काल्पनिक बल

काल्पनिक बल एक बल है जो एक द्रव्यमान पर कार्य करने के लिए प्रकट होता है जिसकी गति को एक गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम का उपयोग करके वर्णित किया गया है, जैसे कि एक त्वरित या घूर्णन संदर्भ फ्रेम । यह न्यूटन के गति के दूसरे नियम से से संबंधित है, जो केवल एक वस्तु के लिए बलों को पेश करता है।

उदाहरण के लिए आगे की दिशा में तेज करने वाले एक वाहन में यात्रियों को यह अनुभव होता है कि उन पर एक बल द्वारा कार्य किया जाता है, जो उन्हे उनकी सीटों के पीछे की दिशा मे ले जाता है। घूर्णन संदर्भ फ्रेम मे दृष्टांत की यह धारणा हो सकती है कि यह एक बल है जो अपकेंद्रित या गतिशील बस्तुओ को बाहर की ओर ले जाते है।

आभासी बल कहे जाने वाले काल्पनिक बल को पिंड बल के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है। यह किसी वस्तु की जड़ता के कारण होता है इसके बाद जब संदर्भ फ्रेम जड़त्वीय रूप से आगे नहीं बढ़ता है, लेकिन मुक्त वस्तु के सापेक्ष गति करना शुरू कर देता है। यात्री वाहन के उदाहरण के संदर्भ में, कार में सीट के पिछले हिस्से को स्पर्श करने से ठीक पहले एक आभासी बल सक्रिय प्रतीत होता है। कार में आगे की ओर झुका हुआ व्यक्ति पहले से ही गतिमान कार के संबंध में थोड़ा पीछे की ओर बढ़ता है। इस कम अवधि में गति सिर्फ व्यक्ति पर किसी बल का परिणाम प्रतीत होती है, यह एक आभासी बल है। एक आभासी बल दो वस्तुओं के बीच किसी भी भौतिक संपर्क से उत्पन्न नहीं होता है, जैसे कि विद्युत चुम्बकत्व या संपर्क बल। अर्थात इस स्थिति, में वाहन केवल भौतिक वस्तु के त्वरण(a) का परिणाम है जो गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम से जुड़ा हुआ है, संबंधित त्वरित फ्रेम के दृष्टिकोण से, निष्क्रिय वस्तु का एक त्वरण सम्मिलित प्रतीत होता है, स्पष्ट रूप से इसके लिए एक बल की आवश्यकता होती है।

जैसा कि इरो द्वारा कहा गया है:

दो संदर्भ फ़्रेमों की असमान सापेक्ष गति के कारण इस तरह का एक अतिरिक्त बल आभासी बल कहलाता है

— शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए एक आधुनिक दृष्टिकोण मे हेराल्ड इरो पी . 180

किसी वस्तु पर आभासी बल एक काल्पनिक प्रभाव के रूप में उत्पन्न होता है जब वस्तु की गति का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले संदर्भ फ्रेम में एक गैर-त्वरित फ्रेम की तुलना में गति होती है। आभासी बल से स्पष्ट है, कि न्यूटन के दूसरे नियम यांत्रिकी का उपयोग करते हुए, कोई वस्तु न्यूटन के दूसरे नियम का पालन क्यों नहीं करती है और भारहीन की तरह ''स्वतंत्र रूप से तैरती है''। चूंकि एक फ्रेम किसी भी एकपक्षीय तरीके से गति हो सकती है, इसलिए आभासी बल भी उतने ही एकपक्षीय हो सकते हैं (लेकिन केवल फ्रेम के त्वरण के लिए सीधे प्रतिक्रिया में) इरो द्वारा परिभाषित आभासी बल का एक उदाहरण कोरिओलिस बल है, जिसे कोरिओलिस प्रभाव कहा जाना उचित हो सकता है, गुरुत्वाकर्षण बल भी एक काल्पनिक बल (आभासी बल) होगा, एक क्षेत्र मॉडल पर आधारित है जिसमें कण अपने द्रव्यमान के कारण अंतरिक्ष समय को विकृत करते हैं, जैसे कि सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में।

न्यूटन के दूसरे नियम को f = ma के रूप मे मानते हुए, काल्पनिक बल हमेशा द्रव्यमान m के समानुपातिक होते हैं।

काल्पनिक बल जिसे एक जड़त्वीय बल कहा जाता है इसे एक डी'अलेम्बर्ट बल के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, डी अलम्बर्ट का सिद्धांत न्यूटन के गति के दूसरे प्रतिपादित करने का एक और तरीका है। सिर्फ आसान गणना के लिए, यह एक जड़त्वीय बल को द्रव्यमान त्वरण के गुणनफल के ऋणात्मक रूप मे परिभाषित करता है।

(एक डी'एलम्बर्ट बल को दो वस्तुओं के बीच भौतिक अन्तः क्रिया से उत्पन्न होने वाले संपर्क बल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो न्यूटन के तीसरे नियम - 'क्रिया प्रतिक्रिया' का विषय है। उपरोक्त यात्री वाहन के उदाहरण के संदर्भ में, एक संपर्क बल तब उभरता है जब यात्री का शरीर कार में सीट के पिछले हिस्से को स्पर्श करता है। यह तब तक स्थित है जब तक कार में त्वरित बल है।)

चार काल्पनिक बलों को प्रायः घटित होने वाले तरीकों से त्वरित फ्रेम के लिए परिभाषित किया गया है:

• एक सीधी रेखा (सरल रैखिकत्वरण ) में मूल के सापेक्ष किसी भी त्वरण के कारण होता है।
• दो सम्मिलित घूर्णन: केन्द्रापसारक बल और कोरिओलिस बल है।
• जिसे घूर्णन की परिवर्तनशील दर के कारण होने वाला यूलर बल कहा जाता है, क्या ऐसा होना चाहिए।

पृष्ठभूमि

See also: निरपेक्ष अंतराल और समय और मुख्य फ्रेम

न्यूटोनियन यांत्रिकी में काल्पनिक बलों की भूमिका मैरी-एंटोनेट टोनलैट द्वारा वर्णित है:

न्यूटन के लिए, त्वरण की उपस्थिति सदैव निरपेक्ष गति के अस्तित्व को इंगित करती है -पदार्थ की निरपेक्ष गति जहां वास्तविक बलों का संबंध है; संदर्भ प्रणाली की पूर्ण गति, जहां तथाकथित काल्पनिक बल, जैसे कि जड़त्वीय बल या कोरिऑलिस के,संबंधित है।

— -विद्युतचुम्बकीय सिद्धांत और सापेक्षता के सिद्धांतों मे मैरी-एंटोनेट टोनलैट, पी .113

