डेल्टा विभव

क्वांटम यांत्रिकी में डेल्टा क्षमता विभव अच्छी तरह से गणितीय रूप से डिराक डेल्टा फलन द्वारा वर्णित है - सामान्यीकृत फलन गुणात्मक रूप से, यह ऐसी क्षमता से मेल खाता है जो प्रत्येक समष्टि शून्य है, जहां यह अनंत मान लेता है। इसका उपयोग उन स्थितियों का अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है जहां कण अंतरिक्ष के दो क्षेत्रों में दो क्षेत्रों के मध्य बाधा के साथ घूमने के लिए स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन संवाहक पदार्थ में लगभग स्वतंत्र रूप से घूम सकता है, किन्तु यदि दो संवाहक सतहों को साथ निकट रखा जाता है, तो उनके मध्य का इंटरफ़ेस इलेक्ट्रॉन के लिए बाधा के रूप में कार्य करता है जिसे डेल्टा क्षमता द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

इस प्रकार डेल्टा विभव परिमित क्षमता वाले विभव का सीमित स्थिति (गणित) है, जो विभव की चौड़ाई कम करने और क्षमता बढ़ाने के समय विभव की चौड़ाई और विभव स्थिरांक के उत्पाद को बनाए रखने पर प्राप्त होता है।

यह आलेख, सरलता के लिए, केवल एक-आयामी क्षमता पर ही विचार करता है, किन्तु विश्लेषण को और अधिक आयामों तक विस्तारित किया जा सकता है।

एकल डेल्टा क्षमता

इस प्रकार तरंग फलन के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण ψ(x) अदिश विभव में आयाम में कण का V(x) है

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),$$

जहाँ ħ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है, और E कण की ऊर्जा है.

डेल्टा क्षमता क्षमता है

$$V(x)=\lambda \delta (x),$$

जहाँ δ(x) डिराक डेल्टा फलन है।

यदि λ ऋणात्मक है तो इसे डेल्टा विभव परिमित कहा जाता है, और यदि λ धनात्मक है तो इसे डेल्टा विभव बाधा कहा जाता है। सरलता के लिए डेल्टा को मूल स्थान पर घटित होने के रूप में परिभाषित किया गया है; डेल्टा फलन के तर्क में परिवर्तन से निम्नलिखित में से कोई भी परिणाम नहीं परिवर्तन है।

श्रोडिंगर समीकरण को हल करना

इस प्रकार विभव अंतरिक्ष को दो भागों (x < 0 और x > 0) में विभाजित करता है। इनमें से प्रत्येक भाग में विभव शून्य है, और श्रोडिंगर समीकरण कम हो जाता है

$${\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi ;$$

यह स्थिर गुणांक वाला एक रैखिक अवकल समीकरण है, जिसके समाधान e^ikx और e^−ikx के रैखिक संयोजन हैं, जहां तरंग संख्या k ऊर्जा से संबंधित है

$$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}.$$

सामान्यतः, मूल में डेल्टा क्षमता की उपस्थिति के कारण, समाधान के गुणांक दोनों अर्ध-समष्टिों में समान होने की आवश्यकता नहीं है:

$$\psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{r}}e^{ikx}+A_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x<0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{ikx}+B_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x>0,\end{cases}}$$

जहां, धनात्मक ऊर्जाओं के स्थिति में (वास्तविक) k), e^ikx दाईं ओर यात्रा करने वाली और e^−ikx बाईं ओर यात्रा करने वाला प्रत्येक का प्रतिनिधित्व करता है।

इस प्रकार गुणांकों के मध्य संबंध यह स्थापित करके प्राप्त किया जाता है कि मूल बिंदु पर तरंग फलन निरंतर होते है:

$$\psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},$$

इस प्रकार तरंग फलन के व्युत्पन्न का अध्ययन करके दूसरा संबंध पाया जा सकता है। सामान्यतः, हम मूल पर भिन्नता भी प्रयुक्त कर सकते हैं, किन्तु डेल्टा क्षमता के कारण यह संभव नहीं है। चूंकि, यदि हम श्रोडिंगर समीकरण x = 0 के निकट [−ε, +ε] अंतराल पर एकीकृत करते हैं ,  :

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi (x)\,dx.$$

जैसी सीमा में ε → 0 की सीमा में इस समीकरण का दाहिना पक्ष लुप्त हो जाता है बायां पक्ष बन जाता है

