सन्निकटन: Difference between revisions

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== विज्ञान ==
== विज्ञान ==
[[वैज्ञानिक प्रयोग|वैज्ञानिक प्रयोगों]] में सन्निकटन स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। एक वैज्ञानिक सिद्धांत की भविष्यवाणियां वास्तविक माप से भिन्न हो सकती हैं। ऐसा इसलिए हो सकता है क्योंकि वास्तविक स्थिति में ऐसे कारक हैं जो सिद्धांत में सम्मलित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, साधारण गणनाओं में वायु प्रतिरोध का प्रभाव सम्मलित नहीं हो सकता है। इन परिस्थितियों में, सिद्धांत वास्तविकता का एक अनुमान है। मापने की तकनीक में सीमाओं के कारण भी अंतर उत्पन्न हो सकता है। इस मामले में, माप वास्तविक मूल्य का एक अनुमान है।
[[वैज्ञानिक प्रयोग|वैज्ञानिक प्रयोगों]] में सन्निकटन स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। एक वैज्ञानिक सिद्धांत की भविष्यवाणियां, वास्तविक माप से भिन्न हो सकती हैं। ऐसा इसलिए हो सकता है क्योंकि वास्तविक स्थिति में ऐसे कारक हैं जो सिद्धांत में सम्मलित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, साधारण गणनाओं में वायु प्रतिरोध का प्रभाव सम्मलित नहीं हो सकता है। इन परिस्थितियों में, सिद्धांत वास्तविकता का एक अनुमान है। मापने की तकनीक में सीमाओं के कारण भी अंतर उत्पन्न हो सकता है। इस स्थिति में, माप वास्तविक मूल्य का एक अनुमान है।


विज्ञान के इतिहास से पता चलता है कि पहले के सिद्धांत और कानून कानूनों के कुछ गहरे सेट के सन्निकटन हो सकते हैं। [[पत्राचार सिद्धांत]] के तहत, एक नए वैज्ञानिक सिद्धांत को उन डोमेन में पुराने, अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांतों के परिणामों को पुन: पेश करना चाहिए जहां पुराने सिद्धांत काम करते हैं।<ref>[https://www.britannica.com/EBchecked/topic/138678/correspondence-principle Encyclopædia Britannica]</ref> पुराना सिद्धांत नए सिद्धांत का एक अनुमान बन जाता है।
विज्ञान के इतिहास से पता चलता है कि पहले के सिद्धांत और कानून, कानूनों के कुछ गहरे समुच्चय के सन्निकटन हो सकते हैं। [[पत्राचार सिद्धांत]] के अंतर्गत, एक नए वैज्ञानिक सिद्धांत को उन डोमेन में पुराने, अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांतों के परिणामों को पुन: प्रस्तुत करना चाहिए जहाँ पुराने सिद्धांत काम करते हैं।<ref>[https://www.britannica.com/EBchecked/topic/138678/correspondence-principle Encyclopædia Britannica]</ref> पुराना सिद्धांत नए सिद्धांत का एक अनुमान बन जाता है।


प्रत्यक्ष विश्लेषण द्वारा हल करने के लिए भौतिकी में कुछ समस्याएं बहुत जटिल हैं, या उपलब्ध विश्लेषणात्मक उपकरणों द्वारा प्रगति को सीमित किया जा सकता है। इस प्रकार, भले ही सटीक प्रतिनिधित्व ज्ञात हो, एक सन्निकटन समस्या की जटिलता को महत्वपूर्ण रूप से कम करते हुए एक पर्याप्त सटीक समाधान प्रदान कर सकता है। भौतिक विज्ञानी प्रायः पृथ्वी के आकार को एक गोले के रूप में अनुमानित करते हैं, भले ही अधिक सटीक प्रतिनिधित्व संभव हो, क्योंकि कई भौतिक विशेषताओं (जैसे, [[गुरुत्वाकर्षण]]) को अन्य आकृतियों की तुलना में एक गोले के लिए गणना करना बहुत आसान है।
प्रत्यक्ष विश्लेषण द्वारा हल करने के लिए भौतिकी में कुछ समस्याएं बहुत जटिल हैं, या उपलब्ध विश्लेषणात्मक उपकरणों द्वारा प्रगति को सीमित किया जा सकता है। इस प्रकार, भले ही सटीक प्रतिनिधित्व ज्ञात हो, एक सन्निकटन समस्या की जटिलता को महत्वपूर्ण रूप से कम करते हुए एक पर्याप्त सटीक समाधान प्रदान कर सकता है। भौतिक विज्ञानी प्रायः पृथ्वी के आकार को एक गोले के रूप में अनुमानित करते हैं, भले ही अधिक सटीक प्रतिनिधित्व संभव हो, क्योंकि अनेक भौतिक विशेषताओं (जैसे, [[गुरुत्वाकर्षण]]) को अन्य आकृतियों की तुलना में एक गोले के लिए गणना करना बहुत आसान है।


