आदर्श बहुफलक

अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के पॉइनकेयर गेंद प्रतिरूप में एक आदर्श नियमित अष्टफलक (अनंत पर गोला नहीं दिखाया गया है)। इस आकृति के सभी द्वितल कोण समकोण होते हैं।

अतिपरवलीय स्थल के छोटा मॉडल में एक आदर्श विंशतिफलक का सजीवता

त्रि-आयामी अतिपरवलयिक ज्यामिति में, आदर्श बहुफलक एक उत्तल बहुफलक होता है जिसके सभी शीर्ष (ज्यामिति) आदर्श बिंदु होते हैं, आंतरिक से त्रि-आयामी अतिपरवलयिक स्थान के बजाय अनंत पर बिंदु होते हैं। इसे आदर्श बिंदुओं के परिमित समुच्चय के उत्तल पतवार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक आदर्श बहुतल में इसके फलक (ज्यामिति) के रूप में आदर्श बहुभुज होते हैं, जो अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की रेखाओं के साथ मिलते हैं।

निष्काम ठोस और आर्किमिडीयन ठोस उनके अधिक परिचित यूक्लिडीय संस्करणों के समान सांयोगिक संरचना के साथ आदर्श संस्करण हैं। कई समान अतिपरवलीय मधुकोश अतिपरवलीय स्थल को इन आकृतियों की कोशिकाओं में विभाजित करते हैं, बहुत कुछ यूक्लिडीय स्थल के घन में प्रचलित विभाजन की तरह। हालांकि, सभी बहुकोणीय आकृति को आदर्श बहुकोणीय आकृति के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है - एक बहुतल केवल तभी आदर्श हो सकता है जब इसे यूक्लिडीय ज्यामिति में एक परिचालित क्षेत्र पर इसके सभी शीर्षों के साथ प्रदर्शित किया जाए। रैखिक क्रमादेशन का उपयोग करके, बहुपद समय में यह परीक्षण करना संभव है कि दिए गए बहुतल का एक आदर्श संस्करण है या नहीं।

प्रत्येक दो आदर्श बहुकोणीय आकृति में समान संख्या में समान सतह क्षेत्र होते हैं, और लोबचेव्स्की कार्य का उपयोग करके एक आदर्श बहुतल की मात्रा की गणना करना संभव है। एक आदर्श बहुतल की सतह एक अतिशयोक्तिपूर्ण विविध बनाती है, जो एक विद्ध वृत्त के समान है, और इस तरह के विविध एक अद्वितीय आदर्श बहुतल की सतह बनाते हैं।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

जब भी बिंदु एक ही समतल पर नहीं होते हैं, एक आदर्श बहुतल को अतिपरवलयिक स्थान पर आदर्श बिंदुओं के परिमित समुच्चय के उत्तल पतवार के रूप में बनाया जा सकता है । परिणामी आकृति उन सभी बंद अर्ध-स्थानों का प्रतिच्छेदन है, जिनमें दिए गए आदर्श बिंदु सीमा बिंदुओं के रूप में हैं। वैकल्पिक रूप से, किसी भी यूक्लिडीय उत्तल बहुतल जिसमें एक परिचालित क्षेत्र है, उसको अतिशयोक्तिपूर्ण स्थल के लिए क्लेन आदर्श के रूप में गोले के अंतस्थ की व्याख्या करके एक आदर्श बहुतल के रूप में पुनर्व्याख्या की जा सकती है। क्लेन मॉडल में, वृत्त से घिरा प्रत्येक यूक्लिडीय बहुतल एक अतिशयोक्तिपूर्ण बहुतल का प्रतिनिधित्व करता है, और प्रत्येक यूक्लिडीय बहुतल, जिसके कोने वृत्त पर होते हैं, एक आदर्श अतिपरवलीय बहुतल का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रत्येक तुल्यकोणी उत्तल बहुतल (प्रत्येक शीर्ष को हर दूसरे शीर्ष पर ले जाने वाली समरूपता के साथ) को एक आदर्श बहुतल के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, जो इसकी समरूपता का सम्मान करता है, क्योंकि इसमें बहुतल के समरूपता के केंद्र में केंद्रित गोलाकार क्षेत्र होता है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि निष्काम ठोस और आर्किमिडीयन ठोस सभी के आदर्श रूप हैं। हालांकि, बहुकोणीय आकृति का एक और अत्यधिक सममित वर्ग, कैटलन ठोस, सभी के आदर्श रूप नहीं हैं। आर्किमिडीयन ठोसों के लिए कैटलन ठोस दोहरे बहुकोणीय आकृति हैं, और किसी भी पहलू को किसी अन्य पहलू पर ले जाने वाली समरूपता है। कैटलन ठोस जो आदर्श नहीं हो सकते हैं उनमें विषमलंबाक्ष द्वादशफलक और त्रिकिस चतुष्फलक सम्मिलित हैं।

