टेंसर (आंतरिक परिभाषा): Difference between revisions

Latest revision as of 22:08, 5 December 2023

गणित में, टेन्सर के सिद्धांत का आधुनिक घटक-मुक्त दृष्टिकोण टेन्सर को एक ऐसे संक्षेप वस्तु के रूप में देखता है, जो कुछ निश्चित प्रकार की बहुरेखीय प्रतिचित्रण अवधारणा को व्यक्त करता है। उनके गुण उनकी परिभाषाओं से प्राप्त किए जा सकते हैं, जैसे रैखिक प्रतिचित्र या अधिक सामान्यतः; और टेंसर के अन्तःक्षेप के नियम रैखिक बीजगणित से बहुरेखीय बीजगणित के विस्तार के रूप में उत्पन्न होते हैं।

इस प्रकार से विभेदक ज्यामिति में, आंतरिक ज्यामितीय कथन को मैनिफोल्ड पर टेन्सर क्षेत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और फिर निर्देशांक का संदर्भ देने की निश्चित ही आवश्यकता नहीं होती है। भौतिक गुण का वर्णन करने वाले टेंसर क्षेत्र के सामान्य सापेक्षता में भी यही सत्य है। घटक-मुक्त दृष्टिकोण का उपयोग संक्षेप बीजगणित और अनुरूप बीजगणित में भी बड़े पैमाने पर किया जाता है, जहां टेंसर स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं।

नोट: अतः यह लेख चुने गए आधार (रैखिक बीजगणित) के बिना सदिश रिक्त समष्टि के टेंसर गुणनफल की समझ मानता है। विषय का अवलोकन मुख्य टेंसर लेख में पाया जा सकता है।

सदिश समष्टि के टेंसर गुणनफलों के माध्यम से परिभाषा

एक सामान्य क्षेत्र (गणित) F पर सदिश समष्टि के एक परिमित समुच्चय { V₁, ..., V_n } को देखते हुए, कोई अपना टेंसर गुणनफल V₁ ⊗ ... ⊗ V_n, बना सकता है, जिसके एक अवयव को टेंसर कहा जाता है।

इस प्रकार से सदिश समष्टि V पर एक टेंसर को तब रूप के सदिश समष्टि के एक अवयव (अर्थात, एक सदिश) के रूप में परिभाषित किया जाता है:

V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}

जहां V^∗V की दोहरी समष्टि है।

यदि हमारे गुणनफल में V की m प्रतियां और V∗ की n प्रतियां हैं, तो टेंसर को प्रकार (m, n) और क्रम m के प्रतिपरिवर्ती और क्रम n के सहसंयोजक और कुल टेंसर क्रम m + n का कहा जाता है। अतः क्रम शून्य के टेंसर मात्र अदिश (क्षेत्र F के अवयव) हैं, विपरीत क्रम 1 वाले टेंसर V में सदिश हैं, और सहसंवर्ती क्रम 1 वाले टेंसर V^∗ में रैखिक कार्यात्मक हैं (इस कारण से, अंतिम दो स्थानों के अवयवों को प्रायः प्रतिपरिवर्ती और सहसंयोजक सदिश कहा जाता है)। प्रकार (m, n) के सभी टेंसरों की समष्टि

T_{n}^{m}(V)=\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{m}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{n}

दर्शाया गया है।

उदाहरण 1. प्रकार (1, 1) टेंसर, $T_{1}^{1}(V)=V\otimes V^{*}$ की समष्टि, V से V तक रैखिक परिवर्तनों के समष्टि के लिए प्राकृतिक विधि से समरूपी है।

'उदाहरण 2.' वास्तविक सदिश समष्टि V, $V\times V\to F$ पर एक द्विरेखीय रूप, $T_{2}^{0}(V)=V^{*}\otimes V^{*}$ में एक प्रकार (0, 2) टेंसर से प्राकृतिक विधि से मेल खाता है। ऐसे द्विरेखीय रूप का एक उदाहरण परिभाषित किया जा सकता है, जिसे संबंधित मापीय टेंसर कहा जाता है, और सामान्यतः इसे g से दर्शाया जाता है।

टेंसर पद

एक सरल टेंसर (जिसे पद एक का टेंसर, प्राथमिक टेंसर या विश्लेषणीय टेंसर भी कहा जाता है (हैकबुश 2012, pp. 4)) एक टेंसर है जिसे रूप

T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d

के टेंसर के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, जहां a, b, ..., d अशून्य हैं और V या V^∗ में - अर्थात, यदि टेंसर अशून्य है और पूर्ण रूप से गुणनखंडनीय है। इस प्रकार से प्रत्येक टेंसर को सरल टेंसर के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। टेन्सर T के पद सरल टेन्सर की न्यूनतम संख्या है जिसका योग T (बोरबाकी 1989, II, §7, no. 8) है।

