अल्प सम्मुचय

सामान्य टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, एक छोटा समुच्चय (जिसे अल्प समुच्चय या पहली श्रेणी का समुच्चय भी कहा जाता है) एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक सबसेट है जो नीचे दिए गए सटीक अर्थों में छोटा या नगण्य है। एक समुच्चय जो अल्प नहीं है, उसे गैर-समृद्ध या दूसरी श्रेणी का कहा जाता है। अन्य संबंधित शर्तों की परिभाषाओं के लिए नीचे देखें।

एक निश्चित स्थान के न्यूनतम उपसमुच्चय एक σ-मानक उपसमुच्चय बनाते हैं; अर्थात्, छोटे समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय छोटा होता है, और कई छोटे समुच्चयों का संघ छोटा होता है।

बेयर स्पेस और बेयर श्रेणी प्रमेय की धारणा के निर्माण में अल्प समुच्चय एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जिसका उपयोग कार्यात्मक विश्लेषण के कई मूलभूत परिणामों के प्रमाण में किया जाता है।

परिभाषाएँ

हर जगह, $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस होगा।

$X$के एक उपसमुच्चय को $X$ में अल्प कहा जाता है, $X$ का अल्प उपसमुच्चय, या $X$ में पहली श्रेणी का, यदि यह X के कहीं नहीं सघन उपसमुच्चय का एक गणनीय संघ है (जहाँ कहीं भी सघन समुच्चय एक ऐसा समुच्चय है जिसका संवरण एक रिक्त आंतरिक भाग है ). क्वालिफायर "$X$ में" छोड़ा जा सकता है यदि परिवेश स्थान तय हो और संदर्भ से समझा जाए।

एक उपसमुच्चय जो $X$ में कम नहीं है, $X$ में गैर अल्प उपसमुच्चय है या $X$में दूसरी श्रेणी का है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस को अल्प (क्रमशः, गैर अल्प उपसमुच्चय) कहा जाता है यदि यह स्वयं का अल्प (क्रमशः, गैर अल्प उपसमुच्चय) उपसमुच्चय है।

X का एक उपसमुच्चय $A$ को $X$ में कोमेग्रे कहा जाता है, या $X$ में अवशिष्ट कहा जाता है, यदि इसका पूरक (सेट सिद्धांत $X\setminus A$ सेट माइनस $A$$X$ में अल्प है। (उपसर्ग "co" का यह प्रयोग अन्य शब्दों में इसके उपयोग के अनुरूप है जैसे " कोफिनिट"।) एक उपसमुच्चय $X$ में कमग्रे है अगर और केवल अगर यह समुच्चय के एक गणनीय क्रॉस के बराबर है, जिसका प्रत्येक इंटीरियर में $X$ घना है।

गैर अल्प और कॉमेग्रे की धारणाओं को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। यदि स्थान $X$ अल्प है, तो प्रत्येक उपसमुच्चय अल्प और लघु दोनों है, और कोई भी अल्पांश समुच्चय नहीं है। यदि स्पेस $X$ नॉनमेयर है, तो कोई भी सेट एक ही समय में कम और कम नहीं है, प्रत्येक कॉमेग्रे सेट नॉनमेयर है, और ऐसे गैर अल्प समुच्चय हो सकते हैं जो कॉमेग्रे नहीं हैं, यानी गैर अल्प कॉम्प्लिमेंट के साथ। नीचे उदाहरण अनुभाग देखें।

