अभिविन्यास (ज्यामिति): Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
| (9 intermediate revisions by 4 users not shown) | |||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{about|किसी स्थान में किसी वस्तु या आकृति | {{about|यह लेख किसी स्थान में किसी वस्तु या आकृति के अभिविन्यास या दृष्टिकोण के बारे में है।|किसी स्थान के उन्मुखीकरण के लिए,| | ||
उन्मुखता}} | उन्मुखता देखे }} | ||
{{Short description|Notion of pointing in a direction}}[[Image:Change of axes.svg|thumb|right|एक दृढ़ पिंड का बदलता अभिविन्यास उसी प्रकार है जैसे घूर्णन (गणित) इससे जुड़े संदर्भ के एक | {{Short description|Notion of pointing in a direction}}[[Image:Change of axes.svg|thumb|right|एक दृढ़ पिंड का बदलता अभिविन्यास उसी प्रकार है जैसे घूर्णन (गणित) इससे जुड़े संदर्भ के एक संरचना के अक्षों को घुमाने के समान है।।]][[ ज्यामिति ]] में, किसी वस्तु का अभिविन्यास, कोणीय स्थिति, अभिवृत्ति, व्यवहार या दिशा जैसे कि एक[[ रेखा (ज्यामिति) | रेखा (ज्यामिति)]], समतल या ठोस पिंड जैसी वस्तु का विवरण इस बात का भाग है कि इसे [[ यूक्लिडियन स्पेस ]] में कैसे रखा जाता है जिस पर यह रहता है <ref name="Moores"> | ||
{{cite book |title=Structural Geology |page=11 |author1=Robert J. Twiss |author2=Eldridge M. Moores |chapter-url=https://books.google.com/books?id=14fn03iJ2r8C&q=attitude+plane+orientation&pg=PA11 |chapter=§2.1 The orientation of structures |quote=...the attitude of a plane or a line — that is, its orientation in space — is fundamental to the description of structures. |isbn=0-7167-2252-6 |year=1992 |edition=2nd |publisher=Macmillan}}</ref> | {{cite book |title=Structural Geology |page=11 |author1=Robert J. Twiss |author2=Eldridge M. Moores |chapter-url=https://books.google.com/books?id=14fn03iJ2r8C&q=attitude+plane+orientation&pg=PA11 |chapter=§2.1 The orientation of structures |quote=...the attitude of a plane or a line — that is, its orientation in space — is fundamental to the description of structures. |isbn=0-7167-2252-6 |year=1992 |edition=2nd |publisher=Macmillan}}</ref> | ||
यह उस काल्पनिक घुमाव को संदर्भित करता है जो किसी वस्तु को संदर्भ स्थान से उसके वर्तमान स्थान पर ले जाने के लिए | अधिक विशेष रूप से, यह उस काल्पनिक घुमाव को संदर्भित करता है जो किसी वस्तु को संदर्भ स्थान से उसके वर्तमान स्थान पर ले जाने के लिए आवश्यक है। लेकिन वर्तमान स्थान तक पहुंचने के लिए [[ रोटेशन |घुमाव]] पर्याप्त नहीं हो सकता है। इस लिये एक अवास्तविक [[ अनुवाद (ज्यामिति) ]] जोड़ना आवश्यक हो जाता है, जिसे वस्तु का स्थान (या स्थिति, या रैखिक स्थिति) कहा जाता है। वस्तु का अभिविन्यास और स्थान एक साथ पूरी तरह से वर्णन करते हैं कि वस्तु को अंतरिक्ष में कैसे रखा गया है। उपर्युक्त काल्पनिक घुमाव और अनुवाद को किसी भी क्रम में घटित होने के बारे में सोचा जा सकता है, क्योंकि किसी वस्तु का अभिविन्यास अनुवाद करते समय नहीं बदलता है, और जब यह घुर्णन करता है तो इसका स्थान भी नहीं बदलता है। | ||
यूलर के घुमाव प्रमेय से पता चलता है कि तीन आयामों में किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर एक ही घुमाव के साथ किसी भी अभिविन्यास तक पहुंचा जा सकता है। यह अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व का | यूलर के घुमाव प्रमेय से पता चलता है कि तीन आयामों में किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर एक ही घुमाव के साथ किसी भी अभिविन्यास तक पहुंचा जा सकता है। यह अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व का प्रयोग करके अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने का एक सामान्य विधि देता है। अन्य व्यापक रूप से प्रयोग की जाने वाली विधियों में [[ चतुष्कोण और स्थानिक रोटेशन |चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव]], [[ ज्यामितीय बीजगणित | ज्यामितीय बीजगणित]], [[ यूलर कोण ]] या [[ रोटेशन मैट्रिक्स | घुमाव मैट्रिक्स]] सम्मालित हैं। क्रिस्टल विज्ञान में [[ मिलर सूचकांक | मिलर सूचकांक]], भूविज्ञान में [[ हड़ताल और डुबकी | नतिलंब और गहराई]] और नक्शे और संकेतों पर [[ ग्रेड (ढलान) ]]अधिक विशेषज्ञ प्रयोगों में सम्मालित हैं। | ||
