एडजुगेट मैट्रिक्स: Difference between revisions

Latest revision as of 13:19, 1 November 2023

रैखिक बीजगणित में, वर्ग आव्यूह $A$ का सहायक या शास्त्रीय सहायक इसके एडजुगेट मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है एवं इसे $adj(A)$ दर्शाया जाता है।^[1]^[2] इसे कभी-कभी सहायक आव्यूह ^[3]^[4] या "एडजॉइंट" के रूप में भी जाना जाता है,^[5] चूंकि पश्चात वाला शब्द आज सामान्यतः भिन्न अवधारणा को संदर्भित करता है, हर्मिटियन सहायक जो आव्यूह के लिए संयुग्म स्थानान्तरण है।

इसके सहायक के साथ आव्यूह का उत्पाद विकर्ण आव्यूह देता है (मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियाँ शून्य नहीं हैं) जिनकी विकर्ण प्रविष्टियाँ मूल आव्यूह के निर्धारक हैं:

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,

जहाँ $I$ $A$ के समान आकार का पहचान आव्यूह है। परिणाम स्वरूप, व्युत्क्रमणीय आव्यूह का गुणक व्युत्क्रम उसके सहायक को उसके निर्धारक द्वारा विभाजित करके पाया जा सकता है।

परिभाषा

$A$ का निर्णायक $A$ के एडजुगेट आव्यूह $C$ का स्थानान्तरण है ,

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.

अधिक विस्तार से, मान लीजिए $R$ इकाई क्रमविनिमेय रिंग है एवं $A$ $R$ प्रविष्टियों के साथ $n \times n$ आव्यूह है। $A$ का $(i, j)$ -लघु जिसे $M ij$ दर्शाया गया है, आव्यूह का निर्धारक है, जो $A$ की पंक्ति $i$ एवं स्तंभ $j$ को विस्थापित करने से परिणामस्वरूप होता है। $A$ का एडजुगेट आव्यूह $n \times n$ आव्यूह $C$ है, जिसका $(i, j)$ प्रविष्टि $A$ का $(i, j)$ एडजुगेट (रैखिक बीजगणित) है, जो कि $(i, j)$ साधारण गुणा संकेत कारक है:

\mathbf {C} =\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}.

$A$ का स्थानांतरण $C$ है, अर्थात $n \times n$ आव्यूह जिसकी $(i, j)$ प्रविष्टि $A$ का $(j, i)$ एडजुगेट है,

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}=\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leq n}.

महत्वपूर्ण परिणाम

एडजुगेट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $A$ का उत्पाद विकर्ण आव्यूह उत्पन्न करता है, जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ निर्धारक $det(A)$ होती हैं। वह है,

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,

जहाँ $I$ $n \times n$ पहचान आव्यूह है। यह निर्धारक के लाप्लास विस्तार का परिणाम है।

उपरोक्त सूत्र आव्यूह बीजगणित में मूलभूत परिणामों में से एक का तात्पर्य है, $A$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह है यदि एवं केवल तभी जब $det(A)$ $R$ का व्युत्क्रमणीय तत्व है। जब यह प्रारम्भ होता है, तो उपरोक्त समीकरण प्राप्त होता है।

{\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{aligned}}

उदाहरण

1 × 1 सामान्य आव्यूह

चूँकि 0 x 0 आव्यूह का निर्धारक 1 है, किसी भी 1 × 1 आव्यूह (सम्मिश्र संख्या अदिश) का सहायक है $\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ . उसका अवलोकन करो:

$\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} \mathbf {I} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .$

2 × 2 सामान्य आव्यूह

2 × 2 आव्यूह का एडजुगेट

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

है

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.

प्रत्यक्ष गणना द्वारा,

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .

ऐसे में ये कथन भी सच है, कि $det$ ( $adj$ (A))= $det$ (A) एवं इसलिए $adj$ ( $adj$ (A)) = A.

3 × 3 सामान्य आव्यूह

3 × 3 आव्यूह पर विचार करें

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}.

इसका एडजुगेट आव्यूह है

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},

जहाँ

{\begin{vmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{vmatrix}}=\det \!{\begin{bmatrix}a_{im}&a_{in}\\a_{jm}&a_{jn}\end{bmatrix}}.

इसका सहायक इसके एडजुगेट आव्यूह का स्थानान्तरण है,

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.

3 × 3 संख्यात्मक आव्यूह

विशिष्ट उदाहरण के रूप में, हमारे पास है,

\operatorname {adj} \!{\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.

यह परिक्षण करना सरल है कि एडजुगेट निर्धारक का व्युत्क्रम आव्यूह गुणा है, $-6$ , वह $-1$ दूसरी पंक्ति में, एडजुगेट के तीसरे स्तंभ की गणना निम्नानुसार की गई थी। एडजुगेट की (2,3) प्रविष्टि A का (3,2) एडजुगेट है। इस एडजुगेट की गणना मूल आव्यूह A की तीसरी पंक्ति एवं दूसरे स्तंभ को विस्थापित कर प्राप्त सबआव्यूह का उपयोग करके की जाती है।

{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.

(3,2) एडजुगेट इस सबआव्यूह के निर्धारक का संकेत गुना है:

(-1)^{3+2}\operatorname {det} \!{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,

एवं यह सहायक की (2,3) प्रविष्टि है।

गुण

किसी भी $n \times n$ आव्यूह $A$ के लिए, प्रारंभिक गणना से ज्ञात होता है कि एडजुगेट में निम्नलिखित गुण हैं:

$\operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I}$ , जहाँ $\mathbf {I}$ पहचान आव्यूह है.
$\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ , जहाँ $\mathbf {0}$ शून्य आव्यूह है, अतिरिक्त इसके कि यदि $n=1$ तब $\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {I}$ .
किसी भी अदिश $c$ के लिए $\operatorname {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$ .
$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}$ .
$\det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-1}$ .
यदि A तो व्युत्क्रमणीय है, तो $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$ $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$ . यह इस प्रकार है कि:
- $adj(A)$ व्युत्क्रम $(det A) -1 A$ के साथ व्युत्क्रमणीय है .
- $adj(A -1) = adj(A) -1$ .
$adj(A)$ $A$ प्रवेशवार बहुपद है। विशेष रूप से, वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्याओं पर, एडजुगेट $A$ की प्रविष्टियों का सुचारू कार्य है।

सम्मिश्र संख्याओं पर,

$\operatorname {adj} ({\overline {\mathbf {A} }})={\overline {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}}$ , जहां बार सम्मिश्र संयुग्मन को दर्शाता है।
$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{*})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{*}$ , जहां तारांकन संयुग्म स्थानांतरण को दर्शाता है।

मान लीजिए कि $B$ अन्य $n \times n$ आव्यूह है, तब

\operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).

इसे तीन प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है। विधि, जो किसी भी क्रमविनिमेय वलय के लिए मान्य है, कॉची-बिनेट सूत्र का उपयोग करके सीधी गणना है। दूसरा विधि, जो वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं के लिए मान्य है, सर्वप्रथम निरीक्षण करना है व्युत्क्रमणीय आव्यूह $A$ एवं $B$ के लिए,

\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).

चूँकि प्रत्येक गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की सीमा है, इसलिए सहायक की निरंतरता का तात्पर्य यह है कि जब $A$ या $B$ इनमें से कोई व्युत्क्रमणीय नहीं होता है तो सूत्र सत्य रहता है।

पूर्व सूत्र का परिणाम यह है कि, किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $k$ के लिए ,

\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{k})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{k}.

यदि $A$ व्युत्क्रमणीय है, तो उपरोक्त सूत्र ऋणात्मक $k$ के लिए भी मान्य है .

पहचान से

(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),

हम निष्कर्ष निकालते हैं

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A} .

मान लीजिए कि $A$ , $B$ के साथ यात्रा करता है। बायीं एवं दायीं ओर पहचान $AB = BA$ को $adj(A)$ से गुणा करने से सिद्ध होता है, कि

\det(\mathbf {A} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} ).

यदि $A$ व्युत्क्रमणीय है, इसका तात्पर्य यह है, कि $adj(A)$ भी $B$ के साथ संचलन करता है। वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर, निरंतरता का तात्पर्य है, कि $adj(A)$ $B$ के साथ संचलन करता है, संभवता ही $A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है।

अंत में, दूसरे प्रमाण की तुलना में अधिक सामान्य प्रमाण है, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि n × n आव्यूह में कम से कम 2n + 1 तत्वों (उदाहरण के लिए पूर्णांक मॉड्यूलर अंकगणित 11 पर 5 × 5 आव्यूह) वाले क्षेत्र में पर प्रविष्टियाँ हों)। $det(A + t I)$ t में बहुपद है जिसमें डिग्री अधिकतम n है, इसलिए इसकी अधिकतम n जड़ें हैं। ध्यान दें कि $adj((A + t I)(B))$ ij वीं प्रविष्टि अधिकतम क्रम n का बहुपद है, एवं इसी प्रकार $adj(A + t I) adj(B)$ के लिए भी है। Ij वीं प्रविष्टि पर ये दो बहुपद कम से कम n+ 1 अंक पर सहमत हैं, क्योंकि हमारे पास क्षेत्र के कम से कम n+ 1 तत्व हैं जहां $A + t I$ व्युत्क्रमणीय है, एवं हमने व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के लिए पहचान सिद्ध कर दी है। डिग्री n के बहुपद जो n+ 1 बिंदुओं पर सहमत होते हैं, समान होने चाहिए (उन्हें दूसरे से घटाएं एवं आपके पास अधिकतम n डिग्री वाले बहुपद के लिए n+ 1 मूल होंगे, विरोधाभास जब तक कि उनका अंतर समान रूप से शून्य न हो)। चूँकि दोनों बहुपद समान हैं, वे t के प्रत्येक मान के लिए समान मान लेते हैं। इस प्रकार, जब t = 0 होता है तो वे समान मान लेते हैं।

उपरोक्त गुणों एवं अन्य प्राथमिक गणनाओं का उपयोग करके, यह दिखाना सरल है कि यदि $A$ में निम्नलिखित गुणों में से है $adj A$ भी ऐसा ही करता है:

यदि $A$ व्युत्क्रमणीय है, तो, जैसा कि ऊपर बताया गया है, $A$ के निर्धारक एवं व्युत्क्रम के संदर्भ में $adj(A)$ के लिए एक सूत्र है। जब $A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है, तो एडजुगेट भिन्न-भिन्न किन्तु निकट से संबंधित सूत्रों को संतुष्ट करता है।

यदि $rk(A) \leq n - 2$ , तब $adj(A) = 0$ .
यदि $rk(A) = n - 1$ , तब $rk(adj(A)) = 1$ . (कुछ माइनर गैर-शून्य है, इसलिए $adj(A)$ गैर-शून्य है एवं इसलिए इसकी रैंक (रैखिक बीजगणित) कम से कम है; पहचान $adj(A) A = 0$ का तात्पर्य यह है, कि $adj(A)$ के शून्य स्थान का आयाम कम से कम $n - 1$ है, इसलिए इसकी रैंक अधिकतम है।) यह यह इस प्रकार है कि $adj(A) = α xy T$ , जहाँ $α$ अदिश राशि है एवं $x$ एवं $y$ इस प्रकार सदिश हैं कि $Ax = 0$ एवं $A T y = 0$ है।

स्तंभ प्रतिस्थापन एवं क्रैमर नियम

स्तंभ सदिश में विभाजन $A$ :

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.

