विशिष्टता की अवलम्बित स्कीमा: Difference between revisions

Latest revision as of 15:35, 2 November 2023

स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के कई लोकप्रिय संस्करणों में, विनिर्देश की स्वयंसिद्ध योजना, जिसे पृथक्करण की स्वयंसिद्ध योजना, सबसमुच्चय स्वयंसिद्ध योजना या प्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध योजना के रूप में भी जाना जाता है, जो एक स्वयंसिद्ध योजना है। अनिवार्य रूप से, यह कहता है कि किसी समुच्चय का कोई निश्चित उपवर्ग (समुच्चय सिद्धांत) समुच्चय है।

कुछ गणितज्ञ इसे समझ की स्वयंसिद्ध योजना कहते हैं, चूंकि अन्य उस शब्द का उपयोग अप्रतिबंधित समझ के लिए करते हैं, जिसकी चर्चा नीचे की गई है।

क्योंकि समझ को सीमित करने से रसेल के विरोधाभास से बचा गया, ज़र्मेलो, अब्राहम फ्रेंकेल और गोडेल समेत कई गणितज्ञों ने इसे समुच्चय सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण स्वयंसिद्ध माना जाता है।^[1]

कथन

योजना का उदाहरण x, w के B च मुक्त चर के साथ समुच्चय सिद्धांत की भाषा में प्रत्येक अच्छी तरह से गठित सूत्र φ के लिए सम्मिलित है । x, w1, ..., wn, A के B चर। इसलिए B φ में मुक्त नहीं होता है। समुच्चय सिद्धांत की औपचारिक भाषा में, स्वयंसिद्ध योजना है:

\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow [x\in A\land \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])

या शब्दों में:

किसी भी समुच्चय (गणित) A को देखते हुए, अस्तित्वगत परिमाणीकरण समुच्चय B (A का उपसमुच्चय) ऐसा है कि, किसी भी समुच्चय X को दिया गया है, X, B का सदस्य है अगर और केवल अगर X तार्किक संयोजन का सदस्य है, जो X के लिए धारण करता है .

ध्यान दें कि ऐसे प्रत्येक विधेय (गणित) के लिए अभिगृहीत है φ; इस प्रकार, यह स्वयंसिद्ध योजना है।

इस स्वयंसिद्ध योजना को समझने के लिए, ध्यान दें कि समुच्चय B को A का सबसमुच्चय होना चाहिए। इस प्रकार, स्वयंसिद्ध योजना वास्तव में क्या कह रहा है,समुच्चय A और विधेय P दिया गया है, हम A का एक सबसमुच्चय B पा सकते हैं जिसके सदस्य हैं ठीक A के सदस्य जो P को संतुष्ट करते हैं। विस्तार के स्वयंसिद्ध द्वारा यह समुच्चय अद्वितीय है। हम सामान्यतः इस समुच्चय को समुच्चय-बिल्डर नोटेशन का उपयोग करके {C ∈ A : P (C )} के रूप में निरूपित करते हैं। इस प्रकार स्वयंसिद्ध का सार है:

समुच्चय का प्रत्येक उपवर्ग (समुच्चय सिद्धांत) जो विधेय द्वारा परिभाषित होता है, स्वयं समुच्चय होता है।

विनिर्देश की स्वयंसिद्ध योजना सामान्य समुच्चय सिद्धांत ZFC से संबंधित स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की प्रणालियों की विशेषता है, लेकिन सामान्यतः [वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत] की मौलिक रूप से भिन्न प्रणालियों में प्रकट नहीं होती है। उदाहरण के लिए, नई नींव और सकारात्मक समुच्चय सिद्धांत भोले समुच्चय सिद्धांत की अप्रतिबंधित समझ के विभिन्न प्रतिबंधों का उपयोग करते हैं। वोपेनका का वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत समुच्चय के उचित उपवर्गों की अनुमति देने का विशिष्ट बिंदु बनाता है, जिसे अर्द्धसमुच्चय कहा जाता है। ZFC से संबंधित प्रणालियों में भी, यह योजना कभी-कभी बंधे हुए क्वांटिफायर वाले सूत्रों तक सीमित होती है, जैसा कि क्रिपके-प्लेटक समुच्चय थ्योरी विथ यूरेलेमेंट्स में होता है।

प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना से संबंध

अलग होने की स्वयंसिद्ध योजना लगभग प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध योजना से प्राप्त की जा सकती है।

सबसे पहले, इस स्वयंसिद्ध योजना को याद करें:

\forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\iff \exists D\,[D\in A\land C=F(D)])

किसी भी कार्यात्मक विधेय के लिए f चर (गणित) में है जो प्रतीकों A , B , c या d का उपयोग नहीं करता है।

विशिष्टता के अभिगृहीत के लिए उपयुक्त विधेय p को देखते हुए, मानचित्रण f को f (d ) = d द्वारा परिभाषित करें यदि p (d ) सत्य है और f (d ) =e यदि p (d ) असत्य है, जहाँ e का कोई सदस्य है। a ऐसा है कि p(e ) सत्य है।