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)]+\lambda \psi (0),$$

क्योंकि

 
$$\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx=[\psi '(+\varepsilon )-\psi '(-\varepsilon )].$$
 इस अभिव्यक्ति में ψ की परिभाषा को प्रतिस्थापित करने से परिणाम मिलता है

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+\lambda (A_{r}+A_{l})=0.$$

इस प्रकार सीमा स्थितियाँ गुणांकों पर निम्नलिखित प्रतिबंध देती हैं

$${\begin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0,\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l}).\end{cases}}$$

बाउंड अवस्था (E < 0)

डेल्टा फलन क्षमता के लिए बाध्य राज्य तरंग फलन समाधान का ग्राफ़ प्रत्येक समष्टि निरंतर है, किन्तु इसके व्युत्पन्न को परिभाषित नहीं किया गया है x = 0.

किसी भी एक आयामी आकर्षक क्षमता में एक बाउंड अवस्था होगी। इसकी ऊर्जा ज्ञात करने के लिए, ध्यान दें कि E < 0 के लिए, k = i√2m|E|/ħ = iκ काल्पनिक है, और तरंग फलन जो उपरोक्त गणना में धनात्मक ऊर्जा के लिए दोलन कर रहे थे, अब x के कार्यों में तेजी से वृद्धि या कमी हो रही है। (ऊपर देखें)। यह आवश्यक है कि तरंग फलन अनंत पर विचलन न करें, A_r = B_l = 0 के अर्ध शब्द समाप्त हो जाते हैं तरंग फलन तब होता है

$$\psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{l}}e^{\kappa x},&{\text{ if }}x\leq 0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{-\kappa x},&{\text{ if }}x\geq 0.\end{cases}}$$

इस प्रकार सीमा नियमो और सामान्यीकरण स्थितियों से, यह इस प्रकार है

$${\begin{cases}A_{\text{l}}=B_{\text{r}}={\sqrt {\kappa }},\\\kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}},\end{cases}}$$

जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि λ ऋणात्मक होना चाहिए, अर्थात बाध्य स्थिति केवल विभव के लिए उपस्थित है, अवरोध के लिए नहीं है। इस तरंग फलन का फूरियर रूपांतरण एक लोरेंत्ज़ियन फलन है।

बाउंड अवस्था की ऊर्जा तब होती है

$$E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}.$$

प्रकीर्णन (E > 0)

डेल्टा क्षमता के संचरण (t) और प्रतिबिंब (r) की संभावना। शक्ति E > 0 की इकाइयों में है ${\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}$. धराशायी: मौलिक परिणाम. ठोस रेखा: क्वांटम यांत्रिकी।

धनात्मक ऊर्जाओं के लिए, कण अर्ध-अंतरिक्ष x < 0 या x > 0 में स्थानांतरित होने के लिए स्वतंत्र है। यह डेल्टा-फलन क्षमता पर विस्तृत हुआ हो सकता है।

इस प्रकार क्वांटम स्थिति का अध्ययन निम्नलिखित स्थिति में किया जा सकता है: बाईं ओर से बाधा पर एक कण घटना (A_r) यह प्रतिबिंबित ((A_l)) या संचरित ((B_r)) हो सकता है। बाईं ओर से आपतन के लिए परावर्तन और संचरण के आयाम ज्ञात करने के लिए, हम उपरोक्त समीकरण A_r = 1 (आने वाले कण), A_l = r (प्रतिबिंब), B_l = 0 (दाहिनी ओर से कोई आने वाला कण नहीं) और B_r = t रखते हैं। (ट्रांसमिशन), और r और t के लिए हल करें, संभवतः हमारे निकट t में कोई समीकरण न हो परिणाम है

$$t={\cfrac {1}{1-{\cfrac {m\lambda }{i\hbar ^{2}k}}}},\quad r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}.$$

इस प्रकार मॉडल की दर्पण समरूपता के कारण, दाईं ओर से आपतन के आयाम बाईं ओर से समान हैं। परिणाम यह है कि गैर-शून्य संभावना है

$$R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}$$

कण को प्रतिबिंबित करने के लिए. यह λ के चिह्न पर निर्भर नहीं करता है, अर्थात एक अवरोध में कण को विभव के रूप में प्रतिबिंबित करने की समान संभावना होती है। यह मौलिक यांत्रिकी से एक महत्वपूर्ण अंतर है जहां बाधा के लिए प्रतिबिंब संभावना 1 होगी (कण सामान्यतः विपरीत उछलता है) और विभव के लिए 0 (कण बिना किसी बाधा के विभव से निकलता है)।