शून्य टेंसर के पद शून्य होती है। अतः गैर-शून्य क्रम 0 या 1 टेंसर के पद सदैव 1 होती है। गैर-शून्य क्रम 2 या उच्चतर टेंसर के पद (गुणनफलों का योग) में उच्चतम-आयाम वाले सदिश को छोड़कर सभी के आयामों के गुणनफल से कम या उसके बराबर है, जिसे टेंसर व्यक्त किया जा सकता है, जो dⁿ⁻¹ जब प्रत्येक गुणनफल आयाम d के एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि से n सदिश का होता है।

इस प्रकार से टेंसर के पद शब्द रैखिक बीजगणित में आव्यूह के पद की धारणा को विस्तारित करता है, यद्यपि इस शब्द का उपयोग प्रायः टेंसर के क्रम (या डिग्री) के अर्थ के लिए भी किया जाता है। आव्यूह के पद पंक्ति और स्तम्भ रिक्त समष्टि को फैलाने के लिए आवश्यक स्तम्भ सदिश की न्यूनतम संख्या है। अतः इस प्रकार आव्यूह के पद होती है यदि इसे दो गैर-शून्य सदिशों के बाह्य गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:

A=vw^{\mathrm {T} }.

आव्यूह A के पद ऐसे बाह्य गुणनफलों की सबसे छोटी संख्या है जिसे इसे उत्पन्न करने के लिए जोड़ा जा सकता है:

A=v_{1}w_{1}^{\mathrm {T} }+\cdots +v_{k}w_{k}^{\mathrm {T} }.

सूचकांकों में, पद 1 का टेंसर

T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_{i}b_{j}\cdots c^{k}d^{\ell }\cdots

रूप का टेंसर होता है।

क्रम 2 के टेंसर के पद पद से सहमत होती है जब टेंसर को आव्यूह (गणित) (हेल्मोस 1974, §51) के रूप में माना जाता है, और उदाहरण के लिए गाऊसी उन्मूलन से निर्धारित किया जा सकता है। यद्यपि क्रम 3 या उच्चतर टेंसर के पद निर्धारित करना प्रायः बहुत जटिल होता है, और टेंसर के निम्न पद का अपघटन कभी-कभी बहुत व्यावहारिक रुचि का होता है (डी ग्रूट 1987)। इस प्रकार से आव्यूह के दक्ष गुणन और बहुपदों के दक्ष मूल्यांकन जैसे संगणनात्मक कार्यों को दिए गए इनपुट के लिए x_iऔर y_j के लिए द्विरेखीय रूप

z_{k}=\sum _{ij}T_{ijk}x_{i}y_{j}

के एक समुच्चय का एक साथ मूल्यांकन करने की समस्या के रूप में पुनःनिर्माण किया जा सकता है। अतः यदि टेंसर T श्रेणी का अपघटन ज्ञात है, तो एक दक्ष मूल्यांकन कार्यनीति ज्ञात होती है (नुथ 1998, pp. 506–508)।

सार्वभौमिक गुण

इस प्रकार से बहुरेखीय प्रतिचित्रण के संदर्भ में समष्टि $T_{n}^{m}(V)$ को एक सार्वभौमिक गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण के लाभों में से यह है कि यह यह दिखाने की विधि देती है कि कई रैखिक प्रतिचित्रण प्राकृतिक या ज्यामितीय हैं (दूसरे शब्दों में आधार की किसी भी चयन से स्वतंत्र हैं)। अतः स्पष्ट संगणनात्मक सूचना को फिर आधारों का उपयोग करके लिखा जा सकता है, और प्राथमिकताओं का यह क्रम प्राकृतिक प्रतिचित्रण को जन्म देने वाले सूत्र को सिद्ध करने से अधिक सुविधाजनक हो सकता है। दूसरा गुण यह है कि टेंसर गुणनफलों का उपयोग मात्र मुक्त मॉड्यूल के लिए नहीं किया जाता है, और सार्वभौमिक दृष्टिकोण अधिक सामान्य स्थितियों में अधिक सरलता से लागू होता है।

सदिश रिक्त समष्टि

f:V_{1}\times \cdots \times V_{N}\to F

के कार्तीय गुणनफल (या मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग) पर अदिश-मानित फलन बहुरेखीय होता है यदि यह प्रत्येक तर्क में रैखिक होता है। V₁ × ... × V_N से W तक सभी बहुरेखीय प्रतिचित्रण की समष्टि L^N(V₁, ..., V_N; W) दर्शाया गया है। अतः जब N = 1, एक बहुरेखीय प्रतिचित्रण मात्र सरल रैखिक प्रतिचित्रण होता है, और V से W तक सभी रैखिक प्रतिचित्रण की समष्टि L(V; W) दर्शाया जाता है।

टेंसर गुणनफल के सार्वभौमिक लक्षण वर्णन का तात्पर्य है कि, प्रत्येक बहुरेखीय फलन

f\in L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};W)

(जहां $W$ अदिश क्षेत्र, एक सदिश समष्टि, या एक टेंसर समष्टि के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व कर सकता है) के लिए एक अद्वितीय रैखिक फलन

T_{f}\in L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};W)

स्थित है जैसे कि सभी $v_{i}\in V$ और $\alpha _{i}\in V^{*}$ के लिए

f(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m},v_{1},\ldots ,v_{n})=T_{f}(\alpha _{1}\otimes \cdots \otimes \alpha _{m}\otimes v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n})

