खुला सेट: Difference between revisions

Latest revision as of 09:33, 13 December 2022

उदाहरण: नीला वृत्त बिंदुओं (x, y) के संतोषजनक सेट का प्रतिनिधित्व करता है

x 2 + y 2 = r 2

. लाल डिस्क (गणित) अंक (x, y) के संतोषजनक सेट का प्रतिनिधित्व करती है

x 2 + y 2 < r 2

. लाल सेट एक खुला सेट है, नीला सेट इसकी सीमा (टोपोलॉजी) सेट है, और लाल और नीले सेट का मिलन एक बंद सेट है।

गणित में, खुले सेट वास्तविक रेखा में खुले सेटों का सामान्यीकरण हैं।

एक मीट्रिक स्थान में (किसी भी दो बिंदुओं के बीच परिभाषित दूरी मीट्रिक (गणित) के साथ एक सेट (गणित)), खुले सेट वे सेट हैं जो प्रत्येक बिंदु P के साथ हैं, उन सभी बिंदुओं को सम्मालित करता है जो P के पर्याप्त निकट हैं (अर्थात, वे सभी बिंदु जिनकी P से दूरी P के आधार पर कुछ मान से कम है).

अधिक सामान्यतः, एक खुले सेट को किसी दिए गए सेट के सबसेट के दिए गए संग्रह के सदस्यों के रूप में परिभाषित करता है, एक संग्रह जिसमें इसके सदस्यों के प्रत्येक समूह (सेट सिद्धांत), इसके सदस्यों के प्रत्येक परिमित चौराहे (सेट सिद्धांत), खाली सेट, और पूरा सेट को ही सम्मालित करने का गुण होता है। एक सेट जिसमें ऐसा संग्रह दिया जाता है उसे टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है, और संग्रह को टोपोलॉजी (संरचना) कहा जाता है। ये स्थितियाँ बहुत अव्यवस्थित हैं, और खुले सेटों के चुनाव में अत्यधिक लचीलेपन की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक सबसेट खुला ([असतत टोपोलॉजी]) हो सकता है, केवल स्थान और खाली सेट (अविवेकी टोपोलॉजी) को छोड़कर, कोई भी सेट खुला नहीं हो सकता है।

व्यवहार में, चूंकि, खुले सेट सामान्यतः दूरी की धारणा के बिना, मीट्रिक रिक्त स्थान के समान निकटता की धारणा प्रदान करने के लिए चुने जाते हैं। विशेष रूप से, एक टोपोलॉजी निरंतर कार्य, जुड़ा हुआ स्थान और सघनता जैसे गुणों को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जिन्हें मूल रूप से दूरी के माध्यम से परिभाषित किया गया था।

बिना किसी भी दूरी के एक टोपोलॉजी का सबसे साधारण स्थितिय विविध द्वारा दिया जाता है, जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं, जो प्रत्येक बिंदु के पास, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले सेट के समान होते हैं, लेकिन जिस पर कोई दूरी सामान्य रूप से परिभाषित नहीं है। गणित की अन्य शाखाओं में टोपोलॉजी का प्रयोग कम किया जाता है; उदाहरण के लिए, जरिस्की टोपोलॉजी, जो बीजगणितीय ज्यामिति और योजना सिद्धांत में मौलिक है।

प्रेरणा

सहजता से, एक खुला सेट दो बिंदु (ज्यामिति) को अलग करने के लिए एक विधि प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में दो बिंदुओं में से एक के बारे में एक खुला सेट उपस्थित है जिसमें अन्य (अलग) बिंदु नहीं है, तो दो बिंदुओं को टोपोलॉजिकल रूप से अलग-अलग कहा जाता है। इस विधि से, कोई इस बारे में बात कर सकता है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो बिंदु, या अधिक सामान्यतः दो सबसेट दूरी को स्पष्ट रूप से परिभाषित किए बिना "निकट" हैं, इसलिए, टोपोलॉजिकल स्पेस को दूरी की धारणा से लैस स्पेस के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जिसे मेट्रिक स्पेस कहा जाता है।

सभी वास्तविक संख्याओ के सेट में, किसी के पास प्राकृतिक यूक्लिडियन मीट्रिक है; अर्थात, एक फलन जो दो वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी को मापता है: $d (x, y) = | x - y |$ . इसलिए, एक वास्तविक संख्या x दी गई है, उस वास्तविक संख्या के निकट सभी बिंदुओं के सेट के बारे में बात की जा सकती है; अर्थात्, x के ε के भीतर। संक्षेप में, x के ε के भीतर बिंदु ε घात की उपयुक्त के करीब x का अनुमान लगाते हैं। ध्यान दें कि ε> 0 हमेशा लेकिन जैसे-जैसे ε छोटा और छोटा होता जाता है, वैसे-वैसे अंक प्राप्त होते हैं जो x को उपयुक्त के उच्च और उच्च स्तर तक ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x = 0 और ε = 1, x के ε के भीतर के बिंदु अंतराल बिंदु ठीक अंतराल (−1, 1) के बिंदु हैं; अर्थात, -1 और 1 के बीच सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है। चूंकि, ε = 0.5 के साथ, x के ε के भीतर बिंदु ठीक (-0.5, 0.5) के बिंदु हैं। स्पष्ट रूप से, ये बिंदु ε = 1 की तुलना में उपयुक्त की एक बड़ी घात के करीब x का अनुमान लगाते हैं।

पिछले उल्लेख से पता चलता है, केस x = 0 के लिए, कि ε को छोटा और छोटा परिभाषित करके x को उपयुक्त के उच्च और उच्च घात तक अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से, फॉर्म के सेट (−ε, ε) हमें x = 0 के करीब बिंदुओं के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। इस प्रकार, ठोस यूक्लिडियन मीट्रिक के बारे में बात करने के अतिरिक्त, x के निकटतम बिंदुओं का वर्णन करने के लिए सेट का प्रयोग किया जा सकता है। इस अभिनव विचार के दूरगामी परिणाम होते हैं; विशेष रूप से, 0 वाले सेटो के विभिन्न संग्रहों को परिभाषित करके ( सेटो (−ε, ε) से अलग), कोई 0 और अन्य वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी के संबंध में भिन्न परिणाम प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दूरी को मापने के लिए 'R' को एकमात्र ऐसे सेट के रूप में परिभाषित करते हैं, तो सभी बिंदु 0 के करीब हैं क्योंकि उपयुक्त की केवल एक ही संभावित घात है जिसे कोई 0 का 'R' का सदस्य होने के नाते अनुमान लगाने में प्राप्त कर सकता है। इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक मायने में, प्रत्येक वास्तविक संख्या 0 से 0 की दूरी पर है। इस स्थितिय में माप को एक द्विआधारी स्थिति के रूप में सोचने में सहायता मिल सकती है: 'R' में सभी चीजें समान रूप से 0 के करीब हैं, जबकि कोई भी वस्तु जो R में नहीं है वह 0 के करीब भी नहीं है।

सामान्यतः, एक 'निकट के आधार' के रूप में 0 वाले सेट के परिवार को संदर्भित करता है, जिसका प्रयोग लगभग 0 के लिए किया जाता है; इस निकट के आधार के एक सदस्य को ' खुला सेट' के रूप में संदर्भित किया जाता है। यथार्थ, कोई इन धारणाओं को एक मनमाना सेट (X ) के लिए सामान्यीकृत कर सकता है; केवल वास्तविक संख्या के अतिरिक्त। इस स्थितिय में, उस सेट का एक बिंदु (x) दिया गया है, कोई सेट के संग्रह को परिभाषित कर सकता है (अर्थात, युक्त) x, अनुमानित x के लिए प्रयोग किया जाता है। निःसंदेह, इस संग्रह को कुछ गुणों (जिन्हें 'स्वयंसिद्ध' के रूप में जाना जाता है) को पूरा करना होगा, अन्यथा हमारे पास दूरी मापने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित विधि नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, X के प्रत्येक बिंदु को कुछ हद तक उपयुक्त के साथ x का अनुमान लगाना चाहिए। इस प्रकार X को इस परिवार में होना चाहिए। एक बार जब हम x वाले छोटे सेट को परिभाषित करना प्रारंभ करते हैं, तो हम x को अधिक उपयुक्त के साथ अनुमानित करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, शेष स्वतः सिद्ध को परिभाषित किया जा सकता है जिसे संतुष्ट करने के लिए x के बारे में सेटो के परिवार की आवश्यकता होती है।

परिभाषाएँ

तकनीकीता के बढ़ते क्रम में, यहाँ कई परिभाषाएँ दी गई हैं। सभी एक अगले का एक विशेष स्थितिय है।

यूक्लिडियन स्थान

यूक्लिडियन $n$ -अंतरिक्ष $R n$ का एक सबसेट $U$ खुला है यदि,U में प्रत्येक बिन्दु $x$ के लिए एक धनात्मक वास्तविक संख्या $ε$ (इस पर निर्भर करते हुए $x$ ) उपस्थित है जैसे की $R n$ में कोई बिन्दु जिसका $x$ से यूक्लिडियन दूरी $ε$ से कम है समान रूप से $R n$ का सबसेट $U$ खुला होता है यदि $U$ का प्रत्येक बिंदु $U.$ में निहित एक खुली गेंद का केंद्र है।^[1]

$R$ के एक सबसेट का उदाहरण जो खुला नहीं है वह बंद अंतराल $[0,1]$ है, क्योकि न तो $0 - ε$ न $1 + ε$ किसी भी $ε > 0$ के लिए $[0,1]$ से संबंधित है, इससे कोई फर्क नहीं सम्मालित़ता, कि कितना छोटा है।

मीट्रिक स्थान

मीट्रिक स्पेस का एक सबसेट U $(M, d)$ खुला कहा जाता है, यदि U में किसी भी बिंदु X के लिए, वास्तविक संख्या ε> 0 उपस्थित है जैसे कि कोई बिंदु $y\in M$ संतुष्टि देने वाला $d (x, y) < ε$ U से संबंधित है। समान रूप से, U खुला है यदि U में प्रत्येक बिंदु U में निहित निकट है।

यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष उदाहरण का सामान्यीकरण करता है, क्योंकि यूक्लिडियन दूरी के साथ यूक्लिडियन स्थान एक मीट्रिक स्थान है।

टोपोलॉजिकल स्पेस

सेट $X$ पर एक टोपोलॉजी (संरचना) $\tau$ नीचे के गुणों के साथ $X$ के सबसेट का सेट है। $\tau$ के प्रत्येक सदस्य को एक खुला सेट कहा जाता है।

$X\in \tau$ तथा $\varnothing \in \tau$
$\tau$ में सेट का कोई भी समूह $\tau$ से संबंधित है: यदि $\left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau$ फिर $\bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau$
$\tau$ में सेट का कोई भी परिमित चौराहा $\tau$ से संबंधित है: यदि $U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau$ फिर $U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau$

$X$ और $\tau$ को टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है।

खुला सेट के परिमित इंटरसेक्शन को खुला होने की जरूरत नहीं है। उदाहरण के लिए, फॉर्म के सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन $\left(-1/n,1/n\right),$ जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, सेट $\{0\}$ है जो वास्तविक रेखा में नहीं खुलता है।

एक मेट्रिक स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जिसकी टोपोलॉजी में सभी सबसेट का संग्रह होता है जो खुला बॉल्स के समूह होते हैं। चूँकि, ऐसे टोपोलॉजिकल स्पेस हैं जो मेट्रिक स्पेस नहीं हैं।

विशेष प्रकार के खुले सेट

क्लोपेन सेट और नॉन- खुला और/या नॉन-बंद सेट

एक सेट खुला, बंद, दोनों या दोनों में से कोई भी हो सकता है। विशेष रूप से, खुले और बंद सेट पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के लिए एक साथ एक खुला सबसेट और एक बंद सबसेट दोनों के लिए संभव है।। ऐसे सबसेट क्लोपेन सेट्स कहलाते हैं. स्पष्ट रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस $(X,\tau )$ के एक सबसेट $S$ को क्लोपेन कहा जाता है यदि दोनों $S$ और इसका पूरक $X\setminus S$ के $(X,\tau )$ खुले सबसेट हैं; या समकक्ष, यदि $S\in \tau$ तथा $X\setminus S\in \tau .$

किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में $(X,\tau ),$ खाली सेट $\varnothing$ और सेट $X$ खुद हमेशा क्लोपेन होते हैं। ये दो सेट क्लोपेन सबसेट के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं और वे दिखाते हैं कि क्लोपेन सबसेट सभी टोपोलॉजिकल स्पेस में उपस्थित हैं। यह देखने के लिए कि $X$ क्लोपेन क्यों है,यह याद करते हुए प्रारंभ करें कि सेट $X$ तथा $\varnothing$ परिभाषा के अनुसार, हमेशा खुले सबसेट ( $X$ के) होते है. साथ ही परिभाषा के अनुसार, एक सबसेट $S$ को बंद कहा जाता है यदि पूरे सेट का पूरक $S:=X$ खाली सेट है (अर्थात् $X\setminus S=\varnothing$ ) $X,$ जो एक खुला सबसेट है। इसका मतलब है कि $S=X$ का $X$ बंद सबसेट है (बंद सबसेट की परिभाषा के अनुसार)। इसलिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि $X,$ पर कोई टोपोलॉजी रखी गई है, सम्पूर्ण स्पेस $X$ एक साथ एक खुला सबसेट भी है और $X$ एक बंद सबसेट भी है ; दूसरे शब्दों में कहा गया है $X$ हमेशा $X.$ का एक क्लोपेन सबसेट होता है क्योंकि खाली सेट का पूरक $X\setminus \varnothing =X,$ है जो एक खुला सबसेट है, इसी तर्क का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालने के लिए किया जा सकता है कि $S:=\varnothing$ भी $X.$ का एक क्लोपेन सबसेट है वास्तविक रेखा $\mathbb {R}$ पर विचार करें अपने सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संपन्न है, जिसके खुले सेट निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं: प्रत्येक अंतराल $(a,b)$ वास्तविक संख्याओं का संबंध टोपोलॉजी से है, ऐसे अंतरालों का प्रत्येक समूह, उदा $(a,b)\cup (c,d),$ टोपोलॉजी से संबंधित है, और हमेशा की तरह, दोनों $\mathbb {R}$ तथा $\varnothing$ टोपोलॉजी से संबंधित हैं।

