पुलबैक (अवकल ज्यामिति): Difference between revisions

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{{about|विभेदक ज्यामिति में पुलबैक ऑपरेशन, विशेष रूप से, पुलबैक [[विभेदक रूप]] और [[टेन्सर (आंतरिक परिभाषा)|टेंसर फ़ील्ड]] पर [[चिकनी विविध]]|इस शब्द के अन्य उपयोग [[गणित]]|pullback}}
<math>\phi:M\to N</math> स्मूथ विविध के मध्य स्मूथ मानचित्र <math>M</math> और <math>N</math> बनें I पुनः [[One form|1-रूप]] के समिष्ट से संबद्ध [[रेखीय मानचित्र]] है I <math>N</math> ([[कोटैंजेंट बंडल]] के [[अनुभाग (फाइबर बंडल)]] का [[रैखिक स्थान|रैखिक समिष्ट]]) 1-रूप के समिष्ट पर <math>M</math> है, इस रेखीय मानचित्र को '''पुलबैक''' <math>\phi</math> (द्वारा) के रूप में जाना जाता है ), और इसे प्रायः <math>\phi^*</math> द्वारा प्रदर्शित किया जाता है I सामान्यतः, सदिश टेंसर क्षेत्र का कोई भी सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण विशेष रूप से कोई भी अवकल रूप पर <math>N</math> पुनः प्राप्त किया जा सकता है I <math>M</math> का उपयोग <math>\phi</math> करता है I


होने देना <math>\phi:M\to N</math> चिकनी मैनिफोल्ड्स के बीच [[चिकना नक्शा]] बनें <math>M</math> और <math>N</math>. फिर [[One form]]|1-forms के स्थान से संबद्ध [[रेखीय मानचित्र]] है <math>N</math> ([[कोटैंजेंट बंडल]] के [[अनुभाग (फाइबर बंडल)]] का [[रैखिक स्थान]]) 1-फॉर्म के स्थान पर <math>M</math>. इस रेखीय मानचित्र को पुलबैक (द्वारा) के रूप में जाना जाता है <math>\phi</math>), और इसे अक्सर द्वारा दर्शाया जाता है <math>\phi^*</math>. अधिक सामान्यतः, सदिश टेंसर क्षेत्र का कोई भी सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण - विशेष रूप से कोई भी [[विभेदक रूप]] - पर <math>N</math> वापस खींचा जा सकता है <math>M</math> का उपयोग करते हुए <math>\phi</math>.
जब चित्र <math>\phi</math> [[भिन्नता]] है, तो पुलबैक, पुशफॉरवर्ड (भिन्नता) के साथ, किसी भी टेंसर समिष्ट को परिवर्तित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है I <math>N</math> से <math>M</math> या इसके विपरीत विशेषकर, यदि <math>\phi</math> के संवृत उपसमुच्चय के मध्य भिन्नता है, <math>\R^n</math> और <math>\R^n</math> निर्देशांक को परिवर्तन के रूप में देखा जाता है, (संभवतः विविध पर विभिन्न चार्ट के मध्य <math>M</math>), पुनः पुलबैक और प्रारंभिक होने के विषय में अधिक पारंपरिक (समन्वय पर निर्भर) दृष्टिकोण में उपयोग किए जाने वाले सदिश टेंसर के सहप्रसरण और विरोधाभास के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं।


जब नक्शा <math>\phi</math> [[भिन्नता]] है, तो पुलबैक, पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) के साथ, किसी भी टेंसर फ़ील्ड को बदलने के लिए उपयोग किया जा सकता है <math>N</math> को <math>M</math> या विपरीत। विशेषकर, यदि <math>\phi</math> के खुले उपसमुच्चय के बीच भिन्नता है <math>\R^n</math> और <math>\R^n</math>, निर्देशांक के परिवर्तन के रूप में देखा जाता है (संभवतः मैनिफोल्ड पर विभिन्न मैनिफोल्ड#चार्ट के बीच <math>M</math>), फिर पुलबैक और पुशफॉरवर्ड विषय के अधिक पारंपरिक (समन्वय पर निर्भर) दृष्टिकोण में उपयोग किए जाने वाले वेक्टर टेंसर के सहप्रसरण और विरोधाभास के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं।
पुलबैक के पूर्व का विचार अनिवार्य रूप से फलन के दूसरे के साथ पुलबैक पूर्वरचना की धारणा है। चूँकि, इस विचार को कई भिन्न-भिन्न संदर्भों में जोड़कर, अधिक विस्तृत पुलबैक परिचालन का निर्माण किया जा सकता है। यह लेख सबसे सरल परिचालनों से प्रारम्भ होता है, पुनः अधिक परिष्कृत परिचालन निर्मित करने के लिए उनका उपयोग करता है। सामान्यतः, पुलबैक क्रियाविधि (पूर्वरचना का उपयोग करके) अवकल ज्यामिति में कई निर्माणों को विरोधाभासी प्रचालक प्रतिनिधि में परिवर्तित कर देता है।


पुलबैक के पीछे का विचार अनिवार्य रूप से फ़ंक्शन के दूसरे के साथ पुलबैक#प्रीकंपोज़िशन की धारणा है। हालाँकि, इस विचार को कई अलग-अलग संदर्भों में जोड़कर, काफी विस्तृत पुलबैक ऑपरेशन का निर्माण किया जा सकता है। यह लेख सबसे सरल ऑपरेशनों से शुरू होता है, फिर अधिक परिष्कृत ऑपरेशन बनाने के लिए उनका उपयोग करता है। मोटे तौर पर कहें तो, पुलबैक मैकेनिज्म (प्रीकंपोज़िशन का उपयोग करके) [[ विभेदक ज्यामिति ]] में कई निर्माणों को [[कंट्रावेरिएंट [[ऑपरेटर]]]] फ़ैक्टर में बदल देता है।
==सुचारू फलनों और सुचारु मानचित्रों का पुलबैक==


