टेलर प्रमेय

घातांकीय फलन ${\textstyle y=e^{x}}$ (लाल) और मूल के चारों ओर घात चार (धराशायी हरा) का संबंधित टेलर बहुपद।

गणना में, टेलर का प्रमेय किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर घात ${\textstyle k}$-के बहुपद ${\textstyle k}$- गुना विभेदित फलन का एक अनुमान देता है, जिसे ${\textstyle k}$-वें टेलर बहुपद कहा जाता है। एक सुचारु फलन के लिए, टेलर बहुपद फलन की टेलर श्रृंखला के क्रम ${\textstyle k}$ पर खंडन है। प्रथम-क्रम टेलर बहुपद फलन का रैखिक सन्निकटन है और दूसरे-क्रम टेलर बहुपद को प्रायः 'द्विघात सन्निकटन' के रूप में जाना जाता है। टेलर के प्रमेय के कई संस्करण हैं, कुछ इसके टेलर बहुपद द्वारा फलन की सन्निकटन त्रुटि का स्पष्ट अनुमान देते हैं।

टेलर के प्रमेय का नाम गणितज्ञ ब्रूक टेलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1715 में इसका एक संस्करण बताया था, हालांकि परिणाम का एक पुराना संस्करण 1671 में जेम्स ग्रेगरी (खगोलशास्त्री और गणितज्ञ) द्वारा पहले ही उल्लेखित किया गया था।

टेलर का प्रमेय परिचयात्मक-स्तर के गणना पाठ्यक्रमों में पढ़ाया जाता है और गणितीय विश्लेषण में केंद्रीय प्राथमिक उपकरणों में से एक है। यह घातांकीय फलन और त्रिकोणमितीय फलन जैसे कई अबीजीय फलनों के मानों की सटीक गणना करने के लिए सरल अंकगणितीय सूत्र देता है।

यह विश्लेषिक फलनों के अध्ययन का प्रारंभिक बिंदु है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों के साथ-साथ संख्यात्मक विश्लेषण और गणितीय भौतिकी में भी मौलिक है। टेलर का प्रमेय बहुभिन्नरूपी फलन और सदिश मान फलनों का भी सामान्यीकरण करता है।

प्रेरणा

यदि एक वास्तविक-मूल्यवान फलन ${\textstyle f(x)}$ बिंदु ${\textstyle x=a}$ पर अवकलनीय है, तो इस बिंदु के निकट इसका एक रैखिक सन्निकटन होता है। इसका अर्थ यह है कि एक h1(x) उपस्थित है:

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h_{1}(x)(x-a),\quad \lim _{x\to a}h_{1}(x)=0.$$

यहाँ

$$P_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$

का रैखिक सन्निकटन है बिंदु a के निकट x के लिए ${\textstyle f(x)}$, जिसका आलेख़ ${\textstyle y=P_{1}(x)}$, ${\textstyle y=f(x)}$ पर x = a आलेख़ की स्पर्श रेखा है। सन्निकटन में त्रुटि है:

$$R_{1}(x)=f(x)-P_{1}(x)=h_{1}(x)(x-a).$$

जैसे-जैसे x, a की ओर बढ़ता है, यह त्रुटि $f'(a)(x{-}a)$ की तुलना में बहुत तीव्रता से शून्य हो जाती है, जिससे $f(x)\approx P_{1}(x)$ एक उपयोगी सन्निकटन बन जाता है।

उन्नत सन्निकटन के लिए ${\textstyle f(x)}$, हम एक रैखिक फलन के बजाय एक द्विघात बहुपद उपयुक्त कर सकते हैं:

$$P_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.$$

${\textstyle x=a}$ पर ${\textstyle f(x)}$ के केवल एक व्युत्पन्न का मिलान करने के बजाय, इस बहुपद में समान पहला और दूसरा व्युत्पन्न होता है, जैसा कि विभेदन पर स्पष्ट होता है।

टेलर का प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि ${\textstyle x=a}$ के पर्याप्त छोटे प्रतिवेश में द्विघात सन्निकटन, रैखिक सन्निकटन की तुलना में अधिक सटीक है। विशेष रूप से,

$$f(x)=P_{2}(x)+h_{2}(x)(x-a)^{2},\quad \lim _{x\to a}h_{2}(x)=0.$$

यहाँ सन्निकटन में त्रुटि है:

$$R_{2}(x)=f(x)-P_{2}(x)=h_{2}(x)(x-a)^{2},$$

जो, $h_{2}$ के सीमित व्यवहार को देखते हुए, $(x-a)^{2}$ की तुलना में तीव्रता से शून्य पर चला जाता है जैसे कि x, a की ओर प्रवृत्त होता है।

${\textstyle f(x)={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$ (नीला) का अनुमान इसके टेलर बहुपद ${\textstyle P_{k}}$ द्वारा क्रम का ${\textstyle k=1,\ldots ,16}$ पर केन्द्रित ${\textstyle x=0}$ (लाल) और ${\textstyle x=1}$ (हरा) हैं। बाह्य अनुमानों $(-1,1)$ और ${\textstyle (1-{\sqrt {2}},1+{\sqrt {2}})}$, क्रमशः में बिल्कुल भी सुधार नहीं होता।

इसी प्रकार, यदि हम उच्च घात के बहुपदों का उपयोग करते हैं तो हमें f के और भी उन्नत सन्निकटन प्राप्त हो सकते हैं, तब से हम चयनित आधार बिंदु पर f के साथ और भी अधिक व्युत्पन्नों का मिलान कर सकते हैं।

सामान्य तौर पर, घात k के बहुपद द्वारा किसी फलन का अनुमान लगाने में त्रुटि $(x-a)^{k}$की तुलना में बहुत तीव्रता से शून्य हो जाएगी क्योंकि x, a की ओर प्रवृत्त होता है। हालाँकि, ऐसे फलन हैं, यहां तक ​​​​कि असीम रूप से भिन्न भी, जिनके लिए अनुमानित बहुपद की घात बढ़ाने से सन्निकटन की सटीकता में वृद्धि नहीं होती है: हम कहते हैं कि ऐसा फलन x = a पर विश्लेषणात्मक होने में विफल रहता है: यह (स्थानीय रूप से) इस बिंदु पर इसके अवकलज द्वारा निर्धारित नहीं होता है।

