मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े: Difference between revisions

Latest revision as of 21:57, 5 December 2023

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों का उपयोग एक आदर्श गैस में कण गति के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। दिखाया गया: -100, 20 और 600 डिग्री सेल्सियस पर 10⁶ऑक्सीजन कणों के लिए कण गति का वितरण।

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े ऊष्मीय संतुलन में विभिन्न ऊर्जा अवस्थाओं पर शास्त्रीय भौतिकी पदार्थ कणों के वितरण का वर्णन करते हैं। यह तब लागू होता है जब तापमान अत्यधिक अधिक होता है या कण घनत्व इतना कम होता है कि क्वांटम प्रभाव नगण्य हो जाता है।

इस प्रकार से मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों के लिए ऊर्जा $\varepsilon _{i}$ वाले कणों की अपेक्षित संख्या

\langle N_{i}\rangle ={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {N}{Z}}\,g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT},

है, जहां:

$\varepsilon _{i}$ i-वें ऊर्जा स्तर की ऊर्जा है,
$\langle N_{i}\rangle$ $\varepsilon _{i}$ ऊर्जा वाले अवस्थाओं के समुच्चय में कणों की औसत संख्या है,
$g_{i}$ ऊर्जा स्तर i का अपक्षयी ऊर्जा स्तर है, अर्थात, ऊर्जा वाले अवस्थाओं की संख्या $\varepsilon _{i}$ जिन्हें फिर भी किसी अन्य माध्यम से एक दूसरे से अलग किया जा सकता है,^{[nb 1]}
μ रासायनिक क्षमता है,
k बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,
T पूर्ण तापमान है,
N कणों की कुल संख्या है: $N=\sum _{i}N_{i},$
Z विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है: $Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT},$
e, E (गणितीय स्थिरांक) या यूलर की संख्या है

समान रूप से, कणों की संख्या को कभी-कभी

\langle N_{i}\rangle ={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {N}{Z}}\,e^{-\varepsilon _{i}/kT},

के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां सूचकांक अब ऊर्जा $\varepsilon _{i}$ , और ${\textstyle Z=\sum _{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}}$ वाले सभी अवस्थाओं के समुच्चय के अतिरिक्त एक विशेष अवस्था को पूर्ण रूप से निर्दिष्ट करता है।

इतिहास

अतः मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण से विकसित हुए, संभवतः अंतर्निहित तकनीक के आसवन के रूप में है। इस प्रकार से वितरण प्रथतमतः मैक्सवेल द्वारा 1860 में अनुमान के आधार पर पूर्ण रूप से निकाला गया था। बोल्ट्ज़मैन ने बाद में, 1870 के दशक में, इस वितरण की भौतिक उत्पत्ति की महत्वपूर्ण जांच की थी। वितरण इस आधार पर प्राप्त किया जा सकता है कि यह निकाय की एन्ट्रापी को अधिकतम करता है।

प्रयोज्यता

तीन आँकड़ों के लिए भू स्थिति की औसत अधिभोग की तुलना

अतः मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी का उपयोग किसी आदर्श गैस के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जाता है। यद्यपि, इसका उपयोग उस वितरण को भिन्न ऊर्जा-संवेग संबंध वाले कणों तक विस्तारित करने के लिए भी किया जा सकता है, जैसे कि सापेक्ष कण (जिसके परिणामस्वरूप मैक्सवेल-जुटनर वितरण होता है), और त्रि-आयामी स्थानों के अतिरिक्त अन्य।

इस प्रकार से मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी को प्रायः विशिष्ट शास्त्रीय कणों के आंकड़ों के रूप में वर्णित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, अवस्था 1 में कण A और अवस्था 2 में कण B का विन्यास उस स्थिति से भिन्न है जिसमें कण B अवस्था 1 में है और कण A अवस्था 2 में है। यह धारणा उचित (बोल्ट्ज़मैन) आँकड़ों की ओर ले जाती है ऊर्जा अवस्थाओं में कण, परंतु एन्ट्रापी के लिए गैर-भौतिक परिणाम देते हैं, जैसा कि गिब्स विरोधाभास में पूर्ण रूप से सन्निहित है।

साथ ही, ऐसे कोई वास्तविक कण नहीं हैं जिनमें मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के लिए आवश्यक विशेषताएं हों। वस्तुतः, गिब्स विरोधाभास हल हो जाता है यदि हम निश्चित प्रकार के सभी कणों (जैसे, इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, आदि) को मुख्य रूप से अप्रभेद्य मानते हैं। एक बार जब यह धारणा बन जाती है, तो कण आँकड़े बदल जाते हैं। इसी प्रकार से मिश्रण उदाहरण की एन्ट्रापी में परिवर्तन को दो प्रकार के मिश्रित कणों की भिन्नता के परिणामस्वरूप होने वाली गैर-व्यापक एन्ट्रापी के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।

अतः क्वांटम कण या तो बोसोन (बोस-आइंस्टीन आंकड़ों के अनुसार) या फर्मियन (पाउली अपवर्जन सिद्धांत के अंतर्गत, इसके अतिरिक्त फर्मी-डिराक आंकड़ों) हैं। ये दोनों क्वांटम आँकड़े उच्च तापमान और कम कण घनत्व की सीमा में मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों के निकट पहुँचते हैं।

व्युत्पत्तियाँ

इस प्रकार से मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े विभिन्न सांख्यिकीय यांत्रिकी ऊष्मागतिक समूहों में पूर्ण रूप से प्राप्त किए जा सकते हैं:^[1]

निश्चित भव्य विहित समुच्चय।
विहित समुच्चय, निश्चित।
सूक्ष्मविहित समुच्चय, परंतु मात्र ऊष्मागतिक सीमा में।

अतः प्रत्येक स्थिति में यह मानना आवश्यक है कि कण गैर-अंतःक्रिया कर रहे हैं, और कई कण ही स्थिति में रह सकते हैं और स्वतंत्र रूप से ऐसा कर सकते हैं।

सूक्ष्मविहित समुच्चय से व्युत्पत्ति

मान लीजिए कि हमारे निकट पात्र है जिसमें समान भौतिक विशेषताओं (जैसे द्रव्यमान, आवेश, आदि) वाले बहुत छोटे कणों की बड़ी संख्या है। आइए इसे निकाय के रूप में देखें। अतः मान लें कि यद्यपि कणों के गुण समान हैं, फिर भी वे भिन्न हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, हम प्रत्येक कण की पहचान उनके प्रक्षेपपथों को निरंतर देखकर, या प्रत्येक पर चिन्ह लगाकर कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रत्येक पर अलग संख्या खींचना, जैसा कि प्रचयन गेंदों के साथ किया जाता है।

अतः कण उस पात्र के भीतर सभी दिशाओं में बड़ी तीव्रता से घूम रहे हैं। क्योंकि कण तीव्रता से घूम रहे हैं, उनमें कुछ ऊर्जा होती है। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण गणितीय फलन है जो बताता है कि पात्र में कितने कणों में निश्चित ऊर्जा है। अधिक यथार्थ रूप से, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण गैर-सामान्यीकृत संभाव्यता देता है (इसका अर्थ है कि संभावनाएं 1 तक नहीं जुड़ती हैं) कि विशेष ऊर्जा के अनुरूप अवस्था पर पूर्ण रूप से अधिकृत कर लिया गया है।

सामान्यतः, समान मात्रा में ऊर्जा $\varepsilon$ वाले कई कण हो सकते हैं। मान लीजिए समान ऊर्जा वाले कणों की संख्या $\varepsilon _{1}$ $N_{1}$ है, अन्य ऊर्जा वाले कणों की संख्या $\varepsilon _{2}$ $N_{2}$ है, और इसी प्रकार सभी संभावित ऊर्जाओं $\{\varepsilon _{i}\mid i=1,2,3,\ldots \}$ के लिए है। इस स्थिति का वर्णन करने के लिए, हम कहते हैं कि $N_{i}$ ऊर्जा स्तर $i$ की अधिष्ठान संख्या है। यदि हमें सभी अधिष्ठान संख्याएँ $\{N_{i}\mid i=1,2,3,\ldots \}$ ज्ञात हैं, तब हमें निकाय की कुल ऊर्जा ज्ञात होती है। यद्यपि, क्योंकि हम यह अंतर कर सकते हैं कि कौन से कण प्रत्येक ऊर्जा स्तर पर अधिकृत कर रहे हैं, अधिष्ठान संख्याओं $\{N_{i}\mid i=1,2,3,\ldots \}$ का समुच्चय निकाय की स्थिति का पूर्ण रूप से वर्णन नहीं करता है। निकाय की स्थिति, या सूक्ष्म अवस्था का पूर्ण रूप से वर्णन करने के लिए, हमें यह निर्दिष्ट करना होगा कि प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कौन से कण हैं। इस प्रकार जब हम निकाय के संभावित अवस्थाओं की संख्या की गणना करते हैं, तो हमें प्रत्येक सूक्ष्म अवस्था की गणना करनी चाहिए, न कि मात्र अधिष्ठान संख्याओं के संभावित समुच्चयों की।

आरंभ करने के लिए, मान लें कि प्रत्येक ऊर्जा स्तर $i$ पर मात्र एक ही अवस्था (कोई पतन नहीं है) है। इसके पश्चात जो कुछ होता है वह कुछ संयुक्त सोच है जिसका कणों के भंडार का यथार्थ वर्णन करने में बहुत कम योगदान है। उदाहरण के लिए, मान लें कि $a,b,\ldots ,k$ लेबल वाले कुल $k$ बक्से हैं। संयोजन की अवधारणा के साथ, हम गणना कर सकते हैं कि बक्से के समूह में $N$ को व्यवस्थित करने के कितनी विधियाँ हैं, जहां प्रत्येक बक्से के भीतर गेंदों के क्रम को ट्रैक नहीं किया जाता है। सर्वप्रथम, हम कुल $N$ गेंदों में से $N_{a}$ गेंदों को बक्से $a$ , में रखने के लिए चुनते हैं, और शेष गेंदों में से प्रत्येक बक्से के लिए चयन करना जारी रखते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रत्येक गेंद को किसी एक बक्से में रखा जाता है। गेंदों को व्यवस्थित करने की विधियों की कुल संख्या

