विन्यास समष्टि (गणित)

वृत्त पर बिंदुओं के सभी अव्यवस्थित युग्मों का विन्यास समष्टि मोबियस पट्टी है।

गणित में, विन्यास समष्टि ऐसा निर्माण है जो भौतिकी में अवस्था समष्टि या चरण समष्टि से निकटता से संबंधित है। भौतिकी में, इनका उपयोग उच्च-आयामी समष्टि में बिंदु के रूप में पूर्ण प्रणाली की स्थिति का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इस प्रकार गणित में, उनका उपयोग टोपोलॉजिकल समष्टि में स्थितियों के लिए बिंदुओं के संग्रह के असाइनमेंट का वर्णन करने के लिए किया जाता है। अधिक विशेष रूप से, गणित में विन्यास समष्टि विभिन्न नॉन-कोलिडिंग कणों के विशेष स्थिति में विन्यास समष्टि (भौतिकी) के विशेष उदाहरण हैं।

परिभाषा

टोपोलॉजिकल समष्टि $X$ और एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, $X^{n}$ को कार्टेशियन टोपोलॉजी से सुसज्जित, $X$ का $n$वां (आदेशित) विन्यास समष्टि $X$ में जोड़ीवार भिन्न-भिन्न बिंदुओं के $n$-टुपल्स का समुच्चय है

$\operatorname {Conf} _{n}(X):=X^{n}\smallsetminus \{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in X^{n}\mid x_{i}=x_{j}\ {\text{ for some }}i\neq j\}.$

यह समष्टि सामान्यतः $X^{n}$ में सम्मिलित होने से सब-समष्टि $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ टोपोलॉजी से संपन्न होता है। इसे कभी-कभी $F(X,n)$ या ${\mathcal {C}}^{n}(X)$ से भी दर्शाया जाता है

$\operatorname {Conf} _{n}(X)$ में बिंदुओं पर सममित समूह $S_{n}$ की स्वाभाविक क्रिया होती है।

${\begin{aligned}S_{n}\times \operatorname {Conf} _{n}(X)&\longrightarrow \operatorname {Conf} _{n}(X)\\(\sigma ,x)&\longmapsto \sigma (x)=(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\ldots ,x_{\sigma (n)}).\end{aligned}}$

यह क्रिया X के nवें अव्यवस्थित विन्यास समष्टि को जन्म देती है,

$\operatorname {UConf} _{n}(X):=\operatorname {Conf} _{n}(X)/S_{n},$

जो उस क्रिया का कक्षीय समष्टि है। अंतर्ज्ञान यह है कि यह क्रिया "बिंदुओं के नाम त्रुटि हो जाती है"। इस प्रकार अव्यवस्थित विन्यास समष्टि को कभी-कभी ${\mathcal {UC}}^{n}(X)$, या $B_{n}(X)$ दर्शाया जाता है। सभी $n$ पर अव्यवस्थित विन्यास रिक्त समष्टि का संग्रह रैन समष्टि है, और एक प्राकृतिक टोपोलॉजी के साथ आता है।

वैकल्पिक सूत्रीकरण

टोपोलॉजिकल समष्टि $X$ और एक परिमित समुच्चय $S$ के लिए, S द्वारा लेबल किए गए कणों के साथ X का विन्यास समष्टि है

$\operatorname {Conf} _{S}(X):=\{f\mid f\colon S\hookrightarrow X{\text{ is injective}}\}.$

इस प्रकार $n\in \mathbb {N}$ के लिए, $\mathbf {n} :=\{1,2,\ldots ,n\}$ को परिभाषित करें। फिर X का nवाँ विन्यास समष्टि है, और इसे केवल $\operatorname {Conf} _{\mathbf {n} }(X)$ से दर्शाया जाता है

उदाहरण

• इस प्रकार $\mathbf {R} ^{2}$ में दो बिंदुओं के क्रमबद्ध विन्यास का समष्टि एक वृत्त के साथ यूक्लिडियन 3-समष्टि के उत्पाद के लिए समरूप है, अर्थात $\operatorname {Conf} _{2}(\mathbf {R} ^{2})\cong \mathbf {R} ^{3}\times S^{1}$।
• इस प्रकार अधिक सामान्यतः, $\mathbf {R} ^{n}$ में दो बिंदुओं का विन्यास समष्टि गोले $S^{n-1}$ के समतुल्य समरूप है
• इस प्रकार $\mathbf {R} ^{2}$ में $n$ बिंदुओं का विन्यास समष्टि nवें ब्रैड समूह का वर्गीकरण समष्टि है (नीचे देखें)।