==सुचारू कार्यों और सुचारु मानचित्रों का पुलबैक==
<math>\phi:M\to N</math> (चिकने) विविध के मध्य स्मूथ चित्र <math>M</math> और <math>N</math> बनें, मान लीजिए <math>f:N\to\R</math> पर <math>N</math> सुचारू फलन है I पुनः पुलबैक <math>f</math> द्वारा <math>\phi</math> सुचारू फलन है, <math>\phi^*f</math> पर <math>M</math> द्वारा परिभाषित <math>(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))</math> I इसी प्रकार, यदि <math>f</math> संवृत समुच्चय पर सुचारू फलन  <math>U</math> में <math>N</math> है, तो वही सूत्र संवृत समुच्चय पर सुचारू फलन को परिभाषित करता है I <math>f</math> में <math>\phi^{-1}(U)</math> (शीफ (गणित) की भाषा में, पुलबैक सुचारू फलनों के शीफ से रूपवाद को परिभाषित करता है I <math>N</math> द्वारा प्रत्यक्ष छवि शीफ के लिए <math>\phi</math> सुचारू फलनों के समूह पर <math>M</math> है I


होने देना <math>\phi:M\to N</math> (चिकने) मैनिफोल्ड्स के बीच चिकना नक्शा बनें <math>M</math> और <math>N</math>, और मान लीजिए <math>f:N\to\R</math> पर सुचारू कार्य है <math>N</math>. फिर का पुलबैक <math>f</math> द्वारा <math>\phi</math> सुचारू कार्य है <math>\phi^*f</math> पर <math>M</math> द्वारा परिभाषित <math>(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))</math>. इसी प्रकार, यदि <math>f</math> खुले सेट पर सुचारू कार्य है <math>U</math> में <math>N</math>, तो वही सूत्र खुले सेट पर सुचारू कार्य को परिभाषित करता है <math>f</math> में <math>\phi^{-1}(U)</math>. (शीफ (गणित) की भाषा में, पुलबैक सुचारू कार्यों के शीफ से रूपवाद को परिभाषित करता है <math>N</math> द्वारा प्रत्यक्ष छवि शीफ के लिए <math>\phi</math> सुचारू कार्यों के समूह पर <math>M</math>.)
अधिक सामान्यतः, यदि <math>f:N\to A</math> से सहज मानचित्र है, <math>N</math> किसी अन्य विविधता के लिए <math>A</math>, तब <math>(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))</math> से सहज मानचित्र <math>M</math> से <math>A</math> है I
 
अधिक सामान्यतः, यदि <math>f:N\to A</math> से सहज नक्शा है <math>N</math> किसी अन्य विविधता के लिए <math>A</math>, तब <math>(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))</math> से सहज नक्शा है <math>M</math> को <math>A</math>.


==बंडलों और अनुभागों का पुलबैक==
==बंडलों और अनुभागों का पुलबैक==


अगर <math>E</math> [[वेक्टर बंडल]] (या वास्तव में कोई [[फाइबर बंडल]]) है <math>N</math> और <math>\phi:M\to N</math> सहज मानचित्र है, फिर [[पुलबैक बंडल]] <math>\phi^*E</math> वेक्टर बंडल (या फाइबर बंडल) है <math>M</math> जिसका फ़ाइबर (गणित) ख़त्म हो गया <math>x</math> में <math>M</math> द्वारा दिया गया है <math>(\phi^*E)_x=E_{\phi(x)}</math>.
यदि <math>E</math> [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] (या वास्तव में कोई [[फाइबर बंडल]]) है, <math>N</math> और <math>\phi:M\to N</math> सहज मानचित्र है, तो [[पुलबैक बंडल]] <math>\phi^*E</math> सदिश बंडल (या फाइबर बंडल) है I <math>M</math> जिसका फ़ाइबर (गणित) समाप्त हो गया, <math>x</math> में <math>M</math> द्वारा दिया गया है <math>(\phi^*E)_x=E_{\phi(x)}</math> I


इस स्थिति में, प्रीकंपोज़िशन अनुभागों पर पुलबैक ऑपरेशन को परिभाषित करता है <math>E</math>: अगर <math>s</math> का खंड (फाइबर बंडल) है <math>E</math> ऊपर <math>N</math>, फिर पुलबैक बंडल <math>\phi^*s=s\circ\phi</math> का भाग है <math>\phi^*E</math> ऊपर <math>M</math>.
इस स्थिति में, पूर्वरचना अनुभागों पर पुलबैक परिचानल को परिभाषित करता है, <math>E</math>: यदि <math>s</math> का खंड (फाइबर बंडल) है, <math>E</math> के ऊपर <math>N</math>, लबैक बंडल <math>\phi^*s=s\circ\phi</math> का भाग है <math>\phi^*E</math> के ऊपर <math>M</math> है I


==बहुरेखीय रूपों का पुलबैक==
==बहुरेखीय रूपों का पुलबैक==


होने देना {{nowrap|Φ: ''V'' → ''W''}} सदिश समष्टि V और W के बीच रेखीय मानचित्र बनें (अर्थात, Φ का तत्व है {{nowrap|''L''(''V'', ''W'')}}, भी दर्शाया गया है {{nowrap|Hom(''V'', ''W'')}}), और जाने
मान लीजिए {{nowrap|Φ: ''V'' → ''W''}} सदिश समिष्टों V और W के मध्य रेखीय मानचित्र है (अर्थात, Φ {{nowrap|''L''(''V'', ''W'')}} का तत्व है, जिसे {{nowrap|Hom(''V'', ''W'')}} भी कहा जाता है), और मान लीजिए