एक तारे की परिक्रमा करने वाले कई ग्रहों की गति का विश्लेषण करने के लिए भी सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। यह एक दूसरे पर ग्रहों के गुरुत्वाकर्षण प्रभावों की जटिल अंतःक्रियाओं के कारण अत्यंत कठिन है।<ref>[http://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-three-body-problem The three body problem]</ref> पुनरावृत्तियों के प्रदर्शन से एक अनुमानित समाधान प्रभावित होता है। पहले पुनरावृत्ति में, ग्रहों के गुरुत्वीय संबंधों को अनदेखा कर दिया जाता है, और तारे को स्थिर मान लिया जाता है। यदि एक अधिक सटीक समाधान वांछित है, तो पहले पुनरावृत्ति में पहचाने गए ग्रहों की स्थिति और गति का उपयोग करते हुए एक और पुनरावृत्ति की जाती है, लेकिन प्रत्येक ग्रह से दूसरों पर पहले-क्रम के गुरुत्वाकर्षण की बातचीत को जोड़ा जाता है। संतोषजनक ढंग से सटीक समाधान प्राप्त होने तक इस प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है।
एक तारे की परिक्रमा करने वाले अनेक ग्रहों की गति का विश्लेषण करने के लिए भी सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। यह एक दूसरे पर ग्रहों के गुरुत्वाकर्षण प्रभावों की जटिल अंतःक्रियाओं के कारण अत्यंत कठिन है।<ref>[http://plus.maths.org/content/mathematical-mysteries-three-body-problem The three body problem]</ref> पुनरावृत्तियों के प्रदर्शन से एक अनुमानित समाधान प्रभावित होता है। पहले पुनरावृत्ति में, ग्रहों के गुरुत्वीय संबंधों को अनदेखा कर दिया जाता है, और तारे को स्थिर मान लिया जाता है। यदि एक अधिक सटीक समाधान वांछित है, तो पहले पुनरावृत्ति में पहचाने गए ग्रहों की स्थिति और गति का उपयोग करते हुए एक और पुनरावृत्ति की जाती है, लेकिन प्रत्येक ग्रह से दूसरों पर पहले-क्रम के गुरुत्वाकर्षण की बातचीत को जोड़ा जाता है। संतोषजनक ढंग से सटीक समाधान प्राप्त होने तक इस प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है।


त्रुटियों को ठीक करने के लिए [[गड़बड़ी सिद्धांत]] का उपयोग अधिक सटीक समाधान प्राप्त कर सकता है। ग्रहों और तारों की गतियों के अनुकरण से भी अधिक सटीक समाधान प्राप्त होते हैं।
त्रुटियों को ठीक करने के लिए [[गड़बड़ी सिद्धांत|अव्यवस्था]] का उपयोग अधिक सटीक समाधान प्राप्त कर सकता है। ग्रहों और तारों की गतियों के अनुकरण से भी अधिक सटीक समाधान प्राप्त होते हैं।


विज्ञान के दर्शन के सबसे सामान्य संस्करण स्वीकार करते हैं कि अनुभवजन्य [[माप]] हमेशा सन्निकटन होते हैं - वे पूरी तरह से प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं कि क्या मापा जा रहा है।
विज्ञान के दर्शन के सबसे सामान्य संस्करण स्वीकार करते हैं कि अनुभवजन्य [[माप]] हमेशा सन्निकटन होते हैं - वे पूरी तरह से प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं कि क्या मापा जा रहा है।

Revision as of 17:50, 13 December 2022

For ध्वनि परिवर्तन, see शिथिलीकरण.