{\begin{aligned}W&={\frac {N!}{N_{a}!{\cancel {(N-N_{a})!}}}}\times {\frac {\cancel {(N-N_{a})!}}{N_{b}!{\cancel {(N-N_{a}-N_{b})!}}}}\times {\frac {\cancel {(N-N_{a}-N_{b})!}}{N_{c}!{\cancel {(N-N_{a}-N_{b}-N_{c})!}}}}\times \cdots \times {\frac {\cancel {(N-\cdots -N_{\ell })!}}{N_{k}!(N-\cdots -N_{\ell }-N_{k})!}}\\[8pt]&={\frac {N!}{N_{a}!N_{b}!N_{c}!\cdots N_{k}!(N-N_{a}-\cdots -N_{\ell }-N_{k})!}}\end{aligned}}

है। चूँकि प्रत्येक गेंद को एक बक्से में रखा गया है, $(N-N_{a}-N_{b}-\cdots -N_{k})!=0!=1$ , और हम अभिव्यक्ति को

W=N!\prod _{\ell =a,b,\ldots }^{k}{\frac {1}{N_{\ell }!}}

के रूप में सरल बनाते हैं।

यह मात्र बहुपद गुणांक है, N वस्तुओं को k बक्से में व्यवस्थित करने की विधियों की संख्या, l-वें बक्से में N_l वस्तु हैं, प्रत्येक बक्से में वस्तु के क्रमपरिवर्तन को अनदेखा किया गया है।

अब, उस स्थिति पर विचार करें जहां बक्से $i$ में $N_{i}$ कणों को रखने की एक से अधिक विधि है (अर्थात अपक्षय समस्या को ध्यान में रखते हुए)। यदि $i$ -वें बक्से में $g_{i}$ की "अक्षमता" है, अर्थात इसमें समान ऊर्जा $\varepsilon _{i}$ वाले $g_{i}$ उप-बक्से ( $g_{i}$ बक्से हैं। समान ऊर्जा वाली इन अवस्थाओं/बक्सों को पतित अवस्थाएँ कहा जाता है।), जैसे कि $i$ -वें बक्से को भरने की कोई भी विधि जहां उप-बक्सों में संख्या बदल जाती है, बक्से को भरने की एक अलग विधि है, फिर यह की संख्या i-वें बक्से को भरने के तरीकों को $g_{i}$ उप-बक्से में $N_{i}$ वस्तुओं को वितरित करने की विधियों की संख्या से बढ़ाया जाना चाहिए। $N_{i}$ अलग-अलग वस्तुओं को $g_{i}$ उप-बक्से में रखने की विधि की संख्या $g_{i}^{N_{i}}$ है (प्रथम वस्तु किसी भी $g_{i}$ बक्से में जा सकती है, दूसरी वस्तु किसी भी $g_{i}$ बक्से में जा सकता है, इत्यादि)। अतः इस प्रकार $W$ विधियों की संख्या जिससे कुल $N$ कणों को उनकी ऊर्जा के अनुसार ऊर्जा स्तरों में वर्गीकृत किया जा सकता है, जबकि प्रत्येक स्तर $i$ में $g_{i}$ अलग-अलग स्थितियाँ होती हैं जैसे कि i-वें स्तर $N_{i}$ कणों को समायोजित करता है:

W=N!\prod _{i}{\frac {g_{i}^{N_{i}}}{N_{i}!}}

यह W का वह रूप है जिसे सर्वप्रथम लुडविग बोल्ट्ज़मान ने व्युत्पन्न किया था। बोल्ट्ज़मैन का मौलिक समीकरण $S=k\,\ln W$ ऊष्मागतिक एन्ट्रॉपी S को सूक्ष्म अवस्था W की संख्या से संबंधित करता है, जहां k बोल्ट्जमैन स्थिरांक है। यद्यपि, जोशिया विलार्ड गिब्स द्वारा यह बताया गया था कि W के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति व्यापक मात्रा में एन्ट्रापी उत्पन्न नहीं करती है, और इसलिए दोषपूर्ण है। इस समस्या को गिब्स विरोधाभास के नाम से जाना जाता है। समस्या यह है कि उपरोक्त समीकरण द्वारा माने गए कण समान कण नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, दो ऊर्जा उपस्तरों में दो कणों (A और B) के लिए [A, B] द्वारा दर्शाई गई जनसंख्या को जनसंख्या [B, A] से अलग माना जाता है, जबकि अविभाज्य कणों के लिए, वे नहीं हैं। यदि हम अविभाज्य कणों के लिए तर्क को आगे बढ़ाते हैं, तो हम W के लिए बोस-आइंस्टीन अभिव्यक्ति की ओर ले जाते हैं:

W=\prod _{i}{\frac {(N_{i}+g_{i}-1)!}{N_{i}!(g_{i}-1)!}}

मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण पूर्ण शून्य से ऊपर के तापमान के लिए इस बोस-आइंस्टीन वितरण का अनुसरण करता है, जिसका अर्थ है कि $g_{i}\gg 1$ । मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण को भी कम घनत्व की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि $g_{i}\gg N_{i}$ । अतः इन प्रतिबंधों के अंतर्गत, हम क्रमगुणित के लिए स्टर्लिंग सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं:

N!\approx N^{N}e^{-N},

लिखने के लिए:

W\approx \prod _{i}{\frac {(N_{i}+g_{i})^{N_{i}+g_{i}}}{N_{i}^{N_{i}}g_{i}^{g_{i}}}}\approx \prod _{i}{\frac {g_{i}^{N_{i}}(1+N_{i}/g_{i})^{g_{i}}}{N_{i}^{N_{i}}}}

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $(1+N_{i}/g_{i})^{g_{i}}\approx e^{N_{i}}$ के लिए $g_{i}\gg N_{i}$ हम फिर से लिखने के लिए स्टर्लिंग के सन्निकटन का पूर्ण रूप से उपयोग कर सकते हैं:

W\approx \prod _{i}{\frac {g_{i}^{N_{i}}}{N_{i}!}}

यह मूलतः N! द्वारा विभाजन है, जों W के लिए बोल्ट्ज़मैन की मूल अभिव्यक्ति, और इस संशोधन को उचित कहा जाता है

हम $N_{i}$ को खोजना चाहते हैं जिसके लिए फलन $W$ को अधिकतम किया गया है, जबकि इस बाधा पर विचार करते हुए कि पात्र में कणों की एक निश्चित संख्या ${\textstyle \left(N=\sum N_{i}\right)}$ और एक निश्चित ऊर्जा ${\textstyle \left(E=\sum N_{i}\varepsilon _{i}\right)}$ है। $W$ और $\ln(W)$ की अधिकतम सीमा $N_{i}$ के समान मानों द्वारा प्राप्त की जाती है और, चूंकि गणितीय रूप से इसे पूर्ण करना सरल है, हम इसके अतिरिक्त बाद वाले फलन को अधिकतम करेंगे। हम फलन बनाने वाले लैग्रेंज गुणक का उपयोग करके अपने हल को पूर्ण रूप से बाधित करते हैं:

f(N_{1},N_{2},\ldots ,N_{n})=\textstyle \ln(W)+\alpha (N-\sum N_{i})+\beta (E-\sum N_{i}\varepsilon _{i})

\ln W=\ln \left[\prod _{i=1}^{n}{\frac {g_{i}^{N_{i}}}{N_{i}!}}\right]\approx \sum _{i=1}^{n}\left(N_{i}\ln g_{i}-N_{i}\ln N_{i}+N_{i}\right)

अंत में

f(N_{1},N_{2},\ldots ,N_{n})=\alpha N+\beta E+\sum _{i=1}^{n}\left(N_{i}\ln g_{i}-N_{i}\ln N_{i}+N_{i}-(\alpha +\beta \varepsilon _{i})N_{i}\right)

अतः उपरोक्त अभिव्यक्ति को अधिकतम करने के लिए हम फ़र्मेट के प्रमेय (स्थिर बिंदु) को पूर्ण रूप से लागू करते हैं, जिसके अनुसार स्थानीय एक्स्ट्रेमा, यदि स्थित है, तो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होना चाहिए (आंशिक व्युत्पन्न लुप्त हो जाते हैं):

{\frac {\partial f}{\partial N_{i}}}=\ln g_{i}-\ln N_{i}-(\alpha +\beta \varepsilon _{i})=0

( $i=1\ldots n$ ) से ऊपर के समीकरणों को हल करके हम $N_{i}$ के लिए एक अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं:

N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}}}

$N_{i}$ के लिए इस अभिव्यक्ति को $\ln W$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने और यह मानने पर कि $N\gg 1$ प्राप्त होता है:

\ln W=(\alpha +1)N+\beta E\,

या, पुनर्व्यवस्थित करते हुए:

E={\frac {\ln W}{\beta }}-{\frac {N}{\beta }}-{\frac {\alpha N}{\beta }}

अतः बोल्ट्ज़मैन ने समझा कि यह ऊष्मागतिक के यूलर-एकीकृत मौलिक समीकरण की अभिव्यक्ति मात्र है। इस प्रकार से E को आंतरिक ऊर्जा के रूप में पहचानते हुए, यूलर-एकीकृत मौलिक समीकरण बताता है कि:

E=TS-PV+\mu N

जहां T तापमान है, P दाब है, V आयतन है, और μ रासायनिक क्षमता है। बोल्ट्ज़मैन का प्रसिद्ध समीकरण $S=k\ln W$ यह समझा है कि एन्ट्रापी $\ln W$ के समानुपाती होती है और आनुपातिकता का स्थिरांक बोल्ट्जमैन स्थिरांक होता है। अतः इस अवस्था के आदर्श गैस समीकरण (PV=NkT) का उपयोग करते हुए, यह तुरंत $\beta =1/kT$ और $\alpha =-\mu /kT$ का अनुसरण करता है ताकि संख्या अब लिखी जा सके:

N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/(kT)}}}

ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र कभी-कभी लिखा जाता है:

N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/kT}/z}}

जहां $z=\exp(\mu /kT)$ पूर्ण गतिविधि (रसायन विज्ञान) है।

वैकल्पिक रूप से, हम जनसंख्या संख्याओं को

$N_{i}=N{\frac {g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}}{Z}}$

के रूप में प्राप्त करने के लिए इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि

\sum _{i}N_{i}=N

जहां Z द्वारा परिभाषित विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है:

Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}

एक सन्निकटन में जहां ε_i को एक सतत चर माना जाता है, थॉमस-फर्मी सन्निकटन एक सतत अध:पतन g उत्पन्न करता है जो ${\sqrt {\varepsilon }}$ के समानुपाती होता है ताकि:

{\frac {{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}{\int _{0}^{\infty }{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}}={\frac {{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}{{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}(kT)^{3/2}}}={\frac {2{\sqrt {\varepsilon }}\,e^{-\varepsilon /kT}}{\sqrt {\pi (kT)^{3}}}}