:<math>F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbf{R}</math>
:<math>F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbf{R}</math>
W पर बहुरेखीय रूप बनें (जिसे [[ टेन्सर ]] के रूप में भी जाना जाता है - टेंसर फ़ील्ड के साथ भ्रमित न हों - रैंक का) {{nowrap|(0, ''s'')}}, जहां s उत्पाद में W के कारकों की संख्या है)। फिर पुलबैक Φ<sup>∗</sup>Φ द्वारा F का F, V पर बहुरेखीय रूप है जिसे Φ के साथ F को प्रीकंपोज करके परिभाषित किया गया है। अधिक सटीक रूप से, दिए गए वैक्टर वी<sub>1</sub>, में<sub>2</sub>, ..., में<sub>''s''</sub> वी में, Φ<sup>∗</sup>F को सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है
W पर बहुरेखीय रूप बनें (जिसे [[ टेन्सर |टेन्सर]] के रूप में भी जाना जाता है, टेंसर समिष्ट के साथ भ्रमित न हों रैंक का) {{nowrap|(0, ''s'')}}, जहां s उत्पाद में W के कारकों की संख्या है)। पुलबैक Φ<sup>∗</sup>Φ द्वारा F का F, V पर बहुरेखीय रूप है जिसे Φ के साथ F को पूर्वरचना करके परिभाषित किया गया है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, दिए गए सदिश ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v<sub>s</sub>'' में ''V'' Φ<sup>∗</sup>F को सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:-


:<math>(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),</math>
:<math>(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),</math>
जो V पर बहुरेखीय रूप है। इसलिए Φ<sup>∗</sup> W पर बहुरेखीय रूपों से लेकर V पर बहुरेखीय रूपों तक (रैखिक) ऑपरेटर है। विशेष मामले के रूप में, ध्यान दें कि यदि F, W पर रैखिक रूप (या (0,1)-टेंसर) है, तो F, W का तत्व है<sup>∗</sup>, W का दोहरा स्थान, फिर Φ<sup>∗</sup>F, V का तत्व है<sup>∗</sup>, और इसलिए Φ द्वारा पुलबैक दोहरे स्थानों के बीच रैखिक मानचित्र को परिभाषित करता है जो रैखिक मानचित्र Φ के विपरीत दिशा में कार्य करता है:
जो V पर बहुरेखीय रूप है। इसलिए Φ<sup>∗</sup> W पर बहुरेखीय रूपों से लेकर V पर बहुरेखीय रूपों तक (रैखिक) संचालन है। विशेष विषय के रूप में, ध्यान दें कि यदि F, W पर रैखिक रूप (या (0,1)-टेंसर) है, तो F, W का तत्व है, W का दोहरा समिष्ट, फिर Φ<sup>∗</sup>F, V का तत्व है, और इसलिए Φ द्वारा पुलबैक दोहरे समिष्टों के मध्य रैखिक मानचित्र को परिभाषित करता है, जो रैखिक मानचित्र Φ के विपरीत दिशा में फलन करता है:-


:<math>\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.</math>
:<math>\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.</math>
टेंसोरियल दृष्टिकोण से, मनमाने ढंग से रैंक के टेंसरों तक पुलबैक की धारणा को विस्तारित करने का प्रयास करना स्वाभाविक है, यानी, डब्ल्यू की आर प्रतियों के [[टेंसर उत्पाद]] में मान लेने वाले डब्ल्यू पर बहुरेखीय मानचित्रों तक, यानी, {{nowrap|''W'' ⊗ ''W'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''W''}}. हालाँकि, ऐसे टेंसर उत्पाद के तत्व स्वाभाविक रूप से पीछे नहीं हटते हैं: इसके बजाय पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन होता है {{nowrap|''V'' ⊗ ''V'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''V''}} को {{nowrap|''W'' ⊗ ''W'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''W''}} द्वारा दिए गए
टेंसोरियल दृष्टिकोण से, स्वेच्छानुसार रैंक के टेंसरों तक पुलबैक की धारणा को विस्तारित करने का प्रयास करना स्वाभाविक है, जिससे डब्ल्यू की आर प्रतियों के [[टेंसर उत्पाद]] में मान लेने वाले डब्ल्यू पर बहुरेखीय मानचित्रों तक, {{nowrap|''W'' ⊗ ''W'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''W''}}. चूँकि, ऐसे टेंसर उत्पाद के तत्व स्वाभाविक रूप से पीछे नहीं हटते हैं: इसके अतिरिक्त अग्रसर होना ऑपरेशन होता है, {{nowrap|''V'' ⊗ ''V'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''V''}} को {{nowrap|''W'' ⊗ ''W'' ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ ''W''}} द्वारा दिए गए है:-


:<math>\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).</math>
:<math>\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).</math>
फिर भी, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि Φ उलटा है, तो पुलबैक को व्युत्क्रम फ़ंक्शन Φ द्वारा पुशफॉरवर्ड का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है<sup>−1</sup>. इन दोनों निर्माणों के संयोजन से किसी भी रैंक के टेंसर के लिए उलटा रैखिक मानचित्र के साथ पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन प्राप्त होता है {{nowrap|(''r'', ''s'')}}.
इससे यह निष्कर्ष प्राप्त होता है कि यदि Φ विपरीत है, तो पुलबैक को व्युत्क्रम फ़ंक्शन Φ द्वारा पुशफॉरवर्ड का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, इन दोनों निर्माणों के संयोजन से किसी भी रैंक के टेंसर के लिए विपरीत रैखिक मानचित्र के साथ पुशफॉरवर्ड परिचालन {{nowrap|(''r'', ''s'')}} प्राप्त होता है I


==कोटैंजेन्ट सदिशों और 1-रूपों का पुलबैक==
==कोटिस्पर्श रेखा सदिशों और 1-रूपों का पुलबैक==


