त्रि-गुणन नियम

ट्रिपल उत्पाद नियम, जिसे चक्रीय श्रृंखला नियम, चक्रीय संबंध, चक्रीय नियम या यूलर की श्रृंखला नियम के रूप में जाना जाता है, एक सूत्र है जो तीन अन्योन्याश्रित चरों के आंशिक डेरिवेटिव से संबंधित है। यह नियम ऊष्मागतिकी में अनुप्रयोग पाता है, जहाँ बार-बार तीन चरों को f(x, y, z) = 0 के एक फलन द्वारा संबंधित किया जा सकता है, इसलिए प्रत्येक चर को अन्य दो चरों के निहित फलन के रूप में दिया जाता है। उदाहरण के लिए, एक तरल पदार्थ के लिए राज्य का समीकरण तापमान, दबाव और आयतन को इस तरह से संबंधित करता है। इस तरह के परस्पर संबंधित चर x, y, और z के लिए त्रिगुण उत्पाद नियम निहित कार्य प्रमेय के परिणाम पर एक पारस्परिक संबंध का उपयोग करने से आता है, और इसके द्वारा दिया जाता है

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1,$

जहां प्रत्येक कारक अंश में चर का आंशिक व्युत्पन्न है, जिसे अन्य दो का कार्य माना जाता है।

ट्रिपल उत्पाद नियम का लाभ यह है कि शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करके, कई प्रतिस्थापन पहचान प्राप्त कर सकते हैं जो आंशिक डेरिवेटिव को बदलने की अनुमति देते हैं जो विश्लेषणात्मक रूप से मूल्यांकन करने, प्रयोगात्मक रूप से मापने या आंशिक डेरिवेटिव के भागफल के साथ एकीकृत करने के लिए मुश्किल हैं जो काम करना आसान है साथ। उदाहरण के लिए,

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)=-{\frac {\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)}{\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)}}$

साहित्य में शासन के विभिन्न अन्य रूप मौजूद हैं; इन्हें चर {x, y, z} की अनुमति देकर प्राप्त किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

एक अनौपचारिक व्युत्पत्ति इस प्रकार है। मान लीजिए कि f(x, y, z) = 0. z को x और y के फलन के रूप में लिखिए। इस प्रकार कुल अंतर dz है

$dz=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)dy$

मान लीजिए कि हम dz = 0 के साथ एक वक्र के साथ आगे बढ़ते हैं, जहाँ वक्र x द्वारा प्राचलित है। इस प्रकार y को x के पदों में लिखा जा सकता है, इसलिए इस वक्र पर

$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx$

इसलिए, dz = 0 के लिए समीकरण बन जाता है

$0=\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)\,dx+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,dx$

चूँकि यह सभी dx के लिए सही होना चाहिए, पुनर्व्यवस्थित करने वाली शर्तें देती हैं

$\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)$

डेरिवेटिव द्वारा दाईं ओर विभाजित करने पर ट्रिपल उत्पाद नियम मिलता है

$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1$

ध्यान दें कि यह प्रमाण आंशिक डेरिवेटिव के अस्तित्व, सटीक अंतर dz के अस्तित्व, dz = 0 के साथ कुछ पड़ोस (गणित) में एक वक्र बनाने की क्षमता, और आंशिक डेरिवेटिव और उनके व्युत्क्रम के शून्येतर मूल्य के बारे में कई अंतर्निहित धारणाएं बनाता है। गणितीय विश्लेषण पर आधारित एक औपचारिक प्रमाण इन संभावित अस्पष्टताओं को समाप्त कर देगा।

वैकल्पिक व्युत्पत्ति

मान लीजिए एक फलन f(x, y, z) = 0, जहाँ x, y, और z एक दूसरे के फलन हैं। चरों के कुल अंतर लिखिए

$$dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)dy+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$$

$$dy=\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz$$

dy को dx में बदलें

$$dx=\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left[\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)dx+\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)dz\right]+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)dz$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करके कोई दिखा सकता है कि दाहिने हाथ की ओर dx का गुणांक एक के बराबर है, इस प्रकार dz का गुणांक शून्य होना चाहिए

$$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)+\left({\frac {\partial x}{\partial z}}\right)=0$$

दूसरे पद को घटाने और इसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर त्रिक गुणन नियम प्राप्त होता है

$$\left({\frac {\partial x}{\partial y}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)=-1.$$

अनुप्रयोग

उदाहरण: आदर्श गैस नियम

आदर्श गैस कानून दबाव (पी), मात्रा (वी), और तापमान (टी) के राज्य चर से संबंधित है

$PV=nRT$

जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$f(P,V,T)=PV-nRT=0$

इसलिए प्रत्येक राज्य चर को अन्य राज्य चर के निहित कार्य के रूप में लिखा जा सकता है:

