रैखिक विस्तार

गणित में, सदिशों के समुच्चय S (किसी सदिश समष्टि से) का रैखिक स्पैन जिसे रैखिक हल (रैखिक समावरक) या केवल स्पैन भी कहा जाता है, span(S) से प्रदर्शित किया जाता है, को S में सदिशों के सभी रैखिक संयोजनों (कॉम्बिनेशन) के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे या तो सभी रैखिक उपसमष्टियों के प्रतिच्छेदन के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसमें S सम्मिलित होता है, या S युक्त सबसे छोटी उपसमष्टि के रूप में। सदिशों के एक समुच्चय का रैखिक स्पैन स्वयं एक सदिश समष्टि होता है। स्पैन को मैट्रोइड्स और मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

यह व्यक्त करने के लिए कि एक सदिश समष्टि V उपसमुच्चय S का एक रैखिक स्पैन है, सामान्यतः निम्नलिखित सूत्र रूप का उपयोग किया जाता है - या तो: S, V को विस्तृत करता है, S, V का एक विस्तृत किया गया समुच्चय है, V को S द्वारा स्पैन/उत्पन्न किया जाता है, या S, V का एक जनरेटर या जनरेटर समुच्चय है।

परिभाषा

फ़ील्ड K पर एक सदिश समष्टि V दिया गया है, सदिशों के एक समुच्चय S का स्पैन (आवश्यक नहीं कि अनंत हो) को V के सभी उपसमष्टियों के प्रतिच्छेदन W के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें S सम्मिलित है। W को S द्वारा विस्तृत किए गए उपसमष्टि के रूप में संदर्भित किया जाता है, या S में सदिशों द्वारा। इसके विपरीत, S को W का विस्तृत समुच्चय कहा जाता है, और हम कहते हैं कि S, W को विस्तृत करता है।

वैकल्पिक रूप से, S का स्पैन को S के तत्वों (सदिश) के सभी परिमित रैखिक संयोजनों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो उपरोक्त परिभाषा से अनुसरण करता है।

$$\operatorname {span} (S)=\left\{{\left.\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}\;\right|\;k\in \mathbb {N} ,\mathbf {v} _{i}\in S,\lambda _{i}\in K}\right\}.$$

अनंत S की स्थिति में, अनंत रैखिक संयोजन (अर्थात जहां एक संयोजन में एक अनंत राशि सम्मिलित हो सकती है, यह मानते हुए कि इस तरह की राशियों को किसी भी तरह बनच समष्टि में परिभाषित किया गया है) को परिभाषा से बहिःक्षिप्त किया गया है, एक सामान्यीकरण जो इन्हें अनुमति देता है वह समतुल्य नहीं है।

उदाहरण

क्रॉस-हैचड प्लेन R³ में u और v का रैखिक स्पैन है।

वास्तविक सदिश समष्टि $\mathbb {R} ^{3}$ में {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} एक विस्तृत समुच्चय के रूप में है। यह विशेष रूप से एक विस्तृत समुच्चय एक बेसिस होता है। यदि (-1, 0, 0) को (1, 0, 0) से बदल दिया जाता है, तो यह $\mathbb {R} ^{3}$ का विहित बेसिस भी बन जाएगा।

उसी समष्टि के लिए एक अन्य विस्तृत समुच्चय {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, 1⁄2, 3), (1, 1, 1)} द्वारा दिया जाता है, परन्तु यह समुच्चय आधार नहीं है, क्योंकि यह रैखिक निर्भरता है।

समुच्चय {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} $\mathbb {R} ^{3}$ का विस्तृत समुच्चय नहीं है, चूँकि इसका स्पैन $\mathbb {R} ^{3}$ में सभी सदिशों का समष्टि है जिसका अंतिम घटक शून्य है। वह समष्टि समुच्चय {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} द्वारा भी फैला हुआ है, क्योंकि (1, 1, 0) (1, 0, 0) और (0, 1, 0) का एक रैखिक संयोजन है। हालाँकि, यह $\mathbb {R} ^{3}$ तक फैला हुआ है। (जब इसे $\mathbb {R} ^{3}$ के उपसमुच्चय के रूप में समझा जाता है)।