अंतराल $I=(0,1)$ में खुला है $\mathbb {R}$ क्योंकि यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है। यदि $I$ एक खुला पूरक होना था, परिभाषा के अनुसार इसका अर्थ होगा कि $I$ हमने बंद कर दिया। परंतु $I$ एक खुला पूरक नहीं है; इसका पूरक है $\mathbb {R} \setminus I=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),$ जो यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित नहीं हैं क्योंकि यह $(a,b).$ के रूप के खुले अंतराल (गणित) का एक समूह नहीं है अत, $I$ एक ऐसे सेट का उदाहरण है जो खुला है लेकिन बंद नहीं है।
इसी तरह के तर्क से, अंतराल $J=[0,1]$ एक बंद सबसेट है लेकिन एक खुला सबसेट नहीं है।
अंत में, न तो $K=[0,1)$ न ही इसका पूरक $\mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है (क्योंकि इसे फॉर्म के अंतराल के समूह के रूप में नहीं लिखा जा सकता है $(a,b)$ ), इस का मतलब है कि $K$ न तो खुला है और न ही बंद है।

यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ असतत टोपोलॉजी के साथ संपन्न है (ताकि परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सबसेट $X$ खुला है) तो $X$ का सभी सबसेट एक क्लोपेन सबसेट है।

असतत टोपोलॉजी की याद दिलाने वाले अधिक उन्नत उदाहरण के लिए, मान लीजिए ${\mathcal {U}}$ गैर-खाली सेट $X.$ पर एक अल्ट्राफ़िल्टर है फिर समूह $\tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}$ है गुण के साथ $X$ पर एक टोपोलॉजी है $X$ का प्रत्येक गैर-खाली उचित सबसेट $S$ या तो एक खुला सबसेट या फिर एक बंद सबसेट, लेकिन दोनों कभी नहीं, अर्थात् यदि $\varnothing \neq S\subsetneq X$ (जहाँ $S\neq X$ ) तो यथार्थ एक निम्नलिखित दो कथनों में से सत्य है: या तो (1) $S\in \tau$ या फिर, (2) $X\setminus S\in \tau .$ दुसरे शब्दों में कहा जाये, प्रत्येक सबसेट खुला या बंद है लेकिन केवल $\varnothing$ तथा $X.$ सबसेट जो दोनों (अर्थात जो क्लोपेन हैं) हैं|

नियमित खुले सेट

टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ का एक सबसेट $S$ एक नियमित खुले सेट कहलाता है | यदि $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ या समकक्ष, यदि $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S,$ जहाँ पे $\operatorname {Bd} S$ (प्रति. $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) $S$ में $X.$ की सीमा (टोपोलॉजी) (प्रतिक्रिया आंतरिक (टोपोलॉजी), क्लोजर (टोपोलॉजी)) को दर्शाता हैएक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसके लिए नियमित रूप से खुले सेटों से युक्त एक आधार उपस्थित होता है, उसे सेमिरेगुलर स्पेस अर्द्ध नियमित स्पेस.कहा जाता है $X$ का एक उप सेट एक नियमित खुला सेट है यदि और केवल यदि इसका पूरक $X$ एक नियमित बंद सेट है, जहां परिभाषा के अनुसार $S$ का $X$ नियमित बंद सेट कहलाता है यदि ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ या समकक्ष, यदि $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.$ प्रत्येक नियमित खुला सेट (प्रति. नियमित बंद सेट) एक खुला सबसेट है (प्रति. एक बंद सबसेट है) चूंकि सामान्यतः,^{[note 1]} बातचीत सच नही है।

गुण

खुले सेटों की किसी भी संख्या का समूह, या असीम रूप से कई खुले सेट, खुले हैं।^[2] खुले सेटों की परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन खुला है।^[2]

एक खुले सेट का एक पूरक (सेट सिद्धांत) (उस स्थान के सापेक्ष जिस पर टोपोलॉजी परिभाषित है) को एक बंद सेट कहा जाता है। एक सेट खुला और बंद दोनों हो सकता है (क्लोपेन सेट)। खाली सेट और पूरा स्थान ऐसे सेट के उदाहरण हैं जो खुले और बंद दोनों हैं।^[3]

प्रयोग

टोपोलॉजी में खुला सेट का मौलिक महत्व है। अवधारणा को टोपोलॉजिकल स्पेस और अन्य टोपोलॉजिकल संरचनाओं को परिभाषित करने और समझने की आवश्यकता है जो मीट्रिक रिक्त स्थान और समान रिक्त स्थान जैसे रिक्त स्थान के लिए निकटता और अभिसरण की धारणाओं से निपटते हैं।

टोपोलॉजिकल स्पेस X केसभीसबसेट A में एक (संभवतः खाली) खुला सेट होता है; अधिकतम ( सम्मालित किए जाने के तहत आदेशित) इस तरह के खुले सेट को ए के टोपोलॉजिकल इंटीरियर कहा जाता है।

इसका निर्माण A में निहित सभी खुले सेटों का समूह लेकर किया जा सकता है।

$f:X\to Y$ दो टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ तथा $Y$ के बीच एक फलन (गणित) $f:X\to Y$ निरंतर होता है यदि $Y$ को खुला कहा जाता है यदि $X.$ में सभी ओपन सेट की छवि (गणित) $Y$ में खुला है

वास्तविक रेखा पर एक खुले सेट की विशेषता गुण है कि यह खुले अंतरालों को अलग करने का एक गणनीय समूह है।

टिप्पणियाँ और चेतावनियाँ

" खुला " को एक विशेष टोपोलॉजी के सापेक्ष परिभाषित किया गया है

एक सेट खुला है या नहीं यह विचाराधीन टोपोलॉजी पर निर्भर करता है। संकेतन के दुरुपयोग का विकल्प चुनने के बाद, हम एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न एक सेट X का उल्लेख करते हैं $\tau$ टोपोलॉजिकल स्पेस के अतिरिक्त टोपोलॉजिकल स्पेस X के रूप में $(X,\tau )$ , इस साक्ष्य के बावजूद कि सभी टोपोलॉजिकल डेटा $\tau .$ में समाहित है यदि एक ही सेट पर दो टोपोलॉजी हैं, तो एक सेट U जो पहली टोपोलॉजी में खुला है, दूसरी टोपोलॉजी में खुलने में विफल हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि X कोई टोपोलॉजिकल स्पेस है और Y, X का कोई सबसेट है, तो सेट Y को अपना स्वयं का टोपोलॉजी दिया जा सकता है (जिसे 'सबस्पेस टोपोलॉजी' कहा जाता है) एक सेट U द्वारा परिभाषित किया गया है, जो Y पर सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है और केवल यदि UX पर मूल टोपोलॉजी से खुले सेट के साथ वाई का चौराहे है। यह संभावित रूप से नए खुले सेट पेश करता है: यदि वी X पर मूल टोपोलॉजी में खुला है, लेकिन $V\cap Y$ X पर मूल टोपोलॉजी में खुला नहीं है $V\cap Y$ वाई पर सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है।

इसका एक ठोस उदाहरण के रूप में, यदि U को अंतराल में परिमेय संख्याओं के $(0,1),$ सेट के रूप में परिभाषित किया गया है तब U परिमेय संख्याओं का एक खुला सबसेट है, लेकिन वास्तविक संख्याओं का नहीं। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब नजदीक का स्थान परिमेय संख्या है, U में प्रत्येक बिंदु x के लिए, एक धनात्मक संख्या उपस्थित होती है जैसे कि x की दूरी a के अन्दर सभी परिमेय बिंदु भी U में हैं। दूसरी ओर, जब नजदीक का स्थान वास्तविक है, तो U में प्रत्येक बिंदु x के लिए कोई धनात्मक a ऐसा नहीं है कि x की दूरी के भीतर सभी वास्तविक बिंदु हैं यू में (क्योंकि यू में कोई गैर-तर्कसंगत संख्या नहीं है)।)।

खुले सेटों का सामान्यीकरण

सभी जगह, $(X,\tau )$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस होगा।

टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ एक सबसेट $A\subseteq X$ कहा जाता है:

α-ओपन यदि $A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)$ , और ऐसे सेट के पूरक को α-बंद कहा जाता है.^[4]

प्रीओपेन,करीब-करीब खुला, या स्थानीय रूप से सघन यदि यह निम्नलिखित समतुल्य स्थितियों में से किसी को भी संतुष्ट करता है

1. $A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).$ ^[5]

2. सबसेट $D,U\subseteq X$ ऐसे उपस्थित हैं कि ऐसा $U$ $X,$ $D$ में खुला है $X,$ और $A=U\cap D.$ का सघन सबसेट है ^[5]

3.एक खुला उपस्थित है (में $X$ ) सबसेट $U\subseteq X$ ऐसा है कि $A$ का सघन सबसेट है $U.$ ^[5]

पूर्वखुला सेट के पूरक को प्रिक्लोसड कहा जाता है।

b-ओपन यदि $A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)$ . बी- खुला सेट के पूरक को b-क्लोज्ड कहा जाता है.^[4] ashif

β-ओपन याअर्ध-प्रीओपन यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:

1. $A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)$ ^[4]

2. $\operatorname {cl} _{X}A$ $X.$ का एक नियमित बंद सबसेट है ^[5]

3. $X$ का एक पूर्व खुला सबसेट $U$ उपस्थित है जैसा कि $U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.$ ^[5]

β-खुले सेट के पूरक को β-बंद कहलाता है.

अनुक्रमिक रूप से खुला है यदि यह निम्न समकक्ष शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है

1.जब भी कोई क्रम

X

के किसी बिंदु

A

पर अभिसरण करता है तो वह क्रम अंततः अंदर

A

है स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि यदि

x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }

में क्रम है

X

और

a\in A

यदि कुछ उपस्थित है इस प्रकार कि

x_{\bullet }\to x

में

(X,\tau ),

फिर

x_{\bullet }

अंत

A

में है (अर्थात, कुछ पूर्णांक उपस्थित हैं

i

ऐसा कि यदि

j\geq i,

फिर

x_{j}\in A

)

2.

A

X,

में इसकेअनुक्रमिक इंटीरियर के बराबर है जो परिभाषा के अनुसार सेट है

{\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}

क्रमिक रूप से खुले रूप से खुले सेट के पूरक को क्रमिक रूप से बंद कहा जाता है. एक सबसेट

S\subseteq X

में

X

क्रमिक रूप से बंद कर दिया गया है यदि और केवल यदि

S

इसकेअनुक्रमिक समापन के बराबर है, जो कि परिभाषा के अनुसार सेट है

\operatorname {SeqCl} _{X}S

सभी से मिलकर

x\in X

जिसके लिए एक क्रम उपस्थित है

S

जो अभिसरण करता है

x

(में

X

).

लगभग खुला और कहा जाता है कि यह बायर गुण यदि कोई खुला सबसेट उपस्थित है

U\subseteq X

ऐसा है कि

A\bigtriangleup U

एक अल्प सेट है, जहाँ

\bigtriangleup

सममित अंतर को दर्शाता है।^[6]

सबसेट $A\subseteq X$ कहा जाता है कि प्रत्येक सबसेट के लिए प्रतिबंधित अर्थों में बायर गुण है यदि $E$ $X$ के प्रत्येक सबसेट के लिए प्रतिच्छेदन $A\cap E$ में $E$ के सापेक्ष बायर गुण है .^[7]

अर्द्ध खुला यदि

A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)

. में पूरक

X

अर्ध-खुले सेटअर्द्ध बंद समूह कहते है।^[8]

अर्द्ध बंद (में

X

) एक सबसेट का

A\subseteq X,

द्वारा चिह्नित

\operatorname {sCl} _{X}A,

X

के सभी अर्ध-बंद सबसेटों का प्रतिच्छेदन है जिसमें

A

एक सबसेट के रूप में होता है।^[8]

यदि प्रत्येक के लिए

x\in A

कुछ अर्द्धोपेन सबसेट उपस्थित हैं

U

का

X

ऐसा है कि

x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.

^[8]

θ-खुला (प्रति.δ-खुला) यदि इसका पूरक है

X

एक θ-बंद (प्रतिक्रिया है। δ-बंद) सेट, जहां परिभाषा के अनुसार,

X

के एक सबसेट को θ-बंद (प्रति.δ-बंद) कहा जाता है यदि यह अपने सभी θ-क्लस्टर अंक (resp. δ-क्लस्टर अंक) के सेट के बराबर है। एक बिंदु

x\in X

को सबसेट

B\subseteq X

का θ-क्लस्टर बिंदु (सं. δ-क्लस्टर बिंदु) कहा जाता है यदि प्रत्येक खुले निकट के लिए

U

का

x

में

X,

न

B\cap \operatorname {cl} _{X}U

खाली नहीं है (सं.