होने देना <math>\phi:M\to N</math> चिकनी मैनिफोल्ड्स के बीच चिकना नक्शा बनें। फिर का पुशफॉरवर्ड (अंतर)<math>\phi</math>, लिखा हुआ <math>\phi_*</math>, <math>d\phi</math>, या <math>D\phi</math>, [[ वेक्टर बंडल आकारिकी ]] (ओवर) है <math>M</math>) [[स्पर्शरेखा बंडल]] से <math>TM</math> का <math>M</math> पुलबैक बंडल के लिए <math>\phi^*TN</math>. का दोहरा स्थान <math>\phi_*</math> इसलिए यह बंडल मानचित्र है <math>\phi^*T^*N</math> को <math>T^*M</math>, का कोटैंजेंट बंडल <math>M</math>.
<math>\phi:M\to N</math> स्मूथ विविध के मध्य स्मूथ चित्र बनें। पुशफॉरवर्ड (अंतर) <math>\phi</math>, लिखा हुआ, <math>\phi_*</math>, <math>d\phi</math>, या <math>D\phi</math>, [[ वेक्टर बंडल आकारिकी |सदिश बंडल आकारिकी]] <math>M</math> है) I [[स्पर्शरेखा बंडल]] से <math>TM</math> का <math>M</math> पुलबैक बंडल के लिए <math>\phi^*TN</math> का दोहरा समिष्ट <math>\phi_*</math> इसलिए यह बंडल मानचित्र है, <math>\phi^*T^*N</math> को <math>T^*M</math>, का कोटैंजेंट बंडल <math>M</math> I


अब मान लीजिये <math>\alpha</math> का खंड (फाइबर बंडल) है <math>T^*N</math> (विभेदक रूप|1-रूप पर <math>N</math>), और पूर्व रचना <math>\alpha</math> साथ <math>\phi</math> का पुलबैक बंडल प्राप्त करने के लिए <math>\phi^*T^*N</math>. उपरोक्त बंडल मानचित्र को इस अनुभाग पर (बिंदुवार) लागू करने से पुलबैक प्राप्त होता है <math>\alpha</math> द्वारा <math>\phi</math>, जो 1-रूप है <math>\phi^*\alpha</math> पर <math>M</math> द्वारा परिभाषित
अब मान लीजिये <math>\alpha</math> का खंड (फाइबर बंडल) है, <math>T^*N</math> (अवकल रूप,1-रूप पर <math>N</math>), और पूर्व रचना <math>\alpha</math> साथ <math>\phi</math> का पुलबैक बंडल प्राप्त करने के लिए <math>\phi^*T^*N</math>, उपरोक्त बंडल मानचित्र को इस अनुभाग पर (बिंदुवार) प्रस्तावित करने से पुलबैक प्राप्त होता है, <math>\alpha</math> द्वारा <math>\phi</math>, जो 1-रूप है, <math>\phi^*\alpha</math> पर <math>M</math> द्वारा इस प्रकार परिभाषित है:-
:<math> (\phi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\phi(x)}(d\phi_x(X))</math>
:<math> (\phi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\phi(x)}(d\phi_x(X))</math>
के लिए <math>x</math> में <math>M</math> और <math>X</math> में <math>T_xM</math>.
<math>x</math> में <math>M</math> और <math>X</math> में <math>T_xM</math> I


== (सहसंयोजक) टेंसर फ़ील्ड का पुलबैक ==
== (सहसंयोजक) टेंसर समिष्ट का पुलबैक ==
पिछले अनुभाग का निर्माण रैंक के दसियों के लिए तुरंत सामान्यीकृत हो जाता है <math>(0,s)</math> किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए <math>s</math>: <math>(0,s)</math> मैनिफोल्ड पर [[टेंसर फ़ील्ड]] <math>N</math> टेंसर बंडल का भाग है <math>N</math> जिसका फाइबर पर <math>y</math> में <math>N</math> बहुरेखीय का स्थान है <math>s</math>-रूप
पूर्व अनुभाग का निर्माण रैंक के दसियों के लिए सामान्यीकृत हो जाता है, <math>(0,s)</math> किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए <math>s</math>: a <math>(0,s)</math> विविध पर [[टेंसर फ़ील्ड|टेंसर समिष्ट]] <math>N</math> टेंसर बंडल का भाग है, <math>N</math> जिसका फाइबर पर <math>y</math> में <math>N</math> बहुरेखीय का समिष्ट <math>s</math>-रूप है:-
:<math> F: T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.</math>
:<math> F: T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.</math>
ले कर <math>\phi</math> चिकने मानचित्र के (बिंदुवार) अंतर के बराबर <math>\phi</math> से <math>M</math> को <math>N</math>, पुलबैक प्राप्त करने के लिए बहुरेखीय रूपों के पुलबैक को अनुभागों के पुलबैक के साथ जोड़ा जा सकता है <math>(0,s)</math> टेंसर फ़ील्ड चालू <math>M</math>. अधिक सटीक रूप से यदि <math>S</math> है <math>(0,s)</math>-टेंसर फ़ील्ड चालू <math>N</math>, फिर का पुलबैक <math>S</math> द्वारा <math>\phi</math> है <math>(0,s)</math>-टेंसर फ़ील्ड <math>\phi^*S</math> पर <math>M</math> द्वारा परिभाषित
<math>\phi</math> चिकने मानचित्र के (बिंदुवार) अंतर के बराबर <math>\phi</math> से <math>M</math> को <math>N</math>, पुलबैक प्राप्त करने के लिए बहुरेखीय रूपों के पुलबैक को अनुभागों के पुलबैक के साथ जोड़ा जा सकता है, <math>(0,s)</math> टेंसर समिष्ट <math>M</math>, अधिक त्रुटिहीन रूप से यदि <math>S</math> है I <math>(0,s)</math>-टेंसर समिष्ट <math>N</math>, का पुलबैक <math>S</math> द्वारा <math>\phi</math> है, <math>(0,s)</math>-टेंसर समिष्ट <math>\phi^*S</math> पर <math>M</math> द्वारा परिभाषित है:-
:<math> (\phi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\phi(x)}(d\phi_x(X_1),\ldots, d\phi_x(X_s))</math>
:<math> (\phi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\phi(x)}(d\phi_x(X_1),\ldots, d\phi_x(X_s))</math>
के लिए <math>x</math> में <math>M</math> और <math>X_j</math> में <math>T_xM</math>.
<math>x</math> में <math>M</math> और <math>X_j</math> में <math>T_xM</math>  