${\begin{aligned}P&=P(V,T)={\frac {nRT}{V}}\\[1em]V&=V(P,T)={\frac {nRT}{P}}\\[1em]T&=T(P,V)={\frac {PV}{nR}}\end{aligned}}$

उपरोक्त अभिव्यक्तियों से, हमारे पास है

${\begin{aligned}-1&=\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)\left({\frac {\partial T}{\partial P}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{V^{2}}}\right)\left({\frac {nR}{P}}\right)\left({\frac {V}{nR}}\right)\\[1em]&=\left(-{\frac {nRT}{PV}}\right)\\[1em]&=-{\frac {P}{P}}=-1\end{aligned}}$

ज्यामितीय बोध

समय t (ठोस रेखा) और t+Δt (धराशायी रेखा) पर एक यात्रा तरंग का प्रोफ़ाइल। समय अंतराल Δt में, बिंदु p2 उसी ऊँचाई तक ऊपर उठेगा जो p1 समय t पर था।

ट्रिपल उत्पाद नियम का एक ज्यामितीय अहसास यात्रा तरंग के वेग के साथ घनिष्ठ संबंधों में पाया जा सकता है

$\phi (x,t)=A\cos(kx-\omega t)$

समय t (ठोस नीली रेखा) पर दाईं ओर दिखाया गया है और थोड़े समय बाद t+Δt (धराशायी) दिखाया गया है। लहर अपने आकार को बरकरार रखती है क्योंकि यह फैलता है, ताकि स्थिति x पर समय टी पर एक बिंदु स्थिति x + Δx समय t + Δt पर एक बिंदु के अनुरूप होगा,

$A\cos(kx-\omega t)=A\cos(k(x+\Delta x)-\omega (t+\Delta t)).$

यह समीकरण केवल सभी एक्स और टी के लिए संतुष्ट हो सकता है यदि k Δx − ω Δt = 0, जिसके परिणामस्वरूप चरण वेग के लिए सूत्र

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {\omega }{k}}.$

ट्रिपल उत्पाद नियम के साथ संबंध को स्पष्ट करने के लिए, समय t पर बिंदु p1 पर विचार करें और इसके संगत बिंदु (समान ऊंचाई के साथ) p̄1 पर t+Δt पर विचार करें। समय t पर p2 को उस बिंदु के रूप में परिभाषित करें जिसका x-निर्देशांक p̄1 से मेल खाता है, और p̄2 को p2 के संबंधित बिंदु के रूप में परिभाषित करें जैसा कि दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। p1 और p̄1 के बीच की दूरी Δx, p2 और p̄2 (हरी रेखाएं) के बीच की दूरी के समान है, और इस दूरी को Δt से विभाजित करने पर तरंग की गति प्राप्त होती है।

Δx की गणना करने के लिए, p₂ पर गणना किए गए दो आंशिक डेरिवेटिव पर विचार करें,

$\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t={\text{rise from }}p_{2}{\text{ to }}{\bar {p}}_{1}{\text{ in time }}\Delta t{\text{ (gold line)}}$

$\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)={\text{slope of the wave (red line) at time }}t.$

इन दो आंशिक डेरिवेटिव्स को विभाजित करना और ढलान की परिभाषा का उपयोग करना (रन से विभाजित वृद्धि) हमें वांछित सूत्र देता है

$\Delta x=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)\Delta t}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}},$

जहां ऋणात्मक चिह्न इस तथ्य को दर्शाता है कि तरंग की गति के सापेक्ष p1, p2 के पीछे स्थित है। इस प्रकार, तरंग का वेग द्वारा दिया जाता है

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.$

अनंत Δt के लिए, ${\frac {\Delta x}{\Delta t}}=\left({\frac {\partial x}{\partial t}}\right)$ और हम ट्रिपल उत्पाद नियम को पुनर्प्राप्त करते हैं

$v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)}{\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)}}.$

यह भी देखें

• अवकलन नियम
• यथार्थ अवकल (ट्रिपल उत्पाद नियम की एक और व्युत्पत्ति है)
• गुणन नियम
• संपूर्ण अवकलज
• त्रिगुणन और अदिश।

संदर्भ

• Elliott, J. R.; Lira, C. T. (1999). Introductory Chemical Engineering Thermodynamics (1st ed.). Prentice Hall. p. 184. ISBN 0-13-011386-7.
• Carter, Ashley H. (2001). Classical and Statistical Thermodynamics. Prentice Hall. p. 392. ISBN 0-13-779208-5.