।

सार्वभौमिक गुण का उपयोग करते हुए, यह इस प्रकार है कि (m,n)-टेंसरों की समष्टि एक प्राकृतिक समरूपता

T_{n}^{m}(V)\cong L(\underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{m}\otimes \underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n};F)\cong L^{m+n}(\underbrace {V^{*},\ldots ,V^{*}} _{m},\underbrace {V,\ldots ,V} _{n};F)

को स्वीकार करता है।

टेंसर की परिभाषा में प्रत्येक V रेखीय प्रतिचित्रों के तर्क के भीतर एक V^* से मेल खाता है, और इसके विपरीत। (ध्यान दें कि पूर्व स्थिति में, V की m प्रतियां और V* की n प्रतियां हैं, और बाद वाली स्थिति में इसके विपरीत)। अतः विशेष रूप से, किसी एक के निकट

{\begin{aligned}T_{0}^{1}(V)&\cong L(V^{*};F)\cong V,\\T_{1}^{0}(V)&\cong L(V;F)=V^{*},\\T_{1}^{1}(V)&\cong L(V;V)\end{aligned}}

है।

टेन्सर क्षेत्र

इस प्रकार से अवकल ज्यामिति, भौतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी को प्रायः समृणीकृत मैनिफोल्ड पर टेंसर क्षेत्र से निपटना चाहिए। टेन्सर शब्द का प्रयोग कभी-कभी टेन्सर क्षेत्र के लिए संक्षिप्त लिपि के रूप में किया जाता है। अतः टेंसर क्षेत्र टेंसर की अवधारणा को व्यक्त करता है जो मैनिफोल्ड पर बिंदु से दूसरे बिंदु पर भिन्न होता है।

संदर्भ

Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1985), Foundations of Mechanics (2 ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 0-201-40840-6.
Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of Mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
de Groote, H. F. (1987), Lectures on the Complexity of Bilinear Problems, Lecture Notes in Computer Science, vol. 245, Springer, ISBN 3-540-17205-X.
Halmos, Paul (1974), Finite-dimensional Vector Spaces, Springer, ISBN 0-387-90093-4.
Jeevanjee, Nadir (2011), "An Introduction to Tensors and Group Theory for Physicists", Physics Today, 65 (4): 64, Bibcode:2012PhT....65d..64P, doi:10.1063/PT.3.1523, ISBN 978-0-8176-4714-8
Knuth, Donald E. (1998) [1969], The Art of Computer Programming vol. 2 (3rd ed.), pp. 145–146, ISBN 978-0-201-89684-8.
Hackbusch, Wolfgang (2012), Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus, Springer, p. 4, ISBN 978-3-642-28027-6.

