एहरनफेस्ट प्रमेय

एहरनफेस्ट प्रमेय, जिसका नाम ऑस्ट्रियाई सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी पॉल एरेनफेस्ट के नाम पर रखा गया है, स्थिति और गति संचालकों x और p के अपेक्षा मानों के समय व्युत्पन्न को अपेक्षा मान से जोड़ता है। बल $F=-V'(x)$ अदिश विभव में गतिमान विशाल कण पर $V(x)$है।

$m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\;\;{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(x)\right\rangle ~.$

एरेनफेस्ट प्रमेय किसी भी क्वांटम यांत्रिकी ऑपरेटर (भौतिकी) की अपेक्षा और सिस्टम के हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के साथ उस ऑपरेटर के कम्यूटेटर की अपेक्षा के मध्य अधिक सामान्य संबंध की विशेष स्थिति है

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,$

जहां A कुछ क्वांटम मैकेनिकल ऑपरेटर है और ⟨A⟩ इसका अपेक्षित मान है।

यह क्वांटम यांत्रिकी के हाइजेनबर्ग चित्र में सबसे अधिक स्पष्ट है, जहां यह गति के हाइजेनबर्ग समीकरण के अपेक्षित मान के समान है। यह समानता सिद्धांत को गणितीय समर्थन प्रदान करता है।

इसका कारण यह है कि एरेनफेस्ट का प्रमेय हैमिल्टनियन यांत्रिकी के लिउविले के प्रमेय से निकटता से संबंधित है। लिउविले का हैमिल्टनियन यांत्रिकी का प्रमेय, जिसमें कम्यूटेटर के अतिरिक्त पॉइसन ब्रैकेट सम्मिलित है। डिराक के अंगूठे के नियम से ज्ञात होता है कि क्वांटम यांत्रिकी में कथन जिसमें कम्यूटेटर होता है, शास्त्रीय यांत्रिकी में कथनों के अनुरूप होता है जहां कम्यूटेटर को iħ से गुणा किए गए पॉइसन ब्रैकेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह ऑपरेटर अपेक्षा मानों को गति के संबंधित शास्त्रीय समीकरणों का पालन करता है, किन्तु हैमिल्टनियन निर्देशांक और संवेग में अधिकतम द्विघात हो। अन्यथा, क्रमागत समीकरण अभी भी मोयल ब्रैकेट को धारण कर सकते हैं, किन्तु उतार-चढ़ाव छोटा हो।

शास्त्रीय भौतिकी से संबंध

चूँकि, प्रथम बार में, ऐसा लग सकता है कि एरेनफेस्ट प्रमेय कह रहा है कि क्वांटम यांत्रिक अपेक्षा मान न्यूटन की गति के शास्त्रीय समीकरणों का पालन करते हैं, वास्तव में ऐसा नहीं है। यदि युग्म $(\langle x\rangle ,\langle p\rangle )$ न्यूटन के दूसरे नियम को संतुष्ट करने के लिए, दूसरे समीकरण का दाहिना भाग होना चाहिए।

$$-V'\left(\left\langle x\right\rangle \right),$$

जो सामान्यतः वैसा नहीं है;

$$-\left\langle V'(x)\right\rangle .$$

यदि उदाहरण के लिए, क्षमता $V(x)$ घन है, (अर्थात $x^{3}$ के समानुपाती है), तब $V'$ द्विघात $x^{2}$ के (आनुपातिक) है)। इसका तात्पर्य है, न्यूटन के दूसरे नियम की स्थिति में $\langle x\rangle ^{2}$ दाईं ओर का रूप होगा, जबकि एहरनफेस्ट प्रमेय में यह $\langle x^{2}\rangle$ के रूप में है। इन दोनों मात्राओं के मध्य का अंतर अनिश्चितता का वर्ग है और $x$ इसलिए शून्येतर है।

अपवाद उस स्थिति में होता है जब गति के शास्त्रीय समीकरण रैखिक होते हैं, अर्थात जब $V$ द्विघात है और $V'$ रैखिक है। उस विशेष स्थिति में, $V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)$ और $\left\langle V'(x)\right\rangle$ सहमत है। इस प्रकार, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर की स्थिति में, अपेक्षित स्थिति और अपेक्षित गति शास्त्रीय प्रक्षेपवक्र का पालन करती है।