ट्राईकिस चतुष्फलक से ऊर्ध्वाधर के कुछ त्रिपक्षीय को हटाने से शेष ऊर्ध्वाधर कई आनुषंगिक घटक में अलग हो जाते हैं। जब ऐसा कोई तीन- कोणबिंदु पृथक्करण मौजूद नहीं होता है, तो एक बहुफलक को 4-आनुषंगिक कहा जाता है। प्रत्येक 4-आनुषंगिक बहुतल का एक आदर्श बहुतल के रूप में प्रतिनिधित्व होता है; उदाहरण के लिए यह टेट्राकिस षट्फलक के लिए सही है, एक और कैटलन ठोस।

रुंडन (ज्यामिति) घन से एक एकल शीर्ष साधारण बहुतल (प्रति शीर्ष तीन किनारों वाला एक) उत्पन्न करता है जिसे एक आदर्श बहुतल के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है: मिकेल के छह वृत्त प्रमेय द्वारा, यदि घन के आठ में से सात कोने आदर्श हैं, आठवां कोणबिंदु भी आदर्श है, और इसलिए इसे छोटा करके बनाए गए कोणबिंदु आदर्श नहीं हो सकते। प्रति शीर्ष चार किनारों वाले बहुकोणीय आकृति भी मौजूद हैं जिन्हें आदर्श बहुकोणीय आकृति के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है। यदि एक प्रसमुच्चयी बहुतल (सभी चेहरों वाले त्रिकोणों के साथ) में चार और छह (सम्मिलित) के बीच सभी शीर्ष् घात हैं, तो इसका एक आदर्श प्रतिनिधित्व है, लेकिन त्रिकिस चतुष्फलक प्रसमुच्चयी और गैर-आदर्श है, और ऊपर 4-नियमित गैर-आदर्श उदाहरणों से पता चलता है कि गैर-प्रसमुच्चयी बहुकोणीय आकृति के लिए, इस सीमा में सभी घात होने से आदर्श प्राप्ति की प्रत्याभुति नहीं होती है।

गुण

माप

प्रत्येक आदर्श बहुफलक के साथ $n$ कोने में एक सतह होती है जिसे $2n-4$ आदर्श त्रिकोण, प्रत्येक $\pi$ क्षेत्र के साथ उप-विभाजित किया जा सकता है, इसलिए, सतह क्षेत्र यथार्थत: $(2n-4)\pi$ है।

एक आदर्श बहुफलक में, सभी फलक कोण और सभी ठोस कोण कोनो पर शून्य होते हैं। हालांकि, एक आदर्श बहुतल के किनारों पर द्वितल कोण गैर-शून्य हैं। प्रत्येक शीर्ष पर, द्वितल कोणों के पूरक कोण उस शीर्ष पर आपतित होते हैं जिनका योग ठीक $2\pi$ होता है।इस तथ्य का उपयोग नियमित या अश्रि-सममितीय आदर्श बहुफलक (जिसमें ये सभी कोण समान हैं) के लिए द्वितल कोणों की गणना करने के लिए किया जा सकता है। यह गणना करके कि प्रत्येक शीर्ष पर कितने किनारे मिलते हैं: एक आदर्श नियमित चतुष्फलक, घन या द्वादशफ़लक, प्रति कोणबिंदु तीन किनारों के साथ, द्वितल कोण $60^{\circ }=\pi /3=\pi (1-{\tfrac {2}{3}})$ हैं, एक आदर्श नियमित अष्टफलक या क्यूबोक्टाहेड्रोन चार किनारों के प्रति शीर्ष के साथ, द्वितल कोण $90^{\circ }=\pi /2=\pi (1-{\tfrac {2}{4}})$ हैं, और एक आदर्श नियमित विंशफलक, प्रति शीर्ष पांच किनारों के साथ, द्वितल कोण $108^{\circ }=3\pi /5=\pi (1-{\tfrac {2}{5}})$ हैं।

