धनात्मक रैखिक फलनात्मक

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक क्रमबद्ध सदिश स्थान $(V,\leq )$ पर एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक, $V$ पर एक रैखिक कार्यात्मक $f$ है जिससे सभी सकारात्मक तत्वों $v\in V,$ यानी कि $v\geq 0,$ के लिए यह माना जा सके कि

$$f(v)\geq 0.$$

दूसरे शब्दों में, एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकता को सकारात्मक तत्वों के लिए गैर-ऋणात्मक मान लेने की गारंटी दी जाती है। जो कि सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं का महत्व रिज़्ज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय जैसे परिणामों में निहित है।

कब $V$ एक जटिल संख्या सदिश समष्टि है, यह सभी के लिए माना जाता है $v\geq 0,$ $f(v)$ यह सचमुच का है। जैसा कि मामले में जब $V$ एक C*-बीजगणित है जिसमें स्व-संयुक्त तत्वों का आंशिक रूप से क्रमबद्ध उप-स्थान होता है, कभी-कभी आंशिक क्रम केवल एक उप-स्थान पर रखा जाता है $W\subseteq V,$ और आंशिक आदेश सभी पर लागू नहीं होता है $V,$ किस मामले में के सकारात्मक तत्व $V$ के सकारात्मक तत्व हैं $W,$ अंकन के दुरुपयोग से. इसका तात्पर्य यह है कि C*-बीजगणित के लिए, एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक कोई भी भेजता है $x\in V$ के बराबर $s^{\ast }s$ कुछ के लिए $s\in V$ एक वास्तविक संख्या के लिए, जो इसके जटिल संयुग्म के बराबर है, और इसलिए सभी सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकताएं इस तरह की आत्म-संयुक्तता को संरक्षित करती हैं $x.$ सी*-बीजगणित पर सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं को आंतरिक उत्पादों से जोड़ने के लिए जीएनएस निर्माण में इस संपत्ति का उपयोग किया जाता है।

सभी सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं की निरंतरता के लिए पर्याप्त शर्तें

क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश रिक्त स्थान का एक तुलनात्मक रूप से बड़ा वर्ग है जिस पर प्रत्येक सकारात्मक रैखिक रूप आवश्यक रूप से निरंतर है। इसमें सभी टोपोलॉजिकल सदिश जाली शामिल हैं जो अनुक्रमिक रूप से पूर्ण टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस हैं।

प्रमेय चलो $X$ सकारात्मक शंकु के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश स्थान बनें $C\subseteq X$ और जाने ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ के सभी परिबद्ध उपसमुच्चय के परिवार को निरूपित करें $X.$ फिर निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति यह गारंटी देने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक सकारात्मक रैखिक कार्यशील है $X$ निरंतर है:

1. $C$ इसमें गैर-खाली टोपोलॉजिकल इंटीरियर (इंच) है $X$).
2. $X$ पूर्ण स्थान और मेट्रिज़ेबल है और $X=C-C.$
3. $X$ बोर्नोलॉजिकल स्पेस है और $C$ एक अर्ध-पूर्ण सामान्य शंकु (कार्यात्मक विश्लेषण)|सख्त है ${\mathcal {B}}$-शंकु में $X.$
4. $X$ एक परिवार की आगमनात्मक सीमा है $\left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}$ जहां सकारात्मक रेखीय मानचित्रों के एक परिवार के संबंध में आदेशित फ़्रेचेट रिक्त स्थान का $X_{\alpha }=C_{\alpha }-C_{\alpha }$ सभी के लिए $\alpha \in A,$ कहाँ $C_{\alpha }$ का धनात्मक शंकु है $X_{\alpha }.$

निरंतर सकारात्मक विस्तार

निम्नलिखित प्रमेय एच. बाउर और स्वतंत्र रूप से नामियोका के कारण है।

प्रमेय: होने देना $X$ सकारात्मक शंकु के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस (टीवीएस) बनें $C,$ होने देना $M$ का एक सदिश उपसमष्टि हो $E,$ और जाने $f$ पर एक रेखीय रूप हो $M.$ तब $f$ पर एक सतत सकारात्मक रैखिक रूप का विस्तार है $X$ यदि और केवल यदि कोई उत्तल पड़ोस मौजूद है $U$ का $0$ में $X$ ऐसा है कि $\operatorname {Re} f$ ऊपर से घिरा हुआ है $M\cap (U-C).$