जो ऊर्जा के लिए मात्र मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण है।

विहित समुच्चय से व्युत्पत्ति

अतः उपरोक्त चर्चा में, निकाय की बहुलताओं का प्रत्यक्ष विश्लेषण करके बोल्ट्ज़मैन वितरण फलन प्राप्त किया गया था। वैकल्पिक रूप से, कोई विहित समुच्चय का उपयोग कर सकता है। इस प्रकार से विहित समूह में, निकाय भंडार के साथ ऊष्मीय संपर्क में है। जबकि ऊर्जा निकाय और भंडार के बीच प्रवाहित होने के लिए स्वतंत्र है, माना जाता है कि संयुक्त प्रणाली के लिए निरंतर तापमान, T बनाए रखने के लिए भंडार में अनंततः बड़ी ताप क्षमता होती है।

वर्तमान संदर्भ में, हमारी प्रणाली में ऊर्जा स्तर $\varepsilon _{i}$ के साथ अध:पतन $g_{i}$ माना जाता है। पहले के जैसे, हम इस संभावना की गणना करना चाहेंगे कि हमारे निकाय में ऊर्जा $\varepsilon _{i}$ है।

यदि हमारा निकाय अवस्था $\;s_{1}$ में है, तो भंडार के लिए समान संख्या में सूक्ष्म अवस्था उपलब्ध होंगे। इस संख्या $\;\Omega _{R}(s_{1})$ से संपर्क करें। इस प्रकार से धारणा के अनुसार, संयुक्त प्रणाली (जिस प्रणाली में हम रुचि रखते हैं और भंडार) पृथक है, इसलिए सभी सूक्ष्म अवस्था समान रूप से संभावित हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि $\;\Omega _{R}(s_{1})=2\;\Omega _{R}(s_{2})$ , तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारा निकाय $\;s_{2}$ की तुलना में $\;s_{1}$ स्थिति में होने की दोगुनी संभावना है। सामान्यतः, यदि $\;P(s_{i})$ संभावना है कि हमारा निकाय $\;s_{i}$ ,

{\frac {P(s_{1})}{P(s_{2})}}={\frac {\Omega _{R}(s_{1})}{\Omega _{R}(s_{2})}}

स्थिति में है।

चूंकि भंडार की एन्ट्रापी $\;S_{R}=k\ln \Omega _{R}$ , उपरोक्त

{\frac {P(s_{1})}{P(s_{2})}}={\frac {e^{S_{R}(s_{1})/k}}{e^{S_{R}(s_{2})/k}}}=e^{(S_{R}(s_{1})-S_{R}(s_{2}))/k}

हो जाती है।

आगे हम ऊष्मागतिक सर्वसमिका (ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से) को याद करते हैं:

dS_{R}={\frac {1}{T}}(dU_{R}+P\,dV_{R}-\mu \,dN_{R})

।

अतः एक विहित समूह में, कणों का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है, इसलिए $dN_{R}$ पद शून्य है। इसी प्रकार, $dV_{R}=0$ । यह पूर्ण रूप से

S_{R}(s_{1})-S_{R}(s_{2})={\frac {1}{T}}(U_{R}(s_{1})-U_{R}(s_{2}))=-{\frac {1}{T}}(E(s_{1})-E(s_{2})),

देता है, जहां $U_{R}(s_{i})$ और $E(s_{i})$ क्रमशः $s_{i}$ पर भंडार और निकाय की ऊर्जा को दर्शाते हैं। दूसरी समानता के लिए हमने ऊर्जा संरक्षण का प्रयोग किया है। $P(s_{1}),\;P(s_{2})$ :

{\frac {P(s_{1})}{P(s_{2})}}={\frac {e^{-E(s_{1})/kT}}{e^{-E(s_{2})/kT}}},

से संबंधित पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने से तात्पर्य है, निकाय

P(s)={\frac {1}{Z}}e^{-E(s)/kT},

के किसी भी अवस्था s 1 के लिए जहां Z कुल संभावना 1 बनाने के लिए उचित रूप से चुना गया "स्थिर" है। (Z स्थिरांक है यद्यपि यह कि तापमान T अपरिवर्तनीय हो।)

Z=\sum _{s}e^{-E(s)/kT},

जहां सूचकांक s निकाय के सभी सूक्ष्म अवस्था से होकर गुजरता है। अतः Z को कभी-कभी बोल्ट्ज़मैन 'सम ओवर स्टेट्स' (या मूल जर्मन में ज़ुस्टैंड्ससुमे) कहा जाता है। यदि हम सभी संभावित अवस्थाओं के अतिरिक्त ऊर्जा आइगेनमानों के माध्यम से योग को अनुक्रमित करते हैं, तो अध: पतन को ध्यान में रखा जाना चाहिए। हमारे निकाय में ऊर्जा होने की संभावना $\varepsilon _{i}$ मात्र सभी संबंधित सूक्ष्म अवस्थाओं की संभावनाओं का योग है:

P(\varepsilon _{i})={\frac {1}{Z}}g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}

जहां, स्पष्ट संशोधन के साथ,

Z=\sum _{j}g_{j}e^{-\varepsilon _{j}/kT},

यह पूर्व जैसा ही परिणाम है।

इस व्युत्पत्ति पर टिप्पणियाँ:

ध्यान दें कि इस सूत्रीकरण में, प्रारंभिक धारणा... मान लीजिए कि निकाय में कुल N कण हैं... जिनको पूर्ण रूप से समाप्त कर दिया गया है। वस्तुतः, निकाय में स्थित कणों की संख्या वितरण पर पहुंचने में कोई भूमिका नहीं निभाती है। जबकि, कितने कण ऊर्जा वाले अवस्थाओं पर अधिकृत करेंगे $\varepsilon _{i}$ एक सरल परिणाम के रूप में अनुसरण करता है।
ऊपर जो प्रस्तुत किया गया है वह मूलतः विहित विभाजन फलन की व्युत्पत्ति है। जैसा कि कोई परिभाषाओं की तुलना करके देख सकता है, अवस्थाओं पर बोल्ट्ज़मैन का योग विहित विभाजन फलन के बराबर है।
निश्चित उसी दृष्टिकोण का उपयोग फर्मी-डिरैक और बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यद्यपि, वहाँ कोई विहित समुच्चय को भव्य विहित समुच्चय से बदल देगा, क्योंकि निकाय और भंडार के बीच कणों का पूर्ण रूप से आदान-प्रदान होता है। साथ ही, उन स्थितियों में जिस प्रणाली पर विचार किया जाता है वह एकल कण अवस्था है, कण नहीं। (उपरोक्त चर्चा में, हम अपने निकाय को एकल परमाणु मान सकते थे।)

यह भी देखें

बोस-आइंस्टीन आँकड़े
फ़र्मी-डिरैक आँकड़े
बोल्ट्ज़मान कारक

संदर्भ

↑ Tolman, R. C. (1938). सांख्यिकीय यांत्रिकी के सिद्धांत. Dover Publications. ISBN 9780486638966.

ग्रन्थसूची

कार्टर, एशले एच., "क्लासिकल एंड स्टैटिस्टिकल थर्मोडायनामिक्स", प्रेंटिस-हॉल, इंक., 2001, न्यू जर्सी।
राज पथरिया, "सांख्यिकीय यांत्रिकी", बटरवर्थ-हेनमैन, 1996।

[1] For example, two simple point particles may have the same energy, but different momentum vectors. They may be distinguished from each other on this basis, and the degeneracy will be the number of possible ways that they can be so distinguished.

[tolman-2] Tolman, R. C. (1938). सांख्यिकीय यांत्रिकी के सिद्धांत. Dover Publications. ISBN 9780486638966.

[nb 1]

[1]

