द्विरेखीय रूप

गणित में बिलिनियर फॉर्म द्विरेखीय नक्शा होता है V × V → K एक सदिश स्थल पर V (जिनके तत्वों को सदिश (गणित) कहा जाता है) एक क्षेत्र (गणित) के ऊपर (जिनके तत्वों को अदिश (गणित) कहा जाता है)। दूसरे शब्दों में, एक द्विरेखीय रूप एक फलन है B : V × V → K वह प्रत्येक तर्क में अलग-अलग रैखिक नक्शा है:

• B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w)     और     B(λu, v) = λB(u, v)
• B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w)     और     B(u, λv) = λB(u, v)

डॉट उत्पाद चालू $\mathbb {R} ^{n}$ द्विरेखीय रूप का एक उदाहरण है। बिलिनियर फॉर्म की परिभाषा को एक रिंग (गणित) पर मॉड्यूल (गणित) को शामिल करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है, जिसमें मॉड्यूल समरूपता द्वारा प्रतिस्थापित रैखिक मानचित्र होते हैं।

कब K जटिल संख्या ओं का क्षेत्र है C, किसी को अक्सर sesquilinear रूपों में अधिक रुचि होती है, जो बिलिनियर रूपों के समान होते हैं लेकिन एक तर्क में संयुग्मित रैखिक होते हैं।

समन्वय प्रतिनिधित्व

होने देना V सेम n-आयाम (वेक्टर स्पेस) आधार के साथ वेक्टर स्पेस (रैखिक बीजगणित) {e₁, …, e_n}. n × n }} मैट्रिक्स ए, द्वारा परिभाषित A_ij = B(e_i, e_j) के आधार पर द्विरेखीय रूप का आव्यूह कहलाता है {e₁, …, e_n}.

अगर n × 1 आव्यूह x एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है x इस आधार के संबंध में, और इसी तरह, y दूसरे वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है y, तब:

$$B(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {x} ^{\textsf {T}}A\mathbf {y} =\sum _{i,j=1}^{n}x_{i}A_{ij}y_{j}.$$

एक बिलिनियर फॉर्म में अलग-अलग आधारों पर अलग-अलग मैट्रिसेस होते हैं। हालाँकि, विभिन्न आधारों पर एक द्विरेखीय रूप के आव्यूह सभी सर्वांगसम आव्यूह होते हैं। अधिक सटीक, अगर {f₁, …, f_n} का अन्य आधार है V, तब

$$\mathbf {f} _{j}=\sum _{i=1}^{n}S_{i,j}\mathbf {e} _{i},$$

जहां $S_{i,j}$ एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स बनाएँ S. फिर, नए आधार पर बिलिनियर फॉर्म का मैट्रिक्स है S^TAS.

दोहरे स्थान के लिए मानचित्र

प्रत्येक द्विरेखीय रूप B पर V से रैखिक मानचित्रों की एक जोड़ी को परिभाषित करता है V इसके दोहरे स्थान के लिए V^∗. परिभाषित करना B₁, B₂: V → V^∗ द्वारा

B₁(v)(w) = B(v, w)

B₂(v)(w) = B(w, v)

इसे अक्सर के रूप में दर्शाया जाता है

B₁(v) = B(v, ⋅)

B₂(v) = B(⋅, v)

जहां बिंदु ( ⋅ ) उस खांचे को इंगित करता है जिसमें परिणामी रैखिक प्रकार्यात्मक के लिए तर्क को रखा जाना है (Currying देखें)।

एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के लिए V, यदि कोई हो B₁ या B₂ एक समरूपता है, तो दोनों हैं, और द्विरेखीय रूप B पतित रूप कहा जाता है। अधिक ठोस रूप से, एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के लिए, गैर-पतित का अर्थ है कि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व जोड़े गैर-तुच्छ रूप से किसी अन्य तत्व के साथ:

$B(x,y)=0$ सबके लिए $y\in V$ इसका आशय है x = 0 और

$B(x,y)=0$ सबके लिए $x\in V$ इसका आशय है y = 0.