टेलर का प्रमेय स्पर्शोन्मुख प्रकृति का है: यह हमें केवल यह बताता है कि ${\textstyle k}$-वें क्रम के सन्निकटन में त्रुटि ${\textstyle R_{k}}$ टेलर बहुपद P_k, ${\textstyle x\to a}$ के रूप में किसी भी गैर-शून्य ${\textstyle k}$-वें घात बहुपद की तुलना में तीव्रता से शून्य हो जाती है। यह हमें नहीं बताता कि विस्तार के केंद्र के किसी स्थूल प्रतिवेश में त्रुटि कितनी बड़ी है, लेकिन इस उद्देश्य के लिए शेष पद (नीचे दिए गए) के लिए स्पष्ट सूत्र हैं जो f पर कुछ अतिरिक्त नियमितता मान्यताओं के अंतर्गत मान्य हैं। टेलर के प्रमेय के ये उन्नत संस्करण सामान्यतः विस्तार के केंद्र के एक छोटे से प्रतिवेश में सन्निकटन त्रुटि के लिए एक समान अभिसरण की ओर ले जाते हैं, लेकिन अनुमान आवश्यक रूप से उन प्रतिवेशों के लिए अनुप्रयुक्त नहीं होते हैं जो बहुत बड़े हैं, भले ही फलन f विश्लेषणात्मक फलन हो। उस स्थिति में किसी को मूल फलन के विश्वसनीय टेलर-अनुमान प्राप्त करने के लिए विस्तार के विभिन्न केंद्रों के साथ कई टेलर बहुपदों का चयन करना पड़ सकता है (दाईं ओर एनीमेशन देखें)।

ऐसे कई तरीके हैं जिनसे हम शेष पद का उपयोग कर सकते हैं:

1. किसी दिए गए अंतराल (a – r, a + r) पर ${\textstyle f(x)}$ का अनुमान लगाने वाले कोटियों के बहुपद P_k(x) के लिए त्रुटि का अनुमान लगाएं (अंतराल और कोटि को देखते हुए, हम त्रुटि पाते हैं)।
2. वह सबसे छोटी घात k ज्ञात कीजिए जिसके लिए बहुपद P_k(x) सन्निकट होता है, ${\textstyle f(x)}$ से किसी दिए गए अंतराल (a − r, a + r) पर दी गई त्रुटि सहनशीलता के भीतर हैं (अंतराल और त्रुटि सहनशीलता को देखते हुए, हम घात पाते हैं)।
3. सबसे बड़ा अंतराल (a − r, a + r) ज्ञात करें जिस पर P_k(x) अनुमानित हैं, ${\textstyle f(x)}$ किसी दी गई त्रुटि सहनशीलता के भीतर हैं (घात और त्रुटि सहनशीलता को देखते हुए, हम अंतराल पाते हैं)।

एक वास्तविक चर में टेलर का प्रमेय

प्रमेय का कथन

टेलर के प्रमेय के सबसे मूलभूत संस्करण का सटीक विवरण इस प्रकार है:

टेलर का प्रमेय — मान लीजिए कि k ≥ 1 एक पूर्णांक है और फलन f : R → R को बिंदु a ∈ R पर k गुना अवकलनीय है। तब एक फलन h_k : R → R इस प्रकार उपस्थित है कि

$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},$$

और

$$\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.$$

इसे शेषफल का पीनो रूप कहा जाता है।

टेलर के प्रमेय में प्रदर्शित होने वाला बहुपद, बिंदु a पर फलन f का ${\textstyle {\boldsymbol {k}}}$-वाँ क्रम वाला टेलर बहुपद है।

$$P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$$

टेलर बहुपद इस अर्थ में अद्वितीय "असममित श्रेष्ठतम आसंजन" बहुपद है कि यदि कोई फलन h_k : R → R और ${\textstyle k}$-वें क्रम बहुपद p उपस्थित है जैसे कि

$$f(x)=p(x)+h_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0,$$

तब p = P_k, टेलर का प्रमेय 'शेष पद' के स्पर्शोन्मुख व्यवहार का वर्णन करता है।

$$R_{k}(x)=f(x)-P_{k}(x),$$

जो टेलर बहुपद के साथ f का सन्निकटन करते समय सन्निकटन त्रुटि है। छोटा-o संकेतन का उपयोग करते हुए, टेलर के प्रमेय में कथन इस प्रकार पढ़ा जाता है।

$$R_{k}(x)=o(|x-a|^{k}),\quad x\to a.$$

शेषफल के लिए स्पष्ट सूत्र

f पर प्रबल नियमितता मान्यताओं के अंतर्गत शेष पद R_k के लिए कई सटीक सूत्र हैं, टेलर बहुपद में से सबसे सामान्य निम्नलिखित हैं।

शेषफल के माध्य-मान रूप — मान लीजिए कि f : R → R विवृत अंतराल पर k + 1 गुना अवकलनीय है और ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ मध्य के संवृत अंतराल पर f^(k) सतत है। तब

$$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}$$

कुछ वास्तविक संख्या ${\textstyle \xi _{L}}$ के लिए, ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ के मध्य है। यह शेषफल का लैग्रेंज रूप है। इसी प्रकार,

$$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi _{C})}{k!}}(x-\xi _{C})^{k}(x-a)$$

कुछ वास्तविक संख्या ${\textstyle \xi _{C}}$ के लिए, ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ के मध्य है। यह शेषफल का कॉची रूप है।

टेलर के प्रमेय के ये परिशोधन सामान्यतः माध्य मान प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किए जाते हैं, जहां से यह नाम पड़ा है। इसके अतिरिक्त, ध्यान दें कि ${\textstyle k=0}$ होने पर यह बिल्कुल माध्य मान प्रमेय है। इसके अतिरिक्त अन्य समान अभिव्यक्तियाँ भी पाई जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि G(t) संवृत अंतराल पर सतत है और ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ के मध्य विवृत अंतराल पर एक गैर-लुप्त व्युत्पन्न के साथ भिन्न है, तब

$$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}$$

या कुछ संख्या ${\textstyle \xi }$ के लिए ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ के मध्य हैं। यह संस्करण विशेष स्थितियों के रूप में शेष के लैग्रेंज और कॉची रूपों को सम्मिलित करता है और कॉची के माध्य मान प्रमेय का उपयोग करके इसे नीचे सिद्ध किया गया है। लैग्रेंज रूप लेने से प्राप्त होता है। $G(t)=(x-t)^{k+1}$ और कॉची रूप $G(t)=t-a$ लेकर प्राप्त किया जाता है।

शेषफल के अभिन्न रूप के लिए बयान पिछले वाले की तुलना में अधिक उन्नत है, और पूर्ण व्यापकता के लिए लेबेसेग अभिन्न की समझ की आवश्यकता है। हालाँकि, यह रीमैन अभिन्न के अर्थ में भी अनुप्रयुक्त है, बशर्ते कि f का (k+1)वां व्युत्पन्न संवृत अंतराल [a,x] पर सतत हो।

शेषफल का अभिन्न रूप — मान लीजिए कि ${\textstyle f^{(k)}}$ के संवृत अंतराल के मध्य ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ पर पूर्णतया सतत है। तब

$$R_{k}(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.$$

${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ के मध्य संवृत अंतराल पर f^(k) की पूर्ण निरंतरता के कारण, इसका व्युत्पन्न f^(k+1) L¹-फलन के रूप में उपस्थित है और परिणाम को गणना के मौलिक प्रमेय और भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके औपचारिक गणना द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

