प्रतिच्छेदी संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 21:51, 7 December 2022

गणित में, और विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में, प्रतिच्छेदन संख्या उच्च विमाओं, एकाधिक (2 से अधिक) वक्रों, और स्पर्शिता के लिए उचित रूप से लेखांकन के लिए दो वक्रों के प्रतिच्छेदन की संख्या की गणना करने की सहज धारणा को सामान्यीकृत करती है। बेज़ाउट के प्रमेय जैसे परिणामों को निर्धारित करने के लिए, प्रतिच्छेदन संख्या की परिभाषा की आवश्यकता होती है।

कुछ स्थितियों में प्रतिच्छेदन संख्या स्पष्ट होती है, प्रथम स्थिति जैसे की x-अक्ष तथा y-अक्ष का प्रतिच्छेदन। स्पर्शिता के प्रतिच्छेदन बिंदु और सुनिश्चित विमीय समुच्चय के साथ प्रतिच्छेदन के गणना करते समय जटिलता प्रवेश करती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई समतल किसी रेखा के अनुदिश किसी पृष्ठ पर स्पर्शी होता है, अतः रेखा के साथ प्रतिच्छेदन संख्या कम से कम दो होनी चाहिए। प्रतिच्छेदन सिद्धांत में इन प्रश्नों पर व्यवस्थित रूप से चर्चा की जाती है।

रीमैन पृष्ठों के लिए परिभाषा

मान लीजिए कि X एक रीमैन पृष्ठ है। तत्पश्चात X पर दो संवृत वक्रों के प्रतिच्छेदन संख्या की समाकलन के संदर्भ में एक सरल परिभाषा है। X (अर्थात, स्मूथ फलन $c:S^{1}\to X$ ) पर प्रत्येक संवृत वक्र c के लिए, हम गुण धर्म के साथ सघन आश्रय के अवकल रूप $\eta _{c}$ को संबद्ध कर सकते हैं, जो कि c के अनुदिश इंटीग्रल X पर समाकल द्वारा गणना की जा सकती है:

\int _{c}\alpha =-\iint _{X}\alpha \wedge \eta _{c}=(\alpha ,*\eta _{c})

, हर संवृत (1-)अंतर के लिए X पर

\alpha

,

जहाँ $\wedge$ अवकल का वेज गुणन है और $*$ हॉज स्टार है। फिर X पर दो संवृत वक्रों, a और b की प्रतिच्छेदन संख्या को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है।

a\cdot b:=\iint _{X}\eta _{a}\wedge \eta _{b}=(\eta _{a},-*\eta _{b})=-\int _{b}\eta _{a}

$\eta _{c}$ की सहज परिभाषा निम्नानुसार है। वे वक्र c के साथ एक प्रकार का डायरैक डेल्टा होता हैं, जो इकाई चरण फलन के अवकल को ले कर प्राप्त किया जाता है जो 1 से 0 तक c तक गिरता है। अधिक औपचारिक रूप से, हम X पर एक साधारण संवृत वक्र c के लिए परिभाषित करते हुए शुरू करते हैं, एक फलन f_c $\Omega$ को वलयिका के आकार में c के चारों ओर एक छोटी सी स्ट्रीप के मानने पर। $\Omega \setminus c$ के बाएँ और दाएँ भागों को $\Omega ^{+}$ और $\Omega ^{-}$ के रूप में नाम दें। फिर c, $\Omega _{0}$ के चारों ओर एक छोटी उप-स्ट्रिप लें, जिसमें बाएँ और दाएँ भाग $\Omega _{0}^{-}$ और $\Omega _{0}^{+}$ हों। फिर f_c को निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है

f_{c}(x)={\begin{cases}1,&x\in \Omega _{0}^{-}\\0,&x\in X\setminus \Omega ^{-}\\{\mbox{smooth interpolation}},&x\in \Omega ^{-}\setminus \Omega _{0}^{-}\end{cases}}

.

फिर परिभाषा को यादृच्छिक संवृत वक्रों तक विस्तारित किया जाता है। X पर प्रत्येक संवृत वक्र c कुछ सरल संवृत वक्र c_i के लिए $\sum _{i=1}^{N}k_{i}c_{i}$ के समरूप होता है, अर्थात,

\int _{c}\omega =\int _{\sum _{i}k_{i}c_{i}}\omega =\sum _{i=1}^{N}k_{i}\int _{c_{i}}\omega

, प्रत्येक अवकल के लिए

\omega

।

$\eta _{c}$ निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है

\eta _{c}=\sum _{i=1}^{N}k_{i}\eta _{c_{i}}

.

बीजगणितीय प्रकारों के लिए परिभाषा

बीजगणितीय प्रकारों की स्थिति में सामान्य रचनात्मक परिभाषा चरणों में होती है। नीचे दी गई परिभाषा एक व्युत्क्रमणीय प्रकार X पर विभाजकों की प्रतिच्छेदन संख्या के लिए है।

1. एकमात्र प्रतिच्छेदन संख्या जिसकी सीधे परिभाषा से गणना की जा सकती है, अति-पृष्ठ (हाइपरसर्फ्स) (एक सह-विमा के X का उप-प्रकार) का प्रतिच्छेदन है जो x पर सामान्य स्थिति में होता हैं। विशेष रूप से, माना कि हमारे पास एक व्युत्क्रमणीय प्रकार X है, और n अति-पृष्ठ (हाइपरसर्फ्स) Z₁, ..., Z_n जिसमें बहुपद f_i(t₁, ..., t_n) के लिए x के पास स्थानीय समीकरण f₁, ..., f_n हैं, जैसे कि निम्नलिखित दिया गया है:

$n=\dim _{k}X$ .
$f_{i}(x)=0$ प्रत्येक i के लिए (अर्थात, x अति-पृष्ठ (हाइपरसर्फ्स) के प्रतिच्छेदन पर है।)
$\dim _{x}\cap _{i=1}^{n}Z_{i}=0$ (अर्थात भाजक सामान्य स्थिति में हैं।)
$f_{i}$ x पर व्युत्क्रमणीय हैं।

अतः बिंदु x पर प्रतिच्छेदन संख्या (जिसे x पर 'प्रतिच्छेदन बहुलता' कहा जाता है) है

(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}:=\dim _{k}{\mathcal {O}}_{X,x}/(f_{1},\dots ,f_{n})

,

जहाँ ${\mathcal {O}}_{X,x}$ x पर X का स्थानीय वलय है, और विमा k-सदिश समष्टि के रूप में विमा है। इसकी गणना स्थानीयकरण $k[U]_{{\mathfrak {m}}_{x}}$ के रूप में की जा सकती है, जहाँ ${\mathfrak {m}}_{x}$ x पर लुप्त होने वाले बहुपदों का अधिकतम आदर्श है, और U एक विवृत सजातीय समुच्चय है जो x और f_i की कोई भी विलक्षणता नहीं रखता है।

2. सामान्य स्थिति में अति-पृष्ठ (हाइपरसर्फ्स) की प्रतिच्छेदन संख्या को तत्पश्चात प्रतिच्छेदन के प्रत्येक बिंदु पर प्रतिच्छेदन संख्याओं के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(Z_{1}\cdots Z_{n})=\sum _{x\in \cap _{i}Z_{i}}(Z_{1}\cdots Z_{n})_{x}

3. रैखिकता द्वारा प्रभावी विभाजकों की परिभाषा का विस्तार करें, अर्थात

(nZ_{1}\cdots Z_{n})=n(Z_{1}\cdots Z_{n})

तथा

((Y_{1}+Z_{1})Z_{2}\cdots Z_{n})=(Y_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})+(Z_{1}Z_{2}\cdots Z_{n})

4. प्रत्येक विभाजक को कुछ प्रभावी विभाजक P और N के लिए D = P - N के रूप में एक अद्वितीय अभिव्यक्ति की सूचना देकर सामान्य स्थिति में यादृच्छिक भाजक की परिभाषा का विस्तार करें। अतः D_i = P_i - N_i, और निम्न रूप के नियमों का उपयोग करें

((P_{1}-N_{1})P_{2}\cdots P_{n})=(P_{1}P_{2}\cdots P_{n})-(N_{1}P_{2}\cdots P_{n})

प्रतिच्छेदन को रूपांतरित करने के लिए।

5. यादृच्छिक विभाजकों की प्रतिच्छेदन संख्या को "चाउ का प्रगामी स्वीकृत सिद्धांत (मूविंग लेम्मा)" का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, जो गारंटी देता है कि हम सामान्य स्थिति में रैखिक रूप से समतुल्य विभाजक प्राप्त कर सकते हैं, जिसे हम तत्पश्चात प्रतिच्छेदित कर सकते है।

ध्यान दें कि प्रतिच्छेदन संख्या की परिभाषा उस क्रम पर निर्भर नहीं करती है जिसमें विभाजक इस संख्या की गणना में दिखाई देते हैं।