[[ इकाई वेक्टर | | [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] का प्रयोग वस्तु के [[ सामान्य वेक्टर | सामान्य सदिश]] अभिविन्यास या दो बिंदुओं के बीच [[ सापेक्ष दिशा (ज्यामिति) | सापेक्ष दिशा (ज्यामिति)]] का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जा सकता है। | ||
संरचना के सापेक्ष एक संदर्भ अभिविन्यास दिया जाता है, जिसे सामान्यतः कार्तीय निर्देशांक प्रणाली द्वारा दर्शाया जाता है। | |||
==गणितीय निरूपण == | ==गणितीय निरूपण == | ||
=== तीन आयाम === | === तीन आयाम === | ||
सामान्यतः एक | सामान्यतः एक ठोस पिंड की स्थिति और अभिविन्यास को मुख्य संदर्भ संरचना के सापेक्ष स्थिति और अभिविन्यास के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो पिंड के सापेक्ष तय होता है, और इसलिए इसके साथ अनुवाद करता है और इसके साथ घुर्णन (पिंड का स्थानीय संदर्भ संरचना, या स्थानीय समन्वय प्रणाली) भी करता है। इसके स्थानीय संरचना के अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए कम से कम तीन स्वतंत्र मानो की आवश्यकता है। वस्तु पर एक बिंदु की स्थिति का वर्णन तीन अन्य मान करते हैं। | ||
घूर्णन अक्ष पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर पिंड के सभी बिंदु घूर्णन के दौरान अपनी स्थिति बदलते हैं। यदि | घूर्णन अक्ष पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर पिंड के सभी बिंदु घूर्णन के दौरान अपनी स्थिति बदलते हैं। यदि ठोस पिंड में [[ घूर्णी समरूपता | घुर्णन समान]] है, तो इसके सभी अभिविन्यास अलग-अलग नहीं होते हैं, इसके अतिरिक्त कि एक अभिविन्यास का अवलोकन एक ज्ञात प्रारंभिक अभिविन्यास से समय के साथ विकसित होता है। उदाहरण के लिए, एक रेखा (ज्यामिति), [[ रेखा खंड |रेखा खंड]], या [[ वेक्टर (ज्यामितीय) | सदिश (ज्यामितीय)]] के स्थान में अभिविन्यास केवल दो मानों के साथ निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए दो [[ दिशा कोसाइन | दिशा कोसाइन]] । एक अन्य उदाहरण पृथ्वी पर एक बिंदु की स्थिति है, जिसे हमेशा पृथ्वी के केंद्र से जोड़ने वाली रेखा के अभिविन्यास का प्रयोग करके वर्णित किया जाता है, इसे देशांतर और अक्षांश के दो कोणों का प्रयोग करके मापा जाता है। इसी तरह, एक समतल (ज्यामिति) के अभिविन्यास को दो मानों के साथ भी वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए उस समतल के लिए सामान्य रेखा के अभिविन्यास को निर्दिष्ट करके, या नतिलंब और गहराई कोणों का प्रयोग करके। | ||
तीन आयामों में दृढ़ निकायों और समतल के अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय विधियों के बारे में और विवरण निम्न अनुभागों में दिए गए हैं। | तीन आयामों में दृढ़ निकायों और समतल के अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय विधियों के बारे में और विवरण निम्न अनुभागों में दिए गए हैं। | ||
=== [[ दो आयाम ]] === | === [[ दो आयाम ]] === | ||
दो आयामों में किसी भी वस्तु (रेखा, सदिश, या [[ समतल आकृति ]]) का अभिविन्यास एक ही मान द्वारा दिया जाता है: वह कोण | दो आयामों में किसी भी वस्तु (रेखा, सदिश, या [[ समतल आकृति ]]) का अभिविन्यास एक ही मान द्वारा दिया जाता है: वह जिस कोण से घुर्णन कर रहा है। स्वाधीनता की केवल एक कोटि है और केवल एक निश्चित बिंदु है जिसमें घुर्णन होती है। | ||
== तीन आयामों में | == तीन आयामों में ठोस पिंड == | ||
{{Main| | {{Main|तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएं}} | ||
तीन आयामों में एक | तीन आयामों में एक ठोस पिंड के झुकाव का वर्णन करने के लिए कई विधि विकसित की गई हैं। उन्हें निम्नलिखित अनुभागों में संक्षेपित किया गया है। | ||
=== यूलर कोण === | === यूलर कोण === | ||
{{Main| | {{Main|यूलर कोण}} | ||
[[File:Eulerangles.svg|right|thumb|150px|यूलर कोण, एक अभिविन्यास का वर्णन करने के संभावित तरीकों में से एक]]अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने का पहला प्रयास [[ लियोनहार्ड यूलर ]] को दिया गया है। उन्होंने तीन संदर्भ | [[File:Eulerangles.svg|right|thumb|150px|यूलर कोण, एक अभिविन्यास का वर्णन करने के संभावित तरीकों में से एक]]अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने का पहला प्रयास [[ लियोनहार्ड यूलर ]] को दिया गया है। उन्होंने तीन संदर्भ संरचना की कल्पना की और अनुभव किया कि एक निश्चित संदर्भ संरचना के साथ शुरू करके और तीन घुमावों का प्रदर्शन करके जो एक को दूसरे के चारों ओर घुम सकते हैं, वह अंतरिक्ष में कोई अन्य संदर्भ संरचना प्राप्त कर सकते हैं (ऊर्ध्वाधर अक्ष को ठीक करने के लिए दो घुमावों का प्रयोग करना और अन्य दो अक्षों को ठीक करने के लिए दूसरा घुमाव का प्रयोग करना)। इन तीन घुमावों के मानो को यूलर कोण कहा जाता है। | ||