शेषफल के लिए अनुमान

टेलर सन्निकटन में दिखाई देने वाले शेष पद का अनुमान लगाने में सक्षम होना, इसके लिए एक सटीक सूत्र होने के बजाय, व्यवहार में प्रायः उपयोगी होता है। मान लीजिए कि a वाले अंतराल I में f (k + 1)-गुना संतत भिन्न होता है। जैसे कि वास्तविक स्थिरांक q और Q हैं;

$$q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q$$

संपूर्ण I में, फिर शेष पद असमानता को संतुष्ट करता है।

$$q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},$$

यदि x > a, और एक समान अनुमान यदि x < a हैं। यह शेषफल के लैग्रेंज रूप का एक सरल परिणाम है। विशेषकर, यदि

$$|f^{(k+1)}(x)|\leq M$$

एक अंतराल I = (a − r,a + r) पर, कुछ $r>0$ के साथ, तब

$$|R_{k}(x)|\leq M{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq M{\frac {r^{k+1}}{(k+1)!}}$$

सभी x∈(a − r,a + r) के लिए हैं। दूसरी असमानता को एक समान अनुमान कहा जाता है, क्योंकि यह अंतराल (a − r,a + r) पर सभी x के लिए समान रूप से रखती है।

उदाहरण

${\textstyle e^{x}}$ (नीला) का अनुमान इसके टेलर बहुपद $P_{k}$ द्वारा क्रम ${\textstyle k=1,\ldots ,7}$ का ${\textstyle x=0}$ (लाल) पर केन्द्रित है।

मान लीजिए कि हम अंतराल ${\textstyle [-1,1]}$ पर फलन ${\textstyle f(x)=e^{x}}$ का अनुमानित मान ज्ञात करना चाहते हैं। यह सुनिश्चित करते हुए कि सन्निकटन में त्रुटि 10⁻⁵ से अधिक नहीं है। इस उदाहरण में हम दिखावा करते हैं कि हम घातीय फलन के केवल निम्नलिखित गुणों को जानते हैं:

$e^{0}=1,\qquad {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x},\qquad e^{x}>0,\qquad x\in \mathbb {R} .$

(★)

इन गुणों से यह निष्कर्ष ${\textstyle f^{(k)}(x)=e^{x}}$ निकलता है, सभी ${\textstyle k}$ के लिए और विशेष रूप से, ${\textstyle f^{(k)}(0)=1}$ हैं। इसलिए ${\textstyle k}$-वें क्रम का टेलर बहुपद ${\textstyle 0}$ पर ${\textstyle f}$ और इसका शेष पद लैग्रेंज रूप में दिया गया है।

$$P_{k}(x)=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{k}}{k!}},\qquad R_{k}(x)={\frac {e^{\xi }}{(k+1)!}}x^{k+1},$$

जहाँ ${\textstyle \xi }$, 0 और x के मध्य कोई संख्या है। चूँकि e^x (★) से बढ़ रहा है, हम केवल ${\textstyle e^{x}\leq 1}$ के लिए ${\textstyle x\in [-1,0]}$ उपअंतराल पर शेषफल का अनुमान लगाने के लिए $[-1,0]$ उपयोग कर सकते हैं। $[0,1]$ पर शेषफल के लिए ऊपरी सीमा प्राप्त करने के लिए, हम गुणधर्म ${\textstyle e^{\xi }<e^{x}}$ के लिए ${\textstyle 0<\xi <x}$ का उपयोग करते हैं।

$$e^{x}=1+x+{\frac {e^{\xi }}{2}}x^{2}<1+x+{\frac {e^{x}}{2}}x^{2},\qquad 0<x\leq 1$$

दूसरे क्रम के टेलर विस्तार का उपयोग करना, फिर हम उसे निकालने के लिए e^x हल निकालते हैं।

$$e^{x}\leq {\frac {1+x}{1-{\frac {x^{2}}{2}}}}=2{\frac {1+x}{2-x^{2}}}\leq 4,\qquad 0\leq x\leq 1$$

केवल अंश को अधिकतम करके और हर को छोटा करके e^x के लिए इन अनुमानों को मिलाकर हम यह देखते हैं।

$$|R_{k}(x)|\leq {\frac {4|x|^{k+1}}{(k+1)!}}\leq {\frac {4}{(k+1)!}},\qquad -1\leq x\leq 1,$$

इसलिए आवश्यक परिशुद्धता निश्चित रूप से पहुँच जाती है, जब

$${\frac {4}{(k+1)!}}<10^{-5}\quad \Longleftrightarrow \quad 4\cdot 10^{5}<(k+1)!\quad \Longleftrightarrow \quad k\geq 9.$$

(क्रमगुणित देखें या हाथ से मानों ${\textstyle 9!=362880}$ और ${\textstyle 10!=3628800}$ की गणना करें ) निष्कर्ष के रूप में, टेलर का प्रमेय सन्निकटन की ओर ले जाता है।

$$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{9}}{9!}}+R_{9}(x),\qquad |R_{9}(x)|<10^{-5},\qquad -1\leq x\leq 1.$$

उदाहरण के लिए, यह सन्निकटन दशमलव प्रतिनिधित्व $e\approx 2.71828$ प्रदान करता है, दशमलव के पाँच स्थानों तक सही करें।

विश्लेषणात्मकता से संबंध

टेलर वास्तविक विश्लेषणात्मक फलनों का विस्तार

मान लीजिए I ⊂ 'R' एक विवृत अंतराल है। परिभाषा के अनुसार, एक फलन f: I → R वास्तविक विश्लेषणात्मक है यदि इसे स्थानीय रूप से एक अभिसरण शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक a ∈ I के लिए कुछ r > 0 और गुणांक c_k ∈ R का एक क्रम उपस्थित होता है,जैसे कि (a − r, a + r) ⊂ I और

$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots ,\qquad |x-a|<r.$$

सामान्य तौर पर, किसी घात श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या की गणना कॉची-हैडमार्ड सूत्र से की जा सकती है।

$${\frac {1}{R}}=\limsup _{k\to \infty }|c_{k}|^{\frac {1}{k}}.$$

यह परिणाम एक ज्यामितीय श्रृंखला के साथ तुलना पर आधारित है और एक ही विधि से पता चलता है कि यदि किसी पर आधारित घात श्रृंखला कुछ b ∈ R के लिए अभिसरण करती है, तो उसे संवृत अंतराल ${\textstyle [a-r_{b},a+r_{b}]}$ पर समान रूप से अभिसरण करना चाहिए, जहाँ ${\textstyle r_{b}=\left\vert b-a\right\vert }$ हैं। यहां केवल घात श्रृंखला के अभिसरण पर विचार किया गया है और यह अच्छी तरह से हो सकता है कि (a − R,a + R) f के कार्यक्षेत्र I से परे फैला हुआ है।

