दीर्घवृत वितरण: Difference between revisions

Revision as of 17:22, 5 January 2023

संभाव्यता और आंकड़ों में, एक दीर्घवृत्त वितरण संभाव्यता वितरण के एक व्यापक परिवार का कोई सदस्य है जो बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण को सामान्यीकृत करता है। सहज रूप से, सरलीकृत दो और त्रि-आयामी मामले में, संयुक्त वितरण क्रमशः आइसो-घनत्व वाले भूखंडों में एक दीर्घवृत्त और एक दीर्घवृत्त बनाता है।

सांख्यिकी में, चिरसम्मत बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में सामान्य वितरण का उपयोग किया जाता है, जबकि दीर्घवृत्त वितरणों का उपयोग सामान्यीकृत बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में किया जाता है, पूंछ वाले सममित वितरणों के अध्ययन के लिए जो बहुभिन्नरूपी टी-वितरण या प्रकाश की तरह भारी होते हैं (सामान्य की तुलना में)। कुछ सांख्यिकीय विधियां जो मूल रूप से सामान्य वितरण के अध्ययन से प्रेरित थीं, सामान्य दीर्घवृत्त वितरण (परिमित भिन्नता के साथ) के लिए विशेष रूप से गोलाकार वितरण (जो नीचे परिभाषित हैं) के लिए अच्छा प्रदर्शन है। अण्डाकार वितरण का उपयोग प्रस्तावित बहुविविध-सांख्यिकीय प्रक्रियाओं का मूल्यांकन करने के लिए मजबूत आंकड़ों में भी किया जाता है।

परिभाषा

दीर्घवृत्त वितरण संभाव्यता सिद्धांत के विशिष्ट कार्य के संदर्भ में परिभाषित किए गए हैं। यूक्लिडियन स्पेस में एक यादृच्छिक वेक्टर $X$ में दीर्घवृत्त वितरण होता है यदि इसकी विशेषता फ़ंक्शन $\phi$ निम्नलिखित कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है (प्रत्येक कॉलम-वेक्टर $t$ के लिए)

\phi _{X-\mu }(t)=\psi (t'\Sigma t)

कुछ स्थान पैरामीटर

\mu

के लिए, कुछ गैर-ऋणात्मक-निश्चित मैट्रिक्स

\Sigma

और कुछ स्केलर फ़ंक्शन

\psi

^[1] जटिल संख्याओं के क्षेत्र में यूक्लिडियन रिक्त स्थान में यादृच्छिक वैक्टर को समायोजित करने के लिए वास्तविक यादृच्छिक वैक्टर के लिए दीर्घवृत्त वितरण की परिभाषा को विस्तारित किया गया है, जिससे समय-श्रृंखला विश्लेषण में अनुप्रयोगों की सुविधा मिलती है।^[2] उदाहरण के लिए मोंटे कार्लो सिमुलेशन में उपयोग के लिए अण्डाकार वितरण से छद्म-यादृच्छिक वैक्टर उत्पन्न करने के लिए कम्प्यूटेशनल तरीके उपलब्ध हैं।^[3]

कुछ दीर्घवृत्त वितरणों को वैकल्पिक रूप से उनके घनत्व कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। एक घनत्व फ़ंक्शन f के साथ एक दीर्घवृत्त वितरण का रूप है:

f(x)=k\cdot g((x-\mu )'\Sigma ^{-1}(x-\mu ))

जहाँ $k$ सामान्यीकरण स्थिरांक है, $x$ एक $n$ -आयामी यादृच्छिक सदिश है जिसमें माध्य सदिश $\mu$ है (जो माध्य सदिश भी है यदि उत्तरार्द्ध मौजूद है), और $\Sigma$ एक धनात्मक निश्चित मैट्रिक्स है जो सहप्रसरण मैट्रिक्स के समानुपाती होता है यदि सहप्रसरण मौजूद होता है।^[4]

उदाहरण

उदाहरणों में निम्नलिखित बहुभिन्नरूपी संभाव्यता वितरण शामिल हैं:

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण
बहुभिन्नरूपी टी-वितरण|बहुभिन्नरूपी टी-वितरण
बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण^[5]
बहुभिन्नरूपी लाप्लास वितरण^[6]
बहुभिन्नरूपी रसद वितरण^[7]
बहुभिन्नरूपी सममित सामान्य अतिपरवलयिक वितरण^[7]