==== टैट-ब्रायन | ==== टैट-ब्रायन कोण ==== | ||
{{Main| | {{Main|यूलर कोण # टैट-ब्रायन कोण}} | ||
[[File:taitbrianzyx.svg|thumb|left|150px|टैट-ब्रायन एंगल्स। अभिविन्यास का वर्णन करने का दूसरा | [[File:taitbrianzyx.svg|thumb|left|150px|टैट-ब्रायन एंगल्स। अभिविन्यास का वर्णन करने का दूसरा विधि]]ये तीन कोण हैं, जिन्हें यव, पिच और रोल, नेविगेशन कोण और कार्डन कोण भी कहा जाता है। गणितीय रूप से वे यूलर कोणों के बारह संभावित समूह के अंदर छह संभावनाओं के एक सेट का गठन करते हैं, जो एक हवाई जहाज जैसे वाहन के उन्मुखीकरण का वर्णन करने के लिए सबसे अच्छा प्रयोग किया जाता है। हवाईअंतरिक्ष इंजीनियरिंग में उन्हें सामान्यतःयूलर कोण कहा जाता है। | ||
[[File:Euler AxisAngle.png|thumb|right|150px|एक यूलर अक्ष और कोण द्वारा दर्शाया गया घूर्णन।]] | [[File:Euler AxisAngle.png|thumb|right|150px|एक यूलर अक्ष और कोण द्वारा दर्शाया गया घूर्णन।]] | ||
=== ओरिएंटेशन वेक्टर {{anchor|Euler vector|Euler orientation vector}}=== | === ओरिएंटेशन वेक्टर {{anchor|Euler vector|Euler orientation vector}}=== | ||
{{Main| | {{Main|अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व}} | ||
यूलर ने यह भी | यूलर ने यह भी अनुभव किया कि दो घुमावों की संरचना एक अलग निश्चित अक्ष (यूलर के घुमाव प्रमेय) के घुमाव के बराबर है। इसलिए, पूर्व के तीन कोणों की संरचना केवल एक घूर्णन के बराबर होनी चाहिए, जिसका अक्ष मैट्रिसेस विकसित होने तक गणना करने के लिए जटिल था। | ||
इस तथ्य के आधार पर उन्होंने घुमाव अक्ष पर एक वेक्टर और कोण के मान के बराबर मॉड्यूल के साथ किसी भी घुमाव का वर्णन करने के लिए एक सदिश | इस तथ्य के आधार पर उन्होंने घुमाव अक्ष पर एक वेक्टर और कोण के मान के बराबर मॉड्यूल के साथ किसी भी घुमाव का वर्णन करने के लिए एक सदिश विधि पेश किया। इसलिए, किसी भी अभिविन्यास को एक घुमाव सदिश (जिसे यूलर सदिश भी कहा जाता है) द्वारा भी दर्शाया जा सकता है जो इससे संदर्भित संरचना से ले जाता है। जब एक अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तो घुमाव सदिश को समान्यतः अभिविन्यास सदिश या अभिवृत्ति वेक्टर कहा जाता है। | ||
एक समान विधि, जिसे अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व कहा जाता है, घुमाव अक्ष के साथ संरेखित मात्रा सदिश का | एक समान विधि, जिसे अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व कहा जाता है, घुमाव अक्ष के साथ संरेखित मात्रा सदिश का प्रयोग करके घुमाव या अभिविन्यास का वर्णन करती है, और कोण को दर्शाने के लिए एक अलग मान (चित्र देखें) है। | ||
=== अभिविन्यास मैट्रिक्स === | === अभिविन्यास मैट्रिक्स === | ||
{{Main| | {{Main|घुर्णन आव्यूह}} | ||
आव्यूहों की | आव्यूहों की प्रारंभ के साथ, यूलर प्रमेयों को फिर से लिखा गया। घुमाव को [[ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स | ऑर्थोगोनल आव्यूह]] द्वारा वर्णित किया गया था जिसे घुमाव आव्यूहों या दिशा कोसाइन आव्यूहों कहा जाता है। जब किसी अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तो घुमाव आव्यूहों को समान्यतः पर अभिविन्यास आव्यूह या अभिवृत्ति आव्यूह कहा जाता है। | ||
उपर्युक्त यूलर सदिश एक घुमाव आव्यूह का [[ आइजन्वेक्टर | आइजन्सदिश]] है (एक घुमाव आव्यूहों का एक अद्वितीय वास्तविक [[ आइजन्वेक्टर |आइज]]मान है)। | उपर्युक्त यूलर सदिश एक घुमाव आव्यूह का [[ आइजन्वेक्टर | आइजन्सदिश]] है (एक घुमाव आव्यूहों का एक अद्वितीय वास्तविक [[ आइजन्वेक्टर |आइज]]मान है)। | ||
दो घुमाव आव्यूह का उत्पाद घुमाव की संरचना है। इसलिए, पहले की तरह, जिस | दो घुमाव आव्यूह का उत्पाद घुमाव की संरचना है। इसलिए, पहले की तरह, जिस संरचना का हम वर्णन करना चाहते हैं, उसे प्राप्त करने के लिए प्रारंभिक फ्रेम से घुमाव के रूप में अभिविन्यास दिया जा सकता है। | ||
n-आयामी स्पेस में गैर-सममिति वस्तु का [[ विन्यास स्थान (गणित) | विन्यास स्थान (गणित)]] गणित) SO(n) × 'R'<sup>एन</sup> [ | n-आयामी स्पेस में गैर-सममिति वस्तु का [[ विन्यास स्थान (गणित) | विन्यास स्थान (गणित)]] गणित) SO(n) × 'R'<sup>एन</sup> [सांस्थिति गुणन × यूक्लिडियन स्पेस|] ऑर्थोगोनल समूह है। . किसी वस्तु के [[ स्पर्शरेखा स्थान | स्पर्शरेखा स्थान]] के आधार को जोड़कर अभिविन्यास की कल्पना की जा सकती है। जिस दिशा में प्रत्येक सदिश बिंदु अपना अभिविन्यास निर्धारित करता है। | ||
=== अभिविन्यास चतुष्कोण === | === अभिविन्यास चतुष्कोण === | ||
{{Main| | {{Main|चतुर्भुज और स्थानिक घुर्णन}} | ||