क्रमविनिमेय वलय पर एक मॉड्यूल के लिए संबंधित धारणा यह है कि एक द्विरेखीय रूप हैunimodularयदि V → V^∗ एक समरूपता है। एक कम्यूटेटिव रिंग पर एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल को देखते हुए, जोड़ी इंजेक्टिव हो सकती है (इसलिए उपरोक्त अर्थों में नॉनडिजेनरेट) लेकिन यूनिमॉड्यूलर नहीं। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर, युग्मन B(x, y) = 2xy से प्रेरित मानचित्र के रूप में गैर-अपसंस्कृति है, लेकिन एक-मॉड्यूलर नहीं है V = Z को V^∗ = Z 2 से गुणा है।

यदि V परिमित-आयामी है तो कोई पहचान सकता है V इसके दोहरे दोहरे के साथ V^∗∗. तभी कोई दिखा सकता है B₂ रैखिक मानचित्र के एक रेखीय मानचित्र का स्थानान्तरण है B₁ (यदि V तब अनंत-आयामी है B₂ का स्थानान्तरण है B₁ की छवि तक ही सीमित है V में V^∗∗). दिया गया B कोई के स्थानान्तरण को परिभाषित कर सकता है B द्वारा दिया गया द्विरेखीय रूप होना

^tB(v, w) = B(w, v).

प्रपत्र के बाएँ मूलांक और दाएँ मूलांक B के कर्नेल (बीजगणित) हैं B₁ और B₂ क्रमश; वे बाईं ओर और दाईं ओर पूरे स्थान के लिए वैक्टर ऑर्थोगोनल हैं। यदि V परिमित-विमीय है तो कोटि (रैखिक बीजगणित)। B₁ के पद के बराबर है B₂. यदि यह संख्या के बराबर है dim(V) तब B₁ और B₂ से रैखिक समरूपता हैं V को V^∗. इस मामले में B अविकृत है। रैंक-शून्यता प्रमेय के अनुसार, यह इस शर्त के बराबर है कि बाएँ और समान रूप से दाएँ रेडिकल तुच्छ हों। परिमित-आयामी रिक्त स्थान के लिए, इसे अक्सर गैर-अपघटन की परिभाषा के रूप में लिया जाता है:

Definition: B is nondegenerate if B(v, w) = 0 for all w implies v = 0.

किसी भी रेखीय मानचित्र को देखते हुए A : V → V^∗ वी के माध्यम से एक बिलिनियर फॉर्म बी प्राप्त कर सकते हैं

B(v, w) = A(v)(w).

यह फॉर्म गैर-डीजेनरेट होगा अगर और केवल अगर A एक समरूपता है।

यदि V परिमित-आयामी है, तो कुछ आधार (रैखिक बीजगणित) के सापेक्ष V, एक द्विरेखीय रूप पतित होता है यदि और केवल यदि संबंधित मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है। इसी तरह, एक गैर-डीजेनरेट फॉर्म वह है जिसके लिए संबंधित मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है (मैट्रिक्स गैर-एकवचन मैट्रिक्स है। गैर-एकवचन)। ये कथन चुने हुए आधार से स्वतंत्र हैं। एक कम्यूटेटिव रिंग पर एक मॉड्यूल के लिए, एक यूनिमॉड्यूलर फॉर्म वह है जिसके लिए एसोसिएट मैट्रिक्स का निर्धारक एक यूनिट (रिंग थ्योरी) है (उदाहरण के लिए 1), इसलिए शब्द; ध्यान दें कि एक रूप जिसका मैट्रिक्स निर्धारक गैर-शून्य है, लेकिन एक इकाई नहीं है, उदाहरण के लिए गैर-अपघटित होगा लेकिन एकरूप नहीं होगा B(x, y) = 2xy पूर्णांकों पर।

सममित, तिरछा-सममित और वैकल्पिक रूप

हम एक द्विरेखीय रूप को परिभाषित करते हैं

• सममित द्विरेखीय रूप यदि B(v, w) = B(w, v) सबके लिए v, w में V;
• वैकल्पिक रूप अगर B(v, v) = 0 सबके लिए v में V;
• skew-symmetricयाantisymmetricयदि B(v, w) = −B(w, v) सबके लिए v, w में V;

  प्रस्ताव

  प्रत्येक वैकल्पिक रूप तिरछा-सममित है।

  प्रमाण

  इसे फैलाकर देखा जा सकता है B(v + w, v + w).