मान लीजिए $b$ आकार $n$ का स्तंभ सदिश है। $1 \leq i \leq n$ को ठीक करें एवं $A$ के स्तंभ $i$ को $b$ से प्रतिस्थापित करके बनने वाले आव्यूह पर विचार करें:

(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.

लाप्लास इस आव्यूह के निर्धारक को कॉलम $i$ के साथ विस्तारित करता है। परिणाम उत्पाद $adj(A) b$ की प्रविष्टि $i$ है। विभिन्न संभावित $i$ के लिए इन निर्धारकों को एकत्रित करने से स्तंभ सदिशों की समानता प्राप्त होती है।

\left(\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\right)_{i=1}^{n}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} .

इस सूत्र के निम्नलिखित ठोस परिणाम हैं। समीकरणों की रैखिक प्रणाली पर विचार करें,

\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .

मान लें कि $A$ गैर-वचन है। बाईं ओर इस प्रणाली को $adj(A)$ से गुणा करना एवं निर्धारक पाशविक से विभाजित करना:

\mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} }{\det \mathbf {A} }}.

इस स्थिति में पूर्व सूत्र को प्रारम्भ करने से क्रैमर का नियम प्राप्त होता है,

x_{i}={\frac {\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )}{\det \mathbf {A} }},

जहां $x i$ , $x$ की $i$ वीं प्रविष्टि है।

अभिलक्षणिक बहुपद

माना $A$ का अभिलक्षणिक बहुपद है

p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].

$p$ का प्रथम विभाजित अंतर घात $n - 1$ सममित बहुपद है,

\Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\sum _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].

$s I - A$ को इसके एडजुगेट से गुणा करें। चूँकि केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार $p (A) = 0$ कुछ प्राथमिक जोड़-तोड़ से ज्ञात होता है

\operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\Delta p(s\mathbf {I} ,\mathbf {A} ).

विशेष रूप से, $A$ के संकल्पात्मक औपचारिकता को परिभाषित किया गया है

R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1},

एवं उपरोक्त सूत्र के अनुसार, यह समान है

R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I} ,\mathbf {A} )}{p(z)}}.

जैकोबी का सूत्र

निर्धारक के व्युत्पन्न के लिए एडजुगेट जैकोबी के सूत्र में भी दिखाई देता है। यदि $A (t)$ निरंतर अवकलनीय-भिन्न है,

{\frac {d(\det \mathbf {A} )}{dt}}(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (\mathbf {A} (t))\mathbf {A} '(t)\right).

यह इस प्रकार है कि निर्धारक का कुल व्युत्पन्न सहायक का स्थानान्तरण है:

d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A} _{0}}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} _{0})^{\mathsf {T}}.

केली-हैमिल्टन सूत्र

मान लीजिए $p A (t)$ $A$ का अभिलक्षणिक बहुपद है। केली-हैमिल्टन प्रमेय कहता है, कि

p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=\mathbf {0} .

स्थिर पद को भिन्न करने एवं समीकरण को $adj(A)$ से गुणा करने पर एडजुगेट के लिए एक अभिव्यक्ति मिलती है जो केवल $A$ एवं $p A (t)$ के गुणांक पर निर्भर करती है। इन गुणांकों को पूर्ण घातीय बेल बहुपदों का उपयोग करके $A$ की शक्तियों के चिन्ह के रूप में स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है। परिणामी सूत्र है

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\ell })^{k_{\ell }},

जहां $n$ , $A$ का आयाम है, एवं योग को $s$ से ऊपर ले लिया गया है एवं $k l \geq 0$ के सभी अनुक्रम रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण को संतुष्ट करते हैं

s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.

2 × 2 विषय के लिए, यह देता है

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} .

3 × 3 विषय के लिए, यह देता है

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{3}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)-\mathbf {A} (\operatorname {tr} \mathbf {A} )+\mathbf {A} ^{2}.

4 × 4 विषय के लिए, यह देता है

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} ^{3}.

वही सूत्र सीधे फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिथ्म के अंतिम चरण का अनुसरण करता है, जो $A$ की विशेषता बहुपद को कुशलतापूर्वक निर्धारित करता है।

बाह्य बीजगणित से संबंध

बाहरी बीजगणित का उपयोग करके सहायक को अमूर्त शब्दों में देखा जा सकता है। मान लीजिए $V$ एक $n$ -आयामी सदिश समष्टि है, बाहरी उत्पाद द्विरेखीय युग्मन को परिभाषित करता है।

V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.

संक्षेप में, $\wedge ^{n}V$ , $R$ का समरूपी है, एवं ऐसी किसी भी समरूपता के अनुसार बाहरी उत्पाद आदर्श युग्मन है। इसलिए, यह समरूपता उत्पन्न करता है।

\phi \colon V\ \xrightarrow {\cong } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).

स्पष्ट रूप से, यह युग्म $v \in V$ को भेजता है $\phi _{\mathbf {v} }$ , जहाँ

\phi _{\mathbf {v} }(\alpha )=\mathbf {v} \wedge \alpha .

मान लीजिए कि $T : V \to V$ रैखिक परिवर्तन है। $T$ की $(n - 1)$ st बाहरी शक्ति द्वारा पुलबैक $Hom$ स्पेस के आकारवाद को प्रेरित करता है। $T$ का समायोजक सम्मिश्र है।

V\ \xrightarrow {\phi } \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}} \ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ \xrightarrow {\phi ^{-1}} \ V.

यदि $V = R n$ अपने विहित आधार $e 1, \dots, e n$ से संपन्न है, एवं यदि इस आधार (रैखिक बीजगणित) पर $T$ का आव्यूह $A$ है, तो $T$ का सहायक $A$ है, यह देखने के लिए कि क्यों, दें $\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n}$ आधार

\{\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\}_{k=1}^{n}.

आधार सदिश $e i$ का $R n$ ठीक करें, $e i$ की छवि $\phi$ के अंतर्गत इस आधार पर निर्धारित होता है, कि यह आधार सदिश जहाँ भेजता है:

\phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

सदिश के आधार पर, $(n - 1)$ , $T$ की बाहरी शक्ति है,

\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.

इनमें से प्रत्येक पद $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ के अंतर्गत शून्य मैप करता है, अतिरिक्त $k = i$ अवधि है। इसलिए, $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ की वापसी जिसके लिए रैखिक परिवर्तन है,

\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},

अर्थात् यह समान है,

\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{\mathbf {e} _{j}}.

व्युत्क्रमणीय $\phi$ दर्शाता है कि $T$ का एडजुगेट जिसके लिए रैखिक परिवर्तन है,

\mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{j}.

परिणामस्वरूप, इसका आव्यूह प्रतिनिधित्व का सहायक $A$ है।

यदि $V$ आंतरिक उत्पाद एवं वॉल्यूम फॉर्म से संपन्न है, तत्पश्चात मानचित्र $φ$ को अधिक विघटित किया जा सकता है। इस विषय में, $φ$ को हॉज स्टार ऑपरेटर एवं दोहरीकरण के संयोजन के रूप में समझा जा सकता है। विशेष रूप से, यदि $ω$ आयतन रूप है, तो यह, आंतरिक उत्पाद के साथ मिलकर, समरूपता निर्धारित करता है,

\omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R} .

यह समरूपता को प्रेरित करता है

\operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbf {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.

सदिश $v$ में $R n$ रैखिक कार्यात्मकता से के समान है

(\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.

हॉज स्टार ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार, यह रैखिक कार्यात्मकता *v से दोहरी है। अर्थात्, ω∨∘ φ समान v ↦ *v∨ है।

उच्च एडजुगेट

$A$ , $n \times n$ आव्यूह, एवं $r \geq 0$ . $r$ निर्धारित करता है। $A$ ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ आव्यूह, निरूपित $adj r A$ , जिनकी प्रविष्टियाँ ${1, ..., m}$ के आकार $r$ उपसमुच्चय $I$ एवं $J$ के आधार पर अनुक्रमित की जाती हैं। $I c$ एवं $J c$ , $I$ एवं $J$ , क्रमशः के पूरक (समुच्चय सिद्धांत) को र्शाते हैं । $\mathbf {A} _{I^{c},J^{c}}$ , $A$ के सब आव्यूह को दर्शाता है, जिसमें वे पंक्तियाँ एवं स्तंभ सम्मिलित हैं जिनके सूचकांक क्रमशः $I c$ एवं $J c$ , हैं। तत्पश्चात $adj r A$ की $(I, J)$ प्रविष्टि है,

(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},

जहाँ $σ(I)$ एवं $σ(J)$ $I$ एवं $J$ , के तत्वों का योग है।

उच्च एडजुगेट के मूल गुणों में सम्मिलित हैं:

$adj 0 (A) = det A$ .
$adj 1 (A) = adj A$ .
$adj n (A) = 1$ .
$adj r (BA) = adj r (A) adj r (B)$ .
$\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}$ , जहाँ $C r (A)$ $r$ यौगिक आव्यूह को दर्शाता है।

उच्चतर एडजुगेट को सामान्य एडजुगेट, प्रतिस्थापन के समान ही अमूर्त बीजगणितीय शब्दों में परिभाषित किया जा सकता है $\wedge ^{r}V$ एवं $\wedge ^{n-r}V$ के लिए $V$ एवं $\wedge ^{n-1}V$ , क्रमशः।

पुनरावृत्त एडजुगेट

व्युत्क्रमणीय आव्यूह A का एडजुगेट लेते हुए पुनरावृत्त फलन $k$ गुना प्राप्त होता है,

\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}},

\det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}.

उदाहरण के लिए,

\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} .

\det(\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{2}}.