घुमावों का वर्णन करने का एक अन्य | घुमावों का वर्णन करने का एक अन्य विधि क्वाटरनियंस और स्थानिक रोटेशन का प्रयोग कर रहा है, जिसे वर्सर्स भी कहा जाता है। वे रोटेशन मेट्रिसेस और घुमाव सदिश के बराबर हैं। घुमाव सदिश के संबंध में, उन्हें अधिक आसानी से मेट्रिसेस में और से परिवर्तित किया जा सकता है। जब अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तो घुमाव चतुष्कोण को सामान्यतःअभिविन्यास चतुष्कोण या अभिवृत्ति चतुष्कोण कहा जाता है। | ||
== तीन आयामों में समलत == | == तीन आयामों में समलत == | ||
=== मिलर सूचकांक === | === मिलर सूचकांक === | ||
{{Main| | {{Main|मिलर सूचकांक}} | ||
[[File:Miller Indices Cubes.svg|thumb|150px|घनाब क्रिस्टल में विभिन्न मिलर सूचकांक वाले समतल]]एक जालीदार तल का | [[File:Miller Indices Cubes.svg|thumb|150px|घनाब क्रिस्टल में विभिन्न मिलर सूचकांक वाले समतल]]एक जालीदार तल का अभिवृत्ति समतल के लिए सामान्य रेखा का अभिविन्यास है,<ref name=Granville> | ||
{{cite book |author=William Anthony Granville |title=Elements of the Differential and Integral Calculus |page=[https://archive.org/details/elementsdiffere02goog/page/n293 275] |url=https://archive.org/details/elementsdiffere02goog |chapter=§178 Normal line to a surface |publisher=Ginn & Company |year=1904}} | {{cite book |author=William Anthony Granville |title=Elements of the Differential and Integral Calculus |page=[https://archive.org/details/elementsdiffere02goog/page/n293 275] |url=https://archive.org/details/elementsdiffere02goog |chapter=§178 Normal line to a surface |publisher=Ginn & Company |year=1904}} | ||
| Line 74: | Line 74: | ||
{{cite book |author1=Marcus Frederick Charles Ladd |author2=Rex Alfred Palmer |chapter-url=https://books.google.com/books?id=vNJrAe36BBMC&pg=PA62 |chapter=§2.3 Families of planes and interplanar spacings |page=62 ''ff'' |isbn=0-306-47454-9 |edition=4th |publisher=Springer |year=2003 |title=Structure Determination by X-Ray Crystallography}} | {{cite book |author1=Marcus Frederick Charles Ladd |author2=Rex Alfred Palmer |chapter-url=https://books.google.com/books?id=vNJrAe36BBMC&pg=PA62 |chapter=§2.3 Families of planes and interplanar spacings |page=62 ''ff'' |isbn=0-306-47454-9 |edition=4th |publisher=Springer |year=2003 |title=Structure Determination by X-Ray Crystallography}} | ||
</ref> इसलिए समतलो के परिवार का अपने सभी घटक विमानों के लिए एक समान | </ref> इसलिए समतलो के परिवार का अपने सभी घटक विमानों के लिए एक समान अभिवृत्ति है। | ||
=== | ===नतिलंब और गहराई=== | ||
{{Main| | {{Main|नतिलंब और गहराई }} | ||
[[File:StrikeLine&Dip.JPG|thumb|150px|left| | [[File:StrikeLine&Dip.JPG|thumb|150px|left|नतिलंब रेखा और एक क्षैतिज समतल के संबंध में दृष्टिकोण का वर्णन करने वाले समतल की गिरावट और नतिलंब रेखा के लंबवत एक लंबवत समतल]]भूविज्ञान में देखी गई कई विशेषताएं समतल या रेखाएँ हैं, और उनके अभिविन्यास को सामान्यतः उनके दृष्टिकोण के रूप में संदर्भित किया जाता है। इन दृष्टिकोणों को दो कोणों से निर्दिष्ट किया गया है। | ||
एक रेखा के लिए, इन कोणों को प्रवृत्ति और | एक रेखा के लिए, इन कोणों को प्रवृत्ति और गहराई कहा जाता है। प्रवृत्ति रेखा की कम्पास दिशा है, और गहराई एक क्षैतिज तल के साथ नीचे की ओर कोण है।<ref name=Rowland> | ||
{{cite book |title=Structural Analysis and Synthesis: A Laboratory Course in Structural Geology |author1=Stephen Mark Rowland |author2=Ernest M. Duebendorfer |author3=Ilsa M. Schiefelbein |chapter-url=https://books.google.com/books?id=IWnmBEtmg2MC&q=%22attitude+of+a+line%22&pg=PR3 |chapter=Attitudes of lines and planes |isbn=978-1-4051-1652-7 |edition=3rd |publisher=Wiley-Blackwell |year=2007 |page=1 ''ff''}}</ref> | {{cite book |title=Structural Analysis and Synthesis: A Laboratory Course in Structural Geology |author1=Stephen Mark Rowland |author2=Ernest M. Duebendorfer |author3=Ilsa M. Schiefelbein |chapter-url=https://books.google.com/books?id=IWnmBEtmg2MC&q=%22attitude+of+a+line%22&pg=PR3 |chapter=Attitudes of lines and planes |isbn=978-1-4051-1652-7 |edition=3rd |publisher=Wiley-Blackwell |year=2007 |page=1 ''ff''}}</ref> | ||