एक आदर्श चतुष्फलक का आयतन क्लॉसन प्रकार्य या इसके द्वितल कोणों के लोबचेवस्की प्रकार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और एक मनमाना आदर्श बहुतल का आयतन तब इसे टेट्राहेड्रा में विभाजित करके और टेट्राहेड्रा के संस्करणों को जोड़ कर पाया जा सकता है।

बहुतल का Dehn निश्चर सामान्यतः बहुतल के किनारों की लंबाई और द्वितल कोणों को मिलाकर पाया जाता है, लेकिन एक आदर्श बहुतल के मामले में किनारों की लंबाई अनंत होती है। इस कठिनाई से प्रत्येक शीर्ष पर रुंडित (ज्यामिति) के लिए होरोस्फीयर का उपयोग करके, प्रत्येक किनारे के साथ एक परिमित लंबाई छोड़कर बचा जा सकता है। परिणामी आकृति अपने आप में एक बहुतल नहीं है क्योंकि काटे गए अग्रभाग सपाट नहीं होते हैं, लेकिन इसके किनारे की लंबाई सीमित होती है, और इसके Dehn निश्चर की गणना सामान्य तरीके से की जा सकती है, नए किनारों की अनदेखी करते हुए जहां काटे गए अग्रभाग बहुतल के मूल अग्रभाग से मिलते हैं जिस तरह से Dehn निश्चर को परिभाषित किया गया है, और आदर्श बहुतल के एक शीर्ष पर मिलने वाले द्वितल कोणों की बाधाओं के कारण, इस गणना का परिणाम ऊर्ध्वाधर को रुंडित किए जाने वाले होरोस्फीयर की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

संयोजन संरचना

जैसा Ernst Steinitz (1928) ने सिद्ध किया है कि, किसी भी आदर्श बहुतल के अधिकतम स्वतंत्र समुच्चय (गैर-निकटवर्ती शीर्षों का सबसे बड़ा संभव उपसमुच्चय) में बहुतल के अधिकतम आधे कोने होने चाहिए। यह ठीक आधा ही हो सकता है जब कोने को दो समान आकार के स्वतंत्र समुच्चयों में विभाजित किया जा सके, ताकि बहुतल का लेखाचित्र एक संतुलित द्विदलीय लेखाचित्र हो, क्योंकि यह एक आदर्श घन के लिए है। अधिक दृढ़ता से, किसी भी आदर्श बहुतल का लेखाचित्र लेखाचित्र क्रूरता है| किसी भी आदर्श बहुफलक का लेखाचित्र 1-कठोर होता है, जिसका अर्थ है कि, किसी भी $k$ के लिए, $k$ कोने को लेखाचित्र से हटाने से अधिकांश $k$ आनुषंगिक घटक निकल जाते हैं। उदाहरण के लिए, समचतुर्भुज द्वादशफलक द्विदलीय है, लेकिन इसके आधे से अधिक शीर्षों के साथ एक स्वतंत्र समुच्चय है, और त्रियाकिस चतुष्फलक के ठीक आधे शीर्षों का एक स्वतंत्र समुच्चय है, लेकिन यह द्विदलीय नहीं है, इसलिए एक आदर्श बहुतल के रूप में महसूस नहीं किया जा सकता है।