==विभेदक रूपों का पुलबैक==
==अवकल रूपों का पुलबैक==
सहसंयोजक टेंसर फ़ील्ड के पुलबैक का विशेष महत्वपूर्ण मामला विभेदक रूपों का पुलबैक है। अगर <math>\alpha</math> अंतर है <math>k</math>-रूप, यानी, [[बाहरी बंडल]] का भाग <math>\Lambda^k(T^*N)</math> (फाइबरवार) बारी-बारी से <math>k</math>-पर प्रपत्र <math>TN</math>, फिर का पुलबैक <math>\alpha</math> अंतर है <math>k</math>-पर प्रपत्र <math>M</math> पिछले अनुभाग के समान सूत्र द्वारा परिभाषित:
सहसंयोजक टेंसर समिष्ट के पुलबैक का विशेष महत्वपूर्ण विषय अवकल रूपों का पुलबैक है। यदि <math>\alpha</math> अंतर है, <math>k</math>-रूप, यदि [[बाहरी बंडल]] का भाग <math>\Lambda^k(T^*N)</math> (फाइबरवार) समान रूप से <math>k</math>-पर प्रपत्र <math>TN</math>, फिर का पुलबैक <math>\alpha</math> अंतर है, <math>k</math>-पर प्रपत्र <math>M</math> यदि अनुभाग के समान सूत्र द्वारा परिभाषित है:-
:<math> (\phi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\phi(x)}(d\phi_x(X_1),\ldots, d\phi_x(X_k))</math>
:<math> (\phi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\phi(x)}(d\phi_x(X_1),\ldots, d\phi_x(X_k))</math>
के लिए <math>x</math> में <math>M</math> और <math>X_j</math> में <math>T_xM</math>.
<math>x</math> में <math>M</math> और <math>X_j</math> में <math>T_xM</math>


विभेदक रूपों के पुलबैक में दो गुण हैं जो इसे बेहद उपयोगी बनाते हैं।
अवकल रूपों के पुलबैक में दो गुण हैं जो इसे उपयोगी बनाते हैं।


# यह वेज उत्पाद के साथ इस अर्थ में संगत है कि विभेदक रूपों के लिए <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> पर <math>N</math>,  
# यह वेज उत्पाद के साथ इस अर्थ में संगत है कि, अवकल रूपों के लिए <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> पर <math>N</math>,  
#: <math>\phi^*(\alpha \wedge \beta)=\phi^*\alpha \wedge \phi^*\beta.</math>
#: <math>\phi^*(\alpha \wedge \beta)=\phi^*\alpha \wedge \phi^*\beta.</math>
# यह [[बाहरी व्युत्पन्न]] के साथ संगत है <math>d</math>: अगर <math>\alpha</math> पर विभेदक रूप है <math>N</math> तब
# यह [[बाहरी व्युत्पन्न]] के साथ संगत है <math>d</math>: अगर <math>\alpha</math> पर अवकल रूप है, <math>N</math> तब
#: <math>\phi^*(d\alpha) = d(\phi^*\alpha).</math>
#: <math>\phi^*(d\alpha) = d(\phi^*\alpha).</math>
 
==भिन्नता द्वारा पुलबैक==
 
जब मानचित्र <math>\phi</math> विविध के मध्य भिन्नता है, यदि इसमें सहज विपरीत है, [[वेक्टर फ़ील्ड|सदिश समिष्ट]] के साथ-साथ 1-फॉर्म के लिए पुलबैक को परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार, विस्तार से, विविध पर स्वेच्छानुसार मिश्रित टेंसर समिष्ट के लिए रेखीय मानचित्र,
==डिफियोमॉर्फिज्म द्वारा पुलबैक==
जब नक्शा <math>\phi</math> मैनिफोल्ड्स के बीच भिन्नता है, यानी, इसमें चिकनी उलटा है, फिर [[वेक्टर फ़ील्ड]] के साथ-साथ 1-फॉर्म के लिए पुलबैक को परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार, विस्तार से, मैनिफोल्ड पर मनमाना मिश्रित टेंसर फ़ील्ड के लिए। रेखीय मानचित्र
:<math>\Phi = d\phi_x \in \operatorname{GL}\left(T_x M, T_{\phi(x)}N\right)</math>
:<math>\Phi = d\phi_x \in \operatorname{GL}\left(T_x M, T_{\phi(x)}N\right)</math>
देने के लिए उलटा किया जा सकता है
देने के लिए विपरीत किया जा सकता है
:<math>\Phi^{-1} = \left({d\phi_x}\right)^{-1} \in \operatorname{GL}\left(T_{\phi(x)}N, T_x M\right).</math>
:<math>\Phi^{-1} = \left({d\phi_x}\right)^{-1} \in \operatorname{GL}\left(T_{\phi(x)}N, T_x M\right).</math>
फिर सामान्य मिश्रित टेंसर फ़ील्ड का उपयोग करके रूपांतरित किया जाएगा <math>\phi</math> और <math>\phi^{-1}</math> टेंसर उत्पाद के अनुसार टेंसर बंडल की प्रतियों में अपघटन <math>TN</math> और <math>T^*N</math>. कब <math>M=N</math>, फिर पुलबैक और पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) मैनिफोल्ड पर टेंसर के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं <math>M</math>. पारंपरिक शब्दों में, पुलबैक टेंसर के सहसंयोजक सूचकांकों के परिवर्तन गुणों का वर्णन करता है; इसके विपरीत, सदिश सूचकांकों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण का परिवर्तन पुशफॉरवर्ड (अंतर) द्वारा दिया जाता है।
सामान्य मिश्रित टेंसर समिष्ट का उपयोग करके रूपांतरित किया जाएगा I <math>\phi</math> और <math>\phi^{-1}</math> टेंसर उत्पाद के अनुसार टेंसर बंडल की प्रतियों में अपघटन <math>TN</math> और <math>T^*N</math> जब <math>M=N</math>, पुलबैक और पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) मैनिफोल्ड पर टेंसर के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं I <math>M</math> पारंपरिक शब्दों में, पुलबैक टेंसर के सहसंयोजक सूचकांकों के परिवर्तन गुणों का वर्णन करता है; इसके विपरीत, सदिश सूचकांकों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण का परिवर्तन पुशफॉरवर्ड (अंतर) द्वारा दिया जाता है।