उत्कृष्ट यांत्रिकी में काल्पनिक बल उत्पन्न होते हैं और सभी गैर-जड़त्वीय फ्रेम में विशेष सापेक्षता होती है। जड़त्वीय फ्रेम को गैर-जड़त्वीय फ्रेमों विशेष अधिकार प्राप्त है क्योंकि उनके पास भौतिकी नहीं होती है, जिनके कारण प्रणाली के बाहर होते हैं, जबकि गैर-जड़त्वीय फ्रेम करते हैं। काल्पनिक बल, या भौतिकी जिसका कारण प्रणाली के बाहर है, अब सामान्य सापेक्षता में आवश्यक नहीं हैं, क्योंकि इन भौतिकी को अंतरिक्ष समय की सामान्य सापेक्षता में भू-भौतिक विज्ञान के साथ व्याख्या की गयी है: ''सभी संभावित अंतरिक्ष समय शून्य जियोडेसिक्स या फोटॉन कार्यप्रणाली का क्षेत्र निरपेक्षता को सम्पूर्ण अंतरिक्ष-समय में पूर्ण स्थानीय अनावर्ती मानक को एकीकृत करता है''।

पृथ्वी पर

See also: केंन्द्रापसारक बल,कोरिऑलिस बल और यूलर बल

पृथ्वी की सतह एक घूर्णन संदर्भ फ्रेम है। उत्कृष्ट यांत्रिकी समस्याओं को सटीक रूप से एक पृथ्वी-सीमा संदर्भ फ्रेम में हल करने के लिए, तीन काल्पनिक बलों को पेश किया जाना चाहिए: कोरिओलिस बल, केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक) (नीचे वर्णित) और यूलर बल। यूलर बल को सामान्यतः नजरअंदाज कर दिया जाता है क्योंकि पृथ्वी की घूर्णन सतह के कोणीय वेग में भिन्नता प्रायः नगण्य होती है। दैनिक जीवन में अधिकांश विशिष्ट बलों की तुलना में अन्य दोनों काल्पनिक बल कमजोर हैं, लेकिन सावधानीपूर्वक परिस्थितियों में उनका पता लगाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लियोन फौकॉल्ट ने अपने फौकॉल्ट पेंडुलम का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि एक कोरिओलिस बल पृथ्वी के घूर्णन् का परिणाम है। यदि पृथ्वी को बीस गुना तेजी से घुमाना होता (प्रत्येक दिन केवल ~ 72 मिनट लंबा होता है) है, तो लोगों को आसानी से यह आभास हो सकता है कि इस तरह के काल्पनिक बल उन्हे खींच रहे थे, जैसे कि एक प्रचक्रण घूर्णित्र पर; वास्तव में, समशीतोष्ण और उष्णकटिबंधीय अक्षांशों में लोगों को, केन्द्रापसारक बल द्वारा कक्षा में प्रक्षेपित किए जाने से बचने के लिए संभाल कर रखने की आवश्यकता होगी।

गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम का पता लगाना

See also: संदर्भ का जड़त्वीय फ्रेम

एक बंद बॉक्स के अंदर पर्यवेक्षक जो एक निरंतर वेग के साथ चल रहा है, वह अपनी गति का पता नहीं लगा सकता है; हालांकि, एक त्वरित संदर्भ फ्रेम के अंदर पर्यवेक्षक यह पता लगा सकते हैं कि वे उत्पन्न होने वाली काल्पनिक बलों से एक गैर-आंतरिक संदर्भ फ्रेम में हैं जो उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, सीधी-रेखा त्वरण के लिए व्लादिमीर अर्नोल्ड निम्नलिखित प्रमेय प्रस्तुत करते है:

एक समन्वय प्रणाली मे, जो एक जड़त्वीय प्रणाली K सापेक्ष एक समान गतिविधि द्वारा चलती है, एक यांत्रिक प्रणाली की गति होती है जैसे की समन्वय प्रणाली जड़त्वीय थी, लेकिन द्रव्यमान m के प्रत्येक बिन्दु पर एक अतिरिक्त "जड़त्वीय बल " कार्य करता था F = −ma, जहां a प्रणाली 'k' त्वरण है।

अन्य त्वरण भी काल्पनिक बलों को बढ़ावा देते हैं, जैसा कि नीचे गणितीय रूप से व्युत्पत्ति का वर्णन किया गया है। एक जड़त्वीय फ्रेम में गतियों की भौतिक व्याख्या सबसे सरल है, जिसमें किसी काल्पनिक बलों की आवश्यकता नहीं होती है: काल्पनिक बल शून्य हैं, जो दूसरों से जड़त्वीय फ्रेम को अलग करने के लिए एक साधन प्रदान करते हैं।

एक गैर-जड़त्वीय, घूर्णन संदर्भ फ्रेम का पता लगाने का एक उदाहरण एक फौकॉल्ट पेंडुलम की पूर्वसर्ग है। पृथ्वी के गैर-जड़त्वीय फ्रेम में, प्रेक्षणों को समझाने के लिए काल्पनिक कोरिओलिस बल आवश्यक है। पृथ्वी के बाहर एक जड़त्वीय फ्रेम में, ऐसा कोई काल्पनिक बल आवश्यक नहीं है।

परिपत्र गति से संबंधित उदाहरण

See also: केन्द्रापसारक बल और कोरिओलिस बल

संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम में (चित्र का ऊपरी भाग), काली गेंद एक सीधी रेखा में चलती है।हालांकि, पर्यवेक्षक (भूरा बिन्दु ) जो संदर्भ के घूर्णन/गैर-जड़त्वीय फ्रेम में खड़ा है (चित्र का निचला हिस्सा) इस फ्रेम में मौजूद कोरिओलिस या केन्द्रापसारक बलों के कारण वस्तु को एक घुमावदार पथ के रूप में अनुसरण करता हुआ देखता है।

काल्पनिक बल का प्रभाव तब भी होता है जब एक कार घुमावदार पथ पर जाती है। कार से जुड़े संदर्भ के एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम से देखे जाने पर,केन्द्रापसारक बल नामक काल्पनिक बल कहा जाता है। जैसे ही कार एक बाएं मोड़ में प्रवेश करती है, एक सूटकेस पहले बाएं ओर की सीट पर दाईं ओर की सीट पर फिसल जाता है और तब तक जारी रहता है जब तक कि यह दाईं ओर बंद दरवाजे के संपर्क में नहीं आता है। यह गति काल्पनिक केन्द्रापसारक बल के चरण को चिह्नित करती है क्योंकि यह सूटकेस की जड़ता है जो गति के इस भाग में भूमिका निभाता है। ऐसा प्रतीत हो सकता है कि इस गति के लिए एक बल जिम्मेदार होना चाहिए, लेकिन वास्तव में, यह गति सूटकेस की जड़ता के कारण उत्पन्न होता है, जो कि पहले से ही संदर्भ के एक त्वरित फ्रेम के भीतर एक 'मुक्त वस्तु' है। सूटकेस कार के बंद दरवाजे के संपर्क में आने के बाद, संपर्क बल के उद्भव के साथ स्थिति वर्तमान हो जाती है। कार पर केन्द्रापसारक बल अब सूटकेस में स्थानांतरित हो जाता है, और न्यूटन के तीसरे नियम की स्थिति क्रियात्मक भाग के रूप मे अभिकेंन्द्रीय बल के साथ प्रतिक्रिया भाग के रूप मे तथाकथितप्रतिक्रियाशील केन्द्रापसारक बल के साथ गति मे आती है। प्रतिक्रियाशील केन्द्रापसारक बल भी सूटकेस की जड़ता के कारण होता है। हालांकि, जड़ता अपनी गति की स्थिति में परिवर्तन के लिए एक प्रकट प्रतिरोध के रूप में दिखाई देती है।

