गाऊसी मुक्त क्षेत्र

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, गाऊसी मुक्त क्षेत्र (जीएफएफ) एक गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्र है, जो यादृच्छिक सतहों (यादृच्छिक ऊंचाई फलनों) का एक केंद्रीय प्रतिरूप है। शेफ़ील्ड (2007) गॉसियन मुक्त क्षेत्र का गणितीय सर्वेक्षण देता है।

असतत संस्करण को किसी भी ग्राफ, जैसे सामान्य तौर पर d-आयामी यूक्लिडियन समष्‍टि में एक जालक ग्राफ पर परिभाषित किया जा सकता है। सतत संस्करण को सामान्यत: R^d या R^d के एक परिबद्ध उपक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है। इसे समय (लेकिन फिर भी एक समष्टि) आयामों के लिए एक-आयामी ब्राउनियन गति के प्राकृतिक सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है, यह R^d से R तक एक यादृच्छिक (सामान्यीकृत ) फलन है। विशेष रूप से, एक-आयामी सतत जीएफएफ एक अंतराल पर मानक एक-आयामी ब्राउनियन गति या ब्राउनियन ब्रिज है।

यादृच्छिक सतहों के सिद्धांत में इसे 'हार्मोनिक क्रिस्टल' भी कहा जाता है। यह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में कई रचनाओ का प्रारंभिक बिंदु भी है, जहां इसे 'यूक्लिडियन बोसॉनिक द्रव्यमान रहित मुक्त क्षेत्र' कहा जाता है। 2-आयामी जीएफएफ की एक प्रमुख गुण अनुरूप अपरिवर्तनीयता है, जो इसे श्राम-लोवेनर विकास के साथ कई तरीकों से जोड़ती है, इसके संबंध में शेफ़ील्ड (2005) और डबेडैट (2009) को देखें।

ब्राउनियन गति के समान, जो असतत यादृच्छिक चलन प्रतिरूप की एक विस्तृत श्रृंखला की विशाल सीमा है (जिसके लिए डोंस्कर की प्रमेय देखें), सतत जीएफएफ न केवल जालक पर असतत जीएफएफ की विशाल सीमा है, बल्कि यह कई यादृच्छिक ऊंचाई फलन प्रतिरूपो की भी है, जैसे कि एकसमान रैंडम प्लेनर डोमिनो टाइलिंग्स की ऊंचाई फ़ंक्शन, केन्योन (2001) देखें।

जैसे समान वितरण (असतत) प्लेनर डोमिनोज़ टाइलिंग की ऊंचाई फलन के रूप में, देखें Kenyon (2001). प्लेनर जीएफएफ एक यादृच्छिक मैट्रिक्स प्रतिरूप के विशेषता बहुपद के उतार-चढ़ाव की सीमा भी है, गिनिब्रे पहनावा, देखें Rider & Virág (2007).

किसी भी ग्राफ़ पर असतत जीएफएफ की संरचना रैंडम वॉक#ऑन ग्राफ़ के व्यवहार से निकटता से संबंधित है। उदाहरण के लिए, असतत जीएफएफ प्रमाण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है Ding, Lee & Peres (2012) ग्राफ़ के कवर समय के बारे में कई अनुमान (सभी शीर्षों पर जाने के लिए यादृच्छिक चलने के लिए आवश्यक कदमों की अपेक्षित संख्या)।

असतत जीएफएफ की परिभाषा

यह सतह प्लॉट शून्य सीमा शर्तों के साथ 60 गुणा 60 वर्ग ग्रिड के शीर्षों पर परिभाषित असतत गाऊसी मुक्त क्षेत्र का एक नमूना दिखाता है। शीर्षों पर Dजीएफएफ के मानों को एक सतत फलन देने के लिए रैखिक रूप से प्रक्षेपित किया जाता है।

मान लीजिए कि P(x, y) एक परिमित ग्राफ़ G(V, E) पर यादृच्छिक चाल द्वारा दी गई मार्कोव श्रृंखला का संक्रमण कर्नेल है। मान लीजिए कि U शीर्ष V का एक निश्चित अरिक्‍त उपसमुच्चय है, और U पर कुछ निर्धारित मानों के साथ सभी वास्तविक-मूल्य वाले फलन $\varphi$ का समुच्चय है। फिर हम हैमिल्टनियन को