==ऑटोमोर्फिज्म द्वारा पुलबैक==
==स्वप्रतिरूपण द्वारा पुलबैक==


पिछले खंड के निर्माण में प्रतिनिधित्व-सैद्धांतिक व्याख्या है जब <math>\phi</math> अनेक गुना से भिन्नता है <math>M</math> खुद को। इस मामले में व्युत्पन्न <math>d\phi</math> का भाग है <math>\operatorname{GM}(TM,\phi^*TM)</math>. यह [[फ़्रेम बंडल]] से जुड़े किसी भी बंडल के अनुभागों पर पुलबैक कार्रवाई को प्रेरित करता है <math>\operatorname{GM}(m)</math> का <math>M</math> [[सामान्य रैखिक समूह]] के प्रतिनिधित्व द्वारा <math>\operatorname{GM}(m)</math> (कहाँ <math>m=\dim M</math>).
पूर्व खंड के निर्माण में प्रतिनिधित्व-सैद्धांतिक व्याख्या है, जब <math>\phi</math> अनेक गुना <math>M</math> से भिन्नता है। इस विषय में व्युत्पन्न <math>d\phi</math> का भाग <math>\operatorname{GM}(TM,\phi^*TM)</math> है I यह [[फ़्रेम बंडल]] से जुड़े किसी भी बंडल के अनुभागों पर पुलबैक कार्रवाई को प्रेरित करता है, <math>\operatorname{GM}(m)</math> का <math>M</math> [[सामान्य रैखिक समूह]] के प्रतिनिधित्व द्वारा <math>\operatorname{GM}(m)</math> (जहाँ <math>m=\dim M</math>) होता है I


==पुलबैक और लेट व्युत्पन्न==
==पुलबैक और लाई व्युत्पन्न==


ले देख व्युत्पन्न. पूर्ववर्ती विचारों को सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित भिन्नताओं के स्थानीय 1-पैरामीटर समूह पर लागू करके <math>M</math>, और पैरामीटर के संबंध में अंतर करते हुए, किसी भी संबद्ध बंडल पर लाई व्युत्पन्न की धारणा प्राप्त की जाती है।
व्युत्पन्न पूर्ववर्ती विचारों को सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित भिन्नताओं के समिष्टीय 1-पैरामीटर समूह पर प्रस्तावित करके <math>M</math>, और पैरामीटर के संबंध में अंतर करते हुए, किसी भी संबद्ध बंडल पर लाई व्युत्पन्न की धारणा प्राप्त की जाती है।


==कनेक्शनों का पुलबैक (सहसंयोजक व्युत्पन्न)==
==सम्बन्धो का पुलबैक (सहसंयोजक व्युत्पन्न)==


अगर <math>\nabla</math> वेक्टर बंडल पर [[कनेक्शन (वेक्टर बंडल)]] (या [[सहसंयोजक व्युत्पन्न]]) है <math>E</math> ऊपर <math>N</math> और <math>\phi</math> से सहज नक्शा है <math>M</math> को <math>N</math>, फिर पुलबैक कनेक्शन है <math>\phi^*\nabla</math> पर <math>\phi^*E</math> ऊपर <math>M</math>, उस स्थिति द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है
यदि <math>\nabla</math> सदिश बंडल पर [[कनेक्शन (वेक्टर बंडल)|सम्बन्ध (वेक्टर बंडल)]] (या [[सहसंयोजक व्युत्पन्न]]) है, <math>E</math> से ऊपर <math>N</math> और <math>\phi</math> से सहज मानचित्र है, <math>M</math> को <math>N</math>, पुलबैक सम्बन्ध है, <math>\phi^*\nabla</math> पर <math>\phi^*E</math> ऊपर <math>M</math>, उस स्थिति द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है:-
:<math>\left(\phi^*\nabla\right)_X\left(\phi^*s\right) = \phi^*\left(\nabla_{d\phi(X)} s\right).</math>
:<math>\left(\phi^*\nabla\right)_X\left(\phi^*s\right) = \phi^*\left(\nabla_{d\phi(X)} s\right).</math>
==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
* पुशफ़ॉरवर्ड (अंतर)
* पुशफ़ॉरवर्ड (अंतर)
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* {{cite book |authorlink=Ralph Abraham (mathematician) |first=Ralph |last=Abraham |first2=Jerrold E. |last2=Marsden |title=Foundations of Mechanics |year=1978 |publisher=Benjamin-Cummings |location=London |isbn=0-8053-0102-X }} ''See section 1.7 and 2.3''.
* {{cite book |authorlink=Ralph Abraham (mathematician) |first=Ralph |last=Abraham |first2=Jerrold E. |last2=Marsden |title=Foundations of Mechanics |year=1978 |publisher=Benjamin-Cummings |location=London |isbn=0-8053-0102-X }} ''See section 1.7 and 2.3''.