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 {{Short description|Coordinate-free definition of a tensor}}
-{{for|an introduction to the nature and significance of tensors in a broad context|Tensor}}
+{{for|व्यापक संदर्भ में टेंसर की प्रकृति और महत्व का परिचय|टेन्सर}}गणित में, '''टेन्सर''' के सिद्धांत का आधुनिक [[घटक-मुक्त]] दृष्टिकोण टेन्सर को एक ऐसे [[अमूर्त वस्तु|संक्षेप वस्तु]] के रूप में देखता है, जो कुछ निश्चित प्रकार की बहुरेखीय प्रतिचित्रण अवधारणा को व्यक्त करता है। उनके गुण उनकी परिभाषाओं से प्राप्त किए जा सकते हैं, जैसे रैखिक प्रतिचित्र या अधिक सामान्यतः; और टेंसर के अन्तःक्षेप के नियम रैखिक बीजगणित से [[बहुरेखीय बीजगणित]] के विस्तार के रूप में उत्पन्न होते हैं।
-{{No footnotes|date=October 2023}}
-गणित में, टेन्सर के सिद्धांत का आधुनिक [[घटक-मुक्त]] दृष्टिकोण टेन्सर को एक [[अमूर्त वस्तु]] के रूप में देखता है, जो कुछ निश्चित प्रकार की मल्टीलाइनर_मैप अवधारणा को व्यक्त करता है। उनके गुण उनकी परिभाषाओं से प्राप्त किए जा सकते हैं, जैसे रैखिक मानचित्र या अधिक सामान्यतः; और टेंसर के हेरफेर के नियम रैखिक बीजगणित से [[बहुरेखीय बीजगणित]] के विस्तार के रूप में उत्पन्न होते हैं।
+इस प्रकार से [[विभेदक ज्यामिति]] में, आंतरिक ज्यामितीय कथन को [[ कई गुना |मैनिफोल्ड]] पर [[ टेन्सर |टेन्सर]] क्षेत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और फिर निर्देशांक का संदर्भ देने की निश्चित ही आवश्यकता नहीं होती है। भौतिक गुण का वर्णन करने वाले टेंसर क्षेत्र के [[सामान्य सापेक्षता]] में भी यही सत्य है। घटक-मुक्त दृष्टिकोण का उपयोग [[अमूर्त बीजगणित|संक्षेप बीजगणित]] और अनुरूप बीजगणित में भी बड़े पैमाने पर किया जाता है, जहां टेंसर स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं।
-[[विभेदक ज्यामिति]] में, एक आंतरिक{{Definition needed|date=May 2020}} ज्यामितीय कथन को [[ कई गुना ]] पर एक [[[[ टेन्सर ]] फ़ील्ड]] द्वारा वर्णित किया जा सकता है, और फिर निर्देशांक का संदर्भ देने की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं होती है। भौतिक संपत्ति का वर्णन करने वाले टेंसर फ़ील्ड के [[सामान्य सापेक्षता]] में भी यही सच है। घटक-मुक्त दृष्टिकोण का उपयोग [[अमूर्त बीजगणित]] और होमोलॉजिकल बीजगणित में भी बड़े पैमाने पर किया जाता है, जहां टेंसर स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं।
+:''नोट: अतः यह लेख चुने गए [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के बिना सदिश रिक्त समष्टि के [[टेंसर उत्पाद|टेंसर गुणनफल]] की समझ मानता है। विषय का अवलोकन मुख्य टेंसर लेख में पाया जा सकता है।''
-:''नोट: यह लेख चुने गए [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के बिना वेक्टर रिक्त स्थान के [[टेंसर उत्पाद]] की समझ मानता है। विषय का अवलोकन मुख्य टेंसर लेख में पाया जा सकता है।''
+==सदिश समष्टि के टेंसर गुणनफलों के माध्यम से परिभाषा==
+एक सामान्य [[फ़ील्ड (गणित)|क्षेत्र (गणित)]] F पर सदिश समष्टि के एक परिमित समुच्चय {{nowrap|{ ''V''<sub>1</sub>, ..., ''V''<sub>''n''</sub> }{{null}}}} को देखते हुए, कोई अपना टेंसर गुणनफल {{nowrap|''V''<sub>1</sub> ⊗ ... ⊗ ''V''<sub>''n''</sub>}}, बना सकता है, जिसके एक अवयव को टेंसर कहा जाता है।
-==वेक्टर स्थानों के टेंसर उत्पादों के माध्यम से परिभाषा==
+इस प्रकार से सदिश समष्टि ''V'' पर एक टेंसर को तब रूप के सदिश समष्टि के एक अवयव (अर्थात, एक सदिश) के रूप में परिभाषित किया जाता है:
-एक परिमित समुच्चय दिया गया है {{nowrap|{ ''V''<sub>1</sub>, ..., ''V''<sub>''n''</sub> }{{null}}}} एक सामान्य [[फ़ील्ड (गणित)]] एफ पर वेक्टर रिक्त स्थान का, कोई अपना टेन्सर उत्पाद बना सकता है#वेक्टर रिक्त स्थान का टेन्सर उत्पाद {{nowrap|''V''<sub>1</sub> ⊗ ... ⊗ ''V''<sub>''n''</sub>}}, जिसके एक तत्व को टेंसर कहा जाता है।
-वेक्टर स्पेस ''V'' पर एक टेंसर को तब फॉर्म के वेक्टर स्पेस के एक तत्व (यानी, एक वेक्टर इन) के रूप में परिभाषित किया जाता है:
 :<math>V \otimes \cdots \otimes V \otimes V^* \otimes \cdots \otimes V^*</math>
-जहां वी<sup>∗</sup>V का दोहरा स्थान है।
+जहां V<sup>∗</sup>V की दोहरी समष्टि है।
-यदि V की m प्रतियाँ और V की n प्रतियाँ हैं<sup>∗</sup>हमारे उत्पाद में, टेंसर को कहा जाता है{{nowrap|type (''m'', ''n'')}} और क्रम ''एम'' के प्रतिपरिवर्ती और क्रम ''एन'' के सहसंयोजक और कुल [[टेंसर ऑर्डर]] के {{nowrap|''m'' + ''n''}}. क्रम शून्य के टेंसर केवल अदिश (क्षेत्र F के तत्व) हैं, विपरीत क्रम 1 वाले टेंसर V में सदिश हैं, और सहसंयोजक क्रम 1 वाले टेंसर V में [[रैखिक कार्यात्मक]]|एक-रूप हैं<sup>∗</sup> (इस कारण से, अंतिम दो स्थानों के तत्वों को अक्सर कॉन्ट्रावेरिएंट और सहसंयोजक वैक्टर कहा जाता है)। प्रकार के सभी टेंसरों का स्थान {{nowrap|(''m'', ''n'')}} दर्शाया गया है
+यदि हमारे गुणनफल में V की m प्रतियां और V∗ की n प्रतियां हैं, तो टेंसर को {{nowrap|प्रकार (''m'', ''n'')}} और क्रम m के प्रतिपरिवर्ती और क्रम n के सहसंयोजक और कुल [[टेंसर ऑर्डर|टेंसर क्रम]] ''{{nowrap|''m'' + ''n''}}'' का कहा जाता है। अतः क्रम शून्य के टेंसर मात्र अदिश (क्षेत्र F के अवयव) हैं, विपरीत क्रम 1 वाले टेंसर V में सदिश हैं, और सहसंवर्ती क्रम 1 वाले टेंसर ''V''<sup>∗</sup> में [[रैखिक कार्यात्मक]] हैं (इस कारण से, अंतिम दो स्थानों के अवयवों को प्रायः प्रतिपरिवर्ती और सहसंयोजक सदिश कहा जाता है)। प्रकार {{nowrap|(''m'', ''n'')}} के सभी टेंसरों की समष्टि
-:<math> T^m_n(V) = \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V}_{m} \otimes \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*}_{n}.</math>
+:<math> T^m_n(V) = \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V}_{m} \otimes \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*}_{n}</math> दर्शाया गया है।
-उदाहरण 1. प्रकार का स्थान {{nowrap|(1, 1)}} टेंसर, <math>T^1_1(V) = V \otimes V^*,</math> वी से वी तक [[रैखिक परिवर्तन]]ों के स्थान के लिए प्राकृतिक तरीके से आइसोमोर्फिक है।
+उदाहरण 1. प्रकार {{nowrap|(1, 1)}} टेंसर, <math>T^1_1(V) = V \otimes V^*</math> की समष्टि, V से V तक [[रैखिक परिवर्तन|रैखिक परिवर्तनों]] के समष्टि के लिए प्राकृतिक विधि से समरूपी है।
-'उदाहरण 2.' वास्तविक सदिश समष्टि V पर एक [[द्विरेखीय रूप]], <math>V\times V \to F,</math> एक प्रकार से प्राकृतिक तरीके से मेल खाता है {{nowrap|(0, 2)}} टेंसर इन <math>T^0_2 (V) = V^* \otimes V^*.</math> ऐसे द्विरेखीय रूप का एक उदाहरण परिभाषित किया जा सकता है,{{clarify|date=October 2023}}संबंधित [[मीट्रिक टेंसर]] कहा जाता है, और आमतौर पर इसे जी दर्शाया जाता है।
+'उदाहरण 2.' वास्तविक सदिश समष्टि V, <math>V\times V \to F</math> पर एक [[द्विरेखीय रूप]], <math>T^0_2 (V) = V^* \otimes V^*</math> में एक प्रकार {{nowrap|(0, 2)}} टेंसर से प्राकृतिक विधि से मेल खाता है। ऐसे द्विरेखीय रूप का एक उदाहरण परिभाषित किया जा सकता है, जिसे संबंधित [[मीट्रिक टेंसर|मापीय टेंसर]] कहा जाता है, और सामान्यतः इसे g से दर्शाया जाता है।
-==टेंसर रैंक==
+==टेंसर पद==
-{{Main|Tensor rank decomposition}}
+{{Main|टेन्सर पद वियोजन}}
-एक साधारण टेंसर (जिसे रैंक एक का टेंसर, प्राथमिक टेंसर या डीकंपोजेबल टेंसर भी कहा जाता है) {{harv|Hackbusch|2012|pp=4}}) एक टेंसर है जिसे फॉर्म के टेंसर के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है
+एक '''सरल टेंसर''' (जिसे पद एक का टेंसर, प्राथमिक टेंसर या विश्लेषणीय टेंसर भी कहा जाता है {{harv|हैकबुश|2012|pp=4}}) एक टेंसर है जिसे रूप
 :<math>T=a\otimes b\otimes\cdots\otimes d</math>
-जहां ए, बी, ..., डी शून्येतर हैं और वी या वी में हैं<sup>∗</sup> - अर्थात, यदि टेंसर शून्येतर और पूरी तरह से [[गुणन]]खंडन है। प्रत्येक टेंसर को सरल टेंसर के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। टेन्सर ''T'' की रैंक सरल टेन्सर की न्यूनतम संख्या है जिसका योग ''T'' होता है {{harv|Bourbaki|1989|loc=II, §7, no. 8}}.