B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)

खाली नहीं है)।^[8]इस साक्ष्य का प्रयोग करना कि

A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B

तथा

\operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B

जब भी दो सबसेट $A,B\subseteq X$ संतुष्ट करना $A\subseteq B,$ निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:

सभी α-खुला सबसेट अर्द्ध- खुला , अर्द्ध-पूर्वखुला , पूर्वखुला और बी- खुला होता है।
सभी बी-खुला सेट अर्द्ध-पूर्व खुला (अर्थात् β- खुला ) है।
सभी पूर्वखुला सेट बी- खुला और अर्द्ध-पूर्व खुला है।
सभी अर्द्ध-खुला सेट बी-खुला और अर्द्ध-पूर्व खुला है।

इसके अतिरिक्त, एक सबसेट एक नियमित खुला सेट है यदि और केवल यदि यह पूर्व खुला और अर्द्ध-बंद है।^[5] एक α- खुला सेट और अर्द्ध-पूर्व खुला (रेस्प। अर्द्ध- खुला , पूर्व खुला , बी- खुला ) सेट का इंटरसेक्शन एक अर्द्ध-पूर्व खुला (रेस्प. अर्द्ध- खुला , पूर्व खुला , बी- खुला ) सेट है।^[5] पूर्व खुला सेट को अर्द्ध- खुला होने की आवश्यकता नहीं है और अर्द्ध- खुला सेट को पूर्व खुला होने की आवश्यकता नहीं है।^[5] पूर्व खुला (प्रति. α- खुला , बी- खुला , अर्द्ध- पूर्व खुला ) सेट के मनमाना समूह एक बार फिर से पूर्व खुला (प्रति. α- खुला , बी- खुला , अर्द्ध- पूर्व खुला ) हैं।^[5] चूँकि, पूर्व खुला सेट के परिमित प्रतिच्छेदो को पूर्व खुला होने की आवश्यकता नहीं है।^[8] किसी स्थान के सभी α-खुले सबसेट का सेट $(X,\tau )$ पर एक टोपोलॉजी बनाता है जो $\tau .$ टोपोलॉजी की तुलना में $X$ बेहतर है ^[4]

एक टोपोलॉजिकल स्पेस

X

हॉसडॉर्फ स्पेस है यदि और केवल यदि सभी कॉम्पैक्ट जगह

X

θ-बंद है।^[8] एक स्थान

X

पूरी तरह से अलग हो जाता है यदि और केवल यदि सभी नियमित बंद सबसेट पूर्व खुला या समकक्ष है, यदि सभी अर्द्ध- खुला सबसेट पूर्व खुला है। इसके अतिरिक्त, अंतरिक्ष पूरी तरह से अलग हो गया है यदि और केवल यदि क्लोजर प्रत्येक पूर्व खुला सबसेट खुला है।^[4]

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Ueno, Kenji; et al. (2005). "The birth of manifolds". एक गणितीय उपहार: टोपोलॉजी, फ़ंक्शंस, ज्यामिति और बीजगणित के बीच परस्पर क्रिया. Vol. 3. American Mathematical Society. p. 38. ISBN 9780821832844.
↑ ^2.0 ^2.1 Taylor, Joseph L. (2011). "Analytic functions". जटिल चर. The Sally Series. American Mathematical Society. p. 29. ISBN 9780821869017.
↑ Krantz, Steven G. (2009). "Fundamentals". अनुप्रयोगों के साथ टोपोलॉजी की अनिवार्यता. CRC Press. pp. 3–4. ISBN 9781420089745.
↑ ^4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 Hart 2004, p. 9.
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 ^5.5 ^5.6 ^5.7 ^5.8 Hart 2004, pp. 8–9.
↑ Oxtoby, John C. (1980), "4. The Property of Baire", Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics, vol. 2 (2nd ed.), Springer-Verlag, pp. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2.
↑ Kuratowski, Kazimierz (1966), Topology. Vol. 1, Academic Press and Polish Scientific Publishers.
↑ ^8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 ^8.5 Hart 2004, p. 8.

ग्रन्थसूची

Hart, Klaas (2004). Encyclopedia of general topology. Amsterdam Boston: Elsevier/North-Holland. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277.
Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Encyclopedia of general topology. Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.

बाअर्द्धी संबंध

"Open set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[2] One exception if the if $X$ is endowed with the discrete topology, in which case every subset of $X$ is both a regular open subset and a regular closed subset of $X.$

[1] Ueno, Kenji; et al. (2005). "The birth of manifolds". एक गणितीय उपहार: टोपोलॉजी, फ़ंक्शंस, ज्यामिति और बीजगणित के बीच परस्पर क्रिया. Vol. 3. American Mathematical Society. p. 38. ISBN 9780821832844.

[Taylor-2011-p29-3] 2.0 ^2.1 Taylor, Joseph L. (2011). "Analytic functions". जटिल चर. The Sally Series. American Mathematical Society. p. 29. ISBN 9780821869017.

[4] Krantz, Steven G. (2009). "Fundamentals". अनुप्रयोगों के साथ टोपोलॉजी की अनिवार्यता. CRC Press. pp. 3–4. ISBN 9781420089745.

[FOOTNOTEHart20049-5] 4.0 ^4.1 ^4.2 ^4.3 ^4.4 Hart 2004, p. 9.

[FOOTNOTEHart20048–9-6] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 ^5.5 ^5.6 ^5.7 ^5.8 Hart 2004, pp. 8–9.

[oxtoby-7] Oxtoby, John C. (1980), "4. The Property of Baire", Measure and Category, Graduate Texts in Mathematics, vol. 2 (2nd ed.), Springer-Verlag, pp. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2.

[8] Kuratowski, Kazimierz (1966), Topology. Vol. 1, Academic Press and Polish Scientific Publishers.

[FOOTNOTEHart20048-9] 8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 ^8.4 ^8.5 Hart 2004, p. 8.

[1]

[note 1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

v t e Topology
Fields	General (point-set) Algebraic Combinatorial Continuum Differential Geometric low-dimensional Homology cohomology Set-theoretic Digital
Key concepts	Open set / Closed set Interior Continuity Space compact Connected Hausdorff metric uniform Homotopy homotopy group fundamental group Simplicial complex CW complex Polyhedral complex Manifold Bundle (mathematics) Second-countable space Cobordism
Metrics and properties	Euler characteristic Betti number Winding number Chern number Orientability
Key results	Banach fixed-point theorem De Rham's theorem Invariance of domain Poincaré conjecture Tychonoff's theorem Urysohn's lemma
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प्रेरणा