फिर प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध द्वारा आश्वस्त समुच्चय B विनिर्देश के स्वयंसिद्ध के लिए आवश्यक समुच्चय B है। एकमात्र समस्या यह है कि ऐसा कोई ई उपस्थित नहीं है। लेकिन इस स्थिति में, अलगाव के स्वयंसिद्ध के लिए आवश्यक समुच्चय B खाली समुच्चय है, इसलिए अलगाव का स्वयंसिद्ध प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध से एक साथ खाली समुच्चय के स्वयंसिद्ध के साथ आता है।

इस कारण से, विशिष्टता के स्वयंसिद्ध योजना को अधिकांशतः ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों की आधुनिक सूची से बाहर रखा जाता है। चूंकि, यह अभी भी ऐतिहासिक विचारों के लिए महत्वपूर्ण है, और समुच्चय सिद्धांत के वैकल्पिक स्वयंसिद्धों के साथ तुलना के लिए, जैसा कि निम्नलिखित अनुभागों में उदाहरण के लिए देखा जा सकता है।

अप्रतिबंधित समझ

अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध योजना पढ़ता है:

\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))

वह है:

समुच्चय

B

उपस्थित है जिसके सदस्य सटीक रूप से वे वस्तुएँ हैं जो विधेय

φ

को संतुष्ट करती हैं।

यह समुच्चय $B$ फिर से अनूठा है, और सामान्यतः इसे के रूप में दर्शाया जाता है ${x : φ (x, w 1, ..., w b)}.$

सख्त स्वयंसिद्धता को अपनाने से पहले, इस स्वयंसिद्ध योजना का उपयोग भोले-भाले समुच्चय सिद्धांत के प्रारंभ दिनों में मौन रूप से किया गया था। दुर्भाग्य से, यह लेने से सीधे रसेल के विरोधाभास की ओर जाता है $φ (x)$ होना $\neg(x \in x)$ (यानी, संपत्ति जो समुच्चय करती है $x$ स्वयं का सदस्य नहीं है)। इसलिए, समुच्चय सिद्धांत का कोई उपयोगी स्वसिद्धीकरण अप्रतिबंधित समझ का उपयोग नहीं कर सकता है। शास्त्रीय तर्क से अंतर्ज्ञानवादी तर्क में जाने से सहायता नहीं मिलती है, क्योंकि रसेल के विरोधाभास का प्रमाण इंट्यूशनिस्टिक रूप से मान्य है।

विनिर्देश के केवल स्वयंसिद्ध योजना को स्वीकार करना स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की प्रारंभ थी। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल के अधिकांश अन्य अभिगृहीत (लेकिन विस्तार का अभिगृहीत नहीं, नियमितता का अभिगृहीत, या पसंद का अभिगृहीत नहीं) तब समझ के अभिगृहीत योजना को अभिगृहीत योजना में बदलकर जो कुछ खो गया था उसकी भरपाई करना आवश्यक हो गया। विशिष्टताओं का - इनमें से प्रत्येक अभिगृहीत बताता है कि निश्चित समुच्चय उपस्थित है, और उस समुच्चय को उसके सदस्यों को संतुष्ट करने के लिए विधेय देकर परिभाषित करता है, अर्थात यह समझ के स्वयंसिद्ध योजना की विशेष स्थिति है।

योजना को असंगत होने से रोकने के लिए यह भी संभव है कि इसे किन सूत्रों पर प्रयुक्त किया जा सकता है, जैसे कि न्यू फ़ाउंडेशन में केवल स्तरीकरण (गणित) सूत्रों (नीचे देखें) या केवल सकारात्मक सूत्रों (केवल संयोजन, संयोजन, मात्रा और मात्रा के साथ सूत्र) परमाणु सूत्र सकारात्मक समुच्चय सिद्धांत में। चूंकि, सकारात्मक सूत्र सामान्यतः कुछ ऐसी चीजों को व्यक्त करने में असमर्थ होते हैं जो अधिकांश सिद्धांत कर सकते हैं; उदाहरण के लिए, सकारात्मक समुच्चय सिद्धांत में कोई पूरक (समुच्चय सिद्धांत) या सापेक्ष पूरक नहीं है।

NBG वर्ग सिद्धांत में

वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय और क्लास (समुच्चय सिद्धांत) के B च एक भेद किया जाता है। वर्ग $C$ एक समुच्चय है केवल अगर यह किसी वर्ग से संबंधित है $E$ इस सिद्धांत में, प्रमेय योजना है जो पढ़ता है

\exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,

वह है,

एक वर्ग D ऐसा है कि कोई भी वर्ग C D का सदस्य है अगर और केवल अगर C एक ऐसा सेट है जो P को संतुष्ट करता है।

बशर्ते कि विधेय में परिमाणक हों $P$ समुच्चय तक ही सीमित हैं।

यह प्रमेय योजना अपने आप में समझ का प्रतिबंधित रूप है, जो आवश्यकता के कारण रसेल के विरोधाभास से बचा जाता है $C$ एक समुच्चय हो। फिर समुच्चय के लिए विनिर्देश स्वयं को स्वयंसिद्ध के रूप में लिखा जा सकता है

\forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,

वह है,

किसी भी वर्ग D और किसी भी सेट A को देखते हुए, एक सेट B होता है जिसके सदस्य ठीक वे वर्ग होते हैं जो A और D दोनों के सदस्य होते हैं।

