नॉन-इंटर्टियल रेफरेंस फ्रेम: Difference between revisions

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{{Classical mechanics}}
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एक गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम (जिसे त्वरित संदर्भ फ्रेम के रूप में भी जाना जाता है<ref>{{Cite web | url = https://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1350/06CirMtn/AccFrames.html | title=त्वरित संदर्भ फ़्रेम| access-date=2023-09-06}}</ref>) संदर्भ का एक फ्रेम है जो संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में [[त्वरण]] से गुजरता है।<ref name=Tocaci>{{cite book |title=सापेक्षतावादी यांत्रिकी, समय और जड़ता|author=Emil Tocaci, Clive William Kilmister |page=251 |url=https://books.google.com/books?id=7dVRL51JRI0C&pg=PA251 |isbn=90-277-1769-9 |year=1984 |publisher=Springer }}</ref> एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम में आराम पर एक [[ accelerometer ]], सामान्य तौर पर, एक गैर-शून्य त्वरण का पता लगाएगा। जबकि गति के नियम सभी जड़त्वीय फ़्रेमों में समान हैं, गैर-जड़त्वीय फ़्रेमों में, वे त्वरण के आधार पर एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में भिन्न होते हैं।<ref>{{cite book |title=आवश्यक सापेक्षता|author=Wolfgang Rindler |page=25 |url=https://books.google.com/books?id=0J_dwCmQThgC&pg=PT43 |isbn=3-540-07970-X |year=1977 |publisher=[[Birkhäuser]]}}</ref><ref>{{cite book |title=अंतरिक्ष उड़ान की मूल बातें|author= Ludwik Marian Celnikier |page=286 |url=https://books.google.com/books?id=u2kf5uuaC6oC&pg=PA286 |isbn=2-86332-132-3 |year=1993 |publisher=Atlantica Séguier Frontières}}</ref>
गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम (जिसे त्वरित संदर्भ फ्रेम के रूप में भी जाना जाता है<ref>{{Cite web | url = https://www.ux1.eiu.edu/~cfadd/1350/06CirMtn/AccFrames.html | title=त्वरित संदर्भ फ़्रेम| access-date=2023-09-06}}</ref>) संदर्भ का फ्रेम है जो संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में [[त्वरण]] से गुजरता है।<ref name=Tocaci>{{cite book |title=सापेक्षतावादी यांत्रिकी, समय और जड़ता|author=Emil Tocaci, Clive William Kilmister |page=251 |url=https://books.google.com/books?id=7dVRL51JRI0C&pg=PA251 |isbn=90-277-1769-9 |year=1984 |publisher=Springer }}</ref> गैर-जड़त्वीय फ्रेम में आराम पर   [[ accelerometer ]], सामान्य तौर पर, गैर-शून्य त्वरण का पता लगाएगा। जबकि गति के नियम सभी जड़त्वीय फ़्रेमों में समान हैं, गैर-जड़त्वीय फ़्रेमों में, वे त्वरण के आधार पर फ्रेम से दूसरे फ्रेम में भिन्न होते हैं।<ref>{{cite book |title=आवश्यक सापेक्षता|author=Wolfgang Rindler |page=25 |url=https://books.google.com/books?id=0J_dwCmQThgC&pg=PT43 |isbn=3-540-07970-X |year=1977 |publisher=[[Birkhäuser]]}}</ref><ref>{{cite book |title=अंतरिक्ष उड़ान की मूल बातें|author= Ludwik Marian Celnikier |page=286 |url=https://books.google.com/books?id=u2kf5uuaC6oC&pg=PA286 |isbn=2-86332-132-3 |year=1993 |publisher=Atlantica Séguier Frontières}}</ref>
[[शास्त्रीय यांत्रिकी]] में अतिरिक्त काल्पनिक बलों (जिन्हें जड़त्व बल, छद्म बल भी कहा जाता है) का परिचय देकर गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में निकायों की गति को समझाना अक्सर संभव होता है।<ref name=Iro>{{cite book |author=Harald Iro |title=शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए एक आधुनिक दृष्टिकोण|page=180 |url=https://books.google.com/books?id=-L5ckgdxA5YC&pg=PA179 |isbn=981-238-213-5 |year=2002 |publisher=[[World Scientific]]  }}</ref> और डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत|डी'अलेम्बर्ट बल) न्यूटन के गति के नियमों को|न्यूटन का दूसरा नियम। इसके सामान्य उदाहरणों में [[कोरिओलिस बल]] और [[केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक)]] शामिल हैं। सामान्य तौर पर, किसी भी काल्पनिक बल की अभिव्यक्ति गैर-जड़त्वीय फ्रेम के त्वरण से प्राप्त की जा सकती है।<ref name=Shadowitz>{{cite book |author=Albert Shadowitz |url=https://archive.org/details/specialrelativit0000shad |url-access=registration |title=विशेष सापेक्षता|isbn=0-486-65743-4 |page=[https://archive.org/details/specialrelativit0000shad/page/4 4] |publisher=[[Courier Dover Publications]] |edition=Reprint of 1968 |year=1988}}</ref> जैसा कि गुडमैन और वार्नर ने कहा, कोई कह सकता है कि एफ {{=}} m'a' किसी भी समन्वय प्रणाली में मान्य है बशर्ते 'बल' शब्द को तथाकथित 'उलट प्रभावी बल' या 'जड़त्व बल' को शामिल करने के लिए फिर से परिभाषित किया गया हो।<ref name=Goodman>{{cite book |title=गतिकी|author=Lawrence E. Goodman & William H. Warner |url=https://books.google.com/books?id=2z0ue1xk7gUC |isbn=0-486-42006-X |publisher=Courier Dover Publications |year=2001 |edition=Reprint of 1963|page=358}}</ref>
[[शास्त्रीय यांत्रिकी]] में अतिरिक्त काल्पनिक बलों (जिन्हें जड़त्व बल, छद्म बल भी कहा जाता है) का परिचय देकर गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में निकायों की गति को समझाना अक्सर संभव होता है।<ref name=Iro>{{cite book |author=Harald Iro |title=शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए एक आधुनिक दृष्टिकोण|page=180 |url=https://books.google.com/books?id=-L5ckgdxA5YC&pg=PA179 |isbn=981-238-213-5 |year=2002 |publisher=[[World Scientific]]  }}</ref> और डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत|डी'अलेम्बर्ट बल) न्यूटन के गति के नियमों को|न्यूटन का दूसरा नियम। इसके सामान्य उदाहरणों में [[कोरिओलिस बल]] और [[केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक)]] शामिल हैं। सामान्य तौर पर, किसी भी काल्पनिक बल की अभिव्यक्ति गैर-जड़त्वीय फ्रेम के त्वरण से प्राप्त की जा सकती है।<ref name=Shadowitz>{{cite book |author=Albert Shadowitz |url=https://archive.org/details/specialrelativit0000shad |url-access=registration |title=विशेष सापेक्षता|isbn=0-486-65743-4 |page=[https://archive.org/details/specialrelativit0000shad/page/4 4] |publisher=[[Courier Dover Publications]] |edition=Reprint of 1968 |year=1988}}</ref> जैसा कि गुडमैन और वार्नर ने कहा, कोई कह सकता है कि एफ {{=}} m'a' किसी भी समन्वय प्रणाली में मान्य है बशर्ते 'बल' शब्द को तथाकथित 'उलट प्रभावी बल' या 'जड़त्व बल' को शामिल करने के लिए फिर से परिभाषित किया गया हो।<ref name=Goodman>{{cite book |title=गतिकी|author=Lawrence E. Goodman & William H. Warner |url=https://books.google.com/books?id=2z0ue1xk7gUC |isbn=0-486-42006-X |publisher=Courier Dover Publications |year=2001 |edition=Reprint of 1963|page=358}}</ref>
[[सामान्य सापेक्षता]] के सिद्धांत में, [[ अंतरिक्ष समय ]] की वक्रता के कारण फ्रेम स्थानीय संदर्भ फ्रेम जड़त्वीय होते हैं, लेकिन विश्व स्तर पर गैर-जड़त्वीय होते हैं। सामान्य सापेक्षता के गणित के परिचय के कारण | घुमावदार अंतरिक्ष-समय की गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, सामान्य सापेक्षता में कोई वैश्विक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम नहीं हैं। अधिक विशेष रूप से, काल्पनिक बल जो सामान्य सापेक्षता में प्रकट होता है वह [[गुरुत्वाकर्षण]] बल है।
[[सामान्य सापेक्षता]] के सिद्धांत में, [[ अंतरिक्ष समय |अंतरिक्ष समय]] की वक्रता के कारण फ्रेम स्थानीय संदर्भ फ्रेम जड़त्वीय होते हैं, लेकिन विश्व स्तर पर गैर-जड़त्वीय होते हैं। सामान्य सापेक्षता के गणित के परिचय के कारण | घुमावदार अंतरिक्ष-समय की गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, सामान्य सापेक्षता में कोई वैश्विक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम नहीं हैं। अधिक विशेष रूप से, काल्पनिक बल जो सामान्य सापेक्षता में प्रकट होता है वह [[गुरुत्वाकर्षण]] बल है।