यह भी देखें

केली-हैमिल्टन प्रमेय
क्रैमर का नियम
ट्रेस आरेख
जैकोबी का सूत्र
फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिदम
यौगिक आव्यूह

संदर्भ

↑ Gantmacher, F. R. (1960). मैट्रिक्स का सिद्धांत. Vol. 1. New York: Chelsea. pp. 76–89. ISBN 0-8218-1376-5.
↑ Strang, Gilbert (1988). "Section 4.4: Applications of determinants". रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग (3rd ed.). Harcourt Brace Jovanovich. pp. 231–232. ISBN 0-15-551005-3.
↑ Claeyssen, J.C.R. (1990). "गतिशील मैट्रिक्स समाधानों का उपयोग करके गैर-रूढ़िवादी रैखिक कंपन प्रणालियों की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करने पर". Journal of Sound and Vibration. 140 (1): 73–84. doi:10.1016/0022-460X(90)90907-H.
↑ Chen, W.; Chen, W.; Chen, Y.J. (2004). "गुंजयमान रिंग जाली उपकरणों के विश्लेषण के लिए एक विशेषता मैट्रिक्स दृष्टिकोण". IEEE Photonics Technology Letters. 16 (2): 458–460. doi:10.1109/LPT.2003.823104.
↑ Householder, Alston S. (2006). संख्यात्मक विश्लेषण में मैट्रिक्स का सिद्धांत. Dover Books on Mathematics. pp. 166–168. ISBN 0-486-44972-6.

ग्रन्थसूची

Roger A. Horn and Charles R. Johnson (2013), Matrix Analysis, Second Edition. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

बाहरी संबंध

Matrix Reference Manual
Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
"Adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }". Wolfram Alpha.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[1] Gantmacher, F. R. (1960). मैट्रिक्स का सिद्धांत. Vol. 1. New York: Chelsea. pp. 76–89. ISBN 0-8218-1376-5.

[2] Strang, Gilbert (1988). "Section 4.4: Applications of determinants". रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग (3rd ed.). Harcourt Brace Jovanovich. pp. 231–232. ISBN 0-15-551005-3.

[3] Claeyssen, J.C.R. (1990). "गतिशील मैट्रिक्स समाधानों का उपयोग करके गैर-रूढ़िवादी रैखिक कंपन प्रणालियों की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करने पर". Journal of Sound and Vibration. 140 (1): 73–84. doi:10.1016/0022-460X(90)90907-H.

[4] Chen, W.; Chen, W.; Chen, Y.J. (2004). "गुंजयमान रिंग जाली उपकरणों के विश्लेषण के लिए एक विशेषता मैट्रिक्स दृष्टिकोण". IEEE Photonics Technology Letters. 16 (2): 458–460. doi:10.1109/LPT.2003.823104.

[5] Householder, Alston S. (2006). संख्यात्मक विश्लेषण में मैट्रिक्स का सिद्धांत. Dover Books on Mathematics. pp. 166–168. ISBN 0-486-44972-6.

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एडजुगेट मैट्रिक्स: Difference between revisions