एक सन्निकटन वह है जो अभिप्रायपूर्वक किसी दूसरी चीज़ के लिए समान है लेकिन उस चीज़ के बिल्कुल समान नहीं है।

शब्द व्युत्पत्ति और उपयोग

अप्प्रोक्सिमेसन शब्द लैटिन भाषा के शब्द अप्प्रोक्सिमेटस से लिया गया है, प्रॉक्सिमस से जिसका अर्थ है बहुत निकट और उपसर्ग अड- (अड- इससे पहले कि P, AP बन जाता है- अंतर्लयन द्वारा ) जिसका अर्थ है।[1] अनुमानित, लगभग और सन्निकटन जैसे शब्द विशेष रूप से तकनीकी या वैज्ञानिक संदर्भों में उपयोग किए जाते हैं। बोल-चाल की अंग्रेजी में, अधिकांशतः या आसपास जैसे शब्दों का समान अर्थ के साथ उपयोग किया जाता है।[2] यह प्रायः संक्षिप्त रूप में लगभग पाया जाता है।

शब्द को विभिन्न गुणों (जैसे, मूल्य, मात्रा, छवि, विवरण) पर लागू किया जा सकता है जो उसके निकटतम हैं, लेकिन वह बिल्कुल सही नहीं हैं; एक जैसी, लेकिन बिल्कुल एक समान नहीं (उदाहरण के लिए, अनुमानित समय 10 बजे था)।

यद्यपि सन्निकटन को प्रायः संख्याओं पर लागू किया जाता है, इसे अधिकांशतः गणितीय फलन, आकृतियों और भौतिक नियमों जैसी अनेक चीज़ों पर भी लागू किया जाता है।

विज्ञान में, सही मॉडल का उपयोग करना मुश्किल होने पर सन्निकटन एक सरल प्रक्रिया या मॉडल का उपयोग करने का उल्लेख कर सकता है। गणना को आसान बनाने के लिए अनुमानित मॉडल का उपयोग किया जाता है। यदि अधूरी जानकारी सटीक अभ्यावेदन के उपयोग को रोकती है तो सन्निकटन का भी उपयोग किया जा सकता है।

उपयोग किए गए सन्निकटन का प्रकार उपलब्ध जानकारी, सन्निकटन के क्रम, इस डेटा के प्रति समस्या की संवेदनशीलता और सन्निकटन द्वारा प्राप्त की जा सकने वाली बचत (सामान्यतः समय और प्रयास में) पर निर्भर करता है।

गणित

सन्निकटन सिद्धांत गणित की एक शाखा है और कार्यात्मक विश्लेषण का एक मात्रात्मक हिस्सा है। डायोफैंटाइन सन्निकटन परिमेय संख्याओं द्वारा वास्तविक संख्याओं के सन्निकटन से संबंधित है।

सन्निकटन सामान्यतः तब होता है जब उसका सही रूप या सटीक संख्यात्मक संख्या अज्ञात होती है या उसे प्राप्त करना मुश्किल होता है। चूंकि कुछ ज्ञात रूप सम्मलित हो सकते हैं और वास्तविक रूप का प्रतिनिधित्व करने में सक्षम हो सकते हैं ताकि कोई महत्वपूर्ण विचलन न पाया जा सके। उदाहरण के लिए, 1.5 × 106 का अर्थ है कि सन्निकटन 1,500,000 को निकटतम सौ हजार तक मापा गया है (वास्तविक मूल्य कहीं 1,450,000 और 1,550,000 के बीच है), यह संकेतन 1.500 × 106 के विपरीत है जो 1,500,000 को निकटतम हजार तक मापता है (इसलिए 1,499,500 और 1,500,500 के बीच कहीं सही मान देता है)।

इसका उपयोग तब भी किया जाता है जब कोई संख्या, अपरिमेय संख्या होती है, जैसे कि संख्या π, जिसे प्रायः 3.14159 तक छोटा किया जाता है, या जैसे 1.414 को √2 का छोटा रूप दिया जाता है।