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इतिहास

प्रयोज्यता

व्युत्पत्तियाँ

सूक्ष्मविहित समुच्चय से व्युत्पत्ति

विहित समुच्चय से व्युत्पत्ति

यह भी देखें

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-{{distinguish|Maxwell–Boltzmann distribution}}
+{{distinguish|मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण}}
 {{Short description|Statistical distribution used in many-particle mechanics}}{{Use American English|date=January 2019}}{{Statistical mechanics|cTopic=[[Particle statistics|Particle Statistics]]}}
-[[Image:Maxwell-Boltzmann distribution 1.png|thumb|300px|मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों का उपयोग [[आदर्श गैस]] में कण गति के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। दिखाया गया: 10 के लिए कण गति का वितरण<sup>6</sup>ऑक्सीजन कण -100, 20 और 600°C पर।]][[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े [[थर्मल संतुलन]] में विभिन्न ऊर्जा राज्यों पर [[शास्त्रीय भौतिकी]] सामग्री कणों के वितरण का वर्णन करते हैं। यह तब लागू होता है जब तापमान काफी अधिक होता है या कण घनत्व इतना कम होता है कि क्वांटम प्रभाव नगण्य हो जाता है।
+[[Image:Maxwell-Boltzmann distribution 1.png|thumb|300px|मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों का उपयोग एक [[आदर्श गैस]] में कण गति के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। दिखाया गया: -100, 20 और 600 डिग्री सेल्सियस पर 10<sup>6</sup>ऑक्सीजन कणों के लिए कण गति का वितरण।]][[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में, '''मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े''' [[थर्मल संतुलन|ऊष्मीय संतुलन]] में विभिन्न ऊर्जा अवस्थाओं पर [[शास्त्रीय भौतिकी]] पदार्थ कणों के वितरण का वर्णन करते हैं। यह तब लागू होता है जब तापमान अत्यधिक अधिक होता है या कण घनत्व इतना कम होता है कि क्वांटम प्रभाव नगण्य हो जाता है।
-ऊर्जा वाले कणों की अपेक्षित संख्या <math>\varepsilon_i</math> मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के लिए है
+इस प्रकार से मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों के लिए ऊर्जा <math>\varepsilon_i</math> वाले कणों की अपेक्षित संख्या
 :<math>\langle N_i \rangle = \frac {g_i} {e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT}} = \frac{N}{Z}\,g_i e^{-\varepsilon_i/kT},</math>
-कहाँ:
+है, जहां:
 *<math>\varepsilon_i</math> i-वें [[ऊर्जा]] स्तर की ऊर्जा है,
-*<math>\langle N_i \rangle</math> ऊर्जा वाले राज्यों के सेट में कणों की औसत संख्या है <math>\varepsilon_i</math>,
+*<math>\langle N_i \rangle</math> <math>\varepsilon_i</math> ऊर्जा वाले अवस्थाओं के समुच्चय में कणों की औसत संख्या है,
-*<math>g_i</math> ऊर्जा स्तर i का अपक्षयी ऊर्जा स्तर है, अर्थात, ऊर्जा वाले राज्यों की संख्या <math>\varepsilon_i</math> जिन्हें फिर भी किसी अन्य माध्यम से दूसरे से अलग किया जा सकता है,<ref group="nb">For example, two simple point particles may have the same energy, but different momentum vectors. They may be distinguished from each other on this basis, and the degeneracy will be the number of possible ways that they can be so distinguished.</ref>
+*<math>g_i</math> ऊर्जा स्तर i का अपक्षयी ऊर्जा स्तर है, अर्थात, ऊर्जा वाले अवस्थाओं की संख्या <math>\varepsilon_i</math> जिन्हें फिर भी किसी अन्य माध्यम से एक दूसरे से अलग किया जा सकता है,<ref group="nb">For example, two simple point particles may have the same energy, but different momentum vectors. They may be distinguished from each other on this basis, and the degeneracy will be the number of possible ways that they can be so distinguished.</ref>
 *μ [[रासायनिक क्षमता]] है,
 *k बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,
 *T पूर्ण [[तापमान]] है,
-*एन कणों की कुल संख्या है: <math display="block">N = \sum_i N_i,</math>
+*''N'' कणों की कुल संख्या है: <math display="block">N = \sum_i N_i,</math>
 *Z विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है: <math display="block">Z = \sum_i g_i e^{-\varepsilon_i/kT},</math>
-*e, E (गणितीय स्थिरांक)|यूलर की संख्या है
+*e, E (गणितीय स्थिरांक) या यूलर की संख्या है
-समान रूप से, कणों की संख्या को कभी-कभी इस प्रकार व्यक्त किया जाता है
+समान रूप से, कणों की संख्या को कभी-कभी
 :<math>\langle N_i \rangle = \frac {1} {e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT}} = \frac{N}{Z}\,e^{-\varepsilon_i/kT},</math>
-जहां सूचकांक अब ऊर्जा वाले सभी राज्यों के सेट के बजाय विशेष राज्य को निर्दिष्ट करता है <math>\varepsilon_i</math>, और <math display="inline">Z = \sum_i e^{-\varepsilon_i/kT}</math>.
+के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां सूचकांक अब ऊर्जा <math>\varepsilon_i</math>, और <math display="inline">Z = \sum_i e^{-\varepsilon_i/kT}</math> वाले सभी अवस्थाओं के समुच्चय के अतिरिक्त एक विशेष अवस्था को पूर्ण रूप से निर्दिष्ट करता है।
 ==इतिहास==
-{{more|Maxwell–Boltzmann distribution}}
+{{more|मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण}}
-मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण से विकसित हुए, संभवतः अंतर्निहित तकनीक के आसवन के रूप में।{{dubious|reason=surmise by non-physicist (me) out of whole cloth; the real story would be useful here, as this article is presently almost Dirac reticent on historical treatment|date=June 2022}} वितरण पहली बार मैक्सवेल द्वारा 1860 में अनुमान के आधार पर निकाला गया था। बोल्ट्ज़मैन ने बाद में, 1870 के दशक में, इस वितरण की भौतिक उत्पत्ति की महत्वपूर्ण जांच की। वितरण इस आधार पर प्राप्त किया जा सकता है कि यह सिस्टम की एन्ट्रापी को अधिकतम करता है।
+अतः मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण से विकसित हुए, संभवतः अंतर्निहित तकनीक के आसवन के रूप में है। इस प्रकार से वितरण प्रथतमतः मैक्सवेल द्वारा 1860 में अनुमान के आधार पर पूर्ण रूप से निकाला गया था। बोल्ट्ज़मैन ने बाद में, 1870 के दशक में, इस वितरण की भौतिक उत्पत्ति की महत्वपूर्ण जांच की थी। वितरण इस आधार पर प्राप्त किया जा सकता है कि यह निकाय की एन्ट्रापी को अधिकतम करता है।
 ==प्रयोज्यता==
-[[Image:Fermi-Dirac Bose-Einstein Maxwell-Boltzmann statistics.svg|256px|thumb|right|तीन आँकड़ों के लिए जमीनी स्थिति की औसत अधिभोग की तुलना]]मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी का उपयोग किसी आदर्श गैस के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जाता है। हालाँकि, इसका उपयोग उस वितरण को भिन्न ऊर्जा-संवेग संबंध वाले कणों तक विस्तारित करने के लिए भी किया जा सकता है, जैसे कि सापेक्ष कण (जिसके परिणामस्वरूप मैक्सवेल-जुटनर वितरण होता है), और त्रि-आयामी स्थानों के अलावा अन्य।
+[[Image:Fermi-Dirac Bose-Einstein Maxwell-Boltzmann statistics.svg|256px|thumb|right|तीन आँकड़ों के लिए भू स्थिति की औसत अधिभोग की तुलना]]अतः मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी का उपयोग किसी आदर्श गैस के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जाता है। यद्यपि, इसका उपयोग उस वितरण को भिन्न ऊर्जा-संवेग संबंध वाले कणों तक विस्तारित करने के लिए भी किया जा सकता है, जैसे कि सापेक्ष कण (जिसके परिणामस्वरूप मैक्सवेल-जुटनर वितरण होता है), और त्रि-आयामी स्थानों के अतिरिक्त अन्य।
-मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी को अक्सर विशिष्ट शास्त्रीय कणों के आंकड़ों के रूप में वर्णित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, अवस्था 1 में कण A और अवस्था 2 में कण B का विन्यास उस स्थिति से भिन्न है जिसमें कण B अवस्था 1 में है और कण A अवस्था 2 में है। यह धारणा उचित (बोल्ट्ज़मैन) आँकड़ों की ओर ले जाती है ऊर्जा अवस्थाओं में कण, लेकिन एन्ट्रापी के लिए गैर-भौतिक परिणाम देते हैं, जैसा कि [[गिब्स विरोधाभास]] में सन्निहित है।
+इस प्रकार से मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी को प्रायः विशिष्ट शास्त्रीय कणों के आंकड़ों के रूप में वर्णित किया जाता है। दूसरे शब्दों में, अवस्था 1 में कण A और अवस्था 2 में कण B का विन्यास उस स्थिति से भिन्न है जिसमें कण B अवस्था 1 में है और कण A अवस्था 2 में है। यह धारणा उचित (बोल्ट्ज़मैन) आँकड़ों की ओर ले जाती है ऊर्जा अवस्थाओं में कण, परंतु एन्ट्रापी के लिए गैर-भौतिक परिणाम देते हैं, जैसा कि [[गिब्स विरोधाभास]] में पूर्ण रूप से सन्निहित है।