संचरण की संभावना है

$$T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}.$$

टिप्पणियाँ और अनुप्रयोग

ऊपर प्रस्तुत गणना पहली बार में अवास्तविक और संभवतः ही उपयोगी लग सकती है। चूंकि, यह विभिन्न वास्तविक जीवन प्रणालियों के लिए उपयुक्त मॉडल सिद्ध हुआ है।

ऐसा उदाहरण दो विद्युत चालकता पदार्थो के मध्य इंटरफेस से संबंधित है। अधिकांश पदार्थो में, इलेक्ट्रॉनों की गति अर्ध-मुक्त होती है और इसे प्रभावी द्रव्यमान (ठोस-अवस्था भौतिकी) के साथ उपरोक्त हैमिल्टनियन में गतिज शब्द m द्वारा वर्णित किया जा सकता है। अधिकांशतः, ऐसी पदार्थो की सतहें ऑक्साइड परतों से आवरण होती हैं या अन्य कारणों से आदर्श नहीं होती हैं। इस पतली, गैर-संवाहक परत को ऊपर बताए अनुसार समष्टि डेल्टा-फलन क्षमता द्वारा मॉडल किया जा सकता है। पुनः इलेक्ट्रॉन पदार्थ से दूसरे पदार्थ तक सुरंग बना सकते हैं, जिससे धारा उत्पन्न होता है।

इस प्रकार स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोप (एसटीएम) का संचालन इस टनलिंग प्रभाव पर निर्भर करता है। उस स्थिति में, बाधा एसटीएम की नोक और अंतर्निहित वस्तु के मध्य वायु के कारण होती है। अवरोध की शक्ति भिन्नता से संबंधित है, दोनों जितना अधिक दूर होंगे, उतना ही सशक्त होगा। इस स्थिति के अधिक सामान्य मॉडल के लिए, परिमित विभव अवरोध (क्यूएम) देखें। डेल्टा फलन विभव बाधा बहुत उच्च और संकीर्ण बाधाओं के लिए वहां माने जाने वाले मॉडल का सीमित स्थिति है।

उपरोक्त मॉडल एक-आयामी है जबकि हमारे निकट का समष्टि त्रि-आयामी है। तो, वास्तव में, किसी को श्रोडिंगर समीकरण को तीन आयामों में हल करना चाहिए। दूसरी ओर, विभिन्न प्रणालियाँ केवल समन्वय दिशा में परिवर्तित होती हैं और दूसरों के साथ अनुवादात्मक रूप से अपरिवर्तनीय होती हैं। श्रोडिंगर समीकरण को तब इस प्रकार के तरंग फलन के लिए एन्सैट्ज़ द्वारा यहां विचार किए गए स्थिति में कम किया जा सकता है।

$\Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!$.

वैकल्पिक रूप से, कुछ डोमेन डी की सतह पर उपस्थित डेल्टा फलन को सामान्य बनाना संभव है (संकेतक का लाप्लासियन देखें)।

इस प्रकार डेल्टा फलन मॉडल वास्तव में डुडले आर. हर्शबैक के समूह द्वारा विकसित आयामी स्केलिंग विधि के अनुसार हाइड्रोजन परमाणु का आयामी संस्करण है। डेल्टा फलन मॉडल डबल-परिमित डिराक डेल्टा फलन मॉडल के साथ विशेष रूप से उपयोगी हो जाता है जो हाइड्रोजन अणु आयन के एक-आयामी संस्करण का प्रतिनिधित्व करता है, जैसा कि निम्नलिखित अनुभाग में दिखाया गया है।

डबल डेल्टा क्षमता

आंतरिक दूरी के साथ डबल-परिमित डिराक डेल्टा फलन मॉडल के लिए सममित और विरोधी-सममित तरंग फलन R = 2

डबल-परिमित डिराक डेल्टा फलन संबंधित श्रोडिंगर समीकरण द्वारा डायटोमिक हाइड्रोजन अणु को मॉडल करता है:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),$$

जहां अब संभावना है

$$V(x)=-q\left[\delta \left(x+{\frac {R}{2}}\right)+\lambda \delta \left(x-{\frac {R}{2}}\right)\right],$$