या और भी सरलता से

वर्ग D और समुच्चय A का प्रतिच्छेदन स्वयं समुच्चय B है।

इस स्वयंसिद्ध में, विधेय $P$ वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $D$ , जिसकी मात्रा निर्धारित की जा सकती है। एक और सरल स्वयंसिद्ध है जो समान प्रभाव प्राप्त करता है

\forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,

वह है,

समुच्चय का उपवर्ग समुच्चय होता है।

उच्च-क्रम सेटिंग्स में

एक प्रकार की सिद्धांत भाषा में जहां हम विधेय पर मात्रा निर्धारित कर सकते हैं, विनिर्देशन का स्वयंसिद्ध योजना सरल स्वयंसिद्ध बन जाता है। यह अत्यधिक वैसी ही चाल है जैसा कि पिछले खंड के NB जिसे स्वयंसिद्धों में प्रयोग किया गया था, जहां विधेय को वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जिसे बाद में परिमाणित किया गया था।

दूसरे क्रम के तर्क और उच्च क्रम के तर्क में उच्च क्रम के शब्दार्थ के साथ, विनिर्देश का स्वयंसिद्ध तार्किक वैधता है और इसे सिद्धांत में स्पष्ट रूप से सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है।

क्वीन की नई नींव में

डब्ल्यू वी ओ क्वीन, द्वारा प्रतिपादित सिद्धांत समुच्चय करने के लिए नई नींव के दृष्टिकोण में, किसी दिए गए विधेय के लिए समझ का स्वयंसिद्ध अप्रतिबंधित रूप लेता है, लेकिन योजना में उपयोग किए जाने वाले विधेय स्वयं प्रतिबंधित हैं। विधेय ( $C$ इसमें नहीं है $C$ ) वर्जित है, क्योंकि वही प्रतीक है $C$ सदस्यता प्रतीक के दोनों तरफ दिखाई देता है (और इसलिए विभिन्न सापेक्ष प्रकारों पर); इस प्रकार, रसेल के विरोधाभास से बचा जाता है। चूंकि, लेने से $P (C)$ होना $(C = C)$ , जिसकी अनुमति है, हम सभी समुच्चयों का समुच्चय बना सकते हैं। विवरण के लिए, स्तरीकरण (गणित) देखें।

संदर्भ

↑ Heinz-Dieter Ebbinghaus (2007). Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work. Springer Science & Business Media. p. 88. ISBN 978-3-540-49553-6.

Crossley, J.bN.; Ash, C. J.; Brickhill, C. J.; Stillwell, J. C.; Williams, N. H. (1972). What is mathematical logic?. London-Oxford-New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-888087-1. Zbl 0251.02001.
Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

[Ebbinghaus2007-1] Heinz-Dieter Ebbinghaus (2007). Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work. Springer Science & Business Media. p. 88. ISBN 978-3-540-49553-6.