लक्षण वर्णन और पहचान

सभी उत्तल बहुकोणीय आकृति दहनशील रूप से आदर्श बहुकोणीय आकृति के समकक्ष नहीं हैं। रेने डेसकार्टेस ने अपनी c.1630 पांडुलिपि De सोलिडोरम एलिमेंटिस में अंकित बहुकोणीय आकृति के ज्यामितीय चित्रांकण वर्णन का असफल प्रयास किया था। यूक्लिडीय उत्तल बहुकोणीय आकृति की विशेषता वाले स्टीनिट्ज़ के प्रमेय के अनुरूप, आदर्श बहुकोणीय आकृति के संयोजन के चित्रांकण वर्णन को खोजने का प्रश्न किसके द्वारा उठाया गया था? Jakob Steiner (1832); द्वारा एक संख्यात्मक (संयोजन के बजाय) लक्षण वर्णन प्रदान किया गया था Hodgson, Rivin & Smith (1992). उनका लक्षण वर्णन इस तथ्य पर आधारित है कि एक आदर्श बहुतल के द्वितल कोण, एक आदर्श शीर्ष के लिए घटना, संपूरक कोण होना चाहिए जो कि सटीक रूप से $2\pi$ योग हो, जबकि बहुतल की सतह पर किसी भी जॉर्डन वक्र द्वारा पार किए गए पूरक कोण बड़ा होना चाहिए, जिसके दोनों किनारों पर एक से अधिक शीर्ष हैं। उदाहरण के लिए, आदर्श घन के लिए, द्वितल कोण $\pi /3$ हैं और उनके पूरक $2\pi /3$ हैं। एक शीर्ष पर तीन पूरक कोणों का योग $2\pi$ होता है लेकिन दो विपरीत चेहरों के बीच एक वक्र द्वारा पार किए गए चार कोणों का योग $8\pi /3>2\pi$ होता है, और अन्य वक्र इन कोणों को और भी बड़े योगों के साथ पार करते हैं। Hodgson, Rivin & Smith (1992) दिखाएँ कि एक उत्तल बहुतल एक आदर्श बहुतल के बराबर है यदि और केवल यदि समान गुणों के साथ इसके किनारों पर संख्याएँ निर्दिष्ट करना संभव है: ये संख्याएँ $0$ तथा $\pi$ सभी के बीच में हैं, वे प्रत्येक शीर्ष पर $2\pi$ तक जोड़ते हैं , और वे दोहरे लेखाचित्र के प्रत्येक गैर- अग्रभाग चक्र पर $2\pi$ से अधिक जोड़ते हैं। जब ऐसा समनुदेशन मौजूद होता है, तो एक अद्वितीय आदर्श बहुतल होता है, जिसके द्वितल कोण इन संख्याओं के पूरक होते हैं। इस लक्षण वर्णन के परिणामस्वरूप, एक आदर्श बहुतल के रूप में प्राप्ति को एक रेखीय कार्यक्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें घातीय रूप से कई बाधाएं होती हैं (प्रत्येक गैर-अग्रभाग के चक्र के लिए एक), और दीर्घवृत्त कलन विधि का उपयोग करके बहुपद समय में परीक्षण किया जाता है।

Dillencourt & Smith (1995) द्वारा एक अधिक मिश्रित लक्षण वर्णन प्रदान किया गया था साधारण बहुकोणीय आकृति के विशेष मामले के लिए, बहुकोणीय आकृति केवल तीन चेहरों और तीन किनारों के साथ प्रत्येक (आदर्श) शीर्ष पर मिलते हैं। उनके चरित्र-चित्रण के अनुसार, एक साधारण बहुतल आदर्श या अवर्णनीय है यदि और केवल यदि दो स्थितियों में से एक मिलता है: या तो बहुतल का लेखाचित्र एक द्विदलीय लेखाचित्र है और इसका दोहरा लेखाचित्र k-शीर्ष् -आनुषंगिक लेखाचित्र है। 4- आनुषंगिक, या यह 1-अति कठोर लेखाचित्र है। इस स्थिति में, 1-अति कठोर होना लेखाचित्र की कठोरता का एक प्रकार है; इसका मतलब है कि, लेखाचित्र के एक से अधिक शीर्षों के प्रत्येक सेट $S$ के लिए, $S$ को लेखाचित्र से हटाने से कई जुड़े घटक निकलते हैं जो $|S|$ से सख्ती से छोटे होते हैं। इस लक्षण वर्णन के आधार पर उन्हें आदर्श बहुकोणीय आकृति के रूप में सरल बहुकोणीय आकृति की वास्तविकता का परीक्षण करने के लिए एक रैखिक समय दहनशील कलन विधि मिली है।