$H(\varphi )={\frac {1}{2}}\sum _{(x,y)}P(x,y){\big (}\varphi (x)-\varphi (y){\big )}^{2}.$

से परिभाषित करते हैं। फिर, $\mathbb {R} ^{V\setminus U}$पर लेबेस्ग माप के संबंध में $\exp(-H(\varphi ))$ के आनुपातिक संभाव्यता घनत्व वाले यादृच्छिक फलन को सीमा U के साथ असतत जीएफएफ कहा जाता है।

यह दर्शाना कठिन नहीं है कि अपेक्षित मूल्य मान $\mathbb {E} [\varphi (x)]$, U (संक्रमण कर्नेल Pके संबंध में हार्मोनिक) से सीमा मानों का असतत हार्मोनिक विस्तार है, और सहप्रसरण $\mathrm {Cov} [\varphi (x),\varphi (y)]$ असतत ग्रीन के फलन G(x,y) के बराबर हैं।

तो, एक वाक्य में, असतत जीएफएफ V पर गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्र है जिसमें संक्रमण कर्नेल P से जुड़े ग्रीन के फलन द्वारा दी गई सहप्रसरण संरचना है।

सतत क्षेत्र

सतत क्षेत्र की परिभाषा आवश्यक रूप से कुछ अमूर्त मशीनरी का उपयोग करती है, क्योंकि यह यादृच्छिक ऊंचाई फलन के रूप में उपस्थित नहीं है। बल्कि, यह एक यादृच्छिक सामान्यीकृत फलन है, या दूसरे शब्दों में, यह वितरण पर एक प्रायिकता वितरण (वितरण शब्द के दो अलग-अलग अर्थों के साथ) है।

दिए गए प्रक्षेत्र Ω⊆Rⁿ को ध्यान में रखते हुए, Ω पर सुचारु फलनो ƒ और g के लिए डिरिचलेट आंतरगुणन

$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }(Df(x),Dg(x))\,dx$

पर विचार करें, जो $\partial \Omega$, पर कुछ निर्धारित सीमा फलनो के साथ मेल खाता है, जहां$Df\,(x)$ $x\in \Omega$ पर प्रवणता सदिश है। फिर इस आंतरिक उत्पाद के संबंध में हिल्बर्ट समष्टि संवरक लें, जोकि सोबोलेव समष्टि $H^{1}(\Omega )$ है।

$\Omega$ पर सतत जीएफएफ $\varphi$ एक गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्र है जिसे $H^{1}(\Omega )$ द्वारा अनुक्रमित किया गया है, अर्थात, गाऊसी यादृच्छिक चर का एक संग्रह, प्रत्येक$f\in H^{1}(\Omega )$ के लिए एक , $\langle \varphi ,f\rangle$ द्वारा दर्शाया गया है, जैसे कि सहप्रसरण संरचना सभी $\mathrm {Cov} [\langle \varphi ,f\rangle ,\langle \varphi ,g\rangle ]=\langle f,g\rangle$ के लिए $f,g\in H^{1}(\Omega )$ है।

ऐसा यादृच्छिक क्षेत्र वास्तव में उपस्थित है, और इसका वितरण अद्वितीय है। $H^{1}(\Omega )$ के किसी भी लम्बवत् आधार $\psi _{1},\psi _{2},\dots$ को देखते हुए (दी गई परिसीमा प्रतिबंध के साथ), हम औपचारिक अनंत योग

$\varphi :=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\psi _{k},$

बना सकते हैं, जहां $\xi _{k}$ क्या आई.आई.डी. मानक सामान्य चर हैं। यह यादृच्छिक योग लगभग निश्चित रूप से $H^{1}(\Omega )$के अवयव के रूप में उपस्थित नहीं होगा, क्योंकि इसका विचरण अनंत है। हालाँकि, यह एक यादृच्छिक सामान्यीकृत फलन के रूप में उपस्थित है, क्योंकि किसी भी