परिभाषाएँ

यूक्लिडियन स्थान

मीट्रिक स्थान

टोपोलॉजिकल स्पेस

विशेष प्रकार के खुले सेट

क्लोपेन सेट और नॉन- खुला और/या नॉन-बंद सेट

नियमित खुले सेट

गुण

प्रयोग

टिप्पणियाँ और चेतावनियाँ

खुले सेटों का सामान्यीकरण

यह भी देखें

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संदर्भ

ग्रन्थसूची

बाअर्द्धी संबंध

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Basic subset of a topological space}}
 {{refimprove|date=April 2012}}
-[[File:red blue circle.svg|right|thumb|उदाहरण: नीला वृत्त बिंदुओं (x, y) के संतोषजनक सेट का प्रतिनिधित्व करता है {{math|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = ''r''<sup>2</sup>}}. लाल [[डिस्क (गणित)]] अंक (x, y) के संतोषजनक सेट का प्रतिनिधित्व करती है {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> &lt; ''r''<sup>2</sup>}}. लाल सेट एक खुला सेट है, नीला सेट इसकी [[सीमा (टोपोलॉजी)]] सेट है, और लाल और नीले सेट का मिलन एक [[बंद सेट]] है।]]गणित में, खुले सेट [[वास्तविक रेखा]] में खुले अंतरालों का सामान्यीकरण हैं।
+[[File:red blue circle.svg|right|thumb|उदाहरण: नीला वृत्त बिंदुओं (x, y) के संतोषजनक सेट का प्रतिनिधित्व करता है {{math|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = ''r''<sup>2</sup>}}. लाल [[डिस्क (गणित)]] अंक (x, y) के संतोषजनक सेट का प्रतिनिधित्व करती है {{math|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> &lt; ''r''<sup>2</sup>}}. लाल सेट एक खुला सेट है, नीला सेट इसकी [[सीमा (टोपोलॉजी)]] सेट है, और लाल और नीले सेट का मिलन एक [[बंद सेट]] है।]]गणित में, खुले सेट [[वास्तविक रेखा]] में खुले सेटों का सामान्यीकरण हैं।
-एक [[मीट्रिक स्थान]] में (किसी भी दो बिंदुओं के बीच परिभाषित एक [[मीट्रिक (गणित)]] के साथ एक [[सेट (गणित)]]), खुले सेट वे सेट होते हैं, जो हर बिंदु के साथ होते हैं {{mvar|P}}, वे सभी बिंदु शामिल करें जो पर्याप्त रूप से निकट हैं {{mvar|P}} (अर्थात, सभी बिंदु जिनकी दूरी {{mvar|P}} के आधार पर कुछ मूल्य से कम है {{mvar|P}}).
+एक [[मीट्रिक स्थान]] में (किसी भी दो बिंदुओं के बीच परिभाषित दूरी  [[मीट्रिक (गणित)]] के साथ एक [[सेट (गणित)]]), खुले सेट वे सेट हैं जो प्रत्येक बिंदु P के साथ हैं, उन सभी बिंदुओं को सम्मालित करता है जो P के पर्याप्त निकट हैं (अर्थात, वे सभी बिंदु जिनकी P से दूरी P के आधार पर कुछ मान से कम है).
-अधिक आम तौर पर, एक खुले सेट को किसी दिए गए सेट के सबसेट के दिए गए संग्रह के सदस्यों के रूप में परिभाषित करता है, एक संग्रह जिसमें इसके सदस्यों के प्रत्येक [[संघ (सेट सिद्धांत)]] को शामिल करने की संपत्ति होती है, इसके सदस्यों के प्रत्येक परिमित चौराहे (सेट सिद्धांत), [[खाली सेट]], और पूरा सेट ही। एक सेट जिसमें ऐसा संग्रह दिया जाता है उसे [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] कहा जाता है, और संग्रह को [[टोपोलॉजी (संरचना)]] कहा जाता है। ये स्थितियाँ बहुत ढीली हैं, और खुले सेटों के चुनाव में अत्यधिक लचीलेपन की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक उपसमुच्चय खुला ([[[[असतत टोपोलॉजी]]]]) हो सकता है, या कोई भी सेट खुला नहीं हो सकता है, केवल स्थान और खाली सेट (अविवेकी टोपोलॉजी) को छोड़कर।
+अधिक सामान्यतः, एक खुले सेट को किसी दिए गए सेट के सबसेट के दिए गए संग्रह के सदस्यों के रूप में परिभाषित करता है, एक संग्रह जिसमें इसके सदस्यों के प्रत्येक  [[संघ (सेट सिद्धांत)|समूह (सेट सिद्धांत)]], इसके सदस्यों के प्रत्येक परिमित चौराहे (सेट सिद्धांत), [[खाली सेट]], और पूरा सेट को ही सम्मालित करने का गुण होता है। एक सेट जिसमें ऐसा संग्रह दिया जाता है उसे [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] कहा जाता है, और संग्रह को [[टोपोलॉजी (संरचना)]] कहा जाता है। ये स्थितियाँ बहुत अव्यवस्थित हैं, और खुले सेटों के चुनाव में अत्यधिक लचीलेपन की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक सबसेट खुला ([<nowiki/>[[असतत टोपोलॉजी]]]) हो सकता है, केवल स्थान और खाली सेट (अविवेकी टोपोलॉजी) को छोड़कर, कोई भी सेट खुला नहीं हो सकता है।
-व्यवहार में, हालांकि, खुले सेट आमतौर पर दूरी की धारणा के बिना, मीट्रिक रिक्त स्थान के समान निकटता की धारणा प्रदान करने के लिए चुने जाते हैं। विशेष रूप से, एक टोपोलॉजी [[निरंतर कार्य]], [[जुड़ा हुआ स्थान]] और [[सघनता]] जैसे गुणों को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जिन्हें मूल रूप से दूरी के माध्यम से परिभाषित किया गया था।
+व्यवहार में, चूंकि, खुले सेट सामान्यतः दूरी की धारणा के बिना, मीट्रिक रिक्त स्थान के समान निकटता की धारणा प्रदान करने के लिए चुने जाते हैं। विशेष रूप से, एक टोपोलॉजी [[निरंतर कार्य]], [[जुड़ा हुआ स्थान]] और [[सघनता]] जैसे गुणों को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जिन्हें मूल रूप से दूरी के माध्यम से परिभाषित किया गया था।
-किसी भी दूरी के बिना एक टोपोलॉजी का सबसे आम मामला [[विविध]] द्वारा दिया जाता है, जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं, जो प्रत्येक बिंदु के पास, [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के एक खुले सेट के समान होते हैं, लेकिन जिस पर सामान्य रूप से कोई दूरी परिभाषित नहीं होती है। गणित की अन्य शाखाओं में कम सहज टोपोलॉजी का उपयोग किया जाता है; उदाहरण के लिए, [[जरिस्की टोपोलॉजी]], जो [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[योजना सिद्धांत]] में मौलिक है।
+बिना किसी भी दूरी के एक टोपोलॉजी का सबसे साधारण स्थितिय [[विविध]] द्वारा दिया जाता है, जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं, जो प्रत्येक बिंदु के पास, [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] के एक खुले सेट के समान होते हैं, लेकिन जिस पर कोई दूरी सामान्य रूप से परिभाषित नहीं है। गणित की अन्य शाखाओं में टोपोलॉजी का प्रयोग कम किया जाता है; उदाहरण के लिए, [[जरिस्की टोपोलॉजी]], जो [[बीजगणितीय ज्यामिति]] और [[योजना सिद्धांत]] में मौलिक है।
 == प्रेरणा ==
-सहजता से, एक खुला [[सबसेट]] दो [[बिंदु (ज्यामिति)]] को अलग करने के लिए एक विधि प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में दो बिंदुओं में से एक के बारे में एक खुला सेट मौजूद है जिसमें अन्य (अलग) बिंदु नहीं है, तो दो बिंदुओं को [[टोपोलॉजिकल रूप से अलग]]-अलग कहा जाता है। इस तरीके से, कोई इस बारे में बात कर सकता है कि मेट्रिक (गणित) को ठोस रूप से परिभाषित किए बिना एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो बिंदु, या अधिक आम तौर पर दो उपसमुच्चय निकट हैं या नहीं। इसलिए, टोपोलॉजिकल स्पेस को दूरी की धारणा से लैस स्पेस के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जिसे मेट्रिक स्पेस कहा जाता है।
+सहजता से, एक खुला [[सबसेट|सेट]] दो [[बिंदु (ज्यामिति)]] को अलग करने के लिए एक विधि प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में दो बिंदुओं में से एक के बारे में एक खुला सेट उपस्थित है जिसमें अन्य (अलग) बिंदु नहीं है, तो दो बिंदुओं को [[टोपोलॉजिकल रूप से अलग]]-अलग कहा जाता है। इस विधि से, कोई इस बारे में बात कर सकता है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो बिंदु, या अधिक सामान्यतः दो सबसेट दूरी को स्पष्ट रूप से परिभाषित किए बिना "निकट" हैं, इसलिए, टोपोलॉजिकल स्पेस को दूरी की धारणा से लैस स्पेस के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जिसे मेट्रिक स्पेस कहा जाता है।
-सभी [[वास्तविक संख्या]]ओं के समुच्चय में, किसी के पास प्राकृतिक यूक्लिडियन मीट्रिक है; अर्थात्, एक ऐसा कार्य जो दो वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी को मापता है: {{math|1=''d''(''x'', ''y'') = {{mabs|''x'' − ''y''}}}}. इसलिए, एक वास्तविक संख्या x दी गई है, उस वास्तविक संख्या के करीब सभी बिंदुओं के समुच्चय के बारे में बात की जा सकती है; अर्थात्, x के ε के भीतर। संक्षेप में, x के ε के भीतर बिंदु ε डिग्री की सटीकता के करीब x का अनुमान लगाते हैं। ध्यान दें कि ε> 0 हमेशा लेकिन जैसे-जैसे ε छोटा और छोटा होता जाता है, वैसे-वैसे अंक प्राप्त होते हैं जो x को सटीकता के उच्च और उच्च स्तर तक ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x = 0 और ε = 1, x के ε के भीतर के बिंदु अंतराल (गणित) # अंतराल के लिए संकेत (−1, 1); यानी, -1 और 1 के बीच सभी वास्तविक संख्याओं का सेट। हालांकि, ε = 0.5 के साथ, x के ε के भीतर बिंदु ठीक (-0.5, 0.5) के बिंदु हैं। स्पष्ट रूप से, ये बिंदु ε = 1 की तुलना में सटीकता की एक बड़ी डिग्री के करीब x का अनुमान लगाते हैं।
+सभी [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओ]] के सेट में, किसी के पास प्राकृतिक यूक्लिडियन मीट्रिक है; अर्थात, एक फलन जो दो वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी को मापता है: {{math|1=''d''(''x'', ''y'') = {{mabs|''x'' − ''y''}}}}. इसलिए, एक वास्तविक संख्या x दी गई है, उस वास्तविक संख्या के निकट सभी बिंदुओं के सेट के बारे में बात की जा सकती है; अर्थात्, x के ε के भीतर। संक्षेप में, x के ε के भीतर बिंदु ε घात की उपयुक्त के करीब x का अनुमान लगाते हैं। ध्यान दें कि ε> 0 हमेशा लेकिन जैसे-जैसे ε छोटा और छोटा होता जाता है, वैसे-वैसे अंक प्राप्त होते हैं जो x को उपयुक्त के उच्च और उच्च स्तर तक ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x = 0 और ε = 1, x के ε के भीतर के बिंदु अंतराल बिंदु ठीक अंतराल (−1, 1) के बिंदु हैं; अर्थात, -1 और 1 के बीच सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है। चूंकि, ε = 0.5 के साथ, x के ε के भीतर बिंदु ठीक (-0.5, 0.5) के बिंदु हैं। स्पष्ट रूप से, ये बिंदु ε = 1 की तुलना में उपयुक्त की एक बड़ी घात के करीब x का अनुमान लगाते हैं।
-पिछली चर्चा से पता चलता है, केस x = 0 के लिए, कि ε को छोटा और छोटा परिभाषित करके x को सटीकता के उच्च और उच्च डिग्री तक अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से, फॉर्म के सेट (−ε, ε) हमें x = 0 के करीब बिंदुओं के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। इस प्रकार, ठोस यूक्लिडियन मीट्रिक के बारे में बात करने के बजाय, x के करीब बिंदुओं का वर्णन करने के लिए सेट का उपयोग किया जा सकता है। इस अभिनव विचार के दूरगामी परिणाम होते हैं; विशेष रूप से, 0 वाले समुच्चयों के विभिन्न संग्रहों को परिभाषित करके (समुच्चयों (−ε, ε) से अलग), कोई 0 और अन्य वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी के संबंध में भिन्न परिणाम प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दूरी को मापने के लिए 'R' को एकमात्र ऐसे सेट के रूप में परिभाषित करते हैं, तो सभी बिंदु 0 के करीब हैं क्योंकि सटीकता की केवल एक ही संभावित डिग्री है जिसे कोई 0 का अनुमान लगाने में प्राप्त कर सकता है: 'R' का सदस्य होने के नाते। इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक मायने में, प्रत्येक वास्तविक संख्या 0 से 0 की दूरी पर है। इस मामले में माप को एक द्विआधारी स्थिति के रूप में सोचने में मदद मिल सकती है: 'R' में सभी चीजें समान रूप से 0 के करीब हैं, जबकि कोई भी आइटम जो 'आर' में नहीं है, 0 के करीब नहीं है।
+पिछले उल्लेख से पता चलता है, केस x = 0 के लिए, कि ε को छोटा और छोटा परिभाषित करके x को उपयुक्त के उच्च और उच्च घात तक अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से,  फॉर्म के सेट (−ε, ε) हमें x = 0 के करीब बिंदुओं के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। इस प्रकार, ठोस यूक्लिडियन मीट्रिक के बारे में बात करने के अतिरिक्त, x के निकटतम बिंदुओं का वर्णन करने के लिए सेट का प्रयोग किया जा सकता है। इस अभिनव विचार के दूरगामी परिणाम होते हैं; विशेष रूप से, 0 वाले  सेटो के विभिन्न संग्रहों को परिभाषित करके ( सेटो (−ε, ε) से अलग), कोई 0 और अन्य वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी के संबंध में भिन्न परिणाम प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दूरी को मापने के लिए 'R' को एकमात्र ऐसे सेट के रूप में परिभाषित करते हैं, तो सभी बिंदु 0 के करीब हैं क्योंकि उपयुक्त की केवल एक ही संभावित घात है जिसे कोई 0 का 'R' का सदस्य होने के नाते अनुमान लगाने में प्राप्त कर सकता है। इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक मायने में, प्रत्येक वास्तविक संख्या 0 से 0 की दूरी पर है। इस स्थितिय में माप को एक द्विआधारी स्थिति के रूप में सोचने में सहायता मिल सकती है: 'R' में सभी चीजें समान रूप से 0 के करीब हैं, जबकि कोई भी वस्तु जो R में नहीं है वह 0 के करीब भी नहीं है।