मान लीजिए कि कुछ मील आगे कार एक गोलचक्कर पर स्थिर गति से बार -बार चल रही है, तो बैठने वालों को ऐसा प्रतीत होगा जैसे कि उन्हें मोड़ के केंद्र से दूर (प्रतिक्रियाशील) केन्द्रापसारक बल द्वारा वाहन के बाहर धकेल दिया जा रहा है।

स्थिति को जड़त्वीय के साथ-साथ गैर-जड़त्वीय फ्रेम से भी देखा जा सकता है।

• सड़क के संबंध में एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के दृष्टिकोण से, कार वृत्त के केंद्र की ओर गति रही है,यह त्वरण है, क्योंकि कार की गति स्थिर होने के बावजूद वेग की दिशा बदल रही है। इस आंतरिक त्वरण को अभिकेंद्रीय त्वरण कहा जाता है, इसे वर्तुलाकार गति को बनाए रखने के लिए एक अभिकेंद्रीय बल की आवश्यकता होती है।इस स्थिति में, पहियों और सड़क के बीच के घर्षण से यह बल जमीन द्वारा पहियों पर लगाया जाता है। कार त्वरण असंतुलित बल एक चक्र मे गति करता है, जिसके कारण यह एक वृत्त में गति करता है।( घुमावदार मोड भी देखें।)
• एक घूर्णन फ्रेम के दृष्टिकोण से, कार के साथ चलते हुए, एक काल्पनिक केन्द्रापसारक बल कार को सड़क के बाहर की ओर धकेलते हुए दिखाई देता है (और बैठने वालो को कार के बाहर की ओर धकेलता है)।केन्द्रापसारक बल पहियों और सड़क के बीच घर्षण को संतुलित करता है, जिससे कार इस गैर-जड़त्वीय फ्रेम में स्थिर हो जाती है।

वृत्ताकार गति में एक काल्पनिक बल का एक उत्कृष्ट उदाहरण एक रस्सी से बंधे हुए गोले को घुमाने और उनके द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर घूमने का प्रयोग है।इस स्थिति में, संदर्भ के एक घूर्णन, गैर-जड़त्वीय फ्रेम की पहचान काल्पनिक बलों के अदृष्ट होने पर आधारित हो सकती है। एक जड़त्वीय फ्रेम में, काल्पनिक बलों को गोले में सम्मिलित होने वाले तार में तनाव की व्याख्या करने के लिए आवश्यक नहीं है। एक घूर्णन फ्रेम में, पर्यवेक्षण किए गए खिंचाव की भविष्यवाणी करने के लिये कोरिओलिस और केन्द्रापसारक बलों को प्रस्तावित किया जाना चाहिए।

पृथ्वी की सतह पर माना जाने वाला घूर्णन संदर्भ फ्रेम में, एक केन्द्रापसारक बल अक्षांश के आधार पर, एक हजार में लगभग एक भाग से गुरुत्वाकर्षण के स्पष्ट बल को कम करता है। यह कमी ध्रुव पर शून्य है,और भूमध्य रेखा पर अधिकतम है।

घूर्णित्र से मुक्त किसी वस्तु के लिए भौतिक(लाल) और काल्पनिक (नीला) बलों के मानचित्र और स्पिन फ्रेम परिप्रेक्ष्य

मानचित्र के परिप्रेक्ष्य मे किसी व्यक्ति के लिए गति की व्याख्या करने के लिए केवल एक बल पर्याप्त है ːलाल तीर ːकेन्द्रीय बल प्रदर्शन के बाद, बलों की संख्या शून्य है। चक्रण फ्रेम मे किसी के लिए वस्तु एक जटिल तरीके से चलती है जिसके लिए केन्द्रापसारक बल की आवश्यकता होती है ːनीला तीर।

काल्पनिक कोरिओलिस बल, जो घूर्णी फ्रेम में देखा जाता है, सामान्यतः बहुत बड़े पैमाने पर गति में दिखाई देता है जैसे कि लंबी दूरी की बंदूकों की प्रक्षेप्य गति या पृथ्वी के वातावरण के संचलन ( रॉस्बी नंबर देखें)।वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए, भूमध्य रेखा पर 50 मीटर ऊंचे टॉवर से गिरा दी गई एक वस्तु नीचे की ओर 7.7 मिलीमीटर की दूरी पर गिर जाएगी, जहां इसे कोरिओलिस बल के कारण गिरा दिया गया है।

काल्पनिक बल और कार्य

काल्पनिक बलों को यांत्रिक कार्य करने के लिए माना जा सकता है, परंतु वे एक वस्तु को एक प्रक्षेपवक्र पर स्थानांतरित करें जो अपनी ऊर्जा को संभावित ऊर्जा से गतिज ऊर्जा में बदल देती है। उदाहरण के लिए, कुछ व्यक्तियो पर विचार करें, जो घूर्णन कुर्सी मे अपने हाथ में वजन पकड़े हुए है। यदि वे अपने हाथ को अपने शरीर की ओर अंदर खींचते हैं, तो घूर्णन संदर्भ फ्रेम के दृष्टिकोण से, उन्होंने केन्द्रापसारक बल के विरुद्ध कार्य किया है। जब वजन को जाने दिया जाता है, तो यह स्वचालित रूप से घूर्णन संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष बाहर की ओर जाता है, क्योंकि केन्द्रापसारक बल वस्तु पर काम करता है, अपनी संभावित ऊर्जा को गतिज में परिवर्तित करता है। जड़त्वीय दृष्टिकोण से, निश्चित रूप से, वस्तु उनसे दूर जाती है क्योंकि इसे अचानक एक सीधी रेखा में स्थानांतरित करने की अनुमति दी जाती है। यह दर्शाता है कि किसी वस्तु की कुल क्षमता और गतिज ऊर्जा की तरह किया गया कार्य, एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम में एक जड़त्वीय की तुलना में भिन्न हो सकता है।