खाली समुच्चय {(0, 0, 0)} का एक फैला हुआ समुच्चय है, क्योंकि खाली समुच्चय $\mathbb {R} ^{3}$ में सभी संभावित सदिश रिक्त समष्टि का एक सबसमुच्चय है, इन सभी सदिश रिक्त समष्टि का प्रतिच्छेदन है।

फलन xⁿ का समुच्चय, जहां n एक अऋणात्मक पूर्णांक है, बहुपदों के समष्टि को विस्तृत करता है।

प्रमेय

परिभाषाओं की समानता

V के एक उपसमुच्चय S के सभी रैखिक संयोजनों का समुच्चय, K के ऊपर एक सदिश समष्टि, V युक्त S का सबसे छोटा रैखिक उपसमष्टि है।

प्रमाण। हम पहले सिद्ध करते हैं कि span S, V की एक उपसमष्टि है। चूँकि S, V का एक उपसमूह है, हमें केवल span S में एक शून्य सदिश 0 के अस्तित्व को प्रमाणित करने की आवश्यकता है, वह span S अतिरिक्त के तहत संवृत है, और वह span S सदिश गुणन के तहत संवृत है। $S=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$ को देखते हुए, यह तुच्छ है कि V का शून्य सदिश $\mathbf {0} =0\mathbf {v} _{1}+0\mathbf {v} _{2}+\cdots +0\mathbf {v} _{n}$ के बाद से S में उपस्थित है। S के दो रैखिक संयोजनों को एक साथ जोड़ने से S का एक रैखिक संयोजन भी उत्पन्न होता है: $(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})+(\mu _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\mu _{n}\mathbf {v} _{n})=(\lambda _{1}+\mu _{1})\mathbf {v} _{1}+\cdots +(\lambda _{n}+\mu _{n})\mathbf {v} _{n}$, जहां सभी $\lambda _{i},\mu _{i}\in K$, और S के रैखिक संयोजन को सदिश $c\in K$ से गुणा करने पर S: $c(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=c\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}$ का एक और रैखिक संयोजन प्राप्त होगा। इस प्रकार S, V की एक उपसमष्टि है।

मान लीजिए कि W, V युक्त S की एक रैखिक उपसमष्टि है। यह $S\subseteq \operatorname {span} S$ का अनुसरण करता है, क्योंकि प्रत्येक v_i S का एक रैखिक संयोजन है (त्रुटिपूर्ण)। चूँकि W जोड़ और अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है, तो प्रत्येक रैखिक संयोजन $\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}$ को W में समाविष्ट होना चाहिए। इस प्रकार, span S V युक्त S के प्रत्येक उप-समष्टि में समाहित है, और ऐसे सभी उप-समष्टि का प्रतिच्छेदन, या सबसे छोटा उप-समष्टि, S के सभी रैखिक संयोजनों के समुच्चय के बराबर है।

विस्तृत समुच्चय का आकार रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय का कम से कम आकार है

सदिश समष्टि V के प्रत्येक स्पैन किए गए समुच्चय S में कम से कम उतने अवयव होने चाहिए जितने कि V से सदिशों के किसी रैखिक स्वतंत्रता समुच्चय में होते हैं।

प्रमाण। $S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}$ को एक स्पैन किए गए समुच्चय होने दें और $W=\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n}\}$ V से सदिशों का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय बनें। हम $m\geq n$ दिखाना चाहते हैं।