गुण

2-आयामी मामले में, यदि घनत्व मौजूद है, तो प्रत्येक आइसो-घनत्व स्थान (x₁,एक्स₂ जोड़े सभी का एक विशेष मूल्य देते हैं $f(x)$ ) दीर्घवृत्त या दीर्घवृत्तों का एक संघ है (इसलिए अण्डाकार वितरण नाम)। अधिक आम तौर पर, मनमाने ढंग से n के लिए, आइसो-घनत्व लोकी दीर्घवृत्तों के संघ हैं। इन सभी दीर्घवृत्ताभों या दीर्घवृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र μ होता है और ये एक दूसरे की स्केल की हुई प्रतियाँ (होमोथेट) होते हैं।

बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण एक विशेष मामला है जिसमें $g(z)=e^{-z/2}$ . जबकि बहुभिन्नरूपी सामान्य अनबाउंड है (प्रत्येक तत्व $x$ गैर-शून्य संभाव्यता के साथ मनमाने ढंग से बड़े सकारात्मक या नकारात्मक मान ले सकते हैं, क्योंकि $e^{-z/2}>0$ सभी गैर-नकारात्मक के लिए $z$ ), सामान्य अण्डाकार वितरणों में बाउंड या अनबाउंड हो सकता है - ऐसा वितरण बाउंड है यदि $g(z)=0$ सबके लिए $z$ किसी मूल्य से अधिक।

ऐसे अण्डाकार वितरण मौजूद हैं जिनका अपरिभाषित माध्य है, जैसे कि कॉची वितरण (यहां तक कि अविभाजित मामले में)। क्योंकि चर x घनत्व समारोह में द्विघात रूप से प्रवेश करता है, सभी अण्डाकार वितरण सममित वितरण के बारे में हैं $\mu .$ यदि संयुक्त रूप से अण्डाकार यादृच्छिक वेक्टर के दो उपसमुच्चय असंबद्ध हैं, तो यदि उनके साधन मौजूद हैं तो वे एक दूसरे से स्वतंत्र हैं (प्रत्येक सबवेक्टर सशर्त का मतलब दूसरे सबवेक्टर के मूल्य पर बिना शर्त माध्य के बराबर है)।^[8]^{: p. 748} यदि यादृच्छिक वेक्टर एक्स अंडाकार रूप से वितरित किया जाता है, तो पूर्ण पंक्ति रैंक वाले किसी मैट्रिक्स डी के लिए डीएक्स भी होता है। इस प्रकार X के घटकों का कोई भी रैखिक संयोजन अण्डाकार है (हालांकि जरूरी नहीं कि समान अण्डाकार वितरण के साथ), और X का कोई भी उपसमुच्चय अण्डाकार है।^[8]^{: p. 748}

अनुप्रयोग

अण्डाकार वितरण सांख्यिकी और अर्थशास्त्र में उपयोग किया जाता है।

गणितीय अर्थशास्त्र में, गणितीय वित्त में पोर्टफोलियो सिद्धांतों का वर्णन करने के लिए अण्डाकार वितरण का उपयोग किया गया है।^[9]^[10]

सांख्यिकी: सामान्यीकृत बहुभिन्नरूपी विश्लेषण

आँकड़ों में, बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण (गॉस का) शास्त्रीय बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में उपयोग किया जाता है, जिसमें अनुमान और परिकल्पना-परीक्षण के अधिकांश तरीके सामान्य वितरण के लिए प्रेरित होते हैं। शास्त्रीय बहुभिन्नरूपी विश्लेषण के विपरीत, सामान्यीकृत बहुभिन्नरूपी विश्लेषण सामान्यता के प्रतिबंध के बिना अण्डाकार वितरण पर शोध को संदर्भित करता है।

उपयुक्त अण्डाकार वितरण के लिए, कुछ शास्त्रीय तरीकों में अच्छे गुण होते रहते हैं।^[11]^[12] परिमित-विचरण मान्यताओं के तहत, कोचरन के प्रमेय (द्विघात रूपों के वितरण पर) का विस्तार होता है।^[13]

