समाकल रूपांतर

For other uses, see रूपांतरण (गणित).

गणित में, समाकल रूपांतर एक फलन को उसके मूल फलन स्थान से समाकलन के माध्यम से दूसरे फलन स्पेस में मैप करता है, जहाँ मूल फलन के कुछ गुणों को मूल फलन स्पेस की तुलना में अधिक आसानी से वर्णन और हेरफेर किया जा सकता है। रूपांतरित फलन को सामान्यतः 'इनवर्स परिवर्तन' का उपयोग करके मूल फलन स्थान पर वापस मैप किया जा सकता है।

सामान्य रूप

एक समाकल रूपांतर निम्नलिखित रूप का कोई भी रूपांतर (फलन)T है:

$(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt$

इस रूपांतरण का इनपुट एक फलन f है, और आउटपुट एक अन्य फलन $Tf$ है। समाकलित रूपान्तरण एक विशेष प्रकार का गणितीय संकारक है।

कई उपयोगी समाकल रूपांतर हैं। प्रत्येक को फलन K के दो वेरिएबल्स, कर्नेल फलन, समाकल कर्नेल या ट्रांसफ़ॉर्म के न्यूक्लियस के विकल्प द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

कुछ कर्नेल में एक व्युत्क्रम कर्नेल $K^{-1}(u,t)$ होता है जो (मोटे तौर पर बोलना) एक व्युत्क्रम रूपांतरण देता है:

$f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du$

एक सममित कर्नेल वह है जो दो चरों के अनुमत होने पर अपरिवर्तित रहता है; यह एक कर्नेल फलन $K$ है जैसे कि $K(t,u)=K(u,t)$. समाकल समीकरणों के सिद्धांत में, सममित कर्नेल स्व-संलग्न ऑपरेटरों के अनुरूप होती है।

प्रेरणा

समस्याओं के कई वर्ग हैं जिन्हें हल करना मुश्किल है - या कम से कम काफी बीजगणितीय रूप से - उनके मूल प्रतिनिधित्व में हल करना मुश्किल है। एक समाकल रूपांतर एक समीकरण को उसके मूल डोमेन से दूसरे डोमेन में मैप करता है, जिसमें मूल डोमेन की तुलना में समीकरण में हेरफेर करना और उसे हल करना बहुत आसान हो सकता है। इसके बाद प्राप्त हल को समाकल परिवर्तन के व्युत्क्रम के साथ मूल डोमेन पर वापस मैप किया जा सकता है।

प्रायिकता के कई अनुप्रयोग हैं जो समाकल परिवर्तनों पर निर्भर करते हैं, जैसे मूल्य निर्धारण कर्नेल या स्टोकेस्टिक छूट कारक, या मजबूत आँकड़ों से पुनर्प्राप्त डेटा का चौरसाई; कर्नेल (सांख्यिकी) देखें।

इतिहास

परिमित अंतराल में फलन को व्यक्त करने के लिए रूपांतरण के अग्रदूत फूरियर श्रृंखला थे। बाद में परिमित अंतराल की आवश्यकता को दूर करने के लिए फूरियर रूपांतरण विकसित किया गया था।

फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समय के किसी भी प्रायोगिक फलन (उदाहरण के लिए एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण के टर्मिनलों पर वोल्टेज) को ज्या और कोज्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, प्रत्येक को उपयुक्त रूप से बढ़ाया जाता है (एक स्थिर कारक से गुणा किया जाता है), स्थानांतरित (उन्नत) या समय में मंद) और (आवृत्ति में वृद्धि या कमी)। फूरियर श्रृंखला में ज्या और कोज्या ऑर्थोनॉर्मल आधार का एक उदाहरण हैं।