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-{{short description|Concept in axiomatic set theory}}
+{{short description|Concept in axiomatic set theory}}स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के कई लोकप्रिय संस्करणों में, विनिर्देश की स्वयंसिद्ध योजना, जिसे पृथक्करण की स्वयंसिद्ध योजना, सबसमुच्चय [[स्वयंसिद्ध योजना]] या प्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध योजना के रूप में भी जाना जाता है, जो एक स्वयंसिद्ध योजना है। अनिवार्य रूप से, यह कहता है कि किसी समुच्चय का कोई निश्चित [[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)|उपवर्ग (समुच्चय सिद्धांत)]] समुच्चय है।
-{{redirect|Axiom of separation|the separation axioms in topology|separation axiom}}
-{{no footnotes|date=March 2013}}
+कुछ गणितज्ञ इसे समझ की स्वयंसिद्ध योजना कहते हैं, चूंकि अन्य उस शब्द का उपयोग ''अप्रतिबंधित'' समझ के लिए करते हैं, जिसकी चर्चा नीचे की गई है।
-[[स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत]] के कई लोकप्रिय संस्करणों में, विनिर्देश की स्वयंसिद्ध स्कीमा, जिसे पृथक्करण की स्वयंसिद्ध स्कीमा, सबसेट [[स्वयंसिद्ध योजना]] या प्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा के रूप में भी जाना जाता है, एक स्वयंसिद्ध स्कीमा है। अनिवार्य रूप से, यह कहता है कि किसी सेट का कोई निश्चित [[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)]] एक सेट है।
-कुछ गणितज्ञ इसे समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा कहते हैं, हालांकि अन्य उस शब्द का उपयोग ''अप्रतिबंधित'' समझ के लिए करते हैं, जिसकी चर्चा नीचे की गई है।
+क्योंकि समझ को सीमित करने से रसेल के विरोधाभास से बचा गया, [[ज़र्मेलो]], [[अब्राहम फ्रेंकेल]] और गोडेल समेत कई गणितज्ञों ने इसे समुच्चय सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण स्वयंसिद्ध माना जाता है।<ref name="Ebbinghaus2007">{{cite book|author=Heinz-Dieter Ebbinghaus|title=Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-49553-6|page=88}}</ref>
-क्योंकि समझ को सीमित करने से रसेल के विरोधाभास से बचा गया, [[ज़र्मेलो]], [[अब्राहम फ्रेंकेल]] और गोडेल समेत कई गणितज्ञों ने इसे सेट सिद्धांत का सबसे महत्वपूर्ण स्वयंसिद्ध माना।<ref name="Ebbinghaus2007">{{cite book|author=Heinz-Dieter Ebbinghaus|title=Ernst Zermelo: An Approach to His Life and Work|year=2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-49553-6|page=88}}</ref>
 == कथन ==
-स्कीमा का एक उदाहरण x, w के बीच [[मुक्त चर]] के साथ सेट सिद्धांत की भाषा में प्रत्येक [[अच्छी तरह से गठित सूत्र]] φ के लिए शामिल है<sub>1</sub>, ..., में<sub>''n''</sub>, ए। तो बी φ में मुक्त नहीं होता है। समुच्चय सिद्धांत की औपचारिक भाषा में, स्वयंसिद्ध स्कीमा है:
+योजना का उदाहरण x, w के B च [[मुक्त चर]] के साथ समुच्चय सिद्धांत की भाषा में प्रत्येक [[अच्छी तरह से गठित सूत्र]] φ के लिए सम्मिलित है । x, w1, ..., wn, A के B चर। इसलिए B φ में मुक्त नहीं होता है। समुच्चय सिद्धांत की औपचारिक भाषा में, स्वयंसिद्ध योजना है:
 :<math>\forall w_1,\ldots,w_n \, \forall A \, \exists B \, \forall x \, ( x \in B \Leftrightarrow [ x \in A \land \varphi(x, w_1, \ldots, w_n , A) ] )</math>
 या शब्दों में:
-: किसी भी [[सेट (गणित)]] ए को देखते हुए, [[अस्तित्वगत परिमाणीकरण]] एक सेट बी (ए का एक उपसमुच्चय) ऐसा है कि, किसी भी सेट एक्स को दिया गया है, एक्स बी का सदस्य है [[अगर और केवल अगर]] एक्स एक [[तार्किक संयोजन]] का सदस्य है, तो एक्स के लिए धारण करता है .
+: किसी भी [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] A को देखते हुए, [[अस्तित्वगत परिमाणीकरण]] समुच्चय B (A का उपसमुच्चय) ऐसा है कि, किसी भी समुच्चय X को दिया गया है, X, B का सदस्य है [[अगर और केवल अगर]] X [[तार्किक संयोजन]] का सदस्य है, जो X के लिए धारण करता है .
-ध्यान दें कि ऐसे प्रत्येक [[विधेय (गणित)]] के लिए एक अभिगृहीत है φ; इस प्रकार, यह एक स्वयंसिद्ध स्कीमा है।
+ध्यान दें कि ऐसे प्रत्येक [[विधेय (गणित)]] के लिए अभिगृहीत है φ; इस प्रकार, यह स्वयंसिद्ध योजना है।