ब्रैड समूहों से सम्बन्ध

Main article: ब्रैड समूह

इस प्रकार कनेक्टेड टोपोलॉजिकल समष्टि X पर n-स्ट्रैंड ब्रैड समूह है

$B_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(X)),$

इस प्रकार X के nवें अव्यवस्थित विन्यास समष्टि का मूल समूह X पर n-स्ट्रैंड शुद्ध ब्रैड समूह है

$P_{n}(X):=\pi _{1}(\operatorname {Conf} _{n}(X)).$

पहले अध्ययन किए गए ब्रैड समूह आर्टिन ब्रैड समूह $B_{n}\cong \pi _{1}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2}))$ थे। जबकि उपरोक्त परिभाषा वह नहीं है जो एमिल आर्टिन ने दी थी, इस प्रकार एडॉल्फ हर्विट्ज़ ने आर्टिन ब्रैड समूहों को आर्टिन की परिभाषा (1891 में) से अधिक पहले सम्मिश्र विमान के विन्यास समष्टि के मौलिक समूहों के रूप में परिभाषित किया था।

यह इस परिभाषा और इस तथ्य से अनुसरण करता है कि $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ और $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ $K(\pi ,1)$ के ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त समष्टि हैं, जो कि समतल का अव्यवस्थित विन्यास समष्टि है। इस प्रकार आर्टिन ब्रैड समूह के लिए एक वर्गीकरण समष्टि है, और $\operatorname {UConf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ शुद्ध आर्टिन ब्रैड समूह के लिए एक वर्गीकरण समष्टि $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbf {R} ^{2})$ है , जब दोनों को भिन्न-भिन्न समूह माना जाता है।

मैनिफोल्ड्स का विन्यास समष्टि

यदि मूल समष्टि $X$ एक मैनिफोल्ड है तो इसके क्रमबद्ध विन्यास समष्टि $X$ की बलों के विवृत उपसमष्टि हैं और इस प्रकार स्वयं मैनिफोल्ड हैं। इस प्रकार भिन्न-भिन्न अव्यवस्थित बिंदुओं का विन्यास समष्टि भी मैनिफोल्ड है, जबकि आवश्यक नहीं कि भिन्न-भिन्न अव्यवस्थित बिंदुओं का विन्यास समष्टि इसके अतिरिक्त एक कक्षीय है।

इस प्रकार विन्यास समष्टि एक प्रकार का वर्गीकृत समष्टि या (ठीक) मॉड्यूलि समष्टि है। विशेष रूप से, एक सार्वभौमिक बंडल $\pi \colon E_{n}\to C_{n}$ है जो कि सामान्य बंडल $C_{n}\times X\to C_{n}$ का एक सब-बंडल है, और जिसमें है गुण यह है कि प्रत्येक बिंदु $p\in C_{n}$ पर फाइबर, p द्वारा वर्गीकृत $X$ का n अवयव उपसमुच्चय है।

होमोटोपी इनवेरिएंस

होमोटोपी एक प्रकार के विन्यास समष्टि होमोटोपी अपरिवर्तनीय नहीं हैं। उदाहरण के लिए, रिक्त समष्टि $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})$ किसी भी दो भिन्न-भिन्न मानों के लिए समरूप समरूप नहीं हैं इस प्रकार $\mathrm {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{0})$ के लिए रिक्त है, $n\geq 2$ ,$K(\pi ,1)$ प्रकार का एक ईलेनबर्ग-मैकलेन समष्टि $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$ है, और $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{m})$ ,$m\geq 3$ के लिए जुड़ा हुआ है

यह एक रिक्त प्रश्न हुआ करता था कि क्या कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स के उदाहरण थे जो होमोटॉपी एक्विवलेंट थे किन्तु नॉन-होमोटॉपी एक्विवलेंट विन्यास समष्टि थे: इस प्रकार ऐसा उदाहरण केवल 2005 में रिकार्डो लोंगोनी और पाओलो साल्वाटोर द्वारा पाया गया था। इस प्रकार उनके उदाहरण दो त्रि-आयामी लेंस समष्टि और उनमें कम से कम दो बिंदुओं के विन्यास समष्टि हैं। यह विन्यास समष्टि समरूप समतुल्य नहीं हैं, इसका पता मैसी उत्पादों द्वारा उनके संबंधित सार्वभौमिक आवरणों में लगाया गया था। इस प्रकार सरल रूप से जुड़े हुए बंद मैनिफोल्ड के विन्यास समष्टि के लिए होमोटोपी इनवेरिएंस सामान्य रूप से रिक्त रहता है, और इस प्रकार बेस फ़ील्ड $\mathbf {R}$ पर पकड़ बनाए रखने के लिए सिद्ध किया गया है। आयाम कम से कम 4 भी सिद्ध हुआ था।