उपयोग उदाहरण

समाकल रूपांतरणों के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में, लाप्लास रूपांतरण पर विचार करें। यह एक ऐसी तकनीक है जो "समय" डोमेन में "जटिल आवृत्ति" डोमेन कहे जाने वाले समाकल-विभेदक समीकरण में अंतर समीकरण या पूर्णांक-अंतर समीकरणों को मैप करती है। (जटिल आवृत्ति वास्तविक, भौतिक आवृत्ति के समान है। विशेष रूप से, जटिल आवृत्ति s = -σ + iω का काल्पनिक घटक ω आवृत्ति की सामान्य अवधारणा से मेल खाता है, अर्थात, वह दर जिस पर एक साइनसॉइड चक्र होता है, जबकि जटिल आवृत्ति का वास्तविक घटक σ "की डिग्री से मेल खाता है (यानी आयाम की एक घातीय कमी)। जटिल आवृत्ति के संदर्भ में समीकरण को जटिल आवृत्ति डोमेन (जटिल में बहुपद समीकरणों को आसानी से हल किया जाता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन, टाइम डोमेन में आइगेन मान के अनुरूप है), जो फ़्रीक्वेंसी डोमेन में तैयार किए गए समाधान के लिए अग्रणी है। यह व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को नियोजित करना, अर्थात, मूल लाप्लास परिवर्तन की व्युत्क्रम प्रक्रिया, एक टाइम-डोमेन समाधान प्राप्त करना इत्यादि काम करता है। इस उदाहरण में, जटिल आवृत्ति डोमेन (आमतौर पर भाजक में होने वाली) में बहुपद समय डोमेन में शक्ति श्रृंखला के अनुरूप होते हैं, जबकि जटिल आवृत्ति डोमेन में अक्षीय बदलाव समय डोमेन में क्षयकारी घातांक द्वारा अवमंदन के अनुरूप होते हैं।

लाप्लास परिवर्तन का भौतिकी में और विशेष रूप से इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग है, जहां विशेषता समीकरण (कैलकुलस) जो जटिल आवृत्ति डोमेन में एक विद्युत परिपथ के व्यवहार का वर्णन करता है, वह उस समय में घातीय रूप से स्केल किए गए और समय-स्थानांतरित अवमंदित साइनसॉइड के रैखिक संयोजनों के अनुरूप होता है। अन्य समाकल परिवर्तन अन्य वैज्ञानिक और गणितीय विषयों के भीतर विशेष प्रयोज्यता पाते हैं।

एक अन्य उपयोग उदाहरण पथ समाकल सूत्रीकरण में कर्नेल है:

$\psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.$

यह बताता है कि कुल आयाम $\psi (x,t)$, $(x,t)$ पर पहुँचने के लिए सभी संभावित मानों का योग $x'$ कुल आयाम का $\psi (x',t')$ बिंदु पर पहुंचने के लिए $(x',t')$ $x'$ को $x$ से जाने के लिए आयाम से गुणा [अर्थात। $K(x,t;x',t')$] करके प्राप्त होता है इसे अक्सर किसी दिए गए सिस्टम केप्रचारक के रूप में जाना जाता है। यह कर्नेल समाकल परिवर्तन का कर्नेल है। हालाँकि, प्रत्येक क्वांटम सिस्टम के लिए, एक अलग कर्नेल होता है।

रूपांतरों की तालिका

समाकल रूपांतर की तालिका

रूपांतरण	प्रतीक	K	f(t)	t1	t2	K−1	u1	u2
एबेल रूपांतर	F, f	${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		$u$	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	t	$\infty$
एसोसिएटेड लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म	${\mathcal {J}}_{n,m}$	$(1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
फूरियर रूपांतरण	${\mathcal {F}}$	$e^{-2\pi iut}$	$L_{1}$	$-\infty$	$\infty$	$e^{2\pi iut}$	$-\infty$	$\infty$
फूरियर साइन रूपांतरण	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	on $[0,\infty )$, real-valued	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0$	$\infty$
फूरियर कोसाइन रूपांतरण	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	on $[0,\infty )$, real-valued	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	$0$	$\infty$
हैंकेल रूपांतरण		$t\,J_{\nu }(ut)$		$0$	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0$	$\infty$
हार्टले रूपांतरण	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
हर्मिट रूपांतरण	$H$	$e^{-x^{2}}H_{n}(x)$		$-\infty$	$\infty$		$0$	$\infty$
हिल्बर्ट रूपांतरण	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
जैकोबी रूपांतरण	$J$	$(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
लैगुएरे रूपांतरण	$L$	$e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)$		$0$	$\infty$		$0$	$\infty$
लाप्लास रूपांतरण	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}$		$0$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
लीजेंड्रे रूपांतरण	${\mathcal {J}}$	$P_{n}(x)\,$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
मेलिन रूपांतरण	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}$		$0$	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
दो तरफा लाप्लास रूपांतरण	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
पोइसन कर्नेल		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		$0$	$2\pi$
राडोण रूपांतरण	Rƒ			$-\infty$	$\infty$
विअरस्ट्रास रूपांतरण	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
एक्स-रे रूपांतरण	Xƒ			$-\infty$	$\infty$