शब्दावली के एक अतिरिक्त बिंदु के रूप में, यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ के एक उपसमुच्चय $A$ को $X$ से प्रेरित सबस्पेस टोपोलॉजी दिया जाता है, तो कोई इसके बारे में बात कर सकता है कि यह एक अल्प स्थान है, अर्थात् स्वयं का एक अल्प उपसमुच्चय (जब एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में माना जाता है) इसका अपना अधिकार)। इस मामले में, $A$ को $X$ का अल्प उप-स्थान भी कहा जा सकता है, जिसका अर्थ उप-स्थान टोपोलॉजी दिए जाने पर अल्प स्थान है। महत्वपूर्ण रूप से, यह संपूर्ण स्थान $X$ में अल्प होने के समान नहीं है। (दोनों के बीच संबंध के लिए नीचे गुण और उदाहरण अनुभाग देखें।) , जो पूरे स्पेस में गैर-अल्प होने के समान नहीं है। हालांकि जागरूक रहें कि टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के संदर्भ में कुछ लेखक "अल्प/गैर-अल्प उप-स्थान" वाक्यांश का उपयोग एक वेक्टर उप-स्थान के अर्थ में कर सकते हैं जो पूरे स्थान के सापेक्ष एक अल्प/गैर-अल्प समुच्चय है।

पहली श्रेणी और दूसरी श्रेणी के शब्दों का मूल रूप से रेने बेयर ने अपने 1899 थीसिस में उपयोग किया था। 1948 में निकोलस बोरबाकी द्वारा अल्पावधि पेश की गई थी।

गुण

कहीं नहीं का सघन उपसमुच्चय $X$ अल्प है। नतीजतन, खाली इंटीरियर वाला कोई भी बंद उपसमुच्चय अल्प है। इस प्रकार का एक बंद नॉनमेग्रे सबसेट $X$ गैर-खाली इंटीरियर होना चाहिए।

(1) अल्प समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय अल्प होता है; (2) अल्प समुच्चयों का कोई भी गणनीय संघ अल्प होता है। इस प्रकार एक निश्चित स्थान के अल्प उपसमुच्चय एक सिग्मा-आदर्श | σ-आदर्श उपसमुच्चयों का निर्माण करते हैं, नगण्य समुच्चय की एक उपयुक्त धारणा। और, समतुल्य (1) के लिए, एक गैर-समुच्चय का कोई भी सुपरसेट nonmeagre है।

वास्तव में, (1) कॉमएग्रे सेट का कोई भी सुपरसेट कॉमएग्रे होता है; (2) कॉमेग्रे समुच्चयों का कोई भी गणनीय प्रतिच्छेदन कॉमएग्रे होता है।

मान लीजिए $A\subseteq Y\subseteq X,$ कहाँ पे $Y$ सबस्पेस टोपोलॉजी से प्रेरित है $X.$ सेट $A$ में अल्प हो सकता है $X$ में अल्प होने के बिना $Y.$ हालाँकि निम्नलिखित परिणाम धारण करते हैं:

• यदि $A$ में अल्प है $Y,$ फिर $A$ में अल्प है $X.$
• यदि $Y$ में खुला है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$
• यदि $Y$ में घना है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$

और तदनुसार गैर अल्प सेट के लिए:

• यदि $A$ में अल्प है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y.$
• यदि $Y$ में खुला है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$
• यदि $Y$ में घना है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$

विशेष रूप से, का हर सबसेट $X$ जो अपने आप में अल्प है वह अपने आप में अल्प है $X.$ का हर उपसमुच्चय $X$ वह गैर-मामूली है $X$ अपने आप में तुच्छ है। और एक खुले सेट या घने सेट के लिए $X,$ में अल्प होना $X$ अपने आप में अल्प होने के बराबर है, और इसी तरह गैर-संपत्ति के लिए।

कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस जिसमें एक पृथक बिंदु होता है, नॉनमग्रे होता है (क्योंकि पृथक बिंदु वाला कोई भी सेट कहीं भी घना नहीं हो सकता है)। विशेष रूप से, प्रत्येक गैर-खाली असतत स्थान गैर-महत्वपूर्ण है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ नॉनमेग्रे है अगर और केवल अगर घने खुले सेट के प्रत्येक गणनीय चौराहे में $X$ खाली नहीं है। प्रत्येक गैर-खाली बायर स्थान गैर-अंक है। विशेष रूप से, बायर श्रेणी प्रमेय द्वारा प्रत्येक गैर-खाली पूर्ण मीट्रिक स्थान और प्रत्येक गैर-खाली स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्थान गैर-अंश है।