चूँकि S, V तक फैला है, तो $S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}$ को भी V तक फैलाना चाहिए, और w_1 को S का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए। इस प्रकार $S\cup \{\mathbf {w} _{1}\}$ रैखिक रूप से निर्भर है, और हम S से एक सदिश को हटा सकते हैं जो अन्य तत्वों का एक रैखिक संयोजन है। यह सदिश कोई भी w_i नहीं हो सकता है, क्योंकि W रैखिक रूप से स्वतंत्र है। परिणामी समुच्चय $\{\mathbf {w} _{1},\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1},\mathbf {v} _{i+1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}\}$ है, जो कि V का विस्तृत समुच्चय है। हम इस चरण को n बार दोहराते हैं, जहाँ pवें चरण के बाद परिणामी समुच्चय $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{p}\}$ और S के m - p सदिशों का मिलन है।

यह nवें चरण तक सुनिश्चित किया जाता है कि v के प्रत्येक आसन्न के लिए S में से हमेशा कुछ v_i निकालना होगा, और इस प्रकार कम से कम उतने ही v_i हैं जितने कि w_i हैं—अर्थात् $m\geq n$ है। इसे सत्यापित करने के लिए, हम असंगति के रूप में मान लेते हैं कि $m<n$ है। फिर, mवें चरण पर, हमें प्राप्त समुच्चय $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ है और हम अन्य सदिश $\mathbf {w} _{m+1}$ को जोड़ सकते हैं। परन्तु, चूँकि $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ V का एक विस्तृत समुच्चय है, $\mathbf {w} _{m+1}$ $\{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}$ का एक रैखिक संयोजन है। यह एक विरोधाभास है, क्योंकि W रैखिकतः स्वतंत्र है।

विस्तृत समुच्चय को बेसिस में लघुकृत किया जा सकता है

माना की V एक परिमित-विमीय सदिश समष्टि है। यदि आवश्यक हो तो सदिश को हटाकर (अर्थात यदि समुच्चय में रैखिक रूप से निर्भर सदिश हैं) V को विस्तृत करने वाले सदिशों का कोई भी समुच्चय V के बेसिस में लघुकृत किया जा सकता है। यदि विकल्प की सूक्तियां धारण करता है, तो यह इस धारणा के बिना सत्य है कि V का परिमित विमा होती है। यह यह भी इंगित करता है कि V परिमित-विमीय होने पर एक आधार न्यूनतम विस्तृत समुच्चय है।

सामान्यीकरण

समष्टि में बिंदुओं का स्पैन की परिभाषा को सामान्यीकृत करते हुए, मैट्रॉइड के ग्राउंड समुच्चय के एक उपसमुच्चय X को विस्तृत समुच्चय कहा जाता है यदि X का रैंक पूरे ग्राउंड समुच्चय के रैंक के बराबर है।

सदिश समष्टि की परिभाषा को मॉड्यूल के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक R-मॉड्यूल A और तत्वों का एक संग्रह a₁, ..., a_n, A का दिया गया है, A का सबमॉड्यूल a₁, ..., a_n, चक्रीय मॉड्यूल का योग है

$$Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}=\left\{\sum _{k=1}^{n}r_{k}a_{k}{\bigg |}r_{k}\in R\right\}$$

तत्वों के सभी R-रैखिक संयोजनों से मिलकर a_i। सदिश रिक्त समष्टि की स्थिति में, A के किसी भी सबसमुच्चय द्वारा फैलाए गए A के सबमॉड्यूल उस उपसमुच्चय वाले सभी सबमॉड्यूल्स का प्रतिच्छेदन है।

संवृत रैखिक स्पैन (कार्यात्मक विश्लेषण)

कार्यात्मक विश्लेषण में, सदिश समष्टि के एक समुच्चय (गणित) का एक संवृत रैखिक स्पैन न्यूनतम संवृत समुच्चय होता है जिसमें उस समुच्चय का रैखिक स्पैन होता है।

मान लीजिए कि X एक मानक सदिश समष्टि है और मान लीजिए कि E, X का कोई गैर-रिक्त उपसमुच्चय है। E की संवृत रैखिक स्पैन, जिसे ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ या ${\overline {\operatorname {Span} }}(E)$ द्वारा निरूपित किया जाता है, X की सभी संवृत रैखिक उपसमष्टि का प्रतिच्छेदन है, जिसमें E सम्मिलित है।