-साथ ही, ऐसे कोई वास्तविक कण नहीं हैं जिनमें मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के लिए आवश्यक विशेषताएं हों। वास्तव में, गिब्स विरोधाभास हल हो जाता है यदि हम निश्चित प्रकार के सभी कणों (जैसे, इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, आदि) को मुख्य रूप से अप्रभेद्य मानते हैं। बार जब यह धारणा बन जाती है, तो कण आँकड़े बदल जाते हैं। मिश्रण उदाहरण की एन्ट्रापी में परिवर्तन को दो प्रकार के मिश्रित कणों की भिन्नता के परिणामस्वरूप होने वाली गैर-व्यापक एन्ट्रापी के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।
+साथ ही, ऐसे कोई वास्तविक कण नहीं हैं जिनमें मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के लिए आवश्यक विशेषताएं हों। वस्तुतः, गिब्स विरोधाभास हल हो जाता है यदि हम निश्चित प्रकार के सभी कणों (जैसे, इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, आदि) को मुख्य रूप से अप्रभेद्य मानते हैं। एक बार जब यह धारणा बन जाती है, तो कण आँकड़े बदल जाते हैं। इसी प्रकार से मिश्रण उदाहरण की एन्ट्रापी में परिवर्तन को दो प्रकार के मिश्रित कणों की भिन्नता के परिणामस्वरूप होने वाली गैर-व्यापक एन्ट्रापी के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।
-क्वांटम कण या तो बोसोन हैं (इसके बजाय बोस-आइंस्टीन आंकड़ों के बाद) या फर्मियन ([[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] के अधीन, इसके बजाय फर्मी-डिराक आंकड़ों के बाद)। ये दोनों क्वांटम आँकड़े उच्च तापमान और कम कण घनत्व की सीमा में मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों के करीब पहुँचते हैं।
+अतः क्वांटम कण या तो बोसोन (बोस-आइंस्टीन आंकड़ों के अनुसार) या फर्मियन ([[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] के अंतर्गत, इसके अतिरिक्त फर्मी-डिराक आंकड़ों) हैं। ये दोनों क्वांटम आँकड़े उच्च तापमान और कम कण घनत्व की सीमा में मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों के निकट पहुँचते हैं।
 == व्युत्पत्तियाँ ==
-मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े विभिन्न सांख्यिकीय यांत्रिकी थर्मोडायनामिक समूहों में प्राप्त किए जा सकते हैं:<ref name="tolman">{{cite book | last=Tolman |first=R. C. | author-link = Richard C. Tolman | year=1938 | title=सांख्यिकीय यांत्रिकी के सिद्धांत| publisher=[[Dover Publications]] | isbn = 9780486638966}}</ref>
+इस प्रकार से मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े विभिन्न सांख्यिकीय यांत्रिकी ऊष्मागतिक समूहों में पूर्ण रूप से प्राप्त किए जा सकते हैं:<ref name="tolman">{{cite book | last=Tolman |first=R. C. | author-link = Richard C. Tolman | year=1938 | title=सांख्यिकीय यांत्रिकी के सिद्धांत| publisher=[[Dover Publications]] | isbn = 9780486638966}}</ref>
-* बिल्कुल भव्य [[विहित पहनावा]]।
+* निश्चित भव्य [[विहित पहनावा|विहित समुच्चय]]।
-* विहित पहनावा, बिल्कुल।
+* विहित समुच्चय, निश्चित।
-* [[माइक्रोकैनोनिकल पहनावा]], लेकिन केवल थर्मोडायनामिक सीमा में।
+* [[माइक्रोकैनोनिकल पहनावा|सूक्ष्मविहित समुच्चय]], परंतु मात्र ऊष्मागतिक सीमा में।
-प्रत्येक मामले में यह मानना आवश्यक है कि कण गैर-अंतःक्रिया कर रहे हैं, और कई कण ही स्थिति में रह सकते हैं और स्वतंत्र रूप से ऐसा कर सकते हैं।
+अतः प्रत्येक स्थिति में यह मानना आवश्यक है कि कण गैर-अंतःक्रिया कर रहे हैं, और कई कण ही स्थिति में रह सकते हैं और स्वतंत्र रूप से ऐसा कर सकते हैं।
-=== माइक्रोकैनोनिकल पहनावा से व्युत्पत्ति ===
+=== सूक्ष्मविहित समुच्चय से व्युत्पत्ति ===
-मान लीजिए कि हमारे पास कंटेनर है जिसमें समान भौतिक विशेषताओं (जैसे द्रव्यमान, आवेश, आदि) वाले बहुत छोटे कणों की बड़ी संख्या है। आइए इसे सिस्टम के रूप में देखें। मान लें कि यद्यपि कणों के गुण समान हैं, फिर भी वे भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, हम प्रत्येक कण की पहचान उनके प्रक्षेपपथों को लगातार देखकर, या प्रत्येक पर निशान लगाकर कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रत्येक पर अलग संख्या खींचना, जैसा कि [[लॉटरी]] गेंदों के साथ किया जाता है।
+मान लीजिए कि हमारे निकट पात्र है जिसमें समान भौतिक विशेषताओं (जैसे द्रव्यमान, आवेश, आदि) वाले बहुत छोटे कणों की बड़ी संख्या है। आइए इसे निकाय के रूप में देखें। अतः मान लें कि यद्यपि कणों के गुण समान हैं, फिर भी वे भिन्न हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, हम प्रत्येक कण की पहचान उनके प्रक्षेपपथों को निरंतर देखकर, या प्रत्येक पर चिन्ह लगाकर कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रत्येक पर अलग संख्या खींचना, जैसा कि [[लॉटरी|प्रचयन]] गेंदों के साथ किया जाता है।
-कण उस कंटेनर के अंदर सभी दिशाओं में बड़ी तेजी से घूम रहे हैं। क्योंकि कण तेजी से घूम रहे हैं, उनमें कुछ ऊर्जा होती है। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण गणितीय फ़ंक्शन है जो बताता है कि कंटेनर में कितने कणों में निश्चित ऊर्जा है। अधिक सटीक रूप से, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण गैर-सामान्यीकृत संभाव्यता देता है (इसका मतलब है कि संभावनाएं 1 तक नहीं जुड़ती हैं) कि विशेष ऊर्जा के अनुरूप राज्य पर कब्जा कर लिया गया है।
+अतः कण उस पात्र के भीतर सभी दिशाओं में बड़ी तीव्रता से घूम रहे हैं। क्योंकि कण तीव्रता से घूम रहे हैं, उनमें कुछ ऊर्जा होती है। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण गणितीय फलन है जो बताता है कि पात्र में कितने कणों में निश्चित ऊर्जा है। अधिक यथार्थ रूप से, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान वितरण गैर-सामान्यीकृत संभाव्यता देता है (इसका अर्थ है कि संभावनाएं 1 तक नहीं जुड़ती हैं) कि विशेष ऊर्जा के अनुरूप अवस्था पर पूर्ण रूप से अधिकृत कर लिया गया है।
-सामान्य तौर पर, समान मात्रा में ऊर्जा वाले कई कण हो सकते हैं <math>\varepsilon</math>. माना ऊर्जा वाले कणों की संख्या समान है <math>\varepsilon_1</math> होना <math>N_1</math>, अन्य ऊर्जा रखने वाले कणों की संख्या <math>\varepsilon_2</math> होना <math>N_2</math>, और सभी संभावित ऊर्जाओं के लिए आगे <math>\{ \varepsilon_i \mid i = 1, 2, 3, \ldots\}.</math> इस स्थिति का वर्णन करने के लिए, हम ऐसा कहते हैं <math>N_i</math> ऊर्जा स्तर की व्यवसाय संख्या है <math>i.</math> यदि हमें सभी व्यवसाय संख्याएँ ज्ञात हैं <math>\{N_i \mid i=1,2,3,\ldots\},</math> तब हमें सिस्टम की कुल ऊर्जा पता चलती है। हालाँकि, क्योंकि हम यह अंतर कर सकते हैं कि कौन से कण प्रत्येक ऊर्जा स्तर पर कब्जा कर रहे हैं, व्यवसाय संख्याओं का सेट <math> \{ N_i \mid i=1,2,3,\ldots\}</math> सिस्टम की स्थिति का पूरी तरह से वर्णन नहीं करता है। सिस्टम की स्थिति, या माइक्रोस्टेट का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए, हमें यह निर्दिष्ट करना होगा कि प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कौन से कण हैं। इस प्रकार जब हम सिस्टम के संभावित राज्यों की संख्या की गणना करते हैं, तो हमें प्रत्येक माइक्रोस्टेट की गणना करनी चाहिए, न कि केवल व्यवसाय संख्याओं के संभावित सेटों की।
+सामान्यतः, समान मात्रा में ऊर्जा <math>\varepsilon</math> वाले कई कण हो सकते हैं। मान लीजिए समान ऊर्जा वाले कणों की संख्या <math>\varepsilon_1</math> <math>N_1</math> है, अन्य ऊर्जा वाले कणों की संख्या <math>\varepsilon_2</math> <math>N_2</math> है, और इसी प्रकार सभी संभावित ऊर्जाओं <math>\{ \varepsilon_i \mid i = 1, 2, 3, \ldots\}</math> के लिए है। इस स्थिति का वर्णन करने के लिए, हम कहते हैं कि <math>N_i</math> ऊर्जा स्तर <math>i</math> की अधिष्ठान संख्या है। यदि हमें सभी अधिष्ठान संख्याएँ <math>\{N_i \mid i=1,2,3,\ldots\}</math> ज्ञात हैं, तब हमें निकाय की कुल ऊर्जा ज्ञात होती है। यद्यपि, क्योंकि हम यह अंतर कर सकते हैं कि कौन से कण प्रत्येक ऊर्जा स्तर पर अधिकृत कर रहे हैं, अधिष्ठान संख्याओं <math> \{ N_i \mid i=1,2,3,\ldots\}</math> का समुच्चय निकाय की स्थिति का पूर्ण रूप से वर्णन नहीं करता है। निकाय की स्थिति, या सूक्ष्म अवस्था का पूर्ण रूप से वर्णन करने के लिए, हमें यह निर्दिष्ट करना होगा कि प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कौन से कण हैं। इस प्रकार जब हम निकाय के संभावित अवस्थाओं की संख्या की गणना करते हैं, तो हमें प्रत्येक सूक्ष्म अवस्था की गणना करनी चाहिए, न कि मात्र अधिष्ठान संख्याओं के संभावित समुच्चयों की।
-आरंभ करने के लिए, मान लें कि प्रत्येक ऊर्जा स्तर पर केवल ही अवस्था होती है <math>i</math> (कोई पतन नहीं है)। इसके बाद जो कुछ होता है वह कुछ संयुक्त सोच है जिसका कणों के भंडार का सटीक वर्णन करने में बहुत कम योगदान है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कुल है <math>k</math> बक्से लेबल किए गए <math>a,b,\ldots,k</math>. [[संयोजन]] की अवधारणा के साथ, हम गणना कर सकते हैं कि व्यवस्था करने के कितने तरीके हैं <math>N</math> बक्सों के सेट में, जहाँ प्रत्येक बक्से के भीतर गेंदों के क्रम को ट्रैक नहीं किया जाता है। सबसे पहले, हम चयन करते हैं <math>N_a</math> कुल से गेंदें <math>N</math> बॉक्स में रखने के लिए गेंदें <math>a</math>, और शेष गेंदों में से प्रत्येक बॉक्स का चयन करना जारी रखें, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रत्येक गेंद किसी बॉक्स में रखी गई है। गेंदों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