Banach category theorem: किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में $X,$ अल्प खुले सेटों के एक मनमाने परिवार का मिलन एक अल्प सेट है।

अल्प उपसमुच्चय और Lebesgue माप

एक अल्प सेट में $\mathbb {R}$ Lebesgue माप शून्य होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण माप भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, अंतराल में $[0,1]$ मोटा कैंटर सेट घने कहीं भी बंद नहीं होते हैं और इन्हें मनमाने ढंग से करीब माप के साथ बनाया जा सकता है $1.$ इस तरह के सेटों की एक गणनीय संख्या का संघ माप के साथ आ रहा है $1$ का अल्प उपसमुच्चय देता है $[0,1]$ उपाय के साथ $1.$ वास्तव में, माप शून्य के साथ गैर अल्प सेट हो सकता है। माप के किसी भी अल्प सेट का पूरक $1$ में $[0,1]$ (उदाहरण के लिए पिछले पैराग्राफ में एक) का माप है $0$ और में आ गया है $[0,1],$ और इसलिए गैर-मामूली में $[0,1]$ जबसे $[0,1]$ बेयर स्थान है।

यहाँ एक गैर-मामूली सेट का एक और उदाहरण दिया गया है $\mathbb {R}$ उपाय के साथ $0$:

$\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(r_{n}-\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m},r_{n}+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{n+m}\right)$

कहाँ पे $\left(r_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ एक अनुक्रम है जो परिमेय संख्याओं की गणना करता है।

बोरेल पदानुक्रम से संबंध

जिस तरह कहीं नहीं घने उपसमुच्चय को बंद करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन हमेशा एक बंद कहीं नहीं सघन उपसमुच्चय में समाहित होता है (अर्थात, इसका बंद होना), एक अल्प समुच्चय को Fσ समुच्चय नहीं होना चाहिए।$F_{\sigma }$ सेट (बंद सेटों का गणनीय संघ), लेकिन हमेशा एक में समाहित होता है $F_{\sigma }$ सेट कहीं नहीं घने सेट से बनाया गया है (प्रत्येक सेट को बंद करके)।

वास्तव में, जिस तरह कहीं नहीं घने सेट के पूरक के लिए खुले होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन एक घने आंतरिक (टोपोलॉजी) है (घने खुले सेट होते हैं), कॉमग्रे सेट को Gδ सेट नहीं होना चाहिए |$G_{\delta }$ सेट (खुला सेट सेट का गणनीय चौराहा), लेकिन इसमें घना होता है $G_{\delta }$ सघन खुले समुच्चयों से निर्मित समुच्चय।

उदाहरण

खाली सेट हर टोपोलॉजिकल स्पेस का एक छोटा सबसेट है।

नॉनमेग्रे स्पेस में $X=[0,1]\cup ([2,3]\cap \mathbb {Q} )$ सेट $[2,3]\cap \mathbb {Q}$ अल्प है। सेट $[0,1]$ नॉनमेग्रे और कॉमएग्रे है।

नॉनमेग्रे स्पेस में $X=[0,2]$ सेट $[0,1]$ नगण्य है। लेकिन यह कॉमएग्रे नहीं है, इसके पूरक के रूप में $(1,2]$ क्षुद्र भी है।