मधुकोश

आदर्श नियमित पॉलीहेड्रा के मधुकोश

क्रम-6 चतुष्फलकीय

क्रम-6 घनाकार

क्रम-4 अष्टभुजाकार

क्रम-6 द्वादशफलकी

क्योंकि आदर्श नियमित चतुष्फलक, घन, अष्टफलक और द्वादशफ़लक सभी में द्वितल कोण होते हैं जो पूर्णांक अंश $2\pi$ होते हैं, वे सभी नियमित मधुकोश (ज्यामिति) बनाते हुए, अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान को खपरैल कर सकते हैं।इसमें वे यूक्लिडीय नियमित ठोसों से भिन्न होते हैं, जिनमें से केवल घन ही स्थान खाली कर सकता है।आदर्श चतुष्फलक,घन, अष्टफलक और द्वादशफ़लक क्रमशः गण - 6 चतुष्फलकीय मधुकोश, क्रम - 6 घन मधुकोष, क्रम - 4 अष्टफलकीय मधुकोश और क्रम-6 डोडेकाहेड्रल मधुकोश बनाते हैं; यहाँ क्रम प्रत्येक किनारे पर मिलने वाली कोशिकाओं की संख्या को संदर्भित करता है। हालांकि, आदर्श विंशफलक उसी तरह से अंतरिक्ष को खपरैल नहीं करता है।

एपस्टीन-पेननर अपघटन, D. B. A. Epstein and R. C. Penner (1988) का निर्माण है , किसी भी उभयाग्री अतिशयोक्तिपूर्ण 3- विविध आदर्श बहुकोणीय आकृति में विघटित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, और इन आदर्श बहुकोणीय आकृति को एक साथ चिपकाने के परिणाम के रूप में कई गुना प्रतिनिधित्व करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। प्रत्येक कई गुना जिसे इस तरह से दर्शाया जा सकता है कि, इनमें प्रतिनिधित्व की एक सीमित संख्या होती है। कई गुना का सार्वभौमिक आवरण उसी अपघटन को प्राप्त करता है, जो आदर्श बहुकोणीय आकृति का मधुकोश बनाता है। उभयाग्री विविध के उदाहरण, इस तरह से मधुकोश की ओर अग्रसर होते हैं, स्वाभाविक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण संयोजन के ग्रन्थि पूरक के रूप में उत्पन्न होते हैं, जिसमें संयोजन के प्रत्येक घटक के लिए एक पुच्छ होता है। उदाहरण के लिए, आकृति-आठ गाँठ का पूरक क्रम-6 चतुष्फलकीय मधुकोश के साथ इस प्रकार जुड़ा हुआ है, और बोरोमियन वलय का पूरक उसी तरह से ऑर्डर -4 अष्टभुजाकार मधुकोश के साथ जुड़ा हुआ है। ये दो, और तीन अन्य आदर्श क्यूबोक्टाहेड्रोन, त्रिकोणीय वर्णक्रम और संक्षिप्त चतुष्फलक का उपयोग करते हुए, बियांची समूहों के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं, और बियांची समूहों के उपसमूहों द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के भागफल के रूप में गठित पुच्छल विविध से आते हैं। समान विविध की व्याख्या ग्रंथिका पूरक के रूप में भी की जा सकती है।

भूतल कई गुना

एक आदर्श बहुतल की सतह (इसके कोने शामिल नहीं हैं) एक समान द्वि-आयामी अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के साथ, कई गुना, स्थलीय रूप से एक छिद्रित क्षेत्र के बराबर होती है; अतिपरवलीय स्थल में इसकी अंत: स्थापन में वलय सतह की आंतरिक ज्यामिति में वलय के रूप में पता लगाने योग्य नहीं हैं। क्योंकि इस सतह को आदर्श त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है, इसका कुल क्षेत्रफल परिमित है। इसके विपरीत, और तुलनात्मक रूप से अलेक्जेंड्रोव की विशिष्टता प्रमेय के अनुरूप, एक समान अतिपरवलयिक ज्यामिति और परिमित क्षेत्र के साथ हर द्वि-आयामी विविध, जो कि एक अति-छिद्रित क्षेत्र के संयोजन के बराबर है, को एक आदर्श बहुतल की सतह के रूप में महसूस किया जा सकता है। (अलेक्जेंड्रोव के प्रमेय के साथ, ऐसी सतहों को आदर्श द्वितल को शामिल करने की अनुमति दी जानी चाहिए।) इस दृष्टिकोण से, आदर्श बहुकोणीय आकृति के सिद्धांत के अनुरूप मानचित्रों के असतत अनुमानों के साथ घनिष्ठ संबंध हैं।