+के टेंसर के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, जहां a, b, ..., d अशून्य हैं और V या ''V''<sup>∗</sup> में - अर्थात, यदि टेंसर अशून्य है और पूर्ण रूप से [[गुणन|गुणनखंडनीय]] है। इस प्रकार से प्रत्येक टेंसर को सरल टेंसर के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। टेन्सर ''T'' के पद '''सरल टेन्सर''' की न्यूनतम संख्या है जिसका योग ''T {{harv|बोरबाकी|1989|loc=II, §7, no. 8}}'' है।
-[[शून्य टेंसर]] की रैंक शून्य होती है। एक गैर-शून्य क्रम 0 या 1 टेंसर की रैंक हमेशा 1 होती है। एक गैर-शून्य क्रम 2 या उच्चतर टेंसर की रैंक उच्चतम-आयाम वाले वैक्टर को छोड़कर सभी के आयामों के उत्पाद से कम या उसके बराबर होती है (उत्पादों का योग) ) जिससे टेंसर को व्यक्त किया जा सकता है, जो कि d है{{i sup|''n''−1}} जब प्रत्येक उत्पाद आयाम d के परिमित-आयामी वेक्टर स्थान से n वैक्टर का होता है।
+[[शून्य टेंसर]] के पद शून्य होती है। अतः गैर-शून्य क्रम 0 या 1 टेंसर के पद सदैव 1 होती है। गैर-शून्य क्रम 2 या उच्चतर टेंसर के पद (गुणनफलों का योग) में उच्चतम-आयाम वाले सदिश को छोड़कर सभी के आयामों के गुणनफल से कम या उसके बराबर है, जिसे टेंसर व्यक्त किया जा सकता है, जो d{{i sup|''n''−1}} जब प्रत्येक गुणनफल आयाम d के एक परिमित-आयामी सदिश समष्टि से n सदिश का होता है।
-टेंसर की रैंक शब्द रैखिक बीजगणित में मैट्रिक्स की रैंक की धारणा को विस्तारित करता है, हालांकि इस शब्द का उपयोग अक्सर टेंसर के क्रम (या डिग्री) के अर्थ के लिए भी किया जाता है। मैट्रिक्स की रैंक पंक्ति और कॉलम रिक्त स्थान को फैलाने के लिए आवश्यक कॉलम वैक्टर की न्यूनतम संख्या है। इस प्रकार [[एक मैट्रिक्स की रैंक]] एक होती है यदि इसे दो गैर-शून्य वैक्टरों के [[बाहरी उत्पाद]] के रूप में लिखा जा सकता है:
+इस प्रकार से टेंसर के पद शब्द रैखिक बीजगणित में आव्यूह के पद की धारणा को विस्तारित करता है, यद्यपि इस शब्द का उपयोग प्रायः टेंसर के क्रम (या डिग्री) के अर्थ के लिए भी किया जाता है। आव्यूह के पद पंक्ति और स्तम्भ रिक्त समष्टि को फैलाने के लिए आवश्यक स्तम्भ सदिश की न्यूनतम संख्या है। अतः इस प्रकार [[एक मैट्रिक्स की रैंक|आव्यूह के पद]] होती है यदि इसे दो गैर-शून्य सदिशों के [[बाहरी उत्पाद|बाह्य गुणनफल]] के रूप में लिखा जा सकता है:
 :<math>A = v w^{\mathrm{T}}.</math>
-मैट्रिक्स ए की रैंक ऐसे बाहरी उत्पादों की सबसे छोटी संख्या है जिसे इसे उत्पन्न करने के लिए जोड़ा जा सकता है:
+आव्यूह A के पद ऐसे बाह्य गुणनफलों की सबसे छोटी संख्या है जिसे इसे उत्पन्न करने के लिए जोड़ा जा सकता है:
 :<math>A = v_1w_1^\mathrm{T} + \cdots + v_k w_k^\mathrm{T}.</math>
-सूचकांकों में, रैंक 1 का टेंसर फॉर्म का टेंसर होता है
+सूचकांकों में, पद 1 का टेंसर
-:<math>T_{ij\dots}^{k\ell\dots}=a_i b_j \cdots c^k d^\ell\cdots.</math>
+:<math>T_{ij\dots}^{k\ell\dots}=a_i b_j \cdots c^k d^\ell\cdots</math> रूप का टेंसर होता है।
-क्रम 2 के टेंसर की रैंक रैंक से सहमत होती है जब टेंसर को [[मैट्रिक्स (गणित)]] के रूप में माना जाता है {{harv|Halmos|1974|loc=§51}}, और उदाहरण के लिए गाऊसी उन्मूलन से निर्धारित किया जा सकता है। हालाँकि ऑर्डर 3 या उच्चतर टेंसर की रैंक निर्धारित करना अक्सर बहुत कठिन होता है, और टेंसर की निम्न रैंक का अपघटन कभी-कभी बहुत व्यावहारिक रुचि का होता है {{harv|de Groote|1987}}. मैट्रिक्स के कुशल गुणन और [[बहुपद]]ों के कुशल मूल्यांकन जैसे कम्प्यूटेशनल कार्यों को एक साथ द्विरेखीय रूपों के सेट के मूल्यांकन की समस्या के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है।
