}. {{harvnb|Rosser|2008|pages=211–213}}</ref>
+समानता के बिना पहले क्रम के तर्क में, दो समूहों को बराबर परिभाषित किया जाता है यदि उनमें समान तत्व होते हैं। तब विस्तार की अभिधारणा बताती है कि दो समान समुच्चय एक ही समुच्चय में समाहित हैं।<ref>{{harvnb|Mendelson|1964|pages=159–161}}. {{harvnb|Rosser|2008|pages=211–213}}</ref>
-* सेट सिद्धांत परिभाषा: x = y का अर्थ है ∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)
+* समुच्चय सिद्धांत परिभाषा: x = y का अर्थ है ∀z, (z ∈ x ⇔ z ∈ y)
-* सेट थ्योरी एक्सिओम: x = y ⇒ ∀z, (x ∈ z ⇔ y ∈ z)
+* समुच्चय सिद्धांत स्वयंसिद्ध: x = y ⇒ ∀z, (x ∈ z ⇔ y ∈ z)
 == यह भी देखें ==
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 {{Refend}}
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-*ज्यामितीय आकार
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-*होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत
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 ==बाहरी संबंध==
 * {{springer|title=Equality axioms|id=p/e035910}}
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 {{Mathematical logic}}
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+{{DEFAULTSORT:Equality (Mathematics)}}
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+[[Category:Wikipedia fully protected templates|Cite web]]
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+[[Category:गणितीय तर्क|Equality (Mathematics)]]
+[[Category:तुल्यता (गणित)|Equality (Mathematics)]]
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+[[Category:प्राथमिक अंकगणित|Equality (Mathematics)]]

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Contents

व्युत्पत्ति

मूल गुण

विधेय के रूप में समानता

पहचान

समीकरण

अनुमानित समानता

तुल्यता, सर्वांगसमता और समरूपता से संबंध

तार्किक परिभाषाएँ

सेट सिद्धांत में समानता

समानता के बिना प्रथम-क्रम तर्क के आधार पर समानता समूह करें

यह भी देखें

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मूल गुण

विधेय के रूप में समानता

पहचान

समीकरण

अनुमानित समानता

तुल्यता, सर्वांगसमता और समरूपता से संबंध

तार्किक परिभाषाएँ

सेट सिद्धांत में समानता

समानता के बिना प्रथम-क्रम तर्क के आधार पर समानता समूह करें

यह भी देखें

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