गाऊसी मुक्त क्षेत्र

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, गाऊसी मुक्त क्षेत्र (जीएफएफ) एक गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्र है, जो यादृच्छिक सतहों (यादृच्छिक ऊंचाई फलनों) का एक केंद्रीय प्रतिरूप है। शेफ़ील्ड (2007) गॉसियन मुक्त क्षेत्र का गणितीय सर्वेक्षण देता है।

असतत संस्करण को किसी भी ग्राफ, जैसे सामान्य तौर पर d-आयामी यूक्लिडियन समष्‍टि में एक जालक ग्राफ पर परिभाषित किया जा सकता है। सतत संस्करण को सामान्यत: R^d या R^d के एक परिबद्ध उपक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है। इसे समय (लेकिन फिर भी एक समष्टि) आयामों के लिए एक-आयामी ब्राउनियन गति के प्राकृतिक सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है, यह R^d से R तक एक यादृच्छिक (व्यापकीकृत ) फलन है। विशेष रूप से, एक-आयामी सतत जीएफएफ एक अंतराल पर मानक एक-आयामी ब्राउनियन गति या ब्राउनियन ब्रिज है।

यादृच्छिक सतहों के सिद्धांत में इसे 'हार्मोनिक क्रिस्टल' भी कहा जाता है। यह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में कई रचनाओ का प्रारंभिक बिंदु भी है, जहां इसे 'यूक्लिडियन बोसॉनिक द्रव्यमान रहित मुक्त क्षेत्र' कहा जाता है। 2-आयामी जीएफएफ की एक प्रमुख गुण अनुरूप अपरिवर्तनीयता है, जो इसे श्राम-लोवेनर विकास के साथ कई तरीकों से जोड़ती है, इसके संबंध में शेफ़ील्ड (2005) और डबेडैट (2009) को देखें।

ब्राउनियन गति के समान, जो असतत यादृच्छिक चलन प्रतिरूप की एक विस्तृत श्रृंखला की विशाल सीमा है (जिसके लिए डोंस्कर की प्रमेय देखें), सतत जीएफएफ न केवल जालक पर असतत जीएफएफ की विशाल सीमा है, बल्कि यह कई यादृच्छिक ऊंचाई फलन प्रतिरूपो की भी है, जैसे कि एकसमान रैंडम प्लेनर डोमिनो टाइलिंग्स की ऊंचाई फ़ंक्शन, केन्योन (2001) देखें।

जैसे समान वितरण (असतत) प्लेनर डोमिनोज़ टाइलिंग की ऊंचाई फलन के रूप में, देखें Kenyon (2001). प्लेनर जीएफएफ एक यादृच्छिक मैट्रिक्स प्रतिरूप के विशेषता बहुपद के उतार-चढ़ाव की सीमा भी है, गिनिब्रे पहनावा, देखें Rider & Virág (2007).

किसी भी ग्राफ़ पर असतत GFF की संरचना रैंडम वॉक#ऑन ग्राफ़ के व्यवहार से निकटता से संबंधित है। उदाहरण के लिए, असतत GFF प्रमाण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है Ding, Lee & Peres (2012) ग्राफ़ के कवर समय के बारे में कई अनुमान (सभी शीर्षों पर जाने के लिए यादृच्छिक चलने के लिए आवश्यक कदमों की अपेक्षित संख्या)।

असतत GFF की परिभाषा

यह सतह प्लॉट शून्य सीमा शर्तों के साथ 60 गुणा 60 वर्ग ग्रिड के शीर्षों पर परिभाषित असतत गाऊसी मुक्त क्षेत्र का एक नमूना दिखाता है। शीर्षों पर DGFF के मानों को एक सतत फलन देने के लिए रैखिक रूप से प्रक्षेपित किया जाता है।