-इस स्वयंसिद्ध स्कीमा को समझने के लिए, ध्यान दें कि सेट बी को ए का [[सबसेट]] होना चाहिए। इस प्रकार, स्वयंसिद्ध स्कीमा वास्तव में क्या कह रहा है, एक सेट ए और एक विधेय पी दिया गया है, हम ए का एक सबसेट बी पा सकते हैं जिसके सदस्य हैं ठीक A के सदस्य जो P को संतुष्ट करते हैं। विस्तार के स्वयंसिद्ध द्वारा यह सेट अद्वितीय है। हम आमतौर पर इस सेट को [[सेट-बिल्डर नोटेशन]] का उपयोग करके {C ∈ A : P(C)} के रूप में निरूपित करते हैं। इस प्रकार स्वयंसिद्ध का सार है:
+इस स्वयंसिद्ध योजना को समझने के लिए, ध्यान दें कि समुच्चय B को A का [[सबसेट|सबसमुच्चय]] होना चाहिए। इस प्रकार, स्वयंसिद्ध योजना वास्तव में क्या कह रहा है,समुच्चय A और विधेय P दिया गया है, हम A का एक सबसमुच्चय B पा सकते हैं जिसके सदस्य हैं ठीक A के सदस्य जो P को संतुष्ट करते हैं। विस्तार के स्वयंसिद्ध द्वारा यह समुच्चय अद्वितीय है। हम सामान्यतः इस समुच्चय को [[सेट-बिल्डर नोटेशन|समुच्चय-बिल्डर नोटेशन]] का उपयोग करके {C ∈ A  : P (C )} के रूप में निरूपित करते हैं। इस प्रकार स्वयंसिद्ध का सार है:
-: समुच्चय का प्रत्येक उपवर्ग (समुच्चय सिद्धांत) जो एक विधेय द्वारा परिभाषित होता है, स्वयं एक समुच्चय होता है।
+: समुच्चय का प्रत्येक उपवर्ग (समुच्चय सिद्धांत) जो विधेय द्वारा परिभाषित होता है, स्वयं समुच्चय होता है।
-विनिर्देश की स्वयंसिद्ध स्कीमा सामान्य सेट सिद्धांत [[ZFC]] से संबंधित स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत की प्रणालियों की विशेषता है, लेकिन आमतौर पर [[[[वैकल्पिक सेट सिद्धांत]]]] की मौलिक रूप से भिन्न प्रणालियों में प्रकट नहीं होती है। उदाहरण के लिए, [[नई नींव]] और [[सकारात्मक सेट सिद्धांत]] भोले सेट थ्योरी की #अप्रतिबंधित समझ के विभिन्न प्रतिबंधों का उपयोग करते हैं। वोपेनका का वैकल्पिक सेट सिद्धांत सेट के उचित उपवर्गों की अनुमति देने का एक विशिष्ट बिंदु बनाता है, जिसे [[semiset]] कहा जाता है। ZFC से संबंधित प्रणालियों में भी, यह योजना कभी-कभी बंधे हुए क्वांटिफायर वाले फ़ार्मुलों तक सीमित होती है, जैसा कि क्रिपके-प्लेटक सेट थ्योरी विथ यूरेलेमेंट्स में होता है।
+विनिर्देश की स्वयंसिद्ध योजना सामान्य समुच्चय सिद्धांत [[ZFC]] से संबंधित स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की प्रणालियों की विशेषता है, लेकिन सामान्यतः [<nowiki/>[[वैकल्पिक सेट सिद्धांत|वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत]]] की मौलिक रूप से भिन्न प्रणालियों में प्रकट नहीं होती है। उदाहरण के लिए, [[नई नींव]] और [[सकारात्मक सेट सिद्धांत|सकारात्मक समुच्चय सिद्धांत]] भोले समुच्चय सिद्धांत की अप्रतिबंधित समझ के विभिन्न प्रतिबंधों का उपयोग करते हैं। वोपेनका का वैकल्पिक समुच्चय सिद्धांत समुच्चय के उचित उपवर्गों की अनुमति देने का विशिष्ट बिंदु बनाता है, जिसे [[semiset|अर्द्धसमुच्चय]] कहा जाता है। [[ZFC]] से संबंधित प्रणालियों में भी, यह योजना कभी-कभी बंधे हुए क्वांटिफायर वाले सूत्रों तक सीमित होती है, जैसा कि क्रिपके-प्लेटक समुच्चय थ्योरी विथ यूरेलेमेंट्स में होता है।
-== प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमा से संबंध ==
+== प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना से संबंध ==
-अलगाव की स्वयंसिद्ध योजना लगभग प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध योजना से प्राप्त की जा सकती है।
+अलग होने की स्वयंसिद्ध योजना लगभग प्रतिस्थापन की स्वयंसिद्ध योजना से प्राप्त की जा सकती है।
-सबसे पहले, इस स्वयंसिद्ध स्कीमा को याद करें:
+सबसे पहले, इस स्वयंसिद्ध योजना को याद करें:
 :<math>\forall A \, \exists B \, \forall C \, ( C \in B \iff \exists D \, [ D \in A \land C = F(D) ] )</math>
-किसी भी [[कार्यात्मक विधेय]] के लिए F एक [[चर (गणित)]] में है जो प्रतीकों A, B, C या D का उपयोग नहीं करता है।
+किसी भी [[कार्यात्मक विधेय]] के लिए f [[चर (गणित)]] में है जो प्रतीकों A , B , c या d का उपयोग नहीं करता है।
-विशिष्टता के अभिगृहीत के लिए उपयुक्त विधेय P को देखते हुए, मानचित्रण F को F(D) = D द्वारा परिभाषित करें यदि P(D) सत्य है और F(D) = E यदि P(D) असत्य है, जहाँ E का कोई सदस्य है A ऐसा है कि P(E) सत्य है।
-फिर प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध द्वारा गारंटीकृत सेट B विनिर्देश के स्वयंसिद्ध के लिए आवश्यक सेट B है। एकमात्र समस्या यह है कि ऐसा कोई ई मौजूद नहीं है। लेकिन इस मामले में, अलगाव के स्वयंसिद्ध के लिए आवश्यक सेट बी [[खाली सेट]] है, इसलिए अलगाव का स्वयंसिद्ध प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध से एक साथ खाली सेट के स्वयंसिद्ध के साथ आता है।
