अभिगृहीत स्कीमा

गणितीय तर्क में, एक अभिगृहीत स्कीमा (बहुवचन: अभिगृहीत स्कीमा या अभिगृहीत स्कीमा) अभिगृहीत की धारणा को सामान्य करता है।

औपचारिक परिभाषा

अभिगृहीत स्कीमा एक अभिगृहीत प्रणाली की धातुभाषा में एक अच्छी तरह से निर्मित सूत्र है, जिसमें एक या अधिक योजनाबद्ध चर दिखाई देते हैं। ये वेरिएबल्स, जो मेटलुइस्टिक निर्माण हैं, किसी भी प्रथम-क्रम तर्क गठन नियम या सिस्टम के प्रथम-क्रम तर्क के लिए संदर्भित हैं, जो कुछ शर्तों को पूरा करने के लिए आवश्यक हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। प्रायः, ऐसी स्थितियों के लिए आवश्यक होता है कि कुछ चर मुक्त चर हों, या कुछ चर उप-सूत्र या शब्द में प्रकट न हों.

परिमित अभिग्रहीतिकरण

यह देखते हुए कि एक योजनाबद्ध चर के स्थान पर सम्मिलित किए जा सकने वाले संभावित उप-सूत्रों या शब्दों की संख्या असीमित रूप से अनंत है, एक अभिगृहीत स्कीमा अभिगृहीतों के अनंत सेट के लिए संदर्भित है। यह सेट सामान्यतः पुनरावर्ती परिभाषा हो सकती है। एक सिद्धांत जिसे स्कीमा के बिना अभिगृहीत किया जा सकता है, उसे सूक्ष्म रूप से अभिगृहीत कहा जाता है। जिन सिद्धांतों को सूक्ष्म रूप से अभिगृहीत किया जा सकता है, उन्हें कुछ अधिक गणितीय रूप से सुरुचिपूर्ण के रूप में देखा जाता है, भले ही वे निगमनात्मक कार्य के लिए कम व्यावहारिक हों।

उदाहरण

अभिगृहीत स्कीमा के दो प्रसिद्ध उदाहरण हैं:

• गणितीय प्रेरण स्कीमा जो प्राकृतिक संख्याओं के अंकगणित के लिए पीनो के अभिगृहीतों का हिस्सा है;
• प्रतिस्थापन की अभिगृहीत स्कीमा जो सेट सिद्धांत के मानक जेडएफसी अभिगृहीतीकरण का हिस्सा है।

चेस्लाव राइल-नार्डजेव्स्की ने प्रमाणित किया कि पीनो अंकगणित को अंतिम रूप से अभिगृहीत नहीं किया जा सकता है, और रिचर्ड मोंटेग ने प्रमाणित किया कि जेडएफसी को अंतिम रूप से अभिगृहीत नहीं किया जा सकता है। इसलिए, इन सिद्धांतों से अभिगृहीत स्कीमाटा को समाप्त नहीं किया जा सकता है। गणित, दर्शन, भाषा विज्ञान आदि में कुछ अन्य अभिगृहीत सिद्धांतों के लिए भी यही स्थिति है।

सूक्ष्म रूप से अभिगृहीत सिद्धांत

जेडएफसी के सभी प्रमेय भी वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत के प्रमेय हैं, लेकिन उत्तरार्द्ध को सूक्ष्म रूप से अभिगृहीत किया जा सकता है। सेट थ्योरी नई नींव को सूक्ष्म रूप से अभिगृहीत किया जा सकता है, लेकिन केवल लालित्य के कुछ नुकसान के साथ अनुमति देता है।

उच्च-क्रम तर्क में

पहले क्रम के तर्क में योजनाबद्ध चर सामान्यतः दूसरे क्रम के तर्क में तुच्छ रूप से समाप्त हो जाते हैं, क्योंकि एक योजनाबद्ध चर प्रायः सिद्धांत के व्यक्तियों पर किसी संपत्ति या संबंध (गणित) के लिए प्लेसहोल्डर होता है। ऊपर उल्लिखित इंडक्शन और रिप्लेसमेंट के स्कीमा के मामले में यही है। उच्च-क्रम तर्क परिमाणित चर को सभी संभावित गुणों या संबंधों पर सीमाबद्ध करने की अनुमति देता है।

यह भी देखें

• विधेय पृथक्करण की अभिगृहीत स्कीमा
• प्रतिस्थापन की अभिगृहीत स्कीमा
• विशिष्टता की अभिगृहीत स्कीमा

संदर्भ

• Corcoran, John (2006), "Schemata: the Concept of Schema in the History of Logic", Bulletin of Symbolic Logic, 12: 219–240.
• Corcoran, John (2016). "Schema". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), Chapman & Hall, ISBN 0-412-80830-7.
• Montague, Richard (1961), "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I", in Samuel R. Buss (ed.), Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Pergamon Press, pp. 45–69.
• Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy, Oxford University Press, ISBN 9780199269730.
• Ryll-Nardzewski, Czesław (1952), "The role of the axiom of induction in elementary arithmetic" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 39: 239–263.