इसका एक गणितीय सूत्रीकरण है

${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)=\{u\in X|\forall \varepsilon >0\,\exists x\in \operatorname {Sp} (E):\|x-u\|<\varepsilon \}.$

अंतराल [0, 1] पर फलन xⁿ के समुच्चय का संवृत रैखिक स्पैन, जहां n एक अऋणात्मक पूर्णांक है, उपयोग किए गए मानदंड पर निर्भर करता है। यदि L² मानदंड का उपयोग किया जाता है, तो संवृत रैखिक स्पैन अंतराल पर वर्ग-अभिन्नीकरण कार्यों का हिल्बर्ट समष्टि है। परन्तु यदि अधिकतम मानदंड का उपयोग किया जाता है, तो संवृत रैखिक स्पैन अंतराल पर निरंतर कार्यों की जगह होगी। किसी भी स्थिति में, संवृत रैखिक स्पैन में ऐसे कार्य होते हैं जो बहुपद नहीं होते हैं, और इसलिए रैखिक स्पैन में ही नहीं होते हैं। हालांकि, संवृत रैखिक स्पैन में कार्यों के समुच्चय की प्रमुखता सातत्य की प्रमुखता है, जो बहुपदों के समुच्चय के लिए समान प्रमुखता है।

टिप्पणियाँ

संवृत रैखिक स्पैन में एक समुच्चय का रैखिक स्पैन घना है। इसके अतिरिक्त, जैसा कि नीचे दी गई लेम्मा में बताया गया है, संवृत रैखिक स्पैन वास्तव में रैखिक स्पैन का संवृत होना है।

बंद रैखिक उपसमष्टियों से निपटने के दौरान बंद रैखिक स्पैन महत्वपूर्ण होते हैं,(जो स्वयं अत्यधिक महत्वपूर्ण होते हैं, रिज़्ज़ लेम्मा देखें)।

एक उपयोगी स्वीकृत सिद्धांत (लेम्मा)

माना X को एक मानक समष्टि है और E को X का कोई अरिक्त उपसमुच्चय है। तब

1. ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ X की बंद रेखीय उपसमष्टि है जिसमें E है,
2. ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)={\overline {\operatorname {Sp} (E)}}$, viz. ${\overline {\operatorname {Sp} }}(E)$ is the closure of $\operatorname {Sp} (E)$,
3. $E^{\perp }=(\operatorname {Sp} (E))^{\perp }=\left({\overline {\operatorname {Sp} (E)}}\right)^{\perp }.$

(इसलिए संवृत रैखिक स्पैन को प्राप्त करने की सामान्य विधि पहले रैखिक स्पैन प्राप्त करना है, और फिर उस रैखिक स्पैन को संवृत करना है।)

यह भी देखें

• अफिन हल
• शंक्वाकार संयोजन
• उत्तल पतवार

स्रोत

पाठ्यपुस्तकें

• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
• Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4th ed.). Orthogonal Publishing. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Lane, Saunders Mac; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Algebra (3rd ed.). AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821816462.
• Roman, Steven (2005). Advanced Linear Algebra (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-24766-1.
• Rynne, Brian P.; Youngson, Martin A. (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1848000049.
• Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

वेब

• Lankham, Isaiah; Nachtergaele, Bruno; Schilling, Anne (13 February 2010). "रेखीय बीजगणित - अमूर्त गणित के परिचय के रूप में" (PDF). University of California, Davis. Retrieved 27 September 2011.
• Weisstein, Eric Wolfgang. "वेक्टर स्पेस स्पैन". MathWorld. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
• "रैखिक पतवार". Encyclopedia of Mathematics. 5 April 2020. Retrieved 16 Feb 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

बाहरी संबंध

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.
• Sanderson, Grant (August 6, 2016). "Linear combinations, span, and basis vectors". Essence of Linear Algebra. Archived from the original on 2021-12-11 – via YouTube.