==गणना में काल्पनिक बलों से बचना==
==गणना में काल्पनिक बलों से बचना==
{{see also|Inertial frame of reference|Fictitious force}}
{{see also|Inertial frame of reference|Fictitious force}}
समतल स्पेसटाइम में, यदि चाहें तो गैर-जड़त्वीय फ्रेम के उपयोग से बचा जा सकता है। गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के संबंध में माप को हमेशा एक जड़त्वीय फ्रेम में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें गैर-जड़त्वीय फ्रेम के त्वरण को सीधे उस त्वरण के रूप में शामिल किया जाता है जैसा कि जड़त्वीय फ्रेम से देखा जाता है।<ref name=Alonzo>{{cite book |author=M. Alonso & E.J. Finn |title=मौलिक विश्वविद्यालय भौतिकी|publisher=Addison-Wesley |year=1992 |url=https://books.google.com/books?id=c5UAAAAACAAJ |isbn=0-201-56518-8 }}{{Dead link|date=November 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> यह दृष्टिकोण काल्पनिक बलों के उपयोग से बचाता है (यह एक जड़त्वीय फ्रेम पर आधारित है, जहां परिभाषा के अनुसार काल्पनिक बल अनुपस्थित हैं) लेकिन यह सहज, अवलोकन और यहां तक ​​कि गणनात्मक दृष्टिकोण से कम सुविधाजनक हो सकता है।<ref name=Price>“The inertial frame equations have to account for ''V<sub>Ω</sub>'' and this very large centripetal force explicitly, and yet our interest is almost always the small relative motion of the atmosphere and ocean, ''V' '', since it is the relative
समतल स्पेसटाइम में, यदि चाहें तो गैर-जड़त्वीय फ्रेम के उपयोग से बचा जा सकता है। गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के संबंध में माप को हमेशा जड़त्वीय फ्रेम में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें गैर-जड़त्वीय फ्रेम के त्वरण को सीधे उस त्वरण के रूप में शामिल किया जाता है जैसा कि जड़त्वीय फ्रेम से देखा जाता है।<ref name=Alonzo>{{cite book |author=M. Alonso & E.J. Finn |title=मौलिक विश्वविद्यालय भौतिकी|publisher=Addison-Wesley |year=1992 |url=https://books.google.com/books?id=c5UAAAAACAAJ |isbn=0-201-56518-8 }}{{Dead link|date=November 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> यह दृष्टिकोण काल्पनिक बलों के उपयोग से बचाता है (यह जड़त्वीय फ्रेम पर आधारित है, जहां परिभाषा के अनुसार काल्पनिक बल अनुपस्थित हैं) लेकिन यह सहज, अवलोकन और यहां तक ​​कि गणनात्मक दृष्टिकोण से कम सुविधाजनक हो सकता है।<ref name=Price>“The inertial frame equations have to account for ''V<sub>Ω</sub>'' and this very large centripetal force explicitly, and yet our interest is almost always the small relative motion of the atmosphere and ocean, ''V' '', since it is the relative
motion that transports heat and mass over the Earth. … To say it a little differently—it is the relative velocity that we measure when [we] observe from Earth’s surface, and it is the relative velocity that we seek for most any practical purposes.” [http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/price/index.htm MIT essays] by James F. Price, Woods Hole Oceanographic Institution (2006). See in particular §4.3, p. 34 in the [http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/price/essay2.pdf Coriolis lecture]</ref> जैसा कि मौसम विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले घूमने वाले फ्रेम के मामले में राइडर द्वारा बताया गया है:<ref name=Ryder>{{cite book |title=शास्त्रीय यांत्रिकी|author=Peter Ryder |url=https://books.google.com/books?id=j1Y5FfdQHsQC&pg=PA80 |isbn=978-3-8322-6003-3 |publisher=Aachen Shaker |year=2007 |pages=78–79  }}</ref>
motion that transports heat and mass over the Earth. … To say it a little differently—it is the relative velocity that we measure when [we] observe from Earth’s surface, and it is the relative velocity that we seek for most any practical purposes.” [http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/price/index.htm MIT essays] by James F. Price, Woods Hole Oceanographic Institution (2006). See in particular §4.3, p. 34 in the [http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/price/essay2.pdf Coriolis lecture]</ref> जैसा कि मौसम विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले घूमने वाले फ्रेम के मामले में राइडर द्वारा बताया गया है:<ref name=Ryder>{{cite book |title=शास्त्रीय यांत्रिकी|author=Peter Ryder |url=https://books.google.com/books?id=j1Y5FfdQHsQC&pg=PA80 |isbn=978-3-8322-6003-3 |publisher=Aachen Shaker |year=2007 |pages=78–79  }}</ref>
{{quote|A simple way of dealing with this problem is, of course, to transform all coordinates to an inertial system. This is, however, sometimes inconvenient. Suppose, for example, we wish to calculate the movement of air masses in the earth's atmosphere due to pressure gradients. We need the results relative to the rotating frame, the earth, so it is better to stay within this coordinate system if possible. This can be achieved by introducing ''fictitious'' (or "non-existent") forces which enable us to apply Newton's Laws of Motion in the same way as in an inertial frame.|Peter Ryder|''Classical Mechanics'', pp. 78-79}}
{{quote|A simple way of dealing with this problem is, of course, to transform all coordinates to an inertial system. This is, however, sometimes inconvenient. Suppose, for example, we wish to calculate the movement of air masses in the earth's atmosphere due to pressure gradients. We need the results relative to the rotating frame, the earth, so it is better to stay within this coordinate system if possible. This can be achieved by introducing ''fictitious'' (or "non-existent") forces which enable us to apply Newton's Laws of Motion in the same way as in an inertial frame.|Peter Ryder|''Classical Mechanics'', pp. 78-79}}


==एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम का पता लगाना: काल्पनिक बलों की आवश्यकता==
==गैर-जड़त्वीय फ्रेम का पता लगाना: काल्पनिक बलों की आवश्यकता==
किसी दिए गए फ्रेम के गैर-जड़त्वीय होने का पता प्रेक्षित गतियों को समझाने के लिए काल्पनिक बलों की आवश्यकता से लगाया जा सकता है।<ref name=Serway>{{cite book |title=वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी|author=Raymond A. Serway |year=1990 |publisher=Saunders College Publishing |edition=3rd |isbn=0-03-031358-9 |page=135 |url=https://books.google.com/books?lr=&as_brr=0&q=%22fictitious+forces+do+not+exist+when+the+motion+is+observed+in+an+inertial+frame.+The+fictitious+forces+are+used+only+in+an+accelerating%22&btnG=Search+Books}}</ref><ref name="ArnoldQuote">{{cite book |title=शास्त्रीय यांत्रिकी की गणितीय विधियाँ|page=129 |author=V. I. Arnol'd |isbn=978-0-387-96890-2 |year=1989 |url=https://books.google.com/books?as_q=&num=10&btnG=Google+Search&as_epq=additional+terms+called+inertial+forces.+This+allows+us+to+detect+experimentally&as_oq=&as_eq=&as_brr=0&lr=&as_vt=&as_auth=&as_pub=&as_sub=&as_drrb=c&as_miny=&as_maxy=&as_isbn=|publisher=Springer}}</ref><ref name=Rothman>{{cite book |title=Discovering the Natural Laws: The Experimental Basis of Physics |author= Milton A. Rothman |page=[https://archive.org/details/discoveringnatur0000roth/page/23 23] |url=https://archive.org/details/discoveringnatur0000roth
किसी दिए गए फ्रेम के गैर-जड़त्वीय होने का पता प्रेक्षित गतियों को समझाने के लिए काल्पनिक बलों की आवश्यकता से लगाया जा सकता है।<ref name=Serway>{{cite book |title=वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी|author=Raymond A. Serway |year=1990 |publisher=Saunders College Publishing |edition=3rd |isbn=0-03-031358-9 |page=135 |url=https://books.google.com/books?lr=&as_brr=0&q=%22fictitious+forces+do+not+exist+when+the+motion+is+observed+in+an+inertial+frame.+The+fictitious+forces+are+used+only+in+an+accelerating%22&btnG=Search+Books}}</ref><ref name="ArnoldQuote">{{cite book |title=शास्त्रीय यांत्रिकी की गणितीय विधियाँ|page=129 |author=V. I. Arnol'd |isbn=978-0-387-96890-2 |year=1989 |url=https://books.google.com/books?as_q=&num=10&btnG=Google+Search&as_epq=additional+terms+called+inertial+forces.+This+allows+us+to+detect+experimentally&as_oq=&as_eq=&as_brr=0&lr=&as_vt=&as_auth=&as_pub=&as_sub=&as_drrb=c&as_miny=&as_maxy=&as_isbn=|publisher=Springer}}</ref><ref name=Rothman>{{cite book |title=Discovering the Natural Laws: The Experimental Basis of Physics |author= Milton A. Rothman |page=[https://archive.org/details/discoveringnatur0000roth/page/23 23] |url=https://archive.org/details/discoveringnatur0000roth
|url-access=registration |quote=भौतिकी के संदर्भ नियम.|isbn=0-486-26178-6 |publisher=Courier Dover Publications |year=1989  }}</ref><ref name=Borowitz>{{cite book  |title=प्राथमिक भौतिकी का एक समसामयिक दृष्टिकोण|page=138 |publisher=McGraw-Hill |year=1968 |url=https://books.google.com/books?as_q=&num=10&btnG=Google+Search&as_epq=The+effect+of+his+being+in+the+noninertial+frame+is+to+require+the+observer+to&as_oq=&as_eq=&as_brr=0&lr=&as_vt=&as_auth=&as_pub=&as_sub=&as_drrb=c&as_miny=&as_maxy=&as_isbn= |asin= B000GQB02A |author=Sidney Borowitz & Lawrence A. Bornstein }}</ref><ref name=Meirovitch>{{cite book |author=Leonard Meirovitch |page=4 |isbn=0-486-43239-4 |publisher=Courier Dover Publications |year=2004 |edition=Reprint of 1970 |url=https://books.google.com/books?id=GfCil84YTm4C&dq=%22in+accelerated+systems,+we+must%22&pg=PA4 |title =Methods of analytical Dynamics}}</ref> उदाहरण के लिए, [[फौकॉल्ट पेंडुलम]] का उपयोग करके पृथ्वी के घूर्णन को देखा जा सकता है।<ref name=diFrancia>{{cite book |title=भौतिक जगत की जांच|author=Giuliano Toraldo di Francia |page=115 |url=https://books.google.com/books?id=cFQ7AAAAIAAJ&dq=laws+physics+%22+form%22&pg=PA46 |isbn=0-521-29925-X |publisher=[[CUP Archive]] |year=1981 }}</ref> ऐसा प्रतीत होता है कि पृथ्वी के घूमने से पेंडुलम अपने दोलन के तल को बदल देता है क्योंकि पेंडुलम का परिवेश पृथ्वी के साथ चलता है। जैसा कि पृथ्वी-बद्ध (गैर-जड़त्वीय) संदर्भ फ्रेम से देखा जाता है, अभिविन्यास में इस स्पष्ट परिवर्तन की व्याख्या के लिए काल्पनिक कोरिओलिस प्रभाव की शुरूआत की आवश्यकता होती है।
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एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण घूमते गोलों के बीच डोरी में तनाव का है।<ref>
अन्य प्रसिद्ध उदाहरण घूमते गोलों के बीच डोरी में तनाव का है।<ref>
{{cite book |title=Analytical Mechanics |page=324 |url=https://books.google.com/books?id=1J2hzvX2Xh8C&pg=PA324 |isbn=0-521-57572-9 |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1998 |author=Louis N. Hand, Janet D. Finch}}</ref><ref>{{cite book |title=न्यूटन का कैम्ब्रिज साथी|url =https://books.google.com/books?id=3wIzvqzfUXkC&pg=PA43 |author=I. Bernard Cohen, George Edwin Smith |page=43 |isbn=0-521-65696-6 |year=2002 |publisher=Cambridge University Press}}</ref> उस स्थिति में, घूर्णन संदर्भ फ्रेम से देखे गए गोले की गति के आधार पर स्ट्रिंग में मापा तनाव की भविष्यवाणी के लिए घूर्णन पर्यवेक्षकों को एक काल्पनिक केन्द्रापसारक बल पेश करने की आवश्यकता होती है।
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इस संबंध में, यह ध्यान दिया जा सकता है कि समन्वय प्रणाली में परिवर्तन, उदाहरण के लिए, कार्टेशियन से ध्रुवीय तक, यदि सापेक्ष गति में किसी भी बदलाव के बिना लागू किया जाता है, तो इस तथ्य के बावजूद कि कानूनों का स्वरूप काल्पनिक बलों की उपस्थिति का कारण नहीं बनता है गति की गति एक प्रकार की वक्ररेखीय समन्वय प्रणाली से दूसरे प्रकार में भिन्न होती है।
इस संबंध में, यह ध्यान दिया जा सकता है कि समन्वय प्रणाली में परिवर्तन, उदाहरण के लिए, कार्टेशियन से ध्रुवीय तक, यदि सापेक्ष गति में किसी भी बदलाव के बिना लागू किया जाता है, तो इस तथ्य के बावजूद कि कानूनों का स्वरूप काल्पनिक बलों की उपस्थिति का कारण नहीं बनता है गति की गति प्रकार की वक्ररेखीय समन्वय प्रणाली से दूसरे प्रकार में भिन्न होती है।