सेरे का टोर सूत्र

माना V और W को एक व्युत्क्रमणीय प्रक्षेपी प्रकार X की दो उप-प्रकारें है जैसे कि dim(V)+dim(W)=dim(X)। तत्पश्चात हम अपेक्षा करते हैं कि प्रतिच्छेदन V∩W बिंदुओं का एक परिमित समुच्चय होगा। यदि हम इनकी गणना करने का प्रयास करें तो दो प्रकार की समस्याएँ उत्पन्न हो सकती हैं। सर्वप्रथम, भले ही V∩W का अपेक्षित विमा शून्य हो, वास्तविक प्रतिच्छेदन बड़ी विमा का हो सकती है। उदाहरण के लिए, हम एक प्रक्षेपी तल में एक प्रक्षेपी रेखा के स्वयं-प्रतिच्छेदन संख्या को खोजने का प्रयास कर सकते हैं। दूसरी संभावित समस्या यह है कि यदि प्रतिच्छेदन शून्य-विमीय है, तो भी यह गैर-अनुप्रस्थ हो सकता है। उदाहरण के लिए, V समतल वक्र W के लिए एक स्पर्श रेखा हो सकती है।

पहली समस्या के लिए प्रतिच्छेदन सिद्धांत की मशीनरी की आवश्यकता होती है, जिसकी ऊपर विस्तार से चर्चा की गई है। आवश्यक विचार यह है कि प्रगामी स्वीकृत सिद्धांत का उपयोग करके V और W को अधिक सुविधाजनक उप-प्रकारों से प्रतिस्थापित किया जाए। दूसरी ओर, दूसरी समस्या को सीधे V या W को स्थानांतरित किए बिना हल किया जा सकता है। 1965 में जीन पियरे सेरे ने वर्णन किया कि कैसे क्रमविनिमेय बीजगणित और समरूप बीजगणित के तरीकों से प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु की बहुलता को खोजा जाए।^[1] प्रतिच्छेदन की एक ज्यामितीय धारणा और एक व्युत्पन्न टेन्सर गुणन की एक समरूप धारणा के बीच यह संबंध प्रभावशाली रहा है और विशेष रूप से कम्यूटेटिव बीजगणित में कई समरूप अनुमानों का नेतृत्व किया।

सेर्रे का टोर सूत्र निम्नलिखित परिणाम है। बता दें कि X एक नियमित प्रकार है, V और W दो पूरक विमा की उप-प्रकारें हैं जैसे V∩W शून्य-विमीय है। किसी भी बिंदु x∈V∩W के लिए, A को x का स्थानीय रिंग ${\mathcal {O}}_{X,x}$ होने दें। X पर V और W की संरचना शीफ आदर्श I, J⊆A के अनुरूप है। फिर बिंदु X पर V∩W की बहुलता है

e(X;V,W;x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\mathrm {length} _{A}(\operatorname {Tor} _{i}^{A}(A/I,A/J))

जहाँ लंबाई स्थानीय वलय के ऊपर एक प्रमात्रक की लंबाई है, और टोर, टोर प्रकार्यक है। जब V और W को एक अनुप्रस्थ स्थिति में स्थानांतरित किया जा सकता है, तो यह तुल्यता (होमोलॉजिकल) सूत्र अपेक्षित उत्तर उत्पन्न करता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि V और W x पर अनुप्रस्थतः मिलते हैं, अतः बहुलता 1 है। यदि V किसी बिंदु x पर एक परवलय W के बिंदु x पर एक स्पर्श रेखा है, अतः x पर बहुलता 2 है।

यदि V और W दोनों नियमित अनुक्रमों द्वारा स्थानीय रूप से कर्तित किया जाता हैं, उदाहरण के लिए यदि वे व्युत्क्रमणीय हैं, तो सभी उच्च टोर के ऊपर के सूत्र में लुप्त हो जाते हैं, इसलिए बहुलता धनात्मक है। स्वेच्छिक स्थिति में धनात्मकता सेरे के बहुलता अनुमानों में से एक है।

अग्रिम परिभाषाएँ

परिभाषा को व्यापक रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए केवल बिंदुओं के बजाय उप-प्रकारों के साथ प्रतिच्छेदनों पर, या पूरी तरह से यादृच्छिक करने के लिए।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, प्रतिच्छेदन संख्या कप गुणन के पोंकारे द्वैत के रूप में प्रकट होती है। विशेष रूप से, यदि दो कई गुना, X और Y, कई गुना M में अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं, तो प्रतिच्छेदन का समरूपता वर्ग X और Y के पोंकारे द्वैत के कप गुणन $D_{M}X\smile D_{M}Y$ का पोंकारे द्वैत है।

स्नैपर-क्लेमन प्रतिच्छेदन संख्या की परिभाषा

1959-60 में स्नैपर द्वारा प्रस्तुत किया गया और बाद में कार्टियर और क्लेमन द्वारा विकसित, प्रतिच्छेदन संख्या के लिए एक दृष्टिकोण है, जो एक प्रतिच्छेदन संख्या को यूलर विशेषता के रूप में परिभाषित करता है।

माना X को एक योजना S, पीआईसी(X) X और G के पिकार्ड समूह पर X पर सामंजस्यपूर्ण शीवेस की श्रेणी के ग्रोथेंडिक समूह पर एक योजना है, जिसका समर्थन S के आर्टिनियन सबस्कैम पर उचित है।

पीआईसी(X) में प्रत्येक L के लिए, G के अंतःरूपांतरण c₁(L) को परिभाषित करें (जिसे L का पहला चेर्न वर्ग कहा जाता है)

c_{1}(L)F=F-L^{-1}\otimes F.

यह G पर योगात्मक है चूंकि रेखा समूह के साथ टेंसरिंग यथार्थ है। यह भी ज्ञात है:

$c_{1}(L_{1})c_{1}(L_{2})=c_{1}(L_{1})+c_{1}(L_{2})-c_{1}(L_{1}\otimes L_{2})$ ; विशेष रूप से, $c_{1}(L_{1})$ तथा $c_{1}(L_{2})$ कम्यूट।
$c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1}).$
$\dim \operatorname {supp} c_{1}(L)F\leq \dim \operatorname {supp} F-1$ (यह असतहीय है और एक विचलन तर्क से आता है।)

प्रतिच्छेदन संख्या

L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}

लाइन बंडलों की L_i's इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:

L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\chi (c_{1}(L_{1})\cdots c_{1}(L_{r})F)

जहाँ χ यूलर विशेषता को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, किसी के पास प्रेरण है:

L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F=\sum _{0}^{r}(-1)^{i}\chi (\wedge ^{i}(\oplus _{0}^{r}L_{j}^{-1})\otimes F).

सदैव F नियत होता है, $L_{1}\cdot {\dots }\cdot L_{r}\cdot F$ L_i's में एक सममित कार्यात्मक है।

यदि L_i = O_X(D_i) कुछ कार्टियर विभाजकों के लिए D_i's है, अतः हम लिखेंगे $D_{1}\cdot {\dots }\cdot D_{r}$ प्रतिच्छेदन संख्या के लिए।

माना $f:X\to Y$ S-योजनाओं का एक रूपवाद हो, $L_{i},1\leq i\leq m$ के साथ 'G' में X और F पर लाइन बंडल $m\geq \dim \operatorname {supp} F$ . फिर

f^{*}L_{1}\cdots f^{*}L_{m}\cdot F=L_{1}\cdots L_{m}\cdot f_{*}F

.^[2]

समतल वक्रों के लिए प्रतिच्छेदन गुणक

प्रक्षेप्य वक्रों की एक जोड़ी, $P$ और $Q$ , $K[x,y]$ में और एक बिंदु $p\in K^{2}$ , एक संख्या $I_{p}(P,Q)$ , जिसे $P$ पर $Q$ और $p$ की प्रतिच्छेदन बहुलता कहा जाता है, जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है, प्रत्येक ट्रिपलेट $(P,Q,p)$ को निर्दिष्ट करने वाला एक अनूठा कार्य है:

$I_{p}(P,Q)=I_{p}(Q,P)$
$I_{p}(P,Q)=\infty$ यदि और केवल यदि $P$ तथा $Q$ एक सामान्य कारक है जो शून्य है $p$
$I_{p}(P,Q)=0$ यदि और केवल यदि में से एक $P(p)$ या $Q(p)$ अशून्य है (अर्थात बिंदु $p$ एक वक्र से बाहर है)
$I_{p}(x,y)=1$ जहाँ $p=(0,0)$
$I_{p}(P,Q_{1}Q_{2})=I_{p}(P,Q_{1})+I_{p}(P,Q_{2})$
$I_{p}(P+QR,Q)=I_{p}(P,Q)$ किसी के लिए $R\in K[x,y]$

यद्यपि ये गुण पूरी तरह से प्रतिच्छेदन बहुलता की विशेषता रखते हैं, व्यवहार में इसे कई अलग-अलग तरीकों से महसूस किया जाता है।