+क्रम 2 के टेंसर के पद पद से सहमत होती है जब टेंसर को [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] {{harv|हेल्मोस|1974|loc=§51}} के रूप में माना जाता है, और उदाहरण के लिए गाऊसी उन्मूलन से निर्धारित किया जा सकता है। यद्यपि क्रम 3 या उच्चतर टेंसर के पद निर्धारित करना प्रायः बहुत जटिल होता है, और टेंसर के निम्न पद का अपघटन कभी-कभी बहुत व्यावहारिक रुचि का होता है {{harv|डी ग्रूट|1987}}। इस प्रकार से आव्यूह के दक्ष गुणन और [[बहुपद|बहुपदों]] के दक्ष मूल्यांकन जैसे संगणनात्मक कार्यों को दिए गए इनपुट के लिए x<sub>i</sub>और y<sub>j</sub> के लिए द्विरेखीय रूप
 :<math>z_k = \sum_{ij} T_{ijk}x_iy_j</math>
-दिए गए इनपुट के लिए x<sub>i</sub>और य<sub>j</sub>. यदि टेंसर टी का निम्न-रैंक अपघटन ज्ञात है, तो एक कुशल [[मूल्यांकन रणनीति]] ज्ञात है {{harv|Knuth|1998|pp=506–508}}.
+के एक समुच्चय का एक साथ मूल्यांकन करने की समस्या के रूप में पुनःनिर्माण किया जा सकता है। अतः यदि टेंसर ''T'' श्रेणी का अपघटन ज्ञात है, तो एक दक्ष [[मूल्यांकन रणनीति|मूल्यांकन कार्यनीति]] ज्ञात होती है {{harv|नुथ|1998|pp=506–508}}।
-==सार्वभौमिक संपत्ति==
+==सार्वभौमिक गुण==
-अंतरिक्ष <math>T^m_n(V)</math> [[बहुरेखीय मानचित्र]]ण के संदर्भ में इसे एक [[सार्वभौमिक संपत्ति]] द्वारा चित्रित किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण के फायदों में से यह है कि यह यह दिखाने का एक तरीका देता है कि कई रैखिक मानचित्रण प्राकृतिक या ज्यामितीय हैं (दूसरे शब्दों में आधार की किसी भी पसंद से स्वतंत्र हैं)। स्पष्ट कम्प्यूटेशनल जानकारी को फिर आधारों का उपयोग करके लिखा जा सकता है, और प्राथमिकताओं का यह क्रम प्राकृतिक मानचित्रण को जन्म देने वाले सूत्र को साबित करने से अधिक सुविधाजनक हो सकता है। दूसरा पहलू यह है कि टेंसर उत्पादों का उपयोग केवल [[मुफ़्त मॉड्यूल]] के लिए नहीं किया जाता है, और सार्वभौमिक दृष्टिकोण अधिक सामान्य स्थितियों में अधिक आसानी से लागू होता है।
+इस प्रकार से [[बहुरेखीय मानचित्र|बहुरेखीय प्रतिचित्रण]] के संदर्भ में समष्टि <math>T^m_n(V)</math> को एक [[सार्वभौमिक संपत्ति|सार्वभौमिक गुण]] द्वारा चित्रित किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण के लाभों में से यह है कि यह यह दिखाने की विधि देती है कि कई रैखिक प्रतिचित्रण प्राकृतिक या ज्यामितीय हैं (दूसरे शब्दों में आधार की किसी भी चयन से स्वतंत्र हैं)। अतः स्पष्ट संगणनात्मक सूचना को फिर आधारों का उपयोग करके लिखा जा सकता है, और प्राथमिकताओं का यह क्रम प्राकृतिक प्रतिचित्रण को जन्म देने वाले सूत्र को सिद्ध करने से अधिक सुविधाजनक हो सकता है। दूसरा गुण यह है कि टेंसर गुणनफलों का उपयोग मात्र [[मुफ़्त मॉड्यूल|मुक्त मॉड्यूल]] के लिए नहीं किया जाता है, और सार्वभौमिक दृष्टिकोण अधिक सामान्य स्थितियों में अधिक सरलता से लागू होता है।
-वेक्टर रिक्त स्थान के कार्टेशियन उत्पाद (या [[मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग]]) पर एक स्केलर-मूल्यवान फ़ंक्शन
+सदिश रिक्त समष्टि
 :<math>f : V_1\times\cdots\times V_N \to F</math>
-यदि यह प्रत्येक तर्क में रैखिक है तो बहुरेखीय है। से सभी बहुरेखीय मानचित्रणों का स्थान {{nowrap|''V''<sub>1</sub> × ... × ''V<sub>N</sub>''}} से W को L दर्शाया गया है<sup>एन</sup>(बी<sub>1</sub>, ..., में<sub>N</sub>; डब्ल्यू). जब N = 1, एक बहुरेखीय मानचित्रण केवल एक साधारण रैखिक मानचित्रण होता है, और V से W तक सभी रैखिक मानचित्रणों का स्थान दर्शाया जाता है {{nowrap|''L''(''V''; ''W'')}}.
+के कार्तीय गुणनफल (या [[मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग]]) पर अदिश-मानित फलन बहुरेखीय होता है यदि यह प्रत्येक तर्क में रैखिक होता है। {{nowrap|''V''<sub>1</sub> × ... × ''V<sub>N</sub>''}} से W तक सभी बहुरेखीय प्रतिचित्रण की समष्टि L<sup>N</sup>(''V''<sub>1</sub>, ..., ''V<sub>N</sub>''; ''W'') दर्शाया गया है। अतः जब N = 1, एक बहुरेखीय प्रतिचित्रण मात्र सरल रैखिक प्रतिचित्रण होता है, और V से W तक सभी रैखिक प्रतिचित्रण की समष्टि {{nowrap|''L''(''V''; ''W'')}} दर्शाया जाता है।
-टेंसर उत्पाद#यूनिवर्सल प्रॉपर्टी का तात्पर्य यह है कि, प्रत्येक बहुरेखीय फ़ंक्शन के लिए
+टेंसर गुणनफल के सार्वभौमिक लक्षण वर्णन का तात्पर्य है कि, प्रत्येक बहुरेखीय फलन