एक काल्पनिक बल के रूप में गुरुत्वाकर्षण

Main article: सामान्य सापेक्षता

आइंस्टीन के सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत मे ''काल्पनिक बल'' की धारणा सामने आती है। सभी काल्पनिक बल उस वस्तु के द्रव्यमान के समानुपातिक हैं जिस पर वे कार्य करते हैं, जो गुरुत्वाकर्षण के लिए भी सही है।है। इससे अल्बर्ट आइंस्टीन को आश्चर्य हुआ कि क्या गुरुत्वाकर्षण एक काल्पनिक बल था। उन्होंने कहा कि एक बंद बॉक्स में एक मुक्त पतन पर्यवेक्षक गुरुत्वाकर्षण के बल का पता लगाने में सक्षम नहीं होगा;इसलिए, संदर्भ मुक्त पतन फ़्रेम एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम (तुल्यता सिद्धांत) के बराबर हैं।इस अंतर्दृष्टि के बाद, आइंस्टीन एक काल्पनिक बल के रूप में गुरुत्वाकर्षण के साथ एक सिद्धांत को तैयार किया और गुरुत्वाकर्षण के स्पष्ट त्वरण को अंतरिक्ष समय की वक्रता के लिए जिम्मेदार है। यह विचार आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत को रेखांकित करता है।Eötvös प्रयोग देखें।

एक चट्टान से लुढ़कने वाली वस्तु के लिए भौतिक(पढे) और काल्पनिक(नीला) बलों के बारिश और शैल फ्रेम परिप्रेक्ष्य।

ध्यान देː यहाँ बारिश के फ्रेम का परिप्रेक्ष्य, बारिश की बूंदों के बजाय, एक ट्रैम्पोलिन पर उछलने वाले की तरह अधिक है, जिसका प्रक्षेपवक्र सबसे ऊपर है जैसे ही गेंद चट्टान के किनारे तक पहुँचती है, शेल फ्रेम परिप्रेक्ष्य ग्रह के निवासियो के लिए परिचित हो सकता है, जो घुमावदार अंतरिक्ष समय के कारण ज्यामितीय त्वरण से बचाने के लिए अपने वातावरण से ऊपर की ओर भौतिक बलों पर ,मिनट दर मिनट पर निर्भर रहते है।

काल्पनिक बलों की गणितीय व्युत्पत्ति

चित्र 2: x पर स्थित एक वस्तु_A जड़त्वीय फ्रेम में एक स्थान 'x' पर स्थित है_B फ्रेम बी में तेजी लाने में फ्रेम बी की उत्पत्ति 'X'_ABपर स्थित है फ्रेम ए में फ्रेम बी का अभिविन्यास इकाई सदिश द्वारा इसके समन्वय दिशाओं के साथ निर्धारित किया जाता है, 'uj के साथ J = 1, 2, 3. इन अक्षों का उपयोग करते हुए, फ़्रेम B के अनुसार वस्तु के निर्देशांक 'x' हैं_B = ( x ₁, x₂, x₃)।

सामान्य व्युत्पत्ति

कई समस्याओं के लिए गैर -संदर्भ संदर्भ फ़्रेम के उपयोग की आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, जिनमे उपग्रह और कण त्वरक सम्मिलित है। चित्रा 2 एक विशेष जड़त्वीय फ्रेम ए मे द्रव्यमान एम और स्थिति सदिश (ज्यामितीय) 'X'_A(T) के साथ एक कण दिखाता है। एक गैर-जड़त्वीय फ्रेम बी पर विचार करें, जिसका मूल जड़त्वीय के सापेक्ष 'X'_AB(T) द्वारा दिया गया है। मन लीजिए कि फ्रेम बी में कण की स्थिति को 'x'_B(T)।फ्रेम बी के समन्वय प्रणाली में व्यक्त कण पर बल क्या है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, बी में समन्वय अक्ष को तीन निर्देशांक अक्षों के लिए [1,2,3] मे से किसी भी [1,2,3] के साथ इकाई सदिश J द्वारा दर्शाया जाए। फिर

$\mathbf {x} _{\mathrm {B} }=\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.$

इस समीकरण की व्याख्या यह है कि x_B कण का सदिश विस्थापन है जैसा कि समय टी में फ्रेम बी में निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया है।फ्रेम से एक कण पर स्थित है:

$\mathbf {x} _{\mathrm {A} }=\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}\,.$

एक तरफ, इकाई सदिश (uj) परिमाण को नहीं बदल सकता है, इसलिए इन सदिश के व्युत्पन्न शब्द केवल समन्वय प्रणाली बी के घूर्णन को व्यक्त करते हैं। दूसरी ओर, सदिश X_AB बस फ्रेम ए के सापेक्ष फ्रेम बी की उत्पत्ति का पता लगाता है, और इसलिए फ्रेम बी के घूर्णन को सम्मिलित नहीं किया जा सकता है।

एक समय व्युत्पन्न लेते हुए, कण का वेग है:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}={\frac {d\mathbf {X} _{\mathrm {AB} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}\,.$

दूसरा शब्द योग कण का वेग है, v कहते हैं_B जैसा कि फ्रेम बी में मापा गया है:

${\frac {d\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt}}=\mathbf {v} _{\mathrm {AB} }+\mathbf {v} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.$

इस समीकरण की व्याख्या यह है कि फ्रेम ए में पर्यवेक्षकों द्वारा देखे गए कण का वेग फ्रेम बी में पर्यवेक्षक वेग को वेग कहते हैं, अर्थात् V_B, फ्रेम-बी समन्वय अक्षर के परिवर्तन की दर से संबंधित दो अतिरिक्त शब्द। इनमें से एक केवल गतिमान मूल v_AB का वेग है। दूसरा इस तथ्य के कारण वेग मे योगदान है कि गैर-संघीय फ्रेम में विभिन्न स्थानों में फ्रेम के घूर्णन के कारण अलग-अलग स्पष्ट वेग होते हैं; घूर्णन फ्रेम से देखे जाने वाले एक बिंदु में वेग का एक घूर्णी घटक होता है जो की मूल बिन्दु से अधिक होता है।

त्वरण को खोजने के लिए, एक और समय भिन्नता प्रदान करता है:

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+{\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {dx_{j}}{dt}}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}.$

X_B,के समय व्युत्पन्न के लिए पहले से ही उपयोग किए गए समान सूत्र का उपयोग करते हुए, दाईं ओर वेग व्युत्पन्न है:

${\frac {d\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{dt}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {dv_{j}}{dt}}\mathbf {u} _{j}+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}.$

फलस्वरूप,

बलों के संदर्भ में स्थितिओ को रखने के लिए, कण द्रव्यमान द्वारा त्वरण को गुणा किया जाता है:

$\mathbf {F} _{\mathrm {A} }=\mathbf {F} _{\mathrm {B} }+m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }+2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\ .$

बल फ्रेम बी, F_B में देखा गया = m'a '_B कण पर वास्तविक बल से संबंधित है, F_A, द्वारा

$\mathbf {F} _{\mathrm {B} }=\mathbf {F} _{\mathrm {A} }+\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} },$