गोलाकार वितरण

शून्य माध्य और प्रसरण के रूप में एक अण्डाकार वितरण $\alpha I$ कहां $I$ पहचान-मैट्रिक्स है जिसे गोलाकार वितरण कहा जाता है।^[14] गोलाकार वितरणों के लिए, पैरामीटर-अनुमान और परिकल्पना-परीक्षण पर शास्त्रीय परिणाम बढ़ा दिए गए हैं।^[15]^[16] इसी तरह के परिणाम सामान्य रैखिक मॉडल के लिए हैं,^[17] और वास्तव में जटिल मॉडल के लिए भी (विशेष रूप से विकास वक्र (सांख्यिकी) मॉडल के लिए)। बहुभिन्नरूपी मॉडलों का विश्लेषण बहुरेखीय बीजगणित (विशेष रूप से क्रोनकर उत्पादों और वैश्वीकरण (गणित)) और मैट्रिक्स गणना का उपयोग करता है।^[12]^[18]^[19]

मजबूत आँकड़े: स्पर्शोन्मुखता

दीर्घवृत्तीय वितरणों का एक अन्य उपयोग मजबूत आँकड़ों में है, जिसमें शोधकर्ता जाँच करते हैं कि दीर्घवृत्तीय वितरणों के वर्ग पर सांख्यिकीय प्रक्रियाएँ कैसे कार्य करती हैं, इससे भी अधिक सामान्य समस्याओं पर प्रक्रियाओं के प्रदर्शन में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए,^[20] उदाहरण के लिए स्पर्शोन्मुख सिद्धांत (सांख्यिकी) (एसिम्प्टोटिक्स) का उपयोग करके।^[21]

अर्थशास्त्र और वित्त

पोर्टफोलियो सिद्धांत में अण्डाकार वितरण महत्वपूर्ण हैं क्योंकि, यदि पोर्टफोलियो निर्माण के लिए उपलब्ध सभी संपत्तियों पर रिटर्न संयुक्त रूप से अंडाकार रूप से वितरित किया जाता है, तो सभी पोर्टफोलियो को उनके स्थान और पैमाने से पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है - यानी समान स्थान और पोर्टफोलियो के पैमाने वाले दो पोर्टफोलियो रिटर्न में पोर्टफोलियो रिटर्न का समान वितरण होता है।^[22]^[8]म्युचुअल फंड पृथक्करण प्रमेय और पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल सहित पोर्टफोलियो विश्लेषण की विभिन्न विशेषताएं सभी अण्डाकार वितरणों के लिए हैं।^[8]^{: p. 748}

↑ Cambanis, Huang & Simons (1981, p. 368)
↑ Fang, Kotz & Ng (1990, Chapter 2.9 "Complex elliptically symmetric distributions", pp. 64-66)
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↑ Fang & Zhang (1990, Chapter 2.8 "Distribution of quadratic forms and Cochran's theorem", pp. 74-81)
↑ Fang & Zhang (1990, Chapter 2.5 "Spherical distributions", pp. 53-64)
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↑ Fang & Zhang (1990, Chapter V "Testing hypotheses", pp. 154-187)
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संदर्भ

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Chamberlain, Gary (February 1983). "A characterization of the distributions that imply mean—Variance utility functions". Journal of Economic Theory. 29 (1): 185–201. doi:10.1016/0022-0531(83)90129-1.
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Originally Gupta, Arjun K.; Varga, Tamas (1993). Elliptically contoured models in statistics. Mathematics and Its Applications (1st ed.). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0792326083.
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मजबूत आँकड़े
दीर्घवृत्ताभ
अंडाकार
आंकड़े
संभावना
भारी पूंछ
प्रायिकता वितरण
विशेषता समारोह (संभावना सिद्धांत)
समय श्रृंखला विश्लेषण
छद्म यादृच्छिक संख्या
घनत्व फंक्शन
यादृच्छिक वेक्टर
सहप्रसरण आव्यूह
अतिशयोक्तिपूर्ण वितरण
मतलब
मतलब स्वतंत्र
म्युचुअल फंड जुदाई प्रमेय

आगे की पढाई

Fang, Kai-Tai; Anderson, T. W., eds. (1990). Statistical inference in elliptically contoured and related distributions. New York: Allerton Press. ISBN 0898640482. OCLC 20490516. A collection of papers.