यदि की विशेषता (बीजगणित) । K 2 नहीं है तो विलोम भी सत्य है: प्रत्येक तिरछा-सममित रूप वैकल्पिक है। जो कुछ भी हो, char(K) = 2 तब एक तिरछा-सममित रूप एक सममित रूप के समान होता है और वहाँ सममित/तिरछा-सममित रूप मौजूद होते हैं जो वैकल्पिक नहीं होते हैं।

एक द्विरेखीय रूप सममित (क्रमशः तिरछा-सममित) है यदि और केवल यदि इसका समन्वय मैट्रिक्स (किसी भी आधार के सापेक्ष) सममित मैट्रिक्स (क्रमशः तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित) है। एक द्विरेखीय रूप प्रत्यावर्ती है यदि और केवल यदि इसका निर्देशांक मैट्रिक्स तिरछा-सममित है और विकर्ण प्रविष्टियाँ सभी शून्य हैं (जो तिरछा-समरूपता से अनुसरण करता है जब char(K) ≠ 2).

एक द्विरेखीय रूप सममित है अगर और केवल अगर नक्शे B₁, B₂: V → V^∗ समान हैं, और विषम-सममित हैं यदि और केवल यदि वे एक दूसरे के ऋणात्मक हैं। यदि char(K) ≠ 2 तो कोई एक द्विरेखीय रूप को एक सममित और एक तिरछा-सममित भाग में निम्नानुसार विघटित कर सकता है

$$B^{+}={\tfrac {1}{2}}(B+{}^{\text{t}}B)\qquad B^{-}={\tfrac {1}{2}}(B-{}^{\text{t}}B),$$

कहां ^tB का स्थानान्तरण है B (ऊपर परिभाषित)।

व्युत्पन्न द्विघात रूप

किसी भी द्विरेखीय रूप के लिए B : V × V → K, एक संबद्ध द्विघात रूप मौजूद है Q : V → K द्वारा परिभाषित Q : V → K : v ↦ B(v, v).

कब char(K) ≠ 2, द्विघात रूप Q बिलिनियर फॉर्म B के सममित भाग द्वारा निर्धारित किया जाता है और एंटीसिमेट्रिक भाग से स्वतंत्र होता है। इस मामले में द्विरेखीय रूप के सममित भाग और द्विघात रूप के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, और द्विघात रूप से जुड़े सममित द्विरेखीय रूप की बात करना समझ में आता है।

कब char(K) = 2 और dim V > 1, द्विघात रूपों और सममित द्विरेखीय रूपों के बीच यह पत्राचार टूट जाता है।

रिफ्लेक्सिविटी और ऑर्थोगोनलिटी

Definition: A bilinear form B : V × V → K is called reflexive if B(v, w) = 0 implies B(w, v) = 0 for all v, w in V.

Definition: Let B : V × V → K be a reflexive bilinear form. v, w in V are orthogonal with respect to B if B(v, w) = 0.