प्रतिच्छेदन बहुलता का एक बोध शक्ति श्रृंखला वलय $K[[x,y]]$ के एक निश्चित भागफल स्थान के विमा के माध्यम से होता है। यदि आवश्यक हो तो चर में परिवर्तन करके, हम $p=(0,0)$ मान सकते हैं। $P(x,y)$ और $Q(x,y)$ को बीजगणितीय वक्रों को परिभाषित करने वाले बहुपदों में रुचि रखते हैं। यदि मूल समीकरण सजातीय रूप में दिए गए हैं, तो इन्हें $z=1$ समुच्चय करके प्राप्त किया जा सकता है। मान लीजिए कि $I=(P,Q)$ $P$ और $Q$ द्वारा उत्पन्न $K[[x,y]]$ के आदर्श को दर्शाता है। प्रतिच्छेदन बहुलता $K$ से अधिक सदिश समष्टि के रूप में $K[[x,y]]/I$ का विमा है।

प्रतिच्छेदन बहुलता का एक अन्य बोध दो बहुपदों $P$ और $Q$ के परिणाम से आता है। निर्देशांक में जहाँ $p=(0,0)$ , वक्रों में $y=0$ के साथ कोई अन्य प्रतिच्छेदन नहीं है, और $x$ के संबंध में $P$ की डिग्री $P$ की कुल डिग्री के बराबर है, $I_{p}(P,Q)$ को $y$ की उच्चतम शक्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो $P$ और $Q$ के परिणाम को विभाजित करता है ( $P$ और $Q$ के साथ $K[x]$ से अधिक बहुपदों के रूप में देखा जाता है)।

प्रतिच्छेदनों की बहुलता को अलग-अलग प्रतिच्छेदनों की संख्या के रूप में भी महसूस किया जा सकता है जो वक्रों थोड़ा क्षुब्ध हो। अधिक विशेष रूप से, यदि $P$ और $Q$ वक्र परिभाषित करते हैं जो एक विवृत समुच्चय $U$ के समापन होने पर केवल एक बार प्रतिच्छेद करते हैं, फिर $(\epsilon ,\delta )\in K^{2}$ , $P-\epsilon$ और $Q-\delta$ के एक सघन समुच्चय के लिए चिकने होते हैं और अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं (अर्थात अलग-अलग स्पर्श रेखाएँ हैं) $n$ में ठीक $U$ बिंदुओं पर। हम कहते हैं कि $I_{p}(P,Q)=n$ ।

उदाहरण

परवलय के साथ x-अक्ष के प्रतिच्छेदन पर विचार करें

y=x^{2}.\

फिर

P=y,\

तथा

Q=y-x^{2},\

अतः

I_{p}(P,Q)=I_{p}(y,y-x^{2})=I_{p}(y,x^{2})=I_{p}(y,x)+I_{p}(y,x)=1+1=2.\,

इस प्रकार, प्रतिच्छेदन की डिग्री दो है; यह एक साधारण स्पर्शरेखा है।

स्व-प्रतिच्छेदन

गणना करने के लिए सबसे दिलचस्प प्रतिच्छेदन संख्याओं में से कुछ स्वयं-प्रतिच्छेदन संख्याएं हैं I इसे भोले भाव में नहीं लेना चाहिए। इसका अर्थ यह है कि, किसी विशिष्ट प्रकार के विभाजकों के एक समतुल्य वर्ग में, दो प्रतिनिधि प्रतिच्छेदित होते हैं जो एक दूसरे के संबंध में सामान्य स्थिति में होते हैं। इस तरह, स्व-प्रतिच्छेदन संख्या अच्छी तरह से परिभाषित हो सकती है, और यहां तक कि नकारात्मक भी हो सकती है।

अनुप्रयोग

प्रतिच्छेदन संख्या आंशिक रूप से बेजाउट के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए प्रतिच्छेदन को परिभाषित करने की इच्छा से प्रेरित है।

प्रतिच्छेदन संख्या निश्चित बिंदुओं के अध्ययन में उत्पन्न होती है, जिसे चतुराई से एक विकर्ण के साथ फलन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदनों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। नियत बिंदुओं पर प्रतिच्छेदन संख्याओं की गणना बहुलता के साथ नियत बिंदुओं की गणना करता है, और मात्रात्मक रूप में लेफस्केटज़ नियत-बिंदु प्रमेय की ओर जाता है।

संदर्भ

William Fulton (1974). Algebraic Curves. Mathematics Lecture Note Series. W.A. Benjamin. pp. 74–83. ISBN 0-8053-3082-8.
Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 52. ISBN 0-387-90244-9. Appendix A.
William Fulton (1998). Intersection Theory (2nd ed.). Springer. ISBN 9780387985497.
Algebraic Curves: An Introduction To Algebraic Geometry, by William Fulton with Richard Weiss. New York: Benjamin, 1969. Reprint ed.: Redwood City, CA, USA: Addison-Wesley, Advanced Book Classics, 1989. ISBN 0-201-51010-3. Full text online.
Hershel M. Farkas; Irwin Kra (1980). Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 71. pp. 40–41, 55–56. ISBN 0-387-90465-4.
Kleiman, Steven L. (2005), "The Picard scheme: Appendix B.", Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, arXiv:math/0504020, Bibcode:2005math......4020K, MR 2223410
Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03276-3, ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180

[1] Serre, Jean-Pierre (1965). स्थानीय बीजगणित, गुणक. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 11. Springer-Verlag. pp. x+160.

[2] Kollár 1996, Ch VI. Proposition 2.11

[1]