-सामान्य तौर पर, एक 'पड़ोस के आधार' के रूप में 0 वाले सेट के परिवार को संदर्भित करता है, जिसका उपयोग लगभग 0 के लिए किया जाता है; इस पड़ोस के आधार के एक सदस्य को 'ओपन सेट' के रूप में संदर्भित किया जाता है। वास्तव में, कोई इन धारणाओं को एक मनमाना सेट (एक्स) के लिए सामान्यीकृत कर सकता है; केवल वास्तविक संख्या के बजाय। इस मामले में, उस सेट का एक बिंदु (x) दिया गया है, कोई सेट के संग्रह को परिभाषित कर सकता है (यानी, युक्त) x, अनुमानित x के लिए उपयोग किया जाता है। बेशक, इस संग्रह को कुछ गुणों (जिन्हें 'स्वयंसिद्ध' के रूप में जाना जाता है) को पूरा करना होगा, अन्यथा हमारे पास दूरी मापने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित विधि नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, X के प्रत्येक बिंदु को कुछ हद तक सटीकता के साथ x का अनुमान लगाना चाहिए। इस प्रकार X को इस परिवार में होना चाहिए। एक बार जब हम x वाले छोटे सेट को परिभाषित करना शुरू करते हैं, तो हम x को अधिक सटीकता के साथ अनुमानित करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, शेष एक्सिओम्स को परिभाषित किया जा सकता है जिसे संतुष्ट करने के लिए x के बारे में समुच्चयों के परिवार की आवश्यकता होती है।
+सामान्यतः, एक 'निकट के आधार' के रूप में 0 वाले सेट के परिवार को संदर्भित करता है, जिसका प्रयोग लगभग 0 के लिए किया जाता है; इस निकट के आधार के एक सदस्य को ' खुला  सेट' के रूप में संदर्भित किया जाता है। यथार्थ, कोई इन धारणाओं को एक मनमाना सेट (X ) के लिए सामान्यीकृत कर सकता है; केवल वास्तविक संख्या  के अतिरिक्त। इस स्थितिय में, उस सेट का एक बिंदु (x) दिया गया है, कोई सेट के संग्रह को परिभाषित कर सकता है (अर्थात, युक्त) x, अनुमानित x के लिए प्रयोग किया जाता है। निःसंदेह, इस संग्रह को कुछ गुणों (जिन्हें 'स्वयंसिद्ध' के रूप में जाना जाता है) को पूरा करना होगा, अन्यथा हमारे पास दूरी मापने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित विधि नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, X के प्रत्येक बिंदु को कुछ हद तक उपयुक्त के साथ x का अनुमान लगाना चाहिए। इस प्रकार X को इस परिवार में होना चाहिए। एक बार जब हम x वाले छोटे सेट को परिभाषित करना प्रारंभ करते हैं, तो हम x को अधिक उपयुक्त के साथ अनुमानित करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, शेष स्वतः सिद्ध को परिभाषित किया जा सकता है जिसे संतुष्ट करने के लिए x के बारे में  सेटो के परिवार की आवश्यकता होती है।
 == परिभाषाएँ ==
-तकनीकीता के बढ़ते क्रम में, यहाँ कई परिभाषाएँ दी गई हैं। हर एक अगले का एक विशेष मामला है।
+तकनीकीता के बढ़ते क्रम में, यहाँ कई परिभाषाएँ दी गई हैं। सभी एक अगले का एक विशेष स्थितिय है।
 === यूक्लिडियन स्थान ===
-उपसमुच्चय <math>U</math> यूक्लिडियन अंतरिक्ष की|यूक्लिडियन {{math|''n''}}-अंतरिक्ष {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} खुला है अगर, हर बिंदु के लिए {{mvar|x}} में <math>U</math>, एक सकारात्मक वास्तविक संख्या मौजूद है {{mvar|ε}} (इस पर निर्भर करते हुए {{mvar|x}}) ऐसा है कि किसी भी बिंदु में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} जिसकी [[यूक्लिडियन दूरी]] {{mvar|x}} की तुलना में छोटा है {{mvar|ε}} का है <math>U</math>.<ref>{{cite book |last1=Ueno |first1=Kenji |display-authors=etal |year=2005 |title=एक गणितीय उपहार: टोपोलॉजी, फ़ंक्शंस, ज्यामिति और बीजगणित के बीच परस्पर क्रिया|chapter=The birth of manifolds |volume=3 |publisher=American Mathematical Society |isbn=9780821832844 |page=38 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=GCHwtdj8MdEC&pg=PA38}}</ref> समान रूप से, एक उपसमुच्चय <math>U</math> का {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} खुला है अगर हर बिंदु में <math>U</math> में निहित एक [[खुली गेंद]] का केंद्र है <math>U.</math>
+यूक्लिडियन {{math|''n''}}-अंतरिक्ष {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} का एक सबसेट <math>U</math> खुला है यदि,U में प्रत्येक बिन्दु  {{mvar|x}} के लिए एक धनात्मक वास्तविक संख्या {{mvar|ε}} (इस पर निर्भर करते हुए {{mvar|x}}) उपस्थित है जैसे की {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} में कोई बिन्दु जिसका  {{mvar|x}} से [[यूक्लिडियन दूरी]] {{mvar|ε}} से कम है  समान रूप से  {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} का  सबसेट  <math>U</math> खुला होता है यदि <math>U</math> का प्रत्येक बिंदु <math>U.</math> में  निहित एक [[खुली गेंद]] का केंद्र है।<ref>{{cite book |last1=Ueno |first1=Kenji |display-authors=etal |year=2005 |title=एक गणितीय उपहार: टोपोलॉजी, फ़ंक्शंस, ज्यामिति और बीजगणित के बीच परस्पर क्रिया|chapter=The birth of manifolds |volume=3 |publisher=American Mathematical Society |isbn=9780821832844 |page=38 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=GCHwtdj8MdEC&pg=PA38}}</ref>
-उपसमुच्चय का उदाहरण {{math|'''R'''}} जो खुला नहीं है वह अंतराल (गणित)#शब्दावली है {{closed-closed|0,1}}, न तो {{math|0 - ''ε''}} न {{math|1 + ''ε''}} का है {{closed-closed|0,1}} किसी के लिए {{math|''ε'' > 0}}, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, कि कितना छोटा है।
+{{math|'''R'''}} के एक सबसेट का उदाहरण जो खुला नहीं है वह बंद अंतराल  {{closed-closed|0,1}} है, क्योकि न तो {{math|0 - ''ε''}} न {{math|1 + ''ε''}} किसी भी {{math|''ε'' > 0}} के लिए {{closed-closed|0,1}} से संबंधित है, इससे कोई फर्क नहीं  सम्मालित़ता, कि कितना छोटा है।
 === मीट्रिक स्थान ===
-मीट्रिक स्पेस का एक उपसमुच्चय U {{math|(''M'', ''d'')}} खुला कहा जाता है, अगर यू में किसी भी बिंदु एक्स के लिए, वास्तविक संख्या ε> 0 मौजूद है जैसे कि कोई बिंदु <math>y \in M</math> संतुष्टि देने वाला {{math|''d''(''x'', ''y'') < ''ε''}} यू से संबंधित है। समान रूप से, यू खुला है यदि यू में प्रत्येक बिंदु यू में निहित पड़ोस है।
+मीट्रिक स्पेस का एक सबसेट U {{math|(''M'', ''d'')}} खुला कहा जाता है, यदि U में किसी भी बिंदु X  के लिए, वास्तविक संख्या ε> 0 उपस्थित है जैसे कि कोई बिंदु <math>y \in M</math> संतुष्टि देने वाला {{math|''d''(''x'', ''y'') < ''ε''}} U से संबंधित है। समान रूप से, U खुला है यदि U में प्रत्येक बिंदु U में निहित निकट है।
 यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष उदाहरण का सामान्यीकरण करता है, क्योंकि यूक्लिडियन दूरी के साथ यूक्लिडियन स्थान एक मीट्रिक स्थान है।
 === टोपोलॉजिकल स्पेस ===
-एक टोपोलॉजी (संरचना) <math>\tau</math> एक सेट पर {{mvar|X}} के उपसमुच्चय का समुच्चय है {{mvar|X}} नीचे के गुणों के साथ। का प्रत्येक सदस्य <math>\tau</math> एक खुला सेट कहा जाता है।
+सेट {{mvar|X}}  पर एक टोपोलॉजी (संरचना) <math>\tau</math>  नीचे के गुणों के साथ {{mvar|X}}  के सबसेट का सेट है।  <math>\tau</math> के प्रत्येक सदस्य को एक खुला सेट कहा जाता है।
 *<math>X \in \tau</math> तथा <math>\varnothing \in \tau</math>
-* सेट का कोई भी संघ <math>\tau</math> के संबंधित <math>\tau</math>: यदि <math>\left\{ U_i : i \in I \right\} \subseteq \tau</math> फिर <math display="block">\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau</math>
+* <math>\tau</math> में सेट का कोई भी  समूह <math>\tau</math> से संबंधित है: यदि <math>\left\{ U_i : i \in I \right\} \subseteq \tau</math> फिर <math display="block">\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau</math>
-* सेट का कोई परिमित चौराहा <math>\tau</math> के संबंधित <math>\tau</math>: यदि <math>U_1, \ldots, U_n \in \tau</math> फिर <math display="block">U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau</math>
+* <math>\tau</math> में सेट का कोई भी परिमित चौराहा <math>\tau</math> से संबंधित है: यदि <math>U_1, \ldots, U_n \in \tau</math> फिर <math display="block">U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau</math>
-{{mvar|X}} के साथ साथ <math>\tau</math> टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है।
+{{mvar|X}} और <math>\tau</math> को टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है।
-ओपन सेट के परिमित इंटरसेक्शन को ओपन होने की जरूरत नहीं है। उदाहरण के लिए, प्रपत्र के सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन <math>\left( -1/n, 1/n \right),</math> कहाँ पे <math>n</math> एक धनात्मक पूर्णांक है, समुच्चय है <math>\{ 0 \}</math> जो वास्तविक रेखा में नहीं खुलता है।
-एक मेट्रिक स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जिसकी टोपोलॉजी में सभी सबसेट का संग्रह होता है जो ओपन बॉल्स के यूनियन होते हैं। हालाँकि, ऐसे टोपोलॉजिकल स्पेस हैं जो मेट्रिक स्पेस नहीं हैं।
+खुला  सेट के परिमित इंटरसेक्शन को  खुला  होने की जरूरत नहीं है। उदाहरण के लिए, फॉर्म के सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन <math>\left( -1/n, 1/n \right),</math> जहाँ  <math>n</math> एक धनात्मक पूर्णांक है, सेट <math>\{ 0 \}</math>है जो वास्तविक रेखा में नहीं खुलता है।
+एक मेट्रिक स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जिसकी टोपोलॉजी में सभी सबसेट का संग्रह होता है जो  खुला  बॉल्स के समूह होते हैं। चूँकि, ऐसे टोपोलॉजिकल स्पेस हैं जो मेट्रिक स्पेस नहीं हैं।
 == विशेष प्रकार के खुले सेट ==
-=== क्लोपेन सेट और नॉन-ओपन और/या नॉन-क्लोज्ड सेट ===
+=== क्लोपेन सेट और नॉन- खुला  और/या नॉन-बंद सेट ===
+एक सेट खुला, बंद, दोनों या दोनों में से कोई भी हो सकता है। विशेष रूप से, खुले और बंद सेट पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के लिए एक साथ एक  खुला  सबसेट {{em|और }} एक बंद सबसेट दोनों के लिए संभव है।। ऐसे सबसेट {{em|क्लोपेन सेट्स }} कहलाते हैं. स्पष्ट रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस  <math>(X, \tau)</math> के एक सबसेट <math>S</math> को {{em|क्लोपेन}}  कहा जाता है   यदि दोनों <math>S</math> और इसका पूरक <math>X \setminus S</math> के <math>(X, \tau)</math> खुले सबसेट हैं; या समकक्ष, यदि <math>S \in \tau</math> तथा <math>X \setminus S \in \tau.</math>
+किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में <math>(X, \tau),</math> खाली सेट <math>\varnothing</math> और सेट <math>X</math> खुद हमेशा क्लोपेन होते हैं। ये दो सेट क्लोपेन सबसेट के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं और वे दिखाते हैं कि क्लोपेन सबसेट सभी टोपोलॉजिकल स्पेस में उपस्थित हैं। यह देखने के लिए कि <math>X</math> क्लोपेन क्यों है,यह याद करते हुए प्रारंभ करें कि सेट <math>X</math> तथा <math>\varnothing</math> परिभाषा के अनुसार, हमेशा खुले सबसेट ( <math>X</math> के) होते है. साथ ही परिभाषा के अनुसार, एक सबसेट <math>S</math> को {{em|बंद}} कहा जाता है यदि पूरे सेट का पूरक  <math>S := X</math> खाली सेट है  (अर्थात् <math>X \setminus S = \varnothing</math>) <math>X,</math> जो एक खुला सबसेट है।  इसका मतलब है कि <math>S = X</math> का <math>X</math> बंद सबसेट है (बंद सबसेट की परिभाषा के अनुसार)। इसलिए,  कोई फर्क नहीं पड़ता कि <math>X,</math> पर कोई टोपोलॉजी रखी गई है, सम्पूर्ण स्पेस  <math>X</math> एक साथ एक खुला सबसेट भी है और <math>X</math> एक बंद सबसेट भी है ; दूसरे शब्दों में कहा गया है <math>X</math>  {{em|हमेशा}} <math>X.</math> का एक क्लोपेन सबसेट होता है क्योंकि खाली सेट का पूरक <math>X \setminus \varnothing = X,</math>है जो एक खुला सबसेट है, इसी तर्क का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालने के लिए किया जा सकता है कि <math>S := \varnothing</math> भी <math>X.</math> का एक क्लोपेन सबसेट है  वास्तविक रेखा <math>\R</math> पर विचार करें अपने सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] से संपन्न है, जिसके खुले सेट निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं: प्रत्येक अंतराल <math>(a, b)</math> वास्तविक संख्याओं का संबंध टोपोलॉजी से है, ऐसे अंतरालों का प्रत्येक  समूह, उदा <math>(a, b) \cup (c, d),</math> टोपोलॉजी से संबंधित है, और हमेशा की तरह, दोनों <math>\R</math> तथा <math>\varnothing</math> टोपोलॉजी से संबंधित हैं।