सामान्य प्रणालियों के लिए, यदि तरंग फलन बिंदु $x_{0}$ के आसपास अत्यधिक केंद्रित है, तब $V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)$ और $\left\langle V'(x)\right\rangle$ लगभग समान होंगे, क्योंकि $V'(x_{0})$ दोनों लगभग समान होंगे। उस स्थिति में, अपेक्षित स्थिति और अपेक्षित गति लगभग शास्त्रीय प्रक्षेपवक्र का पालन करेगी, कम से कम तब तक जब तक तरंग फलन स्थिति में स्थानीयकृत रहता है।

श्रोडिंगर चित्र में व्युत्पत्ति

मान लीजिए कि कोई प्रणाली वर्तमान में क्वांटम अवस्था Φ में है। यदि हम A, के अपेक्षा मान का तात्कालिक समय व्युत्पन्न जानना चाहते हैं, अर्थात्, परिभाषा के अनुसार इस प्रकार है;

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi \,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\end{aligned}}$$

जहां हम संपूर्ण स्थान पर एकीकरण कर रहे हैं। यदि हम श्रोडिंगर समीकरण प्रस्तावित करते हैं, तो हम पाते हैं;

$${\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi$$

जटिल संयुग्म को लेने पर हम पाते हैं;

$${\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.$$

टिप्पणी H = H ^∗, क्योंकि हैमिल्टनियन हर्मिटियन है। इसे उपरोक्त समीकरण में रखने पर हमें प्राप्त होता है;

$${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .$$

प्रायः (किन्तु सदैव नहीं) ऑपरेटर A समय-स्वतंत्र है जिससे कि इसका व्युत्पन्न शून्य हो और हम अंतिम पद को अनदेखा कर सकें।

हाइजेनबर्ग चित्र में व्युत्पत्ति

हाइजेनबर्ग चित्र में, व्युत्पत्ति सीधी है। हाइजेनबर्ग चित्र सिस्टम की समय निर्भरता को अवस्था सदिश के अतिरिक्त गति के हाइजेनबर्ग समीकरण से प्रारंभ करते हुए ऑपरेटरों पर ले जाता है।

$${\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],$$

एरेनफेस्ट का प्रमेय केवल हाइजेनबर्ग समीकरण को प्रक्षेपित करने पर आधारित है $|\Psi \rangle$ दाईं ओर से और $\langle \Psi |$ बाएँ से, या अपेक्षा मान ले रहे हैं, इसलिए;

$$\left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle ,$$

कोई खींच सकता है d/dt प्रथम पद से बाहर, चूँकि हाइजेनबर्ग चित्र में अवस्था सदिश अब समय पर निर्भर नहीं हैं। इसलिए,

$${\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle .$$

सामान्य उदाहरण

किसी विभव में गतिमान विशाल कण के अधिक सामान्य उदाहरण के लिए, हैमिल्टनियन बस है;

$$H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)$$

जहाँ x कण की स्थिति है।

मान लीजिए कि हम संवेग p की अपेक्षा में तात्कालिक परिवर्तन जानना चाहते हैं। एरेनफेस्ट के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है;

$${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,$$

चूंकि ऑपरेटर p स्वयं के साथ आवागमन करता है और समय पर उसकी कोई निर्भरता नहीं है। दायीं ओर का विस्तार करके, p को −iħ∇ से प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है;

$${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.$$

दूसरे पद पर प्रोडक्ट नियम प्रस्तावित करने के पश्चात, हमें प्राप्त होता है;

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle .\end{aligned}}$$

जैसा कि परिचय में बताया गया है, यह परिणाम यह नहीं कहता कि युग्म $(\langle X\rangle ,\langle P\rangle )$ न्यूटन के दूसरे नियम को संतुष्ट करता है, क्योंकि $\langle F(x,t)\rangle ,$ सूत्र का दाहिना भाग है, इसके अतिरिक्त $F(\langle X\rangle ,t)$ है। फिर भी, जैसा कि परिचय में बताया गया है, उन अवस्थाओं के लिए जो स्पेस में अत्यधिक स्थानीयकृत हैं, अपेक्षित स्थिति और गति लगभग शास्त्रीय प्रक्षेपवक्र का पालन करेगी, जिसे समानता सिद्धांत के उदाहरण के रूप में समझा जा सकता है।