एक गणनीय T1 स्थान | टी₁ पृथक बिंदु के बिना स्थान अल्प है। तो यह किसी भी स्थान में दुर्लभ है जिसमें इसे उप-स्थान के रूप में शामिल किया गया है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {Q}$ दोनों की अल्प उपसमष्टि है $\mathbb {R}$ (अर्थात, उप-स्थान टोपोलॉजी से प्रेरित होने के साथ अपने आप में अल्प $\mathbb {R}$) और का एक अल्प उपसमुच्चय $\mathbb {R} .$ कैंटर सेट कहीं भी सघन नहीं है $\mathbb {R}$ और इसलिए अल्प में $\mathbb {R} .$ लेकिन यह अपने आप में गैर-मामूली है, क्योंकि यह एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है।

सेट $([0,1]\cap \mathbb {Q} )\cup \{2\}$ कहीं सघन नहीं है $\mathbb {R}$है, लेकिन इसमें अल्प है $\mathbb {R}$. यह अपने आप में गैर-मामूली है (चूंकि एक उप-स्थान के रूप में इसमें एक पृथक बिंदु होता है)।

रेखा $\mathbb {R} \times \{0\}$ विमान में अल्प है $\mathbb {R} ^{2}.$ लेकिन यह एक नॉनमीग्रे सबस्पेस है, यानी यह अपने आप में नॉनमीग्रे है।

अंतरिक्ष $(\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )\cup (\mathbb {R} \times \{0\})$ (से प्रेरित टोपोलॉजी के साथ $\mathbb {R} ^{2}$) अल्प है। इसका अल्प उपसमुच्चय $\mathbb {R} \times \{0\}$ अपने आप में तुच्छ है।

एक उपसमुच्चय है $H$ वास्तविक संख्याओं का $\mathbb {R}$ जो हर गैर-खाली खुले सेट को दो गैर-कम सेट में विभाजित करता है। यानी हर गैर-खाली खुले सेट के लिए $U\subseteq \mathbb {R}$, सेट $U\cap H$ तथा $U\setminus H$ दोनों ग़ैरमामूली हैं।

अंतरिक्ष में $C([0,1])$ निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर $[0,1]$ समान अभिसरण की टोपोलॉजी के साथ, सेट $A$ निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों पर $[0,1]$ जिसका किसी बिंदु पर व्युत्पन्न अल्प है। तब से $C([0,1])$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, यह गैर-मामूली है। तो का पूरक $A$, जिसमें निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कहीं नहीं अलग-अलग कार्य होते हैं $[0,1],$ कॉमएग्रे और नॉनमेग्रे है। विशेष रूप से वह सेट खाली नहीं है। यह निरंतर कहीं नहीं भिन्न होने वाले कार्यों के अस्तित्व को दिखाने का एक तरीका है।

बनच-मजूर खेल

बनच-मजूर गेम के संदर्भ में अल्प सेट का एक उपयोगी वैकल्पिक लक्षण वर्णन है। होने देना $Y$ एक सामयिक स्थान हो, ${\mathcal {W}}$ के सबसेट का परिवार हो $Y$ जिसमें गैर-खाली आंतरिक भाग होते हैं जैसे कि प्रत्येक गैर-खाली खुले सेट का एक उपसमुच्चय होता है ${\mathcal {W}},$ तथा $X$ का कोई उपसमुच्चय हो $Y.$ इसके बाद बनच-मजूर गेम है $MZ(X,Y,{\mathcal {W}}).$ बनच-मज़ूर खेल में, दो खिलाड़ी, $P$ तथा $Q,$ वैकल्पिक रूप से क्रमिक रूप से छोटे तत्वों का चयन करें ${\mathcal {W}}$ एक क्रम उत्पन्न करने के लिए $W_{1}\supseteq W_{2}\supseteq W_{3}\supseteq \cdots .$ खिलाड़ी $P$ जीतता है अगर इस अनुक्रम के चौराहे में एक बिंदु होता है $X$; अन्यथा, खिलाड़ी $Q$ जीतता है।

यह भी देखें

• Barrelled space
• Generic property, अवशिष्ट के अनुरूप के लिए
• Negligible set, अल्प के अनुरूप के लिए
• Property of Baire

ग्रन्थसूची

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