वास्तविक विश्लेषणात्मक फलन f के टेलर बहुपद केवल परिमित खंडन हैं।

$$P_{k}(x)=\sum _{j=0}^{k}c_{j}(x-a)^{j},\qquad c_{j}={\frac {f^{(j)}(a)}{j!}}$$

इसकी स्थानीय रूप से परिभाषित घात श्रृंखला, और संबंधित शेष शर्तें स्थानीय रूप से विश्लेषणात्मक फलनों द्वारा दी गई हैं।

$$R_{k}(x)=\sum _{j=k+1}^{\infty }c_{j}(x-a)^{j}=(x-a)^{k}h_{k}(x),\qquad |x-a|<r.$$

यहाँ फलन

$${\begin{aligned}&h_{k}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&h_{k}(x)=(x-a)\sum _{j=0}^{\infty }c_{k+1+j}\left(x-a\right)^{j}\end{aligned}}$$

विश्लेषणात्मक भी हैं, क्योंकि उनकी परिभाषित घात श्रृंखला में मूल श्रृंखला के समान अभिसरण की त्रिज्या है। यह मानते हुए कि [a − r, a + r] ⊂ I और r<R, ये सभी श्रृंखलाएं (a − r, a + r) पर समान रूप से अभिसरित होती हैं। स्वाभाविक रूप से, विश्लेषणात्मक फलनों की स्थिति में कोई शेष पद ${\textstyle R_{k}(x)}$ का अनुमान लगा सकता है। विस्तार के केंद्र में व्युत्पन्न f'(a) के अनुक्रम की पश्चभाग द्वारा, लेकिन जटिल विश्लेषण का उपयोग करने से एक और संभावना भी उत्पन्न होती है, जिसे नीचे वर्णित किया गया है।

टेलर का प्रमेय और टेलर श्रृंखला का अभिसरण

f की टेलर श्रृंखला कुछ अंतराल में अभिसरण करेगी जिसमें इसके सभी अवकलज बंधे हुए हैं और बहुत तीव्रता से नहीं बढ़ते हैं क्योंकि के अनंत तक जाता है। (हालाँकि, भले ही टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, यह f में परिवर्तित नहीं हो सकती है, जैसा कि नीचे बताया गया है; तब f को गैर-विश्लेषणात्मक फलन कहा जाता है)।

कोई टेलर श्रृंखला के विषय में विचार कर सकता है:

$$f(x)\approx \sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(x-a)^{k}=c_{0}+c_{1}(x-a)+c_{2}(x-a)^{2}+\cdots$$

एक अपरिमित रूप से अनेक बार अवकलनीय फलन f : R → R को a पर इसके "अनंत क्रम टेलर बहुपद" के रूप में है। अब शेषफल के अनुमान का अर्थ है कि यदि, किसी भी r के लिए, f के व्युत्पन्न को (a - r, a + r) से घिरा हुआ माना जाता है, तो किसी भी क्रम k के लिए और किसी भी r > 0 के लिए एक स्थिर M_k,r > 0 उपस्थित होता है जैसे कि

$|R_{k}(x)|\leq M_{k,r}{\frac {|x-a|^{k+1}}{(k+1)!}}$

(★★)

प्रत्येक x ∈ (a − r,a + r) के लिए है। कभी-कभी स्थिरांक M_k,r को इस तरह से चुना जा सकता है कि निश्चित r और सभी k के लिए M_k,r ऊपर परिबद्ध हो। फिर f की टेलर श्रृंखला कुछ विश्लेषणात्मक फलन में समान रूप से परिवर्तित हो जाती है।

$${\begin{aligned}&T_{f}:(a-r,a+r)\to \mathbb {R} \\&T_{f}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}\left(x-a\right)^{k}\end{aligned}}$$

(किसी को अभिसरण भी मिलता है भले ही M_k,r ऊपर से घिरा न हो, जब तक कि यह धीरे-धीरे बढ़ता है)।

परिभाषा के अनुसार सीमा फलन T_f सदैव विश्लेषणात्मक होता है, लेकिन यह आवश्यक रूप से मूल फलन f के बराबर नहीं होता है, भले ही f असीम रूप से भिन्न हो। इस स्थिति में, हम कहते हैं कि f एक गैर-विश्लेषणात्मक सहज फलन है, उदाहरण के लिए एक समतल फलन:

$${\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0.\end{cases}}\end{aligned}}$$

गणितीय प्रेरण द्वारा श्रृंखला नियम का बार-बार उपयोग करने से पता चलता है कि किसी भी क्रम k के लिए,

$$f^{(k)}(x)={\begin{cases}{\frac {p_{k}(x)}{x^{3k}}}\cdot e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$$

घात 2(k − 1) के कुछ बहुपद p_k के लिए है। फलन $e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}$ किसी भी बहुपद ${\textstyle x\to 0}$ की तुलना में तीव्रता से शून्य हो जाता है, इसलिए f अपरिमित रूप से कई गुना भिन्न है और प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक k के लिए f^(k)(0) = 0 है। उपरोक्त सभी परिणाम इस स्थिति में मान्य हैं:

• f की टेलर श्रृंखला शून्य फलन T_f(x) = 0 पर समान रूप से परिवर्तित होती है, जो शून्य के बराबर सभी गुणांकों के साथ विश्लेषणात्मक है।
• फलन f इस टेलर श्रृंखला के बराबर नहीं है और इसलिए गैर-विश्लेषणात्मक है।
• किसी भी क्रम k ∈ N और त्रिज्या r > 0 के लिए M_k,r > 0 उपस्थित है जो उपरोक्त शेष सीमा (★★) को संतुष्ट करता है।

हालाँकि, जैसे ही निश्चित r के लिए k बढ़ता है, M_k,r का मान r^k की तुलना में अधिक तीव्रता से बढ़ता है और त्रुटि शून्य पर नहीं जाती है।

जटिल विश्लेषण में टेलर का प्रमेय

टेलर का प्रमेय f: C → C फलनों को सामान्यीकृत करता है जो जटिल तल के एक विवृत उपसमुच्चय U ⊂ C में जटिल अवकलनीय हैं। हालाँकि, जटिल विश्लेषण में इसकी उपयोगिता अन्य सामान्य प्रमेयों से कम है। अर्थात्, कॉची के अभिन्न सूत्र का उपयोग करके जटिल विभेदक फलनों f : U → C के लिए संबंधित परिणामों के प्रबल संस्करण निम्नानुसार निकाले जा सकते हैं।

मान लीजिए r > 0 इस प्रकार है कि संवृत चक्रिका B(z,r) ∪S(z,r) U में समाहित है। फिर एक धनात्मक प्राचलीकरण के साथ कॉची का अभिन्न सूत्र γ(t) = z + re^it वृत्त S(z, r) के साथ $t\in [0,2\pi ]$ देता है।

$$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw,\quad f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw,\quad \ldots ,\quad f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-z)^{k+1}}}\,dw.$$