[2]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Generalized notion of counting curve intersections}}
-{{about|algebraic geometry|the concept in graph theory|Intersection number (graph theory)}}
+{{about|बीजगणितीय ज्यामिति|ग्राफ सिद्धांत में अवधारणा|प्रतिच्छेदन संख्या (ग्राफ सिद्धांत)}}
-गणित में, और विशेष रूप से [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, प्रतिच्छेदन संख्या दो वक्रों को उच्च आयामों, एकाधिक (2 से अधिक) घटता, और [[स्पर्शरेखा]] के लिए ठीक से लेखांकन करने की संख्या की गिनती की सहज धारणा को सामान्यीकृत करती है। बेज़ाउट के प्रमेय जैसे परिणामों को बताने के लिए किसी को प्रतिच्छेदन संख्या की परिभाषा की आवश्यकता होती है।
+गणित में, और विशेष रूप से [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, '''प्रतिच्छेदन संख्या''' उच्च विमाओं, एकाधिक (2 से अधिक) वक्रों, और [[स्पर्शरेखा|स्पर्शिता]] के लिए उचित रूप से लेखांकन के लिए दो वक्रों के प्रतिच्छेदन की संख्या की गणना करने की सहज धारणा को सामान्यीकृत करती है। बेज़ाउट के प्रमेय जैसे परिणामों को निर्धारित करने के लिए, प्रतिच्छेदन संख्या की परिभाषा की आवश्यकता होती है।
-कुछ मामलों में प्रतिच्छेदन संख्या स्पष्ट होती है, जैसे ''x''- और ''y''-अक्षों का प्रतिच्छेदन जो एक होना चाहिए। सकारात्मक आयामी सेट के साथ स्पर्शरेखा और चौराहों के बिंदुओं पर चौराहों की गणना करते समय जटिलता प्रवेश करती है। उदाहरण के लिए, यदि एक तल एक रेखा के साथ किसी सतह पर स्पर्शरेखा है, तो रेखा के साथ प्रतिच्छेदन संख्या कम से कम दो होनी चाहिए। इन प्रश्नों पर [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] में व्यवस्थित रूप से चर्चा की जाती है।
+कुछ स्थितियों में प्रतिच्छेदन संख्या स्पष्ट होती है, प्रथम स्थिति जैसे की ''x''-अक्ष तथा ''y''-अक्ष का प्रतिच्छेदन। स्पर्शिता के प्रतिच्छेदन बिंदु और सुनिश्चित विमीय समुच्चय के साथ प्रतिच्छेदन के गणना करते समय जटिलता प्रवेश करती है। उदाहरण के लिए, यदि कोई समतल किसी रेखा के अनुदिश किसी पृष्ठ पर स्पर्शी होता है, अतः रेखा के साथ प्रतिच्छेदन संख्या कम से कम दो होनी चाहिए। [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] में इन प्रश्नों पर व्यवस्थित रूप से चर्चा की जाती है।
-== रीमैन सतहों के लिए परिभाषा ==
+== रीमैन पृष्ठों के लिए परिभाषा ==
-{{main|Differential forms on a Riemann surface#Duality between 1-forms and closed curves}}
+{{main|रीमैन सतह पर विभेदक रूप#1-रूपों और बंद वक्रों के बीच द्वंद्व}}
-बता दें कि X एक [[रीमैन सतह]] है। तब X पर दो बंद वक्रों के प्रतिच्छेदन संख्या की एक अभिन्न के संदर्भ में एक सरल परिभाषा है। एक्स पर प्रत्येक बंद वक्र सी के लिए (यानी, चिकनी कार्य <math>c : S^1 \to X</math>), हम एक अंतर रूप को जोड़ सकते हैं <math>\eta_c</math> संपत्ति के साथ कॉम्पैक्ट समर्थन की सी के साथ इंटीग्रल की गणना एक्स पर इंटीग्रल द्वारा की जा सकती है:
-:<math>\int_c \alpha = -\iint_X \alpha \wedge \eta_c = (\alpha, *\eta_c)</math>, हर बंद (1-) अंतर के लिए <math>\alpha</math> एक्स पर,
+मान लीजिए कि ''X'' एक [[रीमैन सतह|रीमैन पृष्ठ]] है। तत्पश्चात ''X'' पर दो संवृत वक्रों के प्रतिच्छेदन संख्या की समाकलन के संदर्भ में एक सरल परिभाषा है। ''X'' (अर्थात, स्मूथ फलन <math>c : S^1 \to X</math>) पर प्रत्येक संवृत वक्र ''c'' के लिए, हम गुण धर्म के साथ सघन आश्रय के अवकल रूप <math>\eta_c</math> को संबद्ध कर सकते हैं, जो कि ''c'' के अनुदिश इंटीग्रल X पर समाकल द्वारा गणना की जा सकती है:
-कहाँ पे <math>\wedge</math> अंतरों का [[कील उत्पाद]] है, और <math>*</math> [[हॉज स्टार]] है। तब X पर दो बंद वक्रों, a और b की प्रतिच्छेदन संख्या को इस रूप में परिभाषित किया गया है
+:<math>\int_c \alpha = -\iint_X \alpha \wedge \eta_c = (\alpha, *\eta_c)</math>, हर संवृत (1-)अंतर के लिए ''X'' पर <math>\alpha</math>,
-:<math>a \cdot b := \iint_X \eta_a \wedge \eta_b = (\eta_a, -*\eta_b) = -\int_b \eta_a</math>. <math>\eta_c</math> h> की सहज परिभाषा निम्नानुसार है। वे वक्र c के साथ एक प्रकार का [[डायराक डेल्टा]] हैं, जो एक इकाई चरण फ़ंक्शन के अंतर को पूरा करके पूरा किया जाता है जो 1 से 0 तक c से गिरता है। अधिक औपचारिक रूप से, हम एक्स पर एक सरल बंद वक्र सी, एक फ़ंक्शन एफ के लिए परिभाषित करके शुरू करते हैं<sub>c</sub>जैसे भी हो <math>\Omega</math> c के चारों ओर वलय के आकार की एक छोटी सी पट्टी हो। के बाएँ और दाएँ भागों के नाम लिखिए <math>\Omega \setminus c</math> जैसा <math>\Omega^{+}</math> तथा <math>\Omega^{-}</math>. फिर c के चारों ओर एक छोटी उप-पट्टी लें, <math>\Omega_0</math>, बाएँ और दाएँ भागों के साथ <math>\Omega_0^{-}</math> तथा <math>\Omega_0^{+}</math>. फिर एफ परिभाषित करें<sub>c</sub>द्वारा
+जहाँ <math>\wedge</math> अवकल का [[कील उत्पाद|वेज गुणन]] है और <math>*</math> [[हॉज स्टार]] है। फिर ''X'' पर दो संवृत वक्रों, ''a'' और ''b'' की प्रतिच्छेदन संख्या को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है।
+:<math>a \cdot b := \iint_X \eta_a \wedge \eta_b = (\eta_a, -*\eta_b) = -\int_b \eta_a</math>
+<math>\eta_c</math> की सहज परिभाषा निम्नानुसार है। वे वक्र ''c'' के साथ एक प्रकार का [[डायराक डेल्टा|डायरैक डेल्टा]] होता हैं, जो इकाई चरण फलन के अवकल को ले कर प्राप्त किया जाता है जो 1 से 0 तक ''c'' तक गिरता है। अधिक औपचारिक रूप से, हम ''X'' पर एक साधारण संवृत वक्र ''c'' के लिए परिभाषित करते हुए शुरू करते हैं, एक फलन ''f<sub>c</sub>'' <math>\Omega</math> को वलयिका के आकार में ''c'' के चारों ओर एक छोटी सी स्ट्रीप के मानने पर। <math>\Omega \setminus c</math> के बाएँ और दाएँ भागों को <math>\Omega^{+}</math> और <math>\Omega^{-}</math> के रूप में नाम दें। फिर ''c'', <math>\Omega_0</math> के चारों ओर एक छोटी उप-स्ट्रिप लें, जिसमें बाएँ और दाएँ भाग <math>\Omega_0^{-}</math> और <math>\Omega_0^{+}</math> हों। फिर ''f<sub>c</sub>'' को निम्न प्रकार परिभाषित किया गया है
 :<math>f_c(x) = \begin{cases} 1, & x \in \Omega_0^{-} \\ 0, & x \in X \setminus \Omega^{-} \\ \mbox{smooth interpolation}, & x \in \Omega^{-} \setminus \Omega_0^{-} \end{cases}</math>.
-फिर परिभाषा को मनमाने ढंग से बंद वक्रों तक विस्तारित किया जाता है। X पर प्रत्येक बंद वक्र c [[समरूपता (गणित)]] है <math>\sum_{i=1}^N k_i c_i</math> कुछ सरल बंद वक्रों के लिए c<sub>i</sub>, वह है,
+फिर परिभाषा को यादृच्छिक संवृत वक्रों तक विस्तारित किया जाता है। ''X'' पर प्रत्येक संवृत वक्र ''c'' कुछ सरल संवृत वक्र ''c<sub>i</sub>'' के लिए <math>\sum_{i=1}^N k_i c_i</math> के [[समरूपता (गणित)|समरूप]] होता है, अर्थात,
-:<math>\int_c \omega = \int_{\sum_i k_i c_i} \omega = \sum_{i=1}^N k_i \int_{c_i} \omega</math>, हर अंतर के लिए <math>\omega</math>.
+:<math>\int_c \omega = \int_{\sum_i k_i c_i} \omega = \sum_{i=1}^N k_i \int_{c_i} \omega</math>, प्रत्येक अवकल के लिए <math>\omega</math>।
-को परिभाषित करो <math>\eta_c</math> द्वारा