-एक सेट खुला, बंद, दोनों या दोनों में से कोई भी हो सकता है। विशेष रूप से, खुले और बंद सेट पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के लिए एक साथ एक ओपन सबसेट दोनों के लिए संभव है। {{em|and}} एक बंद उपसमुच्चय। ऐसे उपसमुच्चय कहलाते हैं{{em|[[clopen set]]s}}. स्पष्ट रूप से, एक उपसमूह <math>S</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>(X, \tau)</math> कहा जाता है {{em|clopen}} अगर दोनों <math>S</math> और इसका पूरक <math>X \setminus S</math> के खुले उपसमुच्चय हैं <math>(X, \tau)</math>; या समकक्ष, अगर <math>S \in \tau</math> तथा <math>X \setminus S \in \tau.</math> में {{em|any}} टोपोलॉजिकल स्पेस <math>(X, \tau),</math> खाली सेट <math>\varnothing</math> और सेट <math>X</math> खुद हमेशा क्लोपेन होते हैं। ये दो सेट क्लोपेन उपसमुच्चय के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं और वे दिखाते हैं कि क्लोपेन उपसमुच्चय मौजूद हैं {{em|every}} टोपोलॉजिकल स्पेस। देखने के लिए क्यों <math>X</math> क्लोपेन है, यह याद करके शुरू करें कि सेट <math>X</math> तथा <math>\varnothing</math> परिभाषा के अनुसार, हमेशा खुले उपसमुच्चय (of <math>X</math>). साथ ही परिभाषा के अनुसार, एक उपसमुच्चय <math>S</math> कहा जाता है {{em|closed}} अगर (और केवल अगर) इसका पूरक है <math>X,</math> जो सेट है <math>X \setminus S,</math> एक खुला उपसमुच्चय है। क्योंकि पूरक (में <math>X</math>) पूरे सेट का <math>S := X</math> खाली सेट है (यानी <math>X \setminus S = \varnothing</math>), जो एक खुला उपसमुच्चय है, इसका मतलब है कि <math>S = X</math> का बंद उपसमुच्चय है <math>X</math> (बंद उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार)। इसलिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि टोपोलॉजी को किस पर रखा गया है <math>X,</math> संपूर्ण स्थान <math>X</math> एक साथ एक खुला उपसमुच्चय भी है और एक बंद उपसमुच्चय भी है <math>X</math>; अलग ढंग से कहा, <math>X</math> है {{em|always}} का एक क्लोपेन उपसमुच्चय <math>X.</math> क्योंकि खाली सेट का पूरक है <math>X \setminus \varnothing = X,</math> जो एक खुला उपसमुच्चय है, उसी तर्क का उपयोग निष्कर्ष निकालने के लिए किया जा सकता है <math>S := \varnothing</math> का एक क्लोपेन उपसमुच्चय भी है <math>X.</math> वास्तविक रेखा पर विचार करें <math>\R</math> अपने सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] से संपन्न है, जिसके खुले सेट निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं: प्रत्येक अंतराल <math>(a, b)</math> वास्तविक संख्याओं का संबंध टोपोलॉजी से है, ऐसे अंतरालों का प्रत्येक संघ, उदा। <math>(a, b) \cup (c, d),</math> टोपोलॉजी से संबंधित है, और हमेशा की तरह, दोनों <math>\R</math> तथा <math>\varnothing</math> टोपोलॉजी से संबंधित हैं।
+* अंतराल <math>I = (0, 1)</math> में खुला है <math>\R</math> क्योंकि यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है। यदि <math>I</math> एक खुला पूरक होना था, परिभाषा के अनुसार इसका अर्थ होगा कि <math>I</math> हमने बंद कर दिया। परंतु <math>I</math> एक खुला पूरक नहीं है; इसका पूरक है <math>\R \setminus I = (-\infty, 0] \cup [1, \infty),</math> जो यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित {{em|नहीं}}  हैं क्योंकि यह <math>(a, b).</math> के रूप के खुले अंतराल (गणित) का एक  समूह नहीं है अत, <math>I</math> एक ऐसे  सेट  का उदाहरण है जो खुला है लेकिन बंद नहीं है।
+* इसी तरह के तर्क से, अंतराल <math>J = [0, 1]</math> एक बंद सबसेट है लेकिन एक खुला सबसेट नहीं है।
+* अंत में, न तो <math>K = [0, 1)</math> न ही इसका पूरक <math>\R \setminus K = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)</math> यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है (क्योंकि इसे फॉर्म के अंतराल के  समूह के रूप में नहीं लिखा जा सकता है <math>(a, b)</math>), इस का मतलब है कि <math>K</math> न तो खुला है और न ही बंद है।
-* अंतराल <math>I = (0, 1)</math> में खुला है <math>\R</math> क्योंकि यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है। यदि <math>I</math> एक खुला पूरक होना था, परिभाषा के अनुसार इसका अर्थ होगा कि <math>I</math> हमने बंद कर दिया। परंतु <math>I</math> एक खुला पूरक नहीं है; इसका पूरक है <math>\R \setminus I = (-\infty, 0] \cup [1, \infty),</math> जो करता है {{em|not}} यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित हैं क्योंकि यह अंतराल (गणित) का एक संघ नहीं है # फॉर्म के अंत बिंदुओं को शामिल करना या बाहर करना <math>(a, b).</math> अत, <math>I</math> एक ऐसे समुच्चय का उदाहरण है जो खुला है लेकिन बंद नहीं है।
+यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> असतत टोपोलॉजी के साथ संपन्न है (ताकि परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सबसेट <math>X</math> खुला है) तो <math>X</math> का सभी सबसेट एक क्लोपेन सबसेट है।
-* इसी तरह के तर्क से, अंतराल <math>J = [0, 1]</math> एक बंद उपसमुच्चय है लेकिन एक खुला उपसमुच्चय नहीं है।
-* अंत में, न तो <math>K = [0, 1)</math> न ही इसका पूरक <math>\R \setminus K = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)</math> यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है (क्योंकि इसे फॉर्म के अंतराल के संघ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है <math>(a, b)</math>), इस का मतलब है कि <math>K</math> न तो खुला है और न ही बंद है।
+असतत टोपोलॉजी की याद दिलाने वाले अधिक उन्नत उदाहरण के लिए, मान लीजिए <math>\mathcal{U}</math> गैर-खाली सेट <math>X.</math>पर एक [[ultrafilter|अल्ट्राफ़िल्टर]] है फिर  समूह <math>\tau := \mathcal{U} \cup \{ \varnothing \}</math> है गुण के साथ <math>X</math> पर एक टोपोलॉजी है  <math>X</math> का  {{em|प्रत्येक}} गैर-खाली उचित सबसेट <math>S</math> {{em|या तो }} एक खुला सबसेट या फिर एक बंद सबसेट, लेकिन दोनों कभी नहीं, अर्थात् यदि <math>\varnothing \neq S \subsetneq X</math> (जहाँ  <math>S \neq X</math>) तो  {{em|यथार्थ एक}} निम्नलिखित दो कथनों में से सत्य है: या तो (1) <math>S \in \tau</math> या फिर, (2) <math>X \setminus S \in \tau.</math> दुसरे शब्दों में कहा जाये, {{em|प्रत्येक}} सबसेट खुला या बंद है लेकिन {{em|केवल}}  <math>\varnothing</math> तथा <math>X.</math> सबसेट जो दोनों (अर्थात जो क्लोपेन हैं) हैं|
-यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> असतत टोपोलॉजी के साथ संपन्न है (ताकि परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक उपसमुच्चय <math>X</math> खुला है) तो का हर सबसेट <math>X</math> एक क्लोपेन उपसमुच्चय है।
-असतत टोपोलॉजी की याद दिलाने वाले अधिक उन्नत उदाहरण के लिए, मान लीजिए <math>\mathcal{U}</math> गैर-खाली सेट पर एक [[ultrafilter]] है <math>X.</math> फिर संघ <math>\tau := \mathcal{U} \cup \{ \varnothing \}</math> पर एक टोपोलॉजी है <math>X</math> उस संपत्ति के साथ {{em|every}} गैर-खाली उचित सबसेट <math>S</math> का <math>X</math> है {{em|either}} एक खुला उपसमुच्चय या फिर एक बंद उपसमुच्चय, लेकिन दोनों कभी नहीं; वह है, अगर <math>\varnothing \neq S \subsetneq X</math> (कहाँ पे <math>S \neq X</math>) फिर {{em|exactly one}} निम्नलिखित दो कथनों में से सत्य है: या तो (1) <math>S \in \tau</math> या फिर, (2) <math>X \setminus S \in \tau.</math> अलग ढंग से कहा, {{em|every}} सबसेट खुला या बंद है लेकिन  {{em|only}} उपसमुच्चय जो दोनों हैं (अर्थात जो क्लोपेन हैं) हैं <math>\varnothing</math> तथा <math>X.</math>
 === नियमित खुले सेट{{anchor|Regular open set|Regular closed set}} ===
-उपसमुच्चय <math>S</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> ए कहा जाता है{{em|[[regular open set]]}}यदि <math>\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S</math> या समकक्ष, अगर <math>\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S,</math> कहाँ पे <math>\operatorname{Bd} S</math> (प्रति. <math>\operatorname{Int} S,</math> <math>\overline{S}</math>) की सीमा (टोपोलॉजी) (प्रतिक्रिया आंतरिक (टोपोलॉजी), [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]]) को दर्शाता है <math>S</math> में <math>X.</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसके लिए एक बेस (टोपोलॉजी) मौजूद होता है जिसमें रेगुलर ओपन सेट होते हैं a{{em|[[semiregular space]]}}.
+टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> का एक सबसेट <math>S</math> एक {{em|[[नियमित खुले सेट]]}} कहलाता है | यदि <math>\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S</math> या समकक्ष, यदि <math>\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S,</math> जहाँ पे <math>\operatorname{Bd} S</math> (प्रति. <math>\operatorname{Int} S,</math> <math>\overline{S}</math>)  <math>S</math> में <math>X.</math>की सीमा (टोपोलॉजी) (प्रतिक्रिया आंतरिक (टोपोलॉजी), [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]])  को दर्शाता हैएक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसके लिए नियमित रूप से खुले सेटों से युक्त एक आधार उपस्थित होता है, उसे सेमिरेगुलर स्पेस {{em|[[अर्द्ध नियमित स्पेस]]}}.कहा जाता है  <math>X</math> का एक उप सेट  एक नियमित खुला  सेट  है यदि और केवल यदि इसका पूरक  <math>X</math> एक नियमित बंद सेट है, जहां परिभाषा के अनुसार <math>S</math> का <math>X</math> {{em|[[नियमित बंद सेट]]}}  कहलाता है यदि <math>\overline{\operatorname{Int} S} = S</math> या समकक्ष, यदि <math>\operatorname{Bd} \left( \operatorname{Int} S \right) = \operatorname{Bd} S.</math> प्रत्येक नियमित खुला सेट (प्रति. नियमित बंद सेट) एक खुला सबसेट है (प्रति. एक बंद सबसेट है) चूंकि सामान्यतः,<ref group="note">One exception if the if <math>X</math> is endowed with the [[discrete topology]], in which case every subset of <math>X</math> is both a regular open subset and a regular closed subset of <math>X.</math></ref>  बातचीत सच {{em|नही}} है।
-का एक उपसमुच्चय <math>X</math> एक नियमित खुला सेट है अगर और केवल अगर इसका पूरक है <math>X</math> एक नियमित बंद सेट है, जहां परिभाषा के अनुसार एक सबसेट है <math>S</math> का <math>X</math> ए कहा जाता है{{em|[[regular closed set]]}}यदि <math>\overline{\operatorname{Int} S} = S</math> या समकक्ष, अगर <math>\operatorname{Bd} \left( \operatorname{Int} S \right) = \operatorname{Bd} S.</math> प्रत्येक नियमित खुला सेट (प्रति. नियमित बंद सेट) एक खुला उपसमुच्चय है (प्रति. एक बंद उपसमुच्चय है) हालांकि सामान्य तौर पर,<ref group="note">One exception if the if <math>X</math> is endowed with the [[discrete topology]], in which case every subset of <math>X</math> is both a regular open subset and a regular closed subset of <math>X.</math></ref> बातचीत कर रहे हैं {{em|not}} सच।
 == गुण ==
-खुले सेटों की किसी भी संख्या, या असीम रूप से कई खुले सेटों का संघ (सेट सिद्धांत) खुला है।<ref name="Taylor-2011-p29">{{cite book |last=Taylor |first=Joseph L. |year=2011 |title=जटिल चर|chapter=Analytic functions |series=The Sally Series |publisher=American Mathematical Society |isbn=9780821869017 |page=29 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=NHcdl0a7Ao8C&pg=PA29}}</ref> खुले सेटों की परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) खुला है।<ref name="Taylor-2011-p29" />
+खुले सेटों की किसी भी संख्या का समूह, या असीम रूप से कई खुले सेट, खुले हैं।<ref name="Taylor-2011-p29">{{cite book |last=Taylor |first=Joseph L. |year=2011 |title=जटिल चर|chapter=Analytic functions |series=The Sally Series |publisher=American Mathematical Society |isbn=9780821869017 |page=29 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=NHcdl0a7Ao8C&pg=PA29}}</ref> खुले सेटों की परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन खुला है।<ref name="Taylor-2011-p29" />
 एक खुले सेट का एक [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] (उस स्थान के सापेक्ष जिस पर टोपोलॉजी परिभाषित है) को एक बंद सेट कहा जाता है। एक सेट खुला और बंद दोनों हो सकता है ([[क्लोपेन सेट]])। खाली सेट और पूरा स्थान ऐसे सेट के उदाहरण हैं जो खुले और बंद दोनों हैं।<ref>{{cite book |last=Krantz |first=Steven G. |author-link=Steven G. Krantz |year=2009 |title=अनुप्रयोगों के साथ टोपोलॉजी की अनिवार्यता|chapter=Fundamentals |publisher=CRC Press |isbn=9781420089745 |pages=3–4 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=LUhabKjfQZYC&pg=PA3}}</ref>
-== उपयोग ==
+== प्रयोग ==
+[[टोपोलॉजी]] में  खुला  सेट का मौलिक महत्व है। अवधारणा को टोपोलॉजिकल स्पेस और अन्य टोपोलॉजिकल संरचनाओं को परिभाषित करने और समझने की आवश्यकता है जो [[मीट्रिक रिक्त स्थान]] और समान रिक्त स्थान जैसे रिक्त स्थान के लिए निकटता और अभिसरण की धारणाओं से निपटते हैं।