+आरंभ करने के लिए, मान लें कि प्रत्येक ऊर्जा स्तर <math>i</math> पर मात्र एक ही अवस्था (कोई पतन नहीं है) है। इसके पश्चात जो कुछ होता है वह कुछ संयुक्त सोच है जिसका कणों के भंडार का यथार्थ वर्णन करने में बहुत कम योगदान है। उदाहरण के लिए, मान लें कि <math>a,b,\ldots,k</math> लेबल वाले कुल <math>k</math> बक्से हैं। [[संयोजन]] की अवधारणा के साथ, हम गणना कर सकते हैं कि बक्से के समूह में <math>N</math> को व्यवस्थित करने के कितनी विधियाँ हैं, जहां प्रत्येक बक्से के भीतर गेंदों के क्रम को ट्रैक नहीं किया जाता है। सर्वप्रथम, हम कुल <math>N</math> गेंदों में से <math>N_a</math> गेंदों को बक्से <math>a</math>, में रखने के लिए चुनते हैं, और शेष गेंदों में से प्रत्येक बक्से के लिए चयन करना जारी रखते हैं, यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रत्येक गेंद को किसी एक बक्से में रखा जाता है। गेंदों को व्यवस्थित करने की विधियों की कुल संख्या
 :<math>
@@ Line 59: / Line 59: @@
 \end{align}
 </math>
-चूँकि प्रत्येक गेंद को डिब्बे में रखा गया है, <math>(N  - N_a - N_b - \cdots - N_k)! = 0! = 1</math>, और हम अभिव्यक्ति को इस प्रकार सरल बनाते हैं
+है। चूँकि प्रत्येक गेंद को एक बक्से में रखा गया है, <math>(N  - N_a - N_b - \cdots - N_k)! = 0! = 1</math>, और हम अभिव्यक्ति को
 :<math>
 W = N!\prod_{\ell=a,b,\ldots}^k \frac{1}{N_\ell!}
-</math>
+</math> के रूप में सरल बनाते हैं।
-यह सिर्फ [[बहुपद गुणांक]] है, एन वस्तुओं को के बक्से में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या, एल-वें बॉक्स में एन रखा गया है<sub>l</sub>आइटम, प्रत्येक बॉक्स में आइटम के क्रमपरिवर्तन को अनदेखा कर रहे हैं।
+यह मात्र [[बहुपद गुणांक]] है, N वस्तुओं को k बक्से में व्यवस्थित करने की विधियों की संख्या, l-वें बक्से में N<sub>l</sub> वस्तु हैं, प्रत्येक बक्से में वस्तु के क्रमपरिवर्तन को अनदेखा किया गया है।
-अब, उस मामले पर विचार करें जहां लगाने के से अधिक तरीके हैं <math>
+अब, उस स्थिति पर विचार करें जहां बक्से <math>
+i
+</math> में <math>
 N_i
-</math> बॉक्स में कण <math>
+</math> कणों को रखने की एक से अधिक विधि है (अर्थात अपक्षय समस्या को ध्यान में रखते हुए)। यदि <math>
 i
-</math> (अर्थात पतन की समस्या को ध्यान में रखते हुए)। यदि <math>
+</math>-वें बक्से में <math>g_i</math> की "अक्षमता" है, अर्थात इसमें समान ऊर्जा <math>
-i
+\varepsilon_i
-</math>-वें बॉक्स में विकृति है <math>g_i</math>, अर्थात यह है <math>g_i</math> उप-बॉक्स (<math>
+</math> वाले <math>g_i</math> उप-बक्से (<math>
 g_i
-</math> समान ऊर्जा वाले बक्से <math>
+</math> बक्से हैं। समान ऊर्जा वाली इन अवस्थाओं/बक्सों को पतित अवस्थाएँ कहा जाता है।), जैसे कि <math>
-\varepsilon_i
-</math>. समान ऊर्जा वाली इन अवस्थाओं/बक्सों को पतित अवस्थाएँ कहा जाता है।), जैसे कि भरने का कोई भी तरीका <math>
 i
-</math>-वें बॉक्स में जहां उप-बॉक्स में संख्या बदली जाती है, वह बॉक्स को भरने का अलग तरीका है, तो i-वें बॉक्स को भरने के तरीकों की संख्या को वितरित करने के तरीकों की संख्या से बढ़ाया जाना चाहिए <math>N_i</math> वस्तुओं में <math>g_i</math> उप-बॉक्स. रखने के तरीकों की संख्या <math>N_i</math> में अलग पहचानी जाने वाली वस्तुएँ <math>g_i</math> उप-बॉक्स है <math>g_i^{N_i}</math> (पहली वस्तु इनमें से किसी में भी जा सकती है <math>g_i</math> बक्सों में, दूसरी वस्तु भी इनमें से किसी में जा सकती है <math>g_i</math> बक्से, और इसी तरह)। इस प्रकार तरीकों की संख्या <math>W</math> वह कुल <math>N</math> कणों को उनकी ऊर्जा के अनुसार ऊर्जा स्तरों में वर्गीकृत किया जा सकता है, जबकि प्रत्येक स्तर पर <math>i</math> होना <math>g_i</math> अलग-अलग स्थितियाँ ऐसी होती हैं कि i-वें स्तर समायोजित हो जाता है <math>N_i</math> कण है:
+</math>-वें बक्से को भरने की कोई भी विधि जहां उप-बक्सों में संख्या बदल जाती है, बक्से को भरने की एक अलग विधि है, फिर यह की संख्या i-वें बक्से को भरने के तरीकों को <math>g_i</math> उप-बक्से में <math>N_i</math> वस्तुओं को वितरित करने की विधियों की संख्या से बढ़ाया जाना चाहिए। <math>N_i</math> अलग-अलग वस्तुओं को <math>g_i</math> उप-बक्से में रखने की विधि की संख्या <math>g_i^{N_i}</math> है (प्रथम वस्तु किसी भी <math>g_i</math> बक्से में जा सकती है, दूसरी वस्तु किसी भी <math>g_i</math> बक्से में जा सकता है, इत्यादि)। अतः इस प्रकार <math>W</math> विधियों की संख्या जिससे कुल <math>N</math> कणों को उनकी ऊर्जा के अनुसार ऊर्जा स्तरों में वर्गीकृत किया जा सकता है, जबकि प्रत्येक स्तर <math>i</math> में <math>g_i</math> अलग-अलग स्थितियाँ होती हैं जैसे कि i-वें स्तर <math>N_i</math> कणों को समायोजित करता है:
 :<math>W=N!\prod_{i}\frac{g_i^{N_i}}{N_i!}</math>
-यह W का वह रूप है जिसे सबसे पहले [[लुडविग बोल्ट्ज़मान]] ने व्युत्पन्न किया था। बोल्ट्ज़मैन का मौलिक समीकरण <math>S=k\,\ln W</math> थर्मोडायनामिक एन्ट्रॉपी एस को माइक्रोस्टेट्स डब्ल्यू की संख्या से संबंधित करता है, जहां के बोल्ट्जमैन स्थिरांक है। हालाँकि, [[जोशिया विलार्ड गिब्स]] द्वारा यह बताया गया था कि डब्ल्यू के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति [[व्यापक मात्रा]] में [[एन्ट्रापी]] उत्पन्न नहीं करती है, और इसलिए दोषपूर्ण है। इस समस्या को गिब्स विरोधाभास के नाम से जाना जाता है। समस्या यह है कि उपरोक्त समीकरण द्वारा माने गए कण [[समान कण]] नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, दो ऊर्जा उपस्तरों में दो कणों (ए और बी) के लिए [ए, बी] द्वारा दर्शाई गई जनसंख्या को जनसंख्या [बी, ए] से अलग माना जाता है, जबकि अविभाज्य कणों के लिए, वे नहीं हैं। यदि हम अविभाज्य कणों के लिए तर्क को आगे बढ़ाते हैं, तो हमें बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी | डब्ल्यू के लिए बोस-आइंस्टीन अभिव्यक्ति की ओर ले जाया जाता है:
+यह W का वह रूप है जिसे सर्वप्रथम [[लुडविग बोल्ट्ज़मान]] ने व्युत्पन्न किया था। बोल्ट्ज़मैन का मौलिक समीकरण <math>S=k\,\ln W</math> ऊष्मागतिक एन्ट्रॉपी ''S'' को सूक्ष्म अवस्था W की संख्या से संबंधित करता है, जहां k बोल्ट्जमैन स्थिरांक है। यद्यपि, [[जोशिया विलार्ड गिब्स]] द्वारा यह बताया गया था कि W के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति [[व्यापक मात्रा]] में [[एन्ट्रापी]] उत्पन्न नहीं करती है, और इसलिए दोषपूर्ण है। इस समस्या को गिब्स विरोधाभास के नाम से जाना जाता है। समस्या यह है कि उपरोक्त समीकरण द्वारा माने गए कण [[समान कण]] नहीं हैं। दूसरे शब्दों में, दो ऊर्जा उपस्तरों में दो कणों (A और B) के लिए [A, B] द्वारा दर्शाई गई जनसंख्या को जनसंख्या [B, A] से अलग माना जाता है, जबकि अविभाज्य कणों के लिए, वे नहीं हैं। यदि हम अविभाज्य कणों के लिए तर्क को आगे बढ़ाते हैं, तो हम W के लिए बोस-आइंस्टीन अभिव्यक्ति की ओर ले जाते हैं:
 :<math>W=\prod_i \frac{(N_i+g_i-1)!}{N_i!(g_i-1)!}</math>
-मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण पूर्ण शून्य से ऊपर के तापमान के लिए इस बोस-आइंस्टीन वितरण का अनुसरण करता है, जिसका अर्थ है कि <math>g_i\gg 1</math>. मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण को भी कम घनत्व की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है <math>g_i\gg N_i</math>. इन शर्तों के तहत, हम फैक्टोरियल के लिए स्टर्लिंग सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं:
+मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण पूर्ण शून्य से ऊपर के तापमान के लिए इस बोस-आइंस्टीन वितरण का अनुसरण करता है, जिसका अर्थ है कि <math>g_i\gg 1</math>। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण को भी कम घनत्व की आवश्यकता होती है, जिसका अर्थ है कि <math>g_i\gg N_i</math>। अतः इन प्रतिबंधों के अंतर्गत, हम क्रमगुणित के लिए स्टर्लिंग सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं:
 :<math>N! \approx N^N e^{-N},</math>
-लिखना:
+लिखने के लिए:
 :<math>W\approx\prod_i \frac{(N_i+g_i)^{N_i+g_i}}{N_i^{N_i}g_i^{g_i}}\approx\prod_i \frac{g_i^{N_i}(1+N_i/g_i)^{g_i}}{N_i^{N_i}}</math>
-इस तथ्य का उपयोग करते हुए <math>(1+N_i/g_i)^{g_i}\approx e^{N_i}</math> के लिए <math>g_i\gg N_i</math> हम लिखने के लिए फिर से स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं:
+इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि <math>(1+N_i/g_i)^{g_i}\approx e^{N_i}</math> के लिए <math>g_i\gg N_i</math> हम फिर से लिखने के लिए स्टर्लिंग के सन्निकटन का पूर्ण रूप से उपयोग कर सकते हैं:
 :<math>W\approx\prod_i \frac{g_i^{N_i}}{N_i!}</math>
-यह मूलतः N द्वारा विभाजन है! डब्ल्यू के लिए बोल्ट्ज़मैन की मूल अभिव्यक्ति, और इस सुधार को 'के रूप में जाना जाता है{{visible anchor|correct Boltzmann counting}}.
+यह मूलतः N! द्वारा विभाजन है, जों W के लिए बोल्ट्ज़मैन की मूल अभिव्यक्ति, और इस संशोधन को '''उचित''' कहा जाता है
-हम खोजना चाहते हैं <math>N_i</math> जिसके लिए समारोह <math>W</math> कणों की निश्चित संख्या होने की बाधा पर विचार करते हुए अधिकतम किया जाता है <math display="inline">\left(N=\sum N_i\right)</math> और निश्चित ऊर्जा <math display="inline">\left(E=\sum N_i \varepsilon_i\right)</math> कंटेनर में. की अधिकतम सीमा <math>W</math> और <math>\ln(W)</math> के समान मूल्यों द्वारा प्राप्त किये जाते हैं <math>N_i</math> और, चूंकि इसे गणितीय रूप से पूरा करना आसान है, हम इसके बजाय बाद वाले फ़ंक्शन को अधिकतम करेंगे। हम फ़ंक्शन बनाने वाले [[लैग्रेंज गुणक]] का उपयोग करके अपने समाधान को बाधित करते हैं:
+हम <math>N_i</math> को खोजना चाहते हैं जिसके लिए फलन <math>W</math> को अधिकतम किया गया है, जबकि इस बाधा पर विचार करते हुए कि पात्र में कणों की एक निश्चित संख्या <math display="inline">\left(N=\sum N_i\right)</math> और एक निश्चित ऊर्जा <math display="inline">\left(E=\sum N_i \varepsilon_i\right)</math> है। <math>W</math> और <math>\ln(W)</math> की अधिकतम सीमा <math>N_i</math> के समान मानों द्वारा प्राप्त की जाती है और, चूंकि गणितीय रूप से इसे पूर्ण करना सरल है, हम इसके अतिरिक्त बाद वाले फलन को अधिकतम करेंगे। हम फलन बनाने वाले [[लैग्रेंज गुणक]] का उपयोग करके अपने हल को पूर्ण रूप से बाधित करते हैं:
 :<math>f(N_1,N_2,\ldots,N_n) = \textstyle \ln(W)+\alpha(N-\sum N_i) + \beta(E-\sum N_i \varepsilon_i)</math>
@@ Line 102: / Line 102: @@
 :<math>f(N_1,N_2,\ldots,N_n)=\alpha N +\beta E + \sum_{i=1}^n\left(N_i\ln g_i-N_i\ln N_i + N_i-(\alpha+\beta\varepsilon_i) N_i\right)</math>
-उपरोक्त अभिव्यक्ति को अधिकतम करने के लिए हम फ़र्मेट के प्रमेय (स्थिर बिंदु) को लागू करते हैं, जिसके अनुसार स्थानीय एक्स्ट्रेमा, यदि मौजूद है, तो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होना चाहिए (आंशिक व्युत्पन्न गायब हो जाते हैं):
+अतः उपरोक्त अभिव्यक्ति को अधिकतम करने के लिए हम फ़र्मेट के प्रमेय (स्थिर बिंदु) को पूर्ण रूप से लागू करते हैं, जिसके अनुसार स्थानीय एक्स्ट्रेमा, यदि स्थित है, तो महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होना चाहिए (आंशिक व्युत्पन्न लुप्त हो जाते हैं):
 :<math>\frac{\partial f}{\partial N_i}=\ln g_i-\ln N_i -(\alpha+\beta\varepsilon_i) = 0</math>
-उपरोक्त समीकरणों को हल करके (<math>i=1\ldots n</math>) हम अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं <math>N_i</math>:
+(<math>i=1\ldots n</math>) से ऊपर के समीकरणों को हल करके हम <math>N_i</math> के लिए एक अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं:
 :<math>N_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_i}} </math>
-इस अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हुए <math>N_i</math> के लिए समीकरण में <math>\ln W</math> और यह मानते हुए <math>N \gg 1</math> पैदावार:
+<math>N_i</math> के लिए इस अभिव्यक्ति को <math>\ln W</math> के समीकरण में प्रतिस्थापित करने और यह मानने पर कि <math>N \gg 1</math> प्राप्त होता है:
 :<math>\ln W = (\alpha+1) N+\beta E\,</math>
-या, पुनर्व्यवस्थित करना:
+या, पुनर्व्यवस्थित करते हुए:
 :<math>E=\frac{\ln W}{\beta}-\frac{N}{\beta}-\frac{\alpha N}{\beta}</math>
-बोल्ट्ज़मैन ने महसूस किया कि यह थर्मोडायनामिक समीकरणों#यूलर इंटीग्रल्स|थर्मोडायनामिक्स के यूलर-एकीकृत मौलिक समीकरण की अभिव्यक्ति मात्र है। ई को आंतरिक ऊर्जा के रूप में पहचानते हुए, यूलर-एकीकृत मौलिक समीकरण बताता है कि:
+अतः बोल्ट्ज़मैन ने समझा कि यह ऊष्मागतिक के यूलर-एकीकृत मौलिक समीकरण की अभिव्यक्ति मात्र है। इस प्रकार से E को आंतरिक ऊर्जा के रूप में पहचानते हुए, यूलर-एकीकृत मौलिक समीकरण बताता है कि:
 :<math>E=TS-PV+\mu N</math>
-जहां T तापमान है, P दबाव है, V [[आयतन]] है, और μ रासायनिक क्षमता है। बोल्ट्ज़मैन का प्रसिद्ध समीकरण <math>S=k \ln W</math> यह अहसास है कि एन्ट्रापी आनुपातिक है <math>\ln W</math> आनुपातिकता का स्थिरांक बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है। अवस्था के आदर्श गैस समीकरण (PV=NkT) का उपयोग करते हुए, यह तुरंत इसका अनुसरण करता है <math>\beta=1/kT</math> और <math>\alpha=-\mu/kT</math> ताकि आबादी अब लिखी जा सके:
+जहां T तापमान है, P दाब है, V [[आयतन]] है, और μ रासायनिक क्षमता है। बोल्ट्ज़मैन का प्रसिद्ध समीकरण <math>S=k \ln W</math> यह समझा है कि एन्ट्रापी <math>\ln W</math> के समानुपाती होती है और आनुपातिकता का स्थिरांक बोल्ट्जमैन स्थिरांक होता है। अतः इस अवस्था के आदर्श गैस समीकरण ''(PV=NkT)'' का उपयोग करते हुए, यह तुरंत <math>\beta=1/kT</math> और <math>\alpha=-\mu/kT</math> का अनुसरण करता है ताकि संख्या अब लिखी जा सके:
 :<math>N_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/(kT)}} </math>
 ध्यान दें कि उपरोक्त सूत्र कभी-कभी लिखा जाता है:
 :<math>N_i = \frac{g_i}{e^{\varepsilon_i/kT}/z} </math>
-कहाँ <math>z=\exp(\mu/kT)</math> पूर्ण [[गतिविधि (रसायन विज्ञान)]] है.
+जहां <math>z=\exp(\mu/kT)</math> पूर्ण [[गतिविधि (रसायन विज्ञान)]] है।
+वैकल्पिक रूप से, हम जनसंख्या संख्याओं को
+<math>N_i = N\frac{g_i e^{-\varepsilon_i/kT}}{Z} </math>
-वैकल्पिक रूप से, हम इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं
+के रूप में प्राप्त करने के लिए इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि
 :<math>\sum_i N_i=N</math>
-जनसंख्या संख्या प्राप्त करने के लिए
+जहां Z द्वारा परिभाषित विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है:
-:<math>N_i = N\frac{g_i e^{-\varepsilon_i/kT}}{Z} </math>
-जहां Z विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) द्वारा परिभाषित है:
 :<math>Z = \sum_i g_i e^{-\varepsilon_i/kT}</math>
-एक सन्निकटन में जहां ε<sub>i</sub>इसे सतत चर माना जाता है, थॉमस-फर्मी सन्निकटन निरंतर अध:पतन जी उत्पन्न करता है जो आनुपातिक है <math>\sqrt{\varepsilon}</math> ताकि:
+एक सन्निकटन में जहां ε<sub>i</sub> को एक सतत चर माना जाता है, थॉमस-फर्मी सन्निकटन एक सतत अध:पतन g उत्पन्न करता है जो <math>\sqrt{\varepsilon}</math> के समानुपाती होता है ताकि:
 :<math>
 \frac{\sqrt{\varepsilon}\,e^{-\varepsilon/k T}}{\int_0^\infty\sqrt{\varepsilon}\,e^{-\varepsilon/k T}} =  \frac{\sqrt{\varepsilon}\,e^{-\varepsilon/k T}}{\frac{\sqrt{\pi}}{2}(kT)^{3/2}} = \frac{2\sqrt{\varepsilon}\,e^{-\varepsilon/k T}}{\sqrt{\pi(kT)^3}}
 </math>
-जो ऊर्जा के लिए सिर्फ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण है।
+जो ऊर्जा के लिए मात्र मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण है।
-=== विहित पहनावे से व्युत्पत्ति ===
+=== विहित समुच्चय से व्युत्पत्ति ===
-उपरोक्त चर्चा में, सिस्टम की बहुलताओं का सीधे विश्लेषण करके बोल्ट्ज़मैन वितरण फ़ंक्शन प्राप्त किया गया था। वैकल्पिक रूप से, कोई विहित पहनावा का उपयोग कर सकता है। विहित समूह में, प्रणाली जलाशय के साथ थर्मल संपर्क में है। जबकि ऊर्जा प्रणाली और जलाशय के बीच प्रवाहित होने के लिए स्वतंत्र है, माना जाता है कि संयुक्त प्रणाली के लिए निरंतर तापमान, टी बनाए रखने के लिए जलाशय में असीम रूप से बड़ी ताप क्षमता होती है।
+अतः उपरोक्त चर्चा में, निकाय की बहुलताओं का प्रत्यक्ष विश्लेषण करके बोल्ट्ज़मैन वितरण फलन प्राप्त किया गया था। वैकल्पिक रूप से, कोई विहित समुच्चय का उपयोग कर सकता है। इस प्रकार से विहित समूह में, निकाय भंडार के साथ ऊष्मीय संपर्क में है। जबकि ऊर्जा निकाय और भंडार के बीच प्रवाहित होने के लिए स्वतंत्र है, माना जाता है कि संयुक्त प्रणाली के लिए निरंतर तापमान, ''T'' बनाए रखने के लिए भंडार में अनंततः बड़ी ताप क्षमता होती है।
-वर्तमान संदर्भ में, हमारे सिस्टम में ऊर्जा का स्तर माना जाता है <math>\varepsilon _i</math> पतनशीलता के साथ <math>g_i</math>. पहले की तरह, हम इस संभावना की गणना करना चाहेंगे कि हमारे सिस्टम में ऊर्जा है <math>\varepsilon_i</math>.
+वर्तमान संदर्भ में, हमारी प्रणाली में ऊर्जा स्तर <math>\varepsilon _i</math> के साथ अध:पतन <math>g_i</math> माना जाता है। पहले के जैसे, हम इस संभावना की गणना करना चाहेंगे कि हमारे निकाय में ऊर्जा <math>\varepsilon_i</math> है।