एक समतल के लिए, दो कोणों को इसका | एक समतल के लिए, दो कोणों को इसका नतिलंब (कोण) और इसका गहराई (कोण) कहा जाता है। एक नतिलंब लाइन एक क्षैतिज समतल का प्रेक्षित समतल सुविधा (और इसलिए एक क्षैतिज रेखा) के साथ चौराहे है, और नतिलंब कोण इस रेखा का असर है (जो कि सही उत्तर के सापेक्ष या चुंबकीय गिरावट से है)। गहराई एक क्षैतिज समतल और देखी गई समतलीय विशेषता के बीच का कोण है जैसा कि नतिलंब रेखा के लंबवत तीसरे ऊर्ध्वाधर समतल में देखा गया है। | ||
== | ==प्रयोग के उदाहरण== | ||
=== | === ठोस पिंड === | ||
{{Main| | {{Main|कठोर पिंड }} | ||
[[File:plane.svg|thumb|150px|एक | [[File:plane.svg|thumb|150px|एक ठोस पिंड का अभिविन्यास तीन कोणों द्वारा निर्धारित किया जाता है]]एक ठोस पिंड का अभिवृत्ति इसका अभिविन्यास है, जैसा कि वर्णित है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित संदर्भ संरचना के सापेक्ष पिंड में तय किए गए संरचना के अभिविन्यास से। अभिवृत्ति को अभिवृत्ति निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जाता है, और इसमें कम से कम तीन निर्देशांक होते हैं।<ref name=Schaub> | ||
{{cite book |title=Analytical Mechanics of Space Systems |author1=Hanspeter Schaub |author2=John L. Junkins |chapter=Rigid body kinematics |page=71 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=qXvESNWrfpUC&q=attitude+%22rigid+body%22&pg=PA71 |isbn=1-56347-563-4 |year=2003 |publisher=American Institute of Aeronautics and Astronautics}} | {{cite book |title=Analytical Mechanics of Space Systems |author1=Hanspeter Schaub |author2=John L. Junkins |chapter=Rigid body kinematics |page=71 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=qXvESNWrfpUC&q=attitude+%22rigid+body%22&pg=PA71 |isbn=1-56347-563-4 |year=2003 |publisher=American Institute of Aeronautics and Astronautics}} | ||
</ref> | </ref> ठोस पिंड को उन्मुख करने की एक योजना पिंड-अक्ष के घूर्णन पर आधारित है; पिंड के निश्चित संदर्भ संरचना के अक्षों के बारे में तीन बार क्रमिक घुमाव, जिससे पिंड के यूलर कोणों की स्थापना होती है।<ref name=Kuipers> | ||
{{cite book |author=Jack B. Kuipers |title=Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality |chapter-url=https://books.google.com/books?id=_2sS4mC0p-EC&pg=PA85 |page=85 |isbn=0-691-10298-8 |year=2002 |publisher=Princeton University Press |chapter=Figure 4.7: Aircraft Euler angle sequence }} | {{cite book |author=Jack B. Kuipers |title=Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality |chapter-url=https://books.google.com/books?id=_2sS4mC0p-EC&pg=PA85 |page=85 |isbn=0-691-10298-8 |year=2002 |publisher=Princeton University Press |chapter=Figure 4.7: Aircraft Euler angle sequence }} | ||
</ref><ref name=Wie>{{cite book |title=अंतरिक्ष यान की गतिशीलता और नियंत्रण|author=Bong Wie |url=https://archive.org/details/spacevehicledyna00wieb_0 |url-access=registration |quote=यूलर कोण कठोर शरीर रवैया।|page=[https://archive.org/details/spacevehicledyna00wieb_0/page/310 310] |chapter=§5.2 Euler angles |isbn=1-56347-261-9 |year=1998 |publisher=American Institute of Aeronautics and Astronautics}} | </ref><ref name=Wie>{{cite book |title=अंतरिक्ष यान की गतिशीलता और नियंत्रण|author=Bong Wie |url=https://archive.org/details/spacevehicledyna00wieb_0 |url-access=registration |quote=यूलर कोण कठोर शरीर रवैया।|page=[https://archive.org/details/spacevehicledyna00wieb_0/page/310 310] |chapter=§5.2 Euler angles |isbn=1-56347-261-9 |year=1998 |publisher=American Institute of Aeronautics and Astronautics}} | ||
</ref> दूसरा टैट-ब्रायन कोण हवाईजहाज | </ref> दूसरा टैट-ब्रायन कोण हवाईजहाज अभिवृत्ति |रोल, पिच और यॉ पर आधारित है,<ref name=Sciavicco>{{cite book |title=रोबोट मैनिपुलेटर्स का मॉडलिंग और नियंत्रण|author1=Lorenzo Sciavicco |author2=Bruno Siciliano |chapter=§2.4.2 Roll–pitch–yaw angles |chapter-url=https://books.google.com/books?id=v9PLbcYd9aUC&pg=PA32 |page=32 |isbn=1-85233-221-2 |year=2000 |edition=2nd |publisher=Springer}}</ref> चूकी ये शब्द [[ उड़ान की गतिशीलता ]] को भी संदर्भित करते हैं | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