यहां सभी समाकलित वृत्त S(z,r) पर सतत हैं, जो समाकल चिह्न के अंतर्गत भेदभाव को उचित ठहराता है। विशेष रूप से, यदि विवृत समुच्चय U पर f एक बार जटिल अवकलनीय है, तो यह वास्तव में U पर अनंत रूप से कई गुना जटिल अवकलनीय है। कोई कॉची के अनुमान भी प्राप्त कर सकता है।

$$|f^{(k)}(z)|\leq {\frac {k!}{2\pi }}\int _{\gamma }{\frac {M_{r}}{|w-z|^{k+1}}}\,dw={\frac {k!M_{r}}{r^{k}}},\quad M_{r}=\max _{|w-c|=r}|f(w)|$$

किसी भी z ∈ U और r > 0 के लिए जैसे कि B(z, r) ∪ S(c, r) ⊂ U है। इन अनुमानों का अर्थ है कि सम्मिश्र संख्या टेलर श्रृंखला

$$T_{f}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(k)}(c)}{k!}}(z-c)^{k}$$

f किसी भी विवृत चक्रिका ${\textstyle B(c,r)\subset U}$ पर ${\textstyle S(c,r)\subset U}$ के साथ समान रूप से किसी फलन में T_f में परिवर्तित हो जाता है। इसके अतिरिक्त, व्युत्पन्न f^(k)(c) के लिए समोच्च अभिन्न सूत्रों का उपयोग करते हुए,

$${\begin{aligned}T_{f}(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(z-c)^{k}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{k+1}}}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {z-c}{w-c}}\right)^{k}\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-c}}\left({\frac {1}{1-{\frac {z-c}{w-c}}}}\right)\,dw\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{w-z}}\,dw=f(z),\end{aligned}}$$

इसलिए किसी विवृत समुच्चय U ⊂ C में कोई भी जटिल व्युत्पन्न फलन f वास्तव में जटिल विश्लेषणात्मक है। वास्तविक विश्लेषणात्मक फलनों के लिए जो कुछ भी कहा गया है वह विवृत अंतराल I के साथ जटिल विश्लेषणात्मक फलनों के लिए भी अनुप्रयुक्त होता है, जिसे एक विवृत उपसमुच्चय U ∈ C द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और a-केंद्रित अंतराल (a − r, a +r) को C-केंद्रित चक्रिका B(c,r) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, टेलर विस्तार रूप में है;

$$f(z)=P_{k}(z)+R_{k}(z),\quad P_{k}(z)=\sum _{j=0}^{k}{\frac {f^{(j)}(c)}{j!}}(z-c)^{j},$$

जहाँ शेष पद R_kजटिल विश्लेषणात्मक है। जटिल विश्लेषण के तरीके टेलर विस्तार के संबंध में कुछ घातशाली परिणाम प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी सकारात्मक रूप से उन्मुख जॉर्डन वक्र ${\textstyle \gamma }$ के लिए कॉची के अभिन्न सूत्र का उपयोग करना जो एक क्षेत्र ${\textstyle \partial W\subset U}$ की सीमा ${\textstyle W\subset U}$ को पैरामीट्रिज करता है, कोई व्युत्पन्नों f^(j)(c) के लिए व्यंजक प्राप्त करता है जैसा कि ऊपर बताया गया है और T_f(z) = f(z) के लिए गणना को थोड़ा संशोधित करने पर, कोई सटीक सूत्र पर पहुंच जाता है।

$$R_{k}(z)=\sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {(z-c)^{j}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)}{(w-c)^{j+1}}}\,dw={\frac {(z-c)^{k+1}}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f(w)\,dw}{(w-c)^{k+1}(w-z)}},\qquad z\in W.$$

यहां महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि क्षेत्र ${\textstyle W\subset U}$ पर टेलर बहुपद द्वारा सन्निकटन की गुणवत्ता सीमा ${\textstyle \partial W\subset U}$ पर स्वयं f के मानों पर प्रमुख होती है। इसी प्रकार, कॉची के अनुमानों को शेष के लिए श्रृंखला अभिव्यक्ति पर अनुप्रयुक्त करने से, एक समान अनुमान प्राप्त होता है।

$$|R_{k}(z)|\leq \sum _{j=k+1}^{\infty }{\frac {M_{r}|z-c|^{j}}{r^{j}}}={\frac {M_{r}}{r^{k+1}}}{\frac {|z-c|^{k+1}}{1-{\frac {|z-c|}{r}}}}\leq {\frac {M_{r}\beta ^{k+1}}{1-\beta }},\qquad {\frac {|z-c|}{r}}\leq \beta <1.$$

उदाहरण

${\textstyle f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}}$ का जटिल कथानक, मापांक को उन्नयन द्वारा और तर्क को रंग द्वारा दिखाया गया है: सियान =${\textstyle 0}$, नीला =${\textstyle {\frac {\pi }{3}}}$, बैंगनी=${\textstyle {\frac {2\pi }{3}}}$, लाल =$\pi$, पीला=${\textstyle {\frac {4\pi }{3}}}$, हरा=${\textstyle {\frac {5\pi }{3}}}$ है।

फलन:

$${\begin{aligned}&f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\&f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}$$

वास्तविक विश्लेषणात्मक है, अर्थात, इसकी टेलर श्रृंखला द्वारा स्थानीय रूप से निर्धारित किया जाता है। इस फलन को इस तथ्य को स्पष्ट करने के लिए ऊपर आलेखित किया गया था कि कुछ प्राथमिक फलनों को विस्तार के केंद्र के प्रतिवेश में टेलर बहुपद द्वारा अनुमानित नहीं किया जा सकता है जो बहुत बड़े हैं। इस प्रकार के व्यवहार को जटिल विश्लेषण के ढांचे में सरलता से समझा जा सकता है। अर्थात्, फलन f सघन जटिल तल पर एक मेरोमोर्फिक फलन में विस्तारित होता है।

$${\begin{aligned}&f:\mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {C} \cup \{\infty \}\\&f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}\end{aligned}}$$

इसमें ${\textstyle z=i}$ और ${\textstyle z=-i}$, पर सरल ध्रुव हैं और यह अन्यत्र विश्लेषणात्मक है। अब इसकी z₀ पर केन्द्रित टेलर श्रृंखला r < |z − z₀| के साथ किसी भी चक्रिका B(z₀, r) पर अभिसरित होती है, जहां वही टेलर श्रृंखला z ∈ C पपर अभिसरित होती है। इसलिए, 0 पर केन्द्रित f की टेलर श्रृंखला B(0, 1) पर अभिसरित होती है और यह किसी भी z ∈ C के लिए |z| > 1 के साथ i और −i पर ध्रुवों के कारण अभिसरण नहीं करता है। इसी कारण से 1 पर केन्द्रित f की टेलर श्रृंखला ${\textstyle B(1,{\sqrt {2}})}$ पर अभिसरित होती है और किसी भी z ∈ C के लिए ${\textstyle \left\vert z-1\right\vert >{\sqrt {2}}}$ के साथ अभिसरण नहीं करता है।