श्रेणी:संभाव्यता वितरण के प्रकार श्रेणी:स्थान-पैमाने पर पारिवारिक संभाव्यता वितरण श्रेणी:बहुभिन्नरूपी आंकड़े श्रेणी:सामान्य वितरण

[chs-1] Cambanis, Huang & Simons (1981, p. 368)

[2] Fang, Kotz & Ng (1990, Chapter 2.9 "Complex elliptically symmetric distributions", pp. 64-66)

[3] Johnson (1987, Chapter 6, "Elliptically contoured distributions, pp. 106-124): Johnson, Mark E. (1987). Multivariate statistical simulation: A guide to selecting and generating continuous multivariate distributions. John Wiley and Sons., "an admirably lucid discussion" according to Fang, Kotz & Ng (1990, p. 27).

[4] Frahm, G., Junker, M., & Szimayer, A. (2003). Elliptical copulas: Applicability and limitations. Statistics & Probability Letters, 63(3), 275–286.

[5] Nolan, John (September 29, 2014). "बहुभिन्नरूपी स्थिर घनत्व और वितरण कार्य: सामान्य और अण्डाकार मामला". Retrieved 2017-05-26.

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[schmidt-7] 7.0 ^7.1 Schmidt, Rafael (2012). "Credit Risk Modeling and Estimation via Elliptical Copulae". In Bol, George; et al. (eds.). ऋण जोखिम: मापन, मूल्यांकन और प्रबंधन. Springer. p. 274. ISBN 9783642593659.

[Owen_1983-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 ^8.3 Owen & Rabinovitch (1983)

[9] (Gupta, Varga & Bodnar 2013)

[10] (Chamberlain 1983; Owen and Rabinovitch 1983)

[AndersonExtensions-11] Anderson (2004, The final section of the text (before "Problems") that are always entitled "Elliptically contoured distributions", of the following chapters: Chapters 3 ("Estimation of the mean vector and the covariance matrix", Section 3.6, pp. 101-108), 4 ("The distributions and uses of sample correlation coefficients", Section 4.5, pp. 158-163), 5 ("The generalized T²-statistic", Section 5.7, pp. 199-201), 7 ("The distribution of the sample covariance matrix and the sample generalized variance", Section 7.9, pp. 242-248), 8 ("Testing the general linear hypothesis; multivariate analysis of variance", Section 8.11, pp. 370-374), 9 ("Testing independence of sets of variates", Section 9.11, pp. 404-408), 10 ("Testing hypotheses of equality of covariance matrices and equality of mean vectors and covariance vectors", Section 10.11, pp. 449-454), 11 ("Principal components", Section 11.8, pp. 482-483), 13 ("The distribution of characteristic roots and vectors", Section 13.8, pp. 563-567))

[FangZhang-12] 12.0 ^12.1 Fang & Zhang (1990)

[FangZhangCochran-13] Fang & Zhang (1990, Chapter 2.8 "Distribution of quadratic forms and Cochran's theorem", pp. 74-81)

[FangZhangSpherical-14] Fang & Zhang (1990, Chapter 2.5 "Spherical distributions", pp. 53-64)

[FangZhangEstimation-15] Fang & Zhang (1990, Chapter IV "Estimation of parameters", pp. 127-153)

[FangZhangTesting-16] Fang & Zhang (1990, Chapter V "Testing hypotheses", pp. 154-187)

[FangZhangModels-17] Fang & Zhang (1990, Chapter VII "Linear models", pp. 188-211)

[PanFang-18] Pan & Fang (2007, p. ii)

[KolloVonRosenXIII-19] Kollo & von Rosen (2005, p. xiii)

[KariyaSinha-20] Kariya, Takeaki; Sinha, Bimal K. (1989). सांख्यिकीय परीक्षणों की मजबूती. Academic Press. ISBN 0123982308.