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Contents

परिभाषा

उदाहरण

1 × 1 सामान्य आव्यूह

गुण

स्तंभ प्रतिस्थापन एवं क्रैमर नियम

अभिलक्षणिक बहुपद

बाह्य बीजगणित से संबंध

उच्च एडजुगेट

पुनरावृत्त एडजुगेट

यह भी देखें

संदर्भ

ग्रन्थसूची

बाहरी संबंध

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|For a square matrix, the transpose of the cofactor matrix}}
-रैखिक बीजगणित में, [[वर्ग मैट्रिक्स|'''वर्ग मैट्रिक्स''']] {{math|'''A'''}} का सहायक या शास्त्रीय सहायक इसके [[सहकारक मैट्रिक्स]] का स्थानान्तरण है और इसे {{math|adj('''A''')}} दर्शाया जाता है।<ref>{{cite book |first=F. R. |last=Gantmacher |author-link=Felix Gantmacher |title=मैट्रिक्स का सिद्धांत|volume=1 |publisher=Chelsea |location=New York |year=1960 |isbn=0-8218-1376-5 |pages=76–89 |url=https://books.google.com/books?id=ePFtMw9v92sC&pg=PA76 }}</ref><ref>{{cite book |last=Strang |first=Gilbert |title=रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग|publisher=Harcourt Brace Jovanovich |year=1988 |isbn=0-15-551005-3 |edition=3rd |pages=[https://archive.org/details/linearalgebraits00stra/page/231 231–232] |chapter=Section 4.4: Applications of determinants |author-link=Gilbert Strang |chapter-url=https://archive.org/details/linearalgebraits00stra/page/231 |chapter-url-access=registration}}</ref> इसे कभी-कभी सहायक मैट्रिक्स <ref>{{cite journal|author1=Claeyssen, J.C.R.|year=1990|title=गतिशील मैट्रिक्स समाधानों का उपयोग करके गैर-रूढ़िवादी रैखिक कंपन प्रणालियों की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करने पर|journal=Journal of Sound and Vibration|volume=140|issue=1|pages=73–84|doi=10.1016/0022-460X(90)90907-H}}</ref><ref>{{cite journal|author1=Chen, W.|author2=Chen, W.|author3=Chen, Y.J.|year=2004|title=गुंजयमान रिंग जाली उपकरणों के विश्लेषण के लिए एक विशेषता मैट्रिक्स दृष्टिकोण|journal=IEEE Photonics Technology Letters|volume=16|issue=2|pages=458–460|doi=10.1109/LPT.2003.823104}}</ref> या "एडजॉइंट" के रूप में भी जाना जाता है,<ref>{{cite book|first=Alston S.|last=Householder|title=संख्यात्मक विश्लेषण में मैट्रिक्स का सिद्धांत|publisher=Dover Books on Mathematics|year=2006|author-link=Alston Scott Householder | isbn=0-486-44972-6 |pages=166–168 }}</ref> चूंकि पश्चात वाला शब्द आज सामान्यतः भिन्न अवधारणा को संदर्भित करता है, [[हर्मिटियन सहायक]] जो मैट्रिक्स के लिए संयुग्म स्थानान्तरण है।
-इसके सहायक के साथ  मैट्रिक्स का उत्पाद  [[विकर्ण मैट्रिक्स]] देता है (मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियाँ शून्य नहीं हैं) जिनकी विकर्ण प्रविष्टियाँ मूल मैट्रिक्स के निर्धारक हैं:
+रैखिक बीजगणित में, वर्ग आव्यूह {{math|'''A'''}} का सहायक या शास्त्रीय सहायक इसके '''एडजुगेट मैट्रिक्स''' का स्थानान्तरण है एवं इसे {{math|adj('''A''')}} दर्शाया जाता है।<ref>{{cite book |first=F. R. |last=Gantmacher |author-link=Felix Gantmacher |title=मैट्रिक्स का सिद्धांत|volume=1 |publisher=Chelsea |location=New York |year=1960 |isbn=0-8218-1376-5 |pages=76–89 |url=https://books.google.com/books?id=ePFtMw9v92sC&pg=PA76 }}</ref><ref>{{cite book |last=Strang |first=Gilbert |title=रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग|publisher=Harcourt Brace Jovanovich |year=1988 |isbn=0-15-551005-3 |edition=3rd |pages=[https://archive.org/details/linearalgebraits00stra/page/231 231–232] |chapter=Section 4.4: Applications of determinants |author-link=Gilbert Strang |chapter-url=https://archive.org/details/linearalgebraits00stra/page/231 |chapter-url-access=registration}}</ref> इसे कभी-कभी सहायक आव्यूह <ref>{{cite journal|author1=Claeyssen, J.C.R.|year=1990|title=गतिशील मैट्रिक्स समाधानों का उपयोग करके गैर-रूढ़िवादी रैखिक कंपन प्रणालियों की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करने पर|journal=Journal of Sound and Vibration|volume=140|issue=1|pages=73–84|doi=10.1016/0022-460X(90)90907-H}}</ref><ref>{{cite journal|author1=Chen, W.|author2=Chen, W.|author3=Chen, Y.J.|year=2004|title=गुंजयमान रिंग जाली उपकरणों के विश्लेषण के लिए एक विशेषता मैट्रिक्स दृष्टिकोण|journal=IEEE Photonics Technology Letters|volume=16|issue=2|pages=458–460|doi=10.1109/LPT.2003.823104}}</ref> या "एडजॉइंट" के रूप में भी जाना जाता है,<ref>{{cite book|first=Alston S.|last=Householder|title=संख्यात्मक विश्लेषण में मैट्रिक्स का सिद्धांत|publisher=Dover Books on Mathematics|year=2006|author-link=Alston Scott Householder | isbn=0-486-44972-6 |pages=166–168 }}</ref> चूंकि पश्चात वाला शब्द आज सामान्यतः भिन्न अवधारणा को संदर्भित करता है, [[हर्मिटियन सहायक]] जो आव्यूह के लिए संयुग्म स्थानान्तरण है।
+इसके सहायक के साथ  आव्यूह का उत्पाद  विकर्ण आव्यूह देता है (मुख्य विकर्ण पर प्रविष्टियाँ शून्य नहीं हैं) जिनकी विकर्ण प्रविष्टियाँ मूल आव्यूह के निर्धारक हैं:
 :<math>\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{A}) \mathbf{I},</math>
-जहाँ {{math|'''I'''}}  {{math|'''A'''}} के समान आकार का पहचान मैट्रिक्स है। परिणाम स्वरूप, व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का गुणक व्युत्क्रम उसके सहायक को उसके निर्धारक द्वारा विभाजित करके पाया जा सकता है।
+जहाँ {{math|'''I'''}}  {{math|'''A'''}} के समान आकार का पहचान आव्यूह है। परिणाम स्वरूप, व्युत्क्रमणीय आव्यूह का गुणक व्युत्क्रम उसके सहायक को उसके निर्धारक द्वारा विभाजित करके पाया जा सकता है।
 == परिभाषा ==
-{{math|'''A'''}} का निर्णायक {{math|'''A'''}} के सहकारक मैट्रिक्स {{math|'''C'''}} का स्थानान्तरण है ,
+{{math|'''A'''}} का निर्णायक {{math|'''A'''}} के एडजुगेट आव्यूह {{math|'''C'''}} का स्थानान्तरण है ,
 :<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T}.</math>
-अधिक विस्तार से, मान लीजिए {{math|''R''}}  इकाई [[क्रमविनिमेय वलय|क्रमविनिमेय रिंग]] है और {{math|'''A'''}} {{math|''R''}} प्रविष्टियों के साथ {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}}  मैट्रिक्स है। {{math|'''A'''}} का {{math|(''i'', ''j'')}} -[[लघु (रैखिक बीजगणित)|लघु]] जिसे {{math|'''M'''<sub>''ij''</sub>}} दर्शाया गया है, {{math|(''n''&nbsp;−&nbsp;1)&thinsp;×&thinsp;(''n''&nbsp;−&nbsp;1)}} मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो {{math|'''A'''}} की पंक्ति {{mvar|i}} और कॉलम {{mvar|j}} को विस्थापित करने से परिणामस्वरूप होता है। {{math|'''A'''}} का सहकारक मैट्रिक्स {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} मैट्रिक्स {{math|'''C'''}} है, जिसका {{math|(''i'', ''j'')}} प्रविष्टि {{math|'''A'''}} का {{math|(''i'', ''j'')}}  [[सहकारक (रैखिक बीजगणित)]] है, जो कि {{math|(''i'', ''j'')}} साधारण गुणा  संकेत कारक है:
+अधिक विस्तार से, मान लीजिए {{math|''R''}}  इकाई [[क्रमविनिमेय वलय|क्रमविनिमेय रिंग]] है एवं {{math|'''A'''}} {{math|''R''}} प्रविष्टियों के साथ {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}}  आव्यूह है। {{math|'''A'''}} का {{math|(''i'', ''j'')}} -[[लघु (रैखिक बीजगणित)|लघु]] जिसे {{math|'''M'''<sub>''ij''</sub>}} दर्शाया गया है, आव्यूह का निर्धारक है, जो {{math|'''A'''}} की पंक्ति {{mvar|i}} एवं स्तंभ {{mvar|j}} को विस्थापित करने से परिणामस्वरूप होता है। {{math|'''A'''}} का एडजुगेट आव्यूह {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह {{math|'''C'''}} है, जिसका {{math|(''i'', ''j'')}} प्रविष्टि {{math|'''A'''}} का {{math|(''i'', ''j'')}}  एडजुगेट (रैखिक बीजगणित) है, जो कि {{math|(''i'', ''j'')}} साधारण गुणा  संकेत कारक है:
 :<math>\mathbf{C} = \left((-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}\right)_{1 \le i, j \le n}.</math>
-का निर्णायक {{math|'''A'''}} का स्थानांतरण है {{math|'''C'''}}, वह यह है कि {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}}मैट्रिक्स जिसका {{math|(''i'', ''j'')}} प्रविष्टि है {{math|(''j'',&hairsp;''i'')}} का सहकारक {{math|'''A'''}},
+{{math|'''A'''}} का स्थानांतरण {{math|'''C'''}} है, अर्थात {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह जिसकी {{math|(''i'', ''j'')}} प्रविष्टि {{math|'''A'''}} का {{math|(''j'',&hairsp;''i'')}} एडजुगेट है,
 :<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \left((-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ji}\right)_{1 \le i, j \le n}.</math>
 '''महत्वपूर्ण परिणाम'''
-एडजुगेट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि का उत्पाद {{math|'''A'''}} इसके adjugate से  विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त होता है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ निर्धारक होती हैं {{math|det('''A''')}}. वह है,
+एडजुगेट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि {{math|'''A'''}} का उत्पाद विकर्ण आव्यूह उत्पन्न करता है, जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ निर्धारक {{math|det('''A''')}} होती हैं। वह है,
 :<math>\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \mathbf{A} = \det(\mathbf{A}) \mathbf{I},</math>
-कहाँ {{math|'''I'''}} है {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} शिनाख्त सांचा। यह निर्धारक के [[लाप्लास विस्तार]] का परिणाम है।
+जहाँ {{math|'''I'''}} {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} पहचान आव्यूह है। यह निर्धारक के [[लाप्लास विस्तार]] का परिणाम है।
-उपरोक्त सूत्र मैट्रिक्स बीजगणित में मूलभूत परिणामों में से  को दर्शाता है {{math|'''A'''}} व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है यदि और केवल यदि {{math|det('''A''')}} की  [[इकाई (रिंग सिद्धांत)]] है {{math|''R''}}. जब यह कायम रहता है, तो उपरोक्त समीकरण प्राप्त होता है