==वक्ररेखीय निर्देशांक में काल्पनिक बल==
==वक्ररेखीय निर्देशांक में काल्पनिक बल==
{{see also|Mechanics of planar particle motion}}
{{see also|Mechanics of planar particle motion}}
काल्पनिक बल शब्द का एक अलग उपयोग अक्सर वक्रीय निर्देशांक, विशेष रूप से ध्रुवीय निर्देशांक में किया जाता है। भ्रम से बचने के लिए, शब्दावली में इस विचलित करने वाली अस्पष्टता को यहां इंगित किया गया है। ये तथाकथित बल जड़त्वीय या गैर-जड़त्वीय संदर्भ के सभी फ्रेमों में गैर-शून्य हैं, और निर्देशांक के घूर्णन और अनुवाद के तहत वैक्टर के रूप में परिवर्तित नहीं होते हैं (जैसा कि सभी न्यूटोनियन बल काल्पनिक या अन्यथा करते हैं)।
काल्पनिक बल शब्द का अलग उपयोग अक्सर वक्रीय निर्देशांक, विशेष रूप से ध्रुवीय निर्देशांक में किया जाता है। भ्रम से बचने के लिए, शब्दावली में इस विचलित करने वाली अस्पष्टता को यहां इंगित किया गया है। ये तथाकथित बल जड़त्वीय या गैर-जड़त्वीय संदर्भ के सभी फ्रेमों में गैर-शून्य हैं, और निर्देशांक के घूर्णन और अनुवाद के तहत वैक्टर के रूप में परिवर्तित नहीं होते हैं (जैसा कि सभी न्यूटोनियन बल काल्पनिक या अन्यथा करते हैं)।