[KolloVonRosen221-21] Kollo & von Rosen (2005, p. 221)

[22] Chamberlain (1983)

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 {{Short description|Family of distributions that generalize the multivariate normal distribution}}
-संभाव्यता और आंकड़ों में, एक अण्डाकार वितरण संभाव्यता वितरण के एक व्यापक परिवार का कोई सदस्य है जो [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]] को सामान्य करता है। सहजता से, सरलीकृत दो और तीन आयामी मामले में, संयुक्त वितरण क्रमशः आइसो-घनत्व भूखंडों में एक दीर्घवृत्त और एक दीर्घवृत्त बनाता है।
+संभाव्यता और आंकड़ों में, एक दीर्घवृत्त वितरण संभाव्यता वितरण के एक व्यापक परिवार का कोई सदस्य है जो [[बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण]] को सामान्यीकृत करता है। सहज रूप से, सरलीकृत दो और त्रि-आयामी मामले में, संयुक्त वितरण क्रमशः आइसो-घनत्व वाले भूखंडों में एक दीर्घवृत्त और एक दीर्घवृत्त बनाता है।
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+सांख्यिकी में, चिरसम्मत [[बहुभिन्नरूपी विश्लेषण]] में सामान्य वितरण का उपयोग किया जाता है, जबकि दीर्घवृत्त वितरणों का उपयोग सामान्यीकृत बहुभिन्नरूपी विश्लेषण में किया जाता है, पूंछ वाले सममित वितरणों के अध्ययन के लिए जो [[बहुभिन्नरूपी टी-वितरण]] या प्रकाश की तरह भारी होते हैं (सामान्य की तुलना में)। कुछ सांख्यिकीय विधियां जो मूल रूप से सामान्य वितरण के अध्ययन से प्रेरित थीं, सामान्य दीर्घवृत्त वितरण (परिमित भिन्नता के साथ) के लिए विशेष रूप से गोलाकार वितरण (जो नीचे परिभाषित हैं) के लिए अच्छा प्रदर्शन है। अण्डाकार वितरण का उपयोग प्रस्तावित बहुविविध-सांख्यिकीय प्रक्रियाओं का मूल्यांकन करने के लिए मजबूत आंकड़ों में भी किया जाता है।
 == परिभाषा ==
-अण्डाकार वितरण को संभाव्यता सिद्धांत के विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। एक यादृच्छिक वेक्टर <math>X</math> [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] पर एक अण्डाकार वितरण होता है यदि इसकी विशेषता कार्य करती है <math>\phi</math> निम्नलिखित [[कार्यात्मक समीकरण]] को संतुष्ट करता है (प्रत्येक कॉलम-वेक्टर के लिए <math>t</math>)
+दीर्घवृत्त वितरण संभाव्यता सिद्धांत के विशिष्ट कार्य के संदर्भ में परिभाषित किए गए हैं। यूक्लिडियन स्पेस में एक यादृच्छिक वेक्टर <math>X</math> में दीर्घवृत्त वितरण होता है यदि इसकी विशेषता फ़ंक्शन <math>\phi</math> निम्नलिखित [[कार्यात्मक समीकरण]] को संतुष्ट करता है (प्रत्येक कॉलम-वेक्टर <math>t</math> के लिए)
 :<math>\phi_{X-\mu}(t)
 =
 \psi(t' \Sigma t)
-</math> कुछ [[स्थान पैरामीटर]] के लिए <math>\mu</math>, कुछ [[गैर-नकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] <math>\Sigma</math> और कुछ स्केलर फ़ंक्शन  <math>\psi</math>.<ref name="chs">{{harvtxt|Cambanis|Huang|Simons|1981|p=368}}</ref> वास्तविक यादृच्छिक-वैक्टरों के लिए अण्डाकार वितरण की परिभाषा को यूक्लिडियन रिक्त स्थान में यादृच्छिक वैक्टर को [[जटिल संख्या]]ओं की जटिल संख्या # फ़ील्ड संरचना पर समायोजित करने के लिए विस्तारित किया गया है, इसलिए समय-श्रृंखला विश्लेषण में अनुप्रयोगों की सुविधा प्रदान करता है।<ref>{{harvtxt|Fang|Kotz|Ng|1990|loc=Chapter 2.9 "Complex elliptically symmetric distributions", pp. 64-66}}</ref> अण्डाकार वितरण से छद्म-यादृच्छिक संख्या | छद्म-यादृच्छिक वैक्टर उत्पन्न करने के लिए कम्प्यूटेशनल विधियां उपलब्ध हैं, उदाहरण के लिए [[मोंटे कार्लो विधि]] [[कंप्यूटर सिमुलेशन]] में उपयोग के लिए।<ref>{{harvtxt|Johnson|1987|loc=Chapter 6, "Elliptically contoured distributions, pp. 106-124}}:  {{cite book|last=Johnson|first=Mark E.|title=Multivariate statistical simulation: A guide to selecting and generating continuous multivariate distributions|publisher=John Wiley and Sons|year=1987}}, "an admirably lucid discussion" according to {{harvtxt|Fang|Kotz|Ng|1990|p=27}}.</ref>