जहां परː

$\mathbf {F} _{\mathrm {fictitious} }=-m\mathbf {a} _{\mathrm {AB} }-2m\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}-m\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\,.$

इस प्रकार, न्यूटन का दूसरा नियम लागू होता है (उस फ्रेम में मात्रा के संबंध में) और F_{काल्पनिक} को एक अतिरिक्त बल के रूप मे मानकर समस्याओ को फ्रेम B मे हल किया जा सकता है।

नीचे कुछ ऐसे उदाहरण दिए गए हैं। जो काल्पनिक बलों के लिए इस परिणाम को लागू करते है केंद्रापसारक बल पर लेख में अधिक उदाहरण पाए जा सकते हैं।

घूर्णन समन्वय प्रणाली

एक सामान्य स्थिति जिसमें गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ़्रेम उपयोगी होते हैं जब संदर्भ फ्रेम घूम रहा होता है।क्योंकि इस तरह की घूर्णी गति गैर-जड़त्वीय है, किसी भी घूर्णी गति में सम्मिलित त्वरण के कारण, एक काल्पनिक बल को हमेशा संदर्भ के घूर्णी फ्रेम का उपयोग करके लगाया जा सकता है।इस जटिलता के बाद भी, काल्पनिक बलों का उपयोग प्रायः सम्मिलित गणनाओं को सरल बनाता है।

काल्पनिक बलों के लिए अभिव्यक्त करने के लिए, समन्वित अक्षों के समय-भिन्नता को ध्यान में रखते हुए सदिश के परिवर्तन की स्पष्ट समय दर के लिए व्युत्पन्न की आवश्यकता होती है। यदि फ्रेम 'बी' के घूर्णन को सदिश Ω द्वारा दर्शाया जाता है,जो घूर्णन के अक्ष के साथ दायें हाथ के नियम द्वारा दिए गए अभिविन्यास के साथ इंगित किया जाता है, और परिमाण द्वारा दिया जाता है

$|{\boldsymbol {\Omega }}|={\frac {d\theta }{dt}}=\omega (t),$

तब फ्रेम बी का वर्णन करने वाले तीन इकाई सदिश में से किसी का समय व्युत्पन्न है

${\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t),$

तथा

${\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}(t)}{dt^{2}}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\frac {d\mathbf {u} _{j}(t)}{dt}}={\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right],$

जैसा कि सदिश रेखिक उत्पाद के गुणों का उपयोग करके सत्यापित किया गया है।ये व्युत्पन्न सूत्र अब एक जड़त्वीय फ्रेम में त्वरण के बीच संबंध पर लागू होते हैं, और यह कि एक समन्वय फ्रेम में समय-भिन्न कोणीय वेग ω (टी) के साथ घूमते है।पिछले अनुभाग से, जहां अधोलिखित ए, जड़त्वीय फ्रेम और बी को घूर्णन फ्रेम को संदर्भित करता है,A_AB = 0 किसी भी अनुवादात्मक त्वरण को हटाने के लिए, और केवल घूर्णी गुणों पर ध्यान केंद्रित करता है (देखें समीकरण 1):

${\frac {d^{2}\mathbf {x} _{\mathrm {A} }}{dt^{2}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2\sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}},$

${\begin{aligned}\mathbf {a} _{\mathrm {A} }&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+\ 2\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)+\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {u} _{j}\ +\sum _{j=1}^{3}x_{j}{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}(t)\right]\\&=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {u} _{j}(t)+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left[{\boldsymbol {\Omega }}\times \sum _{j=1}^{3}x_{j}\mathbf {u} _{j}(t)\right].\end{aligned}}$

शर्तों को एकत्र करने पर, परिणाम तथाकथित त्वरण परिवर्तन सूत्र है:

$\mathbf {a} _{\mathrm {A} }=\mathbf {a} _{\mathrm {B} }+2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }+{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }+{\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }\right)\,.$

भौतिक त्वरण ए_A जड़त्वीय फ्रेम में पर्यवेक्षकों के कारण वस्तु पर एक वास्तविक बाहरी बल कहते हैं, इसलिए, केवल त्वरण 'A'_B नहीं, लेकिन बी के घूर्णन के साथ जुड़े कई अतिरिक्त ज्यामितीय त्वरण शब्द हैं जैसा कि घूर्णी फ्रेम में देखा गया है, त्वरण A_B कण को उपरोक्त समीकरण के पुनर्व्यवस्था द्वारा दिया जाता है:

$\mathbf {a} _{\mathrm {B} }=\mathbf {a} _{\mathrm {A} }-2{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

घूर्णन फ्रेम में पर्यवेक्षकों के अनुसार वस्तु पर शुद्ध बल F_B = m'a '_Bहै। यदि न्यूटन के नियमों का उपयोग करते समय उनकी टिप्पणियों को परिणामस्वरूप वस्तु पर सही बल लगता है, तो उन्हे विचार करना चाहिए की अतिरिक्त बल F_fict सम्मिलित है, इसलिए अंतिम परिणाम F_B = एफ_A + एफ_fict है। इस प्रकार, न्यूटन के नियमों से वस्तु का सही व्यवहार प्राप्त करने के लिए बी में पर्यवेक्षकों द्वारा प्रयुक्त काल्पनिक बल बराबर होता है:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

यहाँ, पहला शब्द कोरिओलिस बल है, दूसरा शब्द केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक) है, और तीसरा शब्द यूलर बल है।

परिक्रमा समन्वय प्रणाली

चित्र 3: एक परिक्रमा लेकिन निश्चित अभिविन्यास समन्वय प्रणाली बी, जिसे तीन अलग -अलग समय पर दिखाया गया है। सदिश इकाई 'UJ=1,2,3,घूमते नहीं है, लेकिन एक निश्चित अभिविन्यास बनाए रखते है , जबकि समन्वय प्रणाली B की उत्पति स्थिर अक्ष के बारे मे निरंतर कोणीय दर पर गतिमान है। 'जड़त्वीय फ्रेम ए की उत्पत्ति से गुजरता है, इसलिए फ्रेम बी की उत्पत्ति जड़त्वीय फ्रेम ए की उत्पत्ति से एक निश्चित दूरी आर है।

एक संबंधित उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि गतिमान समन्वय प्रणाली बी एक निश्चित उत्पति के बारे मे त्रिज्या R के चक्र मे स्थिर कोणीय गति ω के साथ घूमती है,लेकिन इसके समन्वय अक्षों को अभिविन्यास मे स्थिर रखती है जैसा की चित्र 3 मे दिखाया गये त्वरण का एक प्रेक्षित पिंड है (देखें समीकरण 1):

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {a} _{AB}\ +\mathbf {a} _{B}\ ,\end{aligned}}$

जहां योग शून्य हैं क्योंकि सदिश इकाई के पास समय निर्भरता नहीं है। प्रणाली बी की उत्पत्ति फ्रेम ए के अनुसार यहाँ स्थित है:

$\mathbf {X} _{AB}=R\left(\cos(\omega t),\ \sin(\omega t)\right)\ ,$

फ्रेम बी की उत्पत्ति के वेग के रूप मे अग्रणी:

$\mathbf {v} _{AB}={\frac {d}{dt}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\ ,$

बी की उत्पत्ति के त्वरण के रूप मे अग्रणी:

$\mathbf {a} _{AB}={\frac {d^{2}}{dt^{2}}}\mathbf {X} _{AB}=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)=-\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,.$

क्योंकि पहला पद, जो है

$$\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)\,,$$

सामान्य केन्द्रापसारक बल अभिव्यक्ति के रूप के समान है:

$${\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,$$

इस शब्द को ''केंद्रापसारक बल'' कहने के लिए मानक शब्दावली का एक प्राकृतिक विस्तार है (हालांकि इस स्थिति के लिए कोई मानक शब्दावली नहीं है) जो भी शब्दावली अपनाई जाती है, फ्रेम बी में पर्यवेक्षकों को एक काल्पनिक बल का परिचय देना चाहिए, इस बार उनके पूरे समन्वय फ्रेम की कक्षीय गति से त्वरण के कारण, जो कि उनके समन्वय प्रणाली के उत्पत्ति के घूर्णन के केंद्र से दूर बाहर की ओर है:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=m\omega ^{2}\mathbf {X} _{AB}\,,$

और परिमाण का:

$|\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }|=m\omega ^{2}R\,.$

इस ''केन्द्रापसारक बल'' में एक घूर्णन फ्रेम के स्थिति से मतभेद है। घूर्णन फ्रेम में केन्द्रापसारक बल फ्रेम बी की उत्पत्ति से वस्तु की दूरी से संबंधित है, जबकि एक कक्षीय फ्रेम के स्थिति में, केन्द्रापसारक बल फ्रेम बी की उत्पत्ति से वस्तु की दूरी से स्वतंत्र है, लेकिन इसके बजाय घूर्णन के केंद्र से फ्रेम बी की उत्पत्ति की दूरी पर निर्भर करता है, जिसके परिणामस्वरूप फ्रेम बी में देखी गई सभी वस्तुओं के लिए एक ही केन्द्रापसारक काल्पनिक बल होता है।

परिक्रमा और घूर्णन

See also: क्लोहेससी-विल्टशायर समीकरण

चित्रा 4: चित्रा 3 के समान एक कक्षीय समन्वय प्रणाली बी, लेकिन जिसमे सदिश इकाई 'U'_j=1,2,3 घूर्णी अक्ष का सामना करने के लिए घूमते है,जबकि समन्वय प्रणाली B नियत अक्ष Ωके परितːस्थिर कोणीय दर पर गतिमान है।

एक संयोजन उदाहरण के रूप में, चित्र 4 एक समन्वय प्रणाली बी को दर्शाता है जो चित्रा 3 में एक समन्वय फ्रेम ए की परिक्रमा करता है, लेकिन फ्रेम बी में समन्वय अक्ष इस तरह से मुड़ते है कि सदिश इकाई 'यू'₁ सदैव घूर्णन के केंद्र की ओर इशारा करता है।यह उदाहरण एक अपकेंद्रित्र में एक परीक्षण ट्यूब पर लागू हो सकता है, जहां वेक्टर यू₁ ट्यूब के अक्ष के साथ अंक इसके शीर्ष पर खुलने की ओर इंगित करता है।यह पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली से भी मिलता जुलता है, जहां चंद्रमा हमेशा पृथ्वी पर एक ही अग्रभाग प्रस्तुत करता है। इस उदाहरण में, सदिश इकाई यू₃ एक निश्चित अभिविन्यास को बनाए रखता है, जबकि वैक्टर यू₁, यू₂ निर्देशांक की उत्पत्ति के समान दर पर चक्कर लगाते है। वह है,

$\mathbf {u} _{1}=(-\cos \omega t,\ -\sin \omega t)\ ;\$& nbsp;$\mathbf {u} _{2}=(\sin \omega t,\ -\cos \omega t)\,.$

${\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{1}=\mathbf {\Omega \times u_{1}} =\omega \mathbf {u} _{2}\ ;$& nbsp;$\ {\frac {d}{dt}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {\Omega \times u_{2}} =-\omega \mathbf {u} _{1}\ \ .$

इसलिए, एक गतिमान वस्तु का त्वरण के रूप में व्यक्त किया जाता है (देखें समीकरण 1):

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathbf {x} _{A}}{dt^{2}}}&=\mathbf {a} _{AB}+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ {\frac {d\mathbf {u} _{j}}{dt}}+\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\frac {d^{2}\mathbf {u} _{j}}{dt^{2}}}\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ \sum _{j=1}^{3}v_{j}\ \mathbf {\Omega \times u_{j}} \ +\ \sum _{j=1}^{3}x_{j}\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{j}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times X} _{AB}\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \ +\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\\&=\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)+\mathbf {a} _{B}+2\ {\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{B}\ \,,\end{aligned}}$

जहां कोणीय त्वरण शब्द घूर्णन की निरंतर दर के लिए शून्य है।

क्योंकि पहला पद, जो है

$$\mathbf {\Omega \ \times } \left(\mathbf {\Omega \times } (\mathbf {X} _{AB}+\mathbf {x} _{B})\right)\,,$$

सामान्य केन्द्रापसारक बल अभिव्यक्ति के समान ही रूप का है:

$${\boldsymbol {\Omega }}\times \left({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{B}\right)\,,$$

इस शब्द को ''केंद्रापसारक बल'' कहने के लिए यह मानक शब्दावली का एक प्राकृतिक विस्तार है (हालांकि इस स्थिति के लिए कोई मानक शब्दावली नहीं है)। अपकेंद्रित्र में एक ट्यूब के उदाहरण के लिए इस शब्दावली को लागू करना, यदि ट्यूब घूर्णन के केंद्र से काफी दूर है, तो x |_AB|= R ≫ | 'x'_B|, परीक्षण ट्यूब में सभी स्थिति एक ही त्वरण (एक ही केन्द्रापसारक बल) देखता है। इस प्रकार, इस स्थिति में, काल्पनिक बल मुख्य रूप से ट्यूब के अक्ष के साथ एक समान केन्द्रापसारक बल है, घूर्णन के केंद्र से दूर, एक उत्पत्ति के साथ |_fict|= w² R, जहाँ R अभिकेंद्रित के केंद्र से ट्यूब में स्थिति की दूरी है।यह केन्द्रापसारक बल प्रदान करने की अपनी क्षमता का अनुमान लगाने के लिए अभिकेंद्रित के प्रभावी त्रिज्या का उपयोग करने के लिए एक अपकेंद्रित्र का मानक विनिर्देश है। इस प्रकार, केंद्रापसारक बल का पहला अनुमान घूर्णन के केंद्र से ट्यूबों की दूरी पर आधारित हो सकता है, और यदि आवश्यक हो तो सुधार लागू किया जा सकता है।