एक द्विरेखीय रूप B रिफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर यह सममित या वैकल्पिक है। रिफ्लेक्सिविटी के अभाव में हमें बाएँ और दाएँ ओर्थोगोनलिटी में अंतर करना होगा। एक रिफ्लेक्टिव स्पेस में बाएं और दाएं रेडिकल्स सहमत होते हैं और उन्हें कर्नेल या बिलिनियर फॉर्म का रेडिकल कहा जाता है: सभी वैक्टर के सबस्पेस हर दूसरे वेक्टर के साथ ऑर्थोगोनल। एक सदिश v, मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के साथ x, मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के साथ एक द्विरेखीय रूप के मूल में है A, अगर और केवल अगर Ax = 0 ⇔ x^TA = 0. रेडिकल हमेशा एक उप-समष्टि है V. यह छोटा है अगर और केवल अगर मैट्रिक्स A निरर्थक है, और इस प्रकार यदि और केवल यदि द्विरेखीय रूप अप्राप्य है।

मान लीजिए W एक उपक्षेत्र है। ऑर्थोगोनल पूरक को परिभाषित करें

$$W^{\perp }=\left\{\mathbf {v} \mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0{\text{ for all }}\mathbf {w} \in W\right\}.$$

परिमित-आयामी स्थान पर एक गैर-पतित रूप के लिए, map V/W → W^⊥ विशेषण है, और का आयाम W^⊥ है dim(V) − dim(W).

विभिन्न स्थान

अधिकांश सिद्धांत एक ही आधार क्षेत्र पर दो वेक्टर रिक्त स्थान से उस क्षेत्र में बिलिनियर मैपिंग के लिए उपलब्ध हैं

B : V × W → K.

यहां हमने अभी भी लीनियर मैपिंग को प्रेरित किया है V को W^∗, और यहां ये W को V^∗. ऐसा हो सकता है कि ये मानचित्रण समरूपता हों; परिमित आयामों को मानते हुए, यदि एक तुल्याकारिता है, तो दूसरी तुल्याकारिता होनी चाहिए। जब ऐसा होता है, तो B को 'परफेक्ट पेयरिंग' कहा जाता है।

परिमित आयामों में, यह गैर-डीजेनरेट होने वाली जोड़ी के बराबर है (रिक्त स्थान आवश्यक रूप से समान आयाम वाले हैं)। मॉड्यूल के लिए (वेक्टर रिक्त स्थान के बजाय), जिस तरह एक गैर-डीजेनेरेट फॉर्म एक यूनिमॉड्यूलर फॉर्म की तुलना में कमजोर है, एक नॉनडीजेनरेट पेयरिंग एक आदर्श पेयरिंग की तुलना में एक कमजोर धारणा है। उदाहरण के लिए, एक जोड़ी एक आदर्श जोड़ी के बिना गैर-डीजेनरेट हो सकती है Z × Z → Z के जरिए (x, y) ↦ 2xy अविकृत है, लेकिन मानचित्र पर 2 से गुणन को प्रेरित करता है Z → Z^∗.

बिलिनियर रूपों के कवरेज में शब्दावली भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, एफ. रीज़ हार्वे आठ प्रकार के आंतरिक उत्पाद पर चर्चा करता है। उन्हें परिभाषित करने के लिए वह विकर्ण आव्यूह A का उपयोग करता है_ijगैर-शून्य तत्वों के लिए केवल +1 या -1 होना। कुछ आंतरिक उत्पाद सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर स्थान हैं और कुछ सेस्क्विलिनियर फॉर्म या सेस्क्विलिनियर फॉर्म # हर्मिटियन फॉर्म हैं। एक सामान्य क्षेत्र के बजाय K, वास्तविक संख्या वाले उदाहरण R, जटिल आंकड़े C, और चतुष्कोण H बतलाये गये हैं। द्विरेखीय रूप

$$\sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}$$

वास्तविक सममित मामला कहा जाता है और लेबल किया जाता है R(p, q), कहां p + q = n. फिर वह पारंपरिक शब्दावली के संबंध को स्पष्ट करता है:

Some of the real symmetric cases are very important. The positive definite case R(n, 0) is called Euclidean space, while the case of a single minus, R(n−1, 1) is called Lorentzian space. If n = 4, then Lorentzian space is also called Minkowski space or Minkowski spacetime. The special case R(p, p) will be referred to as the split-case.