+</math>
-कुछ अण्डाकार वितरणों को उनके घनत्व कार्यों के संदर्भ में वैकल्पिक रूप से परिभाषित किया गया है। घनत्व फ़ंक्शन f के साथ एक अण्डाकार वितरण का रूप है:
+:कुछ [[स्थान पैरामीटर]] <math>\mu</math> के लिए, कुछ गैर-ऋणात्मक-निश्चित मैट्रिक्स <math>\Sigma</math> और कुछ स्केलर फ़ंक्शन <math>\psi</math><ref name="chs">{{harvtxt|Cambanis|Huang|Simons|1981|p=368}}</ref> [[जटिल संख्या|जटिल]] संख्याओं के क्षेत्र में यूक्लिडियन रिक्त स्थान में यादृच्छिक वैक्टर को समायोजित करने के लिए वास्तविक यादृच्छिक वैक्टर के लिए दीर्घवृत्त वितरण की परिभाषा को विस्तारित किया गया है, जिससे समय-श्रृंखला विश्लेषण में अनुप्रयोगों की सुविधा मिलती है।<ref>{{harvtxt|Fang|Kotz|Ng|1990|loc=Chapter 2.9 "Complex elliptically symmetric distributions", pp. 64-66}}</ref> उदाहरण के लिए [[मोंटे कार्लो विधि|मोंटे कार्लो]] सिमुलेशन में उपयोग के लिए अण्डाकार वितरण से छद्म-यादृच्छिक वैक्टर उत्पन्न करने के लिए कम्प्यूटेशनल तरीके उपलब्ध हैं।<ref>{{harvtxt|Johnson|1987|loc=Chapter 6, "Elliptically contoured distributions, pp. 106-124}}:  {{cite book|last=Johnson|first=Mark E.|title=Multivariate statistical simulation: A guide to selecting and generating continuous multivariate distributions|publisher=John Wiley and Sons|year=1987}}, "an admirably lucid discussion" according to {{harvtxt|Fang|Kotz|Ng|1990|p=27}}.</ref>
+कुछ दीर्घवृत्त वितरणों को वैकल्पिक रूप से उनके घनत्व कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। एक घनत्व फ़ंक्शन f के साथ एक दीर्घवृत्त वितरण का रूप है:
 :<math>f(x)= k \cdot g((x-\mu)'\Sigma^{-1}(x-\mu))</math>
-कहां <math>k</math> [[सामान्यीकरण स्थिरांक]] है, <math>x</math> एक <math>n</math>मध्यिका#बहुभिन्नरूपी मध्यिका के साथ आयामी यादृच्छिक सदिश <math>\mu</math> (जो माध्य वेक्टर भी है यदि बाद वाला मौजूद है), और  <math>\Sigma</math> एक [[सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स]] है जो सहप्रसरण मैट्रिक्स के समानुपाती होता है यदि बाद वाला मौजूद है।<ref>Frahm, G., Junker, M., & Szimayer, A. (2003). Elliptical copulas: Applicability and limitations. ''Statistics & Probability Letters'', 63(3), 275–286.</ref>
+जहाँ <math>k</math> [[सामान्यीकरण स्थिरांक]] है, <math>x</math> एक <math>n</math>-आयामी यादृच्छिक सदिश है जिसमें माध्य सदिश <math>\mu</math> है (जो माध्य सदिश भी है यदि उत्तरार्द्ध मौजूद है), और <math>\Sigma</math> एक धनात्मक निश्चित मैट्रिक्स है जो सहप्रसरण मैट्रिक्स के समानुपाती होता है यदि सहप्रसरण मौजूद होता है।<ref>Frahm, G., Junker, M., & Szimayer, A. (2003). Elliptical copulas: Applicability and limitations. ''Statistics & Probability Letters'', 63(3), 275–286.</ref>
 === उदाहरण ===
 उदाहरणों में निम्नलिखित बहुभिन्नरूपी संभाव्यता वितरण शामिल हैं:

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