इसके अलावा, परखनली ट्यूब की लंबाई की दिशा में गति को सीमित करता है, इसलिए वी_B यू ₁ के विपरीत है और कोरिओलिस बल यू₂ के विपरीत है, यथार्थ ट्यूब की दीवार के विरुद्ध है। यदि ट्यूब लंबे समय तक घुमाया जाता है, तो वेग v_B एक संतुलन वितरण के लिए स्थिति के रूप में शून्य हो जाता है।अधिक जानकारी के लिए, अवसादन और लैम समीकरण पर लेख देखें।

एक संबंधित समस्या पृथ्वी-चांद-सूर्य प्रणाली के लिए केन्द्रापसारक बलों की है, जहां तीन घुमाव दिखाई देते हैं: अपनी धुरी के बारे पृथ्वी का दैनिक घूर्णन, द्रव्यमान के केंद्र के बारे मे पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली के चंद्र-महीने के घूर्णन, और सूर्य के बारे में पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली की वार्षिक परिक्रमण ।ये तीन गतियां ज्वार को प्रभावित करती है।

एक हिंडोला को पार करना

See also: कोरिओलिस बल घूर्णन हिंडोला पर गेंद को उछाला गया

चित्रा 5: हिंडोला के केंद्र से उसके किनारे तक एक निरंतर गति से चलने वाले एक घूर्णन हिंडोला को पार करते हुए, एक सर्पिल को जड़त्वीय फ्रेम में पता लगाया जाता है, जबकि हिंडोला के फ्रेम में एक साधारण सीधा किरण सदृश्य पथ देखा जाता है।

चित्रा 5 एक अन्य उदाहरण दिखाता है जिसमे एक जड़त्वीय प्रेक्षक के प्रेक्षणों की तुलना घूमते हुए हिंडोला पर एक प्रेक्षक के प्रेक्षणों से की जाती है। हिंडोला एक निरंतर कोणीय वेग पर घूमता है, जो वेक्टर Ω द्वारा दर्शाया गया है, जो हिंडोला पर एक अनुवृद्धि एक निरंतर गति से उस पार दीप्तिमान रूप से गति करता है,जो कि चित्रा 5 में 45 ° पर झुका हुआ सीधी रेखा पथ पर प्रतीत होता है। स्थिर पर्यवेक्षक के लिए, हालांकि, संक्रामक एक सर्पिल पथ की यात्रा करता है।चित्र 5 में दोनों रास्तों पर पहचाने गए बिंदु समान समय अंतराल पर एक ही समय के अनुरूप हैं। हम पूछते हैं कि कैसे दो पर्यवेक्षक, एक हिंडोला पर और एक जड़त्वीय फ्रेम में, न्यूटन के नियमों का उपयोग करके जो देखते हैं, उसे तैयार करते हैं।

जड़त्वीय पर्यवे

प्रेक्षक विश्राम की स्थिति मे गति द्वारा अनुसरण किए गए पथ को एक सर्पिल के रूप मे वर्णन करता है।चित्रा 5 में दिखाए गए समन्वय प्रणाली को अपनाते हुए, प्रक्षेपवक्र का वर्णन आर ( टी ) द्वारा किया गया है:

$\mathbf {r} (t)=R(t)\mathbf {u} _{R}={\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R(t)\cos(\omega t+\pi /4)\\R(t)\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}},$

जहां जोड़ा π/4 45 ° पर पथ कोण को सेट करने के लिए (दिशा का एक मनमाना विकल्प), यू _R रेडियल दिशा में एक सदिश इकाई है जो उस समय टी में हिंडोला के केंद्र से संक्रामक की ओर इंगित करता है।रेडियल दूरी आर (टी) के अनुसार समय के साथ लगातार बढ़ता है:

$R(t)=st,$

चलने की गति के साथ सरल गतिकी के अनुसार, वेग तब प्रक्षेपवक्र का पहला व्युत्पन्न है:

${\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&={\frac {dR}{dt}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+\omega R(t){\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&={\frac {dR}{dt}}\mathbf {u} _{R}+\omega R(t)\mathbf {u} _{\theta },\end{aligned}}$

यू_θ के लिए एक इकाई वेक्टर लंबवत_R समय पर टी (जैसा कि यह ध्यान दिया जा सकता है कि रेडियल सदिश के साथ सदिश डॉट उत्पाद शून्य है) और यात्रा की दिशा में इंगित करता है।

त्वरण वेग का पहला व्युत्पन्न है:

${\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&={\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}{\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}+2{\frac {dR}{dt}}\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\omega {\begin{bmatrix}-\sin(\omega t+\pi /4)\\\cos(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}-\omega ^{2}R(t){\begin{bmatrix}\cos(\omega t+\pi /4)\\\sin(\omega t+\pi /4)\end{bmatrix}}\\&=2s\ \omega \ \mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}R(t)\ \mathbf {u} _{R}\,.\end{aligned}}$

त्वरण में अंतिम शब्द परिमाण के अंदर की ओर त्रिज्या w² r है, जो इसलिए परिपत्र गति का तात्कालिक अभिकेन्द्रीय त्वरण है। पहला शब्द रेडियल दिशा के लंबवत है, और यात्रा की दिशा में इंगित करता है।इसका परिमाण 2sw है, और यह संक्रामकके त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि हिंडोला के किनारा निकट है, और एक निश्चित समय में यात्रा किए गए वृत्त के चाप को बढ़ता है, जैसा कि समान समय चरणों के लिए बिंदुओं के बीच बढ़े हुए रिक्ति द्वारा देखा जा सकता है।चित्रा 5 में सर्पिल के रूप में हिंडोला के बाहरी किनारे से संपर्क किया जाता है।

न्यूटन के नियमों को लागू करते हुए, संक्रामक के द्रव्यमान द्वारा त्वरण को गुणा करते हुए, जड़त्वीय पर्यवेक्षक ने निष्कर्ष निकाला कि संक्रामक दो बलों के अधीन है: आंतरिक रेडियल निर्देशित केंद्रापसारक बल और एक अन्य बल रेडियल दिशा के लिए लंबवत है जो संक्रामक की गति के लिए आनुपातिक है।

घूर्णन पर्यवेक्षक

घूर्णन पर्यवेक्षक देखता है, कि संक्रामक हिंडोला के केंद्र से परिधि तक एक सीधी रेखा की यात्रा करता है, जैसा कि चित्र 5 में दिखाया गया है। इसके अलावा, घूर्णन पर्यवेक्षक देखता है कि संक्रामक उसी दिशा में एक स्थिर गति से चलता है, इसलिए न्यूटन के नियम को लागू करना जड़ता , संक्रामक पर शून्य बल है।ये निष्कर्ष जड़त्वीय पर्यवेक्षक से सहमत नहीं हैं। सहमति प्राप्त करने के लिए, घूर्णन पर्यवेक्षक को काल्पनिक बलों को पेश करना होता है जो घूर्णन संसार में सम्मिलित दिखाई देते हैं, भले ही उनके लिए कोई स्पष्ट कारण न हो, कोई स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान, विद्युत आवेश या आपके पास क्या है, जो इन काल्पनिक बलों के लिए जिम्मेदार हैं।