मान लीजिए कि P(x, y) एक परिमित ग्राफ़ G(V, E) पर यादृच्छिक चलने द्वारा दी गई मार्कोव श्रृंखला का संक्रमण कर्नेल है। मान लीजिए कि U शीर्ष V का एक निश्चित गैर-रिक्त उपसमुच्चय है, और सभी वास्तविक-मूल्यवान फलनों का समुच्चय लें $\varphi$ यू पर कुछ निर्धारित मूल्यों के साथ। फिर हम गिब्स माप को परिभाषित करते हैं

$H(\varphi )={\frac {1}{2}}\sum _{(x,y)}P(x,y){\big (}\varphi (x)-\varphi (y){\big )}^{2}.$

फिर, प्रायिकता घनत्व फलन के साथ यादृच्छिक फलन आनुपातिक होता है $\exp(-H(\varphi ))$ लेब्सग्यू उपाय के संबंध में $\mathbb {R} ^{V\setminus U}$ सीमा यू के साथ असतत जीएफएफ कहा जाता है।

यह दर्शाना कठिन नहीं है कि अपेक्षित मूल्य क्या है $\mathbb {E} [\varphi (x)]$ यू से सीमा मानों का असतत हार्मोनिक फलन विस्तार है (संक्रमण कर्नेल पी के संबंध में हार्मोनिक), और सहप्रसरण $\mathrm {Cov} [\varphi (x),\varphi (y)]$ असतत ग्रीन के फलन G(x,y) के बराबर हैं।

तो, एक वाक्य में, असतत जीएफएफ वी पर गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्र है जिसमें संक्रमण कर्नेल पी से जुड़े ग्रीन के फलन द्वारा दी गई सहप्रसरण संरचना है।

सतत क्षेत्र

सतत क्षेत्र की परिभाषा आवश्यक रूप से कुछ अमूर्त मशीनरी का उपयोग करती है, क्योंकि यह यादृच्छिक ऊंचाई फलन के रूप में मौजूद नहीं है। इसके बजाय, यह एक यादृच्छिक व्यापकीकृत फलन है, या दूसरे शब्दों में, वितरण (गणित) पर एक प्रायिकता वितरण (वितरण शब्द के दो अलग-अलग अर्थों के साथ)।

एक डोमेन Ω⊆R दिया गया हैⁿ, डिरिचलेट ऊर्जा पर विचार करें

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }(Df(x),Dg(x))\,dx$

Ω पर सुचारु कार्यों के लिए और जी, कुछ निर्धारित सीमा फलन के साथ मेल खाता है $\partial \Omega$, कहाँ $Df\,(x)$ पर ग्रेडिएंट वेक्टर है $x\in \Omega$. फिर इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में हिल्बर्ट स्थान क्लोजर लें, यह सोबोलेव स्थान है $H^{1}(\Omega )$.

सतत GFF $\varphi$ पर $\Omega$ द्वारा अनुक्रमित एक गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्र है $H^{1}(\Omega )$, यानी, सामान्य वितरण यादृच्छिक चर का एक संग्रह, प्रत्येक के लिए एक $f\in H^{1}(\Omega )$, द्वारा चिह्नित $\langle \varphi ,f\rangle$, जैसे कि सहप्रसरण संरचना है $\mathrm {Cov} [\langle \varphi ,f\rangle ,\langle \varphi ,g\rangle ]=\langle f,g\rangle$ सभी के लिए $f,g\in H^{1}(\Omega )$.

ऐसा यादृच्छिक क्षेत्र वास्तव में मौजूद है, और इसका वितरण अद्वितीय है। किसी भी अलौकिक आधार को देखते हुए $\psi _{1},\psi _{2},\dots$ का $H^{1}(\Omega )$ (दी गई सीमा शर्त के साथ), हम औपचारिक अनंत योग बना सकते हैं

$\varphi :=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\psi _{k},$

जहां $\xi _{k}$ क्या आई.आई.डी. मानक सामान्य चर। यह यादृच्छिक योग लगभग निश्चित रूप से एक तत्व के रूप में मौजूद नहीं होगा $H^{1}(\Omega )$, क्योंकि इसका विचरण अनंत है। हालाँकि, यह एक यादृच्छिक वितरण (गणित) के रूप में मौजूद है, क्योंकि किसी के लिए भी $f\in H^{1}(\Omega )$ हमारे पास है