+विशिष्टता के अभिगृहीत के लिए उपयुक्त विधेय p को देखते हुए, मानचित्रण f को f (d ) = d द्वारा परिभाषित करें यदि p (d ) सत्य है और f (d ) =e यदि p (d ) असत्य है, जहाँ e का कोई सदस्य है। a ऐसा है कि p(e ) सत्य है।
+फिर प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध द्वारा आश्वस्त समुच्चय B विनिर्देश के स्वयंसिद्ध के लिए आवश्यक समुच्चय B है। एकमात्र समस्या यह है कि ऐसा कोई ई उपस्थित नहीं है। लेकिन इस स्थिति में, अलगाव के स्वयंसिद्ध के लिए आवश्यक समुच्चय B [[खाली सेट|खाली समुच्चय]] है, इसलिए अलगाव का स्वयंसिद्ध प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध से एक साथ खाली समुच्चय के स्वयंसिद्ध के साथ आता है।
-इस कारण से, विशिष्टता के स्वयंसिद्ध स्कीमा को अक्सर ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों की आधुनिक सूची से बाहर रखा जाता है। हालांकि, यह अभी भी ऐतिहासिक विचारों के लिए महत्वपूर्ण है, और सेट सिद्धांत के वैकल्पिक स्वयंसिद्धों के साथ तुलना के लिए, जैसा कि निम्नलिखित अनुभागों में उदाहरण के लिए देखा जा सकता है।
+इस कारण से, विशिष्टता के स्वयंसिद्ध योजना को अधिकांशतः ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों की आधुनिक सूची से बाहर रखा जाता है। चूंकि, यह अभी भी ऐतिहासिक विचारों के लिए महत्वपूर्ण है, और समुच्चय सिद्धांत के वैकल्पिक स्वयंसिद्धों के साथ तुलना के लिए, जैसा कि निम्नलिखित अनुभागों में उदाहरण के लिए देखा जा सकता है।
-== अप्रतिबंधित समझ<!--'Unrestricted comprehension' and 'Axiom schema of unrestricted comprehension' redirect here--> ==
+== अप्रतिबंधित समझ ==
-{{also|Basic Law V}}
+{{also|मौलिक नियम बी}}
-अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा<!--boldface per WP:R#PLA--> पढ़ता है:
+अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध योजना पढ़ता है:
 <math display="block">\forall w_1,\ldots,w_n \, \exists B \, \forall x \, ( x \in B \Leftrightarrow \varphi(x, w_1, \ldots, w_n) )</math>
 वह है:
-{{block indent|There exists a set {{mvar|B}} whose members are precisely those objects that satisfy the predicate {{mvar|φ}}.}}
+{{block indent| समुच्चय {{mvar|B}} उपस्थित है जिसके सदस्य सटीक रूप से वे वस्तुएँ हैं जो विधेय {{mvar|φ}} को संतुष्ट करती हैं।}}
-यह सेट {{mvar|B}} फिर से अनूठा है, और आमतौर पर इसे के रूप में दर्शाया जाता है {{math|{{{var|x}} : {{var|φ}}({{var|x}}, {{mvar|w}}{{sub|1}}, ..., {{var|w}}{{sub|{{mvar|b}}}})}.}}
+यह समुच्चय {{mvar|B}} फिर से अनूठा है, और सामान्यतः इसे के रूप में दर्शाया जाता है {{math|{{{var|x}} : {{var|φ}}({{var|x}}, {{mvar|w}}{{sub|1}}, ..., {{var|w}}{{sub|{{mvar|b}}}})}.}}
-एक सख्त स्वयंसिद्धता को अपनाने से पहले, इस स्वयंसिद्ध स्कीमा का उपयोग भोले-भाले सेट सिद्धांत के शुरुआती दिनों में मौन रूप से किया गया था। दुर्भाग्य से, यह लेने से सीधे रसेल के विरोधाभास की ओर जाता है {{math|{{var|φ}}({{var|x}})}} होना {{math|¬({{var|x}}&nbsp;∈&nbsp;{{var|x}})}} (यानी, संपत्ति जो सेट करती है {{mvar|x}} स्वयं का सदस्य नहीं है)। इसलिए, समुच्चय सिद्धांत का कोई उपयोगी स्वसिद्धीकरण अप्रतिबंधित समझ का उपयोग नहीं कर सकता है। [[शास्त्रीय तर्क]] से [[अंतर्ज्ञानवादी तर्क]] में जाने से मदद नहीं मिलती है, क्योंकि रसेल के विरोधाभास का प्रमाण इंट्यूशनिस्टिक रूप से मान्य है।
+सख्त स्वयंसिद्धता को अपनाने से पहले, इस स्वयंसिद्ध योजना का उपयोग भोले-भाले समुच्चय सिद्धांत के प्रारंभ दिनों में मौन रूप से किया गया था। दुर्भाग्य से, यह लेने से सीधे रसेल के विरोधाभास की ओर जाता है {{math|{{var|φ}}({{var|x}})}} होना {{math|¬({{var|x}}&nbsp;∈&nbsp;{{var|x}})}} (यानी, संपत्ति जो समुच्चय करती है {{mvar|x}} स्वयं का सदस्य नहीं है)। इसलिए, समुच्चय सिद्धांत का कोई उपयोगी स्वसिद्धीकरण अप्रतिबंधित समझ का उपयोग नहीं कर सकता है। [[शास्त्रीय तर्क]] से [[अंतर्ज्ञानवादी तर्क]] में जाने से सहायता नहीं मिलती है, क्योंकि रसेल के विरोधाभास का प्रमाण इंट्यूशनिस्टिक रूप से मान्य है।