* [[ कोणीय विस्थापन ]] | * [[ कोणीय विस्थापन ]] | ||
*[[ रवैया नियंत्रण ]] | *[[ रवैया नियंत्रण | अभिवृत्ति नियंत्रण]] | ||
*[[ दिशात्मक आँकड़े ]] | *[[ दिशात्मक आँकड़े ]] | ||
*[[ व्यक्तिगत सापेक्ष दिशा ]] | *[[ व्यक्तिगत सापेक्ष दिशा ]] | ||
| Line 113: | Line 113: | ||
<references/> | <references/> | ||
==बाहरी संबंध== | ==बाहरी संबंध== | ||
*{{Commons category-inline|Orientation (mathematics)}} | *{{Commons category-inline|Orientation (mathematics)}} | ||
{{DEFAULTSORT:Orientation (Geometry)}} | {{DEFAULTSORT:Orientation (Geometry)}} | ||
[[Category: | [[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Orientation (Geometry)]] | ||
[[Category:Created On 13/11/2022]] | [[Category:Articles with short description|Orientation (Geometry)]] | ||
[[Category:Created On 13/11/2022|Orientation (Geometry)]] | |||
[[Category:Machine Translated Page|Orientation (Geometry)]] | |||
[[Category:Short description with empty Wikidata description|Orientation (Geometry)]] | |||
[[Category:अभिविन्यास (ज्यामिति)| ]] | |||
[[Category:तीन आयामों में घूर्णन|Orientation (Geometry)]] | |||
[[Category:यूक्लिडियन ज्यामिति|Orientation (Geometry)]] | |||
Latest revision as of 11:17, 27 December 2022
ज्यामिति में, किसी वस्तु का अभिविन्यास, कोणीय स्थिति, अभिवृत्ति, व्यवहार या दिशा जैसे कि एक रेखा (ज्यामिति), समतल या ठोस पिंड जैसी वस्तु का विवरण इस बात का भाग है कि इसे यूक्लिडियन स्पेस में कैसे रखा जाता है जिस पर यह रहता है [1]
अधिक विशेष रूप से, यह उस काल्पनिक घुमाव को संदर्भित करता है जो किसी वस्तु को संदर्भ स्थान से उसके वर्तमान स्थान पर ले जाने के लिए आवश्यक है। लेकिन वर्तमान स्थान तक पहुंचने के लिए घुमाव पर्याप्त नहीं हो सकता है। इस लिये एक अवास्तविक अनुवाद (ज्यामिति) जोड़ना आवश्यक हो जाता है, जिसे वस्तु का स्थान (या स्थिति, या रैखिक स्थिति) कहा जाता है। वस्तु का अभिविन्यास और स्थान एक साथ पूरी तरह से वर्णन करते हैं कि वस्तु को अंतरिक्ष में कैसे रखा गया है। उपर्युक्त काल्पनिक घुमाव और अनुवाद को किसी भी क्रम में घटित होने के बारे में सोचा जा सकता है, क्योंकि किसी वस्तु का अभिविन्यास अनुवाद करते समय नहीं बदलता है, और जब यह घुर्णन करता है तो इसका स्थान भी नहीं बदलता है।
यूलर के घुमाव प्रमेय से पता चलता है कि तीन आयामों में किसी निश्चित अक्ष के चारों ओर एक ही घुमाव के साथ किसी भी अभिविन्यास तक पहुंचा जा सकता है। यह अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व का प्रयोग करके अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने का एक सामान्य विधि देता है। अन्य व्यापक रूप से प्रयोग की जाने वाली विधियों में चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव, ज्यामितीय बीजगणित, यूलर कोण या घुमाव मैट्रिक्स सम्मालित हैं। क्रिस्टल विज्ञान में मिलर सूचकांक, भूविज्ञान में नतिलंब और गहराई और नक्शे और संकेतों पर ग्रेड (ढलान) अधिक विशेषज्ञ प्रयोगों में सम्मालित हैं।
इकाई सदिश का प्रयोग वस्तु के सामान्य सदिश अभिविन्यास या दो बिंदुओं के बीच सापेक्ष दिशा (ज्यामिति) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जा सकता है।
संरचना के सापेक्ष एक संदर्भ अभिविन्यास दिया जाता है, जिसे सामान्यतः कार्तीय निर्देशांक प्रणाली द्वारा दर्शाया जाता है।
गणितीय निरूपण
तीन आयाम
सामान्यतः एक ठोस पिंड की स्थिति और अभिविन्यास को मुख्य संदर्भ संरचना के सापेक्ष स्थिति और अभिविन्यास के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो पिंड के सापेक्ष तय होता है, और इसलिए इसके साथ अनुवाद करता है और इसके साथ घुर्णन (पिंड का स्थानीय संदर्भ संरचना, या स्थानीय समन्वय प्रणाली) भी करता है। इसके स्थानीय संरचना के अभिविन्यास का वर्णन करने के लिए कम से कम तीन स्वतंत्र मानो की आवश्यकता है। वस्तु पर एक बिंदु की स्थिति का वर्णन तीन अन्य मान करते हैं।
घूर्णन अक्ष पर स्थित बिंदुओं को छोड़कर पिंड के सभी बिंदु घूर्णन के दौरान अपनी स्थिति बदलते हैं। यदि ठोस पिंड में घुर्णन समान है, तो इसके सभी अभिविन्यास अलग-अलग नहीं होते हैं, इसके अतिरिक्त कि एक अभिविन्यास का अवलोकन एक ज्ञात प्रारंभिक अभिविन्यास से समय के साथ विकसित होता है। उदाहरण के लिए, एक रेखा (ज्यामिति), रेखा खंड, या सदिश (ज्यामितीय) के स्थान में अभिविन्यास केवल दो मानों के साथ निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए दो दिशा कोसाइन । एक अन्य उदाहरण पृथ्वी पर एक बिंदु की स्थिति है, जिसे हमेशा पृथ्वी के केंद्र से जोड़ने वाली रेखा के अभिविन्यास का प्रयोग करके वर्णित किया जाता है, इसे देशांतर और अक्षांश के दो कोणों का प्रयोग करके मापा जाता है। इसी तरह, एक समतल (ज्यामिति) के अभिविन्यास को दो मानों के साथ भी वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए उस समतल के लिए सामान्य रेखा के अभिविन्यास को निर्दिष्ट करके, या नतिलंब और गहराई कोणों का प्रयोग करके।