+<math>\eta_c</math> निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है
 :<math>\eta_c = \sum_{i=1}^N k_i \eta_{c_i}</math>.
-== बीजगणितीय किस्मों के लिए परिभाषा ==
+== बीजगणितीय प्रकारों के लिए परिभाषा ==
-बीजगणितीय किस्मों के मामले में सामान्य रचनात्मक परिभाषा चरणों में आगे बढ़ती है। नीचे दी गई परिभाषा एक गैर विलक्षण किस्म X पर वि[[भाजक (बीजीय ज्यामिति)]] के प्रतिच्छेदन संख्या के लिए है।
+बीजगणितीय प्रकारों की स्थिति में सामान्य रचनात्मक परिभाषा चरणों में होती है। नीचे दी गई परिभाषा एक व्युत्क्रमणीय प्रकार ''X'' पर [[भाजक (बीजीय ज्यामिति)|विभाजकों]] की प्रतिच्छेदन संख्या के लिए है।
-. एकमात्र प्रतिच्छेदन संख्या जिसकी परिभाषा से सीधे गणना की जा सकती है, वह हाइपरसर्फ्स (कोडिमेंशन एक के X की उप-किस्में) का प्रतिच्छेदन है जो x पर सामान्य स्थिति में हैं। विशेष रूप से, मान लें कि हमारे पास एक निरर्थक किस्म X है, और n हाइपरसर्फ्स Z है<sub>''1''</sub>, ..., से<sub>''n''</sub> जिसके स्थानीय समीकरण f हैं<sub>''1''</sub>, ..., एफ<sub>''n''</sub> बहुपद f के लिए x के पास<sub>''i''</sub>(टी<sub>''1''</sub>, ..., टी<sub>''n''</sub>), जैसे कि निम्नलिखित पकड़:
+. एकमात्र प्रतिच्छेदन संख्या जिसकी सीधे परिभाषा से गणना की जा सकती है, अति-पृष्ठ (हाइपरसर्फ्स) (एक सह-विमा के ''X'' का उप-प्रकार) का प्रतिच्छेदन है जो ''x'' पर सामान्य स्थिति में होता हैं। विशेष रूप से, माना कि हमारे पास एक व्युत्क्रमणीय प्रकार ''X'' है, और ''n'' अति-पृष्ठ (हाइपरसर्फ्स) ''Z<sub>1</sub>'', ..., ''Z<sub>n</sub>'' जिसमें बहुपद ''f<sub>i</sub>''(''t<sub>1</sub>'', ..., ''t<sub>n</sub>'') के लिए ''x'' के पास स्थानीय समीकरण ''f<sub>1</sub>'', ..., ''f<sub>n</sub>'' हैं, जैसे कि निम्नलिखित दिया गया है:
 * <math>n = \dim_k X</math>.
-* <math>f_i(x) = 0</math> सभी के लिए मैं (अर्थात, x हाइपरसर्फ्स के चौराहे पर है।)
+* <math>f_i(x) = 0</math> प्रत्येक ''i'' के लिए (अर्थात, ''x'' अति-पृष्ठ (हाइपरसर्फ्स) के प्रतिच्छेदन पर है।)
 * <math>\dim_x \cap_{i=1}^n Z_i = 0</math> (अर्थात भाजक सामान्य स्थिति में हैं।)
-* <math>f_i</math> h> x पर विलक्षण हैं।
+* <math>f_i</math> ''x'' पर व्युत्क्रमणीय हैं।
-तब बिंदु x पर प्रतिच्छेदन संख्या (जिसे x पर 'चौराहा बहुलता' कहा जाता है) है
+अतः बिंदु ''x'' पर प्रतिच्छेदन संख्या (जिसे ''x'' पर 'प्रतिच्छेदन बहुलता' कहा जाता है) है
 :<math>(Z_1 \cdots Z_n)_x := \dim_k \mathcal{O}_{X, x} / (f_1, \dots, f_n)</math>,
-कहाँ पे <math>\mathcal{O}_{X, x}</math> x पर X का स्थानीय वलय है, और आयाम k-वेक्टर स्थान के रूप में आयाम है। इसकी गणना एक अंगूठी के स्थानीयकरण के रूप में की जा सकती है <math>k[U]_{\mathfrak{m}_x}</math>, कहाँ पे <math>\mathfrak{m}_x</math> एक्स पर लुप्त होने वाले बहुपदों का अधिकतम आदर्श है, और यू एक्स युक्त एक खुला संबंध सेट है और इसमें एफ की कोई भी विलक्षणता नहीं है<sub>''i''</sub>.
+जहाँ <math>\mathcal{O}_{X, x}</math> ''x'' पर ''X'' का स्थानीय वलय है, और विमा ''k''-सदिश समष्टि के रूप में विमा है। इसकी गणना स्थानीयकरण <math>k[U]_{\mathfrak{m}_x}</math> के रूप में की जा सकती है, जहाँ <math>\mathfrak{m}_x</math> ''x'' पर लुप्त होने वाले बहुपदों का अधिकतम आदर्श है, और ''U'' एक विवृत सजातीय समुच्चय है जो ''x'' और ''f<sub>i</sub>'' की कोई भी विलक्षणता नहीं रखता है।
-. सामान्य स्थिति में हाइपरसर्फ्स की प्रतिच्छेदन संख्या को प्रतिच्छेदन के प्रत्येक बिंदु पर प्रतिच्छेदन संख्याओं के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
+. सामान्य स्थिति में अति-पृष्ठ (हाइपरसर्फ्स) की प्रतिच्छेदन संख्या को तत्पश्चात प्रतिच्छेदन के प्रत्येक बिंदु पर प्रतिच्छेदन संख्याओं के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
 :<math>(Z_1 \cdots Z_n) = \sum_{x \in \cap_i Z_i} (Z_1 \cdots Z_n)_x</math>
-. रैखिकता द्वारा प्रभावी विभाजकों के लिए परिभाषा का विस्तार करें, अर्थात,
+. रैखिकता द्वारा ''प्रभावी'' विभाजकों की परिभाषा का विस्तार करें, अर्थात
-:<math>(n Z_1 \cdots Z_n) = n(Z_1 \cdots Z_n)</math> तथा <math>((Y_1 + Z_1) Z_2 \cdots Z_n) = (Y_1 Z_2 \cdots Z_n) + (Z_1 Z_2 \cdots Z_n)</math>.
+:<math>(n Z_1 \cdots Z_n) = n(Z_1 \cdots Z_n)</math> तथा <math>((Y_1 + Z_1) Z_2 \cdots Z_n) = (Y_1 Z_2 \cdots Z_n) + (Z_1 Z_2 \cdots Z_n)</math>
-. प्रत्येक विभाजक को कुछ प्रभावी विभाजक P और N के लिए D = P - N के रूप में एक अद्वितीय अभिव्यक्ति की सूचना देकर सामान्य स्थिति में मनमाना विभाजक की परिभाषा का विस्तार करें। इसलिए D को दें<sub>''i''</sub> = पी<sub>''i''</sub> - एन<sub>i</sub>, और फ़ॉर्म के नियमों का उपयोग करें
+. प्रत्येक विभाजक को कुछ प्रभावी विभाजक ''P'' और ''N'' के लिए ''D'' = ''P'' - ''N'' के रूप में एक अद्वितीय अभिव्यक्ति की सूचना देकर सामान्य स्थिति में यादृच्छिक भाजक की परिभाषा का विस्तार करें। अतः ''D<sub>i</sub>'' = ''P<sub>i</sub>'' - ''N''<sub>i</sub>, और निम्न रूप के नियमों का उपयोग करें
 :<math>((P_1 - N_1) P_2 \cdots P_n) = (P_1 P_2 \cdots P_n) - (N_1 P_2 \cdots P_n)</math>
-चौराहे को बदलने के लिए।
+प्रतिच्छेदन को रूपांतरित करने के लिए।
-. मनमाना विभाजकों की प्रतिच्छेदन संख्या को चाउ की चलती लेम्मा का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है जो गारंटी देता है कि हम सामान्य स्थिति में रैखिक रूप से समतुल्य विभाजक पा सकते हैं, जिसे हम तब प्रतिच्छेद कर सकते हैं।
+. यादृच्छिक विभाजकों की प्रतिच्छेदन संख्या को "चाउ का प्रगामी स्वीकृत सिद्धांत (मूविंग लेम्मा)" का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, जो गारंटी देता है कि हम सामान्य स्थिति में रैखिक रूप से समतुल्य विभाजक प्राप्त कर सकते हैं, जिसे हम तत्पश्चात प्रतिच्छेदित कर सकते है।
 ध्यान दें कि प्रतिच्छेदन संख्या की परिभाषा उस क्रम पर निर्भर नहीं करती है जिसमें विभाजक इस संख्या की गणना में दिखाई देते हैं।
-== सेरे का टोर फॉर्मूला ==
+== सेरे का टोर सूत्र ==
-V और W को एक गैर-एकवचन किस्म के [[प्रक्षेपी विमान]] X की दो उप-प्रजातियाँ होने दें जैसे कि मंद (V) + मंद (W) = मंद (X)। तब हम अपेक्षा करते हैं कि प्रतिच्छेदन V∩W बिंदुओं का एक परिमित समुच्चय होगा। यदि हम उन्हें गिनने का प्रयास करें तो दो प्रकार की समस्याएँ उत्पन्न हो सकती हैं। सबसे पहले, भले ही V∩W का अपेक्षित आयाम शून्य हो, वास्तविक चौराहा एक बड़े आयाम का हो सकता है। उदाहरण के लिए, हम एक प्रक्षेपी तल में एक प्रक्षेपी रेखा के स्व-प्रतिच्छेदन संख्या को खोजने का प्रयास कर सकते हैं। दूसरी संभावित समस्या यह है कि भले ही प्रतिच्छेदन शून्य-आयामी है, यह गैर-अनुप्रस्थ हो सकता है। उदाहरण के लिए, V समतल वक्र W की स्पर्श रेखा हो सकती है।
+माना ''V'' और ''W'' को एक व्युत्क्रमणीय [[प्रक्षेपी विमान|प्रक्षेपी प्रकार]] X की दो उप-प्रकारें है जैसे कि dim(''V'')+dim(''W'')=dim(''X'')। तत्पश्चात हम अपेक्षा करते हैं कि प्रतिच्छेदन ''V''∩''W'' बिंदुओं का एक परिमित समुच्चय होगा। यदि हम इनकी गणना करने का प्रयास करें तो दो प्रकार की समस्याएँ उत्पन्न हो सकती हैं। सर्वप्रथम, भले ही ''V''∩''W'' का अपेक्षित विमा शून्य हो, वास्तविक प्रतिच्छेदन बड़ी विमा का हो सकती है। उदाहरण के लिए, हम एक प्रक्षेपी तल में एक प्रक्षेपी रेखा के स्वयं-प्रतिच्छेदन संख्या को खोजने का प्रयास कर सकते हैं। दूसरी संभावित समस्या यह है कि यदि प्रतिच्छेदन शून्य-विमीय है, तो भी यह गैर-अनुप्रस्थ हो सकता है। उदाहरण के लिए, ''V'' समतल वक्र ''W'' के लिए एक स्पर्श रेखा हो सकती है।