टेलर के प्रमेय का सामान्यीकरण

उच्च-क्रम भिन्नता

एक फलन f: Rⁿ → R, a ∈ Rⁿ पर अवकलनीय है यदि और केवल यदि एक रैखिक कार्यात्मक L : Rⁿ → R और एक फलन h : Rⁿ → R उपस्थित हो जैसे कि

$$f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+L({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+h({\boldsymbol {x}})\lVert {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}\rVert ,\qquad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h({\boldsymbol {x}})=0.$$

यदि यह स्थिति है, तो ${\textstyle L=df({\boldsymbol {a}})}$ बिंदु a पर f का (विशिष्ट रूप से परिभाषित) अंतर है। इसके अतिरिक्त,तब f का आंशिक व्युत्पन्न a पर उपस्थित होता है और a पर f का अंतर इस प्रकार दिया जाता है।

$$df({\boldsymbol {a}})({\boldsymbol {v}})={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}({\boldsymbol {a}})v_{n}.$$

α ∈ Nⁿ और x ∈ Rⁿ के लिए बहु-सूचकांक अंकन का परिचय दें।

$$|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},\quad \alpha !=\alpha _{1}!\cdots \alpha _{n}!,\quad {\boldsymbol {x}}^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}$$

यदि सभी f : Rⁿ → R के सभी ${\textstyle k}$-वें क्रम के आंशिक व्युत्पन्न a ∈ Rⁿ पर सतत हैं, तो क्लैरॉट के प्रमेय द्वारा, कोई मिश्रित व्युत्पन्न के क्रम को a पर बदल सकता है, इसलिए अंकन

$$D^{\alpha }f={\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},\qquad |\alpha |\leq k$$

उच्च क्रम के लिए आंशिक अवकलज इस स्थिति में उचित है। यही बात सत्य है यदि f के सभी (k − 1)-वें क्रम के आंशिक व्युत्पन्न 'a' के किसी प्रतिवेश में उपस्थित हैं और 'a' पर भिन्न हैं। तब हम कहते हैं कि बिंदु a पर f, k गुना अवकलनीय है।

बहुभिन्नरूपी फलनों के लिए टेलर का प्रमेय

पिछले अनुभाग के अंकन पद्धति का उपयोग करते हुए, निम्नलिखित प्रमेय प्राप्त होता है।

टेलर के प्रमेय का बहुभिन्नरूपी संस्करण — मान लीजिए कि f : Rⁿ → R बिंदु a ∈ Rⁿ पर एक k-गुना सतत अवकलनीय फलन है। फिर वहां फलन h_α : Rⁿ → R उपस्थित है, जहां $|\alpha |=k,$ जैसे कि

$${\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha },\\&{\mbox{and}}\quad \lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}h_{\alpha }({\boldsymbol {x}})=0.\end{aligned}}$$

यदि फलन f : Rⁿ → R एक संवृत गोलक $B=\{\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}:\left\|\mathbf {a} -\mathbf {y} \right\|\leq r\}$ में k + 1 गुना संतत अवकलनीय है। कुछ $r>0$ के लिए, तो कोई इस प्रतिवेश में f के (k+1)-वें क्रम के आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में शेषफल के लिए एक सटीक सूत्र प्राप्त कर सकता है। अर्थात्,

$${\begin{aligned}&f({\boldsymbol {x}})=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {D^{\alpha }f({\boldsymbol {a}})}{\alpha !}}({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }+\sum _{|\beta |=k+1}R_{\beta }({\boldsymbol {x}})({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\beta },\\&R_{\beta }({\boldsymbol {x}})={\frac {|\beta |}{\beta !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{|\beta |-1}D^{\beta }f{\big (}{\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}){\big )}\,dt.\end{aligned}}$$

इस स्थिति में, संहतसमुच्चय B में (k+1)-वें क्रम के आंशिक अवकलज की निरंतरता के कारण, तुरंत एक समान अनुमान प्राप्त होता है।

$$\left|R_{\beta }({\boldsymbol {x}})\right|\leq {\frac {1}{\beta !}}\max _{|\alpha |=|\beta |}\max _{{\boldsymbol {y}}\in B}|D^{\alpha }f({\boldsymbol {y}})|,\qquad {\boldsymbol {x}}\in B.$$

दो आयामों में उदाहरण

उदाहरण के लिए, एक सुचारु फलन f: R² → R का तृतीय-क्रम टेलर बहुपद है, जो x − a = v को दर्शाता है।

$${\begin{aligned}P_{3}({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{}&{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}})v_{1}v_{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{2}}{2!}}\\&+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{3}}{3!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}^{2}v_{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}^{2}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{1}v_{2}^{2}}{2!}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{2}^{3}}}({\boldsymbol {a}}){\frac {v_{2}^{3}}{3!}}\end{aligned}}$$

प्रमाण

एक वास्तविक चर में टेलर के प्रमेय का प्रमाण

मान लीजिए

$$h_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&x\not =a\\0&x=a\end{cases}}$$

जहां, जैसा कि टेलर के प्रमेय के कथन में है,

$$P(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$$

ये दिखाने के लिए काफी है

$$\lim _{x\to a}h_{k}(x)=0.$$

यहां प्रमाण एल'हॉपिटल के नियम के बार-बार अनुप्रयुक्त होने पर आधारित है। ध्यान दें, प्रत्येक ${\textstyle j=0,1,...,k-1}$ के लिए, $f^{(j)}(a)=P^{(j)}(a)$ है। इसलिए पहले में से प्रत्येक ${\textstyle k-1}$ अंश $h_{k}(x)$ के व्युत्पन्न $x=a$ पर लुप्त हो जाता है और यही बात हर के लिए भी सत्य है। इसके अतिरिक्त, शर्त यह है कि फलन ${\textstyle f}$ एक बिंदु पर ${\textstyle k}$ गुना भिन्न हो, उक्त बिंदु के प्रतिवेश में ${\textstyle k-1}$ क्रम तक भिन्नता की आवश्यकता होती है (यह सच है, क्योंकि भिन्नता के लिए एक बिंदु के पूरे प्रतिवेश में एक फ़ंक्शन को परिभाषित करने की आवश्यकता होती है), अंश और उसके ${\textstyle k-2}$ व्युत्पन्न ${\textstyle a}$ के प्रतिवेश में भिन्न होते हैं। स्पष्ट रूप से, हर भी उक्त शर्त को पूर्ण करता है और इसके अतिरिक्त, जब तक ${\textstyle x=a}$ लुप्त नहीं होता है, इसलिए एल'हॉपिटल के नियम के लिए आवश्यक सभी शर्तें पूर्ण की जाती हैं और इसका उपयोग उचित है। इसलिए

$${\begin{aligned}\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-P(x)}{(x-a)^{k}}}&=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d}{dx}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d}{dx}}(x-a)^{k}}}=\cdots =\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(f(x)-P(x))}{{\frac {d^{k-1}}{dx^{k-1}}}(x-a)^{k}}}\\&={\frac {1}{k!}}\lim _{x\to a}{\frac {f^{(k-1)}(x)-P^{(k-1)}(x)}{x-a}}\\&={\frac {1}{k!}}(f^{(k)}(a)-f^{(k)}(a))=0\end{aligned}}$$

