अदिश (गणित)

Not to be confused with Scalar (physics).

For other uses, see Scalar.

एक स्केलर एक फील्ड (गणित) का एक तत्व है जिसका उपयोग सदिश स्थल को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। रैखिक बीजगणित में, वास्तविक संख्या एं या आम तौर पर किसी क्षेत्र के तत्वों को स्केलर कहा जाता है और स्केलर गुणन (वेक्टर स्पेस में परिभाषित) के संचालन के माध्यम से संबंधित वेक्टर स्पेस में वैक्टर से संबंधित होता है, जिसमें एक वेक्टर को एक स्केलर द्वारा गुणा किया जा सकता है। एक और वेक्टर बनाने के लिए परिभाषित तरीका। सामान्यतया, एक सदिश स्थान को वास्तविक संख्याओं (जैसे सम्मिश्र संख्या) के बजाय किसी भी क्षेत्र का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। तब उस सदिश समष्टि के अदिश संबद्ध क्षेत्र के अवयव होंगे (जैसे सम्मिश्र संख्या)।

एक आंतरिक उत्पाद संचालन - स्केलर गुणा के साथ भ्रमित नहीं होना - एक वेक्टर स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है, जिससे दो वैक्टरों को एक स्केलर उत्पन्न करने के लिए परिभाषित तरीके से गुणा किया जा सकता है। एक अदिश उत्पाद से सुसज्जित एक सदिश स्थान को आंतरिक उत्पाद स्थान कहा जाता है।

कई स्केलर द्वारा वर्णित मात्रा, जैसे कि दिशा और परिमाण दोनों, एक वेक्टर (गणित और भौतिकी) कहलाती है। स्केलर शब्द का उपयोग कभी-कभी अनौपचारिक रूप से एक वेक्टर, मैट्रिक्स (गणित) , टेन्सर , या अन्य, आमतौर पर, यौगिक मूल्य के लिए किया जाता है, जो वास्तव में एक घटक के लिए कम हो जाता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, 1 × n मैट्रिक्स और n × 1 मैट्रिक्स का उत्पाद, जो औपचारिक रूप से 1 × 1 मैट्रिक्स है, को अक्सर 'स्केलर' कहा जाता है। एक चतुर्भुज के वास्तविक घटक को उसका 'अदिश भाग' भी कहा जाता है।

अदिश मैट्रिक्स शब्द का उपयोग kI के रूप के मैट्रिक्स को दर्शाने के लिए किया जाता है जहां k एक अदिश राशि है और I पहचान मैट्रिक्स है।

व्युत्पत्ति

स्केलर शब्द लैटिन भाषा के शब्द स्केलारिस से निकला है, जो स्कैला (सीढ़ी के लिए लैटिन) का एक विशेषण रूप है, जिससे अंग्रेजी शब्द स्केल भी आता है। गणित में स्केलर शब्द का पहला रिकॉर्ड किया गया उपयोग फ़्राँस्वा विएते की विश्लेषणात्मक कला (आर्टेम एनालिटिसम इसागोगे में) (1591) में होता है:

परिमाण जो अपनी प्रकृति के अनुसार एक प्रकार से दूसरे प्रकार में आनुपातिक रूप से बढ़ते या घटते हैं, उन्हें अदिश पद कहा जा सकता है।

(लैटिन: Magnitudines Quae ex Genere ad Genere ad जीनस sua vi आनुपातिक लिटर एडसेंडंट वेल डिसेंडेंट, वोसेंटुर स्केलेर्स।)

ऑक्सफोर्ड इंग्लिश डिक्शनरी के एक उद्धरण के अनुसार अंग्रेजी में स्केलर शब्द का पहला रिकॉर्ड किया गया उपयोग विलियम रोवन हैमिल्टन | डब्ल्यू के साथ हुआ। 1846 में आर। हैमिल्टन, एक चतुष्कोण के वास्तविक भाग का जिक्र करते हुए:

बीजगणितीय रूप से वास्तविक भाग प्राप्त हो सकता है, उस प्रश्न के अनुसार जिसमें यह होता है, नकारात्मक से सकारात्मक अनंत तक संख्याओं की प्रगति के एक पैमाने पर निहित सभी मान; इसलिए हम इसे अदिश भाग कहेंगे।

परिभाषाएं और गुण

सदिश (गणित और भौतिकी) के विपरीत, स्केलर वास्तविक संख्या एँ हैं जिनका उपयोग रैखिक बीजगणित में किया जाता है। यह छवि एक यूक्लिडियन वेक्टर दिखाती है। इसके निर्देशांक x और y अदिश हैं, जैसे इसकी लंबाई है, लेकिन 'v' एक अदिश नहीं है।

वेक्टर रिक्त स्थान के अदिश

एक वेक्टर स्पेस को वैक्टर (एडिटिव एबेलियन समूह ), स्केलर्स (फ़ील्ड (गणित)) का एक सेट, और एक स्केलर गुणन ऑपरेशन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक अन्य वेक्टर k'v बनाने के लिए एक स्केलर k और एक वेक्टर 'v' लेता है। '। उदाहरण के लिए, एक समन्वय स्थान में, अदिश गुणन $k(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})$ पैदावार $(kv_{1},kv_{2},\dots ,kv_{n})$. एक (रैखिक) कार्य स्थान में, kf समारोह है x ↦ k(f(x)).