टेंसर उत्पाद ों से संबंध

टेंसर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति के अनुसार, बिलिनियर रूपों के बीच एक विहित पत्राचार होता है V और रैखिक नक्शे V ⊗ V → K. यदि B पर द्विरेखीय रूप है V इसी रेखीय मानचित्र द्वारा दिया गया है

v ⊗ w ↦ B(v, w)

दूसरी दिशा में यदि F : V ⊗ V → K एक रेखीय मानचित्र है, बिलिनियर मानचित्र के साथ F की रचना करके संबंधित बिलिनियर रूप दिया गया है V × V → V ⊗ V जो भेजता है (v, w) को v⊗w.

सभी रैखिक मानचित्रों का सेट V ⊗ V → K का दोहरा स्थान है V ⊗ V, इसलिए द्विरेखीय रूपों को के तत्वों के रूप में माना जा सकता है (V ⊗ V)^∗ जो (जब V परिमित-आयामी है) कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक है V^∗ ⊗ V^∗.

इसी तरह, सममित द्विरेखीय रूपों को के तत्वों के रूप में सोचा जा सकता है Sym²(V^∗) (दूसरी सममित शक्ति V^∗), और बारी-बारी से बिलिनियर रूपों के तत्वों के रूप में Λ²V^∗ (की दूसरी बाहरी शक्ति V^∗).

मानक वेक्टर रिक्त स्थान पर

परिभाषा: एक मानक सदिश स्थान पर एक द्विरेखीय रूप (V, ‖⋅‖) परिबद्ध है, यदि कोई स्थिरांक है C ऐसा कि सभी के लिए u, v ∈ V,

$$B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.$$

परिभाषा: एक मानक सदिश स्थान पर एक द्विरेखीय रूप (V, ‖⋅‖) अण्डाकार है, या जबरदस्ती कार्य # जबरदस्ती संचालक और रूप, यदि कोई स्थिरांक है c > 0 ऐसा कि सभी के लिए u ∈ V,

$$B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}.$$

मॉड्यूल के लिए सामान्यीकरण

एक अंगूठी दी (गणित) R और एक सही मॉड्यूल (गणित) |R-मापांक M और इसका दोहरा मॉड्यूल M^∗, एक मानचित्रण B : M^∗ × M → R एक द्विरेखीय रूप कहा जाता है यदि

B(u + v, x) = B(u, x) + B(v, x)

B(u, x + y) = B(u, x) + B(u, y)

B(αu, xβ) = αB(u, x)β

सबके लिए u, v ∈ M^∗, सब x, y ∈ M और सभी α, β ∈ R.

मानचित्रण ⟨⋅,⋅⟩ : M^∗ × M → R : (u, x) ↦ u(x) प्राकृतिक युग्मन के रूप में जाना जाता है, जिसे कैनोनिकल बिलिनियर फॉर्म ऑन भी कहा जाता है M^∗ × M. एक रेखीय नक्शा S : M^∗ → M^∗ : u ↦ S(u) द्विरेखीय रूप को प्रेरित करता है B : M^∗ × M → R : (u, x) ↦ ⟨S(u), x⟩, और एक रेखीय नक्शा T : M → M : x ↦ T(x) द्विरेखीय रूप को प्रेरित करता है B : M^∗ × M → R : (u, x) ↦ ⟨u, T(x)⟩.

इसके विपरीत, एक द्विरेखीय रूप B : M^∗ × M → R आर-रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करता है S : M^∗ → M^∗ : u ↦ (x ↦ B(u, x)) और T′ : M → M^∗∗ : x ↦ (u ↦ B(u, x)). यहां, M^∗∗ के दोहरे दोहरे को दर्शाता है M.

यह भी देखें

• Bilinear map
• Category:Bilinear maps
• Inner product space
• Linear form
• Multilinear form
• Polar space
• Quadratic form
• Sesquilinear form
• System of bilinear equations

संदर्भ

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बाहरी कड़ियाँ

• "Bilinear form", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Bilinear form". PlanetMath.

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