परिणाम: होने देना $X$ सकारात्मक शंकु के साथ एक क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश स्थान बनें $C,$ होने देना $M$ का एक सदिश उपसमष्टि हो $E.$ अगर $C\cap M$ का एक आंतरिक बिंदु शामिल है $C$ फिर हर सतत सकारात्मक रैखिक रूप पर $M$ पर एक सतत सकारात्मक रैखिक रूप का विस्तार है $X.$

परिणाम: होने देना $X$ धनात्मक शंकु के साथ एक क्रमित सदिश समष्टि हो $C,$ होने देना $M$ का एक सदिश उपसमष्टि हो $E,$ और जाने $f$ पर एक रेखीय रूप हो $M.$ तब $f$ पर एक सकारात्मक रैखिक रूप का विस्तार है $X$ यदि और केवल यदि कुछ उत्तल अवशोषक सेट मौजूद है $W$ में $X$ की उत्पत्ति से युक्त $X$ ऐसा है कि $\operatorname {Re} f$ ऊपर से घिरा हुआ है $M\cap (W-C).$

प्रमाण: यह समर्थन करने के लिए पर्याप्त है $X$ बेहतरीन स्थानीय उत्तल टोपोलॉजी निर्माण के साथ $W$ के एक पड़ोस में $0\in X.$

उदाहरण

उदाहरण के तौर पर विचार करें $V,$ सम्मिश्र संख्या वर्ग मैट्रिक्स का C*-बीजगणित जिसमें सकारात्मक तत्व सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स हैं। इस C*-बीजगणित पर परिभाषित मैट्रिक्स फ़ंक्शन का ट्रेस एक सकारात्मक कार्यात्मक है, क्योंकि किसी भी सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स के eigenvalues ​​सकारात्मक हैं, और इसलिए इसका ट्रेस सकारात्मक है।

रिज़्ज़ स्थान पर विचार करें $\mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X)$ सघन स्थान के सभी सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) जटिल-मूल्य वाले फ़ंक्शन स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान पर समर्थन (गणित) $X.$ बोरेल नियमित माप पर विचार करें $\mu$ पर $X,$ और एक कार्यात्मक $\psi$ द्वारा परिभाषित

$$\psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad {\text{ for all }}f\in \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X).$$

फिर, यह कार्यात्मक सकारात्मक है (किसी भी सकारात्मक फ़ंक्शन का अभिन्न अंग एक सकारात्मक संख्या है)। इसके अलावा, इस स्थान पर किसी भी सकारात्मक कार्यात्मकता का यह रूप होता है, जैसा कि रिज़्ज़-मार्कोव-काकुतानी प्रतिनिधित्व प्रमेय से निम्नानुसार है।

सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक (सी*-बीजगणित)

होने देना $M$ C*-बीजगणित हो (अधिक सामान्यतः, C*-बीजगणित में एक ऑपरेटर प्रणाली $A$) पहचान के साथ $1.$ होने देना $M^{+}$ में सकारात्मक तत्वों के सेट को निरूपित करें $M.$ एक रैखिक कार्यात्मक $\rho$ पर $M$ बताया गया positive अगर $\rho (a)\geq 0,$ सभी के लिए $a\in M^{+}.$ :प्रमेय. एक रैखिक कार्यात्मक $\rho$ पर $M$ सकारात्मक है यदि और केवल यदि $\rho$ घिरा हुआ है और $\|\rho \|=\rho (1).$

कॉची-श्वार्ज़ असमानता

अगर $\rho$ C*-बीजगणित पर एक सकारात्मक रैखिक कार्यात्मक है $A,$ तब कोई अर्धनिश्चित सेसक्विलिनियर फॉर्म को परिभाषित कर सकता है $A$ द्वारा $\langle a,b\rangle =\rho (b^{\ast }a).$ इस प्रकार कॉची-श्वार्ज़ असमानता से हमारे पास है

$$\left|\rho (b^{\ast }a)\right|^{2}\leq \rho (a^{\ast }a)\cdot \rho (b^{\ast }b).$$

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग

जगह दी गई $C$, एक मूल्य प्रणाली को एक सतत, सकारात्मक, रैखिक कार्यात्मकता के रूप में देखा जा सकता है $C$.

यह भी देखें

• Positive element
• Positive linear operator

ग्रन्थसूची

• Kadison, Richard, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. ISBN 978-0821808191.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.