व्युत्क्रम रूपांतरण के लिए समाकल की सीमा में, c एक स्थिरांक है जो रूपांतर फलन की प्रकृति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक और दो तरफा लाप्लास रूपांतरण के लिए, c को रूपांतरण फलन के शून्य के सबसे बड़े वास्तविक भाग से अधिक होना चाहिए।

ध्यान दें कि फूरियर रूपांतरण के लिए वैकल्पिक नोटेशन और कन्वेंशन हैं।

विभिन्न डोमेन

यहां वास्तविक संख्याओं पर समाकल रूपांतर के लिए फलन परिभाषित किए गए हैं, लेकिन समूह फलन के लिए उन्हें सामान्यतः परिभाषित किया जा सकता है।

• यदि इसके बजाय कोई वृत्त (आवर्ती फलन) पर फलन का उपयोग करता है, तो समाकल कर्नेल बाइपेरियोडिक फलन की तरह कार्य करता है; वृत्त पर फलन द्वारा कनवल्शन से गोलाकार कनवल्शन प्राप्त होता है।
• यदि क्रम n के [[चक्रीय समूह |चक्रीय समूह (C_n या Z/nZ)]]पर फलन का उपयोग किया जाता है, तो समाकल कर्नेल के रूप में n × n मैट्रिक्स प्राप्त होता है; कनवल्शन परिसंचारी मैट्रिसेस के अनुरूप है।

सामान्य सिद्धांत

हालांकि समाकल रूपांतर के गुण व्यापक रूप से भिन्न होते हैं, लेकिन उनमें कुछ गुण समान होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक समाकल रूपांतर एकरैखिक ऑपरेटर है, क्योंकि समाकल एक लीनियर ऑपरेटर है, और वास्तव में यदि कर्नेल को एक सामान्यीकृत फलन होने की अनुमति है, तो सभी लीनियर ऑपरेटर समाकल रूपांतर होते हैं (इस कथन का एक उचित रूप से तैयार किया गया संस्करण श्वार्ट्ज कर्नेल प्रमेय)।

ऐसे समाकल समीकरण के सामान्य सिद्धांत को फ्रेडहोम सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत में, कर्नेल को एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर के रूप में समझा जाता है जो फ़ंक्शन के बैनच स्थान पर कार्य करता है। स्थिति के आधार पर, कर्नेल को विभिन्न प्रकार से फ्रेडहोम ऑपरेटर, परमाणु ऑपरेटर या फ्रेडहोम कर्नेल के रूप में संदर्भित किया जाता है।

• बेटमैन ट्रांसफॉर्म
• कनवल्शन कर्नेल
• परिपत्र कनवल्शन
• परिचालित मैट्रिक्स
• विभेदक समीकरण
• कर्नेल विधि
• परिवर्तनों की सूची
• ऑपरेटरों की सूची
• फूरियर से संबंधित रूपांतरणों की सूची
• नाचबिन का प्रमेय
• गैर-स्थानीय ऑपरेटर
• पुनरुत्पादन कर्नेल
• प्रतीकात्मक एकीकरण

आगे की पढाई

• A. D. Polyanin and A. V. Manzhirov, Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
• R. K. M. Thambynayagam, The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers, McGraw-Hill, New York, 2011. ISBN 978-0-07-175184-1
• "Integral transform", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.