संख्यात्मक सन्निकटन कभी-कभी महत्वपूर्ण अंकों की एक छोटी संख्या का उपयोग करने के परिणामस्वरूप होता है। गणना में राउंड-ऑफ़ त्रुटि और अन्य सन्निकटन त्रुटियाँ सम्मलित होने की संभावना है। लघुगणक, स्लाइड नियम और कैलकुलेटर सरल गणनाओं को छोड़कर सभी के अनुमानित उत्तर देते हैं। कंप्यूटर गणना के परिणाम सामान्यतः एक सीमित संख्या में महत्वपूर्ण अंकों में व्यक्त किए जाते हैं, चूंकि उन्हें अधिक सटीक परिणाम देने के लिए प्रोग्राम किया जा सकता है।[3] सन्निकटन तब हो सकता है जब दशमलव संख्या को बाइनरी अंकों की सीमित संख्या में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

कार्यों के सन्निकटन से संबंधित एक फलन का अनंतस्पर्शी विश्लेषण मूल्य है, अर्थात फलन के एक या अधिक पैरामीटर के रूप में मूल्य स्वेच्छतः बड़ा हो जाता है। उदाहरण के लिए, योग (k/2)+(k/4)+(k/8)+...(k/2^n) असम्बद्ध रूप से k के बराबर है। पूरे गणित में कोई सुसंगत संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है और कुछ लेखांश ≈ का उपयोग लगभग बराबर और ~ का अर्थ असमान रूप से बराबर करने के लिए करते हैं जबकि अन्य लेखांश इसके विपरीत प्रतीकों का उपयोग करते हैं।

मुद्रण कला

 ≅ ≈  
Approximately equal to
Almost equal to
In UnicodeU+2245 ≅ APPROXIMATELY EQUAL TO (&cong;, &TildeFullEqual;)

U+2248 ≈ ALMOST EQUAL TO (&ap;, &approx;, &asymp;, &thickapprox;, &thkap;, &TildeTilde;)
Different from
Different fromU+2242 ≂ MINUS TILDE
Related
See alsoU+2249 ≉ NOT ALMOST EQUAL TO
U+003D = EQUALS SIGN
U+2243 ≃ ASYMPTOTICALLY EQUAL TO
See also: गणितीय प्रतीकों की शब्दावली § समानता, तुल्यता और समरूपता

लगभग बराबर चिह्न " ≈" , ब्रिटिश गणितज्ञ अल्फ्रेड ग्रीनहिल द्वारा प्रस्तुत किया गया था ।[4]


LaTeX प्रतीक

LaTeX मार्कअप में उपयोग किए गए प्रतीक।

  • (\approx), सामान्यतः संख्याओं के बीच सन्निकटन को दर्शाने के लिए, जैसे .
  • (\not\approx), सामान्यतः यह इंगित करने के लिए कि संख्याएं लगभग बराबर नहीं हैं (1 2).
  • (\simeq), सामान्यतः कार्यों के बीच अनंतस्पर्शी तुल्यता को इंगित करने के लिए, जैसे . लिखना व्यापक उपयोग के बाद भी इस परिभाषा के अनुसार गलत होगा।
  • (\sim), सामान्यतः फलनो के बीच आनुपातिकता को इंगित करने के लिए, वही ऊपर की रेखा होने पर होगा।
  • (\cong), सामान्यतः आंकड़ों के बीच समानता को इंगित करने के लिए, जैसे .
  • (\eqsim), सामान्यतः यह इंगित करने के लिए कि दो मात्राएं स्थिरांक के बराबर हैं।
  • (\lessapprox) तथा (\gtrapprox), सामान्यतः यह इंगित करने के लिए कि या तो असमानता बनी हुई है या दोनों मान लगभग बराबर हैं।

यूनिकोड

See also: यूनिकोड गणितीय संचालक

लगभग बराबर वस्तुओं को इंगित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीक लहरदार या बिंदीदार बराबर चिह्न होते हैं।[5]