+उपरोक्त सूत्र आव्यूह बीजगणित में मूलभूत परिणामों में से एक का तात्पर्य है, {{math|'''A'''}} व्युत्क्रमणीय आव्यूह है यदि एवं केवल तभी जब {{math|det('''A''')}} {{math|''R''}} का व्युत्क्रमणीय तत्व है। जब यह प्रारम्भ होता है, तो उपरोक्त समीकरण प्राप्त होता है।
 :<math>\begin{align}
 \operatorname{adj}(\mathbf{A}) &= \det(\mathbf{A}) \mathbf{A}^{-1}, \\
@@ Line 28: / Line 31: @@
 == उदाहरण ==
-=== 1 × 1 सामान्य मैट्रिक्स ===
+=== 1 × 1 सामान्य आव्यूह ===
-चूँकि 0 x 0 मैट्रिक्स का निर्धारक 1 है, किसी भी 1 × 1 मैट्रिक्स ([[जटिल संख्या]] अदिश) का सहायक है <math>\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}</math>. उसका अवलोकन करो <math>\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{A} \mathbf{I} = (\det \mathbf{A}) \mathbf {I}.</math>
+चूँकि 0 x 0 आव्यूह का निर्धारक 1 है, किसी भी 1 × 1 आव्यूह ([[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]] अदिश) का सहायक है <math>\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}</math>. उसका अवलोकन करो:
+<math>\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{A} \mathbf{I} = (\det \mathbf{A}) \mathbf {I}.</math>
-'''2 × 2 सामान्य मैट्रिक्स'''
+'''2 × 2 सामान्य आव्यूह'''
- × 2 मैट्रिक्स का एडजुगेट
+ × 2 आव्यूह का एडजुगेट
 :<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c  & d \end{bmatrix}</math>
 है
@@ Line 39: / Line 44: @@
 प्रत्यक्ष गणना द्वारा,
 :<math>\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{bmatrix} ad - bc & 0 \\ 0 & ad - bc \end{bmatrix} = (\det \mathbf{A})\mathbf{I}.</math>
-ऐसे में ये बात भी सच है {{math|det}}({{math|adj}}(ए))= {{math|det}}(ए) और इसलिए वह {{math|adj}}({{math|adj}}(ए)) = ए.
+ऐसे में ये कथन भी सच है, कि {{math|det}}({{math|adj}}('''A'''))= {{math|det}}('''A''') एवं इसलिए {{math|adj}}({{math|adj}}('''A''')) = '''A'''.
-'''3 × 3 सामान्य मैट्रिक्स'''
+'''3 × 3 सामान्य आव्यूह'''
- × 3 मैट्रिक्स पर विचार करें
+ × 3 आव्यूह पर विचार करें
 :<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
@@ Line 49: / Line 54: @@
 a_{31} & a_{32} & a_{33}
 \end{bmatrix}.</math>
-इसका सहकारक मैट्रिक्स है
+इसका एडजुगेट आव्यूह है
 :<math>\mathbf{C} = \begin{bmatrix}
 +\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
@@ Line 63: / Line 68: @@
 +\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
 \end{bmatrix},</math>
-कहाँ
+जहाँ
 :<math>\begin{vmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{vmatrix}
 = \det\!\begin{bmatrix} a_{im} & a_{in} \\ a_{jm} & a_{jn} \end{bmatrix} .</math>
-इसका सहायक इसके सहकारक मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है,
+इसका सहायक इसके एडजुगेट आव्यूह का स्थानान्तरण है,
 :<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \begin{bmatrix}
 +\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &
@@ Line 83: / Line 88: @@
-'''3 × 3 संख्यात्मक मैट्रिक्स'''
+'''3 × 3 संख्यात्मक आव्यूह'''
-विशिष्ट उदाहरण के रूप में, हमारे पास है
+विशिष्ट उदाहरण के रूप में, हमारे पास है,
 :<math>\operatorname{adj}\!\begin{bmatrix}
 -3 &  2 & -5 \\
@@ Line 95: / Line 100: @@
 & -6 &  2
 \end{bmatrix}.</math>
-यह जांचना आसान है कि एडजुगेट निर्धारक का व्युत्क्रम मैट्रिक्स गुणा है, {{math|−6}}. वह {{math|−1}} दूसरी पंक्ति में, एडजुगेट के तीसरे कॉलम की गणना निम्नानुसार की गई थी। एडजुगेट की (2,3) प्रविष्टि ए का (3,2) सहकारक है। इस सहकारक की गणना मूल मैट्रिक्स ए की तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तंभ को हटाकर प्राप्त [[सबमैट्रिक्स]] का उपयोग करके की जाती है।
+यह परिक्षण करना सरल है कि एडजुगेट निर्धारक का व्युत्क्रम आव्यूह गुणा है, {{math|−6}}, वह {{math|−1}} दूसरी पंक्ति में, एडजुगेट के तीसरे स्तंभ की गणना निम्नानुसार की गई थी। एडजुगेट की (2,3) प्रविष्टि '''A''' का (3,2) एडजुगेट है। इस एडजुगेट की गणना मूल आव्यूह '''A''' की तीसरी पंक्ति एवं दूसरे स्तंभ को विस्थापित कर प्राप्त [[सबमैट्रिक्स|सबआव्यूह]] का उपयोग करके की जाती है।
 :<math>\begin{bmatrix} -3 & -5 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}.</math>
-(3,2) सहकारक इस सबमैट्रिक्स के निर्धारक का  संकेत गुना है:
+(3,2) एडजुगेट इस सबआव्यूह के निर्धारक का संकेत गुना है:
 :<math>(-1)^{3+2}\operatorname{det}\!\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix} = -(-3 \cdot -2 - -5 \cdot -1) = -1,</math>
-और यह सहायक की (2,3) प्रविष्टि है।
+एवं यह सहायक की (2,3) प्रविष्टि है।
 == गुण ==
-किसी के लिए {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह {{math|'''A'''}}, प्रारंभिक गणना से पता चलता है कि adjugates में निम्नलिखित गुण हैं:
+किसी भी {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह {{math|'''A'''}} के लिए, प्रारंभिक गणना से ज्ञात होता है कि एडजुगेट में निम्नलिखित गुण हैं:
-* <math>\operatorname{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}</math>, कहाँ <math>\mathbf{I}</math> पहचान मैट्रिक्स है.
+* <math>\operatorname{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}</math>, जहाँ <math>\mathbf{I}</math> पहचान आव्यूह है.
-* <math>\operatorname{adj}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}</math>, कहाँ <math>\mathbf{0}</math> [[शून्य मैट्रिक्स]] है, सिवाय इसके कि यदि <math>n=1</math> तब <math>\operatorname{adj}(\mathbf{0}) = \mathbf{I}</math>.
+* <math>\operatorname{adj}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}</math>, जहाँ <math>\mathbf{0}</math> [[शून्य मैट्रिक्स|शून्य आव्यूह]] है, अतिरिक्त इसके कि यदि <math>n=1</math> तब <math>\operatorname{adj}(\mathbf{0}) = \mathbf{I}</math>.
-* <math>\operatorname{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\operatorname{adj}(\mathbf{A})</math> किसी भी अदिश राशि के लिए {{mvar|c}}.
+* किसी भी अदिश {{mvar|c}} के लिए <math>\operatorname{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\operatorname{adj}(\mathbf{A})</math> .
 * <math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}^\mathsf{T}) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})^\mathsf{T}</math>.
 * <math>\det(\operatorname{adj}(\mathbf{A})) = (\det \mathbf{A})^{n-1}</math>.
-* अगर {{math|'''A'''}} तो उलटा है <math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A}) \mathbf{A}^{-1}</math>. यह इस प्रकार है कि:
+* यदि {{math|'''A'''}} तो व्युत्क्रमणीय है, तो <math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A}) \mathbf{A}^{-1}</math>. यह इस प्रकार है कि:
-** {{math|adj('''A''')}} व्युत्क्रम के साथ व्युत्क्रमणीय है {{math|(det '''A''')<sup>−1</sup>'''A'''}}.
+** {{math|adj('''A''')}} व्युत्क्रम {{math|(det '''A''')<sup>−1</sup>'''A'''}} के साथ व्युत्क्रमणीय है .
 ** {{math|1=adj('''A'''<sup>−1</sup>) = adj('''A''')<sup>−1</sup>}}.
-* {{math|adj('''A''')}} प्रवेशवार [[बहुपद]] है {{math|'''A'''}}. विशेष रूप से, [[वास्तविक संख्या]] या जटिल संख्याओं पर, adjugate की प्रविष्टियों का  [[सुचारू कार्य]] है {{math|'''A'''}}.
+* {{math|adj('''A''')}} {{math|'''A'''}} प्रवेशवार [[बहुपद]] है। विशेष रूप से, [[वास्तविक संख्या]] या सम्मिश्र संख्याओं पर, एडजुगेट {{math|'''A'''}} की प्रविष्टियों का [[सुचारू कार्य]] है।
 सम्मिश्र संख्याओं पर,
-* <math>\operatorname{adj}(\overline\mathbf{A}) = \overline{\operatorname{adj}(\mathbf{A})}</math>, जहां बार [[जटिल संयुग्मन]] को दर्शाता है।
+* <math>\operatorname{adj}(\overline\mathbf{A}) = \overline{\operatorname{adj}(\mathbf{A})}</math>, जहां बार [[जटिल संयुग्मन|सम्मिश्र संयुग्मन]] को दर्शाता है।
 * <math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}^*) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})^*</math>, जहां तारांकन संयुग्म स्थानांतरण को दर्शाता है।
-लगता है कि {{math|'''B'''}} दूसरा है {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह। तब
+मान लीजिए कि {{math|'''B'''}} अन्य {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह है, तब
 :<math>\operatorname{adj}(\mathbf{AB}) = \operatorname{adj}(\mathbf{B})\operatorname{adj}(\mathbf{A}).</math>
-यह तीन प्रकार से [[गणितीय प्रमाण]] हो सकता है।  तरीका, जो किसी भी क्रमविनिमेय वलय के लिए मान्य है, कॉची-बिनेट सूत्र का उपयोग करके सीधी गणना है। दूसरा तरीका, जो वास्तविक या जटिल संख्याओं के लिए मान्य है, पहले व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का निरीक्षण करना है {{math|'''A'''}} और {{math|'''B'''}},
+इसे तीन प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है। विधि, जो किसी भी क्रमविनिमेय वलय के लिए मान्य है, कॉची-बिनेट सूत्र का उपयोग करके सीधी गणना है। दूसरा विधि, जो वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं के लिए मान्य है, सर्वप्रथम निरीक्षण करना है व्युत्क्रमणीय आव्यूह {{math|'''A'''}} एवं {{math|'''B'''}} के लिए,
 :<math>\operatorname{adj}(\mathbf{B})\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{B})\mathbf{B}^{-1}(\det \mathbf{A})\mathbf{A}^{-1} = (\det \mathbf{AB})(\mathbf{AB})^{-1} = \operatorname{adj}(\mathbf{AB}).</math>
-चूँकि प्रत्येक गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की सीमा है, इसलिए सहायक के निरंतर कार्य का तात्पर्य यह है कि सूत्र तब सत्य रहता है जब इनमें से कोई  हो {{math|'''A'''}} या {{math|'''B'''}} उलटा नहीं है.
+चूँकि प्रत्येक गैर-व्युत्क्रमणीय आव्यूह व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की सीमा है, इसलिए सहायक की निरंतरता का तात्पर्य यह है कि जब {{math|'''A'''}} या {{math|'''B'''}} इनमें से कोई व्युत्क्रमणीय नहीं होता है तो सूत्र सत्य रहता है।
-पिछले सूत्र का  [[परिणाम]] यह है कि, किसी भी गैर-नकारात्मक [[पूर्णांक]] के लिए {{mvar|k}},
+पूर्व सूत्र का [[परिणाम]] यह है कि, किसी भी गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक]] {{mvar|k}} के लिए ,