काल्पनिक बल शब्द का यह असंगत उपयोग गैर-जड़त्वीय फ़्रेमों से असंबंधित है। इन तथाकथित बलों को वक्रीय समन्वय प्रणाली के भीतर एक कण के त्वरण का निर्धारण करके परिभाषित किया जाता है, और फिर निर्देशांक के सरल डबल-टाइम डेरिवेटिव को शेष शब्दों से अलग किया जाता है। ये शेष पद काल्पनिक बल कहलाते हैं। अधिक सावधानी से उपयोग करने पर ये शब्द सामान्यीकृत बल|<u>सामान्यीकृत</u> काल्पनिक बल कहलाते हैं, जो [[लैग्रेंजियन यांत्रिकी]] के [[सामान्यीकृत निर्देशांक]] से उनके संबंध को इंगित करते हैं। ध्रुवीय निर्देशांकों के लिए लैग्रैन्जियन विधियों का अनुप्रयोग समतलीय कण गति के यांत्रिकी#लैग्रैन्जियन दृष्टिकोण में पाया जा सकता है।
काल्पनिक बल शब्द का यह असंगत उपयोग गैर-जड़त्वीय फ़्रेमों से असंबंधित है। इन तथाकथित बलों को वक्रीय समन्वय प्रणाली के भीतर कण के त्वरण का निर्धारण करके परिभाषित किया जाता है, और फिर निर्देशांक के सरल डबल-टाइम डेरिवेटिव को शेष शब्दों से अलग किया जाता है। ये शेष पद काल्पनिक बल कहलाते हैं। अधिक सावधानी से उपयोग करने पर ये शब्द सामान्यीकृत बल|<u>सामान्यीकृत</u> काल्पनिक बल कहलाते हैं, जो [[लैग्रेंजियन यांत्रिकी]] के [[सामान्यीकृत निर्देशांक]] से उनके संबंध को इंगित करते हैं। ध्रुवीय निर्देशांकों के लिए लैग्रैन्जियन विधियों का अनुप्रयोग समतलीय कण गति के यांत्रिकी#लैग्रैन्जियन दृष्टिकोण में पाया जा सकता है।


==सापेक्षिक दृष्टिकोण==
==सापेक्षिक दृष्टिकोण==
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===फ़्रेम और फ़्लैट स्पेसटाइम===
===फ़्रेम और फ़्लैट स्पेसटाइम===
{{See|Proper reference frame (flat spacetime)}}
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यदि स्पेसटाइम के एक क्षेत्र को [[ यूक्लिडियन स्थान ]] घोषित किया जाता है, और प्रभावी रूप से स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से मुक्त होता है, तो यदि एक त्वरित समन्वय प्रणाली उसी क्षेत्र पर मढ़ा जाता है, तो यह कहा जा सकता है कि त्वरित फ्रेम में एक समान काल्पनिक क्षेत्र मौजूद है (हम आरक्षित रखते हैं) उस मामले के लिए गुरुत्वाकर्षण शब्द जिसमें कोई द्रव्यमान शामिल है)। त्वरित फ्रेम में स्थिर रहने के लिए त्वरित की गई वस्तु क्षेत्र की उपस्थिति को महसूस करेगी, और वे गति की जड़त्वीय अवस्थाओं (सितारों, आकाशगंगाओं, आदि) के साथ पर्यावरणीय पदार्थ को भी स्पष्ट रूप से क्षेत्र में नीचे की ओर गिरते हुए देख पाएंगे। घुमावदार [[प्रक्षेपवक्र]] मानो क्षेत्र वास्तविक हो।
यदि स्पेसटाइम के क्षेत्र को [[ यूक्लिडियन स्थान |यूक्लिडियन स्थान]] घोषित किया जाता है, और प्रभावी रूप से स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से मुक्त होता है, तो यदि त्वरित समन्वय प्रणाली उसी क्षेत्र पर मढ़ा जाता है, तो यह कहा जा सकता है कि त्वरित फ्रेम में समान काल्पनिक क्षेत्र मौजूद है (हम आरक्षित रखते हैं) उस मामले के लिए गुरुत्वाकर्षण शब्द जिसमें कोई द्रव्यमान शामिल है)। त्वरित फ्रेम में स्थिर रहने के लिए त्वरित की गई वस्तु क्षेत्र की उपस्थिति को महसूस करेगी, और वे गति की जड़त्वीय अवस्थाओं (सितारों, आकाशगंगाओं, आदि) के साथ पर्यावरणीय पदार्थ को भी स्पष्ट रूप से क्षेत्र में नीचे की ओर गिरते हुए देख पाएंगे। घुमावदार [[प्रक्षेपवक्र]] मानो क्षेत्र वास्तविक हो।


फ़्रेम-आधारित विवरणों में, इस अनुमानित फ़ील्ड को त्वरित और जड़त्वीय समन्वय प्रणालियों के बीच स्विच करके प्रकट या गायब किया जा सकता है।
फ़्रेम-आधारित विवरणों में, इस अनुमानित फ़ील्ड को त्वरित और जड़त्वीय समन्वय प्रणालियों के बीच स्विच करके प्रकट या गायब किया जा सकता है।