जहां $0<R<\infty$ पर स्थित डिराक डेल्टा-फलन (ऋणात्मक) चोटियों के साथ "आंतरिक परमाणु" दूरी x = ±R/2 है (आरेख में भूरे रंग में दिखाया गया है)। इस मॉडल के त्रि-आयामी आणविक समकक्ष के साथ संबंध को ध्यान में रखते हुए, हम परमाणु इकाइयों का उपयोग करते हैं और $\hbar =m=1$ सेट करते हैं। यहां $0<\lambda <1$ एक औपचारिक रूप से समायोज्य मापदंड है। एकल-विभव स्थिति से, हम समाधान के लिए अन्साटज का अनुमान लगा सकते हैं

$$\psi (x)=Ae^{-d\left|x+{\frac {R}{2}}\right|}+Be^{-d\left|x-{\frac {R}{2}}\right|}.$$

डिराक डेल्टा-फलन शीर्ष पर तरंग फलन के मिलान से निर्धारक प्राप्त होता है

$${\begin{vmatrix}q-d&qe^{-dR}\\q\lambda e^{-dR}&q\lambda -d\end{vmatrix}}=0,\quad {\text{where }}E=-{\frac {d^{2}}{2}}.$$

इस प्रकार, $d$ प्सयूडो-द्विघात समीकरण द्वारा शासित पाया जाता है

$$d_{\pm }(\lambda )={\frac {1}{2}}q(\lambda +1)\pm {\frac {1}{2}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\lambda q^{2}\left[1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}\right]\right\}^{1/2},$$

जिसके दो समाधान $d=d_{\pm }$ हैं समान आवेशों के स्थिति में (सममित होमोन्यूक्लियर केस), λ = 1, और प्सयूडो-द्विघात कम हो जाता है

$$d_{\pm }=q\left[1\pm e^{-d_{\pm }R}\right].$$

इस प्रकार + स्थिति मध्यबिंदु के बारे में सममित तरंग फलन से मेल खाता है (आरेख में लाल रंग में दिखाया गया है), जहां A = B, और आणविक पद चिन्ह कहलाता है। तदनुसार, - स्थिति तरंग फलन है जो मध्यबिंदु के बारे में विरोधी-सममित है, जहां A = −B, और इसे अनगेरेड कहा जाता है (आरेख में हरे रंग में दिखाया गया है)। इस प्रकार वह त्रि-आयामी की दो निम्नतम असतत ऊर्जा अवस्थाओं के अनुमान का प्रतिनिधित्व करते हैं इस प्रकार ${\ce {H2^+}}$ और इसके विश्लेषण में उपयोगी हैं। सममित आवेशों के स्थिति के लिए ऊर्जा इगेनवलुए ​​​​के लिए विश्लेषणात्मक समाधान दिए गए हैं

$$d_{\pm }=q+W(\pm qRe^{-qR})/R,$$

जहां W मानक लैम्बर्ट W फलन है। ध्यान दें कि सबसे कम ऊर्जा सममित समाधान $d_{+}$ से सम्बंधित है इस प्रकार आवेशों के स्थिति में, और उस स्थिति के लिए त्रि-आयामी आणविक समस्या, समाधान लैम्बर्ट डब्ल्यू फलन के सामान्यीकरण द्वारा दिए जाते हैं (देखें) लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन § सामान्यीकरण).

सबसे रोचक स्थितियों में से एक तब होता है जब qR ≤ 1 होता है, जिसके परिणामस्वरूप $d_{-}=0$ होता है, इस प्रकार, किसी के निकट E = 0 के साथ एक गैर-सामान्य बाध्य स्थिति समाधान होता है। इन विशिष्ट मापदंडों के लिए, विभिन्न रोचक गुण हैं जो घटित होते हैं, उनमें से एक असामान्य प्रभाव यह है कि संचरण गुणांक शून्य ऊर्जा पर एकता है।

यह भी देखें

• मुक्त कण
• डिब्बे में कण
• फाईनिट पोटेंसिअल वेल
• वलय में कण
• वृत्ताकार सममित विभव में कण
• क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर
• हाइड्रोजन परमाणु या हाइड्रोजन जैसा परमाणु
• रिंग वेव गाइड
• आयामी जालक में कण (आवधिक क्षमता)
• हाइड्रोजन आणविक आयन
• होल्स्टीन-हेरिंग विधि
• सूचक का लाप्लासियन
• विश्लेषणात्मक समाधानों के साथ क्वांटम-मैकेनिकल प्रणालियों की सूची

संदर्भ

• Griffiths, David J. (2005). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. pp. 68–78. ISBN 978-0-13-111892-8.
• For the 3-dimensional case look for the "delta shell potential"; further see K. Gottfried (1966), Quantum Mechanics Volume I: Fundamentals, ch. III, sec. 15.

बाहरी संबंध

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