  • U+223C ∼ TILDE OPERATOR: जो कभी-कभी आनुपातिकता को इंगित करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है
  • U+223D ∽ REVERSED TILDE: जो कभी-कभी आनुपातिकता को इंगित करने के लिए भी प्रयोग किया जाता है
  • U+2245 ≅ APPROXIMATELY EQUAL TO: ≈ और = का एक अन्य संयोजन, जिसका उपयोग तुल्याकारिता या सर्वांगसमता संबंध को दर्शाने के लिए किया जाता है।
  • U+2246 ≆ APPROXIMATELY BUT NOT ACTUALLY EQUAL TO
  • U+2247 ≇ NEITHER APPROXIMATELY NOR ACTUALLY EQUAL TO
  • U+2248 ≈ ALMOST EQUAL TO
  • U+2249 ≉ NOT ALMOST EQUAL TO
  • U+224A ≊ ALMOST EQUAL OR EQUAL TO: अभी तक ≈ और = का एक और संयोजन, तुल्यता या अनुमानित तुल्यता को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है
  • U+2250 ≐ APPROACHES THE LIMIT: जिसका उपयोग एक सीमा तक एक चर, y के दृष्टिकोण को दर्शाने के लिए किया जा सकता है। सामान्य सिंटैक्स की तरह [6]
  • U+2252 ≒ APPROXIMATELY EQUAL TO OR THE IMAGE OF: जिसका प्रयोग ≈ या ≃ की तरह जापानी भाषा, ताइवानी मंदारिन और कोरियाई भाषा में किया जाता है
  • U+2253 ≓ IMAGE OF OR APPROXIMATELY EQUAL TO: U+2252 ≒ का उलटा रूपांतर
  • U+225F ≟ QUESTIONED EQUAL TO
  • U+2A85 ⪅ LESS-THAN OR APPROXIMATE
  • U+2A86 ⪆ GREATER-THAN OR APPROXIMATE


विज्ञान

वैज्ञानिक प्रयोगों में सन्निकटन स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। एक वैज्ञानिक सिद्धांत की भविष्यवाणियां, वास्तविक माप से भिन्न हो सकती हैं। ऐसा इसलिए हो सकता है क्योंकि वास्तविक स्थिति में ऐसे कारक हैं जो सिद्धांत में सम्मलित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, साधारण गणनाओं में वायु प्रतिरोध का प्रभाव सम्मलित नहीं हो सकता है। इन परिस्थितियों में, सिद्धांत वास्तविकता का एक अनुमान है। मापने की तकनीक में सीमाओं के कारण भी अंतर उत्पन्न हो सकता है। इस स्थिति में, माप वास्तविक मूल्य का एक अनुमान है।

विज्ञान के इतिहास से पता चलता है कि पहले के सिद्धांत और कानून, कानूनों के कुछ गहरे समुच्चय के सन्निकटन हो सकते हैं। पत्राचार सिद्धांत के अंतर्गत, एक नए वैज्ञानिक सिद्धांत को उन डोमेन में पुराने, अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांतों के परिणामों को पुन: प्रस्तुत करना चाहिए जहाँ पुराने सिद्धांत काम करते हैं।[7] पुराना सिद्धांत नए सिद्धांत का एक अनुमान बन जाता है।

प्रत्यक्ष विश्लेषण द्वारा हल करने के लिए भौतिकी में कुछ समस्याएं बहुत जटिल हैं, या उपलब्ध विश्लेषणात्मक उपकरणों द्वारा प्रगति को सीमित किया जा सकता है। इस प्रकार, भले ही सटीक प्रतिनिधित्व ज्ञात हो, एक सन्निकटन समस्या की जटिलता को महत्वपूर्ण रूप से कम करते हुए एक पर्याप्त सटीक समाधान प्रदान कर सकता है। भौतिक विज्ञानी प्रायः पृथ्वी के आकार को एक गोले के रूप में अनुमानित करते हैं, भले ही अधिक सटीक प्रतिनिधित्व संभव हो, क्योंकि अनेक भौतिक विशेषताओं (जैसे, गुरुत्वाकर्षण) को अन्य आकृतियों की तुलना में एक गोले के लिए गणना करना बहुत आसान है।