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Latest revision as of 16:03, 31 October 2023

स्मूथ विविध के मध्य स्मूथ मानचित्र और बनें I पुनः 1-रूप के समिष्ट से संबद्ध रेखीय मानचित्र है I (कोटैंजेंट बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल) का रैखिक समिष्ट) 1-रूप के समिष्ट पर है, इस रेखीय मानचित्र को पुलबैक (द्वारा) के रूप में जाना जाता है ), और इसे प्रायः द्वारा प्रदर्शित किया जाता है I सामान्यतः, सदिश टेंसर क्षेत्र का कोई भी सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण विशेष रूप से कोई भी अवकल रूप पर पुनः प्राप्त किया जा सकता है I का उपयोग करता है I

जब चित्र भिन्नता है, तो पुलबैक, पुशफॉरवर्ड (भिन्नता) के साथ, किसी भी टेंसर समिष्ट को परिवर्तित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है I से या इसके विपरीत विशेषकर, यदि के संवृत उपसमुच्चय के मध्य भिन्नता है, और निर्देशांक को परिवर्तन के रूप में देखा जाता है, (संभवतः विविध पर विभिन्न चार्ट के मध्य ), पुनः पुलबैक और प्रारंभिक होने के विषय में अधिक पारंपरिक (समन्वय पर निर्भर) दृष्टिकोण में उपयोग किए जाने वाले सदिश टेंसर के सहप्रसरण और विरोधाभास के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं।

पुलबैक के पूर्व का विचार अनिवार्य रूप से फलन के दूसरे के साथ पुलबैक पूर्वरचना की धारणा है। चूँकि, इस विचार को कई भिन्न-भिन्न संदर्भों में जोड़कर, अधिक विस्तृत पुलबैक परिचालन का निर्माण किया जा सकता है। यह लेख सबसे सरल परिचालनों से प्रारम्भ होता है, पुनः अधिक परिष्कृत परिचालन निर्मित करने के लिए उनका उपयोग करता है। सामान्यतः, पुलबैक क्रियाविधि (पूर्वरचना का उपयोग करके) अवकल ज्यामिति में कई निर्माणों को विरोधाभासी प्रचालक प्रतिनिधि में परिवर्तित कर देता है।

सुचारू फलनों और सुचारु मानचित्रों का पुलबैक

(चिकने) विविध के मध्य स्मूथ चित्र और बनें, मान लीजिए पर सुचारू फलन है I पुनः पुलबैक द्वारा सुचारू फलन है, पर द्वारा परिभाषित I इसी प्रकार, यदि संवृत समुच्चय पर सुचारू फलन में है, तो वही सूत्र संवृत समुच्चय पर सुचारू फलन को परिभाषित करता है I में (शीफ (गणित) की भाषा में, पुलबैक सुचारू फलनों के शीफ से रूपवाद को परिभाषित करता है I द्वारा प्रत्यक्ष छवि शीफ के लिए सुचारू फलनों के समूह पर है I

अधिक सामान्यतः, यदि से सहज मानचित्र है, किसी अन्य विविधता के लिए , तब से सहज मानचित्र से है I

बंडलों और अनुभागों का पुलबैक

यदि सदिश बंडल (या वास्तव में कोई फाइबर बंडल) है, और सहज मानचित्र है, तो पुलबैक बंडल सदिश बंडल (या फाइबर बंडल) है I जिसका फ़ाइबर (गणित) समाप्त हो गया, में द्वारा दिया गया है I

इस स्थिति में, पूर्वरचना अनुभागों पर पुलबैक परिचानल को परिभाषित करता है, : यदि का खंड (फाइबर बंडल) है, के ऊपर , लबैक बंडल का भाग है के ऊपर है I

बहुरेखीय रूपों का पुलबैक

मान लीजिए Φ: VW सदिश समिष्टों V और W के मध्य रेखीय मानचित्र है (अर्थात, Φ L(V, W) का तत्व है, जिसे Hom(V, W) भी कहा जाता है), और मान लीजिए

W पर बहुरेखीय रूप बनें (जिसे टेन्सर के रूप में भी जाना जाता है, टेंसर समिष्ट के साथ भ्रमित न हों रैंक का) (0, s), जहां s उत्पाद में W के कारकों की संख्या है)। पुलबैक ΦΦ द्वारा F का F, V पर बहुरेखीय रूप है जिसे Φ के साथ F को पूर्वरचना करके परिभाषित किया गया है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, दिए गए सदिश v1, v2, ..., vs में V ΦF को सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:-

जो V पर बहुरेखीय रूप है। इसलिए Φ W पर बहुरेखीय रूपों से लेकर V पर बहुरेखीय रूपों तक (रैखिक) संचालन है। विशेष विषय के रूप में, ध्यान दें कि यदि F, W पर रैखिक रूप (या (0,1)-टेंसर) है, तो F, W का तत्व है, W का दोहरा समिष्ट, फिर ΦF, V का तत्व है, और इसलिए Φ द्वारा पुलबैक दोहरे समिष्टों के मध्य रैखिक मानचित्र को परिभाषित करता है, जो रैखिक मानचित्र Φ के विपरीत दिशा में फलन करता है:-

टेंसोरियल दृष्टिकोण से, स्वेच्छानुसार रैंक के टेंसरों तक पुलबैक की धारणा को विस्तारित करने का प्रयास करना स्वाभाविक है, जिससे डब्ल्यू की आर प्रतियों के टेंसर उत्पाद में मान लेने वाले डब्ल्यू पर बहुरेखीय मानचित्रों तक, WW ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. चूँकि, ऐसे टेंसर उत्पाद के तत्व स्वाभाविक रूप से पीछे नहीं हटते हैं: इसके अतिरिक्त अग्रसर होना ऑपरेशन होता है, VV ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V को WW ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W द्वारा दिए गए है:-