-पहली समस्या के लिए प्रतिच्छेदन सिद्धांत की मशीनरी की आवश्यकता है, जिसकी चर्चा ऊपर विस्तार से की गई है। आवश्यक विचार यह है कि [[चलती लेम्मा]] का उपयोग करके V और W को अधिक सुविधाजनक उप-किस्मों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाए। दूसरी ओर, दूसरी समस्या को सीधे V या W को स्थानांतरित किए बिना हल किया जा सकता है। 1965 में [[जीन पियरे सेरे]] ने वर्णन किया कि कैसे कम्यूटेटिव बीजगणित और होमोलॉजिकल बीजगणित के तरीकों से प्रत्येक चौराहे बिंदु की बहुलता का पता लगाया जाए।<ref>{{cite book| first = Jean-Pierre | last = Serre | author-link = Jean-Pierre Serre| title=स्थानीय बीजगणित, गुणक| series= Lecture Notes in Mathematics | volume = 11 | publisher = Springer-Verlag | year = 1965 | pages = x+160 }}</ref> प्रतिच्छेदन की एक ज्यामितीय धारणा और एक [[टोर काम करता है]] की एक होमोलॉजिकल धारणा के बीच यह संबंध प्रभावशाली रहा है और विशेष रूप से कम्यूटेटिव बीजगणित में कई होमोलॉजिकल अनुमानों का नेतृत्व किया।
+पहली समस्या के लिए प्रतिच्छेदन सिद्धांत की मशीनरी की आवश्यकता होती है, जिसकी ऊपर विस्तार से चर्चा की गई है। आवश्यक विचार यह है कि [[चलती लेम्मा|प्रगामी स्वीकृत सिद्धांत]] का उपयोग करके ''V'' और ''W'' को अधिक सुविधाजनक उप-प्रकारों से प्रतिस्थापित किया जाए। दूसरी ओर, दूसरी समस्या को सीधे ''V'' या ''W'' को स्थानांतरित किए बिना हल किया जा सकता है। 1965 में [[जीन पियरे सेरे]] ने वर्णन किया कि कैसे क्रमविनिमेय बीजगणित और समरूप बीजगणित के तरीकों से प्रत्येक प्रतिच्छेदन बिंदु की बहुलता को खोजा जाए।<ref>{{cite book| first = Jean-Pierre | last = Serre | author-link = Jean-Pierre Serre| title=स्थानीय बीजगणित, गुणक| series= Lecture Notes in Mathematics | volume = 11 | publisher = Springer-Verlag | year = 1965 | pages = x+160 }}</ref> प्रतिच्छेदन की एक ज्यामितीय धारणा और एक व्युत्पन्न टेन्सर गुणन की एक समरूप धारणा के बीच यह संबंध प्रभावशाली रहा है और विशेष रूप से कम्यूटेटिव बीजगणित में कई समरूप अनुमानों का नेतृत्व किया।
-Serre's Tor सूत्र निम्न परिणाम है। बता दें कि ''X'' एक नियमित स्थानीय रिंग किस्म है, ''V'' और ''W'' पूरक आयाम की दो उप-किस्में हैं जैसे कि ''V''∩''W'' शून्य-आयामी है। किसी भी बिंदु ''x''∈''V''∩''W'' के लिए, ''A'' को स्थानीय रिंग होने दें <math>\mathcal{O}_{X, x}</math> एक्स का। एक्स पर वी और डब्ल्यू की [[संरचना शीफ]] आदर्श I, जे⊆ए के अनुरूप है। फिर बिंदु x पर V∩W की बहुलता है
+'''सेर्रे का टोर सूत्र''' निम्नलिखित परिणाम है। बता दें कि ''X'' एक नियमित प्रकार है, ''V'' और ''W'' दो पूरक विमा की उप-प्रकारें हैं जैसे ''V''∩''W'' शून्य-विमीय है। किसी भी बिंदु ''x''∈''V''∩''W'' के लिए, ''A'' को ''x'' का स्थानीय रिंग <math>\mathcal{O}_{X, x}</math> होने दें। ''X'' पर ''V'' और ''W'' की [[संरचना शीफ]] आदर्श I, ''J''⊆''A'' के अनुरूप है। फिर बिंदु X पर ''V''∩''W'' की बहुलता है
 :<math>e(X; V, W; x) = \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^i \mathrm{length}_A(\operatorname{Tor}_i^A(A/I, A/J))</math>
-जहां लंबाई स्थानीय अंगूठी पर मॉड्यूल की लंबाई है, और टोर टोर फ़ैक्टर है। जब वी और डब्ल्यू को अनुप्रस्थ स्थिति में ले जाया जा सकता है, तो यह समरूप सूत्र अपेक्षित उत्तर उत्पन्न करता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि V और W x पर आड़े-तिरछे मिलते हैं, तो बहुलता 1 है। यदि V एक बिंदु x पर एक [[परवलय]] W पर एक बिंदु x पर एक स्पर्श रेखा है, तो x पर बहुलता 2 है।
+जहाँ लंबाई स्थानीय वलय के ऊपर एक प्रमात्रक की लंबाई है, और टोर, टोर प्रकार्यक है। जब ''V'' और ''W'' को एक अनुप्रस्थ स्थिति में स्थानांतरित किया जा सकता है, तो यह तुल्यता (होमोलॉजिकल) सूत्र अपेक्षित उत्तर उत्पन्न करता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि ''V'' और ''W x'' पर अनुप्रस्थतः मिलते हैं, अतः बहुलता 1 है। यदि ''V'' किसी बिंदु ''x'' पर एक [[परवलय]] ''W'' के बिंदु x पर एक स्पर्श रेखा है, अतः  ''x'' पर बहुलता 2 है।
-यदि वी और डब्ल्यू दोनों [[नियमित अनुक्रम]]ों द्वारा स्थानीय रूप से काट दिए जाते हैं, उदाहरण के लिए यदि वे गैर-एकवचन विविधता हैं, तो उपरोक्त सूत्र में सभी उच्च टोर गायब हो जाते हैं, इसलिए बहुलता सकारात्मक है। मनमाने मामले में सकारात्मकता सेरे के बहुलता अनुमानों में से एक है।
+यदि ''V'' और ''W'' दोनों [[नियमित अनुक्रम|नियमित अनुक्रमों]] द्वारा स्थानीय रूप से कर्तित किया जाता हैं, उदाहरण के लिए यदि वे व्युत्क्रमणीय हैं, तो सभी उच्च टोर के ऊपर के सूत्र में लुप्त हो जाते हैं, इसलिए बहुलता धनात्मक है। स्वेच्छिक स्थिति में धनात्मकता सेरे के बहुलता अनुमानों में से एक है।
-== आगे की परिभाषाएँ ==
+== अग्रिम परिभाषाएँ ==
-परिभाषा को व्यापक रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए केवल बिंदुओं के बजाय उप-किस्मों के साथ चौराहों पर, या मनमाना पूर्ण किस्मों के लिए।
+परिभाषा को व्यापक रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए केवल बिंदुओं के बजाय उप-प्रकारों के साथ प्रतिच्छेदनों पर, या पूरी तरह से यादृच्छिक करने के लिए।
-बीजगणितीय टोपोलॉजी में, प्रतिच्छेदन संख्या [[कप उत्पाद]] के पॉइनकेयर दोहरे के रूप में दिखाई देती है। विशेष रूप से, यदि दो मैनिफोल्ड, X और Y, एक मैनिफोल्ड M में अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं, तो प्रतिच्छेदन का होमोलॉजी वर्ग कप उत्पाद का पॉइंकेयर डुअल है। <math>D_M X \smile D_M Y</math> X और Y के पोंकारे दोहरे।
+बीजगणितीय टोपोलॉजी में, प्रतिच्छेदन संख्या [[कप उत्पाद|कप गुणन]] के पोंकारे द्वैत के रूप में प्रकट होती है। विशेष रूप से, यदि दो कई गुना, ''X'' और ''Y'', कई गुना ''M'' में अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं, तो प्रतिच्छेदन का समरूपता वर्ग ''X'' और ''Y'' के पोंकारे द्वैत के कप गुणन <math>D_M X \smile D_M Y</math> का पोंकारे द्वैत है।
 == स्नैपर-क्लेमन प्रतिच्छेदन संख्या की परिभाषा ==
--60 में स्नैपर द्वारा पेश किया गया और बाद में कार्टियर और क्लेमन द्वारा विकसित, प्रतिच्छेदन संख्या के लिए एक दृष्टिकोण है, जो एक प्रतिच्छेदन संख्या को एक यूलर विशेषता के रूप में परिभाषित करता है।
+-60 में स्नैपर द्वारा प्रस्तुत किया गया और बाद में कार्टियर और क्लेमन द्वारा विकसित, प्रतिच्छेदन संख्या के लिए एक दृष्टिकोण है, जो एक प्रतिच्छेदन संख्या को यूलर विशेषता के रूप में परिभाषित करता है।
-एक्स को एक योजना एस, पीआईसी (एक्स) एक्स के [[पिकार्ड समूह]] और 'जी' के एक्स पर [[सुसंगत शीफ]] की श्रेणी के ग्रोथेंडिक समूह पर एक योजना होने दें, जिसका समर्थन एस के आर्टिनियन उप-योजना पर उचित आकारिकी है।