===अधिक उन्नत विवरण===
===अधिक उन्नत विवरण===
जैसे-जैसे स्थिति को सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत का उपयोग करके बारीक विवरण में चित्रित किया जाता है, फ्रेम-निर्भर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की अवधारणा कम यथार्थवादी हो जाती है। इन मैक के सिद्धांत मॉडल में, त्वरित शरीर इस बात से सहमत हो सकता है कि स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पृष्ठभूमि पदार्थ की गति से जुड़ा हुआ है, लेकिन यह भी दावा कर सकता है कि सामग्री की गति जैसे कि कोई गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र है, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का कारण बनता है - बैकग्राउंड मैटर [[प्रकाश-खींचने वाले प्रभाव]]ों को तेज करना। इसी तरह, एक पृष्ठभूमि पर्यवेक्षक यह तर्क दे सकता है कि द्रव्यमान का मजबूर त्वरण इसके और पर्यावरणीय सामग्री के बीच के क्षेत्र में एक स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का कारण बनता है (त्वरित द्रव्यमान प्रकाश को भी खींचता है)।
जैसे-जैसे स्थिति को सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत का उपयोग करके बारीक विवरण में चित्रित किया जाता है, फ्रेम-निर्भर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की अवधारणा कम यथार्थवादी हो जाती है। इन मैक के सिद्धांत मॉडल में, त्वरित शरीर इस बात से सहमत हो सकता है कि स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पृष्ठभूमि पदार्थ की गति से जुड़ा हुआ है, लेकिन यह भी दावा कर सकता है कि सामग्री की गति जैसे कि कोई गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र है, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का कारण बनता है - बैकग्राउंड मैटर [[प्रकाश-खींचने वाले प्रभाव]]ों को तेज करना। इसी तरह, पृष्ठभूमि पर्यवेक्षक यह तर्क दे सकता है कि द्रव्यमान का मजबूर त्वरण इसके और पर्यावरणीय सामग्री के बीच के क्षेत्र में स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का कारण बनता है (त्वरित द्रव्यमान प्रकाश को भी खींचता है)।
यह पारस्परिक प्रभाव, और प्रकाश किरण ज्यामिति और प्रकाश किरण-आधारित समन्वय प्रणालियों को विकृत करने के लिए त्वरित द्रव्यमान की क्षमता को [[ फ्रेम खींच ]] के रूप में जाना जाता है।
यह पारस्परिक प्रभाव, और प्रकाश किरण ज्यामिति और प्रकाश किरण-आधारित समन्वय प्रणालियों को विकृत करने के लिए त्वरित द्रव्यमान की क्षमता को [[ फ्रेम खींच |फ्रेम खींच]] के रूप में जाना जाता है।


फ़्रेम-ड्रैगिंग त्वरित फ़्रेम (जो गुरुत्वाकर्षण प्रभाव दिखाते हैं) और जड़त्वीय फ़्रेम (जहां ज्यामिति गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से मुक्त होती है) के बीच सामान्य अंतर को हटा देती है। जब एक जबरन-त्वरित शरीर शारीरिक रूप से एक समन्वय प्रणाली को खींचता है, तो समस्या सभी पर्यवेक्षकों के लिए विकृत स्पेसटाइम में एक अभ्यास बन जाती है।
फ़्रेम-ड्रैगिंग त्वरित फ़्रेम (जो गुरुत्वाकर्षण प्रभाव दिखाते हैं) और जड़त्वीय फ़्रेम (जहां ज्यामिति गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से मुक्त होती है) के बीच सामान्य अंतर को हटा देती है। जब जबरन-त्वरित शरीर शारीरिक रूप से समन्वय प्रणाली को खींचता है, तो समस्या सभी पर्यवेक्षकों के लिए विकृत स्पेसटाइम में अभ्यास बन जाती है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==

Revision as of 18:47, 28 November 2023

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चिरसम्मत यांत्रिकी
गति का दूसरा नियम
* इतिहास
शाखाओं
बुनियादी बातों
योगों
मुख्य विषय
*Inertial / Non-inertial reference frame* प्लानर कण गति के यांत्रिकी
* गति   ( रैखिक)
  • Newton's law of universal gravitation
  • न्यूटन के गति के नियम
  • सापेक्ष वेग
  • कठोर शरीर
  • सरल आवर्त गति
  • कंपन
    		•
    रोटेशन
    * घूर्नन गति
    * कोणीय त्वरण / विस्थापन / आवृत्ति / वेग
    वैज्ञानिक

    गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम (जिसे त्वरित संदर्भ फ्रेम के रूप में भी जाना जाता है[1]) संदर्भ का फ्रेम है जो संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में त्वरण से गुजरता है।[2] गैर-जड़त्वीय फ्रेम में आराम पर accelerometer , सामान्य तौर पर, गैर-शून्य त्वरण का पता लगाएगा। जबकि गति के नियम सभी जड़त्वीय फ़्रेमों में समान हैं, गैर-जड़त्वीय फ़्रेमों में, वे त्वरण के आधार पर फ्रेम से दूसरे फ्रेम में भिन्न होते हैं।[3][4] शास्त्रीय यांत्रिकी में अतिरिक्त काल्पनिक बलों (जिन्हें जड़त्व बल, छद्म बल भी कहा जाता है) का परिचय देकर गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में निकायों की गति को समझाना अक्सर संभव होता है।[5] और डी'अलेम्बर्ट का सिद्धांत|डी'अलेम्बर्ट बल) न्यूटन के गति के नियमों को|न्यूटन का दूसरा नियम। इसके सामान्य उदाहरणों में कोरिओलिस बल और केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक) शामिल हैं। सामान्य तौर पर, किसी भी काल्पनिक बल की अभिव्यक्ति गैर-जड़त्वीय फ्रेम के त्वरण से प्राप्त की जा सकती है।[6] जैसा कि गुडमैन और वार्नर ने कहा, कोई कह सकता है कि एफ = m'a' किसी भी समन्वय प्रणाली में मान्य है बशर्ते 'बल' शब्द को तथाकथित 'उलट प्रभावी बल' या 'जड़त्व बल' को शामिल करने के लिए फिर से परिभाषित किया गया हो।[7] सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में, अंतरिक्ष समय की वक्रता के कारण फ्रेम स्थानीय संदर्भ फ्रेम जड़त्वीय होते हैं, लेकिन विश्व स्तर पर गैर-जड़त्वीय होते हैं। सामान्य सापेक्षता के गणित के परिचय के कारण | घुमावदार अंतरिक्ष-समय की गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, सामान्य सापेक्षता में कोई वैश्विक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम नहीं हैं। अधिक विशेष रूप से, काल्पनिक बल जो सामान्य सापेक्षता में प्रकट होता है वह गुरुत्वाकर्षण बल है।