तीन आयामों में दृढ़ निकायों और समतल के अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय विधियों के बारे में और विवरण निम्न अनुभागों में दिए गए हैं।
दो आयाम
दो आयामों में किसी भी वस्तु (रेखा, सदिश, या समतल आकृति ) का अभिविन्यास एक ही मान द्वारा दिया जाता है: वह जिस कोण से घुर्णन कर रहा है। स्वाधीनता की केवल एक कोटि है और केवल एक निश्चित बिंदु है जिसमें घुर्णन होती है।
तीन आयामों में ठोस पिंड
तीन आयामों में एक ठोस पिंड के झुकाव का वर्णन करने के लिए कई विधि विकसित की गई हैं। उन्हें निम्नलिखित अनुभागों में संक्षेपित किया गया है।
यूलर कोण
अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने का पहला प्रयास लियोनहार्ड यूलर को दिया गया है। उन्होंने तीन संदर्भ संरचना की कल्पना की और अनुभव किया कि एक निश्चित संदर्भ संरचना के साथ शुरू करके और तीन घुमावों का प्रदर्शन करके जो एक को दूसरे के चारों ओर घुम सकते हैं, वह अंतरिक्ष में कोई अन्य संदर्भ संरचना प्राप्त कर सकते हैं (ऊर्ध्वाधर अक्ष को ठीक करने के लिए दो घुमावों का प्रयोग करना और अन्य दो अक्षों को ठीक करने के लिए दूसरा घुमाव का प्रयोग करना)। इन तीन घुमावों के मानो को यूलर कोण कहा जाता है।
टैट-ब्रायन कोण
ये तीन कोण हैं, जिन्हें यव, पिच और रोल, नेविगेशन कोण और कार्डन कोण भी कहा जाता है। गणितीय रूप से वे यूलर कोणों के बारह संभावित समूह के अंदर छह संभावनाओं के एक सेट का गठन करते हैं, जो एक हवाई जहाज जैसे वाहन के उन्मुखीकरण का वर्णन करने के लिए सबसे अच्छा प्रयोग किया जाता है। हवाईअंतरिक्ष इंजीनियरिंग में उन्हें सामान्यतःयूलर कोण कहा जाता है।
ओरिएंटेशन वेक्टर
यूलर ने यह भी अनुभव किया कि दो घुमावों की संरचना एक अलग निश्चित अक्ष (यूलर के घुमाव प्रमेय) के घुमाव के बराबर है। इसलिए, पूर्व के तीन कोणों की संरचना केवल एक घूर्णन के बराबर होनी चाहिए, जिसका अक्ष मैट्रिसेस विकसित होने तक गणना करने के लिए जटिल था।
इस तथ्य के आधार पर उन्होंने घुमाव अक्ष पर एक वेक्टर और कोण के मान के बराबर मॉड्यूल के साथ किसी भी घुमाव का वर्णन करने के लिए एक सदिश विधि पेश किया। इसलिए, किसी भी अभिविन्यास को एक घुमाव सदिश (जिसे यूलर सदिश भी कहा जाता है) द्वारा भी दर्शाया जा सकता है जो इससे संदर्भित संरचना से ले जाता है। जब एक अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तो घुमाव सदिश को समान्यतः अभिविन्यास सदिश या अभिवृत्ति वेक्टर कहा जाता है।
एक समान विधि, जिसे अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व कहा जाता है, घुमाव अक्ष के साथ संरेखित मात्रा सदिश का प्रयोग करके घुमाव या अभिविन्यास का वर्णन करती है, और कोण को दर्शाने के लिए एक अलग मान (चित्र देखें) है।
अभिविन्यास मैट्रिक्स
आव्यूहों की प्रारंभ के साथ, यूलर प्रमेयों को फिर से लिखा गया। घुमाव को ऑर्थोगोनल आव्यूह द्वारा वर्णित किया गया था जिसे घुमाव आव्यूहों या दिशा कोसाइन आव्यूहों कहा जाता है। जब किसी अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तो घुमाव आव्यूहों को समान्यतः पर अभिविन्यास आव्यूह या अभिवृत्ति आव्यूह कहा जाता है।
उपर्युक्त यूलर सदिश एक घुमाव आव्यूह का आइजन्सदिश है (एक घुमाव आव्यूहों का एक अद्वितीय वास्तविक आइजमान है)।
दो घुमाव आव्यूह का उत्पाद घुमाव की संरचना है। इसलिए, पहले की तरह, जिस संरचना का हम वर्णन करना चाहते हैं, उसे प्राप्त करने के लिए प्रारंभिक फ्रेम से घुमाव के रूप में अभिविन्यास दिया जा सकता है।
n-आयामी स्पेस में गैर-सममिति वस्तु का विन्यास स्थान (गणित) गणित) SO(n) × 'R'एन [सांस्थिति गुणन × यूक्लिडियन स्पेस|] ऑर्थोगोनल समूह है। . किसी वस्तु के स्पर्शरेखा स्थान के आधार को जोड़कर अभिविन्यास की कल्पना की जा सकती है। जिस दिशा में प्रत्येक सदिश बिंदु अपना अभिविन्यास निर्धारित करता है।
अभिविन्यास चतुष्कोण
घुमावों का वर्णन करने का एक अन्य विधि क्वाटरनियंस और स्थानिक रोटेशन का प्रयोग कर रहा है, जिसे वर्सर्स भी कहा जाता है। वे रोटेशन मेट्रिसेस और घुमाव सदिश के बराबर हैं। घुमाव सदिश के संबंध में, उन्हें अधिक आसानी से मेट्रिसेस में और से परिवर्तित किया जा सकता है। जब अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, तो घुमाव चतुष्कोण को सामान्यतःअभिविन्यास चतुष्कोण या अभिवृत्ति चतुष्कोण कहा जाता है।