+टोपोलॉजिकल स्पेस X केसभीसबसेट A में एक (संभवतः खाली)   खुला  सेट होता है; अधिकतम ( सम्मालित किए जाने के तहत आदेशित) इस तरह के खुले सेट को ए के [[टोपोलॉजिकल इंटीरियर]] कहा जाता है।
-[[टोपोलॉजी]] में ओपन सेट का मौलिक महत्व है। अवधारणा को टोपोलॉजिकल स्पेस और अन्य टोपोलॉजिकल संरचनाओं को परिभाषित करने और समझने की आवश्यकता है जो [[मीट्रिक रिक्त स्थान]] और समान रिक्त स्थान जैसे रिक्त स्थान के लिए निकटता और अभिसरण की धारणाओं से निपटते हैं।
+इसका निर्माण ''A'' में निहित सभी खुले सेटों का  समूह लेकर किया जा सकता है।
-टोपोलॉजिकल स्पेस X के हर सबसेट A में एक (संभवतः खाली) ओपन सेट होता है; अधिकतम (शामिल किए जाने के तहत आदेशित) इस तरह के खुले सेट को ए के [[टोपोलॉजिकल इंटीरियर]] कहा जाता है।
+<math>f : X \to Y</math> दो टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> तथा <math>Y</math> के बीच एक [[समारोह (गणित)|फलन (गणित)]] <math>f : X \to Y</math> {{em|[[निरंतर]]}} होता है  यदि <math>Y</math> को   खुला  कहा जाता है यदि <math>X.</math> में सभी {{em|[[ओपन]]}} सेट की  [[छवि (गणित)]] <math>Y</math> में खुला है
-इसका निर्माण ए में निहित सभी खुले सेटों का संघ लेकर किया जा सकता है।
-एक [[समारोह (गणित)]] <math>f : X \to Y</math> दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच <math>X</math> तथा <math>Y</math> है {{em|[[Continuous function (topology)|continuous]]}} अगर हर ओपन सेट की [[preimage]] है <math>Y</math> में खुला है <math>X.</math>
+वास्तविक रेखा पर एक खुले सेट की विशेषता गुण है कि यह खुले अंतरालों को अलग करने का एक गणनीय समूह है।
-कार्यक्रम <math>f : X \to Y</math> कहा जाता है {{em|[[Open map|open]]}} अगर हर खुले की [[छवि (गणित)]] में सेट है <math>X</math> में खुला है <math>Y.</math>
-वास्तविक रेखा पर एक खुले सेट की विशेषता संपत्ति है कि यह खुले अंतरालों को अलग करने का एक गणनीय संघ है।
-== नोट्स और चेतावनियाँ ==
+== टिप्पणियाँ और चेतावनियाँ ==
-=== ओपन को एक विशेष टोपोलॉजी === के सापेक्ष परिभाषित किया गया है
+"  खुला " को एक विशेष टोपोलॉजी के सापेक्ष परिभाषित किया गया है
-एक सेट खुला है या नहीं यह विचाराधीन टोपोलॉजी पर निर्भर करता है। संकेतन के दुरुपयोग का विकल्प चुनने के बाद, हम एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न एक सेट X का उल्लेख करते हैं <math>\tau</math> टोपोलॉजिकल स्पेस के बजाय टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के रूप में <math>(X, \tau)</math>, इस तथ्य के बावजूद कि सभी टोपोलॉजिकल डेटा में समाहित है <math>\tau.</math> यदि एक ही सेट पर दो टोपोलॉजी हैं, तो एक सेट यू जो पहली टोपोलॉजी में खुला है, दूसरी टोपोलॉजी में खुलने में विफल हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि X कोई टोपोलॉजिकल स्पेस है और Y, X का कोई उपसमुच्चय है, तो सेट Y को अपना स्वयं का टोपोलॉजी दिया जा सकता है (जिसे 'सबस्पेस टोपोलॉजी' कहा जाता है) एक सेट U द्वारा परिभाषित किया गया है, जो Y पर सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है और केवल यदि यू एक्स पर मूल टोपोलॉजी से खुले सेट के साथ वाई का चौराहे है। यह संभावित रूप से नए खुले सेट पेश करता है: यदि वी एक्स पर मूल टोपोलॉजी में खुला है, लेकिन <math>V \cap Y</math> एक्स पर मूल टोपोलॉजी में खुला नहीं है <math>V \cap Y</math> वाई पर सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है।
+एक सेट खुला है या नहीं यह विचाराधीन टोपोलॉजी पर निर्भर करता है। संकेतन के दुरुपयोग का विकल्प चुनने के बाद, हम एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न एक सेट X का उल्लेख करते हैं <math>\tau</math> टोपोलॉजिकल स्पेस  के अतिरिक्त टोपोलॉजिकल स्पेस X  के रूप में <math>(X, \tau)</math>, इस साक्ष्य के बावजूद कि सभी टोपोलॉजिकल डेटा <math>\tau.</math>में समाहित है  यदि एक ही सेट पर दो टोपोलॉजी हैं, तो एक सेट U जो पहली टोपोलॉजी में खुला है, दूसरी टोपोलॉजी में खुलने में विफल हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि X कोई टोपोलॉजिकल स्पेस है और Y, X का कोई सबसेट है, तो सेट Y को अपना स्वयं का टोपोलॉजी दिया जा सकता है (जिसे 'सबस्पेस टोपोलॉजी' कहा जाता है) एक सेट U द्वारा परिभाषित किया गया है, जो Y पर सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है और केवल यदि UX  पर मूल टोपोलॉजी से खुले सेट के साथ वाई का चौराहे है। यह संभावित रूप से नए खुले सेट पेश करता है: यदि वी X  पर मूल टोपोलॉजी में खुला है, लेकिन <math>V \cap Y</math> X  पर मूल टोपोलॉजी में खुला नहीं है <math>V \cap Y</math> वाई पर सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है।
-इसका एक ठोस उदाहरण के रूप में, यदि U को अंतराल में परिमेय संख्याओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है <math>(0, 1),</math> तब U [[परिमेय संख्या]]ओं का एक खुला उपसमुच्चय है, लेकिन [[वास्तविक संख्या]]ओं का नहीं। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब आस-पास का स्थान परिमेय संख्या है, U में प्रत्येक बिंदु x के लिए, एक धनात्मक संख्या मौजूद होती है जैसे कि सभी {{em|rational}} x की दूरी a के भीतर बिंदु भी U में हैं। दूसरी ओर, जब आस-पास का स्थान वास्तविक है, तो U में प्रत्येक बिंदु x के लिए है {{em|no}} सकारात्मक ऐसा कि सभी {{em|real}} x की दूरी a के भीतर बिंदु U में हैं (क्योंकि U में कोई गैर-तर्कसंगत संख्या नहीं है)।
+इसका एक ठोस उदाहरण के रूप में, यदि U को अंतराल में परिमेय संख्याओं के <math>(0, 1),</math> सेट के रूप में परिभाषित किया गया है  तब U [[परिमेय संख्या]]ओं का एक खुला सबसेट है, लेकिन [[वास्तविक संख्या]]ओं का नहीं। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब नजदीक का स्थान परिमेय संख्या है, U में प्रत्येक बिंदु x के लिए, एक धनात्मक संख्या उपस्थित होती है जैसे कि x की दूरी a के {{em|अन्दर}} सभी परिमेय बिंदु भी U में हैं। दूसरी ओर, जब नजदीक का स्थान वास्तविक है, तो U में प्रत्येक बिंदु x के लिए कोई धनात्मक a ऐसा नहीं है कि x की दूरी के भीतर सभी वास्तविक बिंदु हैं यू में (क्योंकि यू में कोई गैर-तर्कसंगत संख्या नहीं है)।)।
 == खुले सेटों का सामान्यीकरण ==
-{{See also|Almost open map|Glossary of topology}}
+{{See also|लगभग खुला नक्शा|टोपोलॉजी की शब्दावली}}
-हर जगह, <math>(X, \tau)</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस होगा।
+सभी जगह, <math>(X, \tau)</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस होगा।
+टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> एक सबसेट <math>A \subseteq X</math> कहा जाता है:
+{{em|α-ओपन}} यदि <math>A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right) \right)</math>, और ऐसे सेट के पूरक को {{em|α-बंद}} कहा जाता है.{{sfn|Hart|2004|p=9}}
+{{em|प्रीओपेन}},{{em|करीब-करीब खुला}}, या {{em|स्थानीय रूप से सघन }}  यदि यह निम्नलिखित समतुल्य स्थितियों में से किसी को भी संतुष्ट करता है
+. <math>A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right).</math>{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}}
+. सबसेट <math>D, U \subseteq X</math> ऐसे उपस्थित हैं कि ऐसा  <math>U</math> <math>X,</math> <math>D</math> में खुला है <math>X,</math> और <math>A = U \cap D.</math> का [[सघन उपसमुच्चय|सघन सबसेट]] है {{sfn|Hart|2004|pp=8–9}}
+.एक खुला उपस्थित है (में <math>X</math>) सबसेट <math>U \subseteq X</math> ऐसा है कि <math>A</math> का सघन सबसेट है <math>U.</math>{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}}
+पूर्वखुला सेट के पूरक को {{em|प्रिक्लोसड}} कहा जाता है।
+{{em|b-ओपन}} यदि <math>A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right) ~\cup~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)</math>. बी-  खुला  सेट के पूरक को {{em|b-क्लोज्ड}} कहा जाता है.{{sfn|Hart|2004|p=9}} ashif
+{{em|β-ओपन}}  या{{em|अर्ध-प्रीओपन}}  यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:
+.<math>A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right) \right)</math>{{sfn|Hart|2004|p=9}}
+.<math> \operatorname{cl}_X A</math>  <math>X.</math>का एक नियमित बंद सबसेट है {{sfn|Hart|2004|pp=8–9}}
-उपसमुच्चय <math>A \subseteq X</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> कहा जाता है:
+.<math>X</math> का एक पूर्व  खुला  सबसेट <math>U</math>उपस्थित है जैसा कि <math>U \subseteq A \subseteq \operatorname{cl}_X U.</math>{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}}
+<li>β-खुले सेट के पूरक को {{em|β-बंद}} कहलाता है.
-<उल>
+<li>{{em|[[अनुक्रमिक रूप से खुला]]}} है यदि यह निम्न समकक्ष शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है
-<ली>{{em|α-open}}यदि <math>A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right) \right)</math>, और ऐसे समुच्चय का पूरक कहलाता है{{em|α-closed}}.{{sfn|Hart|2004|p=9}}</ली>
-<ली>{{em|preopen}},{{em|nearly open}}, या{{em|locally [[Dense subset|dense]]}}यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:
+<li>1.जब भी कोई क्रम <math>X</math> के किसी बिंदु <math>A</math> पर अभिसरण करता है तो वह क्रम अंततः अंदर <math>A</math> है  स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि यदि <math>x_{\bull} = \left( x_i \right)_{i=1}^{\infty}</math> में क्रम है <math>X</math> और <math>a \in A</math>  यदि कुछ उपस्थित है इस प्रकार कि <math>x_{\bull} \to x</math> में <math>(X, \tau),</math> फिर <math>x_{\bull}</math> अंत <math>A</math> में है  (अर्थात, कुछ पूर्णांक उपस्थित हैं <math>i</math> ऐसा कि यदि <math>j \geq i,</math> फिर <math>x_j \in A</math>)<li>2.<math>A</math> <math>X,</math> में इसके{{em|अनुक्रमिक इंटीरियर}}  के बराबर है जो परिभाषा के अनुसार सेट है
-<ओल>
-<ली><math>A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right).</math>{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}}</ली>
-<li>उपसमुच्चय मौजूद हैं <math>D, U \subseteq X</math> ऐसा है कि <math>U</math> में खुला है <math>X,</math> <math>D</math> का [[सघन उपसमुच्चय]] है <math>X,</math> तथा <math>A = U \cap D.</math>{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}}</ली>
-<li>एक खुला मौजूद है (में <math>X</math>) सबसेट <math>U \subseteq X</math> ऐसा है कि <math>A</math> का सघन उपसमुच्चय है <math>U.</math>{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}}</ली>
-</ओल>
-प्रीओपन सेट के पूरक को कहा जाता है{{em|preclosed}}.
-</ली>
-<ली>{{em|b-open}}यदि <math>A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right) ~\cup~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)</math>. बी-ओपन सेट के पूरक को कहा जाता है{{em|b-closed}}.{{sfn|Hart|2004|p=9}}</ली>
-<ली>{{em|β-open}}या{{em|semi-preopen}}यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:
-<ओल>
-<ली><math>A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right) \right)</math>{{sfn|Hart|2004|p=9}}</ली>
-<ली><math> \operatorname{cl}_X A</math> का एक नियमित बंद उपसमुच्चय है <math>X.</math>{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}}</ली>
-<li>एक प्रीओपन सबसेट मौजूद है <math>U</math> का <math>X</math> ऐसा है कि <math>U \subseteq A \subseteq \operatorname{cl}_X U.</math>{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}}</ली>
-</ओल>
-β-ओपन सेट का पूरक कहलाता है{{em|β-closed}}.
-</ली>
-<ली>{{em|[[sequentially open]]}}यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:
-<ओल>
-<li>जब भी कोई क्रम <math>X</math> के किसी बिंदु पर अभिसरण करता है <math>A,</math> तो वह क्रम अंततः अंदर है <math>A.</math> स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि अगर <math>x_{\bull} = \left( x_i \right)_{i=1}^{\infty}</math> में क्रम है <math>X</math> और अगर कुछ मौजूद है <math>a \in A</math> इस प्रकार कि <math>x_{\bull} \to x</math> में <math>(X, \tau),</math> फिर <math>x_{\bull}</math> अंत में है <math>A</math> (अर्थात, कुछ पूर्णांक मौजूद हैं <math>i</math> ऐसा कि अगर <math>j \geq i,</math> फिर <math>x_j \in A</math>).</ली>
-<ली><math>A</math> इसके बराबर है{{em|sequential interior}}में <math>X,</math> जो परिभाषा के अनुसार सेट है