    गणना में काल्पनिक बलों से बचना

    See also: Inertial frame of reference and Fictitious force

    समतल स्पेसटाइम में, यदि चाहें तो गैर-जड़त्वीय फ्रेम के उपयोग से बचा जा सकता है। गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के संबंध में माप को हमेशा जड़त्वीय फ्रेम में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसमें गैर-जड़त्वीय फ्रेम के त्वरण को सीधे उस त्वरण के रूप में शामिल किया जाता है जैसा कि जड़त्वीय फ्रेम से देखा जाता है।[8] यह दृष्टिकोण काल्पनिक बलों के उपयोग से बचाता है (यह जड़त्वीय फ्रेम पर आधारित है, जहां परिभाषा के अनुसार काल्पनिक बल अनुपस्थित हैं) लेकिन यह सहज, अवलोकन और यहां तक ​​कि गणनात्मक दृष्टिकोण से कम सुविधाजनक हो सकता है।[9] जैसा कि मौसम विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले घूमने वाले फ्रेम के मामले में राइडर द्वारा बताया गया है:[10]

    A simple way of dealing with this problem is, of course, to transform all coordinates to an inertial system. This is, however, sometimes inconvenient. Suppose, for example, we wish to calculate the movement of air masses in the earth's atmosphere due to pressure gradients. We need the results relative to the rotating frame, the earth, so it is better to stay within this coordinate system if possible. This can be achieved by introducing fictitious (or "non-existent") forces which enable us to apply Newton's Laws of Motion in the same way as in an inertial frame.

    — Peter Ryder, Classical Mechanics, pp. 78-79

    गैर-जड़त्वीय फ्रेम का पता लगाना: काल्पनिक बलों की आवश्यकता

    किसी दिए गए फ्रेम के गैर-जड़त्वीय होने का पता प्रेक्षित गतियों को समझाने के लिए काल्पनिक बलों की आवश्यकता से लगाया जा सकता है।[11][12][13][14][15] उदाहरण के लिए, फौकॉल्ट पेंडुलम का उपयोग करके पृथ्वी के घूर्णन को देखा जा सकता है।[16] ऐसा प्रतीत होता है कि पृथ्वी के घूमने से पेंडुलम अपने दोलन के तल को बदल देता है क्योंकि पेंडुलम का परिवेश पृथ्वी के साथ चलता है। जैसा कि पृथ्वी-बद्ध (गैर-जड़त्वीय) संदर्भ फ्रेम से देखा जाता है, अभिविन्यास में इस स्पष्ट परिवर्तन की व्याख्या के लिए काल्पनिक कोरिओलिस प्रभाव की शुरूआत की आवश्यकता होती है।

    अन्य प्रसिद्ध उदाहरण घूमते गोलों के बीच डोरी में तनाव का है।[17][18] उस स्थिति में, घूर्णन संदर्भ फ्रेम से देखे गए गोले की गति के आधार पर स्ट्रिंग में मापा तनाव की भविष्यवाणी के लिए घूर्णन पर्यवेक्षकों को काल्पनिक केन्द्रापसारक बल पेश करने की आवश्यकता होती है।

    इस संबंध में, यह ध्यान दिया जा सकता है कि समन्वय प्रणाली में परिवर्तन, उदाहरण के लिए, कार्टेशियन से ध्रुवीय तक, यदि सापेक्ष गति में किसी भी बदलाव के बिना लागू किया जाता है, तो इस तथ्य के बावजूद कि कानूनों का स्वरूप काल्पनिक बलों की उपस्थिति का कारण नहीं बनता है गति की गति प्रकार की वक्ररेखीय समन्वय प्रणाली से दूसरे प्रकार में भिन्न होती है।

    वक्ररेखीय निर्देशांक में काल्पनिक बल

    See also: Mechanics of planar particle motion

    काल्पनिक बल शब्द का अलग उपयोग अक्सर वक्रीय निर्देशांक, विशेष रूप से ध्रुवीय निर्देशांक में किया जाता है। भ्रम से बचने के लिए, शब्दावली में इस विचलित करने वाली अस्पष्टता को यहां इंगित किया गया है। ये तथाकथित बल जड़त्वीय या गैर-जड़त्वीय संदर्भ के सभी फ्रेमों में गैर-शून्य हैं, और निर्देशांक के घूर्णन और अनुवाद के तहत वैक्टर के रूप में परिवर्तित नहीं होते हैं (जैसा कि सभी न्यूटोनियन बल काल्पनिक या अन्यथा करते हैं)।

    काल्पनिक बल शब्द का यह असंगत उपयोग गैर-जड़त्वीय फ़्रेमों से असंबंधित है। इन तथाकथित बलों को वक्रीय समन्वय प्रणाली के भीतर कण के त्वरण का निर्धारण करके परिभाषित किया जाता है, और फिर निर्देशांक के सरल डबल-टाइम डेरिवेटिव को शेष शब्दों से अलग किया जाता है। ये शेष पद काल्पनिक बल कहलाते हैं। अधिक सावधानी से उपयोग करने पर ये शब्द सामान्यीकृत बल|सामान्यीकृत काल्पनिक बल कहलाते हैं, जो लैग्रेंजियन यांत्रिकी के सामान्यीकृत निर्देशांक से उनके संबंध को इंगित करते हैं। ध्रुवीय निर्देशांकों के लिए लैग्रैन्जियन विधियों का अनुप्रयोग समतलीय कण गति के यांत्रिकी#लैग्रैन्जियन दृष्टिकोण में पाया जा सकता है।

    सापेक्षिक दृष्टिकोण

    फ़्रेम और फ़्लैट स्पेसटाइम

    Further information: Proper reference frame (flat spacetime)

    यदि स्पेसटाइम के क्षेत्र को यूक्लिडियन स्थान घोषित किया जाता है, और प्रभावी रूप से स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से मुक्त होता है, तो यदि त्वरित समन्वय प्रणाली उसी क्षेत्र पर मढ़ा जाता है, तो यह कहा जा सकता है कि त्वरित फ्रेम में समान काल्पनिक क्षेत्र मौजूद है (हम आरक्षित रखते हैं) उस मामले के लिए गुरुत्वाकर्षण शब्द जिसमें कोई द्रव्यमान शामिल है)। त्वरित फ्रेम में स्थिर रहने के लिए त्वरित की गई वस्तु क्षेत्र की उपस्थिति को महसूस करेगी, और वे गति की जड़त्वीय अवस्थाओं (सितारों, आकाशगंगाओं, आदि) के साथ पर्यावरणीय पदार्थ को भी स्पष्ट रूप से क्षेत्र में नीचे की ओर गिरते हुए देख पाएंगे। घुमावदार प्रक्षेपवक्र मानो क्षेत्र वास्तविक हो।