तीन आयामों में समलत
मिलर सूचकांक
एक जालीदार तल का अभिवृत्ति समतल के लिए सामान्य रेखा का अभिविन्यास है,[2] और मिलर के समतल सूचकांकों द्वारा वर्णित है। तीन-अंतरिक्ष में समतलो के एक परिवार (समानांतर समतलो की एक श्रृंखला) को इसके मिलर इंडेक्स (एच के एल) द्वारा दर्शाया जा सकता है।[3][4] इसलिए समतलो के परिवार का अपने सभी घटक विमानों के लिए एक समान अभिवृत्ति है।
नतिलंब और गहराई
भूविज्ञान में देखी गई कई विशेषताएं समतल या रेखाएँ हैं, और उनके अभिविन्यास को सामान्यतः उनके दृष्टिकोण के रूप में संदर्भित किया जाता है। इन दृष्टिकोणों को दो कोणों से निर्दिष्ट किया गया है।
एक रेखा के लिए, इन कोणों को प्रवृत्ति और गहराई कहा जाता है। प्रवृत्ति रेखा की कम्पास दिशा है, और गहराई एक क्षैतिज तल के साथ नीचे की ओर कोण है।[5]
एक समतल के लिए, दो कोणों को इसका नतिलंब (कोण) और इसका गहराई (कोण) कहा जाता है। एक नतिलंब लाइन एक क्षैतिज समतल का प्रेक्षित समतल सुविधा (और इसलिए एक क्षैतिज रेखा) के साथ चौराहे है, और नतिलंब कोण इस रेखा का असर है (जो कि सही उत्तर के सापेक्ष या चुंबकीय गिरावट से है)। गहराई एक क्षैतिज समतल और देखी गई समतलीय विशेषता के बीच का कोण है जैसा कि नतिलंब रेखा के लंबवत तीसरे ऊर्ध्वाधर समतल में देखा गया है।
प्रयोग के उदाहरण
ठोस पिंड
एक ठोस पिंड का अभिवृत्ति इसका अभिविन्यास है, जैसा कि वर्णित है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित संदर्भ संरचना के सापेक्ष पिंड में तय किए गए संरचना के अभिविन्यास से। अभिवृत्ति को अभिवृत्ति निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जाता है, और इसमें कम से कम तीन निर्देशांक होते हैं।[6] ठोस पिंड को उन्मुख करने की एक योजना पिंड-अक्ष के घूर्णन पर आधारित है; पिंड के निश्चित संदर्भ संरचना के अक्षों के बारे में तीन बार क्रमिक घुमाव, जिससे पिंड के यूलर कोणों की स्थापना होती है।[7][8] दूसरा टैट-ब्रायन कोण हवाईजहाज अभिवृत्ति |रोल, पिच और यॉ पर आधारित है,[9] चूकी ये शब्द उड़ान की गतिशीलता को भी संदर्भित करते हैं
यह भी देखें
- कोणीय विस्थापन
- अभिवृत्ति नियंत्रण
- दिशात्मक आँकड़े
- व्यक्तिगत सापेक्ष दिशा
- रोटेशन का विमान
- तीन आयामों में रोटेशन औपचारिकता एं
- त्रिकोण विधि
संदर्भ
- ↑
Robert J. Twiss; Eldridge M. Moores (1992). "§2.1 The orientation of structures". Structural Geology (2nd ed.). Macmillan. p. 11. ISBN 0-7167-2252-6.
...the attitude of a plane or a line — that is, its orientation in space — is fundamental to the description of structures.
- ↑ William Anthony Granville (1904). "§178 Normal line to a surface". Elements of the Differential and Integral Calculus. Ginn & Company. p. 275.
- ↑ Augustus Edward Hough Love (1892). A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. Vol. 1. Cambridge University Press. p. 79 ff.
- ↑ Marcus Frederick Charles Ladd; Rex Alfred Palmer (2003). "§2.3 Families of planes and interplanar spacings". Structure Determination by X-Ray Crystallography (4th ed.). Springer. p. 62 ff. ISBN 0-306-47454-9.
- ↑ Stephen Mark Rowland; Ernest M. Duebendorfer; Ilsa M. Schiefelbein (2007). "Attitudes of lines and planes". Structural Analysis and Synthesis: A Laboratory Course in Structural Geology (3rd ed.). Wiley-Blackwell. p. 1 ff. ISBN 978-1-4051-1652-7.
- ↑ Hanspeter Schaub; John L. Junkins (2003). "Rigid body kinematics". Analytical Mechanics of Space Systems. American Institute of Aeronautics and Astronautics. p. 71. ISBN 1-56347-563-4.
- ↑ Jack B. Kuipers (2002). "Figure 4.7: Aircraft Euler angle sequence". Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality. Princeton University Press. p. 85. ISBN 0-691-10298-8.
- ↑ Bong Wie (1998). "§5.2 Euler angles". अंतरिक्ष यान की गतिशीलता और नियंत्रण. American Institute of Aeronautics and Astronautics. p. 310. ISBN 1-56347-261-9.
यूलर कोण कठोर शरीर रवैया।
- ↑ Lorenzo Sciavicco; Bruno Siciliano (2000). "§2.4.2 Roll–pitch–yaw angles". रोबोट मैनिपुलेटर्स का मॉडलिंग और नियंत्रण (2nd ed.). Springer. p. 32. ISBN 1-85233-221-2.
बाहरी संबंध
Media related to Orientation (mathematics) at Wikimedia Commons