 :<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}^k) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})^k.</math>
-अगर {{math|'''A'''}} व्युत्क्रमणीय है, तो उपरोक्त सूत्र ऋणात्मक के लिए भी मान्य है {{mvar|k}}.
+यदि {{math|'''A'''}} व्युत्क्रमणीय है, तो उपरोक्त सूत्र ऋणात्मक {{mvar|k}} के लिए भी मान्य है .
 पहचान से
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 हम निष्कर्ष निकालते हैं
 :<math>\mathbf{A}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{B} = \mathbf{B}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{A}.</math>
-लगता है कि {{math|'''A'''}} [[ आवागमन मैट्रिक्स ]]ेस के साथ {{math|'''B'''}}. पहचान को गुणा करना {{math|1='''AB''' = '''BA'''}} बाएँ और दाएँ पर {{math|adj('''A''')}} यह साबित करता है
+मान लीजिए कि {{math|'''A'''}}, {{math|'''B'''}} के साथ यात्रा करता है। बायीं एवं दायीं ओर पहचान {{math|1='''AB''' = '''BA'''}} को {{math|adj('''A''')}} से गुणा करने से सिद्ध होता है, कि
 :<math>\det(\mathbf{A})\operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{B} = \det(\mathbf{A})\mathbf{B}\operatorname{adj}(\mathbf{A}).</math>
-अगर {{math|'''A'''}} व्युत्क्रमणीय है, इसका तात्पर्य यह है {{math|adj('''A''')}} भी साथ आवागमन करता है {{math|'''B'''}}. वास्तविक या जटिल संख्याओं पर, निरंतरता का तात्पर्य है {{math|adj('''A''')}} के साथ आवागमन करता है {{math|'''B'''}} यहां तक कि जब {{math|'''A'''}} उलटा नहीं है.
+यदि {{math|'''A'''}} व्युत्क्रमणीय है, इसका तात्पर्य यह है, कि {{math|adj('''A''')}}भी {{math|'''B'''}} के साथ संचलन करता है। वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर, निरंतरता का तात्पर्य है, कि {{math|adj('''A''')}} {{math|'''B'''}} के साथ संचलन करता है, संभवता ही {{math|'''A'''}} व्युत्क्रमणीय नहीं है।
-अंत में, दूसरे प्रमाण की तुलना में  अधिक सामान्य प्रमाण है, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि  n × n मैट्रिक्स में कम से कम 2n + 1 तत्वों (उदाहरण के लिए पूर्णांक [[मॉड्यूलर अंकगणित]] 11 पर 5 × 5 मैट्रिक्स) के साथ  [[फ़ील्ड (गणित)]] पर प्रविष्टियाँ हों ). {{math|det('''A'''+''t''&hairsp;'''I''')}} t में  बहुपद है जिसमें अधिकतम n पर बहुपद की घात होती है, इसलिए इसमें बहुपद का अधिकतम n मूल होता है। ध्यान दें कि ij&hairsp;वीं प्रविष्टि {{math|adj(('''A'''+''t''&hairsp;'''I''')('''B'''))}}अधिकतम क्रम n का  बहुपद है, और इसी तरह के लिए भी {{math|adj('''A'''+''t''&hairsp;'''I''')&hairsp;adj('''B''')}}. Ij&hairsp;वीं प्रविष्टि पर ये दो बहुपद कम से कम n+ 1 अंक पर सहमत हैं, क्योंकि हमारे पास क्षेत्र के कम से कम n+ 1 तत्व हैं जहां {{math|'''A'''+''t''&hairsp;'''I'''}} व्युत्क्रमणीय है, और हमने व्युत्क्रमणीय आव्यूहों की पहचान सिद्ध कर दी है। डिग्री n के बहुपद जो n+ 1 बिंदुओं पर सहमत होते हैं, समान होने चाहिए (उन्हें  दूसरे से घटाएं और आपके पास अधिकतम n डिग्री वाले बहुपद के लिए n+ 1 मूल होंगे -  विरोधाभास जब तक कि उनका अंतर समान रूप से शून्य न हो)। चूँकि दोनों बहुपद समान हैं, वे t के प्रत्येक मान के लिए समान मान लेते हैं। इस प्रकार, जब t = 0 होता है तो वे समान मान लेते हैं।
+अंत में, दूसरे प्रमाण की तुलना में अधिक सामान्य प्रमाण है, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि  n × n आव्यूह में कम से कम 2n + 1 तत्वों (उदाहरण के लिए पूर्णांक [[मॉड्यूलर अंकगणित]] 11 पर 5 × 5 आव्यूह) वाले क्षेत्र में पर प्रविष्टियाँ हों)। {{math|det('''A'''+''t''&hairsp;'''I''')}} t में  बहुपद है जिसमें डिग्री अधिकतम n  है, इसलिए इसकी अधिकतम n जड़ें हैं। ध्यान दें कि {{math|adj(('''A'''+''t''&hairsp;'''I''')('''B'''))}}  ij&hairsp;वीं प्रविष्टि अधिकतम क्रम n का बहुपद है, एवं इसी प्रकार {{math|adj('''A'''+''t''&hairsp;'''I''')&hairsp;adj('''B''')}} के लिए भी है। Ij&hairsp;वीं प्रविष्टि पर ये दो बहुपद कम से कम n+ 1 अंक पर सहमत हैं, क्योंकि हमारे पास क्षेत्र के कम से कम n+ 1 तत्व हैं जहां {{math|'''A'''+''t''&hairsp;'''I'''}} व्युत्क्रमणीय है, एवं हमने व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के लिए पहचान सिद्ध कर दी है। डिग्री n के बहुपद जो n+ 1 बिंदुओं पर सहमत होते हैं, समान होने चाहिए (उन्हें  दूसरे से घटाएं एवं आपके पास अधिकतम n डिग्री वाले बहुपद के लिए n+ 1 मूल होंगे, विरोधाभास जब तक कि उनका अंतर समान रूप से शून्य न हो)। चूँकि दोनों बहुपद समान हैं, वे t के प्रत्येक मान के लिए समान मान लेते हैं। इस प्रकार, जब t = 0 होता है तो वे समान मान लेते हैं।
-उपरोक्त गुणों और अन्य प्राथमिक गणनाओं का उपयोग करके, यह दिखाना आसान है कि यदि {{math|'''A'''}} में निम्नलिखित गुणों में से  है {{math|adj&hairsp;'''A'''}} भी करता है:
+उपरोक्त गुणों एवं अन्य प्राथमिक गणनाओं का उपयोग करके, यह दिखाना सरल है कि यदि {{math|'''A'''}} में निम्नलिखित गुणों में से है {{math|adj&hairsp;'''A'''}} भी ऐसा ही करता है:
 * [[ऊपरी त्रिकोणीय]],
 *[[निचला त्रिकोणीय]],
-* विकर्ण मैट्रिक्स,
+* विकर्ण आव्यूह,
-* [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स]],
+* [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|ऑर्थोगोनल आव्यूह]],
-* [[एकात्मक मैट्रिक्स|ात्मक मैट्रिक्स]],
+* [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक आव्यूह]],
-* [[सममित मैट्रिक्स]],
+* [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]],
-* [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]],
+* [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]],
-*[[तिरछा-सममित मैट्रिक्स]]|तिरछा-सममित,
+*[[तिरछा-सममित मैट्रिक्स|स्क्यू]][[तिरछा-सममित मैट्रिक्स|-सममित,]]
-* [[तिरछा-Hermitian]],
+* [[तिरछा-Hermitian|स्क्यू-हर्मिटियन,]]
-* [[सामान्य मैट्रिक्स]].
+* [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य आव्यूह,]]
-अगर {{math|'''A'''}} उलटा है, तो, जैसा कि ऊपर बताया गया है, इसके लिए  सूत्र है {{math|adj('''A''')}} निर्धारक और व्युत्क्रम के संदर्भ में {{math|'''A'''}}. कब {{math|'''A'''}} उलटा नहीं है, एडजुगेट भिन्न-भिन्न लेकिन निकट से संबंधित सूत्रों को संतुष्ट करता है।
+यदि {{math|'''A'''}} व्युत्क्रमणीय है, तो, जैसा कि ऊपर बताया गया है, {{math|'''A'''}} के निर्धारक एवं व्युत्क्रम के संदर्भ में {{math|adj('''A''')}} के लिए एक सूत्र है। जब {{math|'''A'''}} व्युत्क्रमणीय नहीं है, तो एडजुगेट भिन्न-भिन्न किन्तु निकट से संबंधित सूत्रों को संतुष्ट करता है।
-* अगर {{math|1=rk('''A''') ≤ ''n'' − 2}}, तब {{math|1=adj('''A''') = '''0'''}}.
+* यदि {{math|1=rk('''A''') ≤ ''n'' − 2}}, तब {{math|1=adj('''A''') = '''0'''}}.
-* अगर {{math|1=rk('''A''') = ''n'' −&thinsp;1}}, तब {{math|1=rk(adj('''A''')) = 1}}. (कुछ माइनर गैर-शून्य है, इसलिए {{math|adj('''A''')}} गैर-शून्य है और इसलिए इसकी [[रैंक (रैखिक बीजगणित)]] कम से कम  है; पहचान {{math|1=adj('''A''')&hairsp;'''A''' = '''0'''}} तात्पर्य यह है कि शून्य स्थान का [[आयाम (वेक्टर स्थान)]]। {{math|adj('''A''')}} कम से कम है {{math|''n''&nbsp;−&thinsp;1}}, इसलिए इसकी रैंक अधिकतम  है।) यह उसका अनुसरण करता है {{math|1=adj('''A''') = ''α'''''xy'''<sup>T</sup>}}, कहाँ {{math|''α''}}  अदिश राशि है और {{math|'''x'''}} और {{math|'''y'''}} ऐसे सदिश हैं {{math|1='''Ax''' = '''0'''}} और {{math|1='''A'''<sup>T</sup>&thinsp;'''y''' = '''0'''}}.
+* यदि {{math|1=rk('''A''') = ''n'' −&thinsp;1}}, तब {{math|1=rk(adj('''A''')) = 1}}. (कुछ माइनर गैर-शून्य है, इसलिए {{math|adj('''A''')}} गैर-शून्य है एवं इसलिए इसकी [[रैंक (रैखिक बीजगणित)]] कम से कम  है; पहचान {{math|1=adj('''A''')&hairsp;'''A''' = '''0'''}} का तात्पर्य यह है, कि {{math|adj('''A''')}} के शून्य स्थान का [[आयाम (वेक्टर स्थान)|आयाम]] कम से कम  {{math|''n''&nbsp;−&thinsp;1}} है, इसलिए इसकी रैंक अधिकतम है।) यह यह इस प्रकार है कि {{math|1=adj('''A''') = ''α'''''xy'''<sup>T</sup>}}, जहाँ {{math|''α''}}  अदिश राशि है एवं {{math|'''x'''}} एवं {{math|'''y'''}} इस प्रकार सदिश हैं कि {{math|1='''Ax''' = '''0'''}} एवं {{math|1='''A'''<sup>T</sup>&thinsp;'''y''' = '''0'''}} है।
-=== कॉलम प्रतिस्थापन और क्रैमर नियम ===
+=== स्तंभ प्रतिस्थापन एवं क्रैमर नियम ===
-{{see also|Cramer's rule}}
+{{see also|
+क्रैमर का नियम}}
-PARTITION {{math|'''A'''}} [[स्तंभ सदिश]] में:
+[[स्तंभ सदिश]] में विभाजन {{math|'''A'''}}:
 :<math>\mathbf{A} = \begin{bmatrix}\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{bmatrix}.</math>
-होने देना {{math|'''b'''}} आकार का  कॉलम वेक्टर बनें {{math|''n''}}. हल करना {{math|1&thinsp;≤ ''i'' ≤ ''n''}} और कॉलम को प्रतिस्थापित करके गठित मैट्रिक्स पर विचार करें {{math|''i''}} का {{math|'''A'''}} द्वारा {{math|'''b'''}}:
+मान लीजिए {{math|'''b'''}} आकार {{math|''n''}} का स्तंभ सदिश है। {{math|1&thinsp;≤ ''i'' ≤ ''n''}} को ठीक करें एवं {{math|'''A'''}} के स्तंभ {{math|''i''}} को {{math|'''b'''}} से प्रतिस्थापित करके बनने वाले आव्यूह पर विचार करें:
 :<math>(\mathbf{A} \stackrel{i}{\leftarrow} \mathbf{b})\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_{i-1} & \mathbf{b} & \mathbf{a}_{i+1} & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix}.</math>
-लाप्लास कॉलम के साथ इस मैट्रिक्स के निर्धारक का विस्तार करता है {{mvar|i}}. परिणाम प्रवेश है {{mvar|i}} उत्पाद की {{math|adj('''A''')'''b'''}}. विभिन्न संभावितों के लिए इन निर्धारकों को त्रित करना {{mvar|i}} कॉलम वैक्टर की समानता उत्पन्न करता है
+लाप्लास इस आव्यूह के निर्धारक को कॉलम {{mvar|i}} के साथ विस्तारित करता है। परिणाम उत्पाद {{math|adj('''A''')'''b'''}}की प्रविष्टि {{mvar|i}} है। विभिन्न संभावित {{mvar|i}} के लिए इन निर्धारकों को एकत्रित करने से स्तंभ सदिशों की समानता प्राप्त होती है।
 :<math>\left(\det(\mathbf{A} \stackrel{i}{\leftarrow} \mathbf{b})\right)_{i=1}^n = \operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{b}.</math>
-इस सूत्र के निम्नलिखित ठोस परिणाम हैं। [[समीकरणों की रैखिक प्रणाली]] पर विचार करें
+इस सूत्र के निम्नलिखित ठोस परिणाम हैं। [[समीकरणों की रैखिक प्रणाली]] पर विचार करें,