आदर्श बहुकोणीय आकृति की सतहों को अधिक सारगर्भित रूप से भी माना जा सकता है क्योंकि उनके किनारों के साथ समदूरीकता द्वारा आदर्श त्रिकोणों को एक साथ जोड़कर सांस्थितिक रिक्त स्थान बनाए जाते हैं। ऐसी हर सतह के लिए, और हर बंद वक्र जो किसी अन्य को अलग किए बिना बहुतल (एक या अधिक बार) के एक शीर्ष के चारों ओर लपेटता नहीं है। सतह पर एक अद्वितीय अल्पान्तरी होता है जो दिए गए वक्र के लिए समस्थानी होता है। इस संबंध में, आदर्श बहुकोणीय आकृति यूक्लिडीय बहुकोणीय आकृति (और उनके यूक्लिडीय क्लेन मॉडल से) से भिन्न होते हैं: उदाहरण के लिए, एक यूक्लिडीय घन पर, कोई भी अल्पान्तरी एक गैर-घटना वाले किनारे को पार करने से पहले, अधिकतम दो किनारों को एक ही शीर्ष पर लगातार पार कर सकता है, लेकिन आदर्श घन पर भूगर्भ विज्ञान इस तरह सीमित नहीं है।

यह भी देखें

• विहित बहुतल, एक बहुतल जिसमें प्रत्येक किनारा एक आम क्षेत्र के लिए स्पर्शरेखा है।

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• नियमित अष्टफलक
• आर्किमिडीज़ ठोस
• बहुपदी समय फलन
• परिबद्ध क्षेत्र
• अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति
• वर्टेक्स (ज्यामिति)
• चेहरा (ज्यामिति)
• अतिशयोक्तिपूर्ण मधुकोश
• आधा स्थान (ज्यामिति)
• टर्नरी टेट्राहेड्रा की
• समचतुर्भुज द्वादशफलक
• के-वर्टेक्स-कनेक्टेड लेखाचित्र
• द्विपक्षीय लेखाचित्र
• अधिक कोण
• रैखिक कार्यक्रम
• दीर्घवृत्त एल्गोरिथ्म
• दोहरा लेखाचित्र
• आंकड़ा-आठ गाँठ
• विविध