-अगर हमारा सिस्टम ठीक है <math>\; s_1</math>, तो जलाशय के लिए समान संख्या में माइक्रोस्टेट उपलब्ध होंगे। इस नंबर पर कॉल <math>\; \Omega _ R (s_1)</math>. धारणा के अनुसार, संयुक्त प्रणाली (जिस प्रणाली में हम रुचि रखते हैं और जलाशय) पृथक है, इसलिए सभी माइक्रोस्टेट समान रूप से संभावित हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि <math> \; \Omega _ R (s_1) = 2 \; \Omega _ R (s_2) </math>, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारा सिस्टम स्थिति में होने की संभावना दोगुनी है <math>\; s_1</math> बजाय <math>\; s_2</math>. सामान्य तौर पर, यदि <math>\; P(s_i)</math> संभावना है कि हमारा सिस्टम स्थिति में है <math>\; s_i</math>,
+यदि हमारा निकाय अवस्था <math>\; s_1</math> में है, तो भंडार के लिए समान संख्या में सूक्ष्म अवस्था उपलब्ध होंगे। इस संख्या <math>\; \Omega _ R (s_1)</math> से संपर्क करें। इस प्रकार से धारणा के अनुसार, संयुक्त प्रणाली (जिस प्रणाली में हम रुचि रखते हैं और भंडार) पृथक है, इसलिए सभी सूक्ष्म अवस्था समान रूप से संभावित हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि<math> \; \Omega _ R (s_1) = 2 \; \Omega _ R (s_2) </math>, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारा निकाय <math>\; s_2</math> की तुलना में <math>\; s_1</math> स्थिति में होने की दोगुनी संभावना है। सामान्यतः, यदि <math>\; P(s_i)</math> संभावना है कि हमारा निकाय <math>\; s_i</math>,
-:<math>\frac{P(s_1)}{P(s_2)} = \frac{\Omega _ R (s_1)}{\Omega _ R (s_2)}.</math>
+:<math>\frac{P(s_1)}{P(s_2)} = \frac{\Omega _ R (s_1)}{\Omega _ R (s_2)}</math> स्थिति में है।
-जलाशय की एन्ट्रापी के बाद से <math>\; S_R = k \ln \Omega _R</math>, उपरोक्त बन जाता है
+चूंकि भंडार की एन्ट्रापी <math>\; S_R = k \ln \Omega _R</math>, उपरोक्त
-:<math>\frac{P(s_1)}{P(s_2)} = \frac{ e^{S_R(s_1)/k} }{ e^{S_R(s_2)/k} } = e^{(S_R (s_1) - S_R (s_2))/k}.</math>
+:<math>\frac{P(s_1)}{P(s_2)} = \frac{ e^{S_R(s_1)/k} }{ e^{S_R(s_2)/k} } = e^{(S_R (s_1) - S_R (s_2))/k}</math> हो जाती है।
-आगे हम थर्मोडायनामिक पहचान को याद करते हैं (थर्मोडायनामिक्स के पहले नियम से):
+आगे हम ऊष्मागतिक सर्वसमिका (ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से) को याद करते हैं:
-:<math>d S_R = \frac{1}{T} (d U_R + P \, d V_R - \mu \, d N_R).</math>
+:<math>d S_R = \frac{1}{T} (d U_R + P \, d V_R - \mu \, d N_R)</math>।
-एक विहित समूह में, कणों का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है, इसलिए <math>d N_R</math> पद शून्य है. इसी प्रकार, <math>d V_R = 0.</math> यह देता है
+अतः एक विहित समूह में, कणों का कोई आदान-प्रदान नहीं होता है, इसलिए <math>d N_R</math> पद शून्य है। इसी प्रकार, <math>d V_R = 0</math>। यह पूर्ण रूप से
 :<math> S_R (s_1) - S_R (s_2) = \frac{1}{T} (U_R (s_1) - U_R (s_2)) = - \frac{1}{T} (E(s_1) - E(s_2)),</math>
-कहाँ <math> U_R (s_i) </math> और <math> E(s_i) </math> जलाशय और प्रणाली की ऊर्जाओं को निरूपित करें <math>s_i</math>, क्रमश। दूसरी समानता के लिए हमने ऊर्जा संरक्षण का प्रयोग किया है। संबंधित पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करना <math>P(s_1), \; P(s_2)</math>:
+देता है, जहां <math> U_R (s_i) </math> और <math> E(s_i) </math> क्रमशः <math>s_i</math> पर भंडार और निकाय की ऊर्जा को दर्शाते हैं। दूसरी समानता के लिए हमने ऊर्जा संरक्षण का प्रयोग किया है। <math>P(s_1), \; P(s_2)</math> :
 :<math>
 \frac{P(s_1)}{P(s_2)} =  \frac{ e^{ - E(s_1) / kT } }{ e^{ - E(s_2) / kT} },
 </math>
-जिसका अर्थ है, सिस्टम के किसी भी राज्य के लिए
+से संबंधित पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने से तात्पर्य है, निकाय
 :<math>
 P(s) = \frac{1}{Z} e^{- E(s) / kT},
 </math>
-जहां Z कुल संभाव्यता 1 बनाने के लिए उचित रूप से चुना गया स्थिरांक है। (Z स्थिरांक है बशर्ते कि तापमान T अपरिवर्तनीय हो।)
+के किसी भी अवस्था s 1 के लिए जहां Z कुल संभावना 1 बनाने के लिए उचित रूप से चुना गया "स्थिर" है। (Z स्थिरांक है यद्यपि यह कि तापमान T अपरिवर्तनीय हो।)
 :<math> Z = \sum _s e^{- E(s) / kT}, </math>
-जहां सूचकांक सिस्टम के सभी माइक्रोस्टेट्स से होकर गुजरता है। Z को कभी-कभी बोल्ट्ज़मैन 'सम ओवर स्टेट्स' (या मूल जर्मन में ज़ुस्टैंड्ससुमे) कहा जाता है। यदि हम सभी संभावित अवस्थाओं के बजाय ऊर्जा eigenvalues के माध्यम से योग को अनुक्रमित करते हैं, तो अध: पतन को ध्यान में रखा जाना चाहिए। हमारे सिस्टम में ऊर्जा होने की संभावना <math>\varepsilon _i</math> बस सभी संबंधित माइक्रोस्टेट्स की संभावनाओं का योग है:
+जहां सूचकांक s निकाय के सभी सूक्ष्म अवस्था से होकर गुजरता है। अतः Z को कभी-कभी बोल्ट्ज़मैन ''''सम ओवर स्टेट्स'''<nowiki/>' (या मूल जर्मन में '''ज़ुस्टैंड्ससुमे''') कहा जाता है। यदि हम सभी संभावित अवस्थाओं के अतिरिक्त ऊर्जा आइगेनमानों के माध्यम से योग को अनुक्रमित करते हैं, तो अध: पतन को ध्यान में रखा जाना चाहिए। हमारे निकाय में ऊर्जा होने की संभावना <math>\varepsilon _i</math> मात्र सभी संबंधित सूक्ष्म अवस्थाओं की संभावनाओं का योग है:
 :<math>P (\varepsilon _i) = \frac{1}{Z} g_i e^{- \varepsilon_i / kT}</math>
@@ Line 177: / Line 178: @@
 :<math>Z = \sum _j g_j  e^{- \varepsilon _j / kT},</math>
-यह पहले जैसा ही परिणाम है।
+यह पूर्व जैसा ही परिणाम है।
 इस व्युत्पत्ति पर टिप्पणियाँ:
-*ध्यान दें कि इस सूत्रीकरण में, प्रारंभिक धारणा... मान लीजिए कि सिस्टम में कुल एन कण हैं... को समाप्त कर दिया गया है। दरअसल, सिस्टम में मौजूद कणों की संख्या वितरण पर पहुंचने में कोई भूमिका नहीं निभाती है। बल्कि, कितने कण ऊर्जा वाले राज्यों पर कब्जा करेंगे <math>\varepsilon _i</math> आसान परिणाम के रूप में अनुसरण करता है।
+*ध्यान दें कि इस सूत्रीकरण में, प्रारंभिक धारणा... मान लीजिए कि निकाय में कुल N कण हैं... जिनको पूर्ण रूप से समाप्त कर दिया गया है। वस्तुतः, निकाय में स्थित कणों की संख्या वितरण पर पहुंचने में कोई भूमिका नहीं निभाती है। जबकि, कितने कण ऊर्जा वाले अवस्थाओं पर अधिकृत करेंगे <math>\varepsilon _i</math> एक सरल परिणाम के रूप में अनुसरण करता है।
-*ऊपर जो प्रस्तुत किया गया है वह मूलतः विहित विभाजन फ़ंक्शन की व्युत्पत्ति है। जैसा कि कोई परिभाषाओं की तुलना करके देख सकता है, राज्यों पर बोल्ट्ज़मैन का योग विहित विभाजन फ़ंक्शन के बराबर है।
+*ऊपर जो प्रस्तुत किया गया है वह मूलतः विहित विभाजन फलन की व्युत्पत्ति है। जैसा कि कोई परिभाषाओं की तुलना करके देख सकता है, अवस्थाओं पर बोल्ट्ज़मैन का योग विहित विभाजन फलन के बराबर है।
-*बिल्कुल उसी दृष्टिकोण का उपयोग फर्मी-डिराक सांख्यिकी|फर्मी-डिराक और बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी|बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, वहाँ कोई विहित पहनावा को भव्य विहित पहनावा से बदल देगा, क्योंकि सिस्टम और जलाशय के बीच कणों का आदान-प्रदान होता है। साथ ही, उन मामलों में जिस प्रणाली पर विचार किया जाता है वह एकल कण अवस्था है, कण नहीं। (उपरोक्त चर्चा में, हम अपने सिस्टम को एकल परमाणु मान सकते थे।)
+*निश्चित उसी दृष्टिकोण का उपयोग फर्मी-डिरैक और बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यद्यपि, वहाँ कोई विहित समुच्चय को भव्य विहित समुच्चय से बदल देगा, क्योंकि निकाय और भंडार के बीच कणों का पूर्ण रूप से आदान-प्रदान होता है। साथ ही, उन स्थितियों में जिस प्रणाली पर विचार किया जाता है वह एकल कण अवस्था है, कण नहीं। (उपरोक्त चर्चा में, हम अपने निकाय को एकल परमाणु मान सकते थे।)
 ==यह भी देखें==
 *बोस-आइंस्टीन आँकड़े
-*फ़र्मी-डिराक आँकड़े
+*फ़र्मी-डिरैक आँकड़े
 *[[बोल्ट्ज़मान कारक]]
@@ Line 194: / Line 195: @@
 {{reflist}}
 ==ग्रन्थसूची==
-*Carter, Ashley H., "Classical and Statistical Thermodynamics", Prentice–Hall, Inc., 2001, New Jersey.
+*कार्टर, एशले एच., "क्लासिकल एंड स्टैटिस्टिकल थर्मोडायनामिक्स", प्रेंटिस-हॉल, इंक., 2001, न्यू जर्सी।
-*[[Raj Pathria]], "Statistical Mechanics", Butterworth–Heinemann, 1996.
+*[[Raj Pathria|राज पथरिया]], "सांख्यिकीय यांत्रिकी", बटरवर्थ-हेनमैन, 1996।
 {{DEFAULTSORT:Maxwell-Boltzmann Statistics}}[[Category: मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े| मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े]] [[Category: भौतिकी में अवधारणाएँ]] [[Category: जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] [[Category: लुडविग बोल्ट्ज़मान]]
@@ Line 203: / Line 204: @@
 [[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 17/11/2023]]
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मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े: Difference between revisions

Latest revision as of 21:57, 5 December 2023

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सूक्ष्मविहित समुच्चय से व्युत्पत्ति

विहित समुच्चय से व्युत्पत्ति

यह भी देखें

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