+माना ''X'' को एक योजना ''S'', पीआईसी(''X'') ''X'' और '''''G''''' के [[पिकार्ड समूह]] पर ''X'' पर  [[सुसंगत शीफ|सामंजस्यपूर्ण शीवेस]] की श्रेणी के ग्रोथेंडिक समूह पर एक योजना है, जिसका समर्थन ''S'' के आर्टिनियन सबस्कैम पर उचित है।
-तस्वीर (एक्स) में प्रत्येक एल के लिए, एंडोमोर्फिज्म सी परिभाषित करें<sub>1</sub>(एल) 'जी' (एल की पहली चेर्न क्लास कहा जाता है) द्वारा
+पीआईसी(''X'') में प्रत्येक ''L'' के लिए, '''''G''''' के अंतःरूपांतरण ''c''<sub>1</sub>(''L'') को परिभाषित करें (जिसे ''L'' का पहला चेर्न वर्ग कहा जाता है)
 :<math>c_1(L)F= F - L^{-1} \otimes F.</math>
-यह 'जी' पर योज्य है क्योंकि लाइन बंडल के साथ टेंसरिंग सटीक है। एक के पास भी है:
+यह '''''G''''' पर योगात्मक है चूंकि रेखा समूह के साथ टेंसरिंग यथार्थ है। यह भी ज्ञात है:
-*<math>c_1(L_1)c_1(L_2) = c_1(L_1) + c_1(L_2) - c_1(L_1 \otimes L_2)</math>; विशेष रूप से, <math>c_1(L_1)</math> तथा <math>c_1(L_2)</math> आना-जाना।
+*<math>c_1(L_1)c_1(L_2) = c_1(L_1) + c_1(L_2) - c_1(L_1 \otimes L_2)</math>; विशेष रूप से, <math>c_1(L_1)</math> तथा <math>c_1(L_2)</math> कम्यूट।
 *<math>c_1(L)c_1(L^{-1}) =  c_1(L) + c_1(L^{-1}).</math>
-*<math>\dim \operatorname{supp} c_1(L)F \le \dim \operatorname{supp} F - 1</math> (यह गैर-तुच्छ है और एक विचलन तर्क से आता है।)
+*<math>\dim \operatorname{supp} c_1(L)F \le \dim \operatorname{supp} F - 1</math> (यह असतहीय है और एक विचलन तर्क से आता है।)
-चौराहा संख्या
+प्रतिच्छेदन संख्या
 :<math>L_1 \cdot {\dots} \cdot L_r</math>
-लाइन बंडलों की एल<sub>''i''</sub>इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:
+लाइन बंडलों की ''L<sub>i</sub>''<nowiki/>'s इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:
 :<math>L_1 \cdot {\dots} \cdot L_r \cdot F = \chi(c_1(L_1) \cdots c_1(L_r) F)</math>
-जहां χ [[यूलर विशेषता]] को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, किसी के पास प्रेरण है:
+जहाँ ''χ'' [[यूलर विशेषता]] को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, किसी के पास प्रेरण है:
 :<math>L_1 \cdot {\dots} \cdot L_r \cdot F = \sum_0^r (-1)^i \chi(\wedge^i (\oplus_0^r L_j^{-1}) \otimes F).</math>
-हर बार F नियत होता है, <math>L_1 \cdot {\dots} \cdot L_r \cdot F</math> एल में एक सममित कार्यात्मक है<sub>''i''</sub>'एस।
+सदैव ''F'' नियत होता है, <math>L_1 \cdot {\dots} \cdot L_r \cdot F</math>  ''L<sub>i</sub>''<nowiki/>'s में एक सममित कार्यात्मक है।
-अगर एल<sub>''i''</sub> = द<sub>''X''</sub>(डी<sub>''i''</sub>) कुछ कार्टियर विभाजकों के लिए डी<sub>''i''</sub>है, तो हम लिखेंगे <math>D_1 \cdot {\dots } \cdot D_r</math> चौराहे संख्या के लिए।
+यदि ''L<sub>i</sub>'' = ''O<sub>X</sub>''(''D<sub>i</sub>'') कुछ कार्टियर विभाजकों के लिए ''D<sub>i</sub>''<nowiki/>'s है, अतः हम लिखेंगे <math>D_1 \cdot {\dots } \cdot D_r</math> प्रतिच्छेदन संख्या के लिए।
-होने देना <math>f:X \to Y</math> एस-योजनाओं का एक रूपवाद हो, <math>L_i, 1 \le i \le m</math> के साथ 'जी' में एक्स और एफ पर लाइन बंडल <math>m \ge \dim \operatorname{supp}F</math>. फिर
+माना <math>f:X \to Y</math> ''S''-योजनाओं का एक रूपवाद हो, <math>L_i, 1 \le i \le m</math> के साथ ''''G'''<nowiki/>' में ''X'' और ''F'' पर लाइन बंडल <math>m \ge \dim \operatorname{supp}F</math>. फिर
 :<math>f^*L_1 \cdots f^* L_m \cdot F = L_1 \cdots L_m \cdot f_* F</math>.<ref>{{harvnb|Kollár|1996|loc=Ch VI. Proposition 2.11}}</ref>
+== समतल वक्रों के लिए प्रतिच्छेदन गुणक ==
+प्रक्षेप्य वक्रों की एक जोड़ी, <math>P</math> और <math>Q</math>, <math>K[x,y]</math> में और एक बिंदु <math>p \in K^2</math>, एक संख्या <math>I_p(P,Q)</math>, जिसे <math>P</math> पर <math>Q</math> और <math>p</math> की ''प्रतिच्छेदन बहुलता'' कहा जाता है, जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है, प्रत्येक ट्रिपलेट <math>(P,Q,p)</math> को निर्दिष्ट करने वाला एक अनूठा कार्य है:
-== प्लेन कर्व्स के लिए इंटरसेक्शन मल्टीप्लिसिटी ==
-प्रत्येक ट्रिपलेट को असाइन करने वाला एक अनूठा कार्य है <math>(P,Q,p)</math> प्रोजेक्टिव कर्व्स की एक जोड़ी से मिलकर, <math>P</math> तथा <math>Q</math>, में <math>K[x,y]</math> और एक बिंदु <math>p \in K^2</math>, एक संख्या <math>I_p(P,Q)</math> की प्रतिच्छेदन बहुलता कहलाती है <math>P</math> तथा <math>Q</math> पर <math>p</math> जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:
 # <math>I_p(P,Q) = I_p(Q,P)</math>
-# <math>I_p(P,Q) = \infty</math> अगर और केवल अगर <math>P</math> तथा <math>Q</math> एक सामान्य कारक है जो शून्य है <math>p</math>
+# <math>I_p(P,Q) = \infty</math> यदि और केवल यदि <math>P</math> तथा <math>Q</math> एक सामान्य कारक है जो शून्य है <math>p</math>
-# <math>I_p(P,Q) = 0</math> अगर और केवल अगर में से एक <math>P(p)</math> या <math>Q(p)</math> गैर-शून्य है (अर्थात बिंदु <math>p</math> एक वक्र से बाहर है)
+# <math>I_p(P,Q) = 0</math> यदि और केवल यदि में से एक <math>P(p)</math> या <math>Q(p)</math> अशून्य है (अर्थात बिंदु <math>p</math> एक वक्र से बाहर है)
-# <math>I_p(x,y) = 1</math> कहाँ पे <math>p = (0,0)</math>
+# <math>I_p(x,y) = 1</math> जहाँ <math>p = (0,0)</math>
 # <math>I_p(P,Q_1Q_2) = I_p(P,Q_1) + I_p(P,Q_2)</math>
 # <math>I_p(P + QR,Q) = I_p(P,Q)</math> किसी के लिए <math>R \in K[x,y]</math>
-हालांकि ये गुण पूरी तरह से प्रतिच्छेदन बहुलता को चित्रित करते हैं, व्यवहार में इसे कई अलग-अलग तरीकों से महसूस किया जाता है।
+यद्यपि ये गुण पूरी तरह से प्रतिच्छेदन बहुलता की विशेषता रखते हैं, व्यवहार में इसे कई अलग-अलग तरीकों से महसूस किया जाता है।
-प्रतिच्छेदन बहुलता का एक बोध शक्ति श्रृंखला वलय के एक निश्चित भागफल स्थान के आयाम के माध्यम से होता है <math>K[[x,y]]</math>. यदि आवश्यक हो तो चरों में परिवर्तन करके, हम यह मान सकते हैं <math>p = (0,0)</math>. होने देना <math>P(x,y)</math> तथा <math>Q(x,y)</math> बीजगणितीय वक्रों को परिभाषित करने वाले बहुपद बनें जिनमें हम रुचि रखते हैं। यदि मूल समीकरण सजातीय रूप में दिए गए हैं, तो इन्हें सेट करके प्राप्त किया जा सकता है <math>z = 1</math>. होने देना <math>I = (P,Q)</math> के आदर्श को दर्शाता है <math>K[[x,y]]</math> द्वारा उत्पन्न <math>P</math> तथा <math>Q</math>. प्रतिच्छेदन बहुलता का आयाम है <math>K[[x,y]]/I</math> सदिश स्थान के रूप में <math>K</math>.
+प्रतिच्छेदन बहुलता का एक बोध शक्ति श्रृंखला वलय <math>K[[x,y]]</math> के एक निश्चित भागफल स्थान के विमा के माध्यम से होता है। यदि आवश्यक हो तो चर में परिवर्तन करके, हम <math>p = (0,0)</math> मान सकते हैं। <math>P(x,y)</math> और <math>Q(x,y)</math> को बीजगणितीय वक्रों को परिभाषित करने वाले बहुपदों में रुचि रखते हैं। यदि मूल समीकरण सजातीय रूप में दिए गए हैं, तो इन्हें <math>z = 1</math> समुच्चय करके प्राप्त किया जा सकता है। मान लीजिए कि <math>I = (P,Q)</math> <math>P</math> और <math>Q</math> द्वारा उत्पन्न <math>K[[x,y]]</math> के आदर्श को दर्शाता है। प्रतिच्छेदन बहुलता <math>K</math> से अधिक सदिश समष्टि के रूप में <math>K[[x,y]]/I</math> का विमा है।