$f=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\psi _{k},{\text{ with }}\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}<\infty ,$

इस तरह

$\langle \varphi ,f\rangle :=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}c_{k}$

एक सुपरिभाषित परिमित यादृच्छिक संख्या है।

विशेष मामला: n = 1

हालाँकि उपरोक्त तर्क यह दर्शाता है $\varphi$ के एक यादृच्छिक तत्व के रूप में मौजूद नहीं है $H^{1}(\Omega )$, यह अभी भी हो सकता है कि यह एक यादृच्छिक फलन है $\Omega$ कुछ बड़े फलन स्थान में। वास्तव में, आयाम में $n=1$, का एक अलौकिक आधार $H^{1}[0,1]$ द्वारा दिया गया है

$\psi _{k}(t):=\int _{0}^{t}\varphi _{k}(s)\,ds\,,$ कहाँ $(\varphi _{k})$ का असामान्य आधार बनाएं $L^{2}[0,1]\,,$

और तब $\varphi (t):=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\psi _{k}(t)$ इसे आसानी से एक-आयामी ब्राउनियन गति (या ब्राउनियन ब्रिज, यदि सीमा मान के लिए) के रूप में देखा जाता है $\varphi _{k}$ इस तरह स्थापित किए गए हैं)। तो, इस मामले में, यह एक यादृच्छिक निरंतर कार्य है। उदाहरण के लिए, यदि $(\varphi _{k})$ हार आधार है, तो यह लेवी की ब्राउनियन गति का निर्माण है, उदाहरण के लिए, धारा 3 देखें Peres (2001).

दूसरी ओर, के लिए $n\geq 2$ इसे वास्तव में केवल एक व्यापकीकृत कार्य के रूप में अस्तित्व में दिखाया जा सकता है, देखें Sheffield (2007).

विशेष स्थिति, n = 2

आयाम n = 2 में, सतत GFF का अनुरूप अपरिवर्तनीयता डिरिचलेट आंतरिक उत्पाद के अपरिवर्तनीयता से स्पष्ट है। संबंधित द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत दो आयामों में द्रव्यमान रहित मुक्त अदिश बोसॉन का वर्णन करता है।

यह भी देखें

• ब्राउनियन शीट

संदर्भ

• Ding, J.; Lee, J. R.; Peres, Y. (2012), "Cover times, blanket times, and majorizing measures", Annals of Mathematics, 175 (3): 1409–1471, arXiv:1004.4371, doi:10.4007/annals.2012.175.3.8
• Dubédat, J. (2009), "SLE and the free field: Partition functions and couplings", J. Amer. Math. Soc., 22 (4): 995–1054, arXiv:0712.3018, Bibcode:2009JAMS...22..995D, doi:10.1090/s0894-0347-09-00636-5, S2CID 8065580
• Kenyon, R. (2001), "Dominos and the Gaussian free field", Annals of Probability, 29 (3): 1128–1137, arXiv:math-ph/0002027, doi:10.1214/aop/1015345599, MR 1872739, S2CID 119640707
• Peres, Y. (2001), "An Invitation to Sample Paths of Brownian Motion" (PDF), Lecture Notes at UC Berkeley
• Rider, B.; Virág, B. (2007), "The noise in the Circular Law and the Gaussian Free Field", International Mathematics Research Notices: article ID rnm006, 32 pages, arXiv:math/0606663, doi:10.1093/imrn/rnm006, MR 2361453
• Sheffield, S. (2005), "Local sets of the Gaussian Free Field", Talks at the Fields Institute, Toronto, on September 22–24, 2005, as Part of the "Percolation, SLE, and Related Topics" Workshop.
• Sheffield, S. (2007), "Gaussian free fields for mathematicians", Probability Theory and Related Fields, 139 (3–4): 521–541, arXiv:math.PR/0312099, doi:10.1007/s00440-006-0050-1, MR 2322706, S2CID 14237927
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.