ग्राफ़ का विन्यास समष्टि

कुछ परिणाम ग्राफ़ (टोपोलॉजी) के विन्यास समष्टि के लिए विशेष हैं। इस प्रकार यह समस्या रोबोटिक्स और मोशन प्लानिंग से संबंधित हो सकती है: कोई विभिन्न रोबोटों को पटरियों पर रखने और उन्हें कोलिसन के बिना विभिन्न स्थितियों में ले जाने के लिए प्रयास करने की कल्पना कर सकता है। इस प्रकार ट्रैक ग्राफ़ के किनारों से मेल खाते हैं, रोबोट कणों से मेल खाते हैं, और सफल नेविगेशन उस ग्राफ़ के विन्यास समष्टि में पथ से मेल खाता है।

किसी भी ग्राफ़ के लिए $\Gamma$, $\operatorname {Conf} _{n}(\Gamma )$ $K(\pi ,1)$ प्रकार का एक ईलेनबर्ग-मैकलेन समष्टि है और सशक्त विरूपण आयाम के सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स $b(\Gamma )$ में वापस आ जाता है। जहां $b(\Gamma )$ डिग्री के शीर्षों की संख्या कम से कम 3 है। इसके अतिरिक्त, विरूपण अधिकतम आयाम के गैर-धनात्मक रूप से वृत्ताकार क्यूबिकल परिसरों $\min(n,b(\Gamma ))$ में वापस आ जाता है।

मैकेनिकल लिंकेज का विन्यास समष्टि

एक मैकेनिकल लिंकेज के विन्यास समष्टि को ग्राफ़ $\Gamma$ के साथ इसकी अंतर्निहित ज्यामिति को भी परिभाषित करता है। इस तरह के ग्राफ को सामान्यतः कठोर छड़ों और अनवरत के संयोजन के रूप में निर्मित माना जाता है। इस तरह के लिंकेज के विन्यास समष्टि को उचित मीट्रिक से सुसज्जित यूक्लिडियन समष्टि में इसके सभी स्वीकार्य पदों की समग्रता के रूप में परिभाषित किया गया है। जेनेरिक लिंकेज का विन्यास समष्टि एक स्मूथ मैनिफोल्ड है, उदाहरण के लिए, उल्टे जोड़ों से जुड़े $n$ कठोर छड़ों से बने समान प्लेनर लिंकेज के लिए, विन्यास समष्टि $n$-टोरस $T^{n}$ है। इस प्रकार ऐसे विन्यास समष्टि में सबसे सरल विलक्षणता बिंदु एक यूक्लिडियन समष्टि द्वारा एक सजातीय द्विघात हाइपरसर्फेस पर एक शंकु का उत्पाद है। इस प्रकार लिंकेज के लिए ऐसा एक विलक्षणता बिंदु उभरता है जिसे दो सब-लिंकेज में विभाजित किया जा सकता है जैसे कि उनके संबंधित समापन बिंदु ट्रेस-पथ एक गैर-अनुप्रस्थ विधि से प्रतिच्छेद करते हैं, उदाहरण के लिए लिंकेज जिसे संरेखित किया जा सकता है (अर्थात पूर्ण रूप से एक पंक्ति में मोड़ा जा सकता है)।

संघनन

इस प्रकार विन्यास समष्टि $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ भिन्न-भिन्न बिंदुओं का नॉन-कॉम्पैक्ट होता है, जिसके शीर्ष वहां होते हैं जहां बिंदु एक-दूसरे के निकट आते हैं (संगामी हो जाते हैं)। विभिन्न ज्यामितीय अनुप्रयोगों के लिए कॉम्पैक्ट समष्टि की आवश्यकता होती है, इसलिए कोई कॉम्पैक्ट (गणित) $\operatorname {Conf} _{n}(X)$ करना चाहेगा अर्थात, इस प्रकार इसे उपयुक्त गुणों के साथ कॉम्पैक्ट समष्टि के विवृत उपसमुच्चय के रूप में एम्बेड करें। इस समस्या के लिए दृष्टिकोण राउल बॉट और क्लिफोर्ड टौब्स द्वारा साथ ही विलियम फुल्टन (गणितज्ञ) और रॉबर्ट मैकफरसन (गणितज्ञ) द्वारा दिए गए हैं, ।

यह भी देखें

• विन्यास समष्टि (भौतिकी)
• स्टेट समष्टि (भौतिकी)