-विनिर्देश के केवल स्वयंसिद्ध स्कीमा को स्वीकार करना स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की शुरुआत थी। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल के अधिकांश अन्य अभिगृहीत (लेकिन विस्तार का अभिगृहीत नहीं, नियमितता का अभिगृहीत, या पसंद का अभिगृहीत नहीं) तब समझ के अभिगृहीत स्कीमा को अभिगृहीत स्कीमा में बदलकर जो कुछ खो गया था उसकी भरपाई करना आवश्यक हो गया। विशिष्टताओं का - इनमें से प्रत्येक अभिगृहीत बताता है कि एक निश्चित समुच्चय मौजूद है, और उस समुच्चय को उसके सदस्यों को संतुष्ट करने के लिए एक विधेय देकर परिभाषित करता है, अर्थात यह समझ के स्वयंसिद्ध स्कीमा का एक विशेष मामला है।
+विनिर्देश के केवल स्वयंसिद्ध योजना को स्वीकार करना स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की प्रारंभ थी। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल के अधिकांश अन्य अभिगृहीत (लेकिन विस्तार का अभिगृहीत नहीं, नियमितता का अभिगृहीत, या पसंद का अभिगृहीत नहीं) तब समझ के अभिगृहीत योजना को अभिगृहीत योजना में बदलकर जो कुछ खो गया था उसकी भरपाई करना आवश्यक हो गया। विशिष्टताओं का - इनमें से प्रत्येक अभिगृहीत बताता है कि निश्चित समुच्चय उपस्थित है, और उस समुच्चय को उसके सदस्यों को संतुष्ट करने के लिए विधेय देकर परिभाषित करता है, अर्थात यह समझ के स्वयंसिद्ध योजना की विशेष स्थिति है।
-स्कीमा को असंगत होने से रोकने के लिए यह भी संभव है कि इसे किन फ़ार्मुलों पर लागू किया जा सकता है, जैसे कि न्यू फ़ाउंडेशन में केवल [[स्तरीकरण (गणित)]] फ़ार्मुलों (नीचे देखें) या केवल सकारात्मक फ़ार्मुलों (केवल संयोजन, संयोजन, मात्रा और मात्रा के साथ सूत्र) परमाणु सूत्र) सकारात्मक सेट सिद्धांत में। हालाँकि, सकारात्मक सूत्र आमतौर पर कुछ ऐसी चीजों को व्यक्त करने में असमर्थ होते हैं जो अधिकांश सिद्धांत कर सकते हैं; उदाहरण के लिए, सकारात्मक सेट सिद्धांत में कोई [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] या सापेक्ष पूरक नहीं है।
+योजना को असंगत होने से रोकने के लिए यह भी संभव है कि इसे किन सूत्रों पर प्रयुक्त किया जा सकता है, जैसे कि न्यू फ़ाउंडेशन में केवल [[स्तरीकरण (गणित)]] सूत्रों (नीचे देखें) या केवल सकारात्मक सूत्रों (केवल संयोजन, संयोजन, मात्रा और मात्रा के साथ सूत्र) परमाणु सूत्र सकारात्मक समुच्चय सिद्धांत में। चूंकि, सकारात्मक सूत्र सामान्यतः कुछ ऐसी चीजों को व्यक्त करने में असमर्थ होते हैं जो अधिकांश सिद्धांत कर सकते हैं; उदाहरण के लिए, सकारात्मक समुच्चय सिद्धांत में कोई [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] या सापेक्ष पूरक नहीं है।
-== एनबीजी वर्ग सिद्धांत में ==
+== NBG वर्ग सिद्धांत में ==
-वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत में, सेट और क्लास (सेट सिद्धांत) के बीच एक भेद किया जाता है। एक वर्ग {{mvar|C}} एक सेट है अगर और केवल अगर यह किसी वर्ग से संबंधित है {{mvar|E}}. इस सिद्धांत में, एक [[प्रमेय]] स्कीमा है जो पढ़ता है
+वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चय और क्लास (समुच्चय सिद्धांत) के B च एक भेद किया जाता है। वर्ग {{mvar|C}} एक समुच्चय है केवल अगर यह किसी वर्ग से संबंधित है {{mvar|E}} इस सिद्धांत में, [[प्रमेय]] योजना है जो पढ़ता है
 <math display="block">\exists D \forall C \, ( [ C \in D ] \iff [ P (C) \land \exists E \, ( C \in E ) ] ) \,,</math>
 वह है,
-{{block indent|There is a class {{mvar|D}} such that any class {{mvar|C}} is a member of {{mvar|D}} if and only if {{mvar|C}} is a set that satisfies {{mvar|P}}.}}
+{{block indent|एक वर्ग D ऐसा है कि कोई भी वर्ग C D का सदस्य है अगर और केवल अगर C एक ऐसा सेट है जो P को संतुष्ट करता है।}}
-बशर्ते कि विधेय में परिमाणक हों {{mvar|P}} सेट तक ही सीमित हैं।
+बशर्ते कि विधेय में परिमाणक हों {{mvar|P}} समुच्चय तक ही सीमित हैं।
-यह प्रमेय स्कीमा अपने आप में समझ का एक प्रतिबंधित रूप है, जो आवश्यकता के कारण रसेल के विरोधाभास से बचा जाता है {{mvar|C}} एक सेट हो। फिर सेट के लिए विनिर्देश स्वयं को एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिखा जा सकता है
+यह प्रमेय योजना अपने आप में समझ का प्रतिबंधित रूप है, जो आवश्यकता के कारण रसेल के विरोधाभास से बचा जाता है {{mvar|C}} एक समुच्चय हो। फिर समुच्चय के लिए विनिर्देश स्वयं को स्वयंसिद्ध के रूप में लिखा जा सकता है
 <math display="block">\forall D \forall A \, ( \exists E \, [ A \in E ] \implies \exists B \, [ \exists E \, ( B \in E ) \land \forall C \, ( C \in B \iff [ C \in A \land C \in D ] ) ] ) \,,</math>
 वह है,