 :<math>f\in L^{m+n}(\underbrace{V^*,\ldots,V^*}_m,\underbrace{V,\ldots,V}_n;W)</math>
-(कहाँ <math>W</math> अदिश क्षेत्र, एक सदिश समष्टि, या एक टेंसर समष्टि का प्रतिनिधित्व कर सकता है) एक अद्वितीय रैखिक फ़ंक्शन मौजूद है
+(जहां <math>W</math> अदिश क्षेत्र, एक सदिश समष्टि, या एक टेंसर समष्टि के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व कर सकता है) के लिए एक अद्वितीय रैखिक फलन
 :<math>T_f \in L(\underbrace{V^*\otimes\cdots\otimes V^*}_m \otimes \underbrace{V\otimes\cdots\otimes V}_n; W)</math>
-ऐसा है कि
+स्थित है जैसे कि सभी <math>v_i \in V</math> और <math>\alpha_i \in V^*</math> के लिए
-:<math>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_m, v_1,\ldots,v_n) = T_f(\alpha_1\otimes\cdots\otimes\alpha_m \otimes v_1\otimes\cdots\otimes v_n)</math>
+:<math>f(\alpha_1,\ldots,\alpha_m, v_1,\ldots,v_n) = T_f(\alpha_1\otimes\cdots\otimes\alpha_m \otimes v_1\otimes\cdots\otimes v_n)</math>।
-सभी के लिए <math>v_i \in V</math> और <math>\alpha_i \in V^*.</math>
+सार्वभौमिक गुण का उपयोग करते हुए, यह इस प्रकार है कि (m,n)-टेंसरों की समष्टि एक [[प्राकृतिक समरूपता]]
-सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग करते हुए, यह निम्नानुसार है{{Dubious|Equivalence of the two intrinsic definitions|date=October 2023}} कि (m,n)-टेंसर्स का स्थान एक [[प्राकृतिक समरूपता]] को स्वीकार करता है
-:<math>T^m_n(V) \cong L(\underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_m \otimes \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_n; F) \cong L^{m+n}(\underbrace{V^*, \ldots,V^*}_m,\underbrace{V,\ldots,V}_n; F).</math>
+:<math>T^m_n(V) \cong L(\underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_m \otimes \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_n; F) \cong L^{m+n}(\underbrace{V^*, \ldots,V^*}_m,\underbrace{V,\ldots,V}_n; F)</math> को स्वीकार करता है।
-टेंसर की परिभाषा में प्रत्येक V एक V से मेल खाता है<sup>*</sup>रेखीय मानचित्रों के तर्क के अंदर, और इसके विपरीत। (ध्यान दें कि पहले मामले में, V की m प्रतियां और V की n प्रतियां हैं<sup>*</sup>, और बाद वाले मामले में इसके विपरीत)। विशेष रूप से, एक के पास है
+टेंसर की परिभाषा में प्रत्येक V रेखीय प्रतिचित्रों के तर्क के भीतर एक V<sup>*</sup> से मेल खाता है, और इसके विपरीत। (ध्यान दें कि पूर्व स्थिति में, V की m प्रतियां और V* की n प्रतियां हैं, और बाद वाली स्थिति में इसके विपरीत)। अतः विशेष रूप से, किसी एक के निकट
 :<math>\begin{align}
 T^1_0(V) &\cong L(V^*;F) \cong V,\\
 T^0_1(V) &\cong L(V;F) = V^*,\\
-T^1_1(V) &\cong L(V;V).
+T^1_1(V) &\cong L(V;V)
-\end{align}</math>
+\end{align}</math> है।
+==टेन्सर क्षेत्र==
+{{Main|टेन्सर क्षेत्र}}
-==टेन्सर फ़ील्ड==
-{{Main|tensor field}}
-डिफरेंशियल ज्योमेट्री, [[ भौतिक विज्ञान ]] और [[ अभियांत्रिकी ]] को अक्सर [[ चिकनी कई गुना ]]्स पर टेंसर फील्ड से निपटना चाहिए। टेन्सर शब्द का प्रयोग कभी-कभी टेन्सर क्षेत्र के लिए आशुलिपि के रूप में किया जाता है। एक टेंसर फ़ील्ड एक टेंसर की अवधारणा को व्यक्त करता है जो मैनिफोल्ड पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर भिन्न होता है।
+इस प्रकार से अवकल ज्यामिति, [[ भौतिक विज्ञान |भौतिक विज्ञान]] और [[ अभियांत्रिकी |अभियांत्रिकी]] को प्रायः [[ चिकनी कई गुना |समृणीकृत मैनिफोल्ड]] पर टेंसर क्षेत्र से निपटना चाहिए। टेन्सर शब्द का प्रयोग कभी-कभी टेन्सर क्षेत्र के लिए संक्षिप्त लिपि के रूप में किया जाता है। अतः टेंसर क्षेत्र टेंसर की अवधारणा को व्यक्त करता है जो मैनिफोल्ड पर बिंदु से दूसरे बिंदु पर भिन्न होता है।
 ==संदर्भ==
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 [[Category:Created On 18/11/2023]]
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