इससे यह निष्कर्ष प्राप्त होता है कि यदि Φ विपरीत है, तो पुलबैक को व्युत्क्रम फ़ंक्शन Φ द्वारा पुशफॉरवर्ड का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, इन दोनों निर्माणों के संयोजन से किसी भी रैंक के टेंसर के लिए विपरीत रैखिक मानचित्र के साथ पुशफॉरवर्ड परिचालन (r, s) प्राप्त होता है I

कोटिस्पर्श रेखा सदिशों और 1-रूपों का पुलबैक

स्मूथ विविध के मध्य स्मूथ चित्र बनें। पुशफॉरवर्ड (अंतर) , लिखा हुआ, , , या , सदिश बंडल आकारिकी है) I स्पर्शरेखा बंडल से का पुलबैक बंडल के लिए का दोहरा समिष्ट इसलिए यह बंडल मानचित्र है, को , का कोटैंजेंट बंडल I

अब मान लीजिये का खंड (फाइबर बंडल) है, (अवकल रूप,1-रूप पर ), और पूर्व रचना साथ का पुलबैक बंडल प्राप्त करने के लिए , उपरोक्त बंडल मानचित्र को इस अनुभाग पर (बिंदुवार) प्रस्तावित करने से पुलबैक प्राप्त होता है, द्वारा , जो 1-रूप है, पर द्वारा इस प्रकार परिभाषित है:-

में और में I

(सहसंयोजक) टेंसर समिष्ट का पुलबैक

पूर्व अनुभाग का निर्माण रैंक के दसियों के लिए सामान्यीकृत हो जाता है, किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए : a विविध पर टेंसर समिष्ट टेंसर बंडल का भाग है, जिसका फाइबर पर में बहुरेखीय का समिष्ट -रूप है:-

चिकने मानचित्र के (बिंदुवार) अंतर के बराबर से को , पुलबैक प्राप्त करने के लिए बहुरेखीय रूपों के पुलबैक को अनुभागों के पुलबैक के साथ जोड़ा जा सकता है, टेंसर समिष्ट , अधिक त्रुटिहीन रूप से यदि है I -टेंसर समिष्ट , का पुलबैक द्वारा है, -टेंसर समिष्ट पर द्वारा परिभाषित है:-

में और में

अवकल रूपों का पुलबैक

सहसंयोजक टेंसर समिष्ट के पुलबैक का विशेष महत्वपूर्ण विषय अवकल रूपों का पुलबैक है। यदि अंतर है, -रूप, यदि बाहरी बंडल का भाग (फाइबरवार) समान रूप से -पर प्रपत्र , फिर का पुलबैक अंतर है, -पर प्रपत्र यदि अनुभाग के समान सूत्र द्वारा परिभाषित है:-

में और में

अवकल रूपों के पुलबैक में दो गुण हैं जो इसे उपयोगी बनाते हैं।

  1. यह वेज उत्पाद के साथ इस अर्थ में संगत है कि, अवकल रूपों के लिए और पर ,
  2. यह बाहरी व्युत्पन्न के साथ संगत है : अगर पर अवकल रूप है, तब

भिन्नता द्वारा पुलबैक

जब मानचित्र विविध के मध्य भिन्नता है, यदि इसमें सहज विपरीत है, सदिश समिष्ट के साथ-साथ 1-फॉर्म के लिए पुलबैक को परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार, विस्तार से, विविध पर स्वेच्छानुसार मिश्रित टेंसर समिष्ट के लिए रेखीय मानचित्र,

देने के लिए विपरीत किया जा सकता है

सामान्य मिश्रित टेंसर समिष्ट का उपयोग करके रूपांतरित किया जाएगा I और टेंसर उत्पाद के अनुसार टेंसर बंडल की प्रतियों में अपघटन और जब , पुलबैक और पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) मैनिफोल्ड पर टेंसर के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं I पारंपरिक शब्दों में, पुलबैक टेंसर के सहसंयोजक सूचकांकों के परिवर्तन गुणों का वर्णन करता है; इसके विपरीत, सदिश सूचकांकों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण का परिवर्तन पुशफॉरवर्ड (अंतर) द्वारा दिया जाता है।

स्वप्रतिरूपण द्वारा पुलबैक

पूर्व खंड के निर्माण में प्रतिनिधित्व-सैद्धांतिक व्याख्या है, जब अनेक गुना से भिन्नता है। इस विषय में व्युत्पन्न का भाग है I यह फ़्रेम बंडल से जुड़े किसी भी बंडल के अनुभागों पर पुलबैक कार्रवाई को प्रेरित करता है, का सामान्य रैखिक समूह के प्रतिनिधित्व द्वारा (जहाँ ) होता है I

पुलबैक और लाई व्युत्पन्न

व्युत्पन्न पूर्ववर्ती विचारों को सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित भिन्नताओं के समिष्टीय 1-पैरामीटर समूह पर प्रस्तावित करके , और पैरामीटर के संबंध में अंतर करते हुए, किसी भी संबद्ध बंडल पर लाई व्युत्पन्न की धारणा प्राप्त की जाती है।

सम्बन्धो का पुलबैक (सहसंयोजक व्युत्पन्न)

यदि सदिश बंडल पर सम्बन्ध (वेक्टर बंडल) (या सहसंयोजक व्युत्पन्न) है, से ऊपर और से सहज मानचित्र है, को , पुलबैक सम्बन्ध है, पर ऊपर , उस स्थिति द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है:-

यह भी देखें

संदर्भ

  • Jost, Jürgen (2002). Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-42627-2. See sections 1.5 and 1.6.
  • Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Foundations of Mechanics. London: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. See section 1.7 and 2.3.