$f=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}\psi _{k},{\text{ with }}\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}<\infty ,$

के लिए हमारे पास $f\in H^{1}(\Omega )$ है,

इसलिए

$\langle \varphi ,f\rangle :=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}c_{k}$

एक सुपरिभाषित परिमित यादृच्छिक संख्या है।

विशेष स्थिति, n = 1

हालाँकि उपरोक्त तर्क यह दर्शाता है कि $\varphi$, $H^{1}(\Omega )$ के एक यादृच्छिक अवयव के रूप में उपस्थित नहीं है , फिर भी यह हो सकता है कि यह कुछ बड़े फलन समष्टि में $\Omega$ पर एक यादृच्छिक फलन हो। वास्तव में, आयाम $n=1$ में , $H^{1}[0,1]$ का एक लांबिक आधार

$\psi _{k}(t):=\int _{0}^{t}\varphi _{k}(s)\,ds\,,$ द्वारा दिया जाता है, जहां $(\varphi _{k})$ $L^{2}[0,1]\,,$ का एक लांबिक आधार बनाता है,

और फिर $\varphi (t):=\sum _{k=1}^{\infty }\xi _{k}\psi _{k}(t)$ को आसानी से एक-आयामी ब्राउनियन गति (या ब्राउनियन ब्रिज, यदि $\varphi _{k}$के लिए सीमा मान इस तरह से स्थापित किए गए हैं) के रूप में देखा जाता है। तो, इस स्थिति में, यह एक यादृच्छिक संतत फलन है। उदाहरण के लिए, यदि $(\varphi _{k})$ हार आधार है, तो यह लेवी की ब्राउनियन गति की रचना है, उदाहरण के लिए, पेरेस Peres (2001) की धारा 3 देखें।

दूसरी ओर, $n\geq 2$ के लिए इसे वास्तव में केवल एक सामान्यीकृत फलन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, जिसके लिए Sheffield (2007) देखें।

विशेष स्थिति, n = 2

आयाम n = 2 में, सतत जीएफएफ का अनुरूप अपरिवर्तनीयता डिरिचलेट आंतरगुणन के अपरिवर्तनीयता से स्पष्ट है। संबंधित द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत दो आयामों में द्रव्यमान रहित मुक्त अदिश बोसॉन का वर्णन करता है।

यह भी देखें

• ब्राउनियन शीट

संदर्भ

• Ding, J.; Lee, J. R.; Peres, Y. (2012), "Cover times, blanket times, and majorizing measures", Annals of Mathematics, 175 (3): 1409–1471, arXiv:1004.4371, doi:10.4007/annals.2012.175.3.8
• Dubédat, J. (2009), "SLE and the free field: Partition functions and couplings", J. Amer. Math. Soc., 22 (4): 995–1054, arXiv:0712.3018, Bibcode:2009JAMS...22..995D, doi:10.1090/s0894-0347-09-00636-5, S2CID 8065580
• Kenyon, R. (2001), "Dominos and the Gaussian free field", Annals of Probability, 29 (3): 1128–1137, arXiv:math-ph/0002027, doi:10.1214/aop/1015345599, MR 1872739, S2CID 119640707
• Peres, Y. (2001), "An Invitation to Sample Paths of Brownian Motion" (PDF), Lecture Notes at UC Berkeley
• Rider, B.; Virág, B. (2007), "The noise in the Circular Law and the Gaussian Free Field", International Mathematics Research Notices: article ID rnm006, 32 pages, arXiv:math/0606663, doi:10.1093/imrn/rnm006, MR 2361453
• Sheffield, S. (2005), "Local sets of the Gaussian Free Field", Talks at the Fields Institute, Toronto, on September 22–24, 2005, as Part of the "Percolation, SLE, and Related Topics" Workshop.
• Sheffield, S. (2007), "Gaussian free fields for mathematicians", Probability Theory and Related Fields, 139 (3–4): 521–541, arXiv:math.PR/0312099, doi:10.1007/s00440-006-0050-1, MR 2322706, S2CID 14237927
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.