    फ़्रेम-आधारित विवरणों में, इस अनुमानित फ़ील्ड को त्वरित और जड़त्वीय समन्वय प्रणालियों के बीच स्विच करके प्रकट या गायब किया जा सकता है।

    अधिक उन्नत विवरण

    जैसे-जैसे स्थिति को सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत का उपयोग करके बारीक विवरण में चित्रित किया जाता है, फ्रेम-निर्भर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की अवधारणा कम यथार्थवादी हो जाती है। इन मैक के सिद्धांत मॉडल में, त्वरित शरीर इस बात से सहमत हो सकता है कि स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पृष्ठभूमि पदार्थ की गति से जुड़ा हुआ है, लेकिन यह भी दावा कर सकता है कि सामग्री की गति जैसे कि कोई गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र है, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का कारण बनता है - बैकग्राउंड मैटर प्रकाश-खींचने वाले प्रभावों को तेज करना। इसी तरह, पृष्ठभूमि पर्यवेक्षक यह तर्क दे सकता है कि द्रव्यमान का मजबूर त्वरण इसके और पर्यावरणीय सामग्री के बीच के क्षेत्र में स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का कारण बनता है (त्वरित द्रव्यमान प्रकाश को भी खींचता है)। यह पारस्परिक प्रभाव, और प्रकाश किरण ज्यामिति और प्रकाश किरण-आधारित समन्वय प्रणालियों को विकृत करने के लिए त्वरित द्रव्यमान की क्षमता को फ्रेम खींच के रूप में जाना जाता है।

    फ़्रेम-ड्रैगिंग त्वरित फ़्रेम (जो गुरुत्वाकर्षण प्रभाव दिखाते हैं) और जड़त्वीय फ़्रेम (जहां ज्यामिति गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से मुक्त होती है) के बीच सामान्य अंतर को हटा देती है। जब जबरन-त्वरित शरीर शारीरिक रूप से समन्वय प्रणाली को खींचता है, तो समस्या सभी पर्यवेक्षकों के लिए विकृत स्पेसटाइम में अभ्यास बन जाती है।

    यह भी देखें

    सन्दर्भ और नोट्स

    1. ↑ "त्वरित संदर्भ फ़्रेम". Retrieved 2023-09-06.
    2. ↑ Emil Tocaci, Clive William Kilmister (1984). सापेक्षतावादी यांत्रिकी, समय और जड़ता. Springer. p. 251. ISBN 90-277-1769-9.
    3. ↑ Wolfgang Rindler (1977). आवश्यक सापेक्षता. Birkhäuser. p. 25. ISBN 3-540-07970-X.
    4. ↑ Ludwik Marian Celnikier (1993). अंतरिक्ष उड़ान की मूल बातें. Atlantica Séguier Frontières. p. 286. ISBN 2-86332-132-3.
    5. ↑ Harald Iro (2002). शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए एक आधुनिक दृष्टिकोण. World Scientific. p. 180. ISBN 981-238-213-5.
    6. ↑ Albert Shadowitz (1988). विशेष सापेक्षता (Reprint of 1968 ed.). Courier Dover Publications. p. 4. ISBN 0-486-65743-4.
    7. ↑ Lawrence E. Goodman & William H. Warner (2001). गतिकी (Reprint of 1963 ed.). Courier Dover Publications. p. 358. ISBN 0-486-42006-X.
    8. ↑ M. Alonso & E.J. Finn (1992). मौलिक विश्वविद्यालय भौतिकी. Addison-Wesley. ISBN 0-201-56518-8.[permanent dead link]
    9. ↑ “The inertial frame equations have to account for VΩ and this very large centripetal force explicitly, and yet our interest is almost always the small relative motion of the atmosphere and ocean, V' , since it is the relative motion that transports heat and mass over the Earth. … To say it a little differently—it is the relative velocity that we measure when [we] observe from Earth’s surface, and it is the relative velocity that we seek for most any practical purposes.” MIT essays by James F. Price, Woods Hole Oceanographic Institution (2006). See in particular §4.3, p. 34 in the Coriolis lecture
    10. ↑ Peter Ryder (2007). शास्त्रीय यांत्रिकी. Aachen Shaker. pp. 78–79. ISBN 978-3-8322-6003-3.
    11. ↑ Raymond A. Serway (1990). वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी (3rd ed.). Saunders College Publishing. p. 135. ISBN 0-03-031358-9.
    12. ↑ V. I. Arnol'd (1989). शास्त्रीय यांत्रिकी की गणितीय विधियाँ. Springer. p. 129. ISBN 978-0-387-96890-2.
    13. ↑ Milton A. Rothman (1989). Discovering the Natural Laws: The Experimental Basis of Physics. Courier Dover Publications. p. 23. ISBN 0-486-26178-6. भौतिकी के संदर्भ नियम.
    14. ↑ Sidney Borowitz & Lawrence A. Bornstein (1968). प्राथमिक भौतिकी का एक समसामयिक दृष्टिकोण. McGraw-Hill. p. 138. ASIN B000GQB02A.
    15. ↑ Leonard Meirovitch (2004). Methods of analytical Dynamics (Reprint of 1970 ed.). Courier Dover Publications. p. 4. ISBN 0-486-43239-4.
    16. ↑ Giuliano Toraldo di Francia (1981). भौतिक जगत की जांच. CUP Archive. p. 115. ISBN 0-521-29925-X.
    17. ↑ Louis N. Hand, Janet D. Finch (1998). Analytical Mechanics. Cambridge University Press. p. 324. ISBN 0-521-57572-9.
    18. ↑ I. Bernard Cohen, George Edwin Smith (2002). न्यूटन का कैम्ब्रिज साथी. Cambridge University Press. p. 43. ISBN 0-521-65696-6.
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