जहां दूसरी अंतिम समानता ${\textstyle x=a}$ पर अवकलज की परिभाषा का अनुसरण करती है।

एक वास्तविक चर में टेलर के प्रमेय के लिए वैकल्पिक प्रमाण

मान लीजिए $f(x)$ टेलर बहुपद द्वारा अनुमानित किया जाने वाला कोई भी वास्तविक-मूल्यवान, सतत, फलन हो सकता है।

चरण 1: मान लीजिए कि ${\textstyle F}$ और ${\textstyle G}$ फलन है। ${\textstyle F}$ और ${\textstyle G}$ को व्यवस्थित करें।

$${\begin{aligned}F(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}G(x)=(x-a)^{n}\end{aligned}}$$

चरण 2: ${\textstyle F}$ और ${\textstyle G}$ के गुणधर्म :

$${\begin{aligned}F(a)&=f(a)-f(a)-f'(a)(a-a)-...-{\frac {f^{(n-1)}(a)(a-a)^{n-1}}{(n-1)!}}=0\\G(a)&=(a-a)^{n}=0\end{aligned}}$$

इसी प्रकार,

$${\begin{aligned}F'(a)=f'(a)-f'(a)-{\frac {2f''(a)(a-a)}{1!}}-...-{\frac {f^{(n-2)}(a)(n-1)(a-a)^{n-2}}{(n-1)!}}=0\end{aligned}}$$
$${\begin{aligned}G'(a)&=n(a-a)^{n-1}=0\\&\qquad \vdots \\G^{(n-1)}(a)&=F^{(n-1)}(a)=0\end{aligned}}$$

चरण 3: कॉची माध्य मान प्रमेय का उपयोग करें।

मान लीजिए कि $f_{1}$ और $g_{1}$ सतत फलन $[a,b]$ है। तब से $a<x<b$ ताकि हम अंतराल $[a,x]$ के साथ काम कर सकें। $f_{1}$ और $g_{1}$ पर भिन्न $(a,x)$ हो सकते हैं। सभी $x\in (a,b)$ के लिए मान $g_{1}'(x)\neq 0$ लें। तभी अस्तित्व $c_{1}\in (a,x)$ ऐसा है कि

$${\begin{aligned}{\frac {f_{1}(x)-f_{1}(a)}{g_{1}(x)-g_{1}(a)}}={\frac {f_{1}'(c_{1})}{g_{1}'(c_{1})}}\end{aligned}}$$

टिप्पणी: $G'(x)\neq 0$ में $(a,b)$ और $F(a),G(a)=0$ है। इसलिए

$${\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}\end{aligned}}$$

कुछ $c_{1}\in (a,x)$ के लिए,

इसे $(a,c_{1})$ के लिए भी किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}{\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}={\frac {F'(c_{1})-F'(a)}{G'(c_{1})-G'(a)}}={\frac {F''(c_{2})}{G''(c_{2})}}\end{aligned}}$$

कुछ $c_{2}\in (a,c_{1})$ के लिए, इसे $c_{n}$ तक जारी रखा जा सकता है।

इससे एक विभाजन $(a,b)$ मिलता है:

$${\begin{aligned}a<c_{n}<c_{n-1}<...<c_{1}<x\end{aligned}}$$

के साथ

$${\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F'(c_{1})}{G'(c_{1})}}=...={\frac {F^{(n)}(c_{n})}{G^{(n)}(c_{n})}}\end{aligned}}.$$

समुच्चय $c=c_{n}$:

$${\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}\end{aligned}}$$

चरण 4: वापस स्थानापन्न करें;

$${\begin{aligned}{\frac {F(x)}{G(x)}}={\frac {f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}{(x-a)^{n}}}={\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}\end{aligned}}$$

घात नियम के अनुसार, बार-बार व्युत्पन्न $(x-a)^{n}$, $G^{(n)}(c)=n(n-1)...1$, इसलिए:

$${\begin{aligned}{\frac {F^{(n)}(c)}{G^{(n)}(c)}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n(n-1)...1}}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}\end{aligned}}.$$

इससे ये होता है:

$${\begin{aligned}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}}.$$

पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$${\begin{aligned}f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+{\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}(x-a)^{n}\end{aligned}},$$

या क्योंकि $c_{n}=a$ अंततः:

$${\begin{aligned}f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\end{aligned}}.$$

शेषफल के माध्य मान रूपों की व्युत्पत्ति

मान लीजिए कि G कोई वास्तविक-मूल्यवान फलन है, जो मध्य के संवृत अंतराल ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ पर सतत है, ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ के विवृत अंतराल पर एक गैर-लुप्त व्युत्पन्न के साथ भिन्न और परिभाषित करें।

$$F(t)=f(t)+f'(t)(x-t)+{\frac {f''(t)}{2!}}(x-t)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}.$$

$t\in [a,x]$ के लिए, फिर, कॉची के माध्य मान प्रमेय द्वारा,

${\frac {F'(\xi )}{G'(\xi )}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}$

(★★★)

कुछ ${\textstyle \xi }$ के लिए विवृत अंतराल पर ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ के मध्य है। ध्यान दें कि यहाँ अंश ${\textstyle F(x)-F(a)=R_{k}(x)}$, ${\textstyle y=f(x)}$ के लिए टेलर बहुपद का बिल्कुल शेषफल है। गणना करना;

$${\begin{aligned}F'(t)={}&f'(t)+{\big (}f''(t)(x-t)-f'(t){\big )}+\left({\frac {f^{(3)}(t)}{2!}}(x-t)^{2}-{\frac {f^{(2)}(t)}{1!}}(x-t)\right)+\cdots \\&\cdots +\left({\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}-{\frac {f^{(k)}(t)}{(k-1)!}}(x-t)^{k-1}\right)={\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k},\end{aligned}}$$

इसे (★★★) में प्लग करें और उसे खोजने के लिए शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करें;

$$R_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{k!}}(x-\xi )^{k}{\frac {G(x)-G(a)}{G'(\xi )}}.$$

यह टेलर के प्रमेय के वास्तविक कथन के बाद माध्य मान रूप में शेषफल के साथ उल्लिखित शेष पद का रूप है। शेषफल का लैग्रेंज रूप, $G(t)=(x-t)^{k+1}$ चुनकर और कॉची रूप $G(t)=t-a$ चुनकर पाया जाता है।