जड़त्वीय पर्यवेक्षक के साथ सहमत होने के लिए, संक्रामक पर लागू बलों को ठीक ऊपर पाया जाना चाहिए। वे पहले से प्राप्त सामान्य सूत्रों से संबंधित हो सकते हैं, अर्थात्:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {B} }-m{\boldsymbol {\Omega }}\times ({\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} })-m{\frac {d{\boldsymbol {\Omega }}}{dt}}\times \mathbf {x} _{\mathrm {B} }.$

इस उदाहरण में, घूर्णन फ्रेम में देखा गया वेग है:

$\mathbf {v} _{\mathrm {B} }=s\mathbf {u} _{R},$

u_R रेडियल दिशा में एक इकाई सदिश हिंडोला पर देखे गये संक्रामक की स्थिति है:

$\mathbf {x} _{\mathrm {B} }=R(t)\mathbf {u} _{R},$

और ω का समय व्युत्पन्न समान कोणीय घूर्णन के लिए शून्य है।उस पर ध्यान देना

${\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{R}=\omega \mathbf {u} _{\theta }$

तथा

${\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {u} _{\theta }=-\omega \mathbf {u} _{R}\,,$

हम देखतें है:

$\mathbf {F} _{\mathrm {fict} }=-2m\omega s\mathbf {u} _{\theta }+m\omega ^{2}R(t)\mathbf {u} _{R}.$

घूर्णन दुनिया में एक सीधी-रेखा गति प्राप्त करने के लिए, काल्पनिक बल के संकेत में बिल्कुल विपरीत एक बल को संक्रामक पर शुद्ध बल को शून्य करने के लिए लागू किया जाना चाहिए, इसलिए न्यूटन का जड़ता का नियम एक सीधी रेखा गति की भविष्यवाणी करेगा, सहमति मे घूर्णन पर्यवेक्षक जो देखता है। जो काल्पनिक बलों का विरोध किया जाना चाहिए वह है कोरिओलिस बल (पहला शब्द) और केन्द्रापसारक बल (दूसरा शब्द)।(ये शर्तें अनुमानित हैं।) इन दो काल्पनिक बलों का विरोध करने के लिए बलों को लागू करके, घूर्णन पर्यवेक्षक संक्रामक पर ठीक उसी बलों को लागू करता है जो कि जड़ता द्वारा भविष्यवाणी की गई जड़त्वीय पर्यवेक्षक की आवश्यकता थी।

क्योंकि वे केवल लगातार चलने वाले वेग से भिन्न होते हैं, चलने वाले और घूर्णी पर्यवेक्षक समान त्वरण देखते हैं। चलने वाले के दृष्टिकोण से, काल्पनिक बल को वास्तविक के रूप में अनुभव किया जाता है, और इस बल का विरोध करना एक सीधी रेखा वाले रेडियल पथ पर स्थिर गति रखने के लिए आवश्यक है। यह हिंडोला के किनारे पर फेंके जाने के दौरान एक तिरछी हवा से संघर्ष जैसा है।

अवलोकन

ध्यान दें कि यह गतिकी चर्चा उस तंत्र में नहीं है जिसके द्वारा आवश्यक बल उत्पन्न होते हैं। यह गतिकी का विषय है। हिंडोला के स्थिति में, गतिज चर्चा में शायद चलने वाले के जूते और घर्षण का एक अध्ययन सम्मिलित होगा, जो उन्हें हिंडोला के फर्श का विरोध उत्पन्न करने की आवश्यकता होती है, या शायद स्केटबोर्ड की गतिशीलता सम्मिलित होगी यदि चलने वाला स्केटबोर्ड द्वारा यात्रा करने के लिए बदलाव करता है। हिंडोला में यात्रा के साधन जो भी हो, ऊपर गणना की गई बलों को संपादित किया जाना चाहिए। एक अपरिष्कृत सादृश्य आपके घर को गर्म कर रहा है: आपके पास आरामदायक होने के लिए एक निश्चित तापमान होना चाहिए, लेकिन चाहे आप गैस जलाकर या कोयले को जलाना एक और समस्या है। शुद्ध गति विज्ञान तापापेक्षी अवस्था स्थापित करता है, किनेटिक भट्ठी को आग लगाता है।

यह भी देखें

• न्यूटन के गति के नियम
• जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम
• गैर-आंतरिक संदर्भ फ्रेम
• रोटेटिंग रेफरेंस फ्रेम
• कोरिओलिस बल
• केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक)
• गुरुत्वाकर्षण
• सामान्य सापेक्षता
• D'Alembert का निष्क्रिय ताकतों का सिद्धांत
• केन्द्राभिमुख शक्ति
• घूर्नन गति
• एकसमान वृत्तीय गति
• स्थिति-विज्ञान
• कैनेटीक्स (भौतिकी)
• गतिकी
• लागू यांत्रिकी
• विश्लेषणात्मक यांत्रिकी
• गतिशीलता (भौतिकी)
• शास्त्रीय यांत्रिकी
• सामान्यीकृत बल
• मुक्त गति समीकरण
• ऑर्थोगोनल निर्देशांक
• Curvilinear निर्देशांक
• सामान्यीकृत निर्देशांक
• फ्रेनेट -सेरेट सूत्र

अग्रिम पठन

• Lev D. Landau and E. M. Lifshitz (1976). Mechanics. Course of Theoretical Physics. Vol. 1 (3rd ed.). Butterworth-Heinenan. pp. 128–130. ISBN 0-7506-2896-0.
• Keith Symon (1971). Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7.
• Jerry B. Marion (1970). Classical Dynamics of Particles and Systems. Academic Press. ISBN 0-12-472252-0.
• Marcel J. Sidi (1997). Spacecraft Dynamics and Control: A Practical Engineering Approach. Cambridge University Press. Chapter 4.8. ISBN 0-521-78780-7.

बाहरी संबंध

• Q and A from Richard C. Brill, Honolulu Community College
• NASA's David Stern: Lesson Plans for Teachers #23 on Inertial Forces
• Coriolis Force
• Motion over a flat surface Java physlet by Brian Fiedler illustrating fictitious forces. The physlet shows both the perspective as seen from a rotating and from a non-rotating point of view.
• Motion over a parabolic surface Java physlet by Brian Fiedler illustrating fictitious forces. The physlet shows both the perspective as seen from a rotating and as seen from a non-rotating point of view.