 :<math>\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b}.</math>
-ये मान लीजिए {{math|'''A'''}} [[एकवचन मैट्रिक्स|वचन मैट्रिक्स]] है|गैर-वचन। इस प्रणाली को बायीं ओर से गुणा करना {{math|adj('''A''')}} और निर्धारक पैदावार से विभाजित करना
+मान लें कि {{math|'''A'''}} गैर-वचन है। बाईं ओर इस प्रणाली को {{math|adj('''A''')}} से गुणा करना एवं निर्धारक पाशविक से विभाजित करना:
 :<math>\mathbf{x} = \frac{\operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{b}}{\det \mathbf{A}}.</math>
-इस स्थिति में पिछले सूत्र को लागू करने से क्रैमर का नियम प्राप्त होता है,
+इस स्थिति में पूर्व सूत्र को प्रारम्भ करने से क्रैमर का नियम प्राप्त होता है,
 :<math>x_i = \frac{\det(\mathbf{A} \stackrel{i}{\leftarrow} \mathbf{b})}{\det \mathbf{A}},</math>
-कहाँ {{math|''x''<sub>''i''</sub>}} है {{mvar|i}}वीं प्रविष्टि {{math|'''x'''}}.
+जहां {{math|''x''<sub>''i''</sub>}}, {{math|'''x'''}} की {{mvar|i}}वीं प्रविष्टि है।
 === अभिलक्षणिक बहुपद ===
-मान लीजिए कि इसका अभिलक्षणिक बहुपद है {{math|'''A'''}} होना
+माना {{math|'''A'''}} का अभिलक्षणिक बहुपद है
 :<math>p(s) = \det(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = \sum_{i=0}^n p_i s^i \in R[s].</math>
-का पहला [[विभाजित अंतर]] {{math|''p''}} घात का  [[सममित बहुपद]] है {{math|''n''&nbsp;−&thinsp;1}},
+{{math|''p''}} का प्रथम [[विभाजित अंतर]] घात {{math|''n''&nbsp;−&thinsp;1}} [[सममित बहुपद]] है,
 :<math>\Delta p(s, t) = \frac{p(s) - p(t)}{s - t} = \sum_{0 \le j + k < n} p_{j+k+1} s^j t^k \in R[s, t].</math>
-गुणा {{math|''s'''''I''' − '''A'''}} इसके adjugate द्वारा. तब से {{math|1=''p''('''A''') = '''0'''}} केली-हैमिल्टन प्रमेय द्वारा, कुछ प्राथमिक जोड़-तोड़ से पता चलता है
+{{math|''s'''''I''' − '''A'''}} को इसके एडजुगेट से गुणा करें। चूँकि केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार {{math|1=''p''('''A''') = '''0'''}} कुछ प्राथमिक जोड़-तोड़ से ज्ञात होता है
 :<math>\operatorname{adj}(s\mathbf{I} - \mathbf{A}) = \Delta p(s\mathbf{I}, \mathbf{A}).</math>
-विशेष रूप से, [[संकल्पात्मक औपचारिकता]] {{math|'''A'''}} को परिभाषित किया गया है
+विशेष रूप से, {{math|'''A'''}} के [[संकल्पात्मक औपचारिकता]] को परिभाषित किया गया है
 :<math>R(z; \mathbf{A}) = (z\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1},</math>
-और उपरोक्त सूत्र के अनुसार, यह बराबर है
+एवं उपरोक्त सूत्र के अनुसार, यह समान है
 :<math>R(z; \mathbf{A}) = \frac{\Delta p(z\mathbf{I}, \mathbf{A})}{p(z)}.</math>
 '''जैकोबी का सूत्र'''
-{{main|Jacobi's formula}}
+{{main|
-निर्धारक के व्युत्पन्न के लिए एडजुगेट जैकोबी के सूत्र में भी दिखाई देता है। अगर {{math|'''A'''(''t'')}} तो फिर [[लगातार भिन्न]]-भिन्न है
+जैकोबी का सूत्र}}
+निर्धारक के व्युत्पन्न के लिए एडजुगेट जैकोबी के सूत्र में भी दिखाई देता है। यदि {{math|'''A'''(''t'')}} [[लगातार भिन्न|निरंतर अवकलनीय]]-भिन्न है,
 :<math>\frac{d(\det \mathbf{A})}{dt}(t) = \operatorname{tr}\left(\operatorname{adj}(\mathbf{A}(t)) \mathbf{A}'(t)\right).</math>
 यह इस प्रकार है कि निर्धारक का [[कुल व्युत्पन्न]] सहायक का स्थानान्तरण है:
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 '''केली-हैमिल्टन सूत्र'''
-{{main|Cayley–Hamilton theorem}}
+{{main|केली-हैमिल्टन प्रमेय}}
-होने देना {{math|''p''<sub>'''A'''</sub>(''t'')}} का अभिलक्षणिक बहुपद बनें {{math|'''A'''}}. केली-हैमिल्टन प्रमेय यह बताता है
+मान लीजिए {{math|''p''<sub>'''A'''</sub>(''t'')}} {{math|'''A'''}} का अभिलक्षणिक बहुपद है। केली-हैमिल्टन प्रमेय कहता है, कि
 :<math>p_{\mathbf{A}}(\mathbf{A}) = \mathbf{0}.</math>
-अचर पद को भिन्न करना और समीकरण को इससे गुणा करना {{math|adj('''A''')}} उस निर्णय के लिए  अभिव्यक्ति देता है जो केवल पर निर्भर करता है {{math|'''A'''}} और के गुणांक {{math|''p''<sub>'''A'''</sub>(''t'')}}. इन गुणांकों को शक्तियों के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के संदर्भ में स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है {{math|'''A'''}} पूर्ण घातीय [[बेल बहुपद]] का उपयोग करना। परिणामी सूत्र है
+स्थिर पद को भिन्न करने एवं समीकरण को {{math|adj('''A''')}} से गुणा करने पर एडजुगेट के लिए एक अभिव्यक्ति मिलती है जो केवल {{math|'''A'''}} एवं {{math|''p''<sub>'''A'''</sub>(''t'')}} के गुणांक पर निर्भर करती है। इन गुणांकों को पूर्ण घातीय बेल बहुपदों का उपयोग करके {{math|'''A'''}} की शक्तियों के चिन्ह के रूप में स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है। परिणामी सूत्र है
 :<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \sum_{s=0}^{n-1} \mathbf{A}^{s} \sum_{k_1, k_2, \ldots, k_{n-1}} \prod_{\ell=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k_\ell+1}}{\ell^{k_\ell}k_{\ell}!}\operatorname{tr}(\mathbf{A}^\ell)^{k_\ell},</math>
-कहाँ {{mvar|n}} का आयाम है {{math|'''A'''}}, और राशि ले ली जाती है {{mvar|s}} और सभी अनुक्रम {{math|''k<sub>l</sub>'' ≥ 0}} रैखिक [[डायोफैंटाइन समीकरण]] को संतुष्ट करना
+जहां {{mvar|n}}, {{math|'''A'''}} का आयाम है, एवं योग को {{mvar|s}} से ऊपर ले लिया गया है एवं {{math|''k<sub>l</sub>'' ≥ 0}} के सभी अनुक्रम रैखिक [[डायोफैंटाइन समीकरण]] को संतुष्ट करते हैं
 :<math>s+\sum_{\ell=1}^{n-1}\ell k_\ell = n - 1.</math>
- × 2 मामले के लिए, यह देता है
+ × 2 विषय के लिए, यह देता है
 :<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{I}_2(\operatorname{tr}\mathbf{A}) - \mathbf{A}.</math>
- × 3 मामले के लिए, यह देता है
+ × 3 विषय के लिए, यह देता है
 :<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\frac{1}{2}\mathbf{I}_3\!\left( (\operatorname{tr}\mathbf{A})^2-\operatorname{tr}\mathbf{A}^2\right) - \mathbf{A}(\operatorname{tr}\mathbf{A}) + \mathbf{A}^2 .</math>
- × 4 मामले के लिए, यह देता है
+ × 4 विषय के लिए, यह देता है
 :<math>\operatorname{adj}(\mathbf{A})=
 \frac{1}{6}\mathbf{I}_4\!\left(
@@ Line 211: / Line 219: @@
 + \mathbf{A}^2(\operatorname{tr}\mathbf{A})
 - \mathbf{A}^3.</math>
-वही सूत्र सीधे फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिथ्म के अंतिम चरण का अनुसरण करता है, जो कुशलता से विशेषता बहुपद को निर्धारित करता है {{math|'''A'''}}.
+वही सूत्र सीधे फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिथ्म के अंतिम चरण का अनुसरण करता है, जो {{math|'''A'''}} की विशेषता बहुपद को कुशलतापूर्वक निर्धारित करता है।
 == बाह्य बीजगणित से संबंध ==
-[[बाहरी बीजगणित]] का उपयोग करके सहायक को अमूर्त शब्दों में देखा जा सकता है। होने देना {{math|''V''}} सेम {{math|''n''}}-आयामी सदिश समष्टि. [[बाहरी उत्पाद]]  द्विरेखीय युग्मन को परिभाषित करता है
+[[बाहरी बीजगणित]] का उपयोग करके सहायक को अमूर्त शब्दों में देखा जा सकता है। मान लीजिए {{math|''V''}} एक {{math|''n''}}-आयामी सदिश समष्टि है, [[बाहरी उत्पाद]]  द्विरेखीय युग्मन को परिभाषित करता है।
 :<math>V \times \wedge^{n-1} V \to \wedge^n V.</math>
-संक्षेप में, <math>\wedge^n V</math> के लिए [[समरूपी]] है {{math|'''R'''}}, और ऐसी किसी भी समरूपता के तहत बाहरी उत्पाद  आदर्श युग्मन है। इसलिए, यह  समरूपता उत्पन्न करता है
+संक्षेप में, <math>\wedge^n V</math>, {{math|'''R'''}} का [[समरूपी]] है, एवं ऐसी किसी भी समरूपता के अनुसार बाहरी उत्पाद आदर्श युग्मन है। इसलिए, यह  समरूपता उत्पन्न करता है।
 :<math>\phi \colon V\ \xrightarrow{\cong}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V).</math>
-स्पष्ट रूप से, यह जोड़ी भेजती है {{math|'''v''' ∈ ''V''}} को <math>\phi_{\mathbf{v}}</math>, कहाँ
+स्पष्ट रूप से, यह युग्म {{math|'''v''' ∈ ''V''}} को भेजता है <math>\phi_{\mathbf{v}}</math>, जहाँ
 :<math>\phi_\mathbf{v}(\alpha) = \mathbf{v} \wedge \alpha.</math>
-लगता है कि {{math|''T'' : ''V'' &rarr; ''V''}}  [[रैखिक परिवर्तन]] है. द्वारा पुलबैक {{math|(''n''&nbsp;−&thinsp;1)}}सेंट बाहरी शक्ति {{math|''T''}} का  रूपवाद प्रेरित करता है {{math|Hom}} रिक्त स्थान. का निर्णायक {{math|''T''}} समग्र है
+मान लीजिए कि {{math|''T'' : ''V'' &rarr; ''V''}}  [[रैखिक परिवर्तन]] है। {{math|''T''}} की {{math|(''n''&nbsp;−&thinsp;1)}}st  बाहरी शक्ति द्वारा पुलबैक {{math|Hom}} स्पेस के आकारवाद को प्रेरित करता है। {{math|''T''}} का समायोजक सम्मिश्र है।
 :<math>V\ \xrightarrow{\phi}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)\ \xrightarrow{(\wedge^{n-1} T)^*}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)\ \xrightarrow{\phi^{-1}}\ V.</math>
-अगर {{math|1=''V'' = '''R'''<sup>''n''</sup>}} अपने [[विहित आधार]] से संपन्न है {{math|'''e'''<sub>1</sub>, …, '''e'''<sub>''n''</sub>}}, और यदि का मैट्रिक्स {{math|''T''}}इसमें [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] है {{math|'''A'''}}, फिर का adjugate {{math|''T''}} का सहायक है {{math|'''A'''}}. यह देखने के लिए कि क्यों, दे दो <math>\wedge^{n-1} \mathbf{R}^n</math> बुनियाद
+यदि {{math|1=''V'' = '''R'''<sup>''n''</sup>}} अपने [[विहित आधार]] {{math|'''e'''<sub>1</sub>, …, '''e'''<sub>''n''</sub>}} से संपन्न है, एवं यदि इस [[आधार (रैखिक बीजगणित)|आधार (रैखिक बीजगणित]]) पर {{math|''T''}} का आव्यूह {{math|'''A'''}} है, तो {{math|''T''}} का सहायक {{math|'''A'''}} है, यह देखने के लिए कि क्यों, दें <math>\wedge^{n-1} \mathbf{R}^n</math> आधार
 :<math>\{\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_k \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n\}_{k=1}^n.</math>
-आधार वेक्टर ठीक करें {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} का {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}. की छवि {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} अंतर्गत <math>\phi</math> यह इस आधार पर निर्धारित होता है कि यह आधार वैक्टर कहां भेजता है:
+आधार सदिश {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} का {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} ठीक करें, {{math|'''e'''<sub>''i''</sub>}} की छवि  <math>\phi</math> के अंतर्गत इस आधार पर निर्धारित होता है, कि यह आधार सदिश जहाँ भेजता है:
 :<math>\phi_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_k \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n)
 = \begin{cases} (-1)^{i-1} \mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n, &\text{if}\ k = i, \\ 0 &\text{otherwise.} \end{cases}</math>
-वेक्टर के आधार पर, {{math|(''n''&nbsp;−&thinsp;1)}}सेंट बाहरी शक्ति {{math|''T''}} है
+सदिश के आधार पर, {{math|(''n''&nbsp;−&thinsp;1)}}, {{math|''T''}} की बाहरी शक्ति  है,
 :<math>\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_j \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n \mapsto \sum_{k=1}^n (\det A_{jk}) \mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_k \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n.</math>
-इनमें से प्रत्येक पद शून्य के अंतर्गत मैप करता है <math>\phi_{\mathbf{e}_i}</math> सिवाय {{math|1=''k'' = ''i''}} अवधि। इसलिए, की वापसी <math>\phi_{\mathbf{e}_i}</math> जिसके लिए रैखिक परिवर्तन है
+इनमें से प्रत्येक पद <math>\phi_{\mathbf{e}_i}</math>के अंतर्गत शून्य मैप करता है, अतिरिक्त {{math|1=''k'' = ''i''}} अवधि है। इसलिए, <math>\phi_{\mathbf{e}_i}</math>की वापसी जिसके लिए रैखिक परिवर्तन है,
 :<math>\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_j \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n \mapsto (-1)^{i-1} (\det A_{ji}) \mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n,</math>
-अर्थात् यह बराबर है
+अर्थात् यह समान है,
 :<math>\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} (\det A_{ji})\phi_{\mathbf{e}_j}.</math>
-का उलटा लगाना <math>\phi</math> दर्शाता है कि का adjugate {{math|''T''}} जिसके लिए रैखिक परिवर्तन है
+व्युत्क्रमणीय <math>\phi</math> दर्शाता है कि {{math|''T''}} का एडजुगेट जिसके लिए रैखिक परिवर्तन है,
 :<math>\mathbf{e}_i \mapsto \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf{e}_j.</math>
-परिणामस्वरूप, इसका मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का सहायक है {{math|'''A'''}}.
+परिणामस्वरूप, इसका आव्यूह प्रतिनिधित्व का सहायक {{math|'''A'''}} है।
-अगर {{math|''V''}}  आंतरिक उत्पाद और  वॉल्यूम फॉर्म से संपन्न है, फिर मानचित्र {{math|''φ''}} को और अधिक विघटित किया जा सकता है। इस मामले में, {{math|''φ''}} को [[हॉज स्टार ऑपरेटर]] और दोहरीकरण के संयोजन के रूप में समझा जा सकता है। विशेष रूप से, यदि {{math|ω}} आयतन रूप है, तो यह, आंतरिक उत्पाद के साथ मिलकर,  समरूपता निर्धारित करता है
+यदि {{math|''V''}}  आंतरिक उत्पाद एवं वॉल्यूम फॉर्म से संपन्न है, तत्पश्चात मानचित्र {{math|''φ''}} को अधिक विघटित किया जा सकता है। इस विषय में, {{math|''φ''}} को [[हॉज स्टार ऑपरेटर]] एवं दोहरीकरण के संयोजन के रूप में समझा जा सकता है। विशेष रूप से, यदि {{math|ω}} आयतन रूप है, तो यह, आंतरिक उत्पाद के साथ मिलकर, समरूपता निर्धारित करता है,
 :<math>\omega^\vee \colon \wedge^n V \to \mathbf{R}.</math>
-यह  समरूपता को प्रेरित करता है
+यह समरूपता को प्रेरित करता है
 :<math>\operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} \mathbf{R}^n, \wedge^n \mathbf{R}^n) \cong \wedge^{n-1} (\mathbf{R}^n)^\vee.</math>
-सदिश {{math|'''v'''}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} रैखिक कार्यात्मकता से मेल खाता है
+सदिश {{math|'''v'''}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} रैखिक कार्यात्मकता से के समान है
 :<math>(\alpha \mapsto \omega^\vee(\mathbf{v} \wedge \alpha)) \in \wedge^{n-1} (\mathbf{R}^n)^\vee.</math>
-हॉज स्टार ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार, यह रैखिक कार्यात्मकता दोहरी है {{math|*'''v'''}}. वह है, {{math|ω<sup>∨</sup>∘&thinsp;φ}} बराबर है {{math|'''v''' ↦ *'''v'''<sup>∨</sup>}}.
+हॉज स्टार ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार, यह रैखिक कार्यात्मकता *v से दोहरी है। अर्थात्, ω∨∘ φ समान v ↦ *v∨ है।
-== उच्च adjugates ==
+== उच्च एडजुगेट ==
-होने देना {{math|'''A'''}} सेम {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} मैट्रिक्स, और ठीक करें {{math|''r'' &ge; 0}}.{{math|''r''}}वां उच्चतर अधिनिर्णय {{math|'''A'''}}  <math display="inline">\binom{n}{r} \!\times\! \binom{n}{r}</math> मैट्रिक्स, निरूपित {{math|adj<sub>''r''</sub>&thinsp;'''A'''}}, जिनकी प्रविष्टियाँ आकार के आधार पर अनुक्रमित की जाती हैं {{math|''r''}} उपसमुच्चय {{math|''I''}} और {{math|''J''}} का {{math|{1, ..., ''m''<nowiki>}</nowiki>}}. होने देना {{math|''I''{{i sup|c}}}} और {{math|''J''{{i sup|c}}}} के [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] को निरूपित करें {{math|''I''}} और {{math|''J''}}, क्रमश। चलो भी <math>\mathbf{A}_{I^c, J^c}</math> के सबमैट्रिक्स को निरूपित करें {{math|'''A'''}} जिसमें वे पंक्तियाँ और स्तंभ शामिल हैं जिनके सूचकांक हैं {{math|''I''{{i sup|c}}}} और {{math|''J''{{i sup|c}}}}, क्रमश। फिर {{math|(''I'', ''J'')}}की प्रविष्टि {{math|adj<sub>''r''</sub> '''A'''}} है
+{{math|'''A'''}}, {{math|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह, एवं  {{math|''r'' &ge; 0}}.{{math|''r''}} निर्धारित करता है।  {{math|'''A'''}}  <math display="inline">\binom{n}{r} \!\times\! \binom{n}{r}</math> आव्यूह, निरूपित {{math|adj<sub>''r''</sub>&thinsp;'''A'''}}, जिनकी प्रविष्टियाँ{{math|{1, ..., ''m''<nowiki>}</nowiki>}} के आकार {{math|''r''}} उपसमुच्चय {{math|''I''}} एवं {{math|''J''}} के आधार पर अनुक्रमित की जाती हैं। {{math|''I''{{i sup|c}}}} एवं {{math|''J''{{i sup|c}}}},{{math|''I''}} एवं {{math|''J''}}, क्रमशः के [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] को र्शाते हैं ।  <math>\mathbf{A}_{I^c, J^c}</math>, {{math|'''A'''}} के सब आव्यूह को दर्शाता है, जिसमें वे पंक्तियाँ एवं स्तंभ सम्मिलित हैं जिनके सूचकांक क्रमशः {{math|''I''{{i sup|c}}}} एवं {{math|''J''{{i sup|c}}}}, हैं। तत्पश्चात {{math|adj<sub>''r''</sub> '''A'''}} की {{math|(''I'', ''J'')}} प्रविष्टि है,
 :<math>(-1)^{\sigma(I) + \sigma(J)}\det \mathbf{A}_{J^c, I^c},</math>
-कहाँ {{math|σ(''I'')}} और {{math|σ(''J'')}} के तत्वों का योग है {{math|''I''}} और {{math|''J''}}, क्रमश।
+जहाँ {{math|σ(''I'')}} एवं {{math|σ(''J'')}} {{math|''I''}} एवं {{math|''J''}}, के तत्वों का योग है।
-उच्च adjugates के मूल गुणों में शामिल हैं:
+उच्च एडजुगेट के मूल गुणों में सम्मिलित हैं:
 * {{math|1=adj<sub>0</sub>('''A''') = det&thinsp;'''A'''}}.
 * {{math|1=adj<sub>1</sub>('''A''') = adj&thinsp;'''A'''}}.
 * {{math|1=adj<sub>''n''</sub>('''A''') = 1}}.
 * {{math|1=adj<sub>''r''</sub>('''BA''') = adj<sub>''r''</sub>('''A''')&thinsp;adj<sub>''r''</sub>('''B''')}}.
-* <math>\operatorname{adj}_r(\mathbf{A})C_r(\mathbf{A}) = C_r(\mathbf{A})\operatorname{adj}_r(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A})I_{\binom{n}{r}}</math>, कहाँ {{math|''C''<sub>''r''</sub>('''A''')}} दर्शाता है {{math|''r''}}&हेयरस्प;[[यौगिक मैट्रिक्स]]।
+* <math>\operatorname{adj}_r(\mathbf{A})C_r(\mathbf{A}) = C_r(\mathbf{A})\operatorname{adj}_r(\mathbf{A}) = (\det \mathbf{A})I_{\binom{n}{r}}</math>, जहाँ {{math|''C''<sub>''r''</sub>('''A''')}} {{math|''r''}} [[यौगिक मैट्रिक्स|यौगिक आव्यूह]] को दर्शाता है।
-उच्चतर एडजुगेट को सामान्य एडजुगेट, प्रतिस्थापन के समान ही अमूर्त बीजीय शब्दों में परिभाषित किया जा सकता है <math>\wedge^r V</math> और <math>\wedge^{n-r} V</math> के लिए <math>V</math> और <math>\wedge^{n-1} V</math>, क्रमश।
+उच्चतर एडजुगेट को सामान्य एडजुगेट, प्रतिस्थापन के समान ही अमूर्त बीजगणितीय शब्दों में परिभाषित किया जा सकता है <math>\wedge^r V</math> एवं <math>\wedge^{n-r} V</math> के लिए <math>V</math> एवं <math>\wedge^{n-1} V</math>, क्रमशः।
-== पुनरावृत्त adjugates ==
+== पुनरावृत्त एडजुगेट ==
-व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स ए का एडजुगेट लेते हुए [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन]] {{mvar|k}} गुना पैदावार होती है
+व्युत्क्रमणीय आव्यूह A का एडजुगेट लेते हुए [[पुनरावृत्त फ़ंक्शन|पुनरावृत्त फलन]] {{mvar|k}} गुना प्राप्त होता है,
 :<math>\overbrace{\operatorname{adj}\dotsm\operatorname{adj}}^k(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})^{\frac{(n-1)^k-(-1)^k}n}\mathbf{A}^{(-1)^k},</math>
@@ Line 273: / Line 281: @@
 * जैकोबी का सूत्र
 * फद्दीव-लेवेरियर एल्गोरिदम
-* यौगिक मैट्रिक्स
+* यौगिक आव्यूह
 == संदर्भ ==
@@ Line 290: / Line 298: @@
 * {{cite web|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=adjugate+of+{+{+a%2C+b%2C+c+}%2C+{+d%2C+e%2C+f+}%2C+{+g%2C+h%2C+i+}+}|url-status=live|archive-url=|last=|first=|date=|title=<nowiki>Adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }</nowiki>|archive-date=|access-date=|work=[[Wolfram Alpha]]}}
-{{Matrix classes}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: मैट्रिक्स सिद्धांत]] [[Category: लीनियर अलजेब्रा]]
+[[Category:CS1 maint]]
+[[Category:Collapse templates]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 19/07/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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एडजुगेट मैट्रिक्स: Difference between revisions

Latest revision as of 13:19, 1 November 2023

परिभाषा

उदाहरण

1 × 1 सामान्य आव्यूह

गुण

स्तंभ प्रतिस्थापन एवं क्रैमर नियम

अभिलक्षणिक बहुपद

बाह्य बीजगणित से संबंध

उच्च एडजुगेट

पुनरावृत्त एडजुगेट

यह भी देखें

संदर्भ

ग्रन्थसूची

बाहरी संबंध

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