टिप्पणी: इस विधि का प्रयोग करके शेषफल का पूर्णांक रूप भी चुनकर प्राप्त किया जा सकता है;

$$G(t)=\int _{a}^{t}{\frac {f^{(k+1)}(s)}{k!}}(x-s)^{k}\,ds,$$

लेकिन माध्य मान प्रमेय के उपयोग के लिए आवश्यक f की आवश्यकताएं बहुत प्रबल हैं, यदि किसी का लक्ष्य इस स्थिति में अनुरोध को सिद्ध करना है कि f^(k) केवल पूर्णतया सतत है। हालाँकि, यदि कोई लेबेस्ग समाकल के बजाय रीमान समाकल का उपयोग करता है, तो धारणाओं को दुर्बल नहीं किया जा सकता है।

शेषफल के पूर्णांक रूप की व्युत्पत्ति

f^(k) के मध्य संवृत अंतराल ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ पर इसका व्युत्पन्न f^(k+1), L¹-फलन के रूप में उपस्थित है और हम कलन के मौलिक प्रमेय और भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग कर सकते हैं। यही प्रमाण रीमान समाकल के लिए अनुप्रयुक्त होता है, यह मानते हुए कि f^(k) संवृत अंतराल पर सतत है और ${\textstyle a}$ और ${\textstyle x}$ के मध्य विवृत अंतराल पर भिन्न है और इससे माध्य मान प्रमेय का उपयोग करने की तुलना में समान परिणाम प्राप्त होता है।

$$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}\,f'(t)\,dt.$$

अब हम भागों द्वारा एकीकृत कर सकते हैं और इसे देखने के लिए गणना के मौलिक प्रमेय का पुनः उपयोग कर सकते हैं।

$${\begin{aligned}f(x)&=f(a)+{\Big (}xf'(x)-af'(a){\Big )}-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+x\left(f'(a)+\int _{a}^{x}f''(t)\,dt\right)-af'(a)-\int _{a}^{x}tf''(t)\,dt\\&=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{x}\,(x-t)f''(t)\,dt,\end{aligned}}$$

जो बिल्कुल टेलर का प्रमेय है और k=1 स्थिति में शेषफल अभिन्न रूप में है। सामान्य कथन को गणितीय प्रेरण का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है। कल्पना करें कि

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt.$

(★★★★)

शेष पद को भागों द्वारा एकीकृत करते हुए हम जिस पर पहुंचते हैं:

$${\begin{aligned}\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+1)}(t)}{k!}}(x-t)^{k}\,dt=&-\left[{\frac {f^{(k+1)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\right]_{a}^{x}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)k!}}(x-t)^{k+1}\,dt\\=&\ {\frac {f^{(k+1)}(a)}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}+\int _{a}^{x}{\frac {f^{(k+2)}(t)}{(k+1)!}}(x-t)^{k+1}\,dt.\end{aligned}}$$

इसे सूत्र में (★★★★) में प्रतिस्थापित करने से पता चलता है कि यदि यह मान k के लिए है, तो इसे k + 1 मान के लिए भी धारण करना चाहिए। इसलिए, चूंकि यह k = 1 के लिए है, इसलिए इसे प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक k के लिए भी धारण करना चाहिए।

बहुभिन्नरूपी टेलर बहुपदों के शेषफल के लिए व्युत्पत्ति

हम विशेष स्थिति को सिद्ध करते हैं, जहां f : 'R'ⁿ → 'R' में केंद्र 'a' के साथ कुछ संवृत गोलक B में k+1 क्रम तक सतत आंशिक व्युत्पन्न होता हैं। प्रमाण की कार्यनीति टेलर के प्रमेय के एक-चर स्थिति को 'x' और 'a' से संलग्न रेखा खंड पर f के प्रतिबंध पर अनुप्रयुक्त करना है। a और x के मध्य रेखा खंड को u(t) = a + t(x − a) द्वारा पैरामीट्रिज करें। हम टेलर के प्रमेय का एक-चर संस्करण को फलन g(t) = f(u(t)) पर अनुप्रयुक्त करते हैं:

$$f({\boldsymbol {x}})=g(1)=g(0)+\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j!}}g^{(j)}(0)\ +\ \int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{k}}{k!}}g^{(k+1)}(t)\,dt.$$

कई चरों के लिए श्रृंखला नियम अनुप्रयुक्त करने से लाभ मिलता है।

$${\begin{aligned}g^{(j)}(t)&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f(u(t))\\&={\frac {d^{j}}{dt^{j}}}f({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))\\&=\sum _{|\alpha |=j}\left({\begin{matrix}j\\\alpha \end{matrix}}\right)(D^{\alpha }f)({\boldsymbol {a}}+t({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}))({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})^{\alpha }\end{aligned}}$$

जहाँ ${\tbinom {j}{\alpha }}$ बहुपद गुणांक है। तब से ${\tfrac {1}{j!}}{\tbinom {j}{\alpha }}={\tfrac {1}{\alpha !}}$, हम पाते हैं:

$$f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\sum _{1\leq |\alpha |\leq k}{\frac {1}{\alpha !}}(D^{\alpha }f)(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k+1}{\frac {k+1}{\alpha !}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }\int _{0}^{1}(1-t)^{k}(D^{\alpha }f)(\mathbf {a} +t(\mathbf {x} -\mathbf {a} ))\,dt.$$

यह भी देखें

• हैडामर्ड लेम्मा
• लॉरेंट शृंखला
• पदे सन्निकट
• न्यूटन शृंखला

संदर्भ

• Apostol, Tom (1967), Calculus, Wiley, ISBN 0-471-00005-1.
• Apostol, Tom (1974), Mathematical analysis, Addison–Wesley.
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (2011), Introduction to Real Analysis (4th ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-43331-6.
• Hörmander, L. (1976), Linear Partial Differential Operators, Volume 1, Springer, ISBN 978-3-540-00662-6.
• Kline, Morris (1972), Mathematical thought from ancient to modern times, Volume 2, Oxford University Press.
• Kline, Morris (1998), Calculus: An Intuitive and Physical Approach, Dover, ISBN 0-486-40453-6.
• Pedrick, George (1994), A First Course in Analysis, Springer, ISBN 0-387-94108-8.
• Stromberg, Karl (1981), Introduction to classical real analysis, Wadsworth, ISBN 978-0-534-98012-2.
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1.
• Tao, Terence (2014), Analysis, Volume I (3rd ed.), Hindustan Book Agency, ISBN 978-93-80250-64-9.
• Proof of Taylor's Theorem (PDF), Chinese University of Hong Kong.

बाहरी संबंध

• टेलर प्रमेय at ProofWiki
• Taylor Series Approximation to Cosine at cut-the-knot
• Trigonometric Taylor Expansion interactive demonstrative applet
• Taylor Series Revisited at Holistic Numerical Methods Institute