स्केलर को किसी भी क्षेत्र से लिया जा सकता है, जिसमें परिमेय संख्या , बीजीय संख्या, वास्तविक और जटिल संख्या, साथ ही परिमित क्षेत्र शामिल हैं।

वेक्टर घटकों के रूप में स्केलर्स

रेखीय बीजगणित के एक मौलिक प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक सदिश स्थान का एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि क्षेत्र K पर प्रत्येक सदिश स्थान संगत निर्देशांक सदिश समष्टि के लिए समरूपता है, जहाँ प्रत्येक निर्देशांक में K के तत्व होते हैं (जैसे, निर्देशांक (a)₁, एक₂, ..., एक_n) जहाँ एक_iK और n विचाराधीन सदिश समष्टि का आयाम है।) उदाहरण के लिए, आयाम का प्रत्येक वास्तविक सदिश स्थान (सदिश स्थान) n, n-आयामी वास्तविक स्थान 'R' के समरूपी होता है।^एन.

मानदंड सदिश स्थानों में अदिश

वैकल्पिक रूप से, नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस वी को एक मानक (गणित) फ़ंक्शन से सुसज्जित किया जा सकता है जो वी स्केलर ||'v'|| में प्रत्येक वेक्टर 'v' को निर्दिष्ट करता है। परिभाषा के अनुसार, 'v' को एक अदिश k से गुणा करने पर इसके मानक को भी |k| से गुणा किया जाता है। अगर ||'वी'|| 'v' की लंबाई के रूप में व्याख्या की जाती है, इस ऑपरेशन को 'v' की लंबाई को k द्वारा 'स्केलिंग' के रूप में वर्णित किया जा सकता है। मानक से लैस एक सदिश स्थान को एक आदर्श सदिश स्थान (या मानक रैखिक स्थान) कहा जाता है।

मानदंड को आम तौर पर V' के स्केलर फ़ील्ड K के एक तत्व के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो बाद वाले को उन फ़ील्ड्स तक सीमित करता है जो चिह्न की धारणा का समर्थन करते हैं। इसके अलावा, यदि V का आयाम 2 या अधिक है, तो K को वर्गमूल के साथ-साथ चार अंकगणितीय संक्रियाओं के तहत बंद किया जाना चाहिए; इस प्रकार परिमेय संख्या 'Q' को बाहर रखा गया है, लेकिन द्विघात करणी स्वीकार्य है। इस कारण से, प्रत्येक स्केलर उत्पाद स्थान एक मानक सदिश स्थान नहीं है।

मॉड्यूल में अदिश

जब आवश्यकता होती है कि स्केलर्स का सेट एक फ़ील्ड बनाता है, तो उसे केवल एक रिंग (गणित) बनाने की आवश्यकता होती है (ताकि, उदाहरण के लिए, स्केलर्स के विभाजन को परिभाषित करने की आवश्यकता न हो, या स्केलर को विनिमेय नहीं होना चाहिए), परिणामी अधिक सामान्य बीजीय संरचना को मॉड्यूल (गणित) कहा जाता है।

इस मामले में अदिश जटिल वस्तुएं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि R एक वलय है, तो उत्पाद स्थान R . के सदिशⁿ को n×n मैट्रिसेस के साथ एक मॉड्यूल में बनाया जा सकता है जिसमें स्केलर के रूप में R से प्रविष्टियाँ होती हैं। एक और उदाहरण कई गुना से आता है, जहां स्पर्शरेखा बंडल के खंड (फाइबर बंडल) का स्थान कई गुना वास्तविक कार्यों के बीजगणित पर एक मॉड्यूल बनाता है।

स्केलिंग परिवर्तन

वेक्टर रिक्त स्थान और मॉड्यूल का अदिश गुणन स्केलिंग (ज्यामिति) का एक विशेष मामला है, एक प्रकार का रैखिक परिवर्तन ।

यह भी देखें

• बीजगणितीय संरचना
• अदिश (भौतिकी)
• लीनियर अलजेब्रा

बाहरी संबंध

• "Scalar", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Scalar". MathWorld.
• Mathwords.com – Scalar