 :<math>\begin{alignat}{4}
 \operatorname{SeqInt}_X A
@@ Line 123: / Line 133: @@
 \end{alignat}
 </math>
-</ली>
+{{em|क्रमिक रूप से खुले}}  रूप से खुले सेट के पूरक को क्रमिक रूप से बंद कहा जाता है. एक सबसेट <math>S \subseteq X</math> में <math>X</math> क्रमिक रूप से बंद कर दिया गया है  यदि और केवल यदि <math>S</math> इसके{{em|अनुक्रमिक समापन}}  के बराबर है, जो कि परिभाषा के अनुसार सेट है <math>\operatorname{SeqCl}_X S</math> सभी से मिलकर <math>x \in X</math> जिसके लिए एक क्रम उपस्थित है <math>S</math> जो अभिसरण करता है <math>x</math> (में <math>X</math>).
-</ओल>
-क्रमिक रूप से खुले सेट के पूरक को कहा जाता है{{em|sequentially  closed}}. उपसमुच्चय <math>S \subseteq X</math> में बंद कर दिया गया है <math>X</math> अगर और केवल अगर <math>S</math> इसके बराबर है{{em|sequential closure}}, जो परिभाषा के अनुसार समुच्चय है <math>\operatorname{SeqCl}_X S</math> सभी से मिलकर <math>x \in X</math> जिसके लिए एक क्रम मौजूद है <math>S</math> जो अभिसरण करता है <math>x</math> (में <math>X</math>).
-</ली>
-<ली>{{em|[[Almost open set|almost open]]}}और कहा जाता है{{em|the Baire property}}यदि कोई खुला उपसमुच्चय मौजूद है <math>U \subseteq X</math> ऐसा है कि <math>A \bigtriangleup U</math> एक अल्प समुच्चय है, जहाँ <math>\bigtriangleup</math> [[सममित अंतर]] को दर्शाता है।<ref name="oxtoby">{{citation|title=Measure and Category|volume=2|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John C.|last=Oxtoby|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|year=1980|isbn=978-0-387-90508-2|contribution=4. The Property of Baire|pages=19–21|url=https://books.google.com/books?id=wUDjoT5xIFAC&pg=PA19}}.</ref>
-* सबसेट <math>A \subseteq X</math> कहा जाता है कि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए प्रतिबंधित अर्थों में बायर संपत्ति है <math>E</math> का <math>X</math> चौराहा <math>A\cap E</math> के सापेक्ष बायर संपत्ति है <math>E</math>.<ref>{{citation|last=Kuratowski|first=Kazimierz|authorlink=Kazimierz Kuratowski|title= Topology. Vol. 1|publisher=Academic Press and Polish Scientific Publishers|year=1966}}.</ref></ली>
-<ली>{{em|semi-open}}यदि <math>A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)</math>. में पूरक <math>X</math> अर्ध-खुले सेट को कहा जाता है{{em|semi-closed}} समूह।{{sfn|Hart|2004|p=8}} * द{{em|semi-closure}}(में <math>X</math>) एक उपसमुच्चय का <math>A \subseteq X,</math> द्वारा चिह्नित <math>\operatorname{sCl}_X A,</math> के सभी अर्ध-बंद उपसमूहों का प्रतिच्छेदन है <math>X</math> जिसमें शामिल है <math>A</math> एक उपसमुच्चय के रूप में।{{sfn|Hart|2004|p=8}}</ली>
-<ली>{{em|semi-θ-open}}यदि प्रत्येक के लिए <math>x \in A</math> कुछ सेमीोपेन सबसेट मौजूद हैं <math>U</math> का <math>X</math> ऐसा है कि <math>x \in U \subseteq \operatorname{sCl}_X U \subseteq A.</math>{{sfn|Hart|2004|p=8}}</ली>
-<ली>{{em|θ-open}}(प्रति.{{em|δ-open}}) यदि इसका पूरक है <math>X</math> एक θ-बंद (प्रतिक्रिया है। {{em|δ-closed}}) सेट, जहां परिभाषा के अनुसार, का एक सबसेट <math>X</math> कहा जाता है{{em|θ-closed}}(प्रति.{{em|δ-closed}}) यदि यह अपने सभी θ-क्लस्टर पॉइंट्स (resp. δ-क्लस्टर पॉइंट्स) के सेट के बराबर है। एक बिंदु <math>x \in X</math> ए कहा जाता है{{em|θ-cluster point}}(सं. ए{{em|δ-cluster point}}) एक उपसमुच्चय का <math>B \subseteq X</math> अगर हर खुले पड़ोस के लिए <math>U</math> का <math>x</math> में <math>X,</math> चौराहा <math>B \cap \operatorname{cl}_X U</math> खाली नहीं है (सं. <math>B \cap \operatorname{int}_X\left( \operatorname{cl}_X U \right)</math> खाली नहीं है)।{{sfn|Hart|2004|p=8}}</ली>
-</ul>
-इस तथ्य का उपयोग करना कि
+<li>{{em|[[लगभग खुला सेट|लगभग खुला]]}} और कहा जाता है कि यह {{em|बायर गुण}}  यदि कोई खुला सबसेट उपस्थित है <math>U \subseteq X</math> ऐसा है कि <math>A \bigtriangleup U</math> एक अल्प सेट है, जहाँ <math>\bigtriangleup</math> [[सममित अंतर]] को दर्शाता है।<ref name="oxtoby">{{citation|title=Measure and Category|volume=2|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John C.|last=Oxtoby|edition=2nd|publisher=Springer-Verlag|year=1980|isbn=978-0-387-90508-2|contribution=4. The Property of Baire|pages=19–21|url=https://books.google.com/books?id=wUDjoT5xIFAC&pg=PA19}}.</ref>
+* सबसेट <math>A \subseteq X</math> कहा जाता है कि प्रत्येक सबसेट के लिए प्रतिबंधित अर्थों में बायर गुण है  यदि <math>E</math>  <math>X</math> के प्रत्येक सबसेट के लिए प्रतिच्छेदन <math>A\cap E</math> में <math>E</math> के सापेक्ष बायर गुण है .<ref>{{citation|last=Kuratowski|first=Kazimierz|authorlink=Kazimierz Kuratowski|title= Topology. Vol. 1|publisher=Academic Press and Polish Scientific Publishers|year=1966}}.</ref>
+{{em|अर्द्ध खुला}} यदि <math>A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)</math>. में पूरक <math>X</math> अर्ध-खुले सेट{{em|अर्द्ध बंद}} समूह कहते है।{{sfn|Hart|2004|p=8}}
+<li>{{em|अर्द्ध बंद}} (में <math>X</math>) एक सबसेट का <math>A \subseteq X,</math> द्वारा चिह्नित <math>\operatorname{sCl}_X A,</math> <math>X</math> के सभी अर्ध-बंद सबसेटों का प्रतिच्छेदन है  जिसमें  <math>A</math> एक सबसेट के रूप में होता है।{{sfn|Hart|2004|p=8}}
+<li>यदि प्रत्येक के लिए <math>x \in A</math> कुछ अर्द्धोपेन सबसेट उपस्थित हैं <math>U</math> का <math>X</math> ऐसा है कि <math>x \in U \subseteq \operatorname{sCl}_X U \subseteq A.</math>{{sfn|Hart|2004|p=8}}
+<li>{{em|θ-खुला}} (प्रति.{{em|δ-खुला}}) यदि इसका पूरक है <math>X</math> एक θ-बंद (प्रतिक्रिया है। {{em|δ-बंद}}) सेट, जहां परिभाषा के अनुसार,  <math>X</math> के एक सबसेट को {{em|θ-बंद}} (प्रति.{{em|δ-बंद}}) कहा जाता है यदि यह अपने सभी θ-क्लस्टर अंक (resp. δ-क्लस्टर अंक) के सेट के बराबर है। एक बिंदु <math>x \in X</math> को सबसेट <math>B \subseteq X</math> का {{em|θ-क्लस्टर बिंदु}} (सं. {{em|δ-क्लस्टर बिंदु}}) कहा जाता है यदि प्रत्येक  खुले निकट के लिए  <math>U</math> का <math>x</math> में <math>X,</math> न <math>B \cap \operatorname{cl}_X U</math> खाली नहीं है (सं. <math>B \cap \operatorname{int}_X\left( \operatorname{cl}_X U \right)</math> खाली नहीं है)।{{sfn|Hart|2004|p=8}}इस साक्ष्</ul>य का प्रयोग करना कि
 :<math>A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X B</math> {{spaces|4}}तथा{{spaces|4}} <math>\operatorname{int}_X A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X B ~\subseteq~ B</math>
-जब भी दो उपसमुच्चय <math>A, B \subseteq X</math> संतुष्ट करना <math>A \subseteq B,</math> निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:
+जब भी दो सबसेट <math>A, B \subseteq X</math> संतुष्ट करना <math>A \subseteq B,</math> निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:
+* सभी α-खुला सबसेट अर्द्ध- खुला , अर्द्ध-पूर्वखुला , पूर्वखुला  और बी- खुला  होता है।
-* हर α-खुला सबसेट सेमी-ओपन, सेमी-प्रीओपन, प्रीओपन और बी-ओपन होता है।
+* सभी बी-खुला  सेट अर्द्ध-पूर्व  खुला  (अर्थात् β-  खुला ) है।
-* हर बी-ओपन सेट सेमी-प्रीओपन (यानी β-ओपन) है।
+* सभी पूर्वखुला सेट बी- खुला  और अर्द्ध-पूर्व  खुला  है।
-* हर प्रीओपन सेट बी-ओपन और सेमी-प्रीओपन है।
+* सभी अर्द्ध-खुला  सेट बी-खुला  और अर्द्ध-पूर्व  खुला  है।
-* हर सेमी-ओपन सेट बी-ओपन और सेमी-प्रीओपन है।
-इसके अलावा, एक सबसेट एक नियमित खुला सेट है अगर और केवल अगर यह प्रीओपन और सेमी-क्लोज्ड है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} एक α-ओपन सेट और सेमी-प्रीओपन (रेस्प। सेमी-ओपन, प्रीओपेन, बी-ओपन) सेट का इंटरसेक्शन एक सेमी-प्रीओपेन (रेस्प. सेमी-ओपन, प्रीओपन, बी-ओपन) सेट है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} प्रीओपन सेट को सेमी-ओपन होने की आवश्यकता नहीं है और सेमी-ओपन सेट को प्रीओपन होने की आवश्यकता नहीं है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} प्रीओपन (प्रति. α-ओपन, बी-ओपन, सेमी-प्रीओपेन) सेट के मनमाना संघ एक बार फिर से प्रीओपेन (प्रति. α-ओपन, बी-ओपन, सेमी-प्रीओपेन) हैं।{{sfn|Hart|2004|pp=8-9}} हालाँकि, प्रीओपन सेट के परिमित चौराहों को प्रीओपन होने की आवश्यकता नहीं है।{{sfn|Hart|2004|p=8}} किसी स्थान के सभी α-खुले उपसमुच्चय का समुच्चय <math>(X, \tau)</math> पर एक टोपोलॉजी बनाता है <math>X</math> वह [[टोपोलॉजी की तुलना]] है <math>\tau.</math>{{sfn|Hart|2004|p=9}} एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] है अगर और केवल अगर हर [[कॉम्पैक्ट जगह]] <math>X</math> θ-बंद है।{{sfn|Hart|2004|p=8}} एक स्थान <math>X</math> [[पूरी तरह से डिस्कनेक्ट]] हो जाता है अगर और केवल अगर हर नियमित बंद सबसेट प्रीओपन या समकक्ष है, अगर हर सेमी-ओपन सबसेट प्रीओपन है। इसके अलावा, अंतरिक्ष पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है अगर और केवल अगर{{em|[[Closure (topology)|closure]]}}प्रत्येक प्रीओपन उपसमुच्चय खुला है।{{sfn|Hart|2004|p=9}}
+इसके अतिरिक्त, एक सबसेट एक नियमित खुला सेट है यदि और केवल यदि यह पूर्व  खुला  और अर्द्ध-बंद है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} एक α- खुला  सेट और अर्द्ध-पूर्व  खुला  (रेस्प। अर्द्ध-  खुला ,  पूर्व खुला , बी-  खुला ) सेट का इंटरसेक्शन एक अर्द्ध-पूर्व खुला  (रेस्प. अर्द्ध-  खुला , पूर्व  खुला , बी-  खुला ) सेट है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} पूर्व  खुला  सेट को अर्द्ध-  खुला  होने की आवश्यकता नहीं है और अर्द्ध-  खुला  सेट को पूर्व खुला  होने की आवश्यकता नहीं है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} पूर्व खुला  (प्रति. α- खुला , बी- खुला , अर्द्ध- पूर्व खुला ) सेट के मनमाना  समूह एक बार फिर से  पूर्व खुला  (प्रति. α- खुला , बी- खुला , अर्द्ध- पूर्व खुला ) हैं।{{sfn|Hart|2004|pp=8-9}} चूँकि, पूर्व खुला  सेट के परिमित प्रतिच्छेदो को पूर्व खुला  होने की आवश्यकता नहीं है।{{sfn|Hart|2004|p=8}} किसी स्थान के सभी α-खुले सबसेट का सेट <math>(X, \tau)</math> पर एक टोपोलॉजी बनाता है जो <math>\tau.</math>[[टोपोलॉजी की तुलना]] में  <math>X</math> बेहतर है {{sfn|Hart|2004|p=9}}
+<li>एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] है यदि और केवल यदि सभी [[कॉम्पैक्ट जगह]] <math>X</math> θ-बंद है।{{sfn|Hart|2004|p=8}} एक स्थान <math>X</math> [[Index.php?title=पूरी तरह से अलग|पूरी तरह से अलग]] हो जाता है यदि और केवल यदि सभी नियमित बंद सबसेट पूर्व खुला  या समकक्ष है, यदि सभी अर्द्ध- खुला  सबसेट पूर्व खुला  है। इसके अतिरिक्त, अंतरिक्ष पूरी तरह से अलग हो गया है यदि और केवल यदि {{em|[[क्लोजर]]}} प्रत्येक पूर्व खुला  सबसेट खुला है।{{sfn|Hart|2004|p=9}}
 == यह भी देखें ==
 * {{annotated link|Almost open map}}
 * {{annotated link|Base (topology)}}
@@ Line 166: / Line 173: @@
 == ग्रन्थसूची ==
 * {{cite book | last=Hart | first=Klaas | title=Encyclopedia of general topology | publisher=Elsevier/North-Holland | publication-place=Amsterdam Boston | year=2004 | isbn=0-444-50355-2 | oclc=162131277 }}
 * {{cite book | title=Encyclopedia of general topology | first1=Klaas Pieter | last1=Hart | first2=Jun-iti | last2=Nagata | first3=Jerry E. | last3=Vaughan | publisher=Elsevier | year=2004 | isbn=978-0-444-50355-8 }}
-== बाहरी संबंध ==
+== बाअर्द्धी संबंध ==
 * {{Springer |title=Open set |id=p/o068310}}
 {{Topology}}
-[[Category: सामान्य टोपोलॉजी]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles needing additional references]]
+[[Category:Articles needing additional references from April 2012]]
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खुला सेट: Difference between revisions

Latest revision as of 09:33, 13 December 2022

प्रेरणा

परिभाषाएँ

यूक्लिडियन स्थान

मीट्रिक स्थान

टोपोलॉजिकल स्पेस

विशेष प्रकार के खुले सेट

क्लोपेन सेट और नॉन- खुला और/या नॉन-बंद सेट

नियमित खुले सेट

गुण

प्रयोग

टिप्पणियाँ और चेतावनियाँ

खुले सेटों का सामान्यीकरण

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

ग्रन्थसूची

बाअर्द्धी संबंध

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