इसी प्रकार, हम स्थिति अपेक्षा मान में तात्कालिक परिवर्तन प्राप्त कर सकते हैं।

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}$$

यह परिणाम वास्तव में शास्त्रीय समीकरण के अनुरूप है।

एरेनफेस्ट प्रमेय से श्रोडिंगर समीकरण की व्युत्पत्ति

यह ऊपर स्थापित किया गया था कि एरेनफेस्ट प्रमेय श्रोडिंगर समीकरण के परिणाम हैं। चूँकि, इसका विपरीत भी सत्य है: श्रोडिंगर समीकरण का अनुमान एरेनफेस्ट प्रमेयों से लगाया जा सकता है। इस प्रकार प्रारम्भ करते हैं;

$${\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {x}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle ,\\[5pt]{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|-V'({\hat {x}})\left|\Psi (t)\right\rangle .\end{aligned}}$$

प्रोडक्ट नियम का अनुप्रयोग होता है;

$${\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {x}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {x}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi {\Big |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Big |}\Psi \right\rangle ,\\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {p}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {p}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}$$

यहां, स्टोन के प्रमेय समय अनुवाद के क्वांटम जनरेटर को दर्शाने के लिए Ĥ का उपयोग करते हुए स्टोन के प्रमेय को प्रस्तावित करें। अगला स्टेप यह दिखाना है कि यह क्वांटम यांत्रिकी में उपयोग किए जाने वाले हैमिल्टनियन ऑपरेटर के समान है। स्टोन के प्रमेय का इस प्रकार तात्पर्य है;

$$i\hbar \left|{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ~,$$

जहां ħ को संतुलन आयाम के लिए सामान्यीकरण स्थिरांक के रूप में प्रस्तुत किया गया था। चूँकि ये पहचान किसी भी प्रारंभिक अवस्था के लिए मान्य होनी चाहिए, औसत को विस्थापित किया जा सकता है और Ĥ के लिए कम्यूटेटर समीकरणों की प्रणाली प्राप्त की जा सकती है:

$$im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar V'({\hat {x}}).$$

यह मानते हुए कि निर्देशांक और संवेग के अवलोकन विहित रूपान्तरण संबंध [x̂, p̂] = iħ का पालन करते हैं। सेटिंग ${\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})$, कम्यूटेटर समीकरणों को विभेदक समीकरणों में परिवर्तित किया जा सकता है;

$$m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}=V'(x),$$

जिसका समाधान परिचित हैमिल्टनियन है;

$${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}).$$

जहां से, श्रोडिंगर समीकरण को समन्वय और गति के मध्य विहित कम्यूटेशन संबंध मानकर एरेनफेस्ट प्रमेय से प्राप्त किया गया था। यदि कोई मानता है कि समन्वय और संवेग का आवागमन होता है, तो वही कम्प्यूटेशनल विधि कूपमैन-वॉन न्यूमैन शास्त्रीय यांत्रिकी की ओर ले जाती है, जो शास्त्रीय यांत्रिकी का हिल्बर्ट स्पेस फॉर्मूलेशन है। इसलिए, इस व्युत्पत्ति के साथ-साथ कूपमैन-वॉन न्यूमैन की व्युत्पत्ति से ज्ञात होता है कि क्वांटम और शास्त्रीय यांत्रिकी के मध्य आवश्यक अंतर कम्यूटेटर [x̂, p̂] के मान तक कम हो जाता है। शास्त्रीय रूप से अराजक गतिशीलता वाले सिस्टम के लिए एहरनफेस्ट प्रमेय के निहितार्थ पर स्कॉलरपीडिया लेख Ehrenfest समय और अराजकता पर वर्णन किया गया है। शास्त्रीय प्रक्षेपवक्र की घातीय अस्थिरता के कारण एरेनफेस्ट समय, जिस पर क्वांटम और शास्त्रीय विकास के मध्य पूर्ण समानता होती है, को विशिष्ट क्वांटम संख्या के लघुगणक के आनुपातिक होने के कारण लघुगणकीय रूप से छोटा दिखाया गया है। इंटीग्रेबल डायनेमिक्स की स्थिति में यह समय स्तर क्वांटम संख्या की निश्चित शक्ति के आनुपातिक होने के कारण अधिक बड़ा है।

संदर्भ

• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158