त्रि-गुणन नियम

ट्रिपल उत्पाद नियम, जिसे चक्रीय श्रृंखला नियम, चक्रीय संबंध, चक्रीय नियम या यूलर की श्रृंखला नियम के रूप में जाना जाता है, एक सूत्र है जो तीन अन्योन्याश्रित चरों के आंशिक डेरिवेटिव से संबंधित है। नियम ऊष्मप्रवैगिकी में अनुप्रयोग पाता है, जहां अक्सर तीन चर f(x, y, z) = 0 के एक समारोह से संबंधित हो सकते हैं, इसलिए प्रत्येक चर अन्य दो चरों के निहित कार्य के रूप में दिया गया है। उदाहरण के लिए, एक तरल पदार्थ के लिए राज्य का समीकरण तापमान, दबाव और आयतन को इस तरह से संबंधित करता है। इस तरह के परस्पर संबंधित चर x, y, और z के लिए तिगुना उत्पाद नियम व्युत्क्रम फलन और अन्तर्निहित फलन प्रमेय के परिणाम पर विभेदीकरण का उपयोग करने से आता है, और इसके द्वारा दिया जाता है

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1,$

जहां प्रत्येक कारक अंश में चर का आंशिक व्युत्पन्न है, जिसे अन्य दो का कार्य माना जाता है।

ट्रिपल उत्पाद नियम का लाभ यह है कि शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करके, कई प्रतिस्थापन पहचान प्राप्त कर सकते हैं जो आंशिक डेरिवेटिव को बदलने की अनुमति देते हैं जो विश्लेषणात्मक रूप से मूल्यांकन करने, प्रयोगात्मक रूप से मापने या आंशिक डेरिवेटिव के भागफल के साथ एकीकृत करने के लिए मुश्किल हैं जो काम करना आसान है साथ। उदाहरण के लिए,

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)=-{\frac {\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}}$

साहित्य में शासन के विभिन्न अन्य रूप मौजूद हैं; इन्हें चर {x, y, z} की अनुमति देकर प्राप्त किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

एक अनौपचारिक व्युत्पत्ति इस प्रकार है। मान लीजिए कि f(x, y, z) = 0. z को x और y के फलन के रूप में लिखिए। इस प्रकार कुल अंतर dz है

$dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)dy$

मान लीजिए कि हम dz = 0 के साथ एक वक्र के साथ आगे बढ़ते हैं, जहाँ वक्र x द्वारा प्राचलित है। इस प्रकार y को x के पदों में लिखा जा सकता है, इसलिए इस वक्र पर

$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx$

इसलिए, dz = 0 के लिए समीकरण बन जाता है

$0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)\,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,dx$

चूँकि यह सभी dx के लिए सही होना चाहिए, पुनर्व्यवस्थित करने वाली शर्तें देती हैं

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)$

डेरिवेटिव द्वारा दाईं ओर विभाजित करने पर ट्रिपल उत्पाद नियम मिलता है

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1$

ध्यान दें कि यह प्रमाण आंशिक डेरिवेटिव के अस्तित्व, सटीक अंतर dz के अस्तित्व, dz = 0 के साथ कुछ पड़ोस (गणित) में एक वक्र बनाने की क्षमता, और आंशिक डेरिवेटिव और उनके व्युत्क्रम के गैर-शून्य मान के बारे में कई अंतर्निहित धारणाएं बनाता है। . गणितीय विश्लेषण पर आधारित एक औपचारिक प्रमाण इन संभावित अस्पष्टताओं को समाप्त कर देगा।

वैकल्पिक व्युत्पत्ति

मान लीजिए एक समारोह f(x, y, z) = 0, कहां x, y, और z एक दूसरे के कार्य हैं। चरों का सटीक अंतर लिखिए

$$dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)dy+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$$

$$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz$$

स्थानापन्न dy में dx

$$dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left[\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz\right]+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करके कोई का गुणांक दिखा सकता है dx दाईं ओर एक के बराबर है, इस प्रकार का गुणांक dz शून्य होना चाहिए

$$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)=0$$

दूसरे पद को घटाने और इसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर त्रिक गुणन नियम प्राप्त होता है

$$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1.$$

अनुप्रयोग

उदाहरण: आदर्श गैस कानून

आदर्श गैस कानून दबाव (पी), मात्रा (वी), और तापमान (टी) के राज्य चर से संबंधित है

$PV=nRT$

जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$f(P,V,T)=PV-nRT=0$

इसलिए प्रत्येक राज्य चर को अन्य राज्य चर के निहित कार्य के रूप में लिखा जा सकता है:

${\begin{aligned}P&=P(V,T)={\frac {nRT}{V}}\\[1em]V&=V(P,T)={\frac {nRT}{P}}\\[1em]T&=T(P,V)={\frac {PV}{nR}}\end{aligned}}$

उपरोक्त अभिव्यक्तियों से, हमारे पास है

${\begin{aligned}-1&=\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{V^{2}}}\right)\left({\frac {nR}{P}}\right)\left({\frac {V}{nR}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{PV}}\right)\\[1em]&=-{\frac {P}{P}}=-1\end{aligned}}$

ज्यामितीय बोध

समय t (ठोस रेखा) और t+Δt (धराशायी रेखा) पर एक यात्रा तरंग का प्रोफ़ाइल। समय अंतराल Δt में, बिंदु p₂ उतनी ही ऊँचाई तक ऊपर उठेगा जितनी कि p₁ समय पर था टी।

ट्रिपल उत्पाद नियम का एक ज्यामितीय अहसास यात्रा तरंग के वेग के साथ घनिष्ठ संबंधों में पाया जा सकता है

$\phi (x,t)=A\cos(kx-\omega t)$

समय t (ठोस नीली रेखा) पर दाईं ओर दिखाया गया है और थोड़े समय बाद t+Δt (धराशायी) दिखाया गया है। लहर अपने आकार को बरकरार रखती है क्योंकि यह फैलता है, ताकि स्थिति x पर समय टी पर एक बिंदु स्थिति x + Δx समय t + Δt पर एक बिंदु के अनुरूप होगा,

$A\cos(kx-\omega t)=A\cos(k(x+\Delta x)-\omega (t+\Delta t)).$

यह समीकरण केवल सभी x और t के लिए संतुष्ट हो सकता है यदि k Δx − ω Δt = 0, चरण वेग के लिए सूत्र में जिसके परिणामस्वरूप

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\omega }{k}}.$

ट्रिपल गुणन नियम के साथ संबंध को स्पष्ट करने के लिए, बिंदु p पर विचार करें₁ समय पर t और उसके संबंधित बिंदु (समान ऊंचाई के साथ) p̄₁ टी + डी टी पर। पी परिभाषित करें₂ समय t पर बिंदु के रूप में जिसका x-निर्देशांक p̄ से मेल खाता है₁, और p̄ को परिभाषित करें₂ p का ​​संगत बिंदु होना₂ जैसा कि दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। पी के बीच की दूरी Δx₁ और प₁ p के बीच की दूरी के समान है₂ और प₂ (हरी रेखाएँ), और इस दूरी को Δt से विभाजित करने पर तरंग की गति प्राप्त होती है।

Δx की गणना करने के लिए, पी पर गणना किए गए दो आंशिक डेरिवेटिव पर विचार करें₂,

$\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t={\text{rise from }}p_{2}{\text{ to }}{\bar {p}}_{1}{\text{ in time }}\Delta t{\text{ (gold line)}}$

$\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)={\text{slope of the wave (red line) at time }}t.$

इन दो आंशिक डेरिवेटिव्स को विभाजित करना और ढलान की परिभाषा का उपयोग करना (रन से विभाजित वृद्धि) हमें वांछित सूत्र देता है

$\Delta x=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}},$

जहां ऋणात्मक चिह्न इस तथ्य को दर्शाता है कि p₁ पी के पीछे स्थित है₂ तरंग की गति के सापेक्ष। इस प्रकार, तरंग का वेग द्वारा दिया जाता है

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.$

अतिसूक्ष्म Δt के लिए, ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)$ और हम ट्रिपल उत्पाद नियम को पुनः प्राप्त करते हैं

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.$

यह भी देखें

• Differentiation rules – Rules for computing derivatives of functions
• Exact differential (ट्रिपल उत्पाद नियम की एक और व्युत्पत्ति है)
• Product rule
• Total derivative
• Triple product और अदिश।

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• मात्रा
• उलटा कार्य और भेदभाव
• अंतर्निहित कार्य प्रमेय
• आंशिक व्युत्पन्न
• द्रव
• स्थिति के समीकरण
• चर बताएं

संदर्भ

• Elliott, J. R.; Lira, C. T. (1999). Introductory Chemical Engineering Thermodynamics (1st ed.). Prentice Hall. p. 184. ISBN 0-13-011386-7.
• Carter, Ashley H. (2001). Classical and Statistical Thermodynamics. Prentice Hall. p. 392. ISBN 0-13-779208-5.