-प्रतिच्छेदन बहुलता का एक और अहसास दो बहुपदों के परिणाम से आता है <math>P</math> तथा <math>Q</math>. निर्देशांक में जहां <math>p = (0,0)</math>, वक्रों के साथ कोई अन्य प्रतिच्छेदन नहीं है <math>y = 0</math>, और बहुपद की डिग्री <math>P</math> इसके संबंध में <math>x</math> की कुल डिग्री के बराबर है <math>P</math>, <math>I_p(P,Q)</math> की उच्चतम शक्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>y</math> जो परिणामी को विभाजित करता है <math>P</math> तथा <math>Q</math> (साथ <math>P</math> तथा <math>Q</math> बहुपदों के रूप में देखा जाता है <math>K[x]</math>).
+प्रतिच्छेदन बहुलता का एक अन्य बोध दो बहुपदों <math>P</math> और <math>Q</math> के परिणाम से आता है। निर्देशांक में जहाँ <math>p = (0,0)</math>, वक्रों में <math>y = 0</math> के साथ कोई अन्य प्रतिच्छेदन नहीं है, और <math>x</math> के संबंध में <math>P</math> की डिग्री <math>P</math> की कुल डिग्री के बराबर है, <math>I_p(P,Q)</math> को <math>y</math> की उच्चतम शक्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो <math>P</math> और <math>Q</math> के परिणाम को विभाजित करता है (<math>P</math> और <math>Q</math> के साथ <math>K[x]</math> से अधिक बहुपदों के रूप में देखा जाता है)।
-चौराहों की बहुलता को अलग-अलग चौराहों की संख्या के रूप में भी महसूस किया जा सकता है, अगर घटता थोड़ा परेशान हो। अधिक विशेष रूप से, अगर <math>P</math> तथा <math>Q</math> वक्रों को परिभाषित करें जो एक खुले सेट के [[समापन (गणित)]] में केवल एक बार प्रतिच्छेद करते हैं <math>U</math>, फिर के घने सेट के लिए <math>(\epsilon,\delta) \in K^2</math>, <math>P - \epsilon</math> तथा <math>Q - \delta</math> चिकने होते हैं और बिल्कुल किसी संख्या पर तिर्यक रूप से प्रतिच्छेद करते हैं (अर्थात अलग-अलग स्पर्श रेखाएँ होती हैं)। <math>n</math> में इंगित करता है <math>U</math>. हम तब कहते हैं <math>I_p(P,Q) = n</math>.
+प्रतिच्छेदनों की बहुलता को अलग-अलग प्रतिच्छेदनों की संख्या के रूप में भी महसूस किया जा सकता है जो वक्रों थोड़ा क्षुब्ध हो। अधिक विशेष रूप से, यदि <math>P</math> और <math>Q</math> वक्र परिभाषित करते हैं जो एक विवृत समुच्चय <math>U</math> के [[समापन (गणित)|समापन]] होने पर केवल एक बार प्रतिच्छेद करते हैं, फिर <math>(\epsilon,\delta) \in K^2</math>, <math>P - \epsilon</math> और <math>Q - \delta</math> के एक सघन समुच्चय के लिए चिकने होते हैं और अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करते हैं (अर्थात अलग-अलग स्पर्श रेखाएँ हैं) <math>n</math> में ठीक <math>U</math> बिंदुओं पर। हम कहते हैं कि <math>I_p(P,Q) = n</math>।
 === उदाहरण ===
@@ Line 128: / Line 127: @@
 :<math>Q = y - x^2,\ </math>
-इसलिए
+अतः
 : <math>I_p(P,Q) = I_p(y,y - x^2) = I_p(y,x^2) = I_p(y,x) + I_p(y,x) = 1 + 1 = 2.\,</math>
 इस प्रकार, प्रतिच्छेदन की डिग्री दो है; यह एक साधारण स्पर्शरेखा है।
-== स्व-चौराहे ==
+== स्व-प्रतिच्छेदन ==
-गणना करने के लिए सबसे दिलचस्प चौराहे संख्याओं में से कुछ स्व-प्रतिच्छेदन संख्याएँ हैं। इसे हल्के अर्थों में नहीं लिया जाना चाहिए। इसका मतलब यह है कि, किसी विशिष्ट प्रकार के विभाजक (बीजीय ज्यामिति) के समतुल्य वर्ग में, दो प्रतिनिधि प्रतिच्छेदित होते हैं जो एक दूसरे के संबंध में [[सामान्य स्थिति]] में होते हैं। इस तरह, स्व-प्रतिच्छेदन संख्याएं अच्छी तरह से परिभाषित हो सकती हैं, और यहां तक कि नकारात्मक भी।
+गणना करने के लिए सबसे दिलचस्प प्रतिच्छेदन संख्याओं में से कुछ ''स्वयं-प्रतिच्छेदन संख्याएं'' हैं I इसे भोले भाव में नहीं लेना चाहिए। इसका अर्थ यह है कि, किसी विशिष्ट प्रकार के विभाजकों के एक समतुल्य वर्ग में, दो प्रतिनिधि प्रतिच्छेदित होते हैं जो एक दूसरे के संबंध में [[सामान्य स्थिति]] में होते हैं। इस तरह, स्व-प्रतिच्छेदन संख्या अच्छी तरह से परिभाषित हो सकती है, और यहां तक कि नकारात्मक भी हो सकती है।
 == अनुप्रयोग ==
-चौराहे की संख्या आंशिक रूप से बेज़ाउट के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए चौराहे को परिभाषित करने की इच्छा से प्रेरित है।
+प्रतिच्छेदन संख्या आंशिक रूप से बेजाउट के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए प्रतिच्छेदन को परिभाषित करने की इच्छा से प्रेरित है।
-प्रतिच्छेदन संख्या [[निश्चित बिंदु (गणित)]] के अध्ययन में उत्पन्न होती है, जिसे एक [[विकर्ण]] के साथ एक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन ग्राफ़ के चौराहों के रूप में चतुराई से परिभाषित किया जा सकता है। नियत बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदन संख्या की गणना बहुलता के साथ नियत बिन्दुओं की गणना करती है, और मात्रात्मक रूप में Lefschetz नियत-बिंदु प्रमेय की ओर ले जाती है।
+प्रतिच्छेदन संख्या [[निश्चित बिंदु (गणित)|निश्चित बिंदुओं]] के अध्ययन में उत्पन्न होती है, जिसे चतुराई से एक [[विकर्ण]] के साथ फलन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदनों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। नियत बिंदुओं पर प्रतिच्छेदन संख्याओं की गणना ''बहुलता के साथ'' नियत बिंदुओं की गणना करता है, और मात्रात्मक रूप में लेफस्केटज़ नियत-बिंदु प्रमेय की ओर जाता है।
 == टिप्पणियाँ ==
 {{reflist}}
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
-*अंक शास्त्र
-*विभेदक रूप
-*यूनिट स्टेप फंक्शन
-*एक अंगूठी का स्थानीयकरण
-*अनुमानित किस्म
-*अस्वाभाविक किस्म
-*क्रमविनिमेय बीजगणित
-*समरूप बीजगणित
-*स्पर्शरेखा
-*प्रक्षेपण रेखा
-*स्थानीय अंगूठी
-*क्रमविनिमेय बीजगणित में समरूप अनुमान
-*नियमित स्थानीय अंगूठी
-*एक मॉड्यूल की लंबाई
-*उचित रूपवाद
-*आर्टिनियन उपयोजना
-*प्रथम चेर्न वर्ग
-*कार्टियर भाजक
-*परिणामी
-*एक बहुपद की डिग्री
-*Lefschetz फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय
-*एक समारोह का ग्राफ
 == संदर्भ ==
 * {{cite book | author=William Fulton | authorlink=William Fulton (mathematician) | title=Algebraic Curves | series=Mathematics Lecture Note Series | publisher=W.A. Benjamin | year=1974 | isbn=0-8053-3082-8 | pages=74–83 }}
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 *{{Citation | last1=Kleiman | first1=Steven L. | author1-link=Steven Kleiman | title=Fundamental algebraic geometry | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Math. Surveys Monogr. | mr=2223410 | year=2005 | volume=123 | chapter=The Picard scheme: Appendix B. |arxiv=math/0504020| bibcode=2005math......4020K }}
 *{{Citation | last1=Kollár | first1=János | author1-link=Janos Kollar | title=Rational Curves on Algebraic Varieties | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, Heidelberg | isbn=978-3-642-08219-1 | doi=10.1007/978-3-662-03276-3 | mr=1440180 | year=1996 }}
-[[Category:बीजगणितीय ज्यामिति]]
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