-{{block indent|Given any class {{mvar|D}} and any set {{mvar|A}}, there is a set {{mvar|B}} whose members are precisely those classes that are members of both {{mvar|A}} and {{mvar|D}}.}}
+{{block indent|किसी भी वर्ग D और किसी भी सेट A को देखते हुए, एक सेट B होता है जिसके सदस्य ठीक वे वर्ग होते हैं जो A और D दोनों के सदस्य होते हैं।}}
 या और भी सरलता से
-{{block indent|The [[intersection (set theory)|intersection]] of a class {{mvar|D}} and a set {{mvar|A}} is itself a set {{mvar|B}}.}}
+{{block indent|वर्ग D और समुच्चय A का प्रतिच्छेदन स्वयं समुच्चय B है।}}
 इस स्वयंसिद्ध में, विधेय {{mvar|P}} वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{mvar|D}}, जिसकी मात्रा निर्धारित की जा सकती है। एक और सरल स्वयंसिद्ध है जो समान प्रभाव प्राप्त करता है
 <math display="block">\forall A \forall B \, ( [ \exists E \, ( A \in E ) \land \forall C \, ( C \in B \implies C \in A ) ] \implies \exists E \, [ B \in E ] ) \,,</math>
 वह है,
-{{block indent|A subclass of a set is a set.}}
+{{block indent|समुच्चय का उपवर्ग समुच्चय होता है।}}
 == उच्च-क्रम सेटिंग्स में ==
-एक प्रकार की सिद्धांत भाषा में जहां हम विधेय पर मात्रा निर्धारित कर सकते हैं, विनिर्देशन का स्वयंसिद्ध स्कीमा एक सरल स्वयंसिद्ध बन जाता है। यह काफी हद तक वैसी ही तरकीब है जैसा कि पिछले खंड के एनबीजी स्वयंसिद्धों में इस्तेमाल किया गया था, जहां विधेय को एक वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जिसे बाद में परिमाणित किया गया था।
+एक प्रकार की सिद्धांत भाषा में जहां हम विधेय पर मात्रा निर्धारित कर सकते हैं, विनिर्देशन का स्वयंसिद्ध योजना सरल स्वयंसिद्ध बन जाता है। यह अत्यधिक वैसी ही चाल है जैसा कि पिछले खंड के NB जिसे स्वयंसिद्धों में प्रयोग किया गया था, जहां विधेय को वर्ग द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जिसे बाद में परिमाणित किया गया था।
-दूसरे क्रम के तर्क और उच्च क्रम के तर्क में उच्च क्रम के शब्दार्थ के साथ, विनिर्देश का स्वयंसिद्ध एक तार्किक वैधता है और इसे सिद्धांत में स्पष्ट रूप से शामिल करने की आवश्यकता नहीं है।
+दूसरे क्रम के तर्क और उच्च क्रम के तर्क में उच्च क्रम के शब्दार्थ के साथ, विनिर्देश का स्वयंसिद्ध तार्किक वैधता है और इसे सिद्धांत में स्पष्ट रूप से सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है।
 == क्वीन की नई नींव में ==
-W.V.O. Quine द्वारा प्रतिपादित सिद्धांत सेट करने के लिए नई नींव के दृष्टिकोण में, किसी दिए गए विधेय के लिए समझ का स्वयंसिद्ध अप्रतिबंधित रूप लेता है, लेकिन स्कीमा में उपयोग किए जाने वाले विधेय स्वयं प्रतिबंधित हैं। विधेय ({{mvar|C}} इसमें नहीं है {{mvar|C}}) वर्जित है, क्योंकि वही प्रतीक है {{mvar|C}} सदस्यता प्रतीक के दोनों तरफ दिखाई देता है (और इसलिए विभिन्न सापेक्ष प्रकारों पर); इस प्रकार, रसेल के विरोधाभास से बचा जाता है। हालांकि, लेने से {{math|{{var|P}}({{var|C}})}} होना {{math|1=({{var|C}} = {{var|C}})}}, जिसकी अनुमति है, हम सभी सेटों का एक सेट बना सकते हैं। विवरण के लिए, स्तरीकरण (गणित) देखें।
+डब्ल्यू वी ओ क्वीन, द्वारा प्रतिपादित सिद्धांत समुच्चय करने के लिए नई नींव के दृष्टिकोण में, किसी दिए गए विधेय के लिए समझ का स्वयंसिद्ध अप्रतिबंधित रूप लेता है, लेकिन योजना में उपयोग किए जाने वाले विधेय स्वयं प्रतिबंधित हैं। विधेय ({{mvar|C}} इसमें नहीं है {{mvar|C}}) वर्जित है, क्योंकि वही प्रतीक है {{mvar|C}} सदस्यता प्रतीक के दोनों तरफ दिखाई देता है (और इसलिए विभिन्न सापेक्ष प्रकारों पर); इस प्रकार, रसेल के विरोधाभास से बचा जाता है। चूंकि, लेने से {{math|{{var|P}}({{var|C}})}} होना {{math|1=({{var|C}} = {{var|C}})}}, जिसकी अनुमति है, हम सभी समुच्चयों का समुच्चय बना सकते हैं। विवरण के लिए, स्तरीकरण (गणित) देखें।
 ==संदर्भ==
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 {{Set theory}}
-[[Category: समुच्चय सिद्धांत के अभिगृहीत]]
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v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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कथन

प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना से संबंध

अप्रतिबंधित समझ

NBG वर्ग सिद्धांत में

उच्च-क्रम सेटिंग्स में

क्वीन की नई नींव में

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