एक तारे की परिक्रमा करने वाले अनेक ग्रहों की गति का विश्लेषण करने के लिए भी सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। यह एक दूसरे पर ग्रहों के गुरुत्वाकर्षण प्रभावों की जटिल अंतःक्रियाओं के कारण अत्यंत कठिन है।[8] पुनरावृत्तियों के प्रदर्शन से एक अनुमानित समाधान प्रभावित होता है। पहले पुनरावृत्ति में, ग्रहों के गुरुत्वीय संबंधों को अनदेखा कर दिया जाता है, और तारे को स्थिर मान लिया जाता है। यदि एक अधिक सटीक समाधान वांछित है, तो पहले पुनरावृत्ति में पहचाने गए ग्रहों की स्थिति और गति का उपयोग करते हुए एक और पुनरावृत्ति की जाती है, लेकिन प्रत्येक ग्रह से दूसरों पर पहले-क्रम के गुरुत्वाकर्षण की बातचीत को जोड़ा जाता है। संतोषजनक ढंग से सटीक समाधान प्राप्त होने तक इस प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है।

त्रुटियों को ठीक करने के लिए अव्यवस्था का उपयोग अधिक सटीक समाधान प्राप्त कर सकता है। ग्रहों और तारों की गतियों के अनुकरण से भी अधिक सटीक समाधान प्राप्त होते हैं।

विज्ञान के दर्शन के सबसे सामान्य संस्करण स्वीकार करते हैं कि अनुभवजन्य माप हमेशा सन्निकटन होते हैं - वे पूरी तरह से प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं कि क्या मापा जा रहा है।

कानून

यूरोपीय संघ (EU) के अंतर्गत, सन्निकटन एक ऐसी प्रक्रिया को संदर्भित करता है जिसके माध्यम से प्रत्येक देश में सम्मलिता कानूनी ढांचे में भिन्नता के बावजूद यूरोपीय संघ के राष्ट्रीय कानूनों के सदस्य राज्य के भीतर यूरोपीय संघ के कानून को लागू और सम्मलित किया जाता है। EU परिग्रहण के भाग के रूप में सन्निकटन आवश्यक है | नए सदस्य राज्यों के लिए पूर्व-परिग्रहण प्रक्रिया,[9] और एक (यूरोपीय संघ) निर्देशक द्वारा आवश्यक होने पर एक सतत प्रक्रिया के रूप में। सन्निकटन एक प्रमुख शब्द है जो सामान्यतः एक निर्देश के शीर्षक के भीतर नियोजित होता है, उदाहरण के लिए 16 दिसंबर 2015 का ट्रेड मार्क निर्देश व्यापार चिह्नों से संबंधित सदस्य राज्यों के कानूनों का अनुमान लगाता है।[10] यूरोपीय आयोग यूरोपीय संघ में सदस्यता के एक अद्वितीय दायित्व के रूप में कानून के सन्निकटन का वर्णन करता है।[9]

यह भी देखें


संदर्भ

  1. ↑ The Concise Oxford Dictionary, Eighth edition 1990, ISBN 0-19-861243-5
  2. ↑ Longman Dictionary of Contemporary English, Pearson Education Ltd 2009, ISBN 978 1 4082 1532 6
  3. ↑ "संख्यात्मक संगणना गाइड". Archived from the original on 2016-04-06. Retrieved 2013-06-16.
  4. ↑ "लगभग बराबर - वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड से". Wolfram MathWorld. Retrieved 2021-11-22.
  5. ↑ "गणितीय संचालक - यूनिकोड" (PDF). Retrieved 2013-04-20.
  6. ↑ डी एंड डी मानक तेल और गैस संक्षेपक. PennWell. 2006. p. 366. ISBN 9781593701086. Retrieved May 21, 2020. ≐ एक सीमा तक पहुँच जाता है
  7. ↑ Encyclopædia Britannica
  8. ↑ The three body problem
  9. ↑ 9.0 9.1 European Commission, Guide to the Approximation of European Union Environmental Legislation, last updated 2 August 2019, accessed 15 November 2022
  10. ↑ EUR-Lex, Directive (EU) 2015/2436 of the European Parliament and of the Council of 16 December 2015 to approximate the laws of the Member States relating to trade marks (recast) (Text with EEA relevance), published 23 December 2015, accessed 15 November 2022

बाहरी संबंध

Look up approximation in Wiktionary, the free dictionary.
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