संदर्भ

• Abbott, Steve (July 1997), "Review of Not Knot and Supplement to Not Knot", The Mathematical Gazette, 81 (491): 340–342, doi:10.2307/3619248, JSTOR 3619248
• Akiyoshi, Hirotaka (2001), "Finiteness of polyhedral decompositions of cusped hyperbolic manifolds obtained by the Epstein–Penner's method", Proceedings of the American Mathematical Society, 129 (8): 2431–2439, doi:10.1090/S0002-9939-00-05829-9, MR 1823928
• Bobenko, Alexander I.; Pinkall, Ulrich; Springborn, Boris A. (2015), "Discrete conformal maps and ideal hyperbolic polyhedra", Geometry & Topology, 19 (4): 2155–2215, doi:10.2140/gt.2015.19.2155, MR 3375525
• Charitos, C. (1996), "Closed geodesics on ideal polyhedra of dimension 2", Rocky Mountain Journal of Mathematics, 26 (2): 507–521, doi:10.1216/rmjm/1181072071, MR 1406493
• Cho, Yunhi; Kim, Hyuk (1999), "On the volume formula for hyperbolic tetrahedra", Discrete & Computational Geometry, 22 (3): 347–366, doi:10.1007/PL00009465, MR 1706606
• Coulson, David; Goodman, Oliver A.; Hodgson, Craig D.; Neumann, Walter D. (2000), "Computing arithmetic invariants of 3-manifolds", Experimental Mathematics, 9 (1): 127–152, doi:10.1080/10586458.2000.10504641, MR 1758805, S2CID 1313215
• Coxeter, H. S. M. (1956), "Regular honeycombs in hyperbolic space", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954, Amsterdam, vol. III, Amsterdam: North-Holland, pp. 155–169, MR 0087114
• Dillencourt, Michael B. (1990), "Toughness and Delaunay triangulations", Discrete & Computational Geometry, 5 (6): 575–601, doi:10.1007/BF02187810, MR 1067787
• Dillencourt, Michael B.; Eppstein, David (2003), "Uninscribable 4-regular polyhedron", Electronic Geometry Models, Model No. 2003.08.001
• Dillencourt, Michael B.; Smith, Warren D. (1995), "A linear-time algorithm for testing the inscribability of trivalent polyhedra", International Journal of Computational Geometry & Applications, 5 (1–2): 21–36, doi:10.1142/S0218195995000039, MR 1331174
• Dillencourt, Michael B.; Smith, Warren D. (1996), "Graph-theoretical conditions for inscribability and Delaunay realizability", Discrete Mathematics, 161 (1–3): 63–77, doi:10.1016/0012-365X(95)00276-3, MR 1420521
• Dupont, Johan L.; Sah, Chih Han (1982), "Scissors congruences. II", Journal of Pure and Applied Algebra, 25 (2): 159–195, doi:10.1016/0022-4049(82)90035-4, MR 0662760
• Epstein, D. B. A.; Penner, R. C. (1988), "Euclidean decompositions of noncompact hyperbolic manifolds", Journal of Differential Geometry, 27 (1): 67–80, doi:10.4310/jdg/1214441650, MR 0918457
• Federico, Pasquale Joseph (1982), Descartes on Polyhedra: A Study of the "De solidorum elementis", Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences, vol. 4, Springer
• Fejes Tóth, L. (1981), "Some Researches Inspired by H. S. M. Coxeter", in Davis, Chandler; Grünbaum, Branko; Sherk, F. A. (eds.), The Geometric Vein: The Coxeter Festschrift, New York: Springer, pp. 271–277, doi:10.1007/978-1-4612-5648-9_18
• Guéritaud, François (2004), "On an elementary proof of Rivin's characterization of convex ideal hyperbolic polyhedra by their dihedral angles", Geometriae Dedicata, 108: 111–124, doi:10.1007/s10711-004-3180-y, MR 2112668, S2CID 122106334
• Hatcher, Allen (1983), "Hyperbolic structures of arithmetic type on some link complements", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 27 (2): 345–355, doi:10.1112/jlms/s2-27.2.345, MR 0692540
• Hodgson, Craig D.; Rivin, Igor; Smith, Warren D. (1992), "A characterization of convex hyperbolic polyhedra and of convex polyhedra inscribed in the sphere", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 27 (2): 246–251, doi:10.1090/S0273-0979-1992-00303-8, MR 1149872
• Leopold, Undine (2014), Vertex-transitive polyhedra in three-space, Doctoral dissertation, Northeastern University, hdl:2047/d20005074
• Nelson, Roice; Segerman, Henry (January 2017), "Visualizing hyperbolic honeycombs", Journal of Mathematics and the Arts, 11 (1): 4–39, arXiv:1511.02851, doi:10.1080/17513472.2016.1263789, S2CID 119164821
• Padrol, Arnau; Ziegler, Günter M. (2016), "Six topics on inscribable polytopes", in Bobenko, Alexander I. (ed.), Advances in Discrete Differential Geometry, Springer Open, pp. 407–419, doi:10.1007/978-3-662-50447-5_13
• Rivin, Igor (1994), "Intrinsic geometry of convex ideal polyhedra in hyperbolic 3-space", Analysis, algebra, and computers in mathematical research (Luleå, 1992), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 156, New York: Dekker, pp. 275–291, MR 1280952
• Rivin, Igor (1996), "A characterization of ideal polyhedra in hyperbolic 3-space", Annals of Mathematics, Second Series, 143 (1): 51–70, doi:10.2307/2118652, JSTOR 2118652, MR 1370757
• Springborn, Boris (2020), "Ideal hyperbolic polyhedra and discrete uniformization", Discrete & Computational Geometry, 64 (1): 63–108, doi:10.1007/s00454-019-00132-8, MR 4110530, S2CID 203035718
• Steiner, Jakob (1832), "Question 77", Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander (in Deutsch), Berlin: G. Fincke, p. 316
• Steinitz, Ernst (1928), "Über isoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1928 (159): 133–143, doi:10.1515/crll.1928.159.133, S2CID 199546274
• Thurston, William P. (1997), Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1, Princeton Mathematical Series, vol. 35, Princeton University Press, Princeton